On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights
UDC 517.5 We prove a generalization of an important inequality for moduli of smoоthness with Jacobi weights.  
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7034 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512589602095104 |
|---|---|
| author | Nesterenko, O. N. Petrova, I. L. Chaikovs'kyi, A. V. Нестеренко, О. Н. Петрова, I. Л. Чайковський, А. В. |
| author_facet | Nesterenko, O. N. Petrova, I. L. Chaikovs'kyi, A. V. Нестеренко, О. Н. Петрова, I. Л. Чайковський, А. В. |
| author_sort | Nesterenko, O. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.5
We prove a generalization of an important inequality for moduli of smoоthness with Jacobi weights.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7034 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7034
УДК 517.5
О. Н. Нестеренко*, I. Л. Петрова**, А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI З ВАГАМИ ЯКОБI
We prove a generalization of an important inequality for moduli of smoоthness with Jacobi weights.
Наведено узагальнення однiєї важливої нерiвностi для модулiв гладкостi з вагами Якобi.
Вступ. Формулювання основного результату. Нехай 1 \leq p < +\infty . Для довiльного промiж-
ку J \subset \bfR позначатимемо через Lp(J) простiр вимiрних за Лебегом функцiй f : J \rightarrow \bfR зi
скiнченною нормою
\| f\| Lp(J) :=
\left( \int
J
| f(x)| pdx
\right) 1
p
,
а через AC\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}(J) множину функцiй, якi є абсолютно неперервними на кожному вiдрiзку
[a, b] \subset J.
Введемо також ваговi функцiї \varphi (x) :=
\surd
1 - x2, x \in [ - 1, 1], i для довiльних \alpha , \beta \in \bfR
w\alpha ,\beta (x) = (1 - x)\alpha (1 + x)\beta , x \in ( - 1, 1).
В роботi будемо дослiджувати функцiї з класу
\BbbB k
p(w\alpha ,\beta ) =
\Bigl\{
f | f (k - 1) \in AC\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}(( - 1, 1)), w\alpha ,\beta \varphi
kf (k) \in Lp(( - 1, 1))
\Bigr\}
,
де k\in \bfN . На множинах
D\delta =
\biggl\{
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl[ x - \delta
2
\varphi (x), x+
\delta
2
\varphi (x)
\biggr]
\subset [ - 1, 1]
\biggr\}
=
\biggl\{
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | x| \leq 4 - \delta 2
4 + \delta 2
\biggr\}
=
\bigl[
- x\ast (\delta ), x\ast (\delta )
\bigr]
,
визначених при \delta \in [0, 2], введемо також ваговi функцiї
W \xi ,\zeta
\delta (x) =
\biggl(
1 - x - \delta
2
\varphi (x)
\biggr) \xi \biggl(
1 + x - \delta
2
\varphi (x)
\biggr) \zeta
, x \in D\delta , \xi , \zeta \in \bfR .
Позначимо k-ту рiзницю так:
\bigtriangleup k
h(f, x) :=
\left\{
\sum k
i=0
\left( k
i
\right) ( - 1)k - if
\biggl(
x - kh
2
+ ih
\biggr)
, якщо
\biggl[
x - kh
2
, x+
kh
2
\biggr]
\subset [ - 1, 1],
0 в iнших випадках,
де k \in \bfN , h \geq 0. Розглянемо модулi гладкостi
* Пiдтримано грантом Мiнiстерства освiти i науки України для перспективного розвитку наукового напрямку
„математичнi i природничi науки” в Київському нацiональному унiверситетi iм. Т. Шевченка.
** Пiдтримано Нацiональним фондом дослiджень України (проєкт 2020.02/0155).
c\bigcirc О. Н. НЕСТЕРЕНКО, I. Л. ПЕТРОВА, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2022
534 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI З ВАГАМИ ЯКОБI 535
\omega \varphi
k,r(f
(r), t)\alpha ,\beta ,p :=
\left\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq h\leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(Dkh)
, 0 < t \leq 2
k
,
\omega \varphi
k,r
\biggl(
f (r),
2
k
\biggr)
\alpha ,\beta ,p
, t >
2
k
.
Цi модулi гладкостi були введенi в роботi К. Копотуна, Д. Левiатана та I. Шевчука [1]. У
частковому випадку \alpha = \beta = 0 вони введенi в роботi тих же авторiв [2]. Якщо ж r = \alpha = \beta = 0,
то данi модулi гладкостi — це вiдомi модулi Дiцiана – Тотiка [3].
