On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions
UDC 517.537 Let $A_{\lambda} (0)$ denote the class of power series $g(z) = \sum^{\infty}_{k=0} g^k z_k$ such that $|g_k| \leq \lambda_k| g_1|$ for all $k \geq 1$, where $\lambda = (\lambda_k)$ is a sequence of positive numbers. We obtain necessary and sufficient conditions imposed on a function $l$...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7058 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512593360191488 |
|---|---|
| author | Sheremeta , M. M Шеремета, М. М. |
| author_facet | Sheremeta , M. M Шеремета, М. М. |
| author_sort | Sheremeta , M. M |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-13T07:53:29Z |
| description | UDC 517.537
Let $A_{\lambda} (0)$ denote the class of power series $g(z) = \sum^{\infty}_{k=0} g^k z_k$ such that $|g_k| \leq \lambda_k| g_1|$ for all $k \geq 1$, where $\lambda = (\lambda_k)$ is a sequence of positive numbers. We obtain necessary and sufficient conditions imposed on a function $l$ and an increasingsequence $(n_p)$ of non-negative integers ensuring that the assumption that the Gelfond – Leont’ev – Sălăgean derivative $D^{n_p}_{l,[S]}f $ and the Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh derivative $D^{n_p}_{l,[R]}f $ belong to the class $A_{\lambda} (0)$ for all $p \in {\Bbb Z}_+$ implies that f is an entire function. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7058 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7058
УДК 517.537
М. М. Шеремета (Львiв. нац. у-т iм. I. Франка)
ПРО ОПЕРАТОРИ ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – САЛАГЕАНА
I ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – РУШЕВЕЯ
ТА АНАЛIТИЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ФУНКЦIЙ
Let A\lambda (0) denote the class of power series g(z) =
\sum \infty
k=0
gkz
k such that | gk| \leq \lambda k| g1| for all k \geq 1, where \lambda = (\lambda k)
is a sequence of positive numbers. We obtain necessary and sufficient conditions imposed on a function l and an increasing
sequence (np) of non-negative integers ensuring that the assumption that the Gelfond – Leont’ev – S\v al\v agean derivative
D
np
l,[S]f and the Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh derivative D
np
l,[R]f belong to the class A\lambda (0) for all p \in \BbbZ + implies
that f is an entire function.
Позначимо через A\lambda (0) клас таких степеневих рядiв g(z) =
\sum \infty
k=0
gkz
k, що | gk| \leq \lambda k| g1| для всiх k \geq 1,
де \lambda = (\lambda k) — послiдовнiсть додатних чисел. Знайдено необхiднi i достатнi умови на функцiю l i зростаючу
послiдовнiсть (np) невiд’ємних цiлих чисел для того, щоб iз належностi до класу A\lambda (0) похiдних Гельфонда –
Леонтьєва – Салагеана D
np
l,[S]f i Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея D
np
l,[R]f для всiх p \in \BbbZ + випливало, що f — цiла
функцiя.
1. Вступ. Нехай A(R), 0 < R \leq +\infty , — клас аналiтичних у крузi \BbbD R = \{ z : | z| < R\} функцiй
f(z) =
\infty \sum
k=0
fkz
k, (1)
а A(0) — клас формальних степеневих рядiв. Будемо говорити, що f \in A+(R), якщо f \in A(R)
i fk > 0 для всiх k \geq 0. Для f \in A(0) i l(z) =
\sum \infty
k=0
lkz
k \in A+(0) формальний степеневий ряд
Dn
l f(z) =
\sum \infty
k=0
lk
lk+n
fk+nz
k називається похiдною Гельфонда – Леонтьєва [1]. Якщо l(z) = ez
(тобто lk = 1/k!), то Dn
l f = f (n) є звичайною похiдною.
Для аналiтичної в \BbbD 1 функцiї f(z) = z +
\sum \infty
k=2
fkz
k оператор Dn
[S]f, n \geq 0, означений
рiвностями
D0
[S]f(z) = f(z), D1
[S]f(z) = D[S]f(z) = zf \prime (z),
Dn
[S]f(z) = D[S]
\Bigl(
Dn - 1
[S] f(z)
\Bigr)
= z +
\infty \sum
k=2
knfkz
k,
вiдомий як похiдна Салагеана [2]. Оператор
Dn
[R]f(z) =
z
n!
dn
dzn
\bigl\{
zn - 1f(z)
\bigr\}
= z +
\infty \sum
k=2
(k + n - 1)!
n!(k - 1)!
fkz
k
називається [3] похiдною Рушевея.
