On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics
UDC 517.5 We study Beltrami-type equations with two given complex characteristics. Under certain conditions imposed on the complex coefficients, we prove theorems on the existence of homeomorphic ACL-solutions of this equation. In addition, under some relatively weak conditions, we establish theorem...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7088 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512604021063680 |
|---|---|
| author | Dovhopiatyi , O. P. Sevost’yanov , E. A. Довгопятий, О. П. Севостьянов, Є. О. Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_facet | Dovhopiatyi , O. P. Sevost’yanov , E. A. Довгопятий, О. П. Севостьянов, Є. О. Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_sort | Dovhopiatyi , O. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:14Z |
| description | UDC 517.5
We study Beltrami-type equations with two given complex characteristics. Under certain conditions imposed on the complex coefficients, we prove theorems on the existence of homeomorphic ACL-solutions of this equation. In addition, under some relatively weak conditions, we establish theorems on the existence of the corresponding continuous ACL-solutions of this equation that are logarithmic Hölder continuous in a given domain. ¨ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7088 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7088
УДК 517.5
О. П. Довгопятий (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка),
Є. О. Севостьянов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка; Iн-т прикл. математики i механiки НАН України,
Слов’янськ Донецької областi)
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI
З ДВОМА ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
We study Beltrami-type equations with two given complex characteristics. Under certain conditions imposed on the complex
coefficients, we prove theorems on the existence of homeomorphic ACL-solutions of this equation. In addition, under
some relatively weak conditions, we establish theorems on the existence of the corresponding continuous ACL-solutions
of this equation that are logarithmic Hölder continuous in a given domain.
Вивчаються рiвняння типу Бельтрамi з двома заданими комплексними характеристиками. За певних умов на комп-
лекснi коефiцiєнти отримано теореми про iснування гомеоморфних ACL-розв’язкiв цього рiвняння. Крiм того, за
деяких вiдносно слабких умов доведено теореми про iснування вiдповiдних неперервних ACL-розв’язкiв, якi є
логарифмiчно гельдеровими в заданiй областi.
1. Вступ. Дану статтю присвячено вивченню теорiї вiдображень та її застосуванню до теорем
iснування розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi (див. [1 – 10]). Зокрема, йдеться про квазiлiнiйнi рiв-
няння Бельтрамi з двома комплексними характеристиками. Вiдносно нещодавно було отримано
результати, що сприяли значному просуненню в цьому напрямку (див., наприклад, [3 – 5], [7],
роздiл 9, а також [2 – 6]). Зазначимо, що вказанi результати переважно стосуються випадку, коли
максимальна дилатацiя рiвняння має скiнченне середнє коливання в кожнiй точцi або задоволь-
няє певну умову розбiжностi iнтеграла. В данiй статтi ми розглянемо аналогiчнi квазiлiнiйнi
рiвняння, тобто коли вiдповiднi коефiцiєнти можуть залежати вiд його розв’язку. Вказаний
випадок достатньо повно розглянуто в роботi [11], але лише для одного комплексного коефiцi-
єнта. Окремо будуть розглянутi умови, якi забезпечують наявнiсть не гомеоморфних, а просто
неперервних розв’язкiв. Слiд зауважити, що цi розв’язки мають вищий степiнь гладкостi у
порiвняннi з розв’язками, про якi йшлося вище, i є логарифмiчно неперервними за Гельдером
(див. статтi [12, 13] для рiвнянь з одним коефiцiєнтом).
Перейдемо до означень. Скрiзь далi вiдображення f : D \rightarrow \BbbC областi D \subset \BbbC вважається
таким, що зберiгає орiєнтацiю, тобто якщо f — вiдкрите дискретне вiдображення i z \in D —
будь-яка його точка диференцiйовностi, то якобiан цього вiдображення в точцi z невiд’ємний
(див., наприклад, лему 2.14 [14]). Для комплекснозначної функцiї f : D \rightarrow \BbbC , заданої в областi
D \subset \BbbC , що має частиннi похiднi по x i y при майже всiх z = x+iy, покладемо fz = (fx+ify)/2
i fz = (fx - ify)/2. Будемо говорити, що функцiя \nu = \nu (z, w) : D\times \BbbC \rightarrow \BbbD задовольняє умову
Каратеодорi, якщо \nu вимiрна по z \in D при кожному фiксованому w \in \BbbC i неперервна по
w \in \BbbC при майже всiх z \in D. Нехай функцiї \mu = \mu (z, w) i \nu = \nu (z, w) задовольняють умову
Каратеодорi i, крiм того, | \mu (z, w)| +| \nu (z, w)| < 1 при всiх w \in \BbbC i майже всiх z \in D. Покладемо
K\mu ,\nu (z, w) =
1 + | \mu (z, w)| + | \nu (z, w)|
1 - | \mu (z, w)| - | \nu (z, w)|
. (1)
Зауважимо, що якобiан вiдображення f в точцi z \in D можна пiдрахувати за допомогою рiвностi
c\bigcirc О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7 961
962 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
J(z, f) = | fz| 2 - | fz| 2.
Нехай \mu = \mu (z, w) : D \times \BbbC \rightarrow \BbbD i \nu = \nu (z, w) : D \times \BbbC \rightarrow \BbbD — такi функцiї, що при кожному
фiксованому w \in \BbbC виконано умову | \mu (z, w)| + | \nu (z, w)| < 1 при майже всiх z \in D. Розглянемо
квазiлiнiйне рiвняння Бельтрамi з двома характеристиками:
fz = \mu (z, f(z)) \cdot fz + \nu (z, f(z)) \cdot fz. (2)
Функцiя K\mu ,\nu (z, w) в (1) називається дилатацiєю рiвняння (2). Вiдображення f : D \rightarrow \BbbC будемо
називати регулярним розв’язком рiвняння (2), якщо f \in W 1,1
loc i J(z, f) \not = 0 майже скрiзь у D.
