On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions
UDC 517.524For the corresponding two-dimensional continued fractions with complex partial numerators belonging to some subsets of the Cartesian product of two angular sets in the right half-plane and partial denominators equal to one, we establish sufficient conditions of uniform convergence and an...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7031 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512588454952960 |
|---|---|
| author | Antonova, T. M. Sus', O. M. Vozna, S. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. Возна, С. М. |
| author_facet | Antonova, T. M. Sus', O. M. Vozna, S. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. Возна, С. М. |
| author_sort | Antonova, T. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.524For the corresponding two-dimensional continued fractions with complex partial numerators belonging to some subsets of the Cartesian product of two angular sets in the right half-plane and partial denominators equal to one, we establish sufficient conditions of uniform convergence and an estimation of the truncation error using an analogue of the method of fundamental inequalities, formulas for real and imagine parts of tails of figured approximants and a multidimensional analogue of the Stieltjes-Vitali theorem. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7031 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7031
УДК 517.524
Т. М. Антонова (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”),
О. М. Сусь (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
С. М. Возна (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ
ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБIВ
For the corresponding two-dimensional continued fractions with complex partial numerators belonging to some subsets
of the Cartesian product of two angular sets in the right half-plane and partial denominators equal to one, we establish
sufficient conditions of uniform convergence and an estimation of the truncation error using an analogue of the method
of fundamental inequalities, formulas for real and imagine parts of tails of figured approximants and a multidimensional
analogue of the Stieltjes – Vitali theorem.
Для вiдповiдних двовимiрних неперервних дробiв з комплексними частинними чисельниками, якi належать деяким
пiдмножинам декартового добутку двох кутових множин правої пiвплощини, та частинними знаменниками, рiвними
одиницi, встановлено достатнi умови рiвномiрної збiжностi та оцiнку похибки наближення їхнiх значень фiгурними
пiдхiдними дробами за допомогою одного з аналогiв методу фундаментальних нерiвностей, формул для дiйсних i
уявних частин залишкiв фiгурних пiдхiдних дробiв та багатовимiрного аналога теореми Стiльтьєса – Вiталi.
1. Вступ. Oдним iз найпоширенiших методiв розвинення аналiтичних функцiй багатьох змiн-
них у гiллястi ланцюговi дроби (дискретнi багатовимiрнi узагальнення неперервних дробiв) є
побудова дробiв, вiдповiдних до заданих формальних кратних степеневих рядiв [9, 12, 15 –
19, 23, 24, 29, 30]. Питання вiдповiдностi мiж формальним степеневим рядом i послiдовнiстю
голоморфних функцiй однiєї змiнної, зокрема послiдовнiстю наближень неперервного функ-
цiонального дробу, розглянуто у [27], а вiдповiдностi мiж формальним кратним степеневим
рядом i послiдовнiстю наближень деяких узагальнень неперервних дробiв — у [19, 24, 26].
Зауважимо, що вiдповiднi гiллястi ланцюговi дроби будуються неоднозначно. Зокрема, iснують
рiзнi конструкцiї гiллястих ланцюгових дробiв, вiдповiдних до заданого формального подвiй-
ного степеневого ряду [18, 29, 30]. Гiллястi ланцюговi дроби, запропонованi у [18, 29], пiзнiше
стали називати двовимiрними неперервними дробами (ДНД).
Для застосувань неперервних дробiв та їхнiх багатовимiрних узагальнень важливе значення
має їх збiжнiсть [2, 9 – 11, 25]. Питання поточкової збiжностi ДНД (1) зводиться до дослiдження
збiжностi числового ДНД, у який перетворюється функцiональний ДНД при фiксованих зна-
ченнях змiнних. Методику дослiдження збiжностi числових ДНД (1), елементи яких належать
круговим, кутовим, параболiчним, спарованим областям комплексної площини, а також кри-
волiнiйним трапецiям, описано у [6 – 9, 19]. Питання збiжностi одного класу функцiональних
ДНД, а саме двовимiрних неперервних g-дробiв, у деяких областях простору \BbbC 2, розглянуто у
[13, 14, 19, 28]. Дослiдження збiжностi функцiональних ДНД у iнших областях є актуальною
задачею.
Розглянемо ДНД
a0,0 +\Phi 0(z) +
\infty
D
k=1
ak,k(z)
1 + \Phi k(z)
, \Phi l(z) =
\infty
D
j=1
al+j,l(z)
1
+
\infty
D
j=1
al,l+j(z)
1
, l = 0, 1, . . . , (1)
c\bigcirc Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4 443
444 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
де z = (z1, z2) \in \BbbC 2,
aj,j(z) = cj,jz1z2, ak+j,k(z) = ck+j,kz1, ak,k+j(z) = ck,k+jz2, (2)
k = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . ,
a a0,0, cj,k, j, k = 0, 1, . . . , j + k \geq 1, — комплекснi сталi.
Наближення, одержане iз задачi вiдповiдностi (n-те фiгурне наближення або n-й фiгурний
пiдхiдний дрiб), має вигляд
f1(z) = a0,0 +\Phi
(1)
0 (z), fn(z) = a0,0 +\Phi
(n)
0 (z) +
[n/2]
D
k=1
ak,k(z)
1 + \Phi
(n - 2k)
k (z)
, n = 2, 3, . . . , (3)
\Phi
(0)
l (z) = 0, \Phi
(p)
l (z) =
p
D
j=1
al+j,l(z)
1
+
p
D
j=1
al,l+j(z)
1
, l = 0, 1, . . . , p = 1, 2, . . . , (4)
де [\alpha ] — цiла частина дiйсного числа \alpha .
Означення 1. ДНД (1) називається збiжним, якщо, починаючи з деякого номера n0, всi
його наближення мають сенс i iснує скiнченна границя f(z) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty fn(z). Значення цiєї
границi вважається значенням ДНД . Рiзниця f(z) - fn(z) називається похибкою наближення
значення ДНД n-м фiгурним пiдхiдним дробом, n \geq 1.
Означення 2. Говорять, що функцiональний ДНД (1) рiвномiрно збiгається на компактнiй
пiдмножинi K з областi D \subset \BbbC 2, якщо, починаючи з деякого номера n(K), його наближення
fk(z), k \geq n(K), для всiх z з деякої областi, яка мiстить K, мають сенс i скiнченнi, а для
довiльного \varepsilon > 0 iснує такий номер n\varepsilon > n(K), що для всiх n,m \geq n\varepsilon i z \in K виконується
нерiвнiсть | fn(z) - fm(z)| < \varepsilon .
