Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane
UDC 517.53 V. Andrievskii proved in 2014 that if a real-valued function $f\in{\rm Lip}\,\alpha,$ $0<\alpha <1,$ defined on a given smooth Jordan curve satisfying the Dini condition changes its sign finitely many times, then it can be approximated by a harmonic polynomial that c...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7057 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512592935518208 |
|---|---|
| author | Shchehlov, M. V. Щеглов, М. B. |
| author_facet | Shchehlov, M. V. Щеглов, М. B. |
| author_sort | Shchehlov, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.53
V. Andrievskii proved in 2014 that if a real-valued function $f\in{\rm Lip}\,\alpha,$ $0<\alpha <1,$ defined on a given smooth Jordan curve satisfying the Dini condition changes its sign finitely many times, then it can be approximated by a harmonic polynomial that changes its sign on the curve at the same points as $f$ and the order of approximation error is the same as the classical Dzyadyk error of pointwise approximation. Applying the Andrievskii proof scheme, we generalize this result to the case of an arbitrary modulus of continuity $ \omega (f, t)$ under the condition $\gamma\omega (f, 2t) \geq \omega (f, t) ,$ where $ \gamma = {\rm const} <1.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7057 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7057
УДК 517.53
М. В. Щеглов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА ЗНАКОЗБЕРIГАЮЧОГО НАБЛИЖЕННЯ
НА КРИВИХ У КОМПЛЕКСНIЙ ПЛОЩИНI*
V. Andrievskii proved in 2014 that if a real-valued function f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha , 0 < \alpha < 1, defined on a given smooth Jordan curve
satisfying the Dini condition changes its sign finitely many times, then it can be approximated by a harmonic polynomial
that changes its sign on the curve at the same points as f and the order of approximation error is the same as the classical
Dzyadyk error of pointwise approximation. Applying the Andrievskii proof scheme, we generalize this result to the case
of an arbitrary modulus of continuity \omega (f, t) under the condition \gamma \omega (f, 2t) \geq \omega (f, t), where \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} < 1.
У 2014 роцi В. В. Андрiєвський довiв, що якщо задана на гладкiй жордановiй кривiй (i яка задовольняє умову
Дiнi) дiйснозначна функцiя f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha , 0 < \alpha < 1, змiнює знак скiнченне число разiв, то її можна наблизити
гармонiчним полiномом, який змiнює свiй знак на кривiй в тих же точках, що i f, i при цьому похибка наближення
за порядком така ж, як i класична похибка Дзядика поточкового наближення. Користуючись схемою доведення
В. В. Андрiєвського, ми узагальнюємо цей результат на випадок довiльного модуля неперервностi \omega (f, t), який
задовольняє умову \gamma \omega (f, 2t) \geq \omega (f, t), де \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} < 1.
1. Позначення та формулювання основного результату. Нехай L — жорданова гладка крива
на комплекснiй площинi з кiнцями z0 i z0. Для точок \zeta 1, \zeta 2 \in L через L(\zeta 1, \zeta 2) будемо позначати
дугу кривої з кiнцями в точках \zeta 1 i \zeta 2. Нехай Z = \{ z1, z2, . . . , zs\} , s \in \BbbN , — набiр попарно
рiзних точок на L/\{ z0, z0\} , пронумерованих у порядку „вiд z0 до z0,” тобто
zj \in L(zj - 1, zj+1), j = 1, 2, . . . , s,
де zs+1 := z0.
Позначимо через \Delta (0)(Z) множину дiйснозначних неперервних на L функцiй таких, що
( - 1)jf(z) \geq 0, z \in L(zj , zj+1), j = 0, 1, . . . , s.
Для z \in L i \delta > 0 позначимо \rho \delta (z) := \delta
\sqrt{}
\delta 2 + | z - z0| | z - z0| .
Також будемо писати, що L \in \scrD , якщо крива L задовольняє умову Дiнi, тобто | \beta (\zeta 2) -
- \beta (\zeta 1)| < h(| \zeta 2 - \zeta 1| ), де \beta (\zeta ) — величина кута нахилу дотичної до кривої L в точцi \zeta , а h —
зростаюча функцiя така, що
\int 1
0
x - 1h(x)dx < +\infty .
