Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients
UDC 517.929.2 We prove the necessity of known sufficient conditions for the existence of a unique solution bounded or summable with degree $p$ for a linear difference equation with piecewise constant operator coefficients.
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7087 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512602511114240 |
|---|---|
| author | Horodnii , М. F. Городній, М. Ф. |
| author_facet | Horodnii , М. F. Городній, М. Ф. |
| author_sort | Horodnii , М. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:13Z |
| description | UDC 517.929.2
We prove the necessity of known sufficient conditions for the existence of a unique solution bounded or summable with degree $p$ for a linear difference equation with piecewise constant operator coefficients. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7087 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7087
УДК 517.929.2
М. Ф. Городнiй (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОБМЕЖЕНI ТА СУМОВНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ
З КУСКОВО-СТАЛИМИ ОПЕРАТОРНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ*
We prove the necessity of known sufficient conditions for the existence of a unique solution bounded or summable with
degree p for a linear difference equation with piecewise constant operator coefficients.
Доведено необхiднiсть вiдомих достатнiх умов iснування єдиного обмеженого або сумовного зi степенем p розв’язку
лiнiйного рiзницевого рiвняння з кусково-сталими операторними коефiцiєнтами.
1. Вступ. Нехай X — комплексний банахiв простiр iз нормою \| \cdot \| i нульовим елементом \=0;
L(X) — простiр лiнiйних неперервних операторiв, що дiють iз X в X; I i O — вiдповiдно
одиничний i нульовий оператори в X. Через \sigma (T ), \rho (T ), r(T ) позначатимемо вiдповiдно
спектр, резольвентну множину i спектральний радiус оператора T \in L(X). Покладемо
l\infty (\BbbZ , X) =
\biggl\{
\=x = \{ xn, n \in \BbbZ \} \subset X
\bigm| \bigm| \| \=x\| \infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| xn\| < \infty
\biggr\}
,
lp(\BbbZ , X) =
\left\{ \=x = \{ xn, n \in \BbbZ \} \subset X
\bigm| \bigm| \| \=x\| p = \Biggl( \sum
n\in \BbbZ
\| xn\| p
\Biggr) 1/p
< \infty
\right\} , 1 \leq p < \infty .
Зазначимо, що для кожного p \in [1;\infty ] lp(\BbbZ , X) — банахiв простiр iз покоординатним додаван-
ням i множенням на комплексне число i нормою \| \cdot \| p.
Нехай A,B — фiксованi оператори з L(X). Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = Axn + yn, n \geq 1,
xn+1 = Bxn + yn, n \leq 0,
(1)
в якому \{ yn, n \in \BbbZ \} — задана, а \{ xn, n \in \BbbZ \} — шукана послiдовнiсть елементiв простору X.
Будемо дослiджувати умови на оператори A,B, при виконаннi яких справджується така умова.
Умова \bfitp -сумовностi (обмеженостi при \bfitp = \infty ). Для довiльної послiдовностi \{ yn, n \in
\in \BbbZ \} \in lp(\BbbZ , X) рiвняння (1) має єдиний розв’язок \{ xn, n \in \BbbZ \} у просторi lp(\BbbZ , X).
Вiдомо (див., наприклад, [1, c. 32 – 34]), що коли спектр \sigma (A) оператора A не перетинається
з одиничним колом S = \{ z \in \BbbC | | z| = 1\} , то простiр X розкладається в пряму суму iнварiан-
тних щодо A пiдпросторiв X = X - (A) \.+X+(A) таким чином, що звуження A - , A+ оператора
A на X - (A), X+(A) мають спектри \sigma - (A), \sigma +(A), де \sigma - (A) — частина спектра оператора A,
що лежить всерединi, а \sigma +(A) — зовнi кола S. На пiдставi цього факту в [2] доведено таку
теорему.