Нехай D — область в \BbbR n, n \geq 2. Будемо говорити, що функцiя \varphi : D \rightarrow \BbbR , що є локально
iнтегровною в деякому околi точки x0 \in D, має скiнченне середнє коливання в точцi x0 (пишемо
\varphi \in FMO(x0)), якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
1
\Omega n\varepsilon n
\int
B(x0, \varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi \varepsilon | dm(x) <\infty ,
де \Omega n — об’єм одиничної кулi в \BbbR n, \varphi \varepsilon =
1
\Omega n\varepsilon n
\int
B(x0,\varepsilon )
\varphi (x)dm(x) (див., наприклад, [15],
роздiл 2). Позначимо через qz0(r) середнє значення функцiї Q над колом
S(z0, r) =
\bigl\{
| z - z0| = r
\bigr\}
,
qz0(r) =
1
2\pi
2\pi \int
0
Q(z0 + re i\theta ) d\theta . (3)
Правильним є таке твердження (див. також вiдповiдний результат, встановлений для ви-
родженого квазiлiнiйного рiвняння Бельтрамi з однiєю характеристикою у [11] (тео-
реми 1, 2)).
Теорема 1. Нехай функцiї \mu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD i \nu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD задовольняють
умову Каратеодорi i, крiм того,
\bigm| \bigm| \mu (z, w)\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \nu (z, w)\bigm| \bigm| < 1 при всiх w \in \BbbC i майже всiх z \in \BbbD .
Припустимо, що iснує функцiя Q : \BbbD \rightarrow [1,\infty ] така, що K\mu ,\nu (z, w) \leq Q(z) \in L1
loc(\BbbD ) для
майже всiх z \in \BbbD i всiх w \in \BbbC , де K\mu ,\nu визначено в (1). Припустимо, що Q \in FMO(\BbbD ) або
для кожного z0 \in \BbbD виконано умову
\delta (z0)\int
0
dr
rqz0(r)
= \infty , (4)
де \delta (z0) — деяке додатне число, \delta (z0) < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial \BbbD ), а qz0(r) визначено в (3). Тодi рiвняння (2)
має регулярний гомеоморфний розв’язок f класу W 1,1
loc в \BbbD такий, що f - 1 \in W 1,2
loc (f(\BbbD )).
Iншого роду результати стосуються випадку, коли рiвняння (2) має лише неперервний, але
логарифмiчно гельдеровий розв’язок (див. роботи [12, 13] щодо аналогiчних лiнiйних рiвнянь
з одним коефiцiєнтом \mu ). Нехай J(z, f) \not = 0 i вiдображення f має частиннi похiднi fz i fz у
точцi z. Тодi максимальною дилатацiєю вiдображення f у точцi z будемо називати функцiю
K\mu f
(z) =
| fz| + | fz|
| fz| - | fz|
. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI . . . 963
Покладемо K\mu f
(z) = 1 в точках z, де | fz| +| fz| = 0, i K\mu f
(z) = \infty в точках z, де | fz| +| fz| \not = 0,
але J(z, f) = 0. Визначимо також внутрiшню дилатацiю порядку p \geq 1 вiдображення f за
допомогою спiввiдношення
KI,p(z, f) =
| fz| 2 - | fz| 2\bigl(
| fz| - | fz|
\bigr) p ,
де J(z, f) \not = 0. Як i у (5), покладемо KI,p(z) = 1, якщо | fz| + | fz| = 0, i KI,p(z) = \infty у
точках, де J(z, f) = 0, проте | fz| + | fz| \not = 0. Зауважимо, що KI,2(z) = K\mu (z). Покладемо\bigm\| \bigm\| f \prime (z)
\bigm\| \bigm\| = | fz| + | fz| . Нагадаємо, що гомеоморфiзм f : D \rightarrow \BbbC називається квазiконформним,
якщо f \in W 1,2
loc (D) i, крiм того, iснує така стала K \geq 1, що \| f \prime (z)\| 2 \leq K| J(z, f)| майже
скрiзь.
Нехай \mu = \mu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD i \nu = \nu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD — функцiї, для яких iснує
вимiрна за Лебегом функцiя q : \BbbD \rightarrow [0, 1) така, що при кожному фiксованому w \in \BbbC i майже
всiх z \in \BbbD виконано умову | \mu (z, w)| + | \nu (z, w)| \leq q(z) < 1. Зафiксуємо n \geq 1 i покладемо
\mu n(z, w) =
\left\{ \mu (z, w), Q0(z) \leq n,
0, Q0(z) > n,
\nu n(z, w) =
\left\{ \nu (z, w), Q0(z) \leq n,
0, Q0(z) > n,
де Q0 визначено рiвнiстю
Q0(z) =
1 + q(z)
1 - q(z)
. (6)
Нехай fn — гомеоморфний ACL-розв’язок рiвняння (2), в якому покладемо \mu \mapsto \rightarrow \mu n(z, w),
\nu \mapsto \rightarrow \nu n(z, w), такий, що fn(0) = 0, fn(1) = 1 (вказаний розв’язок визначено коректно з огляду
на теорему 8.2 [16]). Зауважимо, що вiдображення gn = f - 1
n є квазiконформним; зокрема, воно
є диференцiйовним майже скрiзь. Нехай K\mu gn
(w) — дилатацiя оберненого вiдображення gn,
тобто
K\mu gn
(w) =
| (gn)w| 2 - | (gn)w| 2
(| (gn)w| - | (gn)w| )2
. (7)
Визначимо також внутрiшню дилатацiю порядку p вiдображення gn в точцi w за допомогою
рiвностi
KI,p(w, gn) =
| (gn)w| 2 - | (gn)w| 2\bigl(
| (gn)w| - | (gn)w|
\bigr) p . (8)
Справджується таке твердження.
