Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations
UDC 517.9 We consider conditional and hidden symmetry of multidimensional wave equations that are generated by additional conditions. An additional condition that corresponds to the dilation operator generates an infinite-dimensional symmetry for the wave equation.
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7035 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512589868433408 |
|---|---|
| author | Yehorchenko , I. A. Vorobyova, A. I. Єгорченко, І. A. Воробйова, А. І. |
| author_facet | Yehorchenko , I. A. Vorobyova, A. I. Єгорченко, І. A. Воробйова, А. І. |
| author_sort | Yehorchenko , I. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9
We consider conditional and hidden symmetry of multidimensional wave equations that are generated by additional conditions. An additional condition that corresponds to the dilation operator generates an infinite-dimensional symmetry for the wave equation. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.7035 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.7035
УДК 517.9
I. Єгорченко (Iн-т математики НАН України, Київ),
А. Воробйова (Чорномор. нац. ун-т iм. П. Могили, Миколаїв)
УМОВНI ТА ПРИХОВАНI НЕСКIНЧЕННОВИМIРНI СИМЕТРIЇ
ХВИЛЬОВИХ РIВНЯНЬ
We consider conditional and hidden symmetry of multidimensional wave equations that are generated by additional
conditions. An additional condition that corresponds to the dilation operator generates an infinite-dimensional symmetry
for the wave equation.
Розглянуто умовну та приховану симетрiї багатовимiрних хвильових рiвнянь, якi породжуються додатковими умо-
вами. Додаткова умова, яка вiдповiдає оператору дiлатацiї, породжує нескiнченновимiрну умовну симетрiю для
хвильового рiвняння.
1. Основнi поняття. В роботi [1] ми розглядали приклад нескiнченновимiрної симетрiї, де
коефiцiєнти операторiв симетрiї включають довiльнi функцiї, яка виникає як умовна/прихована
симетрiя хвильового рiвняння Клейна – Гордона
\Box u = F (x, u) (1)
для дiйсної функцiї u = u(x0, x1, x2, . . . , xn), де x0 = t — це часова змiнна, x0, x1, x2,. . . ,xn —
вiдповiднi просторовi змiннi. Ми розглядали рiвняння в багатовимiрному просторi, тобто n \not = 1.
Для позначення оператора д’Аламбера використовується символ \Box u, де
\Box u =
\partial 2u
\partial x20
- \partial 2u
\partial x21
- \partial 2u
\partial x22
- . . . - \partial 2u
\partial x2n
.
Таке загальне рiвняння (1) використовується досить часто для побудови математичних мо-
делей хвильових процесiв. Проте, воно не є iнварiантним вiдносно будь-яких операторiв, якщо
функцiя в правiй частинi явно залежить вiд всiх своїх змiнних. Деякi рiвняння в цьому класi
мають досить широкi алгебри симетрiї (див., наприклад, [2]).
В цiй роботi ми аналiзуємо та розширюємо результати роботи [1].
Якщо F = F (u) (тобто не залежить вiд х), максимальною алгеброю лiївської симетрiї
рiвняння (1) буде алгебра Пуанкаре AP (1, n) в просторi з n просторовими змiнними, яка може
бути описана базисними операторами
p\mu = ig\mu \nu
\partial
\partial x\nu
, J\mu \nu = x\mu p\nu - x\nu p\mu ,
де \mu , \nu приймають значення 0, 1, 2,. . . , n; i ми завжди, якщо не зазначене iнше, вважаємо, що
вiдбувається пiдсумовування за iндексами, що повторюються — для малих грецьких лiтер:
x\nu x\nu = x\nu x
\nu = x\nu x\nu = x20 - x21 - x22 - . . . - x2n,
g\mu \nu = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, - 1, - 1, . . . , - 1),
c\bigcirc I. ЄГОРЧЕНКО, А. ВОРОБЙОВА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3 335
336 I. ЄГОРЧЕНКО, А. ВОРОБЙОВА
для малих латинських лiтер:
xkxk = xkx
k = xkxk = x21 + x22 + . . .+ x2n.
Алгебри iнварiантностi для рiвняння (1) в часткових випадках включатимуть також опера-
тори дiлатацiї, якщо F = \lambda uk або F = \lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, та конформнi оператори для F = \lambda u
n+3
n - 1 .
Для ще одного часткового випадку максимальна алгебра iнварiантностi для рiвняння (1) з
F = F (x2, u) (x2 = x\nu x\nu ) є пiдалгеброю алгебри Пуанкаре AP (1, n) з базисними операторами
- поворотами алгебри Лоренца J\mu \nu .