Одним iз методiв дослiдження збiжностi, який дозволяє оцiнювати похибки наближень
багатовимiрних аналогiв неперервних дробiв, є метод фундаментальних нерiвностей [1, 3, 9].
Приклади його застосування описано в роботах [1, 4, 5, 22].
Аналоги методу фундаментальних нерiвностей також встановленi i для ДНД (1) [19 – 21].
Важливою складовою цього методу є оцiнки так званих залишкiв.
Вирази вигляду
Q
(0)
j (z) = 1, Q
(1)
j (z) = 1 + \Phi
(1)
j (z), Q
(p+2)
j (z) = 1 + \Phi
(p+2)
j (z) +
aj+1,j+1(z)
Q
(p)
j+1(z)
, (5)
j = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . ,
Q
(0)
k+j,k(z) = Q
(0)
k,k+j(z) = 1, Q
(p+1)
k+j,k(z) = 1 +
ak+j+1,k(z)
Q
(p)
k+j+1,k(z)
, Q
(p+1)
k,k+j = 1 +
ak,k+j+1(z)
Q
(p)
k,k+j+1(z)
, (6)
j = 1, 2, . . . , k, p = 0, 1, . . . ,
називають залишками ДНД (1).
Враховуючи формули (3) – (6), маємо
\Phi
(p)
k (z) =
ak+1,k(z)
Q
(p - 1)
k+1,k(z)
+
ak,k+1(z)
Q
(p - 1)
k,k+1(z)
, k = 0, 1, . . . , p = 1, 2, . . . , (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 445
f1(z) = a0,0 +\Phi
(1)
0 (z), fn(z) = a0,0 +\Phi
(n)
0 (z) +
a1,1(z)
Q
(n - 2)
1 (z)
, n = 2, 3, . . . . (8)
Для доведення збiжностi та знаходження оцiнки швидкостi збiжностi ДНД, що розгляда-
ються у данiй роботi, застосовано один з аналогiв методу фундаментальних нерiвностей для
фiгурних наближень вигляду (3), (4) та встановленi у роботi [20] формули для дiйсних та уяв-
них частин залишкiв фiгурних наближень ДНД. Така методика застосована при дослiдженнi
збiжностi вiдповiдних гiллястих ланцюгових дробiв iнших конструкцiй [2, 4].
2. Один аналог методу фундаментальних нерiвностей. Доведемо допомiжну теорему
(один з аналогiв методу фундаментальних нерiвностей), яку використовуватимемо для об-
ґрунтування основних результатiв. З метою скорочення запису не будемо наголошувати на
залежностi елементiв ДНД (1) вiд z.
Теорема 1. Нехай для залишкiв ДНД (1) виконуються нерiвностi
Q
(p)
i+k,i \not = 0, Q
(p)
i,i+k \not = 0, Q
(p)
k \not = 0, i = 0, 1, . . . , k, p = 1, 2, . . . , (9)
та iснують такi додатнi сталi M, M1,0, M0,1, H1, H2, \rho , \rho 1, \rho 2, \rho < 1, \rho 1 < 1, \rho 2 < 1, що
| a1,0| \bigm| \bigm| Q(p)
1,0
\bigm| \bigm| \leq M1,0,
| a0,1| \bigm| \bigm| Q(p)
0,1
\bigm| \bigm| \leq M0,1,
| a1,1|
| Q(p)
1 |
\leq M, p = 0, 1, . . . , (10)
| ak+1,k|
| Q(p+1)
k Q
(p)
k+1,k|
\leq H1,
| ak,k+1|
| Q(p+1)
k Q
(p)
k,k+1|
\leq H2, p = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . . , (11)
| ak+j+1,k|
| Q(m+1)
k+j,k Q
(m)
k+j+1,k|
\leq \rho 1,
| ak,k+j+1|
| Q(m+1)
k,k+j Q
(m)
k,k+j+1|
\leq \rho 2, k,m = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . , (12)
| aj+1,j+1|
| Q(p+2)
j Q
(p)
j+1|
\leq \rho , j = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . . (13)
Тодi ДНД (1) збiгається до значення f i для похибки наближення його m-м фiгурним пiдхiдним
дробом fm, m \geq 2, справджується оцiнка
| f - fm| \leq M1,0(\rho 1)
m +M0,1(\rho 2)
m +M\rho [m/2] +MH1S1,m +MH2S2,m, (14)
де
Si,m =
\left\{
(\rho i)
m - 2[m/2][m/2](\delta i)
[m/2 - 1], якщо \delta i = \~\delta i,
(\rho i)
m - 2[m/2] (\delta i)
[m/2] - (\~\delta i)
[m/2]
\delta i - \~\delta i
, якщо \delta i > \~\delta i,
i = 1, 2, m = 2, 3, . . . , (15)
\delta i = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
(\rho i)
2, \rho
\bigr)
, \~\delta i = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
(\rho i)
2, \rho
\bigr)
, i = 1, 2. (16)
Доведення. Щоб довести збiжнiсть послiдовностi пiдхiдних дробiв \{ fn\} , n = 1, 2, . . . , i
правильнiсть нерiвностi (14), використаємо формулу рiзницi мiж фiгурними пiдхiдними дро-
бами вигляду (3) ДНД (1) [9]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
446 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
fn - fm =
[m/2]\sum
k=0
(\Phi
(n - 2k)
k - \Phi
(m - 2k)
k )
\prod k
j=1
( - aj,j)\prod k
j=1
Q
(n - 2j)
j Q
(m - 2j)
j
-
\prod [m/2]+1
j=1
( - aj,j)\prod [m/2]+1
j=1
Q
(n - 2j)
j
\prod [m/2]
j=1
Q
(m - 2j)
j
, (17)
n > m+ 1, m = 2, 3, . . . .
Покажемо, що
| fn - fm| \leq M1,0(\rho 1)
m +M0,1(\rho 2)
m +M\rho [m/2] +MH1S1,m +MH2S2,m, (18)
m \geq 2, n > m+ 1,
де S1,m, S2,m визначаємо згiдно з формулами (15), (16).
Для m = 2p, p = 1, 2, . . . , з формули (17) отримуємо
| fn - f2p| \leq
\bigm| \bigm| \Phi (n)
0 - \Phi
(2p)
0
\bigm| \bigm| + p\sum
k=1
\bigm| \bigm| \Phi (n - 2k)
k - \Phi
(2p - 2k)
k
\bigm| \bigm| \prod k
j=1
| aj,j | \prod k
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j Q
(2p - 2j)
j
\bigm| \bigm| +
+
\prod p+1
j=1
| aj,j | \prod p+1
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \prod p
j=1
\bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j
\bigm| \bigm| . (19)
З формул (4) випливає, що \bigm| \bigm| \bigm| \Phi (n - 2k)
k - \Phi
(2p - 2k)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , 0 \leq k \leq p.