Комбiнуючи означення похiдної Гельфонда – Леонтьєва з означеннями похiдних Салагеана
i Рушевея, автор у [4, 5] означив оператори Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана
Dn
l,[S]f(z) = zl1D
1
l
\Bigl\{
Dn - 1
l,[S]f(z)
\Bigr\}
= z +
\infty \sum
k=2
\biggl(
l1lk - 1
lk
\biggr) n
fkz
k
c\bigcirc М. М. ШЕРЕМЕТА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5 717
718 М. М. ШЕРЕМЕТА
i Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея
Dn
l,[R]f(z) = zlnD
n
l
\bigl\{
zn - 1f(z)
\bigr\}
= z +
\infty \sum
k=2
lk - 1ln
ln+k - 1
fkz
k
i дослiдив властивостi максимальних членiв послiдовних похiдних Гельфонда – Леонтьєва –
Салагеана та Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея [4] i адамарових композицiй цих похiдних [5].
Вiдомо [6], що якщо функцiя f \in A(1) i всi її похiднi f (n) є однолистi в D1, то f \in A(+\infty ),
тобто f допускає аналiтичне продовження до цiлої функцiї, i ця функцiя має експоненцiальне
зростання. В [7] доведено, що якщо iснує така зростаюча послiдовнiсть (np) цiлих невiд’ємних
чисел (n0 = 0), що np+1 - np = o(\mathrm{l}\mathrm{n}np) при p \rightarrow \infty i всi похiднi f (np) є однолистими в
D1, то f \in A(+\infty ). С. М. Шах [8] висловив припущення, що якщо
\sum \infty
p=1
1
np
= +\infty i всi
похiднi f (np) є однолистими в D1, то f \in A(+\infty ). Ця гiпотеза була повторена в 1976 р. на
конференцiї з комплексного аналiзу в Нью-Йорку (див. [9]) i спростована у статтях [10, 11].
Фактично доведено [10], що для того, щоб для кожної функцiї f з однолистостi f (np) для всiх
p \in \BbbZ + випливало, що f — цiла функцiя, необхiдно i достатньо, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow \infty
\left\{ \mathrm{l}\mathrm{n} np -
1
np
p\sum
j=1
(nj - nj - 1) \mathrm{l}\mathrm{n} (nj - nj - 1)
\right\} = +\infty .
Як у [12], позначимо через \Lambda клас таких всiх додатних послiдовностей \lambda = (\lambda k), що
0 \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda k \leq ak для деякого a > 0 i всiх k \geq 1, i будемо говорити, що f \in A\lambda (0), якщо
f \in A(0) i | fk| \leq \lambda k| f1| для всiх k \geq 1. Зокрема, якщо \lambda k = k для всiх k \geq 1, то за
доведеною [13] гiпотезою Бiбербаха клас A\lambda (0) мiстить всi однолистi в одиничному крузi
функцiї. Нарештi, нехай \frakN — клас зростаючих послiдовностей (np) цiлих невiд’ємних чисел,
n0 = 0. Для похiдних Гельфонда – Леонтьєва в [12] отримано такi результати.
I. Нехай l \in A+(0). Для того щоб для кожних послiдовностi \lambda \in \Lambda i функцiї f \in A(0)
з умови (\forall n \in \BbbZ +) \{ Dn
l f \in A\lambda (0)\} випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо,
щоб l \in A+(+\infty ).
II. Нехай (np) \in \frakN . Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0) i l \in A+(\infty ) з умови
(\forall n \in \BbbZ +)
\bigl\{
D
np
l f \in A\lambda (0)
\bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}p\rightarrow +\infty (np+1 - np) < \infty .
III. Нехай (np) \in \frakN , l \in A+(\infty ) i послiдовнiсть
\bigl(
l2k/lk - 1lk+1
\bigr)
є незростаючою. Для того
щоб для кожних послiдовностi \lambda \in \Lambda i функцiї f \in A(0) з умови (\forall n \in \BbbZ +)
\bigl\{
D
np
l f \in A\lambda (0)]
\bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow \infty
1
np + 1
\left\{ \mathrm{l}\mathrm{n}
1
lnp + 1
-
\infty \sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
lnj - nj - 1+1
\right\} = +\infty .