* Виконано за фiнансової пiдтримки Мiнiстерства освiти i науки України (грант Мiнiстерства освiти i науки
України для перспективних розробок з наукового напрямку „Математичнi науки та природничi науки” в Київському
нацiональному унiверситетi iменi Т. Шевченка).
c\bigcirc М. Ф. ГОРОДНIЙ, 2022
930 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОБМЕЖЕНI ТА СУМОВНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 931
Теорема 1. Нехай оператори A,B задовольняють такi умови:
i1) \sigma (A) \cap S = \varnothing , \sigma (B) \cap S = \varnothing ;
i2) X = X - (A) \.+X+(B).
Тодi для довiльного p \in [1;\infty ] рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову p-сумовностi.
У роботi [3] показано, що у випадку скiнченновимiрного простору X умови i1), i2) не
лише достатнi, а й необхiднi для того, щоб рiвняння (1) задовольняло умову обмеженостi.
Також зауважимо, що на пiдставi теореми 6 iз [4] справджується таке твердження.
Теорема 2. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову p-сумовностi для деякого p \in
\in [1;\infty ], то воно задовольняє умову p-сумовностi для всiх p \in [1;\infty ].
Використовуючи зв’язок умови обмеженостi й умови експоненцiальної дихотомiї вiдпо-
вiдного однорiдного рiзницевого рiвняння, В. Ю. Слюсарчук в роботi [5] отримав критерiй
виконання умови обмеженостi для рiзницевого рiвняння з кусково-сталими операторними кое-
фiцiєнтами загального вигляду, частковим випадком якого є таке твердження.
Теорема 3. Для того щоб рiзницеве рiвняння (1) задовольняло умову обмеженостi, необ-
хiдно i достатньо, щоб банахiв простiр X зображувався у виглядi прямих сум пiдпросторiв
X = X -
0
\.+X+
0 = X -
1
\.+X+
1 таким чином, що:
а1) B(X -
0 ) \subset X -
0 \cap X -
1 , B(X+
0 ) = X+
0 = X+
1 , оператор P+
0 BP+
0 : X+
0 \rightarrow X+
0 неперервно
оборотний, а також r((P+
0 BP+
0 ) - 1) < 1, r(P -
0 BP -
0 ) < 1;
а2) A(X -
1 ) \subset X -
1 , A(X+
1 ) = X+
1 , оператор P+
1 AP+
1 неперервно оборотний, а також
r((P+
1 AP+
1 ) - 1) < 1, r(P -
1 AP -
1 ) < 1.
Тут P -
0 , P+
0 — проєктори, що вiдповiдають зображенню X = X -
0
\.+X+
0 , а P -
1 , P+
1 — зобра-
женню X = X -
1
\.+X+
1 .
Зазначимо, що перевiрка умов теореми 3, як i умов експоненцiальної дихотомiї, є нетри-
вiальною задачею, оскiльки доведення теореми 3 не мiстить ефективного способу побудови
зображень X = X -
0
\.+X+
0 = X -
1
\.+X+
1 .
Мета цiєї статтi — довести таку теорему.
Теорема 4. Умови i1), i2) теореми 1 є необхiдними для того, щоб рiзницеве рiвняння (1)
задовольняло умову обмеженостi.
У випадку, коли оператори A,B додатково неперервно оборотнi, теорему 4 доведено в [6].
Аналогiчний результат отримано також в [7] у випадку, коли оператор B неперервно оборотний
i оператори A, B - 1 задовольняють деякi додатковi умови.
Для рiзницевого рiвняння еквiвалентнiсть умови обмеженостi й умови експоненцiальної
дихотомiї доведено в [8, 9] для обмеженого i в [4] для необмеженого змiнного операторного
коефiцiєнта. Про дослiдження задач щодо iснування, зображення й властивостей обмежених
розв’язкiв лiнiйних рiзницевих рiвнянь див., наприклад, [4, 5, 10 – 13], а сумовних зi степенем
p — [4, 12] та наведену там бiблiографiю.