Використовуючи формули (7) та умови (9) – (12), одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\prod 2p - 2k+1
j=1
| ak+j,k| \prod 2p - 2k+1
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2k - j)
k+j,k
\bigm| \bigm| \prod 2p - 2k
j=1
\bigm| \bigm| Q(2p - 2k - j)
k+j,k
\bigm| \bigm| =
=
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k - 1)
k+1,k
\bigm| \bigm|
p - k\prod
j=1
| ak+2j,k| \bigm| \bigm| Q(2p - 2k - 2j+1)
k+2j - 1,k Q
(2p - 2k - 2j)
k+2j,k
\bigm| \bigm|
p - k\prod
j=1
| ak+2j+1,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k - 2j)
k+2j,k Q
(n - 2k - 2j - 1)
k+2j+1,k
\bigm| \bigm| \leq
\leq
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k - 1)
k+1,k
\bigm| \bigm| (\rho 1)2p - 2k.
Аналогiчно \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | ak,k+1| \bigm| \bigm| Q(n - 2k - 1)
k,k+1
\bigm| \bigm| (\rho 2)2p - 2k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 447
Оцiнимо тепер добуток
\prod k
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| з урахуванням умов (10), (13).
При k = 2l, l \geq 1 :
2l\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| =
=
| a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1 Q
(n - 4l)
2l
\bigm| \bigm|
l\prod
j=1
| a2j,2j | \bigm| \bigm| Q(2p - 4j+2)
2j - 1 Q
(2p - 4j)
2j
\bigm| \bigm|
l - 1\prod
j=1
| a2j+1,2j+1| \bigm| \bigm| Q(n - 4j)
2j Q
(n - 4j - 2)
2j+1
\bigm| \bigm| \leq
\leq | a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1 Q
(n - 4l)
2l
\bigm| \bigm| \rho 2l - 1 =
| a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1 Q
(n - 2k)
k
\bigm| \bigm| \rho k - 1.
Тому \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j Q
(2p - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq
\leq | a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1
\bigm| \bigm| | ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k)
k Q
(n - 2k - 1)
k+1,k
\bigm| \bigm| (\rho 1)2p - 2k\rho k - 1 \leq MH1(\rho 1)
2p - 2k\rho k - 1.
При k = 2l - 1, l \geq 1 :
2l - 1\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| =
=
| a1,1| \bigm| \bigm| Q(2p - 2)
1 Q
(n - 4l+2)
2l - 1
\bigm| \bigm|
l - 1\prod
j=1
| a2j,2j | \bigm| \bigm| Q(n - 4j+2)
2j - 1 Q
(n - 4j)
2j
\bigm| \bigm|
l - 1\prod
j=1
| a2j+1,2j+1| \bigm| \bigm| Q(2p - 4j)
2j Q
(2p - 4j - 2)
2j+1
\bigm| \bigm| \leq
\leq | a1,1| \bigm| \bigm| Q(2p - 2)
1 Q
(n - 4l+2)
2l - 1
\bigm| \bigm| \rho 2l - 2 =
| a1,1| \bigm| \bigm| Q(2p - 2)
1 Q
(n - 2k)
k
\bigm| \bigm| \rho k - 1
i \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq
\leq | a1,1|
| Q(2p - 2)
1 |
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k)
k Q
(n - 2k - 1)
k+1,k
\bigm| \bigm| (\rho 1)2p - 2k\rho k - 1 \leq MH1(\rho 1)
2p - 2k\rho k - 1.
Отже,
p\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
448 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
\leq MH1
p\sum
k=1
(\rho 1)
2p - 2k\rho k - 1 = MH1S1,2p.
Аналогiчно отримуємо
p\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
-
2p - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq
\leq MH2
p\sum
k=1
(\rho 2)
2p - 2k\rho k - 1 = MH2S2,2p.
Крiм того, \bigm| \bigm| \Phi (n)
0 - \Phi
(2p)
0
\bigm| \bigm| \leq M1,0(\rho 1)
2p +M0,1(\rho 2)
2p,\prod p+1
j=1
| aj,j | \prod p+1
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \prod p
j=1
\bigm| \bigm| Q(2p - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq | a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1
\bigm| \bigm| \rho p \leq M\rho p.
Враховуючи встановленi вище оцiнки i нерiвнiсть (19), одержуємо
| fn - f2p| \leq M1,0(\rho 1)
2p +M0,1(\rho 2)
2p +M\rho p +MH1S1,2p +MH2S2,2p.
Оцiнку виразу | fn - fm| у випадку m = 2p+1, p = 1, 2, . . . , n > 2p+2, знаходимо за тiєю
ж схемою. Маємо
| fn - f2p+1| \leq
p\sum
k=0
\bigm| \bigm| \Phi (n - 2k)
k - \Phi
(2p - 2k+1)
k
\bigm| \bigm| \prod k
j=1
| aj,j | \prod k
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j Q
(2p - 2j+1)
j
\bigm| \bigm| +
\prod p+1
j=1 | aj,j | \prod p+1
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \prod p
j=1
\bigm| \bigm| Q(2p - 2j+1)
j
\bigm| \bigm| .