Позначимо також через \BbbP n множину алгебраїчних полiномiв степеня \leq n, а через \BbbH n :=
:= \{ \Re pn, pn \in \BbbP n\} множину гармонiчних полiномiв степеня \leq n.
Будемо писати, що f \in \Omega (\gamma ), де 0 < \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} < 1, якщо f — неперервна функцiя на L i
для її модуля неперервностi \omega виконується нерiвнiсть
\gamma \omega (f, 2t) \geq \omega (f, t). (1)
Основним результатом роботи є така теорема.
* Пiдтримано Нацiональним фондом дослiджень України (проєкт 2020.02/0155).
c\bigcirc М. В. ЩЕГЛОВ, 2022
560 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА ЗНАКОЗБЕРIГАЮЧОГО НАБЛИЖЕННЯ НА КРИВИХ . . . 561
Теорема. Для кожних кривої L \in \scrD , числа \gamma \in (0, 1) i набору Z точок zj \in L iснують
такi сталi N = N(L,Z, \gamma ) i C = C(L,Z, \gamma ), що для довiльних функцiї f \in \Delta (0)\cap \Omega (\gamma ) i n > N
iснує полiном hn \in \BbbH n \cap \Delta (0) такий, що
| f(z) - hn(z)| \leq C\omega (\rho 1
n
(z)), z \in L,
де \omega (t) := \omega (f, t) — модуль неперервностi функцiї f на L.
Ця теорема узагальнює результат В. В. Андрiєвського [1], отриманий для випадку \omega (t) \leq
\leq t\alpha , 0 < \alpha \leq 1. Ми будемо дотримуватись схеми доведення В. В. Андрiєвського [1], дещо
спростивши її в пунктi 3.
Далi через c, c1, c2, . . . будемо позначати сталi, якi можуть залежати лише вiд Z i L. Будемо
писати, що a \preceq b, якщо a \leq cb, а також a \asymp b, якщо одночасно a \preceq b i b \preceq a.
2. Побудова функцiї \bfitf \bfitdelta . Позначимо Z\ast := Z \cup \{ z0, z0\} = \{ zj\} s+1
j=0. Оскiльки L — гладка
крива, то iснує таке число
\delta 0 <
1
2
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i \not =j
| zi - zj | ,
що для всiх j = 0, 1, . . . , s+ 1 i точок z \in L таких, що | z - zj | \leq \delta 0, маємо
| \beta (z) - \beta (zj)| \leq
\pi
16
. (2)
Для кожних j = 1, 2, . . . , s i \delta \in (0, \delta 0) позначимо через z\prime j := z\prime j(\delta ) таку точку z\prime j \in
\in L(zj - 1, zj), що | zj - z\prime j | = \delta ; через z\prime \prime j := z\prime \prime j (\delta ) таку точку z\prime \prime j \in L(zj , zj+1), що | zj - z\prime \prime j | = \delta ,
Jj = Jj(\delta ) = L(z\prime j , z
\prime \prime
j ), i
lj(z) := lj(z, \delta ) =
z - zj
z\prime j - z\prime \prime j
\Biggl(
z - z\prime j
z\prime \prime j - zj
+
z - z\prime \prime j
z\prime j - zj
\Biggr)
.
Для \delta \in (0, \delta 0) позначимо
f\delta (z) =
\left\{
( - 1)j+1\omega (\delta )lj(z), якщо z \in Jj , j = 1, 2, . . . , s;
( - 1)j \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(| f(z)| , \omega (\delta )), якщо z \in L(z\prime \prime j , z
\prime
j+1), j = 1, 2, . . . , s - 1;
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
f(z), \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (z)
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr) \biggr)
, якщо z \in L(z0, z
\prime
1);
( - 1)s\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
f(z), \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (z)
\rho \delta (z\prime \prime s )
\biggr) \biggr)
, якщо z \in L(z\prime \prime s , zs+1).