IV. Нехай l \in A+(0). Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0) i n0 \in \BbbN з умови Dn0
l f \in
\in A\lambda (0) випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}p\rightarrow +\infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 =
= \infty .
У цiй статтi ми отримаємо подiбнi результати для похiдних Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана
i Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПРО ОПЕРАТОРИ ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – САЛАГЕАНА I ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – РУШЕВЕЯ . . . 719
2. Похiднi Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана. На вiдмiну вiд [4] для функцiї (1) будемо
розглядати дещо загальнiший вигляд похiдної Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана
Dn
l,[S]f(z) =
\infty \sum
k=1
\biggl(
l1lk - 1
lk
\biggr) n
fkz
k. (2)
Спочатку доведемо таку теорему.
Теорема 1. Нехай l \in A+(0). Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0) i (np) \in \frakN з
умови (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[S]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо,
щоб iснувало таке число k0, що
lk
l1lk - 1
< 1 для всiх k \geq k0.
Доведення. Умова (\forall p \in \BbbZ +)\{ D
np
l,[S]f \in A\lambda (0)\} виконується тодi й лише тодi, коли\biggl(
l1lk - 1
lk
\biggr) np
| fk| \leq \lambda k| f1| (3)
для всiх k i p, тобто, якщо k
\sqrt{}
| fk| \leq k
\sqrt{}
| f1| \lambda k (lk/(l1lk - 1))
np/k для всiх k i p.
Якщо lk/(l1lk - 1) < 1 для всiх k \geq k0, то для k \geq k0 можемо так вибрати npk , що
(lk/(l1lk - 1))
npk
/k \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Тому, оскiльки \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda k \leq ak для деякого a > 0 i всiх k \geq 1,
маємо
k
\sqrt{}
| fk| \leq (1 + o(1)ea (lk/(l1lk - 1))
npk
/k = o(1), k \rightarrow \infty ,
тобто f \in A(\infty ).
Якщо ж iснує така зростаюча послiдовнiсть (kj), що
lkj
l1lkj - 1
\geq 1 для всiх j \geq 1, виберемо
\lambda k = 1 для всiх k, f1 = 1, fkj = lkj/(l1lkj - 1) для всiх j i fk = 0 для всiх k \not = kj . Тодi\biggl(
l1lkj - 1
lkj
\biggr) np
| fkj | =
\biggl(
l1lkj - 1
lkj
\biggr) np - 1
\leq 1 = \lambda kj | f1| ,
тобто (3) виконується. З iншого боку,
kj
\sqrt{}
| fkj | = kj
\sqrt{}
lkj/(l1lkj - 1) \geq 1.
Тому (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[S]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
, але f \not \in A(\infty ).
Теорему 1 доведено.
З теореми 1 випливає такий аналог твердження I.
Наслiдок 1. Нехай l \in A+(0). Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda i f \in A(0) з умови
(\forall n \in \BbbZ +)
\Bigl\{
Dn
l,[S]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо, щоб
iснувало таке число k0, що
lk
l1lk - 1
< 1 для всiх k \geq k0.
Зрозумiло, що для похiдних Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана теорема 1 iстотно вiдрiзня-
ється вiд тверджень I i II для похiдних Гельфонда – Леонтьєва. З теореми 1 також випливає, що
твердження III для похiдних Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана не може мати аналога. Проте
правильним є наступний аналог твердження IV.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
720 М. М. ШЕРЕМЕТА
Теорема 2. Нехай l \in A+(0). Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0) i деякого
n0 \in \BbbN з умови Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i достатньо,
щоб \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = +\infty .
Доведення. Припустимо, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty i Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) для деякого n0.
Тодi (l1lk - 1/lk)
n0
| fk| \leq \lambda k| f1| i, отже, k
\sqrt{}
| fk| \leq k
\sqrt{}
| f1| \lambda k
\Bigl(
k
\sqrt{}
lk/(l1lk - 1)
\Bigr) n0
\rightarrow 0 при k \rightarrow \infty ,
тобто f \in A(\infty ).
