Local properties of entire functions of bounded index in a frame
UDC 517.555 We extend the concept of entire functions of bounded index in a variable direction  to the case where the variable direction is a continuous vector-valued function. The previous investigations of this class of functions assumed that the variable dir...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7083 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512602801569792 |
|---|---|
| author | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. I. Скасків, О. Б. |
| author_facet | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. I. Скасків, О. Б. |
| author_sort | Bandura, A. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.555
We extend the concept of entire functions of bounded index in a variable direction  to the case where the variable direction is a continuous vector-valued function. The previous investigations of this class of functions assumed that the variable direction is an entire vector-valued function. An entire function $F\colon \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ is called a function of bounded index in a frame $\mathbf{b}(z),$ if~there exists $m_{0} \in\mathbb{Z}_{+}$ such that, for every $m \in\mathbb{Z}_{+},$ for all $z\in \mathbb{C}^{n},$ and for all $t\in\mathbb{C},$ one has $\dfrac{\big|{\partial^{m}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z))}\big|}{m!}\leq\max_{0\leq k \leq m_{0}} \dfrac{\big|{\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z))}\big|}{k!},$  where $\partial^{0}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z)) = F(z + t\mathbf{b}(z)),$  $\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z)) := \dfrac{k!}{2\pi i}\displaystyle\int\limits_{|\tau| = r}\dfrac{F(z + t\mathbf{b}(z) + \tau \mathbf{b}(z))}{\tau^{k + 1}} d\tau$ and $\mathbf{b}\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ is a vector-valued continuous function. Here we investigate some properties of these functions.  The obtained results are counterparts of the known statements obtained for entire functions of bounded index in a fixed direction.  These results describe the local behavior of the modulus $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z + t\mathbf{b} + \tau\mathbf{b}(z))$ in the disc $|\tau| = \eta.$  We give some estimates for this expression by means of the values $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z + t\mathbf{b}).$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7083 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7083
УДК 517.555
А. I. Бандура* (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу),
О. Б. Скаскiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка, Львiв)
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ
ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ (РЕПЕРОМ)
We extend the concept of entire functions of bounded index in a variable direction to the case where the variable
direction is a continuous vector-valued function. The previous investigations of this class of functions assumed that the
variable direction is an entire vector-valued function. An entire function F : \BbbC n \rightarrow \BbbC is called a function of bounded
index in a frame \bfb (z), if there exists m0 \in \BbbZ + such that, for every m \in \BbbZ +, for all z \in \BbbC n, and for all t \in
\in \BbbC , one has
\bigm| \bigm| \partial m
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
m!
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq k\leq m0
\bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
, where \partial 0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)) = F (z + t\bfb (z)),
\partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)) :=
k!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\tau k+1
d\tau and \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n is a vector-valued continuous function.
Here we investigate some properties of these functions. The obtained results are counterparts of the known statements
obtained for entire functions of bounded index in a fixed direction. These results describe the local behavior of the modulus
\partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb + \tau \bfb (z)) in the disc | \tau | = \eta . We give some estimates for this expression by means of the values
\partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb ).
Розширено поняття цiлої функцiї обмеженого iндексу за змiнним напрямком на випадок, коли змiнний напрямок —
неперервна векторнозначна функцiя. Попереднi дослiдження цього класу функцiй мiстили обмеження, що змiнний
напрямок — цiла векторнозначна функцiя. Цiла функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC називається функцiєю обмеженого iндексу
за змiнним напрямком (репером) \bfb (z), якщо iснує таке m0 \in \BbbZ + , що для кожного m \in \BbbZ +, всiх z \in \BbbC n i всiх
t \in \BbbC виконується
\bigm| \bigm| \partial m
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
m!
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq k\leq m0
\bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
, де \partial 0
\bfb (z)F (z+ t\bfb (z)) = F (z+ t\bfb (z)),
\partial k
\bfb (z)F (z+ t\bfb (z)) :=
k!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\tau k+1
d\tau i \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — векторнозначна неперервна функцiя. У
статтi дослiджено деякi властивостi цих функцiй. Отриманi результати є аналогами тверджень, вiдомих для цiлих
функцiй обмеженого iндексу за фiксованим напрямком. Вони описують локальне поводження модуля \partial k
\bfb (z)F (z+t\bfb +
+ \tau \bfb (z)) на колi | \tau | = \eta . Знайдено деякi оцiнки цього виразу за допомогою значень \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb ).
1. Вступ. Нехай L : \BbbC n \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя, \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} — заданий напрямок,
а n \in \BbbN . Цiлi функцiї обмеженого L-iндексу за напрямком є об’єктом дослiдження бiльше
10 рокiв. Наведемо означення цього поняття.
Означення 1 [3, 4]. Цiла функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC називається функцiєю обмеженого L-
iндексу за напрямком \bfb , якщо iснує таке m0 \in \BbbZ +, що для кожного m \in \BbbZ + i для всiх
z = (z1, . . . , zn) \in \BbbC n виконується
| \partial m
\bfb F (z)|
m!Lm(z)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq m0
| \partial k
\bfb F (z)|
k!Lk(z)
, (1)
де
\partial 0
\bfb F (z) = F (z), \partial 1
\bfb F (z) = \partial \bfb F (z) :=
n\sum
j=1
\partial F (z)
\partial zj
bj ,
\partial k
\bfb F (z) := \partial \bfb
\bigl(
\partial k - 1
\bfb F (z)
\bigr)
, k \geq 2.