(20)
Знову використовуючи формули (7) та умови (9) – (12), отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k+1
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(2p - 2k)
k+1,k
\bigm| \bigm|
p - k+1\prod
j=1
| ak+2j,k| \bigm| \bigm| Q(n - 2k - 2j)
k+2j - 1,k Q
(n - 2k - 2j - 1)
k+2j,k
\bigm| \bigm|
p - k\prod
j=1
| ak+2j+1,k| \bigm| \bigm| Q(2p+1 - 2k - 2j)
k+2j,k Q
(2p - 2k - 2j)
k+2j+1,k
\bigm| \bigm| \leq
\leq
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(2p - 2k)
k+1,k
\bigm| \bigm| (\rho 1)2p - 2k+1,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
-
2p - 2k+1
D
j=1
ak,k+j
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | ak,k+1| \bigm| \bigm| Q(2p - 2k)
k,k+1
\bigm| \bigm| (\rho 2)2p - 2k+1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 449
а з урахуванням умов (10), (13) —
p\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak+j,k
1
-
2p - 2k+1
D
j=1
ak+j,k
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p+1 - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq
\leq MH1
p\sum
k=1
(\rho 1)
2p - 2k+1\rho k - 1 = MH1\rho 1
p\sum
k=1
(\rho 1)
2p - 2k\rho k - 1 = MH1S1,2p+1. (21)
Аналогiчно знаходимо
p\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2k
D
j=1
ak,k+j
1
-
2p - 2k+1
D
j=1
ak,k+j
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\prod
j=1
| aj,j | \bigm| \bigm| Q(2p+1 - 2j)
j Q
(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq MH2S2,2p+1. (22)
Беручи до уваги (20) – (22), а також нерiвностi
| \Phi (n)
0 - \Phi
(2p+1)
0 | \leq M1,0(\rho 1)
2p+1 +M0,1(\rho 2)
2p+1,\prod p+1
j=1
| aj,j | \prod p+1
j=1
\bigm| \bigm| Q(n - 2j)
j
\bigm| \bigm| \prod p
j=1
\bigm| \bigm| Q(2p+1 - 2j)
j
\bigm| \bigm| \leq | a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1
\bigm| \bigm| \rho p \leq M\rho p,
приходимо до висновку про виконання нерiвностi (18) для m = 2p+ 1.
Спрямовуючи у нерiвностi (18) m до нескiнченностi та враховуючи умови теореми 1,
робимо висновок про збiжнiсть ДНД (1), а при n \rightarrow \infty — про правильнiсть оцiнки (14) – (16)
наближення значення ДНД (1) його m-м пiдхiдним дробом.
3. Деякi достатнi умови рiвномiрної збiжностi вiдповiдних двовимiрних неперервних
дробiв. Розглянемо питання про збiжнiсть функцiонального ДНД (1), елементи якого визнача-
ються згiдно з (2).
Теорема 2. Нехай для елементiв ДНД (1), (2) виконуються умови
0 < cj,j \leq L, 0 < ck+j,k \leq L1, 0 < ck,k+j \leq L2, k = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . , (23)
де L,L1, L2 — додатнi сталi. Тодi:
1) у кожнiй точцi z iз множини
GK =
\Bigl\{
z \in \BbbC 2 : | zj | \leq Kj , 0 \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(zj) \leq
\pi
2
, j = 1, 2; \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1) + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z2) \leq
\pi
2
\Bigr\}
(24)
ДНД (1), (2) збiгається до функцiї f(z), причому
| f(z) - fm(z)| \leq c1,0K1(\rho 1)
m + c0,1K2(\rho 2)
m + c1,1K1K2
\Bigl(
\rho [m/2] + \rho 1S1,m + \rho 2S2,m
\Bigr)
, (25)
де fm(z) — значення m-го наближення ДНД (1), (2) у точцi z = (z1, z2),
\rho 1 =
L1K1\sqrt{}
1 + (L1)2(K1)2
, \rho 2 =
L2K2\sqrt{}
1 + (L2)2(K2)2
, \rho =
LK1K2\sqrt{}
1 + L2(K1)2(K2)2
, (26)
а S1,m, S2,m обчислюються згiдно з (15), (16);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
450 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
2) збiжнiсть буде рiвномiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi з \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}GK .
Доведення. Покажемо, що за умов (23) для всiх z \in GK справджуються нерiвностi (9) –
(13). Для цього розглянемо залишки (5), (6) ДНД (1), (2), i для оцiнювання їхнiх значень
скористаємось формулами для їх дiйсних i уявних частин [20].
Hехай
\varphi k,l = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak,l, u
(p)
k,l = \mathrm{R}\mathrm{e}Q
(p)
k,l , v
(p)
k,l = \mathrm{I}\mathrm{m}Q
(p)
k,l , k, l, p = 0, 1, . . . , k \not = l,
\varphi k,k = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak,k, u
(p)
k = \mathrm{R}\mathrm{e}Q
(p)
k , v
(p)
k = \mathrm{I}\mathrm{m}Q
(p)
k , k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Тодi для залишкiв (6) маємо
u
(p)
k+j,k = 1 +
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+j+r,k| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k+j+r,k
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl(
m\sum
l=1
( - 1)l - 1\varphi k+j+l,k
\Biggr)
, k = 0, 1, . . . , j, p = 1, 2, . . . ,
(27)
v
(p)
k+j,k =
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+j+r,k| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k+j+r,k
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl(
m\sum
l=1
( - 1)l - 1\varphi k+j+l,k
\Biggr)
, k = 0, 1, . . . , j, p = 1, 2, . . . , (28)
u
(p)
k,k+j = 1 +
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak,k+j+r| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k,k+j+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl(
m\sum
l=1
( - 1)l - 1\varphi k,k+j+l
\Biggr)
, k = 0, 1, . . . , j, p = 1, 2, . . . ,
(29)
v
(p)
k,k+j =
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak,k+j+r| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k,k+j+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl(
m\sum
l=1
( - 1)l - 1\varphi k,k+j+l
\Biggr)
, k = 0, 1, . . . , j, p = 1, 2, . . . . (30)
З формул (27) – (30) та формули (7) випливає, що
\mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(p)
k =
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+r,k| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k+r,k
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k
\right) +
+
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak,k+r| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k,k+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k,k+j
\right) , k, p = 1, 2, . . . , (31)
\mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(p)
k =
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+r,k| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k+r,k
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k
\right) +
+
p\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak,k+r| \bigm| \bigm| Q(p - r)
k,k+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k,k+j
\right) , k, p = 1, 2, . . . . (32)
Формули для дiйсної й уявної частин залишкiв (5) мають вигляд
u
(p)
k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(p)
k +
[p/2]\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+r,k+r| \bigm| \bigm| Q(p - 2r)
k+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j
\right) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 451
+
[(p - 1)/2]\sum
l=1
l\prod
q=1
| ak+q,k+q| \bigm| \bigm| Q(p - 2q)
k+q
\bigm| \bigm| 2
p - 2l\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+l+r,k+l| \bigm| \bigm| Q(p - 2l - r)
k+l+r,k+l
\bigm| \bigm| 2\times
\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k+j+l,k+l
\right) +
+
[(p - 1)/2]\sum
l=1
l\prod
q=1
| ak+q,k+q| \bigm| \bigm| Q(p - 2q)
k+q
\bigm| \bigm| 2
p - 2l\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+l,k+l+r| \bigm| \bigm| Q(p - 2l - r)
k+l,k+l+r
\bigm| \bigm| 2\times
\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k+l,k+j+l
\right) , k, p = 1, 2, . . . , (33)
v
(p)
k = \mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(p)
k +
[p/2]\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+r,k+r| \bigm| \bigm| Q(p - 2r)
k+r
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left( m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j