З iншого боку, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 \not = +\infty , то iснують число q \in (0,+\infty ) i послiдов-
нiсть (kj) \uparrow +\infty такi, що lkj - 1/lkj \leq qkj . Виберемо n0 = 1, \lambda k = 1 для всiх k, f1 = l1,
fkj = q - kj i fm = 0 для m \not = kj . Тодi
\bigl(
l1lkj - 1/lkj
\bigr) n0
| fkj | = (l1lkj - 1/lkj )q
- kj \leq l1 = \lambda kj | f1|
i, оскiльки fm = 0 для всiх m \not = kj , отримуємо Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0). Водночас \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
| fk| =
= 1/q, тобто f \not \in A(\infty ).
Теорему 2 доведено.
Для цiлої функцiї f, похiдна Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана якої задовольняє умову
Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) для деякого n0, можна встановити швидкiсть зростання максимуму модуля
Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(z)| : | z| = r\} в тiй чи iншiй шкалi зростання.
Нехай, як в [14], L — клас таких неперервних додатних на ( - \infty , +\infty ) функцiй \alpha , що
\alpha (x) = \alpha (x0) \geq 0 для x \leq x0 i \alpha (x) \uparrow +\infty при x0 \leq x \rightarrow +\infty . Будемо говорити, що \alpha \in Lsi,
якщо \alpha \in L i \alpha (cx) = (1+o(1))\alpha (x) при x \rightarrow +\infty для кожного фiксованого c \in (0,+\infty ), тобто
\alpha — повiльно зростаюча функцiя. Для \alpha \in L, \beta \in L величина \varrho \alpha ,\beta [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} M(r, f))
\beta (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
називається [14] узагальненим порядком цiлої функцiї f.
Справджуються такi твердження.
Твердження 1. Нехай \alpha \in Lsi, \beta \in Lsi i
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
= O(1) при x \rightarrow +\infty для кожного
c \in (0, +\infty ). Якщо \lambda \in \Lambda , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty i Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) для деякого n0, то
\varrho \alpha ,\beta [f ] \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \alpha (k)/\beta
\biggl(
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
lk - 1
lk
\biggr)
.
Справдi, за умов, накладених на функцiї \alpha \in Lsi i \beta \in Lsi, правильною є формула [14]
\varrho \alpha ,\beta [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \alpha (k)/\beta
\biggl(
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| fk|
\biggr)
. З умов \lambda \in \Lambda i Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) випливає, що
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | fk| \leq a+
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | f1| +
n0
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
lk
l1lk - 1
,
тобто
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| fk|
\geq n0
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
l1lk - 1
lk
- a+ o(1), k \rightarrow \infty .
Тому
\varrho \alpha ,\beta [f ] \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (k)/\beta
\biggl(
n0
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
l1lk - 1
lk
- a+ o(1)
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (k)/\beta
\biggl(
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
lk - 1
lk
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПРО ОПЕРАТОРИ ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – САЛАГЕАНА I ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – РУШЕВЕЯ . . . 721
Вибираючи \alpha (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}+ x i \beta (x) = x+, з означення \varrho \alpha ,\beta [f ] отримуємо означення порядку
\varrho [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} M(r, f))
\mathrm{l}\mathrm{n} r
цiлої функцiї (1). Функцiя \beta (x) = x+ не задовольняє умову
\beta \in Lsi. Але, використовуючи формулу Адамара \varrho [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k
- \mathrm{l}\mathrm{n} | fk|
, можемо отримати
таке твердження.
Твердження 2. Якщо \lambda \in \Lambda , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty i Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) для деякого n0, то
\varrho [f ] \leq 1
n0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k
\mathrm{l}\mathrm{n} (lk - 1/lk)
.
Звiдси випливає, що якщо \lambda \in \Lambda , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty , k \mathrm{l}\mathrm{n} k = O(\mathrm{l}\mathrm{n} (lk - 1/lk)) при
k \rightarrow \infty , (np) \in \frakN i (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[S]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
, то \varrho [f ] = 0.
3. Похiднi Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея. Тут для функцiї (1) також будемо розглядати
дещо загальнiший вигляд похiдної Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея, а саме
Dn
l,[R](z) =
\infty \sum
k=1
lk - 1ln
ln+k - 1
fkz
k. (4)
Спочатку доведемо аналог теореми 1.