Лема 1. Виконуються нерiвностi
| f(z) - f\delta (z)| \preceq \omega (\rho \delta (z)), z \in L, (3)
( - 1)j+1\Re f\delta (z) \succeq
\omega (\delta )
\delta
| z - zj | , z \in (z\prime j , zj), (4)
( - 1)j\Re f\delta (z) \succeq
\omega (\delta )
\delta
| z - zj | , z \in (zj , z
\prime \prime
j ), (5)
| f\delta (\zeta ) - f\delta (z)| \preceq \omega (| \zeta - z| ), \zeta , z \in L. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
562 М. В. ЩЕГЛОВ
Доведення. Зауважимо, що \rho \delta (z) \asymp \delta , якщо | z - z0| > \delta 0 i | z - z0| > \delta 0.
Спочатку перевiримо нерiвнiсть (3). Для z \in Jj маємо
| f(z) - f\delta (z)| \leq | f(z)| + | f\delta (z)| = | f(z) - f(zj)| + \omega (\delta )| lj(z)| \preceq \omega (\delta ) \asymp \omega (\rho \delta (z)).
Для iнших точок кривої єдиним нетривiальним випадком є той, коли | f(z)| < | f\delta (z)| . Однак у
цьому випадку | f\delta (z)| \preceq \omega (\rho \delta (z)), отже, | f(z) - f\delta (z)| \leq 2| f\delta (z)| \preceq \omega (\rho \delta (z)).
Нерiвностi (4), (5) випливають з умови (2), яка обумовлює нерiвностi
\Re lj(z) \succeq
| z - zj |
\delta
, якщо z \in L(z\prime j , zj), i - \Re lj(z) \succeq
| z - zj |
\delta
, якщо z \in L(zj , z
\prime \prime
j ).
Залишилось перевiрити нерiвнiсть (6). З огляду на адитивнiсть модуля неперервностi зро-
зумiло, що нерiвнiсть (6) достатньо довести у випадку, коли обидвi точки z, \zeta належать одному
з промiжкiв: Jj , L(z\prime \prime j , zj+1), L(z0, z
\prime
1) або L(z\prime \prime s , zs+1).
Отже, нехай z, \zeta \in Jj , тодi | lj(\zeta ) - lj(z)| \preceq
| \zeta - z|
\delta
, звiдки
| f\delta (\zeta ) - f\delta (z)| \preceq \omega (\delta )
| \zeta - z|
\delta
\preceq \omega (| \zeta - z| ).
Розглянемо тепер випадок, коли z, \zeta \in L(z\prime \prime j , z
\prime
j+1) для деякого j = 1, 2, . . . , s - 1. Єди-
ним нетривiальним випадком є той, коли (| f(z)| - \omega (\delta ))(| f(\zeta )| - \omega (\delta )) < 0. Без обмеження
загальностi вважатимемо, що | f(z)| < \omega (\delta ) < | f(\zeta )| . Тодi
| f\delta (\zeta ) - f\delta (z)| = | f\delta (\zeta )| - \omega (\delta ) < | f(\zeta ) - f(z)| \leq \omega (| \zeta - z| ).
Нехай тепер z, \zeta \in L(z0, z
\prime
1). У цьому випадку єдиним нетривiальним є той, коли f - f\delta —
вiд’ємне число хоча б в однiй iз точок z чи \zeta . Не порушуючи загальностi, будемо вважати, що
f(z) < f\delta (z) = \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (z)
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
.
Тодi для f\delta (\zeta ) є двi можливостi. Якщо f(\zeta ) < f\delta (\zeta ) = \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (\zeta )
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
, то
| f\delta (\zeta ) - f\delta (z)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \omega \biggl( \delta \rho \delta (\zeta )
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
- \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (z)
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \omega
\biggl(
\delta | \rho \delta (\zeta ) - \rho \delta (z)|
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
\preceq \omega
\biggl(
\delta | \zeta - z|
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
\preceq \omega (| \zeta - z| ),
де ми використали нерiвнiсть
| \rho \delta (\zeta ) - \rho \delta (z)| \leq
1
2
| | \zeta - z0| | \zeta - z0| - | z - z0| | z - z0| | \leq
\leq 1
2
| \zeta - z| | \zeta + z - (z0 + z0)| \preceq | \zeta - z| .