Класична лiївська симетрiя лiнiйного рiвняння (1) з F = 0 та нелiнiйного F = \lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u,
n = 1 буде нескiнченновимiрною. Рiвняння з нескiнченновимiрною симетрiєю є досить цiка-
вими, тому що мають широкi класи точних розв’язкiв та можуть бути iнтегровними.
Процедура симетрiйної редукцiї [2 – 5] вiдносно нееквiвалентних пiдалгебр алгебри iнварi-
антностi рiвняння (1) дозволяє знайти симетрiйнi точнi розв’язки для цього рiвняння.
Ми будемо використовувати наступнi означення, якi стосуються умовної симетрiї:
Означення 1. Рiвняння \Phi (x, u, u
1
, . . . , u
l
) = 0, де u
k
— набiр всiх частинних похiдних порядку
k функцiї u = (u1, u2, . . . , um), називається умовно iнварiантним [4] вiдносно оператора
Q = \xi i(x, u)\partial xi + \eta r(x, u)\partial ur ,
якщо iснує додаткова умова
G
\biggl(
x, u, u
1
, . . . , u
l1
\biggr)
= 0, (2)
така, що система з двох рiвнянь \Phi = 0, G = O iнварiантна вiдносно оператора Q.
Якщо (2) має форму G = Qu, тодi ми маємо частковий випадок умовної симетрiї, а саме
Q-умовну симетрiю. Рiвняння \Phi = 0 буде тодi називатись Q-умовно iнварiантним вiдносно
оператора Q [4].
Це означення умовної iнварiантностi певного рiвняння, або системи рiвнянь базується фак-
тично на тому, що є класичною лiївською симетрiєю (див. наприклад, класичнi монографiї
[12 – 14]) того самого рiвняння з якоюсь додатковою умовою.
Поняття умовної симетрiї (хоча рiзнi автори могли використовувати рiзнi термiни, напри-
клад, нелiївська, некласична, слабка симетрiя) було запроваджене та розглядалось в багатьох
роботах - кiлька авторiв незалежно дослiджували це поняття: [6 – 10], i пiзнiше ще багато авторiв
розвинули це поняття у теорiю та деякi алгоритми для дослiдження симетрiйних властивостей
рiвнянь математичної фiзики та для побудови точних розв’язкiв (див., наприклад, [11]).
Пояснимо суттєву рiзницю мiж поняттями Q-умовної симетрiї, та просто умовної симе-
трiї, яка не є Q-умовною: Q-умовна симетрiя забезпечує можливостi для редукцiї вихiдного
рiвняння та знаходження розв’язкiв, аналогiчнi можливостям та властивостям звичайної лiїв-
ської симетрiї: виникає можливiсть редукувати вихiдне рiвняння до одного нового рiвняння
з меншим числом незалежних змiнних, на основi розв’язкiв можна побудувати за допомогою
вiдповiдного анзацу розв’язки вихiдного диференцiального рiвняння. На вiдмiну вiд цього, ан-
зац, побудований за допомогою оператора умовної симетрiї, який не є оператором Q-умовної
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
УМОВНI ТА ПРИХОВАНI НЕСКIНЧЕННОВИМIРНI СИМЕТРIЇ ХВИЛЬОВИХ РIВНЯНЬ 337
симетрiї, редукуватиме вихiдну систему рiвнянь з додатковою умовою \Phi = 0, G = O до двох
редукованих рiвнянь з меншим числом незалежних змiнних.
Умовнi симетрiї саме хвильового рiвняння розглянутi, наприклад, в роботах [15 – 17]. Зазна-
чимо, що систематичне дослiдження умовних, i зокрема, Q-умовних симетрiй для хвильових
(квазiгiперболiчних) рiвнянь, є суттєво складнiшим, нiж таке дослiдження для квазiпараболi-
чних (еволюцiйних) рiвнянь.
В роботах [18 – 20] проведена класифiкацiя лiївських, умовних та узагальнених симетрiй
рiвняння Клейна – Гордона в двовимiрному просторi (для однiєї просторової змiнної).
Означення 2. Рiвняння має приховану Q-умовну симетрiю, якщо редуковане рiвняння має
нову Q-умовну симетрiю вiдносно певної додаткової умови.
Це означення було сформульоване в [21] на основi означення прихованої симетрiї II типу
для рiвнянь в частинних похiдних [22].