* Дослiдження пiдтримано Нацiональним фондом дослiджень України (проєкти 2020.02/0025, 0120U103996).
c\bigcirc А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ, 2022
458 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ . . . 459
Цей клас функцiй є доволi широким [2], оскiльки для кожної цiлої функцiї F, нулi якої
мають обмежену в сукупностi кратнiсть на довiльнiй комплекснiй прямiй \{ z + t\bfb : t \in \BbbC \} для
кожного z \in \BbbC n, iснує додатна неперервна функцiя L така, що функцiя F має обмежений
L-iндекс за напрямком \bfb . Це твердження є аналогом вiдповiдного одновимiрного твердження
[10, 11] для цiлих функцiй обмеженого l-iндексу, де l : \BbbC \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя.
Нещодавно в [1] автори ввели поняття обмеженостi iндексу за змiнними напрямками. За-
значимо, що за iнтегральною формулою Кошi похiдну p-го порядку за напрямком \partial \bfb цiлої
функцiї F : \BbbC n \rightarrow \BbbC можна записати у виглядi
\partial p
\bfb F (z) =
p!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z + \tau \bfb )
\tau p+1
d\tau , (2)
де \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} , z \in \BbbC n, \tau \in \BbbC , p \in \BbbN . Тому, якщо в нерiвностi (1) ми приймемо
\partial p
\bfb (z)F (z) =
p!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z + \tau \bfb (z))
\tau p+1
d\tau ,
де \bfb (z) : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — деяка функцiя, прийдемо до поняття цiлої функцiї обмеженого iндексу за
змiнним напрямком b(z).
У статтi [1] доведення вимагали доволi жорсткого припущення, що функцiя \bfb (z) : \BbbC n \rightarrow \BbbC n
є цiлою векторнозначною функцiєю.
У данiй статтi ми цю умову замiнимо лише умовою неперервностi векторнозначної функцiї
\bfb (z), що, очевидно, є iстотно слабшою умовою.
Нехай \BbbR + = (0,+\infty ), \bfzero = (0, . . . , 0), L : \BbbC n \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя, F : \BbbC n \rightarrow \BbbC —
цiла функцiя.
Далi вважатимемо, що \bfb (z) = (b1(z), . . . , bn(z)) : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — деяка неперервна векторно-
значна функцiя.
З огляду на рiвнiсть (2) означимо
\partial k
\bfb (z1)
F (z2) :=
k!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z2 + \tau \bfb (z1))
\tau k+1
d\tau для будь-яких z1, z2 \in \BbbC n. (3)
Розглянемо тепер таке узагальнення поняття обмеженостi iндексу за напрямком.
Означення 2 [1]. Цiла функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC називається функцiєю обмеженого iндексу за
змiнним напрямком \bfb (z), якщо iснує таке m0 \in \BbbZ +, що для кожного m \in \BbbZ + i для всiх z \in \BbbC n
i t \in \BbbC виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \partial m
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
m!
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq m0
\bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
, (4)
де \partial 0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)) = F (z + t\bfb (z)), а \partial m
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)) означено рiвнiстю (3) при z1 = z i
z2 = z + t\bfb (z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
460 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Найменше з тих m0, для яких виконується нерiвнiсть (4), називатимемо iндексом функцiї
F (z) за змiнним напрямком \bfb (z) i позначатимемо через N\bfb (F ). Якщо такого m0 не iснує, то
вважаємо, що N\bfb (F ) = +\infty , а функцiю F у цьому випадку називаємо функцiєю необмеженого
iндексу за змiнним напрямком \bfb (z). Якщо \bfb (z) \equiv (b1, . . . , bn) = \bfb є сталим вектором, то
звiдси отримуємо звичайне означення обмеженого iндексу за напрямком \bfb . Зрозумiло, що клас
усiх цiлих функцiй обмеженого iндексу за напрямком є пiдкласом класу всiх цiлих функцiй
обмеженого iндексу за змiнним напрямком.
Нехай N\bfb (F, z
0) позначає iндекс функцiї F у точцi z0 за напрямком \bfb (z0), тобто найменше
цiле значення m0, для якого нерiвнiсть (4) виконується в точцi z = z0.
При n = 1 i \bfb (z) \equiv 1 означення переходить в означення функцiї обмеженого iндексу,
введене Б. Лепсоном [15] (див. також [16]). У цьому випадку N(f) := N1(f). Через N(f, z0) у
випадку n = 1, \bfb (z) = 1 позначаємо iндекс цiлої функцiї f : \BbbC \rightarrow \BbbC в точцi z0 \in \BbbC .
2. Зв’язок обмеженого iндексу за змiнним напрямком iз одновимiрним випадком. Дове-
демо кiлька елементарних тверджень, якi описують зв’язок цiлих функцiй обмеженого iндексу
за змiнним напрямком i цiлих функцiй обмеженого iндексу однiєї змiнної. Подiбнi твердження
для цiлих функцiй багатьох змiнних отримано в [3], а для голоморфних на зрiзках функцiй — у
[6]. Для фiксованого z \in \BbbC n позначимо gz(t) = F (z + t\bfb (z)).
Зауваження 1. Розглядаючи F (z + t\bfb (z)) при фiксованому z \in \BbbC n як цiлу функцiю вiд
змiнної t \in \BbbC i застосовуючи iнтегральну формулу Кошi, для кожного r > 0 отримуємо
g(k)z (t) =
k!