Теорема 2. Нехай \mu , \nu , \mu n, \nu n, fn i gn такi, як вказано вище. Нехай Q : \BbbD \rightarrow [1,\infty ] —
вимiрна за Лебегом функцiя. Припустимо, що виконуються такi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
964 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
1) для кожних 0 < r1 < r2 < 1 i y0 \in \BbbD iснує множина E \subset [r1, r2] додатної лебегової
мiри така, що функцiя Q є iнтегровною по колах S(y0, r) для кожного r \in E;
2) знайдуться такi число 1 < p \leq 2 i стала M > 0, що\int
\BbbD
KI,p(w, gn) dm(w) \leq M (9)
для всiх n = 1, 2, . . . , де KI,p(w, gn) визначено у (8);
3) нерiвнiсть
K\mu gn
(w) \leq Q(w) (10)
виконується для майже всiх w \in \BbbD , де K\mu gn
визначено в (7). Тодi рiвняння (2) має неперервний
W 1,p
loc (\BbbD )-розв’язок f в \BbbD .
Наслiдок 1. Теорема 2 залишається справедливою, якщо в нiй вiдмовитись вiд умови 1,
вимагати умову 3, а умову 2 замiнити такою: Q \in L1(\BbbD ). В цьому випадку розв’язок f
рiвняння (2) можна вибрати так, щоб рiвнiсть
| f(x) - f(y)| \leq C \cdot (\| Q\| 1)1/2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}1/2
\biggl(
1 +
r0
2| x - y|
\biggr) (11)
виконувалась для довiльного компакта K \subset \BbbD i будь-яких x, y \in K, де \| Q\| 1 позначає L1-норму
функцiї Q в \BbbD , C > 0 — деяка стала i r0 = d(K, \partial \BbbD ). Якщо, додатково, Q(z) \in FMO(\BbbD ) або
виконано умову (4), то вiдображення f можна вибрати гомеоморфiзмом.
2. Iснування гомеоморфного розв’язку квазiлiнiйного рiвняння в одиничному крузi.
Для зручностi покладемо \partial f = fz, \partial f = fz. Наступне твердження доведено в [7] (лема 9.1).
Твердження 1. Нехай D \subset \BbbC i fn : D \rightarrow \BbbC — послiдовнiсть гомеоморфних розв’язкiв
рiвняння \partial fn = \mu n(z)\partial fn + \nu n(z)\partial fn класу W 1,1
loc таких, що
1 + | \mu n(z)| + | \nu n(z)|
1 - | \mu n(z)| - | \nu n(z)|
\leq Q(z) \in L1
loc(D)
при всiх n = 1, 2, . . . . Якщо fn \rightarrow f локально рiвномiрно в D при n \rightarrow \infty i f : D \rightarrow \BbbC —
гомеоморфiзм у D, то f \in W 1,1
loc i, крiм того, \partial fn i \partial fn збiгаються слабко в L1
loc до \partial f i
\partial f вiдповiдно. Якщо \mu n \rightarrow \mu при n \rightarrow \infty i \nu n \rightarrow \nu при n \rightarrow \infty майже скрiзь, то \partial f =
= \mu (z)\partial f + \nu (z)\partial f майже скрiзь.
Основним твердженням даного пункту є наступна лема, аналоги якої неодноразово були
доведенi в iнших випадках (див., наприклад, лему 9.1 [7] i лему 1 [11]).
Лема 1. Нехай функцiї \mu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD i \nu (z, w) : \BbbD \times \BbbC \rightarrow \BbbD задовольняють умову
Каратеодорi i, крiм того, | \mu (z, w)| + | \nu (z, w)| < 1 при всiх w \in \BbbC i майже всiх z \in \BbbD . Нехай,
крiм того, iснує функцiя Q : \BbbD \rightarrow [1,\infty ] така, що K\mu ,\nu (z, w) \leq Q(z) \in L1
loc(\BbbD ) для майже
всiх z \in \BbbD i всiх w \in \BbbC , де K\mu ,\nu визначено в (1). Припустимо, що для будь-якого z0 \in \BbbD
iснують 0 < \varepsilon \prime 0 \leq \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (z0, \partial \BbbD ), c > 0, 0 < p \leq 2 i вимiрна за Лебегом функцiя \psi :
(0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) такi, що
0 < I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t)dt <\infty
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI . . . 965
при \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 0), I(\varepsilon ) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0, i при цьому\int
\varepsilon <| z - z0| <\varepsilon 0
Q(z)\psi 2
\bigl(
| z - z0|
\bigr)
dm(z) \leq cIp(\varepsilon , \varepsilon 0).
Тодi рiвняння (2) має регулярний гомеоморфний розв’язок f класу W 1,1
loc в \BbbD такий, що f - 1 \in
\in W 1,2
loc (f(\BbbD )).
Доведення. Переважно будемо користуватися схемою доведення леми 1 в [11] з урахуван-
ням вiдмiнностей мiж рiзними типами рiвнянь Бельтрамi, зазначених при доведеннi леми 9.1
у [7]. Розглянемо послiдовностi функцiй
\mu n(z, w) =
\left\{ \mu (z, w), Q(z) \leq n,
0, Q(z) > n,
i
\nu n(z, w) =
\left\{ \nu (z, w), Q(z) \leq n,
0, Q(z) > n.