2. Допомiжнi твердження. Покладемо
Q - (A) =
\biggl\{
u \in X
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| Anu\| < \infty
\biggr\}
,
Q+(B) =
\Bigl\{
u \in X
\bigm| \bigm| iснує така послiдовнiсть\{ a(k, u), k \leq 0\} ,що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
932 М. Ф. ГОРОДНIЙ
a(0, u) = u; Ba(k, u) = a(k + 1, u) для кожного k \leq - 1; \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\leq 0
\| a(k, u)\| < \infty
\Bigr\}
.
Зазначимо, що Q - (A) i Q+(B) — лiнiйнi многовиди, iнварiантнi щодо операторiв A i B
вiдповiдно.
При доведеннi теореми 4 будемо використовувати такi леми.
Лема 1. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то для кожного
u \in Q+(B) iснує єдина послiдовнiсть \{ a(k, u), k \leq 0\} з означення Q+(B), а Q+(B) є пiдпрос-
тором в X.
Доведення. При фiксованому y \in Q+(B) послiдовнiсть\biggl\{
. . . , a( - 2, y), a( - 1, y)\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
(2)
є вiдповiдним до послiдовностi y0 = - y, yn = \=0, n \not = 0, обмеженим розв’язком рiвнян-
ня (1). Внаслiдок умови обмеженостi цей обмежений розв’язок єдиний, а отже, послiдовнiсть
\{ a(k, y), k \leq 0\} визначається єдиним чином.
Покажемо, що лiнiйний многовид Q+(B) є замкненим. Зафiксуємо таку послiдовнiсть
\{ vm,m \geq 1\} \subset Q+(B), що vm \rightarrow v, m \rightarrow \infty в X, i доведемо, що v \in Q+(B). Покладемо для
кожного m \geq 1
\=vm =
\biggl\{
. . . , \=0, - vm\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, . . .
\biggr\}
.
Тодi у просторi l\infty (\BbbZ , X)
\=vm \rightarrow \=v =
\biggl\{
. . . , \=0, - v\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, . . .
\biggr\}
, m \rightarrow \infty .
Розглянемо оператор \BbbT \in l\infty (\BbbZ , X), який визначається за правилом
\scrT \=x = \{ xn+1 - Tnxn, n \in \BbbZ \} , \=x = \{ xn, n \in \BbbZ \} \in l\infty (\BbbZ , X),
де Tn = A, n \geq 1; Tn = B, n \leq 0. З умови обмеженостi i теореми Банаха про обернений
оператор випливає, що оператор \scrT неперервно оборотний. Тому
\scrT - 1\=vm \rightarrow \scrT - 1\=v, m \rightarrow \infty , (3)
у просторi l\infty (\BbbZ , X). Аналогiчно (2) для кожного m \geq 1
\scrT - 1\=vm =
\biggl\{
. . . , a( - 2, vm), a( - 1, vm)\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
.
Отже, якщо \scrT - 1\=v = \{ un, n \in \BbbZ \} , то внаслiдок (3) un = \=0, n \geq 1, а також для кожного n \leq 0
a(n, vm) = Ba(n - 1, vm), a(n - 1, vm) \rightarrow un, m \rightarrow \infty .
Тому un = Bun - 1, n \leq - 1, а також vm = Ba( - 1, vm) \rightarrow v = Bu0, m \rightarrow \infty . Отже, v \in Q+(B)
i a(n - 1, v) = un, n \leq 0.
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОБМЕЖЕНI ТА СУМОВНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 933
Лема 2. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то Q - (A) є пiд-
простором в X.
Доведення проводиться тим же способом, що й леми 1, якщо врахувати, що при фiксованому
y \in Q - (A) єдиним обмеженим розв’язком (1), вiдповiдним до обмеженої послiдовностi y0 = y,
yn = \=0, n \not = 0, є послiдовнiсть\biggl\{
. . . , \=0, \=0, y\underbrace{} \underbrace{}
1
, Ay, A2y, . . .