У випадку, коли f\delta (\zeta ) = f(\zeta ) > \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (\zeta )
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
, маємо
f\delta (\zeta ) - f\delta (z) \leq f(\zeta ) - f(z) \leq \omega (| \zeta - z| )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА ЗНАКОЗБЕРIГАЮЧОГО НАБЛИЖЕННЯ НА КРИВИХ . . . 563
i
f\delta (z) - f\delta (\zeta ) \leq \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (z)
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
- \omega
\biggl(
\delta \rho \delta (\zeta )
\rho \delta (z
\prime
1)
\biggr)
\preceq \omega (| \zeta - z| ),
тобто | f\delta (\zeta ) - f\delta (z)| \preceq \omega (| \zeta - z| ).
Доведення випадку z, \zeta \in L(z\prime \prime s , zs+1) є аналогiчним.
Лему 1 доведено.
3. Наближення функцiї \bfitf \bfitdelta . Умова
\int 1
0 x - 1h(x)dx < +\infty означає, що крива L належить
класу множин Bk, який означено у [2, с. 392] (див. також [3, с. 178]). А отже, для кривої L
справджується теорема 9.7.1 iз [2] (див. також теорему 21.1 iз [3]), частковим випадком якої є
така лема.
Лема 2. Нехай r = 6, l = 5. Для кожного n \in \BbbN iснують многочленнi ядра Дзядика
вигляду
D+
n (\zeta , z) =
n\sum
j=0
\alpha +
j (\zeta )z
j , D -
n (\zeta , z) =
n\sum
j=0
\alpha -
j (\zeta )z
j , Dn := D+
n - D -
n ,
де \alpha \pm
j — неперервнi на L функцiї, такi, що\int
L
Dn(\zeta , z)d\zeta = 1; (7)
для всiх z \in L\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
(\zeta - z)Dn(\zeta , z)d\zeta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l1
n
(z),
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
(\zeta - z)
\partial Dn(\zeta , z)
\partial z
d\zeta - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l1
n
(z), (8)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
(\zeta - z)2Dn(\zeta , z)d\zeta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l1
n
(z),
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
(\zeta - z)2
\partial Dn(\zeta , z)
\partial z
d\zeta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l1
n
(z). (9)
Для всiх \zeta , z \in L
| 1 - (\zeta - z)D\pm
n (\zeta , z)| \preceq
\rho r - 1
1
n
(z)
| \zeta - z| r - 1
, | D\pm
n (\zeta , z)| \preceq
1
\rho 1
n
(z)
, (10)
отже,
| Dn(\zeta , z)| \preceq
\rho r - 1
1
n
(z)
(| \zeta - z| + \rho 1
n
(z))r
, \zeta , z \in L, (11)
а також \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial zDn(\zeta , z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho r - 2
1
n
(z)
(| \zeta - z| + \rho 1
n
(z))r
, \zeta , z \in L. (12)
Позначимо
tn(z) =
\int
L
f\delta (\zeta )Dn(\zeta , z)d\zeta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
564 М. В. ЩЕГЛОВ
Лема 3. Нехай \delta та n такi, що \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}z\in L \rho 1
n
(z) < \delta < \delta 0. Тодi
| f\delta (z) - tn(z)| \preceq \omega (\rho 1
n
(z)), z \in L, (13)
| f\delta (z) - tn(z)| \preceq
\omega (1/n)
(n\delta )2
, z \in
s\bigcup
j=1
\~Jj , (14)
| f \prime
\delta (z) - t\prime n(z)| \preceq
\omega (1/n)
n3\delta 4
, z \in
s\bigcup
j=1
\~Jj , (15)
де \~Jj := \~Jj(Z, \delta ) =
\biggl\{
z \in L| | z - zj | \leq
\delta
10
\biggr\}
, j = 1, 2, . . . , s.