2\pi i
\int
| \tau | =r
gz(\tau + t)
\tau k+1
d\tau =
k!
2\pi i
\int
| \tau | =r
F (z + (\tau + t)\bfb (z))
\tau k+1
d\tau = \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)). (5)
З огляду на рiвнiсть (5) ми можемо замiсть \partial k
\bfb (z)F (z) розглянути g
(k)
z (0) i скористатися одно-
вимiрними мiркуваннями. Доведемо спочатку таке твердження.
Твердження 1. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна векторнозначна функцiя. Якщо цiла
функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z), то для кожного
z \in \BbbC n цiла функцiя gz(t) має обмежений iндекс i N(gz) \leq N\bfb (F ).
Доведення. Нехай z \in \BbbC n, t \in \BbbC . З рiвностi (5) за означенням обмеженостi iндексу за
змiнним напрямком \bfb (z) для всiх p \in \BbbZ + отримуємо
| g(p)z (t)|
p!
=
| \partial p
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))|
p!
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))|
k!
: 0 \leq k \leq N\bfb (F )
\Biggr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| g(k)z (t)|
k!
: 0 \leq k \leq N\bfb (F )
\Biggr\}
.
Звiдcи випливає, що gz(t) має обмежений iндекс i N(gz) \leq N\bfb (F ).
Твердження 1 доведено.
З рiвностi (5) випливає таке твердження.
Твердження 2. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя. Якщо цiла функцiя F :
\BbbC n \rightarrow \BbbC має обмежений iндекс у змiнному напрямку \bfb (z), то
N\bfb (F ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ N(gz) : z \in \BbbC n\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ . . . 461
Твердження 3. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя. Для того щоб цi-
ла функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC мала обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z), необхiдно й
достатньо, щоб iснувало таке M > 0, що для всiх z \in \BbbC n функцiя gz(t) як функцiя
змiнної t \in \BbbC має обмежений iндекс N(gz) \leq M < +\infty . Тому N\bfb (F ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ N(gz, 0) :
z \in \BbbC n\} .
Доведення. Необхiднiсть отримуємо з твердження 1.
Достатнiсть. Оскiльки N(gz) \leq M, то iснує \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ N(gz) : z \in \BbbC n\} . Позначимо N\bfb =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ N(gz) : z \in \BbbC n\} < +\infty . Припустимо, що N\bfb не дорiвнює iндексу функцiї F (z) за
змiнним напрямком \bfb (z). Останнє означає, що iснують n\ast > N\bfb , z
\ast \in \BbbC n i t\ast \in \BbbC , для яких
виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \partial n\ast
\bfb (z\ast )F (z\ast + t\ast \bfb )
\bigm| \bigm|
n\ast !
> \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z\ast )F (z\ast + t\ast \bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
: 0 \leq k \leq N\bfb (F )
\Biggr\}
. (6)
З огляду на рiвнiсть (5) нерiвнiсть (6) можемо записати у виглядi\bigm| \bigm| g(n\ast )
z\ast (t\ast )
\bigm| \bigm|
n\ast !
> \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| g(k)z\ast (t\ast )
\bigm| \bigm|
k!
: 0 \leq k \leq N\bfb (F )
\Biggr\}
.
Але це неможливо (суперечить тому, що всi iндекси N(gz) не перевищують N\bfb ). Тому N\bfb =
= N\bfb (F ), тобто є iндексом функцiї F (z) за змiнним напрямком \bfb (z).
Твердження 3 доведено.
3. Локальне поводження функцiй обмеженого iндексу за змiнним напрямком. Наступне
твердження вiдiграє важливу роль в теорiї функцiй обмеженого iндексу. Воно лежить в основi
доведень низки iнших тверджень, якi є необхiдними для доведення логарифмiчного критерiю
i аналога теореми Хеймана. Цi двi теореми посiдають центральне мiсце у застосуваннях теорiї
обмеженого iндексу до аналiтичної теорiї диференцiальних рiвнянь. Вони надають методи для
отримання оцiнок зростання та опису локального поводження аналiтичних розв’язкiв як зви-
чайних диференцiальних рiвнянь i рiвнянь з частинними похiдними, так i систем таких рiвнянь
[17, 18, 20]. Ми припускаємо, що методи з цих робiт можна застосувати до задач, що мiстять
похiдну за змiнним напрямком, наприклад за напрямком нормалi (тобто за ортогональним на-
прямком) до деякої поверхнi.
Теорему, аналогом якої є наступна теорема, вперше для цiлих функцiй обмеженого iндексу
однiєї змiнної отримав G. H. Fricke [13], а для рiзних класiв аналiтичних функцiй її аналоги
доведено в [3, 5, 7, 8, 14, 19]. Тут ми доведемо аналог цiєї теореми для випадку обмеженого
iндексу за змiнним напрямком.
Теорема 1. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя. Якщо цiла функцiя F :
\BbbC n \rightarrow \BbbC має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z), то для кожного \eta > 0 iснують
такi n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 = P1(\eta ) \geq 1, що для кожних z \in \BbbC n i t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +
таке, що 0 \leq k0 \leq n0 i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| \bigm| : | \tau | \leq \eta
\Bigr\}
\leq P1
\bigm| \bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm| \bigm| . (7)
Доведення в цiлому повторює схему доведення вiдповiдних тверджень для цiлих функцiй
обмеженого L-iндексу за напрямком [3; 4, с. 20] та за змiнним напрямком \bfb [1], яке там
проведене у випадку, коли \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n є цiлою вектор-функцiєю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
462 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Нехай N\bfb (F ) \equiv N < +\infty , а для a \in \BbbR позначення [a] у даному доведеннi означає цiлу
частину числа a. Позначимо
q(\eta ) = [2\eta (N + 1)] + 1.