\biggr\}
.
Лема 3. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то X = Q - (A) \.+
\.+Q+(B).
Доведення. Зафiксуємо y \in X. Нехай \{ xn, n \in \BbbZ \} — єдиний обмежений розв’язок рiвняння
(1), вiдповiдний до послiдовностi y0 = y, yn = \=0, n \not = 0. Оскiльки xn+1 = Anx1, n \geq 1, i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \| xn\| < \infty , то x1 \in Q - (A). Також xk+1 = Bxk, n \leq - 1 i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\leq 0 \| xn\| < \infty . Тому
x0, а отже, i Bx0 належать множинi Q+(B). Таким чином, y = x1 + ( - Bx0), де x1 \in Q - (A),
( - Bx0) \in Q+(B).
Якщо, вiд супротивного, iснує ненульовий елемент u \in Q - (A) \cap Q+(B), то вiдповiдне до
(1) однорiдне рiзницеве рiвняння має ненульовий обмежений розв’язок\biggl\{
. . . , a( - 2, u), a( - 1, u), u\underbrace{} \underbrace{}
1
, Au, A2u, . . .
\biggr\}
.
Це суперечить умовi обмеженостi.
Лему 3 доведено.
У подальшому в цьому пунктi вважаємо, що пiдпростори Q - (A), Q+(B) не збiгають-
ся з X.
Лема 4. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то звуження BQ
оператора B на Q+(B) є неперервно оборотним оператором на Q+(B).
Доведення. Зафiксуємо v \in Q+(B). Оскiльки v = a(0, v) = BQa( - 1, v), то рiвняння
BQu = v має розв’язок u = a( - 1, v) у просторi Q+(B). Якщо, вiд супротивного, цей розв’язок
не єдиний, то знайдеться таке w \in Q+(B), w \not = \=0, що BQw = \=0. Але тодi вiдповiдне до (1)
однорiдне рiзницеве рiвняння має ненульовий обмежений розв’язок\biggl\{
. . . , a( - 1, w), a(0, w)\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
.
Прийшли до суперечностi.
Отже, оператор B - 1
Q iснує за теоремою Банаха про обернений оператор.
Лему 4 доведено.
Позначимо через AQ звуження оператора A на пiдпростiр Q - (A).
Лема 5. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то
\sigma (BQ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} , \sigma (AQ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
934 М. Ф. ГОРОДНIЙ
Доведення. Зафiксуємо v \in Q - (A). Оскiльки обмеженiй послiдовностi
\=v =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, v\underbrace{} \underbrace{}
o
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
вiдповiдає єдиний обмежений розв’язок
\scrT - 1\=v =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, v\underbrace{} \underbrace{}
1
, AQv, A
2
Qv, . . .
\biggr\}
рiвняння (1), то для кожного n \geq 0
\| An
Qv\| \leq \| \scrT - 1\=v\| \infty \leq \| \scrT - 1\| \| v\| .
Тому, з огляду на означення норми оператора, робимо висновок, що послiдовнiсть \{ \| An
Q\| ,
n \geq 0\} обмежена сталою \| \scrT - 1\| .
При фiксованих m \in \BbbN , w \in Q - (A) обмеженiй послiдовностi
\=wm =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, w\underbrace{} \underbrace{}
0
, AQw, A
2
Qw, . . . , A
m
Qw, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
вiдповiдає єдиний обмежений розв’язок
\scrT - 1 \=w =
\Biggl\{
. . . , \=0, \=0, w\underbrace{} \underbrace{}
1
, 2AQw, 3A
2
Qw, . . .
. . . , (m+ 1)Am
Qw, (m+ 1)Am+1
Q w, (m+ 1)Am+2
Q w, . . .
\Biggr\}
.
