Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$
UDC 517.51Exact order estimates are obtained for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov-type classes of periodic functions in one and many variables in the space $B_{\infty,1}.$
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7070 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512599077027840 |
|---|---|
| author | Hembars’ka, S. B. Zaderei , P. V. Гембарська, С. Б. Задерей, П. В. |
| author_facet | Hembars’ka, S. B. Zaderei , P. V. Гембарська, С. Б. Задерей, П. В. |
| author_sort | Hembars’ka, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:31Z |
| description | UDC 517.51Exact order estimates are obtained for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov-type classes of periodic functions in one and many variables in the space $B_{\infty,1}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.7070 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.7070
УДК 517.51
С. Б. Гембарська (Волин. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк),
П. В. Задерей (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI \bfitB \infty ,\bfone
Exact order estimates are obtained for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol’skii – Besov-type
classes of periodic functions in one and many variables in the space B\infty ,1.
Одержано точнi за порядком оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв типу Нiколь-
ського – Бєсова перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B\infty ,1.
1. Вступ. У цiй статтi продовжено дослiдження апроксимацiйних характеристик класiв типу
Нiкольського – Бєсова перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних (позначення B\omega
p,\theta i B\Omega
p,\theta
вiдповiдно) у просторi B\infty ,1, норма в якому є не слабшою, нiж L\infty -норма. Як зазначено у
роботах [1 – 8], мотивацiєю дослiдження апроксимацiйних характеристик (найкращi наближен-
ня, поперечники, найкращi n-членнi наближення та iн.) класiв Br
p,\theta i B\Omega
p,\theta у просторах Bq,1,
q \in \{ 1,\infty \} , була та обставина, що питання про їхнi порядки, особливо у багатовимiрному
випадку у просторах L1 i L\infty , у деяких ситуацiях досi залишаються вiдкритими (див. [9]).
Перед формулюванням одержаних результатiв введемо необхiднi позначення, наведемо
означення функцiональних класiв i апроксимацiйної характеристики, яку будемо дослiджувати.
Нехай \BbbR d — d-вимiрний простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x, y) = x1 y1+. . .+xd yd —
скалярний добуток елементiв x, y \in \BbbR d . Через Lp(\pi d), \pi d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi ), позначимо простiр
2\pi -перiодичних за кожною змiнною функцiй f, для яких
\| f\| p := \| f\| Lp(\pi d) =
\Biggl(
(2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(x)| p dx
\Biggr) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (\pi d) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \pi d
| f(x)| < \infty .
Далi будемо вважати, що для f \in Lp(\pi d) виконується умова
2\pi \int
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
i множину таких функцiй позначимо L0
p(\pi d).
Крiм цього для зручностi замiсть Lp(\pi d) будемо використовувати позначення Lp i, вiдпо-
вiдно, L0
p замiсть L0
p(\pi d) .
Означимо l-ту рiзницю функцiї f \in L0
p, 1 \leq p \leq \infty , з кроком hj за змiнною xj згiдно з
формулою
c\bigcirc С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ, 2022
772 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 773
\bigtriangleup j
hf(x) =
l\sum
n=0
( - 1)l - nCn
l f(x1, . . . , xj - 1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Для f \in L0
p, 1 \leq p \leq \infty , h = (h1, . . . , hd) i t \in \BbbR d
+ введемо мiшану l-ту рiзницю
\bigtriangleup l
hf(x) = \bigtriangleup l
hd
. . .\bigtriangleup l
h1
f(x) = \bigtriangleup l
hd
\bigl(
. . .
\bigl(
\bigtriangleup l
h1
f(x)
\bigr) \Bigr)
i означимо мiшаний модуль неперервностi порядку l таким чином:
\Omega l(f, t)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| hj | \leq tj
j=1,d
\| \bigtriangleup l
hf(\cdot )\| p.
Нехай \Omega (t) = \Omega (t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi поряд-
ку l. Це означає, що функцiя \Omega (t) задовольняє такi умови:
1) \Omega (t) > 0, tj > 0, j = 1, d, i \Omega (t) = 0, якщо
\prod d
j=1
tj = 0;
2) \Omega (t) зростає по кожнiй змiннiй;
3) \Omega (m1t1, . . . ,mdtd) \leq
\biggl( \prod d
j=1
mj
\biggr) l
\Omega (t), mj \in \BbbN , j = 1, d;
4) \Omega (t) неперервна при tj \geq 0, j = 1, d.
