On some conditions for the second moduli of continuity
UDC 517.5 We investigate the second moduli of continuity for functions from the space of continuous and periodic real functions and the space of functions uniformly continuous on the entire axis. For both  spaces, we give the negative answer to a question about necess...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7068 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512596822589440 |
|---|---|
| author | Chaikovs’kyi, A. V. Чайковський, А. В. |
| author_facet | Chaikovs’kyi, A. V. Чайковський, А. В. |
| author_sort | Chaikovs’kyi, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-17T13:56:55Z |
| description |
UDC 517.5
We investigate the second moduli of continuity for functions from the space of continuous and periodic real functions and the space of functions uniformly continuous on the entire axis. For both  spaces, we give the negative answer to a question about necessity of one condition formulated by V. E. Geit, which is sufficient for a function to be a second module of continuity. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i9.7068 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i9.7068
УДК 517.5
А. В. Чайковський1 (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ДЕЯКI УМОВИ ДЛЯ ДРУГИХ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI
We investigate the second moduli of continuity for functions from the space of continuous and periodic real functions and
the space of functions uniformly continuous on the entire axis. For both spaces, we give the negative answer to a question
about necessity of one condition formulated by V. E. Geit, which is sufficient for a function to be a second module of
continuity.
Розглянуто другi модулi неперервностi для функцiй iз простору неперервних та перiодичних функцiй i простору
рiвномiрно неперервних на всiй осi функцiй. Для обох просторiв дано негативну вiдповiдь на поставлене В. Е. Гей-
том питання про необхiднiсть встановленої ним умови, яка є достатньою, щоб функцiя була другим модулем
неперервностi.
Вступ. Нехай C2\pi — клас неперервних 2\pi -перiодичних дiйсних функцiй, визначених на \bfR ,
UC(\bfR ) — клас рiвномiрно неперервних дiйсних функцiй, визначених на \bfR .
Для дiйсних функцiй f, визначених на \bfR , будемо використовувати позначення для скiнчен-
них рiзниць
\bigtriangleup 2
t f(x) = f(x+ 2t) - 2f(x+ t) + f(x), x\in \bfR , t\in \bfR .
Другим модулем неперервностi для функцiї f \in UC(\bfR ) називають функцiю
\omega 2(f, h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \bfR
\bigm| \bigm| \bigtriangleup 2
t f(x)
\bigm| \bigm| , h \geq 0,
а для функцiї f \in C2\pi — функцiю
\omega 2(f, h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \bfR
\bigm| \bigm| \bigtriangleup 2
t f(x)
\bigm| \bigm| , h \in [0, \pi ].
Проблема простої характеризацiї всiх функцiй, що можуть бути другими модулями не-
перервностi для функцiй з одного з уведених класiв, є вiдкритою i виявилася складною для
вирiшення. Характеризацiю з точнiстю до порядкової еквiвалентностi було отримано в роботах
I. О. Шевчука [1, c. 25 – 29; 2] та В. Гейта [3].
Цiкавою є задача отримання нових необхiдних або достатнiх умов на функцiї, що є другими
модулями неперервностi. В роботi [4] (теорема 3) отримано одну з вiдомих достатнiх умов.
Теорема 1 (В. Гейт). Функцiя \varphi (t), 0 \leq t \leq \pi , є другим модулем неперервностi для деякої
функцiї з класу C2\pi , якщо:
a) \varphi (0) = 0;
b) \varphi неспадна i неперервна на [0, \pi ];
c) парне i 2\pi -перiодичне продовження \^\varphi функцiї \varphi задовольняє умову\bigm| \bigm| \bigtriangleup 2
t \^\varphi (x)
\bigm| \bigm| \leq 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
, x\in \bfR , | t| \leq \pi .
1 e-mail: chaikovskiyav@ukr.net.
c\bigcirc А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9 1291
1292 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
В роботi [4] зазначено, що питання щодо правильностi оберненого твердження є вiдкритою
проблемою.
Зауваження 1. Наведена теорема залишається правильною, якщо функцiя \varphi визначена на
[0,+\infty ) i нерiвнiсть в п. c) записати у виглядi
| \bigtriangleup 2
t \^\varphi (x)| \leq 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
, x\in \bfR , t\in \bfR .
