Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation
UDC 517.9 We consider the optimal control problem formed by a parabolic nonlinear equation with rapidly oscillating coefficients, an additive control function, and coercive cost functional. It is proved that the optimal value of the perturbed problem is close to the optimal value for the correspondi...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512587087609856 |
|---|---|
| author | Kapustyan , O. V. Stanzhytskyi , O. M. Fartushny , I. D. Капустян, О. В. Станжицький, О. М. Фартушний, I. Д. |
| author_facet | Kapustyan , O. V. Stanzhytskyi , O. M. Fartushny , I. D. Капустян, О. В. Станжицький, О. М. Фартушний, I. Д. |
| author_sort | Kapustyan , O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:13Z |
| description | UDC 517.9
We consider the optimal control problem formed by a parabolic nonlinear equation with rapidly oscillating coefficients, an additive control function, and coercive cost functional. It is proved that the optimal value of the perturbed problem is close to the optimal value for the corresponding problem with averaged coefficients. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7016 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7016
УДК 517.9
О. В. Капустян, О. М. Станжицький (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
I. Д. Фартушний (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ ЗБУРЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ*
We consider the optimal control problem formed by a parabolic nonlinear equation with rapidly oscillating coefficients, an
additive control function, and coercive cost functional. It is proved that the optimal value of the perturbed problem is close
to the optimal value for the corresponding problem with averaged coefficients.
Розглядається задача оптимального керування, що складається з параболiчного нелiнiйного рiвняння з швидко колив-
ними коефiцiєнтами й адитивним керуванням та коерцитивним функцiоналом вартостi. Доведено, що оптимальне
значення збуреної задачi близьке до оптимального значення вiдповiдної задачi з усередненими коефiцiєнтами.
Вступ. Починаючи з пiонерських робiт М. М. Боголюбова [1, 2] iдея усереднення широко
поширена в теорiї диференцiальних рiвнянь та їх застосувань [3, 4], включаючи задачi опти-
мального керування [5, 6]. Основним iнструментом є вiдповiдна адаптацiя теореми Красносель-
ського – Крейна. У цiй статтi отримано деякi результати щодо усереднення задачi оптимального
керування для нелiнiйного параболiчного рiвняння зi швидко коливними за часом коефiцiєнта-
ми та коерцитивним функцiоналом якостi. Варто зазначити, що iснує багато робiт, присвячених
наближеним оптимальним керуванням для параболiчних рiвнянь зi швидко коливними за про-
сторовою змiнною коефiцiєнтами [7 – 9]. Ми розглядаємо коефiцiєнти вигляду f(t/\varepsilon , y), де
y = y(t, x) — шукана функцiя, \varepsilon > 0 — малий параметр.
Постановка задачi. В цилiндрi QT = (0, T )\times \Omega , де \Omega \subset Rn — обмежена область, розгля-
немо задачу оптимального керування
\partial y(t, x)
\partial t
= \Delta y(t, x) + f(t/\varepsilon , y(t, x)) + g(y(t, x))u(t, x),
y| \partial \Omega = 0, (1)
y| t=0 = y0(x),
u \in U \subseteq L2(QT ), (2)
J(y, u) =
\int
\Omega
q(x, y(T, x))dx+
\int
QT
u2(t, x)dtdx\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}, (3)
де f : R+ \times R \rightarrow R, g : R \rightarrow R — неперервнi функцiї, до того ж для деяких додатних сталих
Ci, i = 1, 2, 3, та функцiй K1 \in L2(\Omega ), K2 \in L1(\Omega ) виконуються такi умови:
| f(t, y)| \leq C1(1 + | y| ) \forall t \geq 0 \forall y \in R, (4)
| g(y)| \leq C2 \forall y \in R, (5)
* Виконано за фiнансової пiдтримки Нацiонального фонду дослiджень України (проєкт Ф81/41743) та державної
бюджетної теми № 21БФО38-01.
c\bigcirc О. В. КАПУСТЯН, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Д. ФАРТУШНИЙ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7 973
974 О. В. КАПУСТЯН, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Д. ФАРТУШНИЙ
U замкнена та опукла, 0 \in U, (6)
q : \Omega \times R\rightarrow R — функцiя Каратеодорi,
| q(x, \xi )| \leq C3| \xi | +K1(x), q(x, \xi ) \geq K2(x). (7)
Ми доведемо, що за припущень (4) – (7) задача оптимального керування (1) – (3) має розв’язок
\{ y\varepsilon , u\varepsilon \} , де y\varepsilon — слабкий розв’язок рiвняння (1) з керуванням u = u\varepsilon . При цьому умови (4) – (7)
не гарантують єдиностi такого розв’язку.