Наслiдуючи С. Н. Бернштейна [10], будемо називати функцiю однiєї змiнної \varphi (\tau ) майже
зростаючою (майже спадною) на [a, b], якщо iснує стала C1 > 0 (C2 > 0), яка не залежить вiд
\tau 1, \tau 2, така, що
\varphi (\tau 1) \leq C1\varphi (\tau 2), a \leq \tau 1 \leq \tau 2 \leq b,
у випадку майже зростання i, вiдповiдно,
\varphi (\tau 1) \geq C2\varphi (\tau 2), a \leq \tau 1 \leq \tau 2 \leq b,
у випадку майже спадання.
Будемо вважати, що функцiя \Omega (t), t \in \BbbR d
+ > 0, задовольняє також умови (S\alpha ) i (Sl), якi
називають умовами Барi – Стєчкiна [11, 12]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної \varphi (\tau ) > 0, \tau \in [0, 1], задовольняє умову (S\alpha ), якщо
\varphi (\tau )
\tau \alpha
майже
зростає при деякому \alpha > 0.
Функцiя \varphi (\tau ) > 0, \tau \in [0, 1], задовольняє умову (Sl), якщо
\varphi (\tau )
\tau \gamma
майже спадає при деякому
0 < \gamma < l, l \in \BbbN .
Тепер наведемо означення функцiональних класiв B\Omega
p,\theta (B\omega
p,\theta в одновимiрному випадку),
якi було розглянуто в роботi [13].
Нехай 1 \leq p, \theta \leq \infty i \Omega (t) — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка
задовольняє умови 1 – 4, (S\alpha ) i (Sl). Тодi класи B\Omega
p,\theta визначаються таким чином:
B\Omega
p,\theta =
\bigl\{
f \in L0
p : \| f\| B\Omega
p,\theta
\leq 1
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
774 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
де
\| f\| B\Omega
p,\theta
=
\left( \int
\pi d
\biggl(
\Omega l(f, t)p
\Omega (t)
\biggr) \theta d\prod
j=1
dtj
tj
\right) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\| f\| B\Omega
p,\infty
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\Omega l(f, t)p
\Omega (t)
.
Зауважимо, що у випадку, коли r = (r1, . . . , rd), 0 < rj < l, j = 1, d, i \Omega (t) =
\prod d
j=1
t
rj
j ,
класи B\Omega
p,\theta збiгаються з аналогами класiв Бєсова Br
p,\theta , якi розглядалися у роботах [14, 15].
Крiм того, при \theta = \infty класи Br
p,\infty = Hr
p є аналогами класiв С. М. Нiкольського [16]. Класи
B\Omega
p,\infty \equiv H\Omega
p розглядалися у роботi М. М. Пустовойтова [17].
У подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися означенням класiв B\Omega
p,\theta в дещо
iншому виглядi. Для цього нагадаємо поняття порядкового спiввiдношення.
Для двох невiд’ємних послiдовностей (an)
\infty
n=1 i (bn)\infty n=1 спiввiдношення ( порядкова нерiв-
нiсть) an \ll bn означає, що iснує стала C3 > 0, яка не залежить вiд n i така, що an \leq C3 bn .
Спiввiдношення an \asymp bn рiвносильне тому, що an \ll bn i bn \ll an .
Поставимо у вiдповiднiсть кожному вектору s \in \BbbN d множину вигляду
\rho (s) =
\bigl\{
k \in \BbbZ d : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для f \in L0
p, 1 < p < \infty , покладемо
\delta s(f) := \delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\widehat f(k)ei(k,x),
де \widehat f(k) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(t)e - i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Отже, для f \in B\Omega
p,\theta , 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , де \Omega (t) — задана функцiя типу мiшаного
модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1 – 4, (S\alpha ) i (Sl), справджуються
спiввiдношення
\| f\| B\Omega
p,\theta
\asymp
\left\{
\Bigl( \sum
s\in \BbbN d
\Omega - \theta (2 - s)
\bigm\| \bigm\| \delta s(f)\bigm\| \bigm\| \theta p\Bigr) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}s\in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \delta s(f)\bigm\| \bigm\| p
\Omega (2 - s)
, \theta = \infty .