У роботi [1] деякi властивостi даного модуля гладкостi встановлено за природних припу-
щень щодо параметрiв \alpha i \beta , а саме, коли
r
2
+ \alpha > - 1
p
та
r
2
+ \beta > - 1
p
, тодi як iншi, зокрема
i лема 3.1, встановлено лише при
r
2
+ \alpha \geq 0 та
r
2
+ \beta \geq 0. Основний результат цiєї статтi
полягає в тому, що лема 3.1 [1] справджується i при
r
2
+ \alpha > - 1
p
та
r
2
+ \beta > - 1
p
.
Теорема. Нехай k \in \bfN , r \in \bfN \cup \{ 0\} , 1 \leq p < +\infty ,
r
2
+ \alpha > - 1
p
,
r
2
+ \beta > - 1
p
,
f \in \BbbB k+r
p (\omega \alpha ,\beta ). Тодi
\omega \varphi
k,r(f
(r), t)\alpha ,\beta ,p \leq Ctk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp([ - 1,1])
, 0 < t \leq 1
k
,
де стала C може залежати лише вiд k, r, p, \alpha i \beta .
Доведення основного результату. При доведеннi будемо використовувати сталi C1, C2, . . .
. . . , C49, якi є додатними дiйсними числами, що можуть залежати лише вiд k, r, p, \alpha i \beta .
Спочатку наведемо допомiжнi результати, необхiднi для доведення теореми. Позначимо
D+
\delta := D\delta \cap [0, 1], \delta \in [0, 2].
Лема 1. Для довiльних \delta \in [0, 1] справджуються такi нерiвностi:
якщо x \in D+
2\delta , u \in
\biggl[
x - \delta
2
\varphi (x), x+
\delta
2
\varphi (x)
\biggr]
, то
1)
1
2
\bigl(
1 - | u|
\bigr)
\leq 1 - | x| \leq 2
\bigl(
1 - | u|
\bigr)
,
2)
1
2
\varphi (u) \leq \varphi (x) \leq 2\varphi (u),
3) C1(1 - x)\alpha \leq w\alpha ,\beta (u) \leq C2(1 - x)\alpha ,
4) C3(1 - x)\xi \leq W \xi ,\zeta
\delta (x) \leq C4(1 - x)\xi ;
якщо x \in D+
\delta \setminus D+
2\delta , u \in
\biggl[
x - \delta
2
\varphi (x), x+
\delta
2
\varphi (x)
\biggr]
, то
5) C5\delta
2 \leq 1 - x \leq C6\delta
2,
6) C7(x\ast (\delta ) - x) \leq 1 - u \leq C8\delta
2.
Доведення. Властивостi 1 – 4 легко отримати з [1] (твердження 2.1 та його доведення). Крiм
того, за умов 5, 6 маємо
C9\delta
2 \leq 1 - x\ast (\delta ) \leq 1 - x \leq 1 - x\ast (2\delta ) \leq C10\delta
2,
1 - u \leq 1 - x+
\delta
2
\varphi (x) \leq 1 - x+ C11\delta
\surd
1 - x \leq C12\delta
2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
536 О. Н. НЕСТЕРЕНКО, I. Л. ПЕТРОВА, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
1 - u \geq 1 - x - \delta
2
\varphi (x) =
(1 - x)2 - \delta 2
4
(1 - x2)
1 - x+
\delta
2
\varphi (x)
\geq C13
(1 - x)2 - \delta 2
4
(1 - x2)
\delta 2
=
=
4 + \delta 2
4\delta 2
C13(1 - x)(x\ast (\delta ) - x) \geq C14(x\ast (\delta ) - x).
Лема 2. Нехай k \in \bfN , r \in \bfN \cup \{ 0\} , h \in
\biggl[
0,
1
k
\biggr]
, x \in D+
kh, 1 \leq p < +\infty , q — спряжений
iндекс до p,
r
2
+ \alpha > - 1
p
,
r
2
+ \beta > - 1
p
. Тодi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C15
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
x+
kh
2
\varphi (x) - \cdot
\biggr) k - 1
(1 - \cdot ) - \alpha - r+k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(J)
,
де J :=
\biggl[
x - kh
2
\varphi (x), x+
kh
2
\varphi (x)
\biggr]
.