Тому \bigm\| \bigm\| (m+ 1)Am
Qw
\bigm\| \bigm\| \leq \| \scrT - 1 \=wm\| \infty \leq \| \scrT - 1\| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 0
\| An
Q\| \| w\| ,
а отже, послiдовнiсть \{ \| (m + 1)Am
Q\| , m \geq 0\} також обмежена. Тодi знайдеться така стала
C > 0, що для кожного m \geq 1
(r(AQ))
m = r(Am
Q ) \leq \| Am
Q\| \leq C
m+ 1
.
Звiдси випливає, що r(AQ) < 1, а отже, \sigma (AQ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} .
Зафiксуємо тепер y \in Q+(B) i розглянемо єдиний обмежений розв’язок \=x = \{ xn, n \in \BbbZ \}
рiзницевого рiвняння (1), що вiдповiдає послiдовностi
\=y =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, - y\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
.
Оскiльки xn+1 = Bxn, n \leq - 1, то з урахуванням леми 4
\=x = \scrT - 1\=y =
\biggl\{
. . . , B - 2
Q y, B - 1
Q y\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОБМЕЖЕНI ТА СУМОВНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 935
Тому за допомогою таких же мiркувань, як i для оператора AQ, отримаємо оцiнку r(B - 1
Q ) < 1,
з якої випливає, що \sigma (BQ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} .
Лему 5 доведено.
Нехай X — пряма сума своїх пiдпросторiв X1, X2, кожен з яких не збiгається з X; P1,
P2 — проєктори в X, що вiдповiдають зображенню X = X1 \.+X2.
Лема 6. Якщо V \in L(X) i пiдпростiр X1 iнварiантний щодо оператора V, то оператор
P2V P2 : X2 \rightarrow X2 має такi властивостi:
j1) (P2V P2)
n = P2V
nP2 для кожного n \geq 1;
j2) якщо V1 — звуження оператора V на пiдпростiр X1, то \sigma (P2V P2) \supset (\sigma (V )\setminus \sigma (V1)).
Оскiльки твердження j1) збiгається з твердженням 1 леми 3 iз [6], а для доведення тверджен-
ня j2) достатньо скористатися тими ж мiркуваннями, що й при доведеннi твердження 4 тiєї ж
леми, то доведення леми 6 ми не наводимо.
Нехай P - , P+ — проєктори, що вiдповiдають зображенню X = Q - (A) \.+Q+(B).
Лема 7. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то для оператора
P - BP - : Q - (A) \rightarrow Q - (A) справджується включення \sigma (P - BP - ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} .
Доведення. Зафiксуємо k \in \BbbN , y \in Q - (A). Нехай \=x = \{ xn, n \in \BbbZ \} — єдиний обмежений
розв’язок рiвняння (1), що вiдповiдає послiдовностi
\=yk =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, y\underbrace{} \underbrace{}
- k
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
.
Тодi
x1 = Bk+1x - k +Bky = Bk+1x - k + P+B
ky + P - B
ky
i x - k, а отже, i Bk+1x - k належать Q+(B). Тому координати \=x зображуються у виглядi
xn = An - 1P - B
ky, n \geq 1,
xn = - Bn - 1
Q P+B
ky +Bn+k - 1y, - k + 1 \leq n \leq 0, (4)
xn = - Bn - 1
Q P+B
ky, n \leq - k.
Зокрема, внаслiдок рiвностi y = P - y i твердження j1) леми 6 x1 = P - B
kP - y = (P - BP - )
ky.
Тому, з огляду на неперервну оборотнiсть оператора \scrT , робимо висновок, що\bigm\| \bigm\| (P - BP - )
ky
\bigm\| \bigm\| \leq \| \scrT - 1\=ym\| \infty \leq \| \scrT - 1\| \| y\| .
Таким чином, послiдовнiсть \{ \| (P - BP - )
k\| , k \geq 1\} є обмеженою.