Для z \in \BbbC n, t \in \BbbC i p \in \{ 0, 1, . . . , q(\eta )\} приймемо
R\bfb
p (z, t, \eta ) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))|
k!
: | \tau | \leq p\eta
q(\eta )
, 0 \leq k \leq N
\Biggr\}
.
Зауважимо, що | \tau | \leq p\eta
q(\eta )
\leq \eta . Зрозумiло, що R\bfb
p (z, t, \eta ) означено коректно.
Нехай kp = kp(z, t) \in \BbbZ , 0 \leq kp \leq N, \tau p = \tau p(z, t) \in \BbbC , | \tau p| \leq
p\eta
q(\eta )
, такi, що
R\bfb
p (z, t, \eta ) =
| \partial kp
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau p\bfb (z))|
kp!
. (8)
Для фiксованих z \in \BbbC n i t \in \BbbC функцiї F (z+t\bfb (z)+\tau \bfb (z)) i \partial k
\bfb (z)F (z+t\bfb (z)+\tau \bfb (z)) є цiлими
функцiями змiнної \tau \in \BbbC , тому, за принципом максимуму модуля, рiвнiсть (8) виконується для
такого \tau p, що | \tau p| =
p\eta
q(\eta )
. Позначимо \widetilde \tau p = \widetilde \tau p(z, t) = p - 1
p
\tau p(z, t). Тодi
| \widetilde \tau p| = (p - 1)\eta
q(\eta )
, (9)
| \widetilde \tau p - \tau p| =
| \tau p|
p
=
\eta
q(\eta )
. (10)
З (9) i означення R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) випливає, що
R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \widetilde \tau p\bfb (z))\bigm| \bigm| \bigm|
kp!
.
Тому
0 \leq R\bfb
p (z, t, \eta ) - R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau p\bfb (z))
\bigm| \bigm| \bigm| - \bigm| \bigm| \bigm| \partial kp
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \widetilde \tau p\bfb (z))\bigm| \bigm| \bigm|
kp!
=
=
1
kp!
1\int
0
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp
\bfb (z)F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| ds. (11)
Для кожної диференцiйовної комплекснозначної функцiї дiйсної змiнної \varphi (s), s \in \BbbR , не-
рiвнiсть
d
ds
| \varphi (s)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dds\varphi (s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| виконується для всiх s \in \BbbR таких, що \varphi (s) \not = 0. Застосовуючи
останню нерiвнiсть до (11), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ . . . 463
R\bfb
p (z, t, \eta ) - R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \leq
\leq 1
kp!
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dds\partial kp
\bfb (z)F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ds. (12)
Нагадаємо, що gz(t) = F (z + t\bfb ). З рiвностi (3) одержуємо
d
ds
\partial
kp
\bfb (z)F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) =
=
d
ds
\int
| w| =r
kp!
2\pi i
F (z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z) + w\bfb (z))
wkp+1
dw =
=
d
ds
\int
| w| =r
kp!
2\pi i
gz+t\bfb (z)+ \widetilde \tau p\bfb (z)(s(\tau p - \widetilde \tau p) + w)
wkp+1
dw. (13)
Але gz(t) — цiла функцiя i останнє зображення (13) є iнтегральною формулою Кошi для функцiї
gz, тобто
d
ds
\partial
kp
\bfb (z)F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) = d
ds
\biggl(
g
(kp)
z+t\bfb (z)+ \widetilde \tau p\bfb (z)\bigl( s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \biggr) =
= (\tau p - \widetilde \tau p)g(kp+1)
z+t\bfb (z)+ \widetilde \tau p\bfb (z)\bigl( s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) .
Пiдставляючи останню рiвнiсть у (12) i застосовуючи (5), отримуємо
R\bfb
p (z, t, \eta ) - R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \leq
| \tau p - \widetilde \tau p|
kp!
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| g(kp+1)
z+t\bfb (z)+ \widetilde \tau p\bfb (z)\bigl( s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| ds =
=
| \tau p - \widetilde \tau p|
kp!
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp+1
\bfb (z) F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s(\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| ds. (14)
За теоремою про середнє, застосованою до (14), маємо
R\bfb
p (z, t, \eta ) - R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \leq
| \tau p - \widetilde \tau p|
kp!
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp+1
\bfb (z) F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s\ast (\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| =
= (kp + 1)| \tau p - \widetilde \tau p|
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp+1
\bfb (z) F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s\ast (\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm|
(kp + 1)!
, (15)
де s\ast \in [0, 1]. Точка \widetilde \tau p + s\ast (\tau p - \widetilde \tau p) є точкою з множини\biggl\{
\tau \in \BbbC : | \tau | \leq p\eta
q(\eta )
\leq \eta
\biggr\}
.
За означенням обмеженостi iндексу за змiнним напрямком, використовуючи позначення
q(\eta ) i застосовуючи нерiвностi (10) i (15), для kp \leq N одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
464 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
R\bfb
p (z, t, \eta ) - R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \partial kp+1
\bfb (z) F
\bigl(
z + t\bfb (z) +
\bigl( \widetilde \tau p + s\ast (\tau p - \widetilde \tau p)\bigr) \bfb (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm|
(kp + 1)!