Доведення. Позначимо xi := x - kh
2
+ ih, 0 \leq i \leq k,
pj(u) :=
k\prod
i=0, i\not =j
(u - xi), 0 \leq j \leq k.
Використаємо вiдоме зображення для k-ї симетричної рiзницi за допомогою ядра Пеано (див. [4],
формули (11) з § 4 i (14), (15) з § 6 гл. 3)
\bigtriangleup k
h(f
(r), x) = hk
x+ kh
2\int
x - kh
2
f (k+r)(u)Bk - 1(u)du,
де
Bk - 1(u) := k
k\sum
j=0
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0, xj - u\}
\bigr) k - 1
pj(xj)
— ядро Пеано. Оскiльки
| Bk - 1(u)| \leq C16h
- k
\biggl(
x+
kh
2
- u
\biggr) k - 1
, u \in
\biggl[
x - kh
2
, x+
kh
2
\biggr]
,
з наведеного зображення випливає оцiнка
\bigm| \bigm| \bigtriangleup k
h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \leq C17
x+ kh
2\int
x - kh
2
\bigm| \bigm| f (k+r)(u)
\bigm| \bigm| \biggl( x+
kh
2
- u
\biggr) k - 1
du.
За нерiвнiстю Гельдера
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI З ВАГАМИ ЯКОБI 537
\bigm| \bigm| \bigm| \bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C17
x+ kh
2
\varphi (x)\int
x - kh
2
\varphi (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)
\biggl(
x+
kh
2
\varphi (x) - u
\biggr) k - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du \leq
\leq C17
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi - k - rw - 1
\alpha ,\beta
\biggl(
x+
kh
2
\varphi (x) - \cdot
\biggr) k - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(J)
.
Для u \in J за умовою леми виконується оцiнка 2 \geq 1 + u \geq 1 - kh
2
\geq 1
2
, отже,
\varphi - k - r(u)w - 1
\alpha ,\beta (u) = (1 - u) -
k+r
2
- \alpha (1 + u) -
k+r
2
- \beta \leq C18(1 - u) -
k+r
2
- \alpha .
Лема 3. Нехай k \in \bfN , r \in \bfN \cup \{ 0\} , 1 \leq p < +\infty ,
r
2
+ \alpha > - 1
p
,
r
2
+ \beta > - 1
p
,
f \in \BbbB k+r
p (\omega \alpha ,\beta ). Тодi\int
D+
kh\setminus D
+
2kh
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)\bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| p dx \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp([ - 1,1])
hpk.
Доведення. Оскiльки для x \in D+
kh маємо
1
2
\leq 1+x - kh
2
\varphi (x) \leq 2, то, враховуючи лему 1,
отримуємо
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C19
\biggl(
1 + x - kh
2
\varphi (x)
\biggr) r/2+\alpha
\leq C20
\bigl(
x\ast (kh) - x
\bigr) r/2+\alpha
.
Крiм того, враховуючи, що x+
kh
2
\varphi (x) - u \leq 1 - u, з леми 2 знаходимо
\bigm| \bigm| \bigm| \bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C21
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp([ - 1,1])
M(x),
де
M(x) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (1 - u) - \alpha - 1 - r - k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(J)
, J :=
\biggl[
x - kh
2
\varphi (x), x+
kh
2
\varphi (x)
\biggr]
.
Отже, \int
D+
kh\setminus D
+
2kh
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)\bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| p dx \leq C22
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp([ - 1,1])
N(h),
N(h) :=
\int
D+
kh\setminus D
+
2kh
Mp(x)
\bigl(
x\ast (kh) - x
\bigr) p(r/2+\alpha )
dx.
Для оцiнки норми M(x) розглянемо три випадки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
538 О. Н. НЕСТЕРЕНКО, I. Л. ПЕТРОВА, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Випадок 1:
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
> 0:
M(x) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (1 - u) - \alpha - 1 - r - k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq([x - kh
2
\varphi (x),1])
=
=
\biggl(
1 - x+
kh
2
\varphi (x)
\biggr) k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
.
За властивiстю 6 леми 1 1 - x+
kh
2
\varphi (x) \leq C23h
2, x\ast (kh) - x\ast (2kh) \leq C24h
2, тому
N(h) \leq
x\ast (kh)\int
x\ast (2kh)
C25(h
2)
p
\Bigl(
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
\Bigr)
(x\ast (kh) - x)p(r/2+\alpha ) dx =
= C26(h
2)
p
\Bigl(
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
\Bigr)
(x\ast (kh) - x\ast (2kh))
p(r/2+\alpha )+1 \leq C27h
pk.