Теорема 3. Нехай ljlj+2 \leq l2j+1 для всiх j \geq 0. Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0)
i (np) \in \frakN з умови (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[R]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно
i достатньо, щоб iснувало таке k0, що для всiх k \geq k0
\infty \sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+k - 1
ljlj+k
= +\infty . (5)
Доведення. Умова (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[R]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
виконується тодi й лише тодi, коли
lk - 1lnp
lnp+k - 1
| fk| \leq \lambda k| f1|
для всiх k \geq 2 i p \geq 0, тобто
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | fk| \leq a+
\mathrm{l}\mathrm{n} | f1|
k
+
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
lnp+k - 1
lk - 1lnp
. (6)
Приймемо \eta j =
lj+1
lj
. Тодi lj =
\prod j - 1
m=0
\eta m i
\mathrm{l}\mathrm{n}
ln+k - 1
lk - 1ln
=
n+k - 2\sum
m=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta m -
k - 2\sum
m=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta m -
n - 1\sum
m=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta m =
n+k - 2\sum
m=k - 1
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta m -
n - 1\sum
m=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta m =
=
n - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta k+j - 1 -
n - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n} \eta j =
n - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\eta k+j - 1
\eta j
=
n - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
(7)
для всiх k \geq 2 i p \geq 0 i, отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
722 М. М. ШЕРЕМЕТА
\mathrm{l}\mathrm{n}
lnp+k - 1
lk - 1lnp
=
np - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
для всiх k \geq 2 i p \geq 0. Тому якщо \lambda \in \Lambda i (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[R]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
, то з огляду на (6) для
всiх k \geq 2 i n \geq 0 маємо
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | fk| \leq a+ o(1) +
1
k
np - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
, k \rightarrow \infty . (8)
З умови (5) випливає, що для кожного фiксованого k \geq k0 iснує таке pk, що
npk
- 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+k - 1
ljlj+k
\geq k2,
тобто
1
k
npk
- 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
\leq - k \rightarrow - \infty , k \rightarrow \infty .
Тому для n = npk з (8) отримуємо
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | fk| \leq a+ o(1) +
1
k
npk
- 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
\rightarrow - \infty , k \rightarrow \infty ,
тобто f \in A(\infty ).
Достатнiсть умови (5) доведено.
Припустимо тепер, що таке k0 не iснує, тобто iснують число q < +\infty i зростаюча послi-
довнiсть (km) такi, що
\infty \sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+km - 1
ljlj+km
\leq q < +\infty . (9)
Виберемо \lambda k = 1, f1 = 1, fkm = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{ \sum \infty
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+km
lj+1lj+km - 1
\biggr\}
для всiх m i fk = 0 для всiх
k \not = km. Тодi з (9) випливає, що
1
km
\mathrm{l}\mathrm{n} | fkm | \geq - q/km \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty , тобто f \not \in A(\infty ).
Водночас, оскiльки ljlj+2 \leq l2j+1 для всiх j \geq 0, послiдовнiсть (lj/lj+1) неспадна i з огляду на
(7) маємо
\mathrm{l}\mathrm{n}
lkm - 1lnp
lnp+km - 1
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | fkm | = -
np - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+km
lj+1lj+km - 1
+
+
\infty \sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+km
lj+1lj+km - 1
=
\infty \sum
j=np
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+km
lj+1lj+km - 1
\leq 0,
тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПРО ОПЕРАТОРИ ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – САЛАГЕАНА I ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА – РУШЕВЕЯ . . . 723
lkm - 1lnp
lnp+km - 1
| fkm | \leq 1 = \lambda km | f1| .
При k \not = km остання нерiвнiсть є очевидною. Тому (\forall p \in \BbbZ +)
\Bigl\{
D
np
l,[R]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
.
Теорему 3 доведено.
Наслiдок 2. Нехай ljlj+2 \leq l2j+1 для всiх j \geq 0. Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda i
f \in A(0) з умови (\forall n \in \BbbZ +)
\Bigl\{
Dn
l,[R]f \in A\lambda (0)
\Bigr\}
випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно
i достатньо, щоб iснувало таке k0, що
\sum \infty
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+k - 1
ljlj+k
= +\infty для всiх k \geq k0.
Правильним є такий аналог теореми 2.