\right) +
+
[(p - 1)/2]\sum
l=1
l\prod
q=1
| ak+q,k+q| \bigm| \bigm| Q(p - 2q)
k+q
\bigm| \bigm| 2
p - 2l\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+l+r,k+l| \bigm| \bigm| Q(p - 2l - r)
k+l+r,k+l
\bigm| \bigm| 2\times
\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left( l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k+j+l,k+l
\right) +
+
[(p - 1)/2]\sum
l=1
l\prod
q=1
| ak+q,k+q| \bigm| \bigm| Q(p - 2q)
k+q
\bigm| \bigm| 2
p - 2l\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+l,k+l+r| \bigm| \bigm| Q(p - 2l - r)
k+l,k+l+r
\bigm| \bigm| 2\times
\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left( l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k+l,k+j+l
\right) , k, p = 1, 2, . . . . (34)
Зрозумiло, що формули (27) – (34) виведено за припущення, що всi залишки у знаменниках
виразiв iз правих частин цих формул не дорiвнюють нулю. Покажемо, що це припущення
справджується за умов (23) i z \in GK . У цьому випадку
\varphi j,j = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, \varphi k+j,k = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1, \varphi k,k+j = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, k = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . ,
(35)
m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k =
\left\{ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1, якщо m = 2r + 1, r = 0, 1, . . . ,
0 в iншому випадку,
(36)
m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k,k+j =
\left\{ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r + 1, r = 0, 1, . . . ,
0 в iншому випадку,
(37)
m\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j =
\left\{ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r + 1, r = 0, 1, . . . ,
0 в iншому випадку,
(38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
452 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k+j,k =
=
\left\{
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r, l = 2q - 1, r, q = 1, 2, . . . ,
0, якщо m = 2r, l = 2q, r, q = 1, 2, . . . ,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r - 1, l = 2q - 1, r, q = 1, 2, . . . ,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1, якщо m = 2r - 1, l = 2q, r, q = 1, 2, . . . ,
(39)
l\sum
j=1
( - 1)j - 1\varphi k+j,k+j +
m\sum
j=1
( - 1)j+l - 1\varphi k,k+j =
=
\left\{
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r, l = 2q - 1, r, q = 1, 2, . . . ,
0, якщо m = 2r, l = 2q, r, q = 1, 2, . . . ,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1, якщо m = 2r - 1, l = 2q - 1, r, q = 1, 2, . . . ,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2, якщо m = 2r - 1, l = 2q, r, q = 1, 2, . . . .
(40)
Враховуючи формули (6), для довiльних j = 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . маємо Q
(0)
k+j,k = 1,
u
(1)
k+j,k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e} ak+j+1,k = 1 + | ak+j+1,k| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1) \geq 1,
тому
\bigm| \bigm| Q(p)
k+j,k
\bigm| \bigm| \geq 1, p = 0, 1, а формулa (27) правильнa для p = 2. Отже,
u
(2)
k+j,k = 1 +
2\sum
m=1
m\prod
r=1
| ak+j+r,k| \bigm| \bigm| Q(2 - r)
k+j+r,k
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl(
m\sum
l=1
( - 1)l - 1\varphi k+j+l,k
\Biggr)
\geq 1,
k = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . .
Звiдси випливає, що
\bigm| \bigm| Q(2)
k+j,k
\bigm| \bigm| \geq 1, а це означає, що формулу (27) можна застосувати i для
p = 3. Припускаючи, що
\bigm| \bigm| Q(p)
k+j,k
\bigm| \bigm| \geq 1, 0 \leq p \leq s, i беручи до уваги формулу (27) для p = s+1
i умови теореми, приходимо до висновку, що
\bigm| \bigm| Q(s+1)
k+j,k
\bigm| \bigm| \geq 1. Отже, за iндукцiєю\bigm| \bigm| Q(p)
k+j,k
\bigm| \bigm| \geq 1, j = 1, 2, . . . , k, p = 0, 1, . . . .
Аналогiчно можна переконатись у виконаннi нерiвностей
| Q(p)
k,k+j | \geq 1, j = 1, 2, . . . , k, p = 0, 1, . . . .
Розглянемо тепер залишки Q
(p)
k , k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . . За формулами (5) Q(0)
k = 1,
u
(1)
k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(1)
k = 1 + | ak+1,k| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1) + | ak,k+1| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2) \geq 1,
\bigm| \bigm| Q(1)
k
\bigm| \bigm| \geq 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 453
тому наведенi вище формули для дiйсних частин залишкiв Q
(2)
k , Q
(3)
k є коректними. Викори-
стовуючи формули (31) – (40), отримуємо
u
(2)
k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(2)
k +\mathrm{R}\mathrm{e} ak+1,k+1 = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(2)
k + | ak+1,k+1| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2) \geq 1,
u
(3)
k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(3)
k +
| ak+1,k+1| \bigm| \bigm| Q(1)
k+1
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2)+
+
| ak+1,k+1| \bigm| \bigm| Q(1)
k+1
\bigm| \bigm| 2
\left( | ak+2,k+1| \bigm| \bigm| Q(0)
k+2,k+1
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z2) + | ak+1,k+2| \bigm| \bigm| Q(0)
k+1,k+2
\bigm| \bigm| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z1)
\right) \geq 1, k = 1, 2, . . . ,
звiдки
\bigm| \bigm| Q(p)
k
\bigm| \bigm| \geq 1, k = 1, 2, . . . , p = 2, 3. Продовжуючи подiбнi мiркування, за iндукцiєю
переконуємося, що
\bigm| \bigm| Q(p)
k
\bigm| \bigm| \geq 1, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Отже, за умов (23) для всiх z iз множини (24) справджується умова (9), тобто всi залишки
ДНД (1), (2) не дорiвнюють нулю. Крiм того,
| a1,0| \bigm| \bigm| Q(p)
1,0
\bigm| \bigm| \leq c1,0K1,
| a0,1| \bigm| \bigm| Q(p)
0,1
\bigm| \bigm| \leq c0,1K2,
| a1,1| \bigm| \bigm| Q(p)
1
\bigm| \bigm| \leq c1,1K1K2, p = 0, 1, . . . ,
тобто виконується умова (10). З формул (27) – (40) випливає, що
u
(p)
i,j \geq 1, v
(p)
i,j \geq 0, i, j, p = 0, 1, . . . , i \not = j,
u
(p)
k \geq 1, v
(p)
k \geq 0, \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(p)
k \geq 0, \mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(p)
k \geq 0, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Враховуючи цi нерiвностi, одержуємо
u
(p+2)
k \geq 1 +
| ak+1,k+1| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 2 \Bigl(
u
(p)
k+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k+1 + v
(p)
k+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k+1
\Bigr)
, (41)
v
(p+2)
k \geq
| ak+1,k+1| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 2 \Bigl(
u
(p)
k+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k+1 - v
(p)
k+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k+1
\Bigr)
. (42)
З нерiвностей (41), (42) випливає, що\bigm| \bigm| Q(p+2)
k
\bigm| \bigm| 2 = \Bigl( u(p+2)
k
\Bigr) 2
+
\Bigl(
v
(p+2)
k
\Bigr) 2
\geq
\geq 1 + 2
| ak+1,k+1| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 2 \Bigl(
u
(p)
k+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k+1 + v
(p)
k+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k+1
\Bigr)
+
+
| ak+1,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 4 \Bigl(
u
(p)
k+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k+1 + v
(p)
k+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k+1
\Bigr) 2
+
+
| ak+1,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 4 \Bigl(
u
(p)
k+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k+1 - v
(p)
k+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k+1
\Bigr) 2
\geq 1 +
| ak+1,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 2 .