Випадок 2:
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
< 0:
M(x) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (1 - u) - \alpha - 1 - r - k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq([ - 1,x+ kh
2
\varphi (x)])
\leq
\leq C28
\biggl(
1 - x - kh
2
\varphi (x)
\biggr) k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
.
За властивiстю 6 леми 1 1 - x - kh
2
\varphi (x) \geq C29(x\ast (kh) - x), x\ast (kh) - x\ast (2kh) \leq C30h
2, тому
N(h) \leq C31
x\ast (kh)\int
x\ast (2kh)
(x\ast (kh) - x)
p
\Bigl(
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
+r/2+\alpha
\Bigr)
dx =
\leq C32(x\ast (kh) - x\ast (2kh))
p
\Bigl(
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
+r/2+\alpha
\Bigr)
+1 \leq C33h
pk.
Випадок 3:
k
2
- \alpha - r
2
- 1
p
= 0:
M(x) =
\left( \mathrm{l}\mathrm{n}
1 - x+
kh
2
\varphi (x)
1 - x - kh
2
\varphi (x)
\right)
1/q
\leq
\left( kh\varphi (x)
1 - x - kh
2
\varphi (x)
\right)
1/q
.
За властивiстю 6 леми 1 1 - x - kh
2
\varphi (x) \geq C34(x\ast (kh) - x), \varphi (x) \leq C35h, x\ast (kh) - x\ast (2kh) \leq
\leq C36h
2, тому
N(h) \leq
x\ast (kh)\int
x\ast (2kh)
C37(h
2)p/q(x\ast (kh) - x) - p/q+p(r/2+\alpha )dx \leq
\leq C38h
2p/q(x\ast (kh) - x\ast (2kh))
- p/q+p(r/2+\alpha )+1 \leq C39h
2p(r/2+\alpha )+2 = C39h
pk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI З ВАГАМИ ЯКОБI 539
Лема 4. Для довiльного заданого \delta \in (0, 1] розглянемо функцiї g1(x) = x - \delta
2
\varphi (x), g2(x) =
= x+
\delta
2
\varphi (x), x \in [ - 1, 1]. Тодi:
1) функцiї g1, g2 строго монотонно зростають на
\bigl[
- x\ast (2\delta ), x\ast (2\delta )
\bigr]
i мають оберненi
функцiї g - 1
1 , g - 1
2 ;
2)
\bigm| \bigm| g - 1
1 (u) - g - 1
2 (u)
\bigm| \bigm| \leq \delta \varphi (u), u \in
\bigl[
- x\ast (2\delta ), x\ast (2\delta )
\bigr]
;
3) | 1 - g - 1
2 (u)| \geq 4
5
(1 - u), u \in
\bigl[
- x\ast (2\delta ), x\ast (2\delta )
\bigr]
;
4)
\bigl\{
(x, u) | g1(x) \leq u \leq g2(x), x \in
\bigl[
\delta , x\ast (2\delta ) - \delta
\bigr] \bigr\}
\subset
\bigl\{
(x, u) | g - 1
2 (u) \leq x \leq g - 1
1 (u), u \in
\in [g1(\delta ), g2(x\ast (2\delta ) - \delta )]
\bigr\}
.
Доведення. 1. Похiдна цих функцiй невiд’ємна на
\biggl[
- 2\surd
4 + \delta 2
,
2\surd
4 + \delta 2
\biggr]
, при \delta \in (0, 1]
цей промiжок мiститься в
\bigl[
- x\ast (2\delta ), x\ast (2\delta )
\bigr]
=
\biggl[
- 1 - \delta 2
1 + \delta 2
,
1 - \delta 2
1 + \delta 2
\biggr]
.
2. Легко безпосередньо отримати, що
g - 1
1 (u) =
u+
\delta
2
\sqrt{}
1 - u2 +
\delta 2
16
1 +
\delta 2
4
, g - 1
2 (u) =
u - \delta
2
\sqrt{}
1 - u2 +
\delta 2
16
1 +
\delta 2
4
.
Рiзниця цих виразiв задовольняє потрiбну нерiвнiсть.