Далi, припустимо що рiвномiрно по y \in R iснує границя
\=f(y) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
f(s, y)ds. (8)
Основним результатом статтi є встановлення збiжностi
J (y\varepsilon , u\varepsilon )\rightarrow J (\=y, \=u), \varepsilon \rightarrow 0, (9)
де \{ \=y, \=u\} — оптимальний процес у задачi (1) – (3) з усередненою функцiєю \=f.
Основнi результати. Для u \in L2(QT ), y0 \in L2(\Omega ) будемо розглядати розв’язок рiвняння
(1) у слабкому сенсi, тобто y \in L2
\bigl(
0, T ;H1
0 (\Omega )
\bigr)
\cap L\infty \bigl(
0, T ;L2(\Omega )
\bigr)
такий, що
\forall \varphi \in H1
0 (\Omega ) \forall \eta \in C\infty
0 (0, T ) :
-
T\int
0
(y, \varphi )\eta \prime +
T\int
0
(\nabla y,\nabla \varphi )\eta =
T\int
0
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon
, y
\biggr)
, \varphi
\biggr)
\eta +
T\int
0
(g(y)u, \varphi )\eta . (10)
Тут i далi через \| \cdot \| i (\cdot , \cdot ) позначено норму i скалярний добуток в L2(\Omega ).
З умови (4) маємо включення
\partial y
\partial t
\in L2
\bigl(
0, T ;H - 1(\Omega )
\bigr)
, яке означає, що кожен розв’язок
рiвняння (1) є абсолютно неперервною функцiєю з [0, T ] в L2(\Omega ), i (10) еквiвалентна рiвностi
d
dt
(y, \varphi ) + (\nabla y,\nabla \varphi ) =
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon
, y
\biggr)
, \varphi
\biggr)
+ (g(y)u, \varphi ) для майже всiх t \in (0, T ). (11)
Вiдомо [10, 11], що для будь-якого y0 \in L2(\Omega ) iснує принаймнi один слабкий розв’язок рiв-
няння (1) з y(0, x) = y0(x). Крiм того, справедливою є оцiнка: для майже всiх t \in (0, T )
d
dt
\| y(t)\| 2 + \| \nabla y(t)\| 2 \leq C4
\bigl(
1 + \| y(t)\| 2 + \| u(t)\| 2
\bigr)
, (12)
\| y(t)\| \leq C5 (1 + \| y0\| + \| u\| QT
) \forall t \in [0, T ], (13)
де ми позначили
\| u\| QT
:=
\int
QT
u2(t, x) dt dx.
Лема 1. За умов (4) – (7) задача (1) – (3) для кожного \varepsilon > 0 має принаймнi один роз-
в’язок \{ y\varepsilon , u\varepsilon \} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 975
Доведення. Розглянемо мiнiмiзуючу послiдовнiсть \{ un, yn\} . Вiдповiдно до (7) послiдов-
нiсть \{ un\} обмежена в L2(QT ), а отже, по пiдпослiдовностi
un \rightarrow u слабко в L2(QT ).
Тодi з (12), (13) виводимо, що
\{ yn\} обмежена в L\infty \bigl(
0, T ;L2(\Omega )
\bigr)
\cap L2
\bigl(
0, T ;H1
0 (\Omega )
\bigr)
,\biggl\{
\partial yn
\partial t
\biggr\}
обмежена в L2
\bigl(
0, T ;H - 1(\Omega )
\bigr)
. (14)
Отже, з леми про компактнiсть [11] маємо
yn \rightarrow y в L2
\bigl(
0, T ;L2(\Omega )
\bigr)
та майже скрiзь в QT . (15)
Використовуючи теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, переходимо до границi в рiвнос-
тi (10), записанiй для yn, i отримуємо, що y є розв’язком рiвняння (1) з керуванням u. Пiсля цьо-
го стандартнi мiркування [12], пов’язанi зi слабкою напiвнеперервнiстю знизу i коерцитивнiстю
цiльового функцiонала J, дозволяють стверджувати, що \{ y, u\} є розв’язком задачi (1) – (3).
Лему доведено.
Тепер розглянемо усереднену задачу
\partial y
\partial t
= \Delta y + \=f(y) + g(y)u,
y| \partial \Omega = 0,
y| t=0 = y0,
(16)
u \in U \subseteq L2(QT ), (17)
J(y, u) =
\int
\Omega
q(x, y(T, x))dx+
\int
QT
u2(t, x)dtdx\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}, (18)
де неперервну функцiю \=f : R\rightarrow R визначено у (8).