(kp + 1)| \tau p - \widetilde \tau p| \leq
\leq \eta
N + 1
q(\eta )
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{
\bigm| \bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + (\widetilde \tau p + s\ast (\tau p - \widetilde \tau p))\bfb (z))\bigm| \bigm| \bigm|
k!
: 0 \leq k \leq N
\right\} \leq
\leq \eta
N + 1
q(\eta )
R\bfb
p (z, t, \eta ) \leq
\eta (N + 1)
[2\eta (N + 1)] + 1
R\bfb
p (z, t, \eta ) \leq
1
2
R\bfb
p (z, t, \eta ).
Звiдси випливає, що R\bfb
p (z, t, \eta ) \leq 2R\bfb
p - 1(z, t, \eta ) для довiльного p \in \BbbN .
Отже,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))|
k!
: | \tau | \leq \eta ,0 \leq k \leq N
\Biggr\}
= R\bfb
q(\eta )(z, t, \eta ) \leq
\leq 2R\bfb
q(\eta ) - 1(z, t, \eta ) \leq 22R\bfb
q(\eta ) - 2(z, t, \eta ) \leq 2q(\eta )R\bfb
0 (z, t, \eta ) =
= 2q(\eta )\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))|
k!
: 0 \leq k \leq N
\Biggr\}
. (16)
Нехай kz,t \in \BbbZ , 0 \leq kz,t \leq N, \widetilde \tau z,t \in \BbbC , | \widetilde \tau z,t| = \eta такi, що\bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
kz,t!
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq N
\bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
,
а також \bigm| \bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \widetilde \tau z,t\bfb (z))\bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| : \tau \leq \eta
\Bigr\}
.
З нерiвностi (16) випливає, що\bigm| \bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \widetilde \tau z,t\bfb (z))\bigm| \bigm| \bigm|
kz,t!
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{
\bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm|
kz,t!
: | t| \leq \eta
\right\} \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| \partial k
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm|
k!
: | t| \leq \eta , 0 \leq k \leq N
\Biggr\}
\leq
\leq (2)q(\eta )
\bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
kz,t!
,
звiдки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| : | \tau | \leq \eta
\Bigr\}
\leq 2q(\eta )
\bigm| \bigm| \partial kz,t
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm| .
Тому (7) отримуємо з n0 = N\bfb (F ), k0 = kz i
P1(\eta ) = 2q(\eta ).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ . . . 465
Теорема 2. Нехай F : \BbbC n \rightarrow \BbbC — цiла функцiя, \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя.
Якщо для кожного \eta > 0 iснують такi n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 = P1(\eta ) \geq 1, що для кожних
z \in \BbbC n i t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +, 0 \leq k0 \leq n0, для якого виконується нерiвнiсть (7), то
функцiя F має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z).
Доведення. Припустимо, що для кожного \eta > 0 iснують такi n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 =
= P1(\eta ) \geq 1, що для кожних z \in \BbbC n i t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +, 0 \leq k0 \leq n0, для якого
виконується нерiвнiсть (7). Виберемо такi \eta > 1 i j0 \in \BbbN , що P1 \leq \eta j0 . Для заданих z \in \BbbC n,
k0 = k0(z, t) i j \geq j0 за формулою Кошi для F (z + t\bfb (z)) як функцiї вiд змiнної t отримуємо
\partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z)) =
j!
2\pi i
\int
| \tau | =\eta
\partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\tau j+1
d\tau .
Тому за нерiвнiстю (7) маємо\bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
j!
\leq 1
2\pi
\int
| t| =\eta
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm|
| \tau | j+1
| d\tau | \leq
\leq 1
\eta j
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| : | \tau | = \eta
\Bigr\}
\leq
\leq P1
\eta j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm| .
Звiдси для всiх j \geq j0, z \in \BbbC n одержуємо\bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
(k0 + j)!
\leq j!k0!
(j + k0)!
P1
\eta j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
\leq
\leq \eta j0 - j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
\leq
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
.
Тут ми скористалися тим, що
j!k0!
(j + k0)!
\leq 1. Оскiльки k0 \leq n0, а числа n0 = n0(\eta ) i j0 = j0(\eta )
є незалежними вiд z i t0, то ця нерiвнiсть означає, що функцiя F є функцiєю обмеженого
iндексу за змiнним напрямком \bfb (z) i N\bfb (F ) \leq n0 + j0.
Теорему 2 доведено.
З теорем 1 i 2 отримуємо такий критерiй.
Наслiдок 1. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя. Для того щоб цiла функ-
цiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC була функцiєю обмеженого iндексу за змiнним напрямком \bfb (z), необхiдно i
достатньо, щоб для кожного \eta > 0 iснували такi n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 = P1(\eta ) \geq 1, що
для кожних z \in \BbbC n i t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +, 0 \leq k0 \leq n0, для якого виконується
нерiвнiсть (7).
Наступна теорема є аналогом тверджень, встановлених для цiлих i аналiтичних в одиничнiй
кулi функцiй обмеженого L-iндексу за напрямком [3, 5].