Доведення. Для зручностi будемо писати \rho замiсть \rho 1
n
(z). Зауважимо, що \rho 1
n
(z) \asymp 1
n
та,
вiдповiдно, \omega (\rho 1
n
(z)) \asymp \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
, якщо z \in L(z\prime 1, z
\prime \prime
s ). Як вiдомо, нерiвнiсть (13) безпосередньо
випливає з нерiвностi (6). Справдi, використовуючи (7) i (11), отримуємо
| tn(z) - f\delta (z)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
(f\delta (\zeta ) - f\delta (z))Dn(\zeta , z)d\zeta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq
\int
L
\omega (| \zeta - z| ) \rho r - 1
(| \zeta - z| + \rho )r
| d\zeta | =
=
\left( \int
\zeta \in L:| z - \zeta | \leq \rho
+
\int
\zeta \in L : | z - \zeta | \geq \rho
\right) \omega (| \zeta - z| ) \rho r - 1
(| \zeta - z| + \rho )r
| d\zeta | \preceq
\preceq \omega (\rho ) +
\int
\zeta \in L : | z - \zeta | \geq \rho
\omega (\rho )| \zeta - z|
\rho
\rho r - 1
| \zeta - z| r
| d\zeta | =
= \omega (\rho ) + \omega (\rho )\rho r - 2
\int
\zeta \in L : | z - \zeta | \geq \rho
| d\zeta |
| \zeta - z| r - 1
\preceq \omega (\rho ).
Далi, нехай z \in Jj , позначимо \scrL (\zeta ) := ( - 1)j+1\omega (\delta )lj(\zeta ), тодi f\delta (z) = \scrL (z).
Доведемо (14). Маємо
tn(z) - f\delta (z) =
\int
L
f\delta (\zeta )Dn(\zeta , z)d\zeta - f\delta (z) =
=
\int
L
(f\delta (\zeta ) - \scrL (\zeta ))Dn(\zeta , z)d\zeta +
\left( \int
L
\scrL (\zeta )Dn(\zeta , z)d\zeta - f\delta (z)
\right) =:
=:
\int
L\setminus Jj
(f\delta (\zeta ) - \scrL (\zeta ))Dn(\zeta , z)d\zeta + I1(z) =
=
\int
L\setminus Jj
(f\delta (\zeta ) - f\delta (z))Dn(\zeta , z)d\zeta +
\int
L\setminus Jj
(\scrL (z) - \scrL (\zeta ))Dn(\zeta , z)d\zeta + I1(z) =:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА ЗНАКОЗБЕРIГАЮЧОГО НАБЛИЖЕННЯ НА КРИВИХ . . . 565
=: I3(z) + I2(z) + I1(z).
Тепер iнтеграл I3(z) оцiнимо так само, як при доведеннi нерiвностi (13), i отримаємо
| I3| \preceq
\int
L\setminus Jj
\omega (| \zeta - z| ) \rho r - 1
(| \zeta - z| + \rho )r
| d\zeta | \preceq \omega (\rho )\rho r - 2
\int
\zeta \in L : | \zeta - z| \geq 9
10
\delta
| d\zeta |
| \zeta - z| r - 1
\preceq \omega (\rho )\rho r - 2
\delta r - 2
.
Далi, використовуючи нерiвнiсть
| lj(\zeta ) - lj(z)| \preceq
| \zeta - z| 2
\delta 2
, \zeta \in L \setminus Jj , (16)
знаходимо
| I2| \preceq
\omega (\delta )\rho r - 1
\delta 2
\int
L\setminus Jj
| d\zeta |
| \zeta - z| r - 2
\preceq \omega (\delta )\rho r - 1
\delta r - 1
\preceq \omega (\rho )\rho r - 2
\delta r - 2
.
З (8) i (9) випливає, що \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
lj(\zeta )Dn(\zeta , z)d\zeta - lj(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l
\delta 2
,
звiдки
| I1(z)| \preceq
\omega (\delta )\rho l
\delta 2
\leq \omega (\rho )\rho l - 1
\delta
\preceq \omega (\rho )\rho l - 1
\delta l - 1
.
Додаючи оцiнки для I1, I2 i I3 та враховуючи, що \rho \preceq 1
n
, отримуємо (14).