Легко бачити, що \=f задовольняє (4), тому задача (16) – (18) має принаймнi один роз-
в’язок \{ \=y, \=u\} .
Теорема 1. Нехай виконуються умови (4) – (8) i, крiм того,
для будь-якого u \in U задача (16) має єдиний розв’язок, (19)
\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall t \geq 0 : | y - z| < \delta \Rightarrow | f(t, y) - f(t, z)| < \epsilon . (20)
Тодi
J (y\varepsilon , u\varepsilon )\rightarrow J (\=y, \=u) при \varepsilon \rightarrow 0. (21)
Доведення. Нехай \varepsilon n \rightarrow 0, \{ yn, un\} := \{ y\varepsilon n, u\varepsilon n\} — оптимальний процес у задачi (1) – (3)
для \varepsilon = \varepsilon n. Завдяки (7) та оптимальностi \{ yn, uu\} отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
976 О. В. КАПУСТЯН, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Д. ФАРТУШНИЙ\int
\Omega
K2(x)dx+
\int
QT
u2n(t, x)dtdx \leq J(zn, 0) \leq C3
\int
\Omega
| zn(T, x)| 2dx+
\int
\Omega
K1(x)dx,
де zn — розв’язок рiвняння (1) з \varepsilon = \varepsilon n, u \equiv 0.
З оцiнки (13), застосованої до zn, виводимо, що \{ un\} обмежена в L2(QT ). Отже, ми можемо
повторити мiркування з доведення леми 1 i зробити висновок про те, що для деякого \{ \=y, \=u\} по
пiдпослiдовностi
un \rightarrow \=u слабко в L2(QT ),
yn \rightarrow \=y в L2
\bigl(
0, T ;L2(\Omega )
\bigr)
i майже скрiзь в QT . (22)
Доведемо, що \{ \=y, \=u\} задовольняє (16).
З теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть отримуємо
g(yn) \rightarrow g(\=y) в L2(QT ). (23)
З (14) одержуємо, що
yn \rightarrow \=y слабко в L2
\bigl(
0, T ;H1
0 (\Omega )
\bigr)
. (24)
Покажемо, що для будь-якого \varphi \in H1
0 (\Omega )\int
QT
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yn(t, x)
\biggr)
\varphi (x) dt dx\rightarrow
\int
QT
\=f(\=y(t, x))\varphi (x) dt dx. (25)
Спочатку зауважимо, що з (8), умови (4) та теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть для
будь-яких 0 < a < b, \psi \in L2(\Omega )
b\int
a
\int
\Omega
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, \psi (x)
\biggr)
- \=f(\psi (x))
\biggr)
\varphi (x) dx dt\rightarrow 0, n\rightarrow \infty . (26)
Далi, з (22) та теореми Єгорова маємо, що для кожного \delta > 0 iснує таке Q\delta
1 \subset QT , що
\mu
\bigl(
Q\delta
1
\bigr)
< \delta i
yn \rightarrow \=y рiвномiрно на QT \setminus Q\delta
1, n\rightarrow \infty . (27)
Оскiльки \=y \in L2
\bigl(
0, T ;L2(\Omega )
\bigr)
, то iснує послiдовнiсть кусково-сталих функцiй
yM (t, x) =
M\sum
k=1
yMk (x)\chi AM
k
(t),
де
\bigl\{
yMk
\bigr\}
\subset L2(\Omega ),
\bigl\{
AM
k =
\bigl(
aMk , b
M
k
\bigr) \bigr\}
— покриття (0, T ), така, що при M \rightarrow \infty
yM \rightarrow \=y в L2(QT ) i майже скрiзь в QT .
Крiм того, для кожного \delta > 0 iснує таке Q\delta
2 \subset QT , що \mu
\bigl(
Q\delta
2
\bigr)
< \delta i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 977
yM \rightarrow \=y рiвномiрно на QT \setminus Q\delta
2, M \rightarrow \infty ,
де \mu — мiра Лебега в R2.
Далi \int
QT
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yn(t, x)
\biggr)
\varphi (x) - \=f(\=y(t, x))
\biggr)
\varphi (x) dt dx =
=
\int
QT
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yn(t, x)
\biggr)
- f
\biggl(
t
\varepsilon n
, \=y(t, x)
\biggr) \biggr)
\varphi (x)dtdx+
+
\int
QT
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, \=y(t, x)
\biggr)
- \=f(\=y(t, x))
\biggr)
\varphi (x)dtdx =: I1 + I2,
I1 \leq
\int
QT
\setminus Q\delta
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f\biggl( t
\varepsilon n
, yn(t, x)
\biggr)
- f
\biggl(
t
\varepsilon n
, \=y(t, x)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | \varphi (x)| dt dx+
+
\int
Q\delta
1
C1 (2 + | yn(t, x)| + | \=y(t, x)| ) | \varphi (x)| dt dx =: I
(1)
1 + I
(2)
1 .