Справдi, це випливає з того, що другий модуль неперервностi довiльної функцiї f з класу
C2\pi є сталою на [\pi ,+\infty ) величиною, оскiльки\bigm| \bigm| f(x+ 2t) - 2f(x+ t) + f(x)
\bigm| \bigm| =
= | f(x+ 2(t - 2\pi k)) - 2f(x+ (t - 2\pi k)) + f(x)| \leq \omega 2(f, \pi ), t > \pi , k :=
\biggl[
t+ \pi
2\pi
\biggr]
(через [c] позначено цiлу частину числа c).
Для випадку простору UC(\bfR ) можна отримати теорему, аналогiчну теоремi 1. Зауважимо,
що її доведення, по сутi, не буде вiдрiзнятися вiд доведення теореми 1, яке запропонував В. Гейт.
Наведемо це твердження.
Теорема 2. Функцiя \varphi (t), t \geq 0, є другим модулем неперервностi для деякої функцiї з
класу UC(\bfR ) якщо:
a) \varphi (0) = 0;
b) \varphi \in UC([0,+\infty )) неспадна на [0,+\infty );
c) парне продовження \^\varphi функцiї \varphi задовольняє умову
| \bigtriangleup 2
t \^\varphi (x)| \leq 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
, x\in \bfR , t\in \bfR .
У роботi [5] отримано таке твердження (теорема 1).
Теорема 3 (С. В. Конягiн). Для довiльної функцiї f \in UC(\bfR ) i невiд’ємних чисел \delta 2 \leq \delta 1
справджується нерiвнiсть
\omega 2(f, \delta 1 + \delta 2) + \omega 2(f, \delta 1 - \delta 2) + 2\omega 2(f, \delta 2) \geq \omega 2(f, \delta 1).
Якщо позначити \varphi (t) = \omega 2(f, t), t \geq 0, x = \delta 1 - \delta 2 \geq 0, t = \delta 2 \geq 0, то остання нерiвнiсть
набере вигляду
\varphi (x+ 2t) + \varphi (x) + 2\varphi (t) \geq 2\varphi (x+ t).
Це дозволяє записати теорему 3 в еквiвалентнiй формi, що дає необхiдну умову, подiбну до
достатньої умови з теореми 2.
Теорема 4. Якщо функцiя \varphi — другий модуль неперервностi для деякої функцiї з класу
UC(\bfR ), то
\bigtriangleup 2
t\varphi (x) \geq - 2\varphi (t), x \geq 0, t \geq 0.
Зауваження 2. 1. Оскiльки C2\pi \subset UC(\bfR ), теорема справджується i для простору C2\pi .
2. Легко перевiрити, що нерiвнiсть Конягiна виконується для парного продовження \^\varphi функ-
цiї \varphi :
\bigtriangleup 2
t \^\varphi (x) \geq - 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
, x\in \bfR , t\in \bfR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ПРО ДЕЯКI УМОВИ ДЛЯ ДРУГИХ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI 1293
Справдi, для x \geq 0, t \in
\Bigl[
- x
2
, 0
\Bigr)
, використовуючи теорему 4, маємо
\bigtriangleup 2
t \^\varphi (x) = \^\varphi (x+ 2t) - 2 \^\varphi (x+ t) + \^\varphi (x) =
= \varphi
\bigl(
(x+ 2t) + 2( - t)
\bigr)
- 2\varphi
\bigl(
(x+ 2t) + ( - t)
\bigr)
+ \varphi (x+ 2t) \geq - 2\varphi ( - t).
Для x \geq 0, t < - x
2
маємо | x+ t| \leq - t, отже, за теоремою 4
\bigtriangleup 2
t \^\varphi (x) = \varphi ( - x - 2t) - 2\varphi
\bigl(
| x+ t|
\bigr)
+ \varphi (x) =
= \varphi (x+ 2( - x - t)) - 2\varphi
\bigl(
x+ ( - x - t)
\bigr)
+ \varphi (x) + 2\varphi ( - t) - 2\varphi
\bigl(
| x+ t|
\bigr)
\geq
\geq - 2\varphi (| x+ t| ) + 2\varphi ( - t) - 2\varphi
\bigl(
| x+ t|
\bigr)
\geq - 2\varphi ( - t).