(1)
Тут i далi \Omega (2 - s) = \Omega (2 - s1 , . . . , 2 - sd), sj \in \BbbN , j = 1, d.
Зауважимо, що випадок 1 \leq \theta < \infty в (1) було розглянуто у роботi [13], а випадок \theta = \infty —
у роботi [17].
Для норм функцiй iз класiв B\Omega
p,\theta можна записати зображення, аналогiчнi (1) у випадках
p = 1 i p = \infty , дещо видозмiнивши при цьому „блоки” \delta s(f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 775
Позначимо через Vm(u), m \in \BbbN , u \in \BbbR , ядро Валле Пуссена
Vm(u) = 1 + 2
m\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku+ 2
2m - 1\sum
k=m+1
\Biggl(
2m - k
m
\Biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku
(при m = 1 третiй доданок вважаємо рiвним нулю).
Кожному вектору s \in \BbbN d поставимо у вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d\prod
j=1
(V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)), x \in \BbbR d,
i для f \in L0
p, 1 \leq p \leq \infty , покладемо
As(f) := As(f, x) = (f \ast As)(x),
де \ast — операцiя згортки.
Тодi справджуються спiввiдношення
\| f\| B\Omega
p,\theta
\asymp
\left\{
\Bigl( \sum
s\in \BbbN d
\Omega - \theta (2 - s)
\bigm\| \bigm\| As(f)
\bigm\| \bigm\| \theta
p
\Bigr) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}s\in \BbbN d
\| As(f)\| p
\Omega (2 - s)
, \theta = \infty .
(2)
Зазначимо, що випадок 1 \leq \theta < \infty у (2) було розглянуто в роботi [13], а випадок \theta = \infty —
в роботi [17].
Нагадаємо також, що для введених класiв справедливим є спiввiдношення
B\Omega
p,1 \subset B\Omega
p,\theta 1 \subset B\Omega
p,\theta 2 \subset B\Omega
p,\infty \equiv H\Omega
p ,
1 \leq \theta 1 \leq \theta 2 \leq \infty .
У подальших дослiдженнях будемо розглядати класи B\Omega
p,\theta (вiдповiдно B\omega
p,\theta при d = 1), якi
визначаються функцiєю типу мiшаного модуля неперервностi порядку l деякого спецiального
вигляду, а саме,
\Omega (t) = \omega
\left( d\prod
j=1
tj
\right) , (3)
де \omega (\tau ) — задана функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку l, яка задо-
вольняє умови (S\alpha ) i (Sl). Зрозумiло, що для \Omega (t) вигляду (3) виконуються властивостi 1 – 4
функцiї типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, а також умови (S\alpha ) i (Sl), i тому
справедливими є наведенi вище зображення (1), (2) для норм функцiй iз класiв B\Omega
p,\theta .
Тепер дамо означення норми у пiдпросторi B\infty ,1 простору L\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
776 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Для тригонометричних полiномiв t вона означується згiдно з формулою
\| t\| B\infty ,1 =
\sum
s\in \BbbN d
\| As(t)\| \infty .
Аналогiчним чином означується норма \| f\| B\infty ,1 для функцiй f \in L\infty за умови збiжностi
ряду
\sum
s\in \BbbN d
\| As(t)\| \infty . При цьому справедливим є спiввiдношення
\| \cdot \| \infty \ll \| \cdot \| B\infty ,1 . (4)
Означимо апроксимацiйну характеристику, яку будемо дослiджувати.
Нехай \Omega M — довiльний набiр iз M d-вимiрних векторiв kj = (kj1, . . . , k
j
d), j = 1,M, з
цiлочисловими координатами. Для f \in L1(\pi d) покладемо
S\Omega M
(f) := S\Omega M
(f, x) =
M\sum
j=1
\widehat f(kj)ei(kj ,x), x \in \BbbR d.
Нехай X — нормований простiр з нормою \| \cdot \| X , X \subset L1(\pi d). Для f \in X розглянемо
величину
e\bot M (f)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Omega M
\bigm\| \bigm\| f - S\Omega M
(f)
\bigm\| \bigm\|
X
i для функцiонального класу F \subset X означимо
e\bot M (F )X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
e\bot M (f)X . (5)
Величину e\bot M (F )X називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням
класу F у просторi X .