Теорема 3. Нехай \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя. Цiла функцiя F : \BbbC n \rightarrow \BbbC
має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z) тодi i тiльки тодi, коли F має обмежений
iндекс за змiнним напрямком \alpha \bfb (z), де \alpha \in \BbbC \setminus \{ 0\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
466 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Доведення. Нехай F — цiла функцiя обмеженого iндексу за змiнним напрямком \bfb (z). За
теоремою 1 (\forall \eta > 0) (\exists n0(\eta ) \in \BbbZ +) (\exists P1(\eta ) \geq 1) (\forall z \in \BbbC n) (\forall t \in \BbbC ) (\exists k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +,
0 \leq k0 \leq n0) i виконується нерiвнiсть (7).
Для кожного z \in \BbbC n i довiльного t \in \BbbC маємо
\partial k
\alpha \bfb (z)F (z + t\alpha \bfb (z)) =
\int
| \tau | =r
\bigm| \bigm| F (z + t\alpha \bfb (z) + \tau \alpha \bfb (z))
\bigm| \bigm|
\tau k+1
d\tau =
= \alpha k
\int
| \tau | =r
\bigm| \bigm| F (z + t\alpha \bfb (z) + \tau \alpha \bfb (z))
\bigm| \bigm|
(\alpha \tau )k+1
d(\alpha \tau ) =
= \alpha k
\int
| \tau | =r
\bigm| \bigm| F (z + t\alpha \bfb (z) + \tau \alpha \bfb (z))
\bigm| \bigm|
(\alpha \tau )k+1
d(\alpha \tau ) =
= \alpha k
\int
| w| =r| \alpha |
| F (z + t\alpha \bfb (z) + w\bfb (z))|
wk+1
d(w) = \alpha k\partial \bfb (z)F (z + t\alpha \bfb (z)). (17)
Застосовуючи (17), записуємо нерiвнiсть (7) у виглядi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
| \alpha | k0
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| : | \tau | \leq \eta
\Bigr\}
\leq P1| \alpha | k0
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm| ,
або
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k0
\alpha \bfb (z)F
\biggl(
z +
t
\alpha
\alpha \bfb (z) +
\tau
\alpha
\alpha \bfb (z)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : | \tau /\alpha | \leq \eta /| \alpha |
\biggr\}
\leq P1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k0
\alpha \bfb (z)F
\biggl(
z +
t
\alpha
\alpha \bfb (z)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Позначаючи t\ast =
t
\alpha
, \tau \ast =
\tau
\alpha
, \eta \ast =
\eta
| \alpha |
, отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \partial k0
\alpha \bfb (z)F (z + t\ast \alpha \bfb (z) + \tau \ast \alpha \bfb (z))
\bigm| \bigm| : | \tau \ast | \leq \eta \ast
\Bigr\}
\leq P1
\bigm| \bigm| \partial k0
\alpha \bfb (z)F (z + t\ast \alpha \bfb (z))
\bigm| \bigm| .
За теоремою 2 функцiя F (z) має обмежений iндекс за змiнним напрямком \alpha \bfb (z). Обернене
твердження доводиться аналогiчно.
Теорему 3 доведено.
Скориставшись iдеєю Фрiке [12], отримаємо таку модифiкацiю теореми 2.
Теорема 4. Нехай F : \BbbC n \rightarrow \BbbC — цiла функцiя, \bfb : \BbbC n \rightarrow \BbbC n — неперервна вектор-функцiя.
Якщо iснують такi \eta > 0, n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 = P1(\eta ) \geq 1, що для всiх z \in \BbbC n i для кожного
t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +, 0 \leq k0 \leq n0, для якого виконується нерiвнiсть (7), то функцiя
F має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z).
Доведення повторює схему доведення вiдповiдної теореми для цiлих функцiй обмеженого
L-iндексу за напрямком [9].
Припустимо, що iснують такi \eta > 0, n0 = n0(\eta ) \in \BbbZ + i P1 \geq 1, що для кожних z \in \BbbC n i
t \in \BbbC iснує k0 = k0(z, t) \in \BbbZ +, 0 \leq k0 \leq n0, для якого виконується нерiвнiсть (7).
Якщо \eta > 1, то виберемо j0 \in \BbbN так, щоб P1 \leq \eta j0 . У випадку \eta \in (0; 1] виберемо j0 \in \BbbN
так, щоб виконувалась нерiвнiсть
j0!k0!
(j0 + k0)!
P1 \leq 1. Такий вибiр j0 є можливим, оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ЛОКАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ОБМЕЖЕНОГО IНДЕКСУ ЗА ЗМIННИМ НАПРЯМКОМ . . . 467
j0!k0!
(j0 + k0)!
P1 =
k0!
(j0 + 1)(j0 + 2) . . . (j0 + k0)
P1 \rightarrow 0, j0 \rightarrow +\infty .
Запишемо iнтегральну формулу Кошi для функцiї \partial k0
\bfb (z)F (z+ t\bfb (z)) комплексної змiнної t:
\partial k0+j
\bfb (z) F
\bigl(
z + t\bfb (z)
\bigr)
=
j!
2\pi i
\int
| \tau | =\eta
\partial k0
\bfb (z)F
\bigl(
z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z)
\bigr)
\tau j+1
d\tau .
Застосовуючи нерiвнiсть (7), отримуємо\bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
j!
\leq 1
\eta j
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z) + \tau \bfb (z))
\bigm| \bigm| : | \tau | = \eta
\Bigr\}
\leq
\leq P1
\eta j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm| . (18)
За вибором j0 для \eta > 1 i для всiх j \geq j0 виводимо\bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
(k0 + j)!
\leq j!k0!
(j + k0)!