Нарештi, для x < 0 внаслiдок парностi отримуємо
\bigtriangleup 2
t \^\varphi (x) = \^\varphi ( - x - 2t) - 2 \^\varphi ( - x - t) + \^\varphi ( - x) = \bigtriangleup 2
- t \^\varphi ( - x) \geq - 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
.
Основнi результати. В обох просторах C2\pi i UC(\bfR ) вiдмiннiсть мiж необхiдною умовою
Гейта i достатньою умовою Конягiна полягає в нерiвностi
\bigtriangleup 2
t \^\varphi (x) \leq 2\varphi
\bigl(
| t|
\bigr)
, x\in \bfR , t\in \bfR .
Вiдкрита проблема, поставлена Гейтом, еквiвалентна питанню про можливiсть додати цю
нерiвнiсть до необхiдних умов. Нижче дано негативну вiдповiдь на це питання для обох про-
сторiв.
Теорема 5. Iснує функцiя \varphi , що є другим модулем неперервностi для деякої функцiї з класу
C2\pi , така що парне 2\pi -перiодичне продовження \^\varphi функцiї \varphi з вiдрiзка [0, \pi ] для деяких x0 > 0,
t0 > 0 задовольняє умову
\bigtriangleup 2
t0 \^\varphi (x0) > 2\varphi
\bigl(
| t0|
\bigr)
.
Теорема 6. Iснує функцiя \varphi , що є другим модулем неперервностi для деякої функцiї з класу
UC(\bfR ), така що парне продовження \^\varphi функцiї \varphi для деяких x0 > 0, t0 > 0 задовольняє умову
\bigtriangleup 2
t0 \^\varphi (x0) > 2\varphi
\bigl(
| t0|
\bigr)
.
Для доведення цих теорем нам знадобляться такi допомiжнi результати.
Лема 1. Нехай функцiї f1, f2 \in UC(\bfR ) мають нульову другу похiдну зовнi деякого вiдрiзка.
Нехай \varphi 1, \varphi 2 — другi модулi неперервностi для функцiй f1, f2 вiдповiдно. Тодi для довiльного
L > 0 iснує функцiя f \in UC(\bfR ) така, що
\varphi (t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\varphi 1(t), \varphi 2(t)
\bigr\}
, t \in [0, L],
є другим модулем неперервностi для f на [0, L].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1294 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Доведення. Нехай f \prime \prime
1 = f \prime \prime
2 = 0 зовнi вiдрiзка [ - C,C] для деякого C > 0. Тодi функцiї f1,
f2 лiнiйнi на ( - \infty , - C] i [C,+\infty ). Визначимо функцiю f \in UC(\bfR ) рiвностями
f(x) = f1(x), x \leq C + 3L,
f(x) = f2(x - 3L - 2C) - f2( - C) + f1(x), x > C + 3L.
Тодi функцiя f обов’язково є лiнiйною на кожному з промiжкiв ( - \infty , - C], [C,C +3L], [3C +
+3L,+\infty ) i може бути нелiнiйною за їхнiми межами. Тому величина \bigtriangleup 2
t f(x), t \in [0, L], може
бути ненульовою лише для x \in ( - C - 2L,C) або x \in (C + L, 3C + 3L). При цьому
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in ( - C - 2L,C)
| \bigtriangleup 2
t f(x)| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in ( - C - 2L,C)
| f1(x+ 2t) - 2f1(x+ t) + f1(x)| = \varphi 1(t), t \in [0, L],
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in (C+L,3C+3L)
| \bigtriangleup 2
t f(x)| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in (C+L,3C+3L)
| f2(x+ 2t) - 2f2(x+ t) + f2(x)| = \varphi 2(t), t \in [0, L].
Звiдси випливає твердження леми.
Лема 2. Якщо функцiя f \in UC(\bfR ) лiнiйна на кожному вiдрiзку [2n, 2n+ 2], n\in \bfZ , то
\omega 2(f, 2m) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \bfN ,t\leq 2m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \bfZ
| \bigtriangleup 2
t f(2x)| , m\in \bfN .
Доведення. Припустимо вiд супротивного, що ця нерiвнiсть є хибною. Тодi iснує таке
t0 \in [0, 2m], x0 \in \bfR , що
\Omega m := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \bfN ,t\leq 2m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \bfZ
| \bigtriangleup 2
t f(2x)| < | \bigtriangleup 2
t0f(x0)| .