Аналогiчно доведемо (15). Позначимо D\prime
n(\zeta , z) =
\partial
\partial z
Dn(\zeta , z). Маємо
t\prime n(z) - f \prime
\delta (z) =
\int
L
f\delta (\zeta )D
\prime
n(\zeta , z)d\zeta - f \prime
\delta (z) =
=
\int
L
(f\delta (\zeta ) - \scrL (\zeta ))D\prime
n(\zeta , z)d\zeta +
\left( \int
L
\scrL (\zeta )D\prime
n(\zeta , z)d\zeta - f \prime
\delta (z)
\right) =:
=:
\int
L\setminus Jj
(f\delta (\zeta ) - \scrL (\zeta ))D\prime
n(\zeta , z)d\zeta + I\ast 1 (z) =
=
\int
L\setminus Jj
(f\delta (\zeta ) - f\delta (z))D
\prime
n(\zeta , z)d\zeta +
\int
L\setminus Jj
(\scrL (z) - \scrL (\zeta ))D\prime
n(\zeta , z)d\zeta + I\ast 1 (z) =:
=: I\ast 3 (z) + I\ast 2 (z) + I\ast 1 (z).
Використовуючи (12) замiсть (11), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
566 М. В. ЩЕГЛОВ
| I\ast 3 | \preceq
\int
L\setminus Jj
\omega (| \zeta - z| ) \rho r - 2
(| \zeta - z| + \rho )r
| d\zeta | \preceq \omega (\rho )\rho r - 3
\int
\zeta \in L : | \zeta - z| \geq 9
10
\delta
| d\zeta |
| \zeta - z| r - 1
\preceq \omega (\rho )\rho r - 3
\delta r - 2
.
Ще раз використовуючи (16), знаходимо
| I\ast 2 | \preceq
\omega (\delta )\rho r - 2
\delta 2
\int
L\setminus Jj
| d\zeta |
| \zeta - z| r - 2
\preceq \omega (\delta )\rho r - 2
\delta r - 1
\preceq \omega (\rho )\rho r - 3
\delta r - 2
.
Нарештi, з (8) i (9) знову випливає, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
L
lj(\zeta )D
\prime
n(\zeta , z)d\zeta - l\prime j(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \rho l
\delta 2
,
звiдки
| I\ast 1 (z)| \preceq
\omega (\delta )\rho l
\delta 2
\leq \omega (\rho )\rho l - 1
\delta
\preceq \omega (\rho )\rho l - 1
\delta l
.
Аналогiчно, додаючи отриманi оцiнки для I\ast 1 , I
\ast
2 i I\ast 3 , отримуємо (15).
Лему 3 доведено.
4. Доведення основного результату. З [1] вiдомо, що iснують полiноми Vj , j = 1, 2, . . . , s,
степеня \leq 1
\delta
такi, що
Vj(zj) = 1,
| Vj(z)| \preceq
\biggl(
\rho \delta (z)
| z - zj | + \rho \delta (z)
\biggr) 3
, z \in L,
| V \prime
j (z)| \preceq
1
\delta
, z \in \~Jj , j = 1, 2, . . . , s,
i шуканим полiномом є полiном hn, означений нижче для вiдповiдного вибору \delta :
qn(z) := (z - z1)(z - z2) . . . (z - zj),
un(z) :=
s\sum
j=1
q(z)
(z - zj)q\prime (zj)
Vj(z)tn(zj),
pn(z) := tn(z) - un(z), hn(z) := \Re pn(z).
Справдi, з (14) випливає, що | tn(zj)| \leq
\omega (1/n)
(n\delta )2
. Тому
| un(z)| \preceq
1
(n\delta )2
\omega (
1
n
), z \in L,
i
| un(z)| \preceq
1
(n\delta )2
\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
\rho 3\delta (z) \preceq
\omega (\rho 1
n
(z))
n3\delta 2\rho 1
n
(z)
\rho 3\delta (z) \preceq
\omega (\rho 1
n
(z))
n
, z \in L \setminus
\Biggl(
s\bigcup
i=1
\~Jj
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА ЗНАКОЗБЕРIГАЮЧОГО НАБЛИЖЕННЯ НА КРИВИХ . . . 567
Тут використано нерiвнiсть
\rho \delta (z)
\rho 1
n
(z)
\preceq \delta 2\biggl(
1
n
\biggr) 2 = (n\delta )2. (17)
Тепер, якщо z \in \~Jj , то
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime
\delta (z) - t\prime n(z) +
\biggl(
q(z)
(z - zj)q\prime (zj)
Vj(z)tn(zj)
\biggr) \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n3\delta 4
+
1
\delta
| tn(zj)| \preceq
\preceq
\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n3\delta 4
+
\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
\preceq
\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
i при k \not = j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q(z)
(z - zk)q\prime (zk)
Vk(z)tn(zk)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq | z - zj | | Vk(z)tn(zk)| \preceq | z - zj | \delta 3| tn(zk)| \preceq
| z - zj | \delta \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2
.