P1
\eta j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
\leq
\leq \eta j0 - j
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
\leq
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
.
Оскiльки k0 \leq n0, числа n0 = n0(\eta ) i j0 = j0(\eta ) не залежать вiд z, а z \in \BbbC n є довiльним, то
остання нерiвнiсть означає, що функцiя F має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb (z),
а N\bfb (F ) \leq n0 + j0.
Якщо \eta \in (0, 1), то з нерiвностi (18) випливає, що для всiх j \geq j0\bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
(k0 + j)!
\leq j!k0!P1
(j + k0)!
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
\eta jk0!
\leq
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
\eta jk0!
i за вибором j0 \bigm| \bigm| \partial k0+j
\bfb (z) F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
(k0 + j)!
\eta k0+j \leq
\bigm| \bigm| \partial k0
\bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
\eta k0 .
За рiвнiстю (17) маємо \partial p
\eta \bfb (z)F (z + t\bfb (z)) = \eta p\partial p
\bfb (z)F (z + t\bfb (z)). Тому для всiх j \geq j0\bigm| \bigm| \partial k0+j
\eta \bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
(k0 + j)!
\leq
\bigm| \bigm| \partial k0
\eta \bfb (z)F (z + t\bfb (z))
\bigm| \bigm|
k0!
.
Отже, функцiя F має обмежений iндекс за змiнним напрямком \eta \bfb . Тодi за теоремою 3 функцiя
F має обмежений iндекс за змiнним напрямком \bfb .
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
468 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Лiтература
1. A. I. Bandura, Entire functions of bounded index in frame, Mat. Stud., 54, № 2, 193 – 202 (2020); DOI: 10.30970/
ms.54.2.193-202.
2. A. I. Bandura, O. B. Skaskiv, Boundedness of L-index in direction of functions of the form f(\langle z,m\rangle ) and existence
theorems, Mat. Stud., 41, № 1, 45 – 52 (2014).
3. A. I. Bandura, O. B. Skaskiv, Entire functions of bounded L-index in direction (in Ukrainian), Mat. Stud., 27, № 1,
30 – 52 (2007).
4. A. Bandura, O. Skaskiv, Entire functions of several variables of bounded index, Publ. I. E. Chyzhykov, Lviv (2016).
5. A. Bandura, O. Skaskiv, Functions analytic in the Unit ball having bounded L-index in a direction, Rocky Mountain
J. Math., 49, № 4, 1063 – 1092 (2019); DOI: 10.1216/RMJ-2019-49-4-1063.
6. A. Bandura, O. Skaskiv, Slice holomorphic functions in several variables with bounded L-index in direction, Axioms,
8, № 3, Article ID 88 (2019); DOI: 10.3390/axioms8030088.
7. A. Bandura, N. Petrechko, O. Skaskiv, Maximum modulus in a bidisc of analytic functions of bounded \bfL -index and
an analogue of Hayman’s theorem, Mat. Bohemica, 143, № 4, 339 – 354 (2018); DOI: 10.21136/MB.2017.0110-16.
8. A. Bandura, O. Skaskiv, Sufficient conditions of boundedness of \bfL -index and analog of Hayman’s theorem for analytic
functions in a ball, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 63, № 4, 483 – 501 (2018); DOI:10.24193/subbmath.2018.4.06.
9. A. I. Bandura, A modified criterion of boundedness of L-index in direction, Mat. Stud., 39, № 1, 99 – 102 (2013).
10. M. T. Bordulyak, M. M. Sheremeta, On the existence of entire functions of bounded l-index and l-regular growth,
Ukr. Math. J., 48, № 9, 1322 – 1340 (1996); DOI: 10.1007/BF02595355.
11. A. A. Goldberg, M. N. Sheremeta, Existence of an entire transcendental function of bounded l-index, Math. Notes,
57, № 1, 88 – 90 (1995); DOI: 10.1007/BF02309399.
12. G. H. Fricke, Entire functions of locally slow growth, J. Anal. Math., 28, 101 – 122 (1975); DOI: 10.1007/BF02786809.
13. G. H. Fricke, Functions of bounded index and their logarithmic derivatives, Math. Ann., 206, 215 – 223 (1973); DOI:
10.1007/BF01429209.
14. A. D. Kuzyk, M. N. Sheremeta, Entire functions of bounded l-distribution of values, Math. Notes, 39, № 1, 3 – 8
(1986); DOI: 10.1007/BF01647624.
15. B. Lepson, Differential equations of infinite order, hyperdirichlet series and entire functions of bounded index, Proc.
Sympos. Pure Math., 11, 298 – 307 (1968).
16. J. J. Macdonnell, Some convergence theorems for Dirichlet-type series whose coefficients are entire functions of
bounded index, Doctoral dissertation, Catholic Univ. America, Washington, USA (1957).
17. F. Nuray, R. F. Patterson, Vector-valued bivariate entire functions of bounded index satisfying a system of differential
equations, Mat. Stud., 49, № 1, 67 – 74 (2018); DOI: 10.15330/ms.49.1.67-74.
18. A. Bandura, O. Skaskiv, Analog of Hayman’s theorem and its application to some system of linear partial differential
equations, J. Math. Phys., Anal., Geom., 15, № 2, 170 – 191 (2019); DOI: 10.15407/mag15.02.170.