Зауважимо, що K\mu n,\nu n(z, w) \leq n при майже всiх z \in \BbbD i всiх w \in \BbbC . Отже,
| \mu n(z, w)| + | \nu n(z, w)| \leq
n - 1
n+ 1
< 1
при майже всiх z \in \BbbD i майже всiх w \in \BbbC . Отже, за теоремою 8.2 в [16] iснує n-квазiконформ-
ний розв’язок fn рiвняння
\partial fn = \partial fn\mu n(z, fn) + \partial fn\nu n(z, fn)
такий, що fn(0) = 0, fn(1) = 1. На пiдставi означень вiдображень \mu n i \nu n отримуємо, що
K\mu fn
(z) \leq Q(z) майже скрiзь, де K\mu fn
(z) визначено в (5). У такому випадку за результата-
ми [17] (гл. V, спiввiдношення (6.6)) кожне fn задовольняє оцiнку
M
\Bigl(
fn
\bigl(
\Gamma (S(z0, r1), S(z0, r2), A)
\bigr) \Bigr)
\leq
\int
A(z0,r1,r2)
Q(z)\eta 2
\bigl(
| z - z0|
\bigr)
dm(z)
у будь-якому кiльцi A = A(z0, r1, r2) = \{ z \in \BbbC : r1 < | z - z0| < r2\} при довiльному z0 \in \BbbD
i довiльних 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial \BbbD ) для кожної вимiрної за Лебегом функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow
\rightarrow [0,\infty ] такої, що
r2\int
r1
\eta (r)dr \geq 1.
Тодi за пропозицiєю 2 i зауваженням 2 в [11] послiдовнiсть fn є одностайно неперервною щодо
хордальної (сферичної) метрики h в \BbbR n (див. означення 12.1 у [18]). За критерiєм Арцела –
Асколi (див., наприклад, теорему 20.4 [18]) iснує пiдпослiдовнiсть fnk
послiдовностi fn, k =
= 1, 2, . . . , яка збiгається при k \rightarrow \infty до деякого вiдображення f локально рiвномiрно в \BbbD .
Отже, за лемою 4.2 в [19] вiдображення f є або гомеоморфiзмом у \BbbD , або сталою в \BbbR n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
966 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Другий випадок виключено, враховуючи умови нормування fn(0) = 0, fn(1) = 1. Зауважимо,
що для майже всiх z \in \BbbD знайдеться номер k0 = k0(z) такий, що \mu nk
(z, w) = \mu (z, w),
\nu nk
(z, w) = \nu (z, w) при nk \geq nk0(z) i всiх w \in \BbbC . Отже, для майже всiх z
\mu nk
(z) = \mu nk
(z, fnk
(z)) \rightarrow \mu (z, f(z)),
\nu nk
(z) = \nu nk
(z, fnk
(z)) \rightarrow \nu (z, f(z))
при k \rightarrow \infty , оскiльки функцiї \mu i \nu неперервнi по другому аргументу за умовою. За тверджен-
ням 1 \partial f = \mu (z, f)\partial f + \nu (z, f)\partial f, тобто f — гомеоморфний розв’язок рiвняння (2), до того ж
f \in W 1,1
loc .
Зауважимо, що за теоремою збiжностi розв’язкiв рiвняння Бельтрамi f - 1 \in W 1,2
loc (див.
[7], наслiдок 2.4). Тодi за теоремою Малого – Мартiо f - 1 має N -властивiсть Лузiна (див.,
наприклад, [20], наслiдок B). Нарештi, за теоремою Пономарьова J(z, f) \not = 0 майже скрiзь
(див. [21], теорема 1).
Лему доведено.
Доведення теореми 1 випливає з леми 1 i леми 5.1 в [22].
3. Iснування неперервного розв’язку. Аналог наступної леми доведено в [7] (теорема 9.1)
(див. також лему 5.1 [13]).
Лема 2. Нехай 1 < p \leq 2, \mu : D \rightarrow \BbbD — вимiрна за Лебегом функцiя i fk, k = 1, 2, . . . , —
послiдовнiсть гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю, областi D на себе, якi належать
класу W 1,2
loc (D) i задовольняють рiвняння
\partial fn = \partial fn\mu n(z) + \partial fn\nu n(z),
де \mu n, \nu n — вимiрнi за Лебегом функцiї , якi задовольняють нерiвнiсть | \nu n(z)| + | \mu n(z)| < 1
майже скрiзь. Припустимо, що fn збiгається локально рiвномiрно в D до вiдображення f :
D \rightarrow \BbbC , а послiдовностi \mu n(z) i \nu n(z) збiгаються до \mu (z) i \nu (z) вiдповiдно при n\rightarrow \infty майже
скрiзь. Нехай також оберненi вiдображення gn : = f - 1
n належать класу W 1,2
loc (D), при цьому
при майже всiх w \in D \int
D
KI,p(w, gk) dm(w) \leq M
для деякого M > 0 i кожного n = 1, 2, . . . .
Тодi f \in W 1,p
loc (D) i \mu , \nu — комплекснi характеристики вiдображення f, тобто \partial f =
= \partial f\mu (z) + \partial f\nu (z) при майже всiх z \in D.