3. Маємо
\bigm| \bigm| 1 - g - 1
2 (u)
\bigm| \bigm| = 1 - u
1 +
\delta 2
4
\geq 4
5
(1 - u).
4. Для кожної точки з першої множини отримуємо u \geq g1(x) \geq g1(\delta ) i u \leq g2(x) \leq
\leq g2(x\ast (2\delta ) - \delta ) внаслiдок монотонностi, тому u \in
\bigl[
g1(\delta ), g2(x\ast (2\delta ) - \delta )
\bigr]
.
Крiм того, з нерiвностi g1(x) \leq u випливає, що x \leq g - 1
1 (u), а з нерiвностi g2(x) \geq u — що
x \geq g - 1
2 (u).
Лема 5. Нехай k \in \bfN , r \in \bfN \cup \{ 0\} , 1 \leq p < +\infty ,
r
2
+ \alpha > - 1
p
,
r
2
+ \beta > - 1
p
, f \in
\in \BbbB k+r
p (\omega \alpha ,\beta ). Тодi\int
D+
2kh
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)\bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| p dx \leq C40
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp([ - 1,1])
hpk.
Доведення. Нехай J = J(x) :=
\biggl[
x - kh
2
\varphi (x), x+
kh
2
\varphi (x)
\biggr]
. При x \in D+
2kh, u \in J(x) за
властивiстю 1 леми 1 маємо
1
2
(1 - u) \leq 1 - x \leq 2(1 - u). Використовуючи лему 2, одержуємо
\bigm| \bigm| \bigm| \bigtriangleup k
\varphi (x)h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C41
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
x+
kh
2
\varphi (x) - \cdot
\biggr) k - 1
(1 - \cdot ) - \alpha - r+k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(J)
\leq
\leq C42
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
x+
kh
2
\varphi (x) - \cdot
\biggr) k - 1
(1 - x)
- \alpha -
r + k
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(J)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
540 О. Н. НЕСТЕРЕНКО, I. Л. ПЕТРОВА, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
= C43
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
\bigl(
kh\varphi (x)
\bigr) k - 1
p (1 - x) - \alpha - r+k
2 \leq
\leq C44
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J)
h
k - 1
p (1 - x)
- \alpha - r
2
- 1
2p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(J(x))
R(x).
Тому \int
D+
2kh
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), x)
\bigm| \bigm| \bigm| p dx \leq
\leq
\int
D+
2kh
\bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)R(x)
\bigm| \bigm| \bigm| p \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp(J(x))
dx =
=
x\ast (2kh)\int
0
\left(
x+\varphi (x) kh
2\int
x - \varphi (x) kh
2
\bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p \bigm| \bigm| \bigm| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (x)R(x)
\bigm| \bigm| \bigm| p du
\right) dx \leq
\leq C45
x\ast (2kh)\int
0
\left(
x+\varphi (x) kh
2\int
x - \varphi (x) kh
2
\bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p hkp - 1(1 - x) - 1/2du
\right) dx \leq
\leq C45
\int
[0,\delta ]\cup [x\ast (2kh) - \delta ,x\ast (2kh)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp([ - 1,1])
hkp - 1(1 - x) - 1/2dx+
+C45
\int
[\delta ,x\ast (2kh) - \delta ]
\left(
x+\varphi (x) kh
2\int
x - \varphi (x) kh
2
\bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p hkp - 1(1 - x) - 1/2du
\right) dx.
Перший iнтеграл задовольняє потрiбну нерiвнiсть. Другий позначимо через T (h) i змiнимо в
ньому порядок iнтегрування. Для цього застосуємо лему 4 у випадку \delta = kh. Тодi отримаємо
T (h) \leq
g2(x\ast (2\delta ) - \delta )\int
g1(\delta )
\left( g - 1
1 (u)\int
g - 1
2 (u)
\bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p hkp - 1(1 - x) - 1/2dx
\right) du =
= 2
g2(x\ast (2\delta ) - \delta )\int
g1(\delta )
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p hkp - 1
\Bigl( \bigl(
1 - g - 1
2 (u)
\bigr) 1/2 - (1 - g - 1
1 (u))1/2
\Bigr) \Bigr)
du =
= 2
g2(x\ast (2\delta ) - \delta )\int
g1(\delta )
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p hkp - 1 g - 1
1 (u) - g - 1
2 (u)\bigl(
1 - g - 1
2 (u)
\bigr) 1/2
+
\bigl(
1 - g - 1
1 (u)
\bigr) 1/2
\Biggr)
du \leq
\leq C46
g2(x\ast (2\delta ) - \delta )\int
g1(\delta )
\bigm| \bigm| \bigm| f (k+r)(u)\varphi k+r(u)w\alpha ,\beta (u)
\bigm| \bigm| \bigm| p g - 1
1 (u) - g - 1
2 (u)
\varphi (u)
hkp - 1du \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI З ВАГАМИ ЯКОБI 541
\leq C47h
kp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp([ - 1,1])
.