З (13) маємо
\| yn\| QT
+ \| \=y\| QT
\leq C6. (28)
Далi з (28) i нерiвностi Гельдера отримуємо
\forall \delta > 0 \forall n \geq 1 : I
(2)
1 \leq C7 \cdot \delta
1
2 .
З умови (20) виводимо, що для будь-якого \varepsilon > 0 iснує \lambda > 0 таке, що
\forall t \in [0, T ] \forall n \geq 1 \forall \xi , z, | \xi - z| < \lambda :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f\biggl( t
\varepsilon n
, \xi
\biggr)
- f
\biggl(
t
\varepsilon n
, z
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon .
Отже, з (27) випливає, що
\forall \delta > 0 \exists N1 \forall n \geq N1 : I(1)1 \leq \delta .
Для кожної функцiї yM (t, x) з (26) маємо\int
QT
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yM (t, x)
\biggr)
- \=f
\bigl(
yM (t, x)
\bigr) \biggr)
\varphi (x) dt dx =
=
M\sum
k=1
\int
AM
k
\int
\Omega
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yMk (x)
\biggr)
- \=f
\bigl(
yMk (x)
\bigr) \biggr)
\varphi (x)dxdt\rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
978 О. В. КАПУСТЯН, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Д. ФАРТУШНИЙ
\forall M \geq 1 \exists N(M) \forall n \geq N(M) :\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
QT
\biggl(
f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yM (t, x)
\biggr)
- \=f(yM (t, x))
\biggr)
\varphi (x) dt dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta .
Далi, згiдно з (20) iснує таке M0, що\int
QT /Q\delta
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f\biggl( t
\varepsilon n
, \=y(t, x)
\biggr)
- f
\biggl(
t
\varepsilon n
, yM (t, x)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | \varphi (x)| dt dx < \delta ,
\int
QT \setminus Q\delta
2
\bigm| \bigm| \=f (\=y(t, x)) - \=f
\bigl(
yM (t, x)
\bigr) \bigm| \bigm| | \varphi (x)| dt dx < \delta \forall M \geq M0 \forall n \geq 1.
Таким чином, для M \geq M0 i n \geq N(M) отримуємо
I2 \leq
\int
Q\delta
2
2C1(1 + | \=y(t, x)| )| \varphi (x)| dxdt+ 3\delta \leq C8\delta
1
2 + 3\delta .
Об’єднуючи всi цi нерiвностi, отримуємо (25).
Нерiвностi (22) – (25) дають можливiсть перейти до границi в рiвностi (11), зiнтегрованiй
вiд 0 до T, й одержати необхiдний результат про те, що \=y є слабким розв’язком рiвняння (16)
з керуванням \=u.
Доведемо, що \{ \=y, \=u\} — оптимальний процес у задачi (16) – (18).
Для кожного u \in U i вiдповiдного розв’язку yn рiвняння (1) маємо
J (y\varepsilon n , u\varepsilon n)\leq J(yn, u).
Мiркуючи так само, як i при доведеннi леми 1, отримуємо, що по пiдпослiдовностi
yn \rightarrow y у сенсi (14), (15)
i y згiдно з (20) є єдиним розв’язком рiвняння (16) для вiдповiдного керування u.
Пiсля переходу до границi одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} J (y\varepsilon n , u\varepsilon n)\geq J(\=y, \=u),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} J(y\varepsilon n , u\varepsilon n) \leq J(y, u).
(29)
Отже, \{ \=y, \=u\} є оптимальним процесом у задачi (16) – (18).
Якщо ми покладемо u = \=u у попереднiх мiркуваннях, то з (29) отримаємо
J (\=y, \=u)\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} J (y\varepsilon n , u\varepsilon n)\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} J (y\varepsilon n , u\varepsilon n)\leq J (\=y, \=u) .
З цих нерiвностей випливає (9).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 979
Лiтература
1. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Наука,
Москва (1963).
2. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике, Наук. думка, Киев (1969).
3. A. M. Samoilenko, A. N. Stanzhitskii, On averaging differential equations on an infinite interval, Differents.
Uravneniya, 42, № 4, 476 – 482 (2006).