Доведення. Будемо в цiлому дотримуватись схеми, викладеної при доведеннi теореми 9.1
[7] (див. також лему 5.1 [13]). Позначимо \partial f = fz i \partial f = fz. Нехай C — довiльний компакт
в D. Оскiльки, за умовою, вiдображення gn = f - 1
n належать класу W 1,2
loc , то gn мають N -
властивiсть Лузiна (див., наприклад, [20], наслiдок B). Тодi якобiан J(z, fn) майже скрiзь не
дорiвнює нулю (див., наприклад, [21], теорема 1), i навiть бiльше, має мiсце замiна змiнних в
iнтегралi (див., наприклад, [23], теорема 3.2.5). У такому випадку маємо\int
C
\| f \prime
n(z)\|
p
dm(z) =
\int
C
\| f \prime
n(z)\|
p
J(z, fn)
J(z, fn) dm(z) =
=
\int
fn(C)
KI,p(w, gn) dm(w) \leq M <\infty . (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI . . . 967
З (12) випливає, що f \in W 1,p
loc i, крiм того, \partial fn i \partial fn слабко збiгаються в L1
loc(D) до \partial f i \partial f
вiдповiдно (див. [24], лема III.3.5, а також [25], лема 2.1).
Залишилось показати, що вiдображення f є розв’язком рiвняння Бельтрамi fz = \mu (z) \cdot fz.
Покладемо \zeta (z) = \partial f(z) - \mu (z)\partial f(z) - \nu \partial f(z) i покажемо, що \zeta (z) = 0 майже скрiзь. Нехай
B — довiльний круг, що лежить разом зi своїм замиканням в D. За нерiвнiстю трикутника\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
\zeta (z) dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq I1(n) + I2(n) + I3(n),
де
I1(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
(\partial f(z) - \partial fn(z))dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (13)
I2(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
(\mu (z)\partial f(z) - \mu n(z)\partial fn(z))dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (14)
i
I3(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
(\nu (z)\partial f(z) - \nu n(z)\partial fn(z)) dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (15)
На пiдставi доведеного вище I1(n) \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . Залишилось оцiнити вирази для I2(n) i
I3(n). Для цього зауважимо, що за нерiвнiстю трикутника I2(n) \leq I \prime
2(n) + I \prime \prime
2 (n), де
I \prime
2(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
\mu (z)(\partial f(z) - \partial fn(z)) dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
i
I \prime \prime
2 (n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
B
(\mu (z) - \mu n(z))\partial fn(z) dm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
З огляду на слабку збiжнiсть \partial fn \rightarrow \partial f в L1
loc(D) при n \rightarrow \infty отримаємо, що I \prime 2(n) \rightarrow 0 при
n \rightarrow \infty , оскiльки \mu \in L\infty (D). I навiть бiльше, оскiльки за доведеним вище вiдображення \partial f
iнтегровне в степенi p > 1, має мiсце абсолютна неперервнiсть в iнтегралi
\int
E
| \partial f(z)| dm(z).
Крiм того, оскiльки \partial fn \rightarrow \partial f слабко в L1
loc(D), то для заданого \varepsilon > 0 знайдеться таке
\delta = \delta (\varepsilon ) > 0, що \int
E
| \partial fn(z)| dm(z) \leq
\leq
\int
E
| \partial fn(z) - \partial f(z)| dm(z) +
\int
E
| \partial f(z)| dm(z) < \varepsilon , (16)
як тiльки m(E) < \delta , E \subset B, i номери n є достатньо великими.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
968 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Остаточно, за теоремою Єгорова (див. [26], теорема III.6.12) для кожного \delta > 0 знайдеться
така множина S \subset B, що m(B\setminus S) < \delta i \mu n(z) \rightarrow \mu (z) рiвномiрно на S. Тодi | \mu n(z) - \mu (z)| < \varepsilon
при всiх n \geq n0, деякому n0 = n0(\varepsilon ) i всiх z \in S. З огляду на (16), (12) i нерiвнiсть Гельдера
отримуємо
I \prime \prime
2 (n) \leq \varepsilon
\int
S
| \partial fn(z)| dm(z) + 2
\int
B\setminus S
| \partial fn(z)| dm(z) <
< \varepsilon \cdot
\left\{
\left( \int
D
KI,p(w, gn) dm(w)
\right) 1/p
(m(B))(p - 1)/p + 2
\right\} \leq
\leq \varepsilon
\Bigl\{
M1/p(m(B))(p - 1)/p + 2
\Bigr\}
(17)
при тих же n \geq n0. Отже, I \prime \prime
2 (n) \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty , тому I2(n) \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty . Те, що
I3(n) \rightarrow 0 (18)
при n \rightarrow \infty , можна довести аналогiчно. Отже, з (13) – (15), (17) i (18) випливає, що\int
B
\zeta (z) dm(z) = 0 для всiх кругiв B, компактно вкладених у D. За теоремою Лебега про
диференцiювання невизначеного iнтеграла (див. [26], IV(6.3)) \zeta (z) = 0 майже скрiзь в D.
Лему доведено.
Доведення теореми 2. Розглянемо послiдовнiсть комплекснозначних функцiй
\mu n(z, w) =
\left\{ \mu (z, w), Q0(z) \leq n,
0, Q0(z) > n,
i
\nu n(z, w) =
\left\{ \nu (z, w), Q0(z) \leq n,
0, Q0(z) > n,
де Q0(z) визначається спiввiдношенням (6). Нехай fn — гомеоморфний ACL-розв’язок рiв-
няння (2), в якому покладемо \mu \mapsto \rightarrow \mu n(z, w), \nu \mapsto \rightarrow \nu n(z, w), такий що fn(0) = 0, fn(1) = 1
(вказаний розв’язок визначено коректно з огляду на теорему 8.2 [16]). Зауважимо, що вiдобра-
ження gn = f - 1
n є квазiконформним; зокрема, воно є диференцiйовним майже скрiзь i належить
класу W 1,2
loc (\BbbD ). За теоремою 6.10 [27] i з огляду на умову (10) для кожного n \in \BbbN отримуємо
M(gn(\Gamma )) \leq
\int
\BbbD
K\mu gn
(w)\rho 2\ast (w) dm(w) \leq
\int
\BbbD
Q(w)\rho 2\ast (w)dm(w)
для довiльної сiм’ї кривих \Gamma в \BbbD i кожної функцiї \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma , де M — модуль сiм’ї кривих (див.,
наприклад, [18], розд. 6). За теоремою 1.1 [13] сiм’я вiдображень fn одностайно неперервна в \BbbD .