Iз (4) i лiнiйностi рiвняння (1) випливає, що при фiксованих m \in \BbbN , w \in Q - (A) обмеженiй
послiдовностi
\=wm =
\biggl\{
. . . , \=0, \=0, w\underbrace{} \underbrace{}
- m
, P - BP - w, (P - BP - )
2w, . . . , (P - BP - )
m - 1w, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
вiдповiдає єдиний обмежений розв’язок \scrT - 1 \=wm рiвняння (1), координата (\scrT - 1 \=wm)1 якого
зображується у виглядi
(\scrT - 1 \=wm)1 = P - B
mP - w + P - B
m - 1P - (P - BP - w) + . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
936 М. Ф. ГОРОДНIЙ
. . .+ P - BP - ((P - BP - )
m - 1w) = m(P - BP - )
mw.
Звiдси, як i для оператора AQ при доведеннi леми 5, отримуємо, що \sigma (P - BP - ) \subset \{ z \in \BbbC |
| z| < 1\} .
Лему 7 доведено.
Лема 8. Якщо рiзницеве рiвняння (1) задовольняє умову обмеженостi, то оператор
P+AP+ : Q+(B) \rightarrow Q+(B) неперервно оборотний, а також \sigma (P+AP+) \subset \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} .
Доведення. Зафiксуємо y \in Q+(B). Нехай \=x = \{ xn, n \in \BbbZ \} — єдиний обмежений розв’язок
рiвняння (1), що вiдповiдає послiдовностi y1 = - y; yn = \=0, n \not = 1. Тoдi x1 \in Q+(B),
x2 \in Q - (A), а також
x2 = Ax1 - y = P - Ax1 + P+AP+x1 - y.
Отже, P+AP+x1 - P+y = \=0, тобто рiвняння P+AP+x = y має розв’язок x = x1.
Якщо, вiд супротивного, цей розв’язок не єдиний, то iснує таке u \in Q+(B), u \not = \=0, що
P+AP+u = \=0. Але тодi вiдповiдне до (1) однорiдне рiзницеве рiвняння має крiм нульового
обмежений розв’язок\biggl\{
. . . , B - 2
Q u, B - 1
Q u, u\underbrace{} \underbrace{}
1
, P - Au, AP - Au, A
2P - Au, . . .
\biggr\}
,
що суперечить умовi обмеженостi.
Таким чином, оператор P+AP+ неперервно оборотний за теоремою Банаха про обернений
оператор.
Зафiксуємо тепер m \in \BbbN , y \in Q+(B) i розглянемо єдиний обмежений розв’язок рiвнян-
ня (1), що вiдповiдає послiдовностi ym = - y, yn = \=0, n \not = m. Зазначимо, що x1 \in Q+(B),
xm+1 \in Q - (A), xm = Am - 1x1, а також
xm+1 = Axm - y = P - A
mx1 + P+A
mP+x1 - P+y.
Тому P+A
mP+x1 - P+y = \=0, а отже, з урахуванням твердження j1) леми 6 i неперервної обо-
ротностi оператора P+AP+, x1 = (P+AP+)
- my. Звiдси, як i для оператора AQ при доведеннi
леми 5, отримуємо, що r((P+AP+)
- 1) < 1, тобто \sigma (P+AP+) \subset \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} .
Лему 8 доведено.
3. Доведення теореми 4. 1. Розглянемо випадок, коли пiдпростори Q - (A), Q+(B) не
збiгаються з X. Внаслiдок твердження j2) леми 6 i лем 5, 8 справджуються включення
\sigma (AQ) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} ,
(\sigma (A)\setminus \sigma (AQ)) \subset \sigma (P+AP+) \subset \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} ,
а отже, \sigma (A) \cap S = \varnothing .
Аналогiчно, використовуючи лему 7 замiсть леми 8, одержуємо, що \sigma (B)\cap S = \varnothing , а отже,
виконується умова i1) теореми 4.