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
454 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
| ak+1,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p+2)
k
\bigm| \bigm| 2| Q(p)
k+1| 2
\leq
| ak+1,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1
\bigm| \bigm| 2 + | ak+1,k+1| 2
\leq
| ak+1,k+1| 2
1 + | ak+1,k+1| 2
\leq L2(K1)
2(K2)
2
1 + L2(K1)2(K2)2
= \rho 2,
тобто умови (13) виконуються.
Для перевiрки виконання нерiвностей (11) оцiнимо вирази
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(p+1)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| , | ak,k+1| \bigm| \bigm| Q(p+1)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Q(p)
k,k+1
\bigm| \bigm| , p = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . . .
Оскiльки
u
(1)
k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(1)
k , v
(1)
k = \mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(1)
k , u
(p)
k \geq 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(p)
k , v
(p)
k \geq \mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(p)
k ,
k = 1, 2, . . . , p = 2, 3, . . . ,
то для k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . маємо
u
(p+1)
k \geq 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}
ak+1,k
Q
(p)
k+1,k
+\mathrm{R}\mathrm{e}
ak,k+1
Q
(p)
k,k+1
\geq
\geq 1 +
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 \Bigl( u(p)k+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k + v
(p)
k+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k
\Bigr)
\geq 1,
v
(p+1)
k \geq \mathrm{I}\mathrm{m}
ak+1,k
Q
(p)
k+1,k
+ \mathrm{I}\mathrm{m}
ak,k+1
Q
(p)
k,k+1
\geq
\geq
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 \Bigl( u(p)k+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k - v
(p)
k+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k
\Bigr)
\geq 0.
Таким чином, \bigm| \bigm| Q(p+1)
k
\bigm| \bigm| 2 = \bigl( u(p+1)
k
\bigr) 2
+
\bigl(
v
(p+1)
k
\bigr) 2 \geq
\geq 1 + 2
| ak+1,k| \bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 \Bigl( u(p)k+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k + v
(p)
k+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k
\Bigr)
+
+
| ak+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 4 \Bigl( u(p)k+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k + v
(p)
k+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k
\Bigr) 2
+
+
| ak+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 4 \Bigl( u(p)k+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+1,k - v
(p)
k+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+1,k
\Bigr) 2
\geq 1 +
\bigm| \bigm| ak+1,k
\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 ,
тому
| ak+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(p+1)
k
\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 \leq
| ak+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k+1,k
\bigm| \bigm| 2 + \bigm| \bigm| ak+1,k
\bigm| \bigm| 2 \leq
| ak+1,k| 2
1 + | ak+1,k| 2
\leq (L1)
2(K1)
2
1 + (L1)2(K1)2
= (\rho 1)
2.
Аналогiчно можна показати, що
| ak,k+1| 2\bigm| \bigm| Q(p+1)
k
\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| Q(p)
k,k+1
\bigm| \bigm| 2 \leq (L2)
2(K2)
2
1 + (L2)2(K2)2
= (\rho 2)
2.
Отже, для ДНД (1), (2), елементи якого задовольняють умови теореми 2, виконуються
нерiвностi (11), де H1 = \rho 1, H2 = \rho 2. Нарештi, оцiнимо вирази
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 455
| ak+j+1,k| \bigm| \bigm| Q(m+1)
k+j,k Q
(m)
k+j+1,k
\bigm| \bigm| , | ak,k+j+1| \bigm| \bigm| Q(m+1)
k,k+j Q
(m)
k,k+j+1
\bigm| \bigm| , k,m = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . .
Враховуючи, що
u
(m+1)
k+j,k = 1 + \mathrm{R}\mathrm{e}
ak+j+1,k
Q
(m)
k+j+1,k
=
= 1 +
| ak+j+1,k| \bigm| \bigm| Qm
k+j+1,k
\bigm| \bigm| 2 \Bigl( u(m)
k+j+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+j+1,k + v
(m)
k+j+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+j+1,k
\Bigr)
,
v
(m+1)
k+j,k = \mathrm{I}\mathrm{m}
ak+j+1,k
Q
(m)
k+j+1,k
=
=
| ak+j+1,k| \bigm| \bigm| Qm
k+j+1,k
\bigm| \bigm| 2 \Bigl( u(m)
k+j+1,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k+j+1,k - v
(m)
k+j+1,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k+j+1,k
\Bigr)
,
за умов теореми для k,m = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . отримуємо
| Q(m+1)
k+j,k | 2 =
\Bigl(
u
(m+1)
k+j,k
\Bigr) 2
+
\Bigl(
v
(m+1)
k+j,k
\Bigr) 2
\geq 1 +
| ak+j+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(m)
k+j+1,k
\bigm| \bigm| 2 .
Звiдси випливає, що
| ak+j+1,k| 2\bigm| \bigm| Q(m+1)
k+j,k
\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| Q(m)
k+j+1,k
\bigm| \bigm| 2 \leq (L1)
2(K1)
2
1 + (L1)2(K1)2
= (\rho 1)
2, k,m = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . .
Так само
| ak,k+j+1| 2\bigm| \bigm| Q(m+1)
k,k+j
\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| Q(m)
k,k+j+1
\bigm| \bigm| 2 \leq (L2)
2(K2)
2
1 + (L2)2(K2)2
= (\rho 2)
2, k,m = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . .
Застосовуючи теорему 1, завершуємо доведення теореми 2.
Теорема 3. Нехай для елементiв ДНД (1), (2) виконуються умови (23), де L, L1, L2 —
додатнi сталi. Тодi:
1) у кожнiй точцi z = (z1, z2) iз множини
GK =
\Bigl\{
(z1, z2) \in \BbbC 2 : | zj | \leq Kj , - \pi
2
\leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(zj) \leq 0, j = 1, 2; - \pi
2
\leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1) + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z2)
\Bigr\}
ДНД (1), (2) збiгається до функцiї f(z) i справджується оцiнка (25), де \rho , \rho 1, \rho 2 визначаються
за формулами (26), а S1,m, S2,m — за формулами (15), (16);
2) збiжнiсть буде рiвномiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi з \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}GK .
Зауважимо, що у цьому випадку з формул (27) – (40) i умов теореми випливає, що
u
(p)
i,j \geq 1, v
(p)
i,j \leq 0, i, j, p = 0, 1, . . . , i \not = j,
u
(p)
k \geq 1, v
(p)
k \leq 0, \mathrm{R}\mathrm{e}\Phi
(p)
k \geq 0, \mathrm{I}\mathrm{m}\Phi
(p)
k \leq 0, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Далi доведення теореми 3 проводимо за тiєю ж схемою, що й доведення теореми 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
456 Т. М. АНТОНОВА, О. М. СУСЬ, С. М. ВОЗНА
Теорема 4. Нехай для елементiв ДНД (1), (2) виконуються умови (23), де L, L1, L2 —
додатнi сталi. Тодi ДНД (1), (2) збiгається до функцiї , голоморфної в областi
G =
\Bigl\{
(z1, z2) \in \BbbC 2 : | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(zj)| <
\pi
2
, j = 1, 2; | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1) + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z2)| <
\pi
2
\Bigr\}
,
причому збiжнiсть буде рiвномiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi G.
Доведення. Всi оцiнки дiйсних частин залишкiв, отриманi при доведеннi теореми 2, справ-
джуються i за умов теореми 4, тому
u
(p)
1 \geq 1, u
(p)
1,0 \geq 1, u
(p)
0,1 \geq 1, p = 0, 1, . . . , (43)
а отже, всi фiгурнi пiдхiднi дроби ДНД (1), (2) голоморфнi в областi G функцiї.
Нехай K — довiльна компактна множина областi G. Тодi iснує вiдкрита куля B \subset \BbbC 2 з
центром у точцi (0; 0) i радiусом r така, що K \subset B.
Використовуючи формули (5), (7), (8) i оцiнки (43), отримуємо
| f1(z)| \leq | a0,0| +
| a1,0| \bigm| \bigm| Q(0)
1,0
\bigm| \bigm| + | a0,1| \bigm| \bigm| Q(0)
0,1
\bigm| \bigm| \leq | a0,0| + c1,0| z1| + c0,1| z2| < | a0,0| + (c1,0 + c0,1)r,
| fn(z)| \leq | a0,0| +
| a1,0| \bigm| \bigm| Q(n - 1)
1,0
\bigm| \bigm| + | a0,1| \bigm| \bigm| Q(n - 1)
0,1
\bigm| \bigm| + | a1,1| \bigm| \bigm| Q(n - 2)
1
\bigm| \bigm| < | a0,0| + (c1,0 + c0,1)r + c1,1r
2,
n = 2, 3, . . . ,
тобто \{ fn(z)\} — це послiдовнiсть рiвномiрно обмежених на K функцiй. Отже, ця послiдовнiсть
рiвномiрно обмежена на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi G.
Згiдно з теоремою 2, послiдовнiсть \{ fm(z)\} збiгається у кожнiй точцi множини
\Delta = \{ 0 < \mathrm{R}\mathrm{e} zj < \delta , \mathrm{I}\mathrm{m} zj = 0, j = 1, 2\} \subset G,
яка є двовимiрним дiйсним околом точки z(0) = (\delta /2, \delta /2). Таким чином, послiдовнiсть \{ fn(z)\}
задовольняє умови багатовимiрного аналога теореми Стiльтьєса – Вiталi [9] (теорема 2.17), тому
збiгається рiвномiрно на довiльнiй компактнiй пiдмножинi областi G до голоморфної функцiї
в G.
Лiтература
1. Т. М. Антонова, Швидкiсть збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Волин. мат. вiсн.,
6, 5 – 11 (1999).
2. Т. М. Антонова, Д. I. Боднар, Областi збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Теорiя
наближення функцiй та її застосування, Працi Iн-ту математики НАН України, 31, 5 – 18 (2000).
3. Т. М. Антонова, С. М. Возна, Про один аналог методу фундаментальних нерiвностей для дослiдження
збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”, Сер. фiз.-
мат. науки, 871, 5 – 12 (2017).
4. Т. М. Антонова, С. М. Возна, Про збiжнiсть одного класу двовимiрних вiдповiдних гiллястих ланцюгових
дробiв, Прикл. пробл. механiки i математики, вип. 18, 25 – 33 (2020).
5. Т. М. Антонова, Р. I. Дмитришин, Оцiнки похибки наближення для гiллястого ланцюгового дробу\sum N
i1=1
ai(1)
1 +
\sum i1
i2=1
ai(2)
1 +
\sum i2
i3=1
ai(3)
1 +
. . . , Укр. мат. журн., 72, № 7, 877 – 885 (2020).
6. Т. М. Антонова, О. М. Сусь, Про парнi множини збiжностi для двовимiрних неперервних дробiв iз комплекс-
ними елементами, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 50, № 3, 94 – 101 (2007).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ЗБIЖНIСТЬ ТА ОЦIНКУ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВIДПОВIДНИХ ДВОВИМIРНИХ . . . 457
7. Т. М. Антонова, О. М. Сусь, Про одну ознаку фiгурної збiжностi двовимiрних неперервних дробiв з комплекс-
ними елементами, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 52, № 2, 28 – 35 (2009).
8. Т. М. Антонова, О. М. Сусь, Про деякi послiдовностi множин рiвномiрної збiжностi двовимiрних неперервних
дробiв, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 58, № 1, 47 – 56 (2015).
9. Д. И. Боднар, Ветвящиеся цепные дроби, Наук. думка, Київ (1986).