Отже, з огляду на теорему Арцела – Асколi fn є нормальною сiм’єю (див. [18], теорема 20.4).
Iншими словами, знайдеться пiдпослiдовнiсть fnl
послiдовностi fn, що збiгається локально
рiвномiрно в \BbbD до деякого вiдображення f : \BbbD \rightarrow \BbbD . Зауважимо, що кожне вiдображення fn
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI . . . 969
задовольняє рiвняння
\partial fn = \mu n(z, fn(z))\partial fn + \nu n(z, fn(z))\partial fn.
Оскiльки Q0(z) скiнченна майже скрiзь, для майже всiх z \in \BbbD знайдеться такий номер l0 =
= l0(z), що \mu nl
(z, w) = \mu (z, w), \nu nl
(z, w) = \nu (z, w) при l \geq l0 i всiх w \in \BbbC . Оскiльки, за
припущенням, функцiї \mu i \nu задовольняють умову Каратеодорi, маємо
\mu nl
(z, fnl
(z)) \rightarrow \mu (z, f(z)),
\nu nl
(z, fnl
(z)) \rightarrow \nu (z, f(z))
при l \rightarrow \infty . Тодi за лемою 2 вiдображення f належить класу W 1,p
loc (\BbbD ) i є розв’язком вихiдного
рiвняння Бельтрамi (2).
Теорему доведено.
Доведення наслiдку 1 проводиться аналогiчно доведенню наслiдку 5.1 в [13]. Справдi, за
теоремою Фубiнi з умови Q \in L1(\BbbD ) випливає вимiрнiсть iнтегралiв
\int
S(x0,r)\cap D
Q(x) d\scrH 1(x)
як функцiй вiд r та їх скiнченнiсть майже скрiзь при 0 < r < \infty (див., наприклад, [26],
теорема 8.1.III). В цьому випадку умова (9) виконується при p = 2. Отже, iснування розв’язку
рiвняння (2) i його належнiсть класу W 1,2
loc (\BbbD ) безпосередньо випливають з теореми 2.
Крiм того, за теоремою 1.2 [13] (див. також [28], теорема 1)
| fn(x) - fn(y)| \leq
C \cdot
\bigl(
\| Q\| 1
\bigr) 1/2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}1/2
\biggl(
1 +
r0
| x - y|
\biggr) \forall x, y \in K
для довiльного компакта K \subset \BbbD , де \| Q\| 1 — норма Q в L1(\BbbD ), C — деяка стала i r0 = d(K, \partial \BbbD ).
Переходячи тут до границi при n\rightarrow \infty , отримуємо спiввiдношення (11).
Наслiдок доведено.
Припустимо тепер, що Q \in FMO(\BbbD ) або виконується спiввiдношення (4). Тодi послiдов-
нiсть gn утворює одностайно неперервну сiм’ю вiдображень (див. [29], теореми 6.1 i 6.5). Отже,
на пiдставi теореми Арцела – Асколi gn є нормальною сiм’єю (див. [18], теорема 20.4). Iншими
словами, знайдеться пiдпослiдовнiсть gnl
послiдовностi gn, що збiгається локально рiвномiрно
в \BbbD до деякого вiдображення g : \BbbD \rightarrow \BbbD . Внаслiдок умови нормування gnl
(0) = 0 i gnl
(1) = 1
при всiх l = 1, 2, . . . . Тодi за теоремою 4.1 [19] вiдображення g є гомеоморфiзмом в \BbbD , крiм
того, за лемою 3.1 [19] fnl
\rightarrow f = g - 1 при l \rightarrow \infty локально рiвномiрно в \BbbD . Далi застосуємо
схему мiркувань, використану вище у випадку iнтегровної функцiї Q. Оскiльки \mu n(z) \rightarrow \mu (z) i
\nu n(z) \rightarrow \nu (z) при n\rightarrow \infty i при майже всiх z \in \BbbD , за лемою 2 вiдображення f належить класу
W 1,2
loc (\BbbD ) i є розв’язком вихiдного квазiлiнiйного рiвняння Бельтрамi (2).
Наслiдок доведено.
4. Приклади.
Приклад 1. Побудуємо приклад неперервного, але не гомеоморфного розв’язку квазiлiнiй-
ного рiвняння (2), який задовольняє умови наслiдку 1 (зокрема, теореми 2). Будемо розглядати
випадок, коли \nu (z, w) \equiv 0. При цьому використовуватимемо конструкцiю прикладу, наведеного
в [12] (роздiл 3). Нехай p \geq 1 — довiльне число i 0 < \alpha < 2/p. Як звичайно, пишемо z = rei\theta ,
r \geq 0 i \theta \in [0, 2\pi ). Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
970 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
\mu (z, w) =
\left\{
e2i\theta
2r - \alpha (2r - 1)
2r + \alpha (2r - 1)
, 1/2 < | z| < 1, | w| \geq 1,
e2i\theta
| w| \alpha + 1 - \alpha (2r - 1)
| w| \alpha + 1 + \alpha (2r - 1)
, 1/2 < | z| < 1, | w| < 1,
0, | z| \leq 1/2.