Апроксимацiйна характеристика (5) для рiзноманiтних функцiональних класiв F як у прос-
торах Лебега Lq(\pi d), 1 \leq q \leq \infty , так i в iнших функцiональних просторах, дослiджувалась у
роботах [18 – 24]. З детальнiшою бiблiографiєю можна ознайомитись у монографiї [23].
Перед тим як безпосередньо перейти до розгляду одержаних результатiв, наведемо вiдоме
твердження, потрiбне для подальшого викладу.
Теорема А [24]. Нехай d \geq 1, 1 \leq p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i \omega (\tau ) задовольняє умову (S\alpha ) з
деяким \alpha >
1
p
, а також умову (Sl). Тодi для будь-яких M, n \in \BbbN таких, що M \asymp 2nnd - 1,
справджується оцiнка
e\bot M (B\Omega
p,\theta )\infty \asymp \omega (2 - n) 2
n
p n(d - 1)(1 - 1
\theta
).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 777
2. Оцiнки величин \bfite \bot \bfitM (\bfitB \bfitomega
\bfitp ,\bfittheta )\bfitB \infty ,\bfone . У цьому пунктi встановимо порядок найкращих ор-
тогональних тригонометричних наближень класiв B\omega
p,\theta у просторi B\infty ,1.
Теорема 1. Нехай d = 1, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i \omega (\tau ) задовольняє умову (S\alpha ) з деяким
\alpha >
1
p
, а також умову (Sl). Тодi має мiсце оцiнка
e\bot M (B\omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp \omega (M - 1)M
1
p . (6)
Доведення. Встановимо в (6) оцiнку зверху, попередньо зазначивши, що внаслiдок вкладен-
ня B\omega
p,\theta \subset H\omega
p , 1 \leq \theta < \infty , її достатньо отримати при \theta = \infty , тобто для класiв H\omega
p .
Отже, нехай M \in \BbbN i f \in H\omega
p . Розглянемо наближення функцiї f за допомогою полiномiв
вигляду
Sn(f) := Sn(f, x) =
n\sum
s=1
\delta s(f), x \in \BbbR , n \in \BbbN ,
де число n пов’язане з M спiввiдношенням 2n \leq M \leq 2n+1. Тодi згiдно з означенням норми
у просторi B\infty ,1, беручи до уваги одну з властивостей згортки, отримуємо
e\bot M (f)B\infty ,1 \ll \| f - Sn(f)\| B\infty ,1 \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n+1
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
=
\infty \sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\infty \sum
s=n+1
\| As\| p\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= J1, (7)
де
1
p
+
1
p\prime
= 1.
Для продовження оцiнювання величини J1 зазначимо, що згiдно зi спiввiдношенням \| V2s\| p \asymp
\asymp 2
s(1 - 1
p
)
, 1 \leq p \leq \infty (див., наприклад, [25], гл. 1, §1), маємо
\| As\| p\prime = \| V2s - V2s - 1\| p\prime \leq \| V2s\| p\prime + \| V2s - 1\| p\prime \asymp 2
s
p . (8)
Крiм того, беручи до уваги, що для f \in Hw
p
\| \delta s\prime (f)\| p \ll \omega (2 - s\prime ), s\prime \in \BbbN , 1 < p < \infty ,
записуємо
J1 \ll
\infty \sum
s=n+1
2
s
p
s+1\sum
s\prime =s - 1
\| \delta s\prime (f)\| p \ll
\ll
\infty \sum
s=n+1
2
s
p
s+1\sum
s\prime =s - 1
\omega (2 - s\prime ) \ll
\infty \sum
s=n+1
2
s
p\omega (2 - s) = J2. (9)
Далi, зауважуючи, що згiдно з умовою теореми
\omega (2 - s)
2 - \alpha s
\leq C4
\omega (2 - n)
2 - \alpha n
, s \geq n, C4 > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
778 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
продовжуємо оцiнювання величини J2 :
J2 \ll
\omega (2 - n)
2 - \alpha n
\infty \sum
s=n+1
2
- s(\alpha - 1
p
) \ll \omega (2 - n)2
n
p . (10)
Насамкiнець, враховуючи спiввiдношення мiж числами M i n iз (7) – (10), приходимо до оцiнки
e\bot M (B\omega
p,\theta )B\infty ,1 \ll \omega (M - 1)M
1
p .