Доведемо, що Q+(B) = X+(B). Оскiльки \sigma (B+) = \sigma +(B), то оператор B+ неперервно
оборотний i r(B - 1
+ ) < 1. Тому послiдовнiсть \{ \| B - n
+ \| , n \geq 1\} обмежена, а отже, кожному
u \in X+(B) вiдповiдає послiдовнiсть
a(0, u) = u, a(k, u) = Bk
+u, k \leq - 1,
з означення Q+(B). Таким чином, X+(B) \subset Q+(B).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОБМЕЖЕНI ТА СУМОВНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 937
Якщо, вiд супротивного, iснує u \in X - (B) \cap Q+(B), u \not = \=0, то рiзницеве рiвняння xn+1 =
= Bxn + yn, n \in \BbbZ , має два рiзних обмежених розв’язки, вiдповiднi до послiдовностi y0 = u,
yn = \=0, n \not = 0, а саме, \biggl\{
. . . , - B - 3
Q u, - B - 2
Q u, - B - 1
Q u\underbrace{} \underbrace{}
0
, \=0, \=0, . . .
\biggr\}
i \biggl\{
. . . , \=0, \=0, u\underbrace{} \underbrace{}
1
, B - u, B
2
- u, . . .
\biggr\}
.
Оскiльки \sigma (B) \cap S = \varnothing , то це суперечить твердженню теореми 1 iз [10, c. 9].
Таким чином, Q+(B) = X+(B).
Оскiльки \sigma (A - ) = \sigma - (A), а отже, r(A - ) < 1, то аналогiчно перевiряється, що Q - (A) =
= X - (A). Тому з урахуванням леми 3 X = X - (A) \.+X+(B), тобто виконується умова i2)
теореми 4.
2. Нехай Q - (A) = X. Тодi, як i для оператора AQ з леми 5, маємо r(A) < 1, а отже,
X - (A) = X, \sigma (A) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} . Доведемо, що також r(B) < 1. Згiдно з умовою
обмеженостi при фiксованих k \in \BbbN , y \in X рiзницеве рiвняння (1) має єдиний обмежений
розв’язок, що вiдповiдає послiдовностi y - k = y, yn = \=0, n \not = - k. Безпосередньо перевiряється,
що цей розв’язок зображується у виглядi\biggl\{
. . . , \=0, \=0, y\underbrace{} \underbrace{}
- k+1
, By, . . . , Bky\underbrace{} \underbrace{}
1
, ABky, A2Bky, . . .
\biggr\}
.
Оскiльки x1 = Bky, то, як i для оператора P - BP - при доведеннi леми 7, перевiряється, що
r(B) < 1. Внаслiдок цiєї нерiвностi \sigma (B) \subset \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} , а також X+(B) = \{ \=0\} . Отже,
виконуються умови i1), i2) теореми 4.
3. Якщо Q+(B) = X, то за допомогою мiркувань, подiбних до використаних при доведеннi
леми 4, встановлюється, що оператори B i A неперервно оборотнi, r(B - 1) < 1, r(A - 1) < 1,
а також X - (A) = \{ \=0\} . Таким чином, умови i1), i2) теореми 4 виконуються i в цьому випадку.
Теорему 4 доведено.
Зазначимо, що внаслiдок теореми 4 умови теореми 2 з [14] i теореми 1 з [15] є не лише
достатнiми, а й необхiдними.
Лiтература
1. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве, Наука, Москва (1970).
2. I. В. Гончар, Про обмеженi i сумовнi розв’язки рiзницевого рiвняння зi стрибком операторного коефiцiєнта,
Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки, № 2, 25 – 28 (2016).
3. М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi змiнним операторним коефiцi-
єнтом, Доп. НАН України, № 12, 12 – 16 (2016).
4. А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов, Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными
операторными коэффициентами, Сиб. мат. журн., 42, № 6, 1231 – 1243 (2001).