(19)
Використовуючи спiввiдношення
\partial f
\partial f
= e2i\theta
rfr + if\theta
rfr - if\theta
(20)
(див. рiвнiсть (11.129) в [30]), отримуємо, що вiдображення
f(z) =
\left\{
z
| z|
(2| z| - 1)1/\alpha , 1/2 < | z| < 1,
0, | z| \leq 1/2,
(21)
є розв’язком рiвняння fz = \mu (z, f(z)) \cdot fz, де функцiя \mu задається спiввiдношенням (19).
Зауважимо, що iснування розв’язку вказаного рiвняння забезпечується теоремою 2 (для цього
перевiримо виконання всiх умов цiєї теореми). Справдi, функцiя \varphi (x, c) =
x - c
x+ c
має додатну
похiдну при c := \alpha (2r - 1) > 0, тому при x \in [0, 1] ця функцiя досягає свого максимального
значення в точцi x = 1. Отже,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e2i\theta | w| \alpha + 1 - \alpha (2r - 1)
| w| \alpha + 1 + \alpha (2r - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = | w| \alpha + 1 - \alpha (2r - 1)
| w| \alpha + 1 + \alpha (2r - 1)
\leq 2 - \alpha (2r - 1)
2 + \alpha (2r - 1)
. (22)
Взявши до уваги дрiб у правiй частинi (22), покладемо
q(z) := e2i\theta
2 - \alpha (2r - 1)
2 + \alpha (2r - 1)
. (23)
Для заданої спiввiдношенням (23) функцiї q вiдповiдною до неї функцiєю Q0(z) буде функцiя
Q0(z) =
\left\{
2
\alpha (2| z| - 1)
, 1/2 < | z| < 1,
1, | z| \leq 1/2.
Нехай k > 1/\alpha . Зауважимо, що Q0(z) \leq k при | z| \geq 2 + k\alpha
2k\alpha
i Q0(z) > k в iншому випадку.
Нехай, як i ранiше,
\mu k(z, w) =
\left\{ \mu (z, w), K\mu (z) \leq k,
0, K\mu (z) > k.
Зазначимо, що розв’язками рiвняння fz = \mu k(z, f(z))fz є вiдображення
fk(z) =
\left\{
z
| z|
(2| z| - 1)1/\alpha ,
2 + k\alpha
2k\alpha
< | z| < 1,
z\biggl(
2 + k\alpha
2k\alpha
\biggr) \biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
, | z| \leq 2 + k\alpha
2k\alpha
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI . . . 971
при цьому оберненi вiдображення gk(y) = f - 1
k (y) обчислюються за формулою
gk(y) =
\left\{
y(| y| \alpha + 1)
2| y|
,
\biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
< | y| < 1,
y
2 + k\alpha
2k\alpha \biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
, | y| \leq
\biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
.
(24)
Безпосереднiми обчисленнями, використовуючи формулу (20), можна показати, що
(fk)z
(fk)z
= e2i\theta
2r - \alpha (2r - 1)
2r + \alpha (2r - 1)
.
Тодi
K\mu fk
(z) =
\left\{
4| z|
2\alpha (2| z| - 1)
,
2 + k\alpha
2k\alpha
< | z| < 1,
1, | z| \leq 2 + k\alpha
2k\alpha
.
(25)
Нам потрiбно перевiрити, чи виконується (10) для деякої iнтегровної в \BbbD функцiї Q. Для цього
пiдставимо вiдображення gk з (24) у максимальну дилатацiю K\mu k
, визначену рiвнiстю (25)
(див. формулу (4), гл. I, в [1]). Тодi
K\mu gk
(y) := K\mu k
(gk(y)) =
\left\{
| y| \alpha + 1
\alpha | y| \alpha
,
\biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
< | y| < 1,
1, | y| \leq
\biggl(
2
k\alpha
\biggr) 1/\alpha
.
Зауважимо, що K\mu gk
(y) \leq Q(y) :=
| y| \alpha + 1
\alpha | y| \alpha
при всiх y \in \BbbD . При цьому функцiя Q iнтегровна
в \BbbD навiть у степенi p, а не лише в степенi 1 (див. мiркування, використанi при розглядi
пропозицiї 6.3 у [30]). За побудовою fk(0) = 0 i fk(1) = 1. Тому всi умови наслiдку 1 (зокрема,
теореми 2) виконуються, а в якостi бажаного розв’язку рiвняння fz = \mu (z)fz можна розглянути
вiдображення f = f(z), визначене рiвнiстю (21). I навiть бiльше, з доведення цiєї теореми
випливає, що вiдображення f є вказаним там розв’язком, оскiльки f є локально рiвномiрною
границею послiдовностi fk. Зауважимо, що вiдображення f не є гомеоморфним розв’язком, а
також воно не є анi вiдкритим, анi дискретним.
Приклад 2. Нехай f — вiдображення, визначене спiввiдношенням (21). Використовуючи
формулу fz = frrz + f\theta \theta z, отримуємо fz = (2r - 1)(1/\alpha ) - 1
\biggl(
1
\alpha
+
2r - 1
2r
\biggr)
. Звiдси випливає,
що fz є дiйсним числом при всiх z \in \BbbD , отже, fz = fz. Таким чином, можемо записати
fz = \mu (z, f)fz =
1
2
\mu (z, f)fz +
1
2
\nu (z, f)fz,
де \mu (z, w) = \nu (z, w) i \mu (z, w) визначено спiввiдношенням (19). За доведеним вище в прикладi 1
рiвняння fz = \mu (z, f)fz+\nu (z, f)fz має розв’язок f, визначений спiввiдношенням (21), причому
коефiцiєнти цього рiвняння задовольняють умови наслiдку 1 (зокрема, теореми 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
972 О. П. ДОВГОПЯТИЙ, Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Лiтература
1. Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Мир, Москва (1969).