Щодо оцiнки знизу в (6) зауважимо, що вона є наслiдком теореми А за умови d = 1,
оскiльки вiдповiдно до спiввiдношення (4)
e\bot M (B\omega
p,\theta )B\infty ,1 \gg e\bot M (B\omega
p,\theta )\infty .
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty , 1 < p < \infty i \omega (\tau ) задовольняє умову (S\alpha ) з деяким
\alpha >
1
p
, а також умову (Sl). Тодi
En(B
\omega
p,\theta )B\infty ,1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\omega
p,\theta
\| f - Sn(f)\| B\infty ,1 \asymp \omega (2 - n)2
n
p . (11)
Оцiнку зверху в (11) встановлено при доведеннi теореми 1. Вiдповiдна оцiнка знизу також
є наслiдком цiєї теореми, оскiльки при 2n \leq M \leq 2n+1
En(B
\omega
p,\theta )B\infty ,1 \gg e\bot M (B\omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp \omega (2 - n)2
n
p .
Зауваження 1. Проаналiзувавши доведення теореми 1 i наслiдку 1, можна зробити висно-
вок, що при 1 \leq \theta \leq \infty i \omega (\tau ), якi задовольняють умову (S\alpha ) з деяким \alpha >
1
p
, а також умову
(Sl), справджуються спiввiдношення
e\bot M (B\omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp e\bot M (B\omega
p,\theta )\infty ,
En(B
\omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp En(B
\omega
p,\theta )\infty .
Зауваження 2. Якщо 1 < p < \infty , \omega (\tau ) = \tau r, де r >
1
p
, то при 1 \leq \theta \leq \infty справедливою є
оцiнка
e\bot M (Br
p,\theta )B\infty ,1 \asymp M
- r+ 1
p ,
яку встановлено в роботi [3].
3. Оцiнки величин \bfite \bot \bfitM (\bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta )\bfitB \infty ,\bfone . Спочатку наведемо деякi позначення, якi будуть не-
обхiднi при доведеннi основного результату цього пункту, а також наслiдку з нього.
Для вектора s = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, покладемо
\rho (s) =
\bigl\{
k = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для n \in \BbbN визначимо множину
Qn :=
\bigcup
(s,1)\leq n
\rho (s),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 779
яка називається схiдчастим гiперболiчним хрестом. Якщо f \in L1(\pi d), то через SQn(f) позна-
чимо її часткову так звану схiдчасто-гiперболiчну суму Фур’є:
SQn(f) := SQn(f, x) =
\sum
k\in Qn
\widehat f(k)ei(k,x) = \sum
(s,1)\leq n
\delta s(f), x \in \BbbR d.
Справедливим є таке твердження.
Теорема 2. Нехай d \geq 2, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \Omega (t) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1
tj
\Bigr)
, де \omega (\tau )
задовольняє умову (S\alpha ) з деяким \alpha >
1
p
i умову (Sl). Тодi для будь-якої послiдовностi M =
= (Mn)
\infty
n=1 натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M \asymp 2nnd - 1, має мiсце
оцiнка
e\bot M (B\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp \omega (2 - n)2
n
p n(d - 1)(1 - 1
\theta
). (12)
Доведення. Встановимо в (12) спочатку оцiнку зверху. Покажемо, що шукана оцiнка реа-
лiзується за наближення функцiй f \in B\Omega
p,\theta їх схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є SQn(f)
за умови M \asymp 2nnd - 1.