4. J. A. Sanders, F. Verhulst, Averaging methods in nonlinear dynamical systems, Springer, New York (1985).
5. T. V. Nosenko, O. M. Stanzhyts’kyi, Averaging method in some problems of optimal control, Nonlinear Oscillations,
11, № 4, 539 – 547 (2008).
6. O. Kichmarenko, O. Stanzhytskyi, Sufficient conditions for the existence of optimal controls for some classes of
functional-differential gathers, Nonlinear Dyn. and Syst. Theory, 18, № 2, 196 – 211 (2018).
7. О. А. Капустян, А. В. Сукретна, Наближений усереднений синтез в задачi оптимального керування для
параболiчного рiвняння, Укр. мат. журн., 56, № 10, 1653 – 1664 (2004).
8. O. V. Kapustyan, O. A. Kapustian, A. V. Sukretna, Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value
problem, Ukr. Math. J., 63, № 5, 759 – 767 (2011).
9. O. G. Nakonechnyi, O. A. Kapustian, A. O. Chikrii, Approximate guaranteed mean square estimates of functionals on
solutions of parabolic problems with fast oscillating coefficients under nonlinear observations, Cybernet. and System
Anal., 55, № 5, 785 – 795 (2019).
10. O. V. Kapustyan, P. O. Kasyanov, J. Valero, Structure of the global attractor for weak solutions of a reaction-diffusion
equation, Appl. Math. Inf. Sci., 9, 2257 – 2264 (2015).
11. V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik, Attractors of equations of mathematical physics, Amer. Math. Soc. (2002).
12. Ж.-Л. Лионс, Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными,
Мир, Москва (1972).
Одержано 29.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7016 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:09Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8a/d52cf372f7f502e34feb78ddc1037e8a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70162022-10-24T09:23:13Z Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation Метод усреднения в задаче оптимального управления для возмущенного параболического уравнения Метод усереднення в задачі оптимального керування для збуреного параболічного рівняння Kapustyan , O. V. Stanzhytskyi , O. M. Fartushny , I. D. Капустян, О. В. Станжицький, О. М. Фартушний, I. Д. оптимальне керування усереднення параболічне рівняння optimal control averaging parabolic equation UDC 517.9 We consider the optimal control problem formed by a parabolic nonlinear equation with rapidly oscillating coefficients, an additive control function, and coercive cost functional. It is proved that the optimal value of the perturbed problem is close to the optimal value for the corresponding problem with averaged coefficients. Рассматривается задача оптимального управления, состоящая из параболического нелинейного уравнения с быстро осциллирующими коеффициентами и аддитивным управлением, и коерцитивным функционалом стоимости. Доказано, что оптимальное значение возмущенной задачи близко к оптимальному значению соответствующей задачи с усредненными коеффициентами. УДК 517.9Розглядається задача оптимального керування, що складається з параболiчного нелiнiйного рiвняння з швидко коливними коефiцiєнтами й адитивним керуванням та коерцитивним функцiоналом вартостi. Доведено, що оптимальне значення збуреної задачi близьке до оптимального значення вiдповiдної задачi з усередненими коефiцiєнтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7016 10.37863/umzh.v74i7.7016 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 973 - 979 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 973 - 979 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7016/9279 Copyright (c) 2022 Олексій Капустян |
| spellingShingle | Kapustyan , O. V. Stanzhytskyi , O. M. Fartushny , I. D. Капустян, О. В. Станжицький, О. М. Фартушний, I. Д. Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title | Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title_alt | Метод усреднения в задаче оптимального управления для возмущенного параболического уравнения Метод усереднення в задачі оптимального керування для збуреного параболічного рівняння |
| title_full | Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title_fullStr | Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title_full_unstemmed | Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title_short | Averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| title_sort | averaging method in the problem of optimal control for a perturbed parabolic equation |
| topic_facet | оптимальне керування усереднення параболічне рівняння optimal control averaging parabolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7016 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanov averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT stanzhytskyiom averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT fartushnyid averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT kapustânov averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT stanžicʹkijom averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT fartušnijid averagingmethodintheproblemofoptimalcontrolforaperturbedparabolicequation AT kapustyanov metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT stanzhytskyiom metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT fartushnyid metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT kapustânov metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT stanžicʹkijom metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT fartušnijid metodusredneniâvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâvozmuŝennogoparaboličeskogouravneniâ AT kapustyanov metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ AT stanzhytskyiom metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ AT fartushnyid metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ AT kapustânov metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ AT stanžicʹkijom metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ AT fartušnijid metoduserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâdlâzburenogoparabolíčnogorívnânnâ |