5. В. Ю. Слюсарчук, Експоненцiально дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з кусково-сталими операторними коефi-
цiєнтами, Укр. мат. журн., 72, № 6, 822 – 841 (2020).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
938 М. Ф. ГОРОДНIЙ
6. М. Ф. Городнiй, О. А. Печериця, Обмеженi розв’язки диференцiального рiвняння з кусково-сталими опера-
торними коефiцiєнтами, Нелiнiйнi коливання, 24, № 2, 147 – 157 (2021).
7. А. В. Чайковський, О. А. Лагода, Обмеженi розв’язки рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi iз вхiдними
даними, що лежать у пiдпросторах, Укр. мат. журн., 73, № 11, 1564 – 1575 (2021).
8. В. Ю. Слюсарчук, Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем, Укр. мат. журн., 35, № 1,
109 – 115 (1983).
9. Д. Хенри, Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, Мир, Москва (1985).
10. А. Я. Дороговцев, Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохас-
тических динамических систем, Вища шк., Киев (1992).
11. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems, VSP,
Utrecht, Boston (2004).
12. А. Г. Баскаков, Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории раз-
ностных операторов и линейных отношений, Успехи мат. наук, 68, вып. 1(409), 77 – 128 (2013).
13. М. Ф. Городнiй, Ограниченные и периодические решения одного разностного уравнения и его стохастического
аналога в банаховом пространстве, Укр. мат. журн., 43, № 1, 41 – 46 (1991).
14. М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, Обмеженi у середньому порядку p розв’язки рiзницевого рiвняння зi стрибком
операторного коефiцiєнта, Теорiя ймовiрностей та мат. статистика, вип. 2(101), 93 – 97 (2019).
15. M. Horodnii, V. Kravets, Bounded in the mean solutions of a second-order difference equation, Modern Stochastics:
Theory and Appl., 8, № 4, 465 – 474 (2021).
Одержано 04.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7087 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:24Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3a/28fdd53a13632a1fddfd5f8b35d3d53a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70872022-10-24T09:23:13Z Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients Обмежені та сумовні розв’язки одного різницевого рівняння з кусковосталими операторними коефіцієнтами Horodnii , М. F. Городній, М. Ф. різницеве рівняння, кусково-сталі операторні коефіцієнти, обмежені розв'язки, сумовні розв'язки UDC 517.929.2 We prove the necessity of known sufficient conditions for the existence of a unique solution bounded or summable with degree $p$ for a linear difference equation with piecewise constant operator coefficients. УДК 517.929.2Доведено необхiднiсть вiдомих достатнiх умов iснування єдиного обмеженого або сумовного зi степенем $p$ розв’язку лiнiйного рiзницевого рiвняння з кусково-сталими операторними коефiцiєнтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7087 10.37863/umzh.v74i7.7087 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 930 - 938 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 930 - 938 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7087/9276 Copyright (c) 2022 Михайло Федорович Городній |
| spellingShingle | Horodnii , М. F. Городній, М. Ф. Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title | Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title_alt | Обмежені та сумовні розв’язки одного різницевого рівняння з кусковосталими операторними коефіцієнтами |
| title_full | Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title_fullStr | Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title_full_unstemmed | Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title_short | Bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| title_sort | bounded and summable solutions of a difference equation with piecewise constant operator coefficients |
| topic_facet | різницеве рівняння, кусково-сталі операторні коефіцієнти, обмежені розв'язки, сумовні розв'язки |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7087 |
| work_keys_str_mv | AT horodniimf boundedandsummablesolutionsofadifferenceequationwithpiecewiseconstantoperatorcoefficients AT gorodníjmf boundedandsummablesolutionsofadifferenceequationwithpiecewiseconstantoperatorcoefficients AT horodniimf obmeženítasumovnírozvâzkiodnogoríznicevogorívnânnâzkuskovostalimioperatornimikoefícíêntami AT gorodníjmf obmeženítasumovnírozvâzkiodnogoríznicevogorívnânnâzkuskovostalimioperatornimikoefícíêntami |