Теорема 4. Нехай ljlj+2 \leq l2j+1 для всiх j \geq 0. Для того щоб для кожних \lambda \in \Lambda , f \in A(0)
i деякого n0 \geq 1 з умови Dn0
l,[R]f \in A\lambda (0) випливала належнiсть f до A(\infty ), необхiдно i
достатньо, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
1
k
n0 - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+k - 1
lj+k
= +\infty . (10)
Доведення. Якщо Dn0
l,[S]f \in A\lambda (0) i (10) виконується, то з огляду на (7), як i ранiше, маємо
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n} | fk| \leq a+ o(1) +
1
k
n0 - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
ljlj+k
lj+1lj+k - 1
= O(1) - 1
k
n0 - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+k - 1
lj+k
\rightarrow - \infty , k \rightarrow \infty ,
тобто f \in A(\infty ).
З iншого боку, якщо (10) не виконується, то iснує така послiдовнiсть (km) \uparrow +\infty , що
1
km
\sum n0 - 1
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+km - 1
lj+km
\leq C1 < +\infty i, отже,
1
km
\sum n0 - 1
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+km - 1
ljlj+km
\leq C2 < +\infty . Вибе-
ремо \lambda k = 1 для всiх k, f1 = 1, fkm = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
-
\sum n0 - 1
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+1lj+km - 1
ljlj+km
\biggr\}
i fk = 0 для всiх
k \not = km. Тодi Dn0
l,[R]f \in A\lambda (0), але f \not \in A(\infty ).
Теорему 4 доведено.
Зауважимо, що (10) виконується, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty .
Зауважимо також, що i у випадку похiдних Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея можна отри-
мати оцiнки для Mf (r). Правильними є такi аналоги тверджень 1 i 2.
Твердження 3. Нехай функцiї \alpha i \beta задовольняють умови твердження 1. Припустимо,
що \lambda \in \Lambda , ljlj+2 \leq l2j+1 для всiх j \geq 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty i Dn0
l,[R]f \in A\lambda (0) для деякого
n0. Тодi
\varrho \alpha ,\beta [f ] \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (k)/\beta
\left( 1
k
n0 - 1\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+k - 1
lj+k
\right) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (k)/\beta
\biggl(
1
k
\mathrm{l}\mathrm{n}
lk - 1
lk
\biggr)
.
Твердження 4. Якщо \lambda \in \Lambda , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
lk/lk+1 = \infty i Dn0
l,[R]f \in A\lambda (0) для деякого n0, то
\varrho [f ] \leq 1
n0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k\sum n0 - 1
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
lj+k - 1
lj+k
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k
\mathrm{l}\mathrm{n} (lk - 1/lk)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
724 М. М. ШЕРЕМЕТА
Лiтература
1. А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев, Об обобщении ряда Фурье, Мат. сб., 29, № 3, 477 – 500 (1951).
2. G. St. S\v al\v agean, Subclasses of univalent functions, Lect. Notes Math., 1013, 362 – 372 (1983).
3. St. Ruscheweyh, New criteria for univalent functions, Proc. Amer. Math. Soc., 49, 109 – 115 (1975).
4. M. M. Sheremeta, On the maximal terms of successive Gelfond – Leont’ev – S\v al\v agean and Gelfond – Leont’ev –
Ruscheweyh derivatives of a function analytic in the unit disc, Mat. Stud., 37, № 1, 58 – 64 (2012).
5. M. M. Sheremeta, Hadamard composition of Gelfond – Leont’ev – S\v al\v agean and Gelfond – Leont’tev – Ruscheweyh
derivatives of functions analytic in the unit disc, Mat. Stud., 54, № 2, 115 – 134 (2020).
6. S. M. Shah, S. Y. Trimble, Univalent functions with univalent derivatives, Bull. Amer. Math. Soc., 75, 153 – 157
(1969).
7. S. M. Shah, S. Y. Trimble, Univalent functions with univalent derivatives, III, J. Math. and Mech., 19, 451 – 460
(1969/1970).
8. S. M. Shah, Analytic functions with univalent derivatives and entire functions of exponential type, Bull. Amer. Math.
Soc., 78, № 2, 110 – 118 (1972).
9. S. S. Miller, Problems in complex function theory, Complex Anal., Proc. S.U.N.Y. Brockport Conf., New York; Basel
(1978), p. 167 – 177.