19. M. Sheremeta, Analytic functions of bounded index, VNTL Publ., Lviv (1999).
20. M. M. Sheremeta, Y. S. Trukhan, Properties of analytic solutions of a differential equation, Mat. Stud., 52, № 2,
138 – 143 (2019); DOI: 10.30970/ms.52.2.138-143.
Одержано 02.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7083 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:24Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/9433efb0858b1070aa9bc458f4803d7d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70832022-07-06T16:22:31Z Local properties of entire functions of bounded index in a frame Локальні властивості цілих функцій обмеженого індексу за змінним напрямком (репером) Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. I. Скасків, О. Б. ціла функція похідна за напрямком максимум модуля декілька комплексних змінних entire function directional derivative maximum modulus several complex variables UDC 517.555 We extend the concept of entire functions of bounded index in a variable direction&nbsp;&nbsp;to the case where the variable direction is a continuous vector-valued function.&nbsp;The previous investigations of this class of functions assumed that the variable direction is an entire vector-valued function.&nbsp;An entire function $F\colon \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ is called a function of bounded index in a frame $\mathbf{b}(z),$ if~there exists $m_{0} \in\mathbb{Z}_{+}$ such that, for every $m \in\mathbb{Z}_{+},$ for all $z\in \mathbb{C}^{n},$ and for all $t\in\mathbb{C},$ one has $\dfrac{\big|{\partial^{m}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z))}\big|}{m!}\leq\max_{0\leq k \leq m_{0}} \dfrac{\big|{\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z))}\big|}{k!},$&nbsp;&nbsp;where $\partial^{0}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z)) = F(z + t\mathbf{b}(z)),$&nbsp;&nbsp;$\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z + t\mathbf{b}(z)) := \dfrac{k!}{2\pi i}\displaystyle\int\limits_{|\tau| = r}\dfrac{F(z + t\mathbf{b}(z) + \tau \mathbf{b}(z))}{\tau^{k + 1}} d\tau$&nbsp;and $\mathbf{b}\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ is a vector-valued continuous function.&nbsp;Here we investigate some properties of these functions.&nbsp;&nbsp;The obtained results are counterparts of the known statements obtained for entire functions of bounded index in a fixed direction.&nbsp;&nbsp;These results describe the local behavior of the modulus $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z + t\mathbf{b} + \tau\mathbf{b}(z))$ in the disc $|\tau| = \eta.$&nbsp;&nbsp;We give some estimates for this expression by means of the values $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z + t\mathbf{b}).$ УДК 517.555 Розширено поняття цілої функції обмеженого індексу за змінним напрямком на випадок, коли змінний напрямок -неперервна векторно-значна функція. Попередні дослідження цього класу функцій містили обмеження, що змінний напрямок — ціла векторно-значна функція.Ціла функція $F: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ називається функцією обмеженого індексу за змінним напрямком (репером) $\mathbf{b}(z)$, якщо існує $m_{0} \in\mathbb{Z}_{+}$ таке, що для кожного $m \in\mathbb{Z}_{+}$, всіх $z\in \mathbb{C}^{n}$ та всіх $t\in\mathbb{C}$ виконується $\frac{|{\partial^{m}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))}|}{m!} \leq\max_{0\leq k \leq m_{0}} \frac{|{\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))}|}{k!},$де $\partial^{0}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))=F(z+t\mathbf{b}(z)),$ $\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z)):=\frac{k!}{2\pi i}\int_{|\tau|=r}\frac{F(z+t\mathbf{b}(z)+\tau \mathbf{b}(z))}{\tau^{k+1}} d\tau$ та $\mathbf{b}: \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ — векторно-значна неперервна функція.У статті наведено дослідження деяких властивостей цих функцій. Отримані результати — аналоги тверджень, відомих для цілих функцій обмеженого індексу за фіксованим напрямком. Вони описують локальне поводження модуля $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z+t\mathbf{b}+\tau\mathbf{b}(z))$ на колі $|\tau|=\eta$. Знайдено деякі оцінки цього виразу через значення &nbsp;$\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z+t\mathbf{b}).$ &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-19 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7083 10.37863/umzh.v74i4.7083 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 458 - 468 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 458 - 468 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7083/9217 Copyright (c) 2022 Андрій Бандура, Олег Скасків |
| spellingShingle | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. I. Скасків, О. Б. Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title | Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title_alt | Локальні властивості цілих функцій обмеженого індексу за змінним напрямком (репером) |
| title_full | Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title_fullStr | Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title_full_unstemmed | Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title_short | Local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| title_sort | local properties of entire functions of bounded index in a frame |
| topic_facet | ціла функція похідна за напрямком максимум модуля декілька комплексних змінних entire function directional derivative maximum modulus several complex variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7083 |
| work_keys_str_mv | AT banduraai localpropertiesofentirefunctionsofboundedindexinaframe AT skaskivob localpropertiesofentirefunctionsofboundedindexinaframe AT banduraai localpropertiesofentirefunctionsofboundedindexinaframe AT skaskívob localpropertiesofentirefunctionsofboundedindexinaframe AT banduraai lokalʹnívlastivostícílihfunkcíjobmeženogoíndeksuzazmínnimnaprâmkomreperom AT skaskivob lokalʹnívlastivostícílihfunkcíjobmeženogoíndeksuzazmínnimnaprâmkomreperom AT banduraai lokalʹnívlastivostícílihfunkcíjobmeženogoíndeksuzazmínnimnaprâmkomreperom AT skaskívob lokalʹnívlastivostícílihfunkcíjobmeženogoíndeksuzazmínnimnaprâmkomreperom |