Отже, згiдно з означенням норми у просторi B\infty ,1 i спiввiдношенням (8) можемо записати
e\bot M (f)B\infty ,1 \ll \| f - SQn(f)\| B\infty ,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(s,1)>n
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
=
\sum
s\in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\sum
s\prime \in \BbbN d
(s\prime ,1)\geq n+1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(s,1)\geq n - d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(s,1)\geq n - d
\| As\| p \prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll
\ll
\sum
(s,1)\geq n - d
2
(s,1) 1
p
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\bigm\| \bigm\| \delta s\prime (f)\bigm\| \bigm\| p \leq
\ll
\sum
(s,1)\geq n - d
2
2d
p
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
2
(s\prime ,1) 1
p
\bigm\| \bigm\| \delta s\prime (f)\bigm\| \bigm\| p \ll
\ll
\sum
(s,1)\geq n - 2d
2
(s,1) 1
p
\bigm\| \bigm\| \delta s(f)\bigm\| \bigm\| p = J3. (13)
Для продовження оцiнювання величини J3 розглянемо кiлька випадкiв залежно вiд значень
параметра \theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
780 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Нехай \theta \in (1,\infty ). Тодi, скориставшись нерiвнiстю Гельдера, будемо мати
J3 \leq
\left( \sum
(s,1)\geq n - 2d
\omega - \theta (2 - (s,1))\| \delta s(f)\| \theta p
\right) 1/\theta \left( \sum
(s,1)\geq n - 2d
\omega \theta \prime (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p
\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
\ll
\ll \| f\| B\Omega
p,\theta
\left( \sum
(s,1)\geq n - 2d
\omega \theta \prime (2 - (s,1)) 2
(s,1) 1
p
\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
\leq
\leq
\left( \sum
(s,1)\geq n - 2d
\omega \theta \prime (2 - (s,1))2
(s,1)\theta \prime 1
p
\right) 1/\theta \prime
= J4. (14)
Далi, позначивши n - 2d = m i врахувавши, що
\omega (2 - (s,1))
2 - \alpha (s,1)
\leq C5
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
, C5 > 0, (s, 1) \geq m, (15)
одержимо
J4 \ll
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\left( \sum
(s,1)\geq m
2 - (s,1)\alpha \theta \prime 2
(s,1)\theta \prime 1
p
\right) 1/\theta \prime
=
=
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\left( \sum
(s,1)\geq m
2
- (s,1)(\alpha - 1
p
)\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
=
=
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\left( \sum
j\geq m
2
- j(\alpha - 1
p
)\theta \prime
\sum
(s,1)=j
1
\right) 1/\theta \prime
\asymp
\asymp \omega (2 - m)
2 - \alpha m
\left( \sum
j\geq m
2
- j(\alpha - 1
p
)\theta \prime
jd - 1
\right) 1/\theta \prime
\ll \omega (2 - m)2
m
p m(d - 1)(1 - 1
\theta
). (16)
У випадку \theta = \infty для величини J3 можна записати
J3 \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : (s,1)\geq m
\| \delta s(f)\| p
\omega (2 - (s,1))
\sum
(s,1)\geq m
\omega (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p \ll
\ll \| f\| B\Omega
p,\infty
\sum
(s,1)\geq m
\omega (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p \leq
\leq
\sum
(s,1)\geq m
\omega (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p = J5. (17)
Взявши до уваги (15), продовжимо оцiнювання J5 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 781
J5 \ll
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\sum
(s,1)\geq m
2 - \alpha (s,1)2
(s,1) 1
p =
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\sum
j\geq m
2
- j(\alpha - 1
p
)
\sum
(s,1)=j
1 \asymp
\asymp \omega (2 - m)
2 - \alpha m
\sum
j\geq m
2
- j(\alpha - 1
p
)
j d - 1 \ll \omega (2 - m)2
m
p md - 1. (18)
При \theta = 1 продовження оцiнювання величини J3 з урахуванням (15) набере вигляду
J3 \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : (s,1)\geq m
2
(s,1) 1
p\omega (2 - (s,1))
\sum
(s,1)\geq m
\omega - 1(2 - (s,1))\| \delta s(f)\| p \ll
\ll \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : (s,1)\geq m
\omega (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p \| f\| B\Omega
p,1
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : (s,1)\geq m
\omega (2 - (s,1))2
(s,1) 1
p \ll
\ll \omega (2 - m)
2 - \alpha m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : (s,1)\geq m
2
- (s,1)(\alpha - 1
p
) \asymp \omega (2 - m)2
m
p . (19)
Таким чином, зiставивши (13) – (19), одержимо шукану оцiнку зверху величини
e\bot M (B\Omega
p,\theta )B\infty ,1 .
Щодо оцiнки знизу в (12) зауважимо, що згiдно зi спiввiдношенням (4) вона є наслiдком iз
теореми А, тобто
e\bot M (B\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \gg e\bot M (B\Omega
p,\theta )\infty \asymp \omega (2 - n)2
n
p n(d - 1)(1 - 1
\theta
), M \asymp 2nnd - 1.
Теорему 2 доведено.
Для того щоб сформулювати наслiдок з теореми 2, наведемо означення вiдповiдної апрок-
симацiйної характеристики.
Нехай X — нормований простiр iз нормою \| \cdot \| X , X \subset L1(\pi d). Для класу F \subset X
покладемо
EQn(F )X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in X
\| f - SQn(f)\| X .