10. Д. I. Боднар, I. Б. Бiланик, Про збiжнiсть гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду у кутових
областях, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 60, № 3, 60 – 69 (2017).
11. Д. I. Боднар, I. Б. Бiланик, Оцiнки швидкостi поточкової та рiвномiрної збiжностi ГЛД з нерiвнозначними
змiнними, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 62, № 4, 72 – 82 (2019).
12. Д. I. Боднар, Р. I. Дмитришин, Багатовимiрнi приєднанi дроби з нерiвнозначними змiнними i кратнi степеневi
ряди, Укр. мат. журн., 71, № 3, 325 – 339 (2019).
13. С. М. Возна, Про збiжнiсть двовимiрного неперервного g-дробу, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 47, № 3, 28 – 32
(2004).
14. С. М. Возна, Х. Й. Кучмiнська, Вiдповiднiсть мiж формальним подвiйним степеневим рядом i двовимiр-
ним неперервним g-дробом, Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання, Збiрник праць Iн-ту
математики НАН України, 1, № 4, 130 – 142 (2004).
15. Р. I. Дмитришин, Про розвинення деяких функцiй у двовимiрний g-дрiб з нерiвнозначними змiнними, Мат.
методи та фiз.-мех. поля, 53, № 4, 28 – 34 (2010).
16. Р. I. Дмитришин, Двовимiрне узагальнення qd-алгоритму Рутисхаузера, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 56,
№ 4, 6 – 11 (2013).
17. Р. I. Дмитришин, Приєднанi гiллястi ланцюговi дроби з двома нерiвнозначними змiнними, Укр. мат. журн., 66,
№ 9, 1175 – 1184 (2014).
18. Х. Й. Кучмiнська, Вiдповiдний i приєднаний гiллястi ланцюговi дроби для подвiйного степеневого ряду, Доп.
АH УРСР. Сер. А, № 7, 614 – 618 (1978).
19. Х. Й. Кучмiнська, Двовимiрнi неперервнi дроби, Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв
(2010).
20. Х. Й. Кучмiнська, О. М. Сусь, С. М. Возна, Апроксимативнi властивостi двовимiрних неперервних дробiв,
Укр. мат. журн., 55, № 1, 30 – 44 (2003).
21. О. М. Сусь, Про один iз аналогiв методу фундаментальних нерiвностей для двовимiрних неперервних дробiв,
Прикл. пробл. механiки i математики, вип. 5, 71 – 76 (2007).
22. T. M. Antonova, R. I. Dmytryshyn, Truncation error bounds for branched continued fraction whose partial denomi-
nators are equal to unity, Mat. Stud., 54, № 1, 3 – 14 (2020).
23. R. I. Dmytryshyn, The two-dimensional g-fraction with independent variables for double power series, J. Approx.
Theory, 164, № 12, 1520 – 1539 (2012).
24. R. I. Dmytryshyn, Multidimensional regular C -fraction with independent variables corresponding to formal multiple
power series, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1 – 18 (2019); DOI:10.1017/prm.2019.2.
25. R. I. Dmytryshyn, On some of convergence domains of multidimensional S -fractions with independent variables,
Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 54 – 58 (2019).
26. R. I. Dmytryshyn, S. V. Sharyn, Approximation of functions of several variables by multidimensional S -fractions
with independent variables, Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 592 – 607 (2021).
27. W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Addison-Wesley Pub. Co., Reading,
Mas. (1980).
28. Kh. Yo. Kuchmins’ka, S. M. Vozna, Truncation error bounds for a two-dimensional continued g-fraction, Mat. Stud.,
24, № 2, 120 – 126 (2005).
29. J. Murphy, M. R. O’Donohoe, A two-variable generalization of the Stieltjes-type continued fractions, J. Comput. and
Appl. Math., 4, № 3, 181 – 190 (1978).
30. W. Siemaszko, Branched continued fraction for double power series, J. Comput. and Appl. Math., 6, № 2, 121 – 125
(1980).
Одержано 07.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7031 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:10Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8f/2a3d418545e6a41c0764e53972a56a8f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70312022-07-06T16:22:31Z On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions Про збіжність та оцінку похибки наближення значень відповідних двовимірних неперервних дробів Antonova, T. M. Sus', O. M. Vozna, S. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. Возна, С. М. двовимірний неперервний дріб збіжність UDC 517.524For the corresponding two-dimensional continued fractions with complex partial numerators belonging to some subsets of the Cartesian product of two angular sets in the right half-plane and partial denominators equal to one, we establish sufficient conditions of uniform convergence and an estimation of the truncation error using an analogue of the method of fundamental inequalities, formulas for real and imagine parts of tails of figured approximants and a multidimensional analogue of the Stieltjes-Vitali theorem. УДК 517.524 Для вiдповiдних двовимiрних неперервних дробiв з комплексними частинними чисельниками, якi належать деяким пiдмножинам декартового добутку двох кутових множин правої пiвплощини, та частинними знаменниками, рiвними одиницi, встановлено достатнi умови рiвномiрної збiжностi та оцiнку похибки наближення їхнiх значень фiгурними пiдхiдними дробами, за допомогою одного з аналогiв методу фундаментальних нерiвностей, формули для дiйсних i уявних частин залишкiв фiгурних пiдхiдних дробiв та багатовимiрного аналога теореми Стiлтьєса – Вiталi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-19 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7031 10.37863/umzh.v74i4.7031 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 443 - 457 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 443 - 457 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7031/9216 Copyright (c) 2022 Тамара Антонова |
| spellingShingle | Antonova, T. M. Sus', O. M. Vozna, S. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. Возна, С. М. On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title | On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title_alt | Про збіжність та оцінку похибки наближення значень відповідних двовимірних неперервних дробів |
| title_full | On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title_fullStr | On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title_full_unstemmed | On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title_short | On convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| title_sort | on convergence and estimation of the truncation error of corresponding two-dimensional continued fractions |
| topic_facet | двовимірний неперервний дріб збіжність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7031 |
| work_keys_str_mv | AT antonovatm onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT sus039om onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT voznasm onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT antonovatm onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT susʹom onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT voznasm onconvergenceandestimationofthetruncationerrorofcorrespondingtwodimensionalcontinuedfractions AT antonovatm prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív AT sus039om prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív AT voznasm prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív AT antonovatm prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív AT susʹom prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív AT voznasm prozbížnístʹtaocínkupohibkinabližennâznačenʹvídpovídnihdvovimírnihneperervnihdrobív |