Алгоритм систематичного опису рiвнянь, якi мають задану Q-умовну, приховану та прихо-
вану Q-умовну, запропонований в роботi [23].
2. Умовна симетрiя хвильового рiвняння, яка не є \bfitQ -умовною симетрiєю. Переважна
бiльшiсть робiт, присвячених умовнiй симетрiї диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних,
надає приклади Q-умовної симетрiї. Ми розглядаємо приклади умовної симетрiї рiвняння (1),
яка не є Q-умовною. Саме Q-умовна симетрiя має визначну властивiсть, доведену в роботi
[11]) — яку можна описово сформулювати так наявнiсть Q-умовної симетрiї за певних умов
(системи в iнволюцiї) еквiвалентна можливостi редукувати рiвняння за допомогою анзацу, який
вiдповiдає цiй симетрiї.
Теорема 1. Рiвняння (1), F = x - 2
0 F1
\biggl(
xa
x0
, ux - \alpha
0
\biggr)
, де xa — просторовi змiннi, a = 1, 2, . . .
. . . , n з додатковою умовою
x\mu u\mu + \alpha u = 0, (3)
де \alpha \not = 0, має максимальну алгебру симетрiї, яка визначається операторами
X =
\biggl(
- 1
\alpha
u
1
\alpha x\mu
\int
\Phi uu
1
\alpha
- 1du+ dx\mu
\biggr)
px\mu +\Phi \partial u, (4)
де \Phi = \Phi
\bigl(
u, u
1
\alpha x\mu
\bigr)
— довiльна функцiя своїх аргументiв.
Позначення \partial u використовується для скороченого запису оператора
\partial
\partial u
.
\alpha = 1 не є спецiальним випадком, проте саме для такого значення \alpha оператор (4) матиме
бiльш просту форму
X = ( - ux\mu \Phi + dx\mu )px\mu +\Phi \partial u, \Phi = \Phi (u, x\mu ) (5)
Якщо \alpha = 0, вiдповiдна максимальна алгебра iнварiантностi породжується оператором
X = x0\phi
\mu
\biggl(
xa
x0
, u
\biggr)
px\mu + \psi
\biggl(
xa
x0
, u
\biggr)
\partial u, (6)
де \phi \mu , \psi — довiльнi функцiї своїх аргументiв.
Додаткова умова (3) може бути представлена як Du = 0, де D — оператор дiлатацiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
338 I. ЄГОРЧЕНКО, А. ВОРОБЙОВА
D = x\mu \partial \mu + i\alpha u\partial u. (7)
Рiвняння (3) має загальний розв’язок
u = x\alpha 0\phi
\biggl(
xa
x0
\biggr)
, (8)
де \phi — довiльна функцiя.
Якщо ми застосуємо анзац (8), де \omega a =
xa
x0
, до лiнiйного хвильового рiвняння
\Box u = 0, (9)
ми отримаємо редуковане рiвняння
(1 + 2\alpha )\omega a\phi \omega a + \omega a\omega b\phi \omega a\omega b
+ \alpha (\alpha + 1)\phi - \phi \omega a\omega a = 0. (10)
Анзац (8) породжується оператором дiлатацiї (7), який є оператором класичної лiївської
симетрiї рiвняння (9).
В роботi [1] ми знайшли деякi частковi розв’язки рiвняння (10). Анзац \phi = \phi (\omega ), де
\omega = ma\omega a, ma — параметри, для яких виконується умова mama = 1, ми отримаємо звичайне
диференцiальне рiвняння
(1 + 2\alpha )\omega \phi \prime + (\omega 2 - 1)\phi \prime \prime + \alpha (\alpha + 1)\phi = 0. (11)
Його розв’язок для \alpha = 0 —
\phi = c1 \mathrm{l}\mathrm{n} | \omega +
\sqrt{}
\omega 2 - 1| + c2,
для \alpha = - 1 —
\phi = c1
\biggl(
\omega
2
\sqrt{}
\omega 2 - 1 - 1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} | \omega +
\sqrt{}
\omega 2 - 1|
\biggr)
+ c2.
Якщо \phi = \phi (\omega ), \omega = \omega a\omega a, \alpha = 0, тодi розв’язок (10) матиме вигляд
\phi =
\int
\omega - n
2 (\omega - 1) -
n
2
- 1d\omega .
Аналогiчно можна отримати редукованi рiвняння для початкового рiвняння (1) з довiльною
нелiнiйнiстю, хоча точнi розв’язки для цих рiвнянь буде отримати набагато складнiше.