Зазначимо, що величини EQn(F )X для класiв Соболєва W r
p,\alpha i Нiкольського – Бєсова Br
p,\theta
перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторах Lq, 1 \leq q \leq \infty , вивчали у багатьох роботах.
З детальною бiблiографiєю можна ознайомитись у монографiях [9, 23, 25, 26].
Отже, безпосередньо з теореми 2 випливає таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай d \geq 2, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \Omega (t) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1
tj
\Bigr)
, де \omega (\tau )
задовольняє умову (S\alpha ) з деяким \alpha >
1
p
i умову (Sl). Тодi справедливою є оцiнка
EQn(B
\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp \omega (2 - n)2
n
p n(d - 1)(1 - 1
\theta
). (20)
Оцiнку зверху в (20) встановлено при доведеннi теореми 2, а вiдповiдна оцiнка знизу також
випливає з цiєї теореми, оскiльки при M \asymp 2nnd - 1
EQn(B
\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \gg e\bot M (B\Omega
p,\theta )B\infty ,1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
782 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Зауваження 3. Проаналiзувавши доведення теореми 2 i наслiдку 2, зазначимо справедли-
вiсть спiввiдношень
e\bot M (B\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp e\bot M (B\Omega
p,\theta )\infty ,
EQn(B
\Omega
p,\theta )B\infty ,1 \asymp EQn(B
\Omega
p,\theta )\infty .
Зауваження 4. Якщо \Omega (t) =
\prod d
j=1
tr1j , d \geq 2, то при 1 < p < \infty , r1 >
1
p
, 1 \leq \theta \leq \infty має
мiсце оцiнка
e\bot M (Br
p,\theta )B\infty ,1 \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)
r1 - 1
p (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)1 -
1
\theta . (21)
Оцiнку (21) встановлено в роботi [3].
Насамкiнець звернемо увагу на особливiсть багатовимiрного випадку (d \geq 2) у порiвняннi
з одновимiрним, яка полягає в такому.
Аналiзуючи теорему 1 i наслiдок 1, бачимо, що оцiнки вiдповiдних апроксимацiйних харак-
теристик класiв B\omega
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , i H\omega
p у просторi B\infty ,1 однаковi за порядком i, навiть бiльше,
цi оцiнки для класiв B\omega
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , не залежать вiд параметра \theta .
Принципово iнша ситуацiя спостерiгається у багатовимiрному випадку. А саме, як видно
з теореми 2 i наслiдку 2, оцiнки розглянутих у них величин залежать вiд параметра \theta i, крiм
того, цi оцiнки є рiзними за порядком для класiв B\Omega
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , i H\Omega
p .
Лiтература
1. А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных,
Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403 – 1417 (2016).
2. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
у просторi B\infty ,1 , Укр. мат. журн., 71, № 2, 271 – 278 (2019).
3. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв перiодичних функцiй
багатьох змiнних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102 – 1115 (2019).
4. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв функцiй з просторiв Соболєва та Нiкольського – Бєсова, Укр. мат. вiсн., 17, № 3, 372 – 395
(2020).
5. А. С. Романюк, С. Я. Янченко, Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв перiодичних функцiй у просторi B1,1 , Укр. мат. журн., 73, № 8, 1102 –1119 (2021).
6. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, Поперечники класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у
просторi B1,1 , Укр. мат. вiсн., 15, № 1, 43 – 57 (2018).
7. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, К. В. Солiч, Найкращi наближення i поперечники класiв перiодичних
функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B\infty ,1 , Мат. студ., 51, № 1, 74 – 85 (2019).
8. O. V. Fedunyk-Yaremchuk, M. V. Hembarskyi, S. B. Hembarska, Approximative characteristics of the Nikol’skii –
Besov-type classes of periodic functions in the space B\infty ,1 , Carpathian Math. Publ., 12, № 2, 376 – 391 (2020).
9. D. Ding, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Birkhäuser (2018).
10. С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. 2, Конструктивная теория функций (1931 – 1953), Изд-во АН СССР,
Москва (1954).
11. С. Б. Стечкин, О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Изв. АН СССР. Сер. мат., 15,
219 – 242 (1951).
12. Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций,
Тр. Моск. мат. о-ва, 5, 483 – 522 (1956).