Отже,
| f\delta (z) - pn(z)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f\delta (z) - tn(z) +
q(z)
(z - zj)q\prime (zj)
Vj(z)tn(zj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
s\sum
k=1,k \not =j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q(z)
(z - zk)q\prime (zk)
Vk(z)tn(zk)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq
\preceq
| z - zj | \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
+
| z - zj | \delta \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2
\preceq
| z - zj | \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
, (18)
тобто | f\delta (z) - pn(z)| \leq c1
| z - zj | \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
для z \in \~Jj , j = 1, 2, . . . , s. Також з (4) i (5) одержуємо
| \Re f\delta (z)| \geq c2
\omega (\delta )
\delta
| z - zj | . Тодi за умови n\delta >
\sqrt{}
c1
c2
отримуємо
| \Re f\delta (z) - hn(z)| \leq | f\delta (z) - pn(z)| \leq
\leq c1
| z - zj | \omega
\biggl(
1
n
\biggr)
n2\delta 3
< c2
\omega (\delta )
\delta
| z - zj | \leq | \Re f\delta (z)| для z \in \~Jj ,
звiдки
\Re f\delta (z)hn(z) \geq 0, z \in \~Jj , j = 1, 2, . . . , s. (19)
Далi, для iнших z \in L скористаємось (13) i (17):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
568 М. В. ЩЕГЛОВ
| f\delta (z) - pn(z)| \leq | f\delta (z) - tn(z)| + | un(z)| \preceq \omega (\rho 1
n
(z)) +
\omega (\rho 1
n
(z))
n
\preceq \omega (\rho 1
n
(z)),
тобто
| f\delta (z) - pn(z)| \leq c3\omega (\rho 1
n
(z)), z \in L \setminus
\left( s\bigcup
j=1
\~Jj
\right) . (20)
Також маємо
\rho 1
n
(z) \leq 1
n\delta
\rho \delta (z). (21)
Нагадаємо, що для z \in L \setminus (\cup s
j=1
\~Jj) виконується нерiвнiсть
| \Re f\delta (z)| \geq c4\omega (\rho \delta (z)).
Отже, тодi за умови n\delta > 2k, де k \in \BbbN таке, що \gamma k <
c4
c3
, з (20), (21) i (1) отримуємо
| \Re f\delta (z) - hn(z)| \leq | f\delta (z) - pn(z)| \leq c3\omega (\rho 1
n
(z)) \leq
\leq c3\omega
\biggl(
1
2k
\rho \delta (z)
\biggr)
< c4\omega (\rho \delta (z)) \leq | \Re f\delta (z)| .
Таким чином, i для z \in L \setminus
\Bigl( \bigcup s
j=1
\~Jj
\Bigr)
\Re f\delta (z)hn(z) \geq 0. (22)
Нагадаємо, що для використання (13) – (15) необхiдно, щоб \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}z\in L \rho 1
n
(z) < \delta < \delta 0. Тому
накладемо ще умову, щоб n\delta > c5, де
\rho 1
n
(z) \leq c5
1
n
.
Зафiксуємо тепер \varepsilon :=
1
n\delta
так, щоб для нього виконувались всi зазначенi в цьому пунктi
умови. Тодi для довiльного n > N := N(L,Z, \gamma ) =
\biggl[
1
\delta 0\varepsilon
\biggr]
+ 1 з (19) i (22) випливає, що
hn \in \Delta (0)(Z), а з (3), (17), (18), (20) — що
| f(z) - hn(z)| \leq | f(z) - \Re f\delta (z)| + | \Re f\delta (z) - hn(z)| \preceq \omega (\rho \delta (z)) + \omega (\rho 1
n
(z)) \preceq \omega (\rho 1
n
(z)).