Ми отримали розв’язки, якi не є новими - це класичнi симетрiйнi розв’язки рiвняння, отри-
манi за допомогою симетрiйних анзацiв. Проте, знайдена умовна нескiнченновимiрна симетрiя
дозволяє розмноження цих розв’язкiв та отримання нових, якi вже не будуть класичними лiїв-
ськими розв’язками.
Умовнi симетрiї (4) та (6) можна розглядати як приклади прихованої симетрiї рiвняння (9) —
це новi симетрiї редукованого рiвняння (10) за умови \alpha \not = 0 або \alpha = 0, якi не є симетрiями
початкового рiвняння.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
УМОВНI ТА ПРИХОВАНI НЕСКIНЧЕННОВИМIРНI СИМЕТРIЇ ХВИЛЬОВИХ РIВНЯНЬ 339
3. Умовна симетрiя лiнiйного хвильового рiвняння, яка дає антиредукцiю. Далi ми на-
ведемо приклад анзацу та розв’язкiв для лiнiйного хвильового рiвняння (9) з iншою додатковою
умовою
x\mu x\nu u\mu \nu + \alpha x\mu u\mu = 0. (12)
Цю умову можна розглядати як диференцiальний наслiдок умови типу (3).
Ця нова умова (12) породжує наступний анзац для (9):
u = x1 - \alpha
0 \psi
\biggl(
xa
x0
\biggr)
+ \phi
\biggl(
xa
x0
\biggr)
f(x0), (13)
де f(x0) = \mathrm{l}\mathrm{n}x0 для \alpha = 1, або f(x0) = 1 для \alpha \not = 1.
Анзац (13) породжує антиредукцiю [24], тобто для одного початкового рiвняння дає систему
двох редукованих рiвнянь виду
2\omega a\phi \omega a + \omega a\omega b\phi \omega a\omega b
- \phi \omega a\omega a = 0,
\alpha (\alpha - 1)\psi + 2\alpha \omega a\psi \omega a + \omega a\omega b\psi \omega a\omega b
- \psi \omega a\omega a = 0, (14)
для \alpha \not = 1, та
2\omega a\phi \omega a + \omega a\omega b\phi \omega a\omega b
- \phi \omega a\omega a = 0,
\alpha \omega a\psi \omega a + \omega a\omega b\psi \omega a\omega b
- \psi \omega a\omega a - \phi - 2\omega a\phi \omega a = 0, (15)
для \alpha = 1.
Наведемо частковi розв’язки цих редукованих рiвнянь, де \phi = \phi (\omega ), \omega = ma\omega a, ma —
параметри, для яких виконується умова mama = 1.
Для (14) це
\phi = c1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\omega - 1
\omega + 1
,
\psi = c3
\int
d\omega
(\omega 2 - 1)\alpha
,
для (15) це
\phi = c1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\omega - 1
\omega + 1
,
\psi =
1\surd
\omega 2 - 1
\biggl\{
c2 \mathrm{l}\mathrm{n} | \omega +
\sqrt{}
\omega 2 - 1| - 2
c1\surd
\omega 2 - 1
+ c1
\int
1\surd
\omega 2 - 1
\mathrm{l}\mathrm{n} | \omega +
\sqrt{}
\omega 2 - 1| d\omega
\biggr\}
.
Пiдстановка знайдених розв’язкiв редукованих рiвнянь до анзацу (13) дасть точнi розв’язки
рiвняння (9).
Розглянемо застосування анзацу (13) до загального рiвняння (1). Пiдстановка анзацу (13)
в це рiвняння призводить до висновку, що редукцiя можлива лише для лiнiйного рiвняння
(функцiя F має залежати вiд u лише лiнiйно):
F = x - 2
0 uf(\omega a).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
340 I. ЄГОРЧЕНКО, А. ВОРОБЙОВА
4. Висновки. Система з хвильового рiвняння та додаткової умови — породженої оператором
дiлатацiї або диференцiального наслiдку такої умови — має новi цiкавi симетрiї, яких не має
початкове рiвняння.
Подальшi дослiдження можуть включати застосування розглянутих в цiй роботi додаткових
умов та анзацiв до iнших хвильових рiвнянь, що включають диференцiальнi iнварiанти алгебри
Пуанкаре (проте, можуть не бути iнварiантними вiдносно цiєї алгебри). Редукцiя таких рiвнянь
за допомогою цих анзацiв може давати новi симетрiї та точнi розв’язки.