Розглянемо функцiю
F (x, t) = | \bigtriangleup 2
t f(x)| = | f(x+ 2t) - 2f(x+ t) + f(x)| , x\in \bfR , t \in [0, 2m],
i опуклий багатокутник
D =
\bigl\{
(x, t)| 2a \leq x \leq 2a+ 2, 2b \leq x+ t \leq 2b+ 2, 2c \leq x+ 2t \leq 2c+ 2, t \in [0, 2m]
\bigr\}
,
де цiлi числа a =
\Bigl[ x0
2
\Bigr]
, b =
\biggl[
x0 + t0
2
\biggr]
, c =
\biggl[
x0 + 2t0
2
\biggr]
вибрано так, що (x0, t0) \in D. Функ-
цiя F дорiвнює модулю лiнiйної функцiї на D, тому iснує вершина (t1, x1) багатокутника D,
в якiй значення функцiї F максимальне, зокрема F (x1, t1) \geq F (x0, t0).
Враховуючи означення багатокутника, якщо (t1, x1) — його вершина, то принаймнi два з
чотирьох чисел x1 + 2t1, x1 + t1, x1, t1 є парними цiлими. Легко перевiрити, що в будь-якому
випадку x1, t1 \in \bfZ i x1 є парним. Тодi
\Omega m \geq F (x1, t1) \geq F (x0, t0).
Прийшли до суперечностi, що й завершує доведення леми.
Доведення теореми 6. Виберемо функцiї f1, f2 \in UC(\bfR ), що є лiнiйними на кожному
вiдрiзку [2n, 2n+ 2], n\in \bfZ , i визначенi рiвностями
f1(x) = 0, x \leq 0, f1(2) = 2, f1(4) = 4, f1(6) = 6, f1(8) = 8,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ПРО ДЕЯКI УМОВИ ДЛЯ ДРУГИХ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI 1295
f1(10) = 12, f1(12) = 16, f1(14) = 20, f1(x) = 3x - 24, x \geq 16,
f2(x) = 0, x \leq 0, f2(2) = 2, f2(4) = 6, f2(6) = 8, f2(8) = 8,
f2(10) = 10, f2(12) = 10, f2(14) = 8, f2(x) = x - 8, x \geq 16.
Враховуючи лему 2 i фiнiтнiсть другої похiдної, отримуємо
\omega 2(fk, 2m) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \bfN ,t\leq 2m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \bfZ
| \bigtriangleup 2
t fk(2x)| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \bfN ,t\leq 2m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- 2m\leq x\leq 16
| \bigtriangleup 2
t fk(2x)| , k = 1, 2, m\in \bfN .
Скiнченним перебором одержуємо
\omega 2(f1, 2) = 2, \omega 2(f1, 4) = 4, \omega 2(f1, 6) = 6, \omega 2(f1, 8) = 8, \omega 2(f1, 10) = 14,
\omega 2(f2, 2) = 2, \omega 2(f2, 4) = 6, \omega 2(f2, 6) = 8, \omega 2(f2, 8) = 8, \omega 2(f2, 10) = 10.
Тодi за лемою 1 функцiя
\varphi (t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\omega 2(f1, t), \omega 2(f2, t)
\bigr\}
, t \in [0, 10],
є другим модулем неперервностi для деякої функцiї f \in UC(\bfR ). Проте
\varphi (6) + \varphi (10) = 8 + 14 = 22 > 20 = 2\varphi (8) + 2\varphi (2),
тобто твердження теореми виконується при x0 = 6, t0 = 2.
Доведення теореми 5. На основi функцiї f \in UC(\bfR ) з попереднього доведення побудуємо
функцiю, що буде належати C2\pi . Оскiльки функцiя f побудована за лемою 1, то з доведення
леми видно, що iснують такi C > 0, b\in \bfR i a\in \bfR , що f(x) = 0, x \leq - C; f(x) = ax + b,
x \geq C. Тодi визначимо функцiю
g(x) =
\left\{
f(x), x \leq C + 20,
2f(C + 20) - f(2C + 40 - x), x \in [C + 20, 3C + 60],
2f(C + 20) - f(x - 4C - 80), x \in [3C + 60, 5C + 100],
f(6C + 120 - x), x \geq 5C + 100.