Доведення теореми. З лем 3 i 4 випливає, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(D
+
kh)
\leq C48t
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp([ - 1,1])
, 0 < t \leq 1
k
.
Якщо застосувати цю нерiвнiсть до функцiї g(x) = f( - x), x \in [ - 1, 1], то отримаємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\beta ,r/2+\alpha
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(D
-
kh)
\leq C49t
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\beta ,\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp([ - 1,1])
, 0 < t \leq 1
k
,
де D -
kh := Dkh\cap [ - 1, 0]. Враховуючи, що на \alpha , \beta накладено однаковi умови, їх можна помiняти
мiсцями. Нарештi,\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(Dkh)
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(D
+
kh)
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| W r/2+\alpha ,r/2+\beta
kh (\cdot )\bigtriangleup k
\varphi (\cdot )h(f
(r), \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp(D
-
kh)
\leq (C48 + C49)t
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+r)\varphi k+rw\alpha ,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp([ - 1,1])
.
З означення модуля неперервностi випливає потрiбна нерiвнiсть.
Автори висловлюють щиру вдячнiсть члену-кореспонденту НАН України Iгорю Олександ-
ровичу Шевчуку за постановку задачi та увагу до роботи.
Лiтература
1. K. A. Kopotun, D. Leviatan, I. A. Shevchuk, On moduli of smoothness with Jacobi weights, Укр. мат. журн., 70,
№ 3, 379 – 403 (2018).
2. K. A. Kopotun, D. Leviatan, I. A. Shevchuk, New moduli of smoothness: weighted DT moduli revisited and applied,
Constr. Approx., 42, 129 – 159 (2015).
3. Z. Ditzian, V. Totik, Moduli of smoothness, Springer Ser. Comput. Math., 9, Springer (1987).
4. К. И. Бабенко, Основы численного анализа, Наука, Москва (1986).
Одержано 08.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7034 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:11Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/7edeccb1ef981f7c7dd4c0517ee95748.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70342022-07-06T16:22:31Z On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights Про одну властивість модулів гладкості з вагами Якобі Nesterenko, O. N. Petrova, I. L. Chaikovs'kyi, A. V. Нестеренко, О. Н. Петрова, I. Л. Чайковський, А. В. Moduli of smoothness UDC 517.5 We prove a generalization of an important inequality for moduli of smoоthness with Jacobi weights. &nbsp; УДК 517.5 Наведено узагальнення однiєї важливої нерiвностi для модулiв гладкостi з вагами Якобi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7034 10.37863/umzh.v74i4.7034 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 534 - 541 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 534 - 541 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7034/9222 Copyright (c) 2022 Andriy Chaikovs'kyi, Олексій Нестеренко, Ірина Петрова |
| spellingShingle | Nesterenko, O. N. Petrova, I. L. Chaikovs'kyi, A. V. Нестеренко, О. Н. Петрова, I. Л. Чайковський, А. В. On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title | On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title_alt | Про одну властивість модулів гладкості з вагами Якобі |
| title_full | On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title_fullStr | On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title_full_unstemmed | On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title_short | On a property of moduli of smoothness with Jacobi weights |
| title_sort | on a property of moduli of smoothness with jacobi weights |
| topic_facet | Moduli of smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7034 |
| work_keys_str_mv | AT nesterenkoon onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT petrovail onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT chaikovs039kyiav onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT nesterenkoon onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT petrovail onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT čajkovsʹkijav onapropertyofmoduliofsmoothnesswithjacobiweights AT nesterenkoon proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí AT petrovail proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí AT chaikovs039kyiav proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí AT nesterenkoon proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí AT petrovail proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí AT čajkovsʹkijav proodnuvlastivístʹmodulívgladkostízvagamiâkobí |