Може бути цiкавим також систематичне дослiдження iнших рiвнянь, якi мають симетрiй-
нi властивостi, аналогiчнi описанi в цiй роботi. Для такого дослiдження можна використати
алгоритм опису рiвнянь з заданою умовною та прихованою симетрiєю [23].
Лiтература
1. I. A. Yehorchenko, A. I. Vorobyova, Infinite-dimensional symmetry for wave equation with additional condition,
arXiv:0910. 2380.
2. W. I. Fushchych, N. I. Serov, The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-dimensional Liouville,
d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A, 16, 3645 – 3658 (1983); https://doi.org/10.1088/0305-4470/16/15/030.
3. M. Tajiri, Some remarks on similarity and soliton solutions of nonlinear Klein – Gordon equations, J. Phys. Soc.
Japan, 53, 3759 – 3764 (1984); https://doi.org/10.1143/JPSJ.53.3759.
4. В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Серов, Симетрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений
математической физики, Наук. думка, Київ (1989).
5. В. I. Фущич, А. Ф. Баранник, Про точнi розв’язки нелiнiйного рiвняння Даламбера в просторi Мiнковського
R(1, n), Допов. НАН України, Сер. A, № 6, 31 – 34 (1990).
6. P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett. A, 114,
107 – 112 (1986); https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90534-7.
7. W. I. Fushchych, I. M. Tsyfra, On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken symmetry,
J. Phys. A, 20, L45 – L48 (1987); https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/2/001.
8. W. I. Fushchych, R. Z. Zhdanov, Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equations, Phys. Rep., 172,
123 – 174 (1989); https://doi.org/10.1016/0370-1573(89)90090-2.
9. P. Clarkson, M. D. Kruskal, New similarity reductions of the Boussinesq equation, J. Math. Phys., 30, 2201 – 2213
(1989); https://doi.org/10.1063/1. 528613.
10. D. Levi, P. Winternitz, Non-classical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation, J. Phys. A, 22,
2915 – 2924 (1989); https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/15/010.
11. R. Z. Zhdanov, I. M. Tsyfra, R. O. Popovych, A precise definition of reduction of partial differential equations, J.
Math. Anal. Appl., 238, , № 1, 101 – 123 (1999); https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6511.
12. L. V. Ovsyannikov, Group analysis of differential equations, Academic Press, New York (1982).
13. P. J. Olver, Application of Lie groups to differential equations, Springer Verlag, New York (1987).
14. G. W. Bluman, S. Kumei, Symmetries and differential equations, Springer Verlag, New York (1989).
15. I. А. Єгорченко, А. I. Воробйова, Умовна iнварiантнiсть та точнi розв’язки рiвняння Клейна – Гордона – Фока,
Допов. НАН України, № 3, 19 – 22 (1992).
16. В. И. Фущич, Н. И. Серов, Условная инвариантность нелинейных уравнений Даламбера, Лиувилля, Борна –
Инфельда и Монжа – Ампера относительно конформной алгебры, Симметрийный анализ и решения уравнений
математической физики, АН УРСР, Iн-т математики, Київ, 98 – 102 (1988).
17. A. F. Barannyk, Yu. D. Moskalenko, Conditional symmetry and exact solutions of the multidimensional nonlinear
d’Alembert equation, J. Nonlinear Math. Phys., 3 336 – 340 (1996); https://doi.org/10.2991/jnmp.1996.3.3-4.11.
18. V. Lahno, R. Zhdanov, O. Magda, Group classification and exact solutions of nonlinear wave equations, Acta Appl.
Math., 91, 253 (2006); https://doi.org/10.1007/s10440-006-9039-0.
19. V. M. Boyko, O. V. Lokaziuk, R. O. Popovych, Realizations of Lie algebras on the line and the new group
classification of (1+1)-dimensional generalized nonlinear Klein – Gordon equations, Anal. Math. Phys., 11, 127
(2021); https://doi.org/10.1007/s13324-021-00550-z.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
УМОВНI ТА ПРИХОВАНI НЕСКIНЧЕННОВИМIРНI СИМЕТРIЇ ХВИЛЬОВИХ РIВНЯНЬ 341
20. S. Opanasenko, R. Popovych, Generalized symmetries and conservation laws of (1+1)-dimensional Klein – Gordon
equation, J. Math. Phys., 61, 101515 (2020); https://doi.org/10.1063/5.0003304.