Графiк цiєї функцiї складається з чотирьох копiй суттєвої частини графiка функцiї f i лiнiйних
частин. Тому \omega 2(g, t) = \omega 2(f, t), t \in [0, 10]. I навiть бiльше, функцiя g фiнiтна: g(x) = 0,
x \not \in ( - C, 7C + 120). Тодi для 2\pi -перiодичної функцiї u, для якої u(x) = g(kx), x \in [ - \pi , \pi ],
де k =
7C + 120
\pi
— коефiцiєнт стиску, отримуємо
\varphi (t) := \omega 2(u, t) = \omega 2(g, kt) = \omega 2(f, kt), t \in [0, 10/k].
Тодi u \in C2\pi i
\varphi (6/k) + \varphi (10/k) = 8 + 14 = 22 > 20 = 2\varphi (8/k) + 2\varphi (2/k),
тобто твердження теореми справджується при x0 = 6/k, t0 = 2/k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1296 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Лiтература
1. И. А. Шевчук, Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций, Наук. думка, Киев
(1992).
2. И. А. Шевчук, Некоторые замечания о функциях типа модуля непрерывности порядка k \geq 2, Вопросы теории
приближения функций и ее приложений, Ин-т математики АН УССР, Киев (1976), с. 194 – 199.
3. В. Э. Гейт, Теоремы вложения для некоторых классов периодических непрерывных функций, Изв. вузов.
Математика, № 4, 67 – 77 (1972).
4. В. Э. Гейт, О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности, Изв. вузов. Математика, № 9, 38 – 41
(1998).
5. С. В. Конягин, О вторых модулях непрерывности, Теория функций и дифференциальные уравнения, Тр. Мат.
ин-та АН, 269 (2010), с. 150 – 152.
Одержано 27.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-7068 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:18Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e8/9e9e66e04b83bca03f27735b3ad889e8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70682023-03-17T13:56:55Z On some conditions for the second moduli of continuity О некоторых условиях для вторых модулей непрерывности Про деякі умови для других модулів неперервності Chaikovs’kyi, A. V. Чайковський, А. В. Другий модуль неперервності Second module of continuity UDC 517.5 We investigate the second moduli of continuity for functions from the space of continuous and periodic real functions and the space of functions uniformly continuous on the entire axis.&nbsp;For both&nbsp; spaces, we give the negative answer to a question about necessity of one condition formulated by V. E. Geit, which is sufficient for a function to be a second module of continuity. УДК 517.5 Розглянуто другі модулі неперервності для функцій із простору неперервних та періодичних функцій і простору рівномірно неперервних на всій осі функцій.&nbsp;Для обох просторів дано негативну відповідь на поставлене В. Е. Гейтом питання про необхідність встановленої ним умови, яка є достатньою, щоб функція була другим модулем неперервності.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-08 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7068 10.37863/umzh.v74i9.7068 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 9 (2022); 1291 - 1296 Український математичний журнал; Том 74 № 9 (2022); 1291 - 1296 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7068/9304 Copyright (c) 2022 Andriy Chaikovs'kyi |
| spellingShingle | Chaikovs’kyi, A. V. Чайковський, А. В. On some conditions for the second moduli of continuity |
| title | On some conditions for the second moduli of continuity |
| title_alt | О некоторых условиях для вторых модулей непрерывности Про деякі умови для других модулів неперервності |
| title_full | On some conditions for the second moduli of continuity |
| title_fullStr | On some conditions for the second moduli of continuity |
| title_full_unstemmed | On some conditions for the second moduli of continuity |
| title_short | On some conditions for the second moduli of continuity |
| title_sort | on some conditions for the second moduli of continuity |
| topic_facet | Другий модуль неперервності Second module of continuity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7068 |
| work_keys_str_mv | AT chaikovskyiav onsomeconditionsforthesecondmoduliofcontinuity AT čajkovsʹkijav onsomeconditionsforthesecondmoduliofcontinuity AT chaikovskyiav onekotoryhusloviâhdlâvtoryhmodulejnepreryvnosti AT čajkovsʹkijav onekotoryhusloviâhdlâvtoryhmodulejnepreryvnosti AT chaikovskyiav prodeâkíumovidlâdrugihmodulívneperervností AT čajkovsʹkijav prodeâkíumovidlâdrugihmodulívneperervností |