Звiдси отримуємо основний результат статтi.
Лiтература
1. V. V. Andrievskii, Pointwise copositive polynomial approximation on arcs in the complex plane, Comput. Methods
and Funct. Theory, 13, 493 – 508 (2013).
2. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
3. И. А. Шевчук, Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций, Наук. думка, Київ
(1992).
Одержано 24.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7057 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:15Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/34ecd58e9b3dd805e1060ab249521e90.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70572022-07-06T16:22:31Z Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane Поточкова оцінка знакозберігаючого наближення на кривих у комплексній площині Shchehlov, M. V. Щеглов, М. B. ядра Дзядика наближення поліномами гармонічні поліноми жорданова крива умова Діні Комплекснозначні функції UDC 517.53 V. Andrievskii proved in 2014 that if a real-valued function $f\in{\rm Lip}\,\alpha,$ $0&lt;\alpha &lt;1,$ defined on a given smooth Jordan curve satisfying the Dini condition changes its sign finitely many times, then it can be approximated by a harmonic polynomial that changes its sign on the curve at the same points as $f$ and the order of approximation error is the same as the classical Dzyadyk error of pointwise approximation.&nbsp;Applying the Andrievskii proof scheme, we generalize this result to the case of an arbitrary modulus of continuity $ \omega (f, t)$ under the condition $\gamma\omega (f, 2t) \geq \omega (f, t) ,$ where $ \gamma = {\rm const} &lt;1.$ В $2014$ году В.Андриевский доказал, что если заданная на гладкой жордановой кривой (и которая удовлетворяет условие Дини) вещественнозначная функция $f\in Lip\: \alpha,\;\: 0&lt;\alpha&lt;1$ меняет знак конечное число раз, то ее можно приблизить гармоническим полиномом, который меняет свой знак на кривой в тех же точках, что и $f$, и при этом погрешность приближения имеет такой же порядок, что и классическая погрешность Дзядыка поточечного приближения. Воспользовавшись схемой доказательства В.Андриевского, мы обобщим этот результат на случай произвольного модуля непрерывности $\omega(f,t)$, который удовлетворяет условию $\gamma\omega(f,2t)\geq\omega(f,t)$, где $\gamma=const&lt;1$. УДК 517.53У 2014 році В. Андрієвський довів, що якщо задана на гладкій жордановій кривій (і яка задовольняє умову Діні) дійснозначна функція $f\in Lip \alpha, 0&lt;\alpha&lt;1$, змінює знак скінченне число разів, то її можна наблизити гармонічним поліномом, який змінює свій знак на кривій в тих же точках, що і $f$, і при цьому похибка наближення за порядком така ж, як і класична похибка Дзядика поточкового наближення. Користюучись схемою доведення В. Андрієвського, ми узагальнюємо цей результат на випадок довільного модуля неперервності $\omega (f, t) $, який задовольняє умову $\gamma\omega (f, 2t) \ge \omega (f,t)$, де $\gamma=const&lt;1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7057 10.37863/umzh.v74i4.7057 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 560 - 568 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 560 - 568 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7057/9224 Copyright (c) 2022 Микита Щеглов |
| spellingShingle | Shchehlov, M. V. Щеглов, М. B. Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title | Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title_alt | Поточкова оцінка знакозберігаючого наближення на кривих у комплексній площині |
| title_full | Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title_fullStr | Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title_full_unstemmed | Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title_short | Pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| title_sort | pointwise estimation of sign-preserving polynomial approximation on arcs in the complex plane |
| topic_facet | ядра Дзядика наближення поліномами гармонічні поліноми жорданова крива умова Діні Комплекснозначні функції |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7057 |
| work_keys_str_mv | AT shchehlovmv pointwiseestimationofsignpreservingpolynomialapproximationonarcsinthecomplexplane AT ŝeglovmb pointwiseestimationofsignpreservingpolynomialapproximationonarcsinthecomplexplane AT shchehlovmv potočkovaocínkaznakozberígaûčogonabližennânakrivihukompleksníjploŝiní AT ŝeglovmb potočkovaocínkaznakozberígaûčogonabližennânakrivihukompleksníjploŝiní |