21. I. A. Yehorchenko, Group classification with respect to hidden symmetry, Proceedings of Fifth International
Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (June 23 – 29, 2003, Kyiv), Eds A. G. Nikitin,
V. M. Boyko, R. O. Popovych, and I. A. Yehorchenko, Proceedings of Institute of Mathematics, Kyiv, 50, Pt 1,
290 – 297 (2004).
22. B. Abraham-Shrauner, Hidden symmetries and nonlocal group generators for ordinary differential equations, IMA
J. Appl. Math., 56, 235 – 252 (1996); https://doi.org/10.1093/imamat/56.3.235.
23. I. A. Yehorchenko, Differential invariants, hidden and conditional symmetry, Ukr. Mat. Zh., 73, № 8, 1023 – 1033
(2021), doi:10.37863/umzh.v73i8.6377.
24. W. I. Fushchych, R. Z. Zhdanov, Antireduction and exact solutions of nonlinear heat equations, J. Nonlin. Math.
Phys., 1, 60—64 (1994); https://doi.org/10.2991/jnmp.1994.1.1.4.
Одержано 09.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7035 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:12Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b6/62322fd4af77e2b9e0cd128dd3c720b6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70352025-03-31T08:44:52Z Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations Условные и скрытые бесконечномерные симметрии волновых уравнений Умовні та приховані нескінченновимірні симетрії хвильових рівнянь Yehorchenko , I. A. Vorobyova, A. I. Єгорченко, І. A. Воробйова, А. І. симетрія диференціальних рівнянь умовна симетрія хвильове рівняння Symmetry of differential equations conditional symmetry wave equation UDC 517.9 We consider conditional and hidden symmetry of multidimensional wave equations that are generated by additional conditions. An additional condition that corresponds to the dilation operator generates an infinite-dimensional symmetry for the wave equation. Рассмотрены условная и скрытая симметрия многомерных волновых уравнений, которые породжаются дополнительными условиями. Дополнительное условие, которое соответствует оператору дилатации, порождает бесконечномерную симметрию для волнового уравнения УДК 517.9 Розглянуті умовна та прихована симетрія багатовимірних хвильових рівнянь, які породжуються додатковими умовами. Додаткова умова, яка відповідає оператору ділатації, породжує нескінченновимірну умовну симетрію для хвильового рівняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7035 10.37863/umzh.v74i3.7035 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 335-341 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 335-341 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7035/9201 Copyright (c) 2022 Ірина Єгорченко, Алла Воробйова |
| spellingShingle | Yehorchenko , I. A. Vorobyova, A. I. Єгорченко, І. A. Воробйова, А. І. Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title | Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title_alt | Условные и скрытые бесконечномерные симметрии волновых уравнений Умовні та приховані нескінченновимірні симетрії хвильових рівнянь |
| title_full | Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title_fullStr | Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title_full_unstemmed | Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title_short | Conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| title_sort | conditional and hidden infinite-dimensional symmetries of wave equations |
| topic_facet | симетрія диференціальних рівнянь умовна симетрія хвильове рівняння Symmetry of differential equations conditional symmetry wave equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7035 |
| work_keys_str_mv | AT yehorchenkoia conditionalandhiddeninfinitedimensionalsymmetriesofwaveequations AT vorobyovaai conditionalandhiddeninfinitedimensionalsymmetriesofwaveequations AT êgorčenkoía conditionalandhiddeninfinitedimensionalsymmetriesofwaveequations AT vorobjovaaí conditionalandhiddeninfinitedimensionalsymmetriesofwaveequations AT yehorchenkoia uslovnyeiskrytyebeskonečnomernyesimmetriivolnovyhuravnenij AT vorobyovaai uslovnyeiskrytyebeskonečnomernyesimmetriivolnovyhuravnenij AT êgorčenkoía uslovnyeiskrytyebeskonečnomernyesimmetriivolnovyhuravnenij AT vorobjovaaí uslovnyeiskrytyebeskonečnomernyesimmetriivolnovyhuravnenij AT yehorchenkoia umovnítaprihovaníneskínčennovimírnísimetrííhvilʹovihrívnânʹ AT vorobyovaai umovnítaprihovaníneskínčennovimírnísimetrííhvilʹovihrívnânʹ AT êgorčenkoía umovnítaprihovaníneskínčennovimírnísimetrííhvilʹovihrívnânʹ AT vorobjovaaí umovnítaprihovaníneskínčennovimírnísimetrííhvilʹovihrívnânʹ |