10. М. Н. Шеремета, О целых функциях с однолистными в круге производными, Укр. мат. журн., 43, № 3, 400 – 406
(1991).
11. М. М. Шеремета, Спростування однiєї гiпотези Шаха про однолистi функцiї, Мат. студ., 2, 46 – 48 (1993).
12. М. Н. Шеремета, О степенных рядах с удовлетворяющими специальному условию производными Гельфонда –
Леонтьева, Мат. физика, анализ, геометрия, 3, № 3/4, 423 – 445 (1996).
13. Louis de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., 154, 137 – 152 (1985).
14. М. Н. Шеремета, О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее
степенного разложения, Изв. вузов. Математика, № 2, 100 – 108 (1967).
Одержано 17.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7058 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:15Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bc/0db127bd82a179d86a0f43de5ee704bc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70582022-07-13T07:53:29Z On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions Про оператори Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана і Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея та аналітичне продовження функцій Sheremeta , M. M Шеремета, М. М. оператори Гельфонда-Леонтьєва-Салагеана оператори Гельфонда-Леонтьєва-Рушевея Operators Gelfond – Leont’ev – Sălăgean Operators Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh UDC 517.537 Let $A_{\lambda} (0)$ denote the class of power series $g(z) = \sum^{\infty}_{k=0} g^k z_k$ such that $|g_k| \leq \lambda_k| g_1|$ for all $k \geq 1$, where $\lambda = (\lambda_k)$ is a sequence of positive numbers. We obtain necessary and sufficient conditions imposed on a function $l$ and an increasingsequence $(n_p)$ of non-negative integers ensuring that the assumption that the Gelfond – Leont’ev – Sălăgean derivative $D^{n_p}_{l,[S]}f $ and the Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh derivative $D^{n_p}_{l,[R]}f $ belong to the class $A_{\lambda} (0)$ for all $p \in {\Bbb Z}_+$ implies&nbsp;that f is an entire function. УДК 517.537Позначимо через $A_{\lambda} (0)$ клас таких степеневих рядiв $g(z) = \sum^{\infty}_{k=0} g^k z_k$, що $|g_k| \leq \lambda_k| g_1|$ для всiх $k \geq 1$, де $\lambda = (\lambda_k)$ — послiдовнiсть додатних чисел. Знайдено необхiднi i достатнi умови на функцiю $l$ i зростаючу послiдовнiсть $(n_p)$ невiд’ємних цiлих чисел для того, щоб iз належностi до класу $A_{\lambda} (0)$ похiдних Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана $D^{n_p}_{l,[S]}f $ i Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея $D^{n_p}_{l,[R]}f $ для всiх $p \in {\Bbb Z}_+$ випливало, що $f$ — цiла функцiя. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7058 10.37863/umzh.v74i5.7058 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 717 - 724 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 717 - 724 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7058/9243 Copyright (c) 2022 Мирослав Шеремета |
| spellingShingle | Sheremeta , M. M Шеремета, М. М. On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title | On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title_alt | Про оператори Гельфонда – Леонтьєва – Салагеана і Гельфонда – Леонтьєва – Рушевея та аналітичне продовження функцій |
| title_full | On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title_fullStr | On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title_full_unstemmed | On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title_short | On the Gelfond – Leont’ev – Sǎlǎgean and Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| title_sort | on the gelfond – leont’ev – sǎlǎgean and gelfond – leont’ev – ruscheweyh operators and analytic continuation of functions |
| topic_facet | оператори Гельфонда-Леонтьєва-Салагеана оператори Гельфонда-Леонтьєва-Рушевея Operators Gelfond – Leont’ev – Sălăgean Operators Gelfond – Leont’ev – Ruscheweyh |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7058 |
| work_keys_str_mv | AT sheremetamm onthegelfondleontevsalageanandgelfondleontevruscheweyhoperatorsandanalyticcontinuationoffunctions AT šeremetamm onthegelfondleontevsalageanandgelfondleontevruscheweyhoperatorsandanalyticcontinuationoffunctions AT sheremetamm prooperatorigelʹfondaleontʹêvasalageanaígelʹfondaleontʹêvaruševeâtaanalítičneprodovžennâfunkcíj AT šeremetamm prooperatorigelʹfondaleontʹêvasalageanaígelʹfondaleontʹêvaruševeâtaanalítičneprodovžennâfunkcíj |