13. S. Yongsheng, W. Heping, Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed
moduli of smoothness, Тр. Мат. ин-та РАН, 219, 356 – 377 (1997).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ТИПУ . . . 783
14. Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)
p,\theta (0 \leq
\leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n), Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5 – 34 (1965).
15. П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143 – 161 (1989).
16. С. М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию
Гельдера, Сиб. мат. журн., 4, № 6, 1342 – 1364 (1963).
17. Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
смешанным модулем непрерывности, Anal. Math., 20, 35 – 48 (1994).
18. Э. С. Белинский, Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с
ограниченной смешанной производной, Исследования по теории функций многих вещественных переменных,
Ярослав. ун-т, Ярославль (1988), с. 16 – 33.
19. А. С. Романюк, Приближение классов функций многих переменных их ортогональными проекциями на под-
пространства тригонометрических полиномов, Укр. мат. журн., 48, № 1, 80 – 89 (1996).
20. А. С. Романюк, Приближение классов периодических функций многих переменных, Мат. заметки, 71, № 1, 109 –
121 (2002).
21. А. С. Романюк, Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Br
p,\theta периодических функций
многих переменных, Изв. РАН. Сер. мат., 70, № 2, 69 – 98 (2006).
22. А. С. Романюк, Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике, Мат. заметки, 82, № 2, 247 – 261 (2007).
23. А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных,
Працi Iн-ту математики НАН України, 93 (2012).
24. А. Ф. Конограй, С. А. Стасюк, Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв B\Omega
p,\theta перiодичних
функцiй багатьох змiнних, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 4, № 1, 151 – 171 (2007).
25. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Nova Sci. Publ., New York (1993).
26. В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178,
1 – 112 (1986).
Одержано 27.12.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-7070 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:21Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7e/2334ded7120244868adae4156c8d727e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70702022-07-15T07:54:31Z Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів типу Нікольського – Бєсова періодичних функцій у просторі $B_{\infty,1}$ Hembars’ka, S. B. Zaderei , P. V. Гембарська, С. Б. Задерей, П. В. periodic functions of one and many variables UDC 517.51Exact order estimates are obtained for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov-type classes of periodic functions in one and many variables in the space $B_{\infty,1}.$ УДК 517.51 Одержано точні&nbsp;за порядком&nbsp;оцінки&nbsp;найкращих ортогональних тригонометричних наближень&nbsp;класів &nbsp; типу Нікольського – Бєсова періодичних&nbsp;функцій&nbsp;однієї&nbsp;та багатьох&nbsp;змінних&nbsp;у просторі&nbsp;$B_{\infty,1}.$&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7070 10.37863/umzh.v74i6.7070 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 772 - 783 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 772 - 783 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7070/9250 Copyright (c) 2022 S. B. Hembars’ka |
| spellingShingle | Hembars’ka, S. B. Zaderei , P. V. Гембарська, С. Б. Задерей, П. В. Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title | Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title_alt | Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів типу Нікольського – Бєсова періодичних функцій у просторі $B_{\infty,1}$ |
| title_full | Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title_fullStr | Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title_full_unstemmed | Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title_short | Best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii – Besov-type classes of periodic functions in the space $B_{\infty,1}$ |
| title_sort | best orthogonal trigonometric approximations of the nikol'skii – besov-type classes of periodic functions in the space $b_{\infty,1}$ |
| topic_facet | periodic functions of one and many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7070 |
| work_keys_str_mv | AT hembarskasb bestorthogonaltrigonometricapproximationsofthenikol039skiibesovtypeclassesofperiodicfunctionsinthespacebinfty1 AT zadereipv bestorthogonaltrigonometricapproximationsofthenikol039skiibesovtypeclassesofperiodicfunctionsinthespacebinfty1 AT gembarsʹkasb bestorthogonaltrigonometricapproximationsofthenikol039skiibesovtypeclassesofperiodicfunctionsinthespacebinfty1 AT zaderejpv bestorthogonaltrigonometricapproximationsofthenikol039skiibesovtypeclassesofperiodicfunctionsinthespacebinfty1 AT hembarskasb najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívtipuníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjuprostoríbinfty1 AT zadereipv najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívtipuníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjuprostoríbinfty1 AT gembarsʹkasb najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívtipuníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjuprostoríbinfty1 AT zaderejpv najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívtipuníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjuprostoríbinfty1 |