2. K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin, Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane,
Princeton Univ. Press, Princeton, NY (2009).
3. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, General Beltrami equations with two characteristics, Ukr. Math. Bull., 5,
№ 3, 305 – 326 (2008).
4. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, On the Beltrami equations with two characteristics, Complex Var. and
Elliptic Equat., 54, № 10, 935 – 950 (2009).
5. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, On existence and representation of solutions for general degenerate
Beltrami equations, Complex Var. and Elliptic Equat., 59, № 1, 67 – 75 (2013).
6. A. Golberg, R. Salimov, Nonlinear Beltrami equation, Complex Var. and Elliptic Equat., 65, № 1, 6 – 21 (2020).
7. V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation: a geometric approach, Springer,
New York etc. (2012).
8. T. Lomako, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations, Ann. Univ.
Bucharest. Math. Ser., 59, № 2, 263 – 274 (2010).
9. R. Salimov, M. Stefanchuk, On the local properties of solutions of the nonlinear Beltrami equation, J. Math. Sci.,
248, 203 – 216 (2020).
10. R. Salimov, M. Stefanchuk, Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation, Ukr.
Math. J., 73, № 4, 463 – 478 (2021).
11. Е. А. Севостьянов, О квазилинейных уравнениях типа Бельтрами с вырождением, Мат. заметки, 90, вып. 3,
445 – 453 (2011).
12. Є. О. Севостьянов, Про iснування розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi з умовами на оберненi дилатацiї, Укр. мат.
вiсн., 18, № 2, 243 – 254 (2021).
13. E. A. Sevost’yanov, S. A. Skvortsov, Logarithmic Hölder continuous mappings and Beltrami equation, Anal. and
Math. Phys., Article 138 (2021).
14. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 448, 1 – 40
(1969).
15. V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Finite mean oscillation and the Beltrami equation, Israel J. Math., 153, 247 – 266
(2006).
16. B. Bojarski, Generalized solutions of a system of differential equations of the first order of the elliptic type with
discontinuous coefficients, Mat. Sb., 43(85), 451 – 503 (1957).
17. O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal mappings in the plane, Springer, New York etc. (1973).
18. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
19. V. I. Ryazanov, R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, On convergence analysis of space homeomorphisms, Siberian
Adv. Math., 23, № 4, 263 – 293 (2013).
20. J. Maly, O. Martio, Lusin’s condition N and mappings of the class W 1,n
loc , J. reine und angew. Math., 458, 19 – 36
(1995).
21. С. П. Пономарев, N - 1 -свойство отображений и условие (N) Лузина, Мат. заметки, 58, 411 – 418 (1995).
22. E. A. Sevost’yanov, Equicontinuity of homeomorphisms with unbounded characteristic, Siberian Adv. Math., 23,
№ 2, 106 – 122 (2013).
23. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва (1987).
24. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск (1982).
25. V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On convergence theory for Beltrami equations, Ukr. Mat. Visn., 5, № 4,
524 – 535 (2008).
26. С. Сакс, Теория интеграла, Изд-во иностр. лит., Москва (1949).
27. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length distortion, J. Anal. Math., 93, 215 – 236
(2004).
28. Є. О. Севостьянов, С. О. Скворцов, О. П. Довгопятий, Про негомеоморфнi вiдображення з оберненою нерiв-
нiстю Полецького, Укр. мат. вiсн., 17, № 3, 414 – 436 (2020).
29. V. Ryazanov, E. Sevost’yanov, Toward the theory of ring Q-homeomorphisms, Israel J. Math., 168, 101 – 118 (2008).
30. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci. + Business Media,
LLC, New York (2009).
Одержано 04.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7088 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:25Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/45/29645c20213711633b1df3de9d266945.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70882022-10-24T09:23:14Z On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics Про існування розв'язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками Про існування розв’язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками Dovhopiatyi , O. P. Sevost’yanov , E. A. Довгопятий, О. П. Севостьянов, Є. О. Севостьянов, Євген Олександрович відображення зі скінченним і обмеженим спотворенням, рівняння Бельтрамі, одностайна неперервність mappings with a finite and bounded distortion Beltrami equations equicontinuity UDC 517.5 We study Beltrami-type equations with two given complex characteristics. Under certain conditions imposed on the complex coefficients, we prove theorems on the existence of homeomorphic ACL-solutions of this equation. In addition, under some relatively weak conditions, we establish theorems on the existence of the corresponding continuous ACL-solutions of this equation that are logarithmic Hölder continuous in a given domain. ¨ УДК 517.5Вивчаються рiвняння типу Бельтрамi з двома заданими комплексними характеристиками. За певних умов на комплекснi коефiцiєнти отримано теореми про iснування гомеоморфних ACL-розв’язкiв цього рiвняння. Крiм того, за деяких вiдносно слабких умов доведено теореми про iснування вiдповiдних неперервних ACL-розв’язкiв, якi є логарифмiчно гельдеровими в заданiй областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7088 10.37863/umzh.v74i7.7088 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 961 - 972 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 961 - 972 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7088/9278 Copyright (c) 2022 Євген Олександрович Севостьянов, Олександр Довгопятий |
| spellingShingle | Dovhopiatyi , O. P. Sevost’yanov , E. A. Довгопятий, О. П. Севостьянов, Є. О. Севостьянов, Євген Олександрович On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title | On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title_alt | Про існування розв'язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками Про існування розв’язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками |
| title_full | On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title_fullStr | On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title_full_unstemmed | On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title_short | On the existence of solutions of quasilinear Beltrami equations with two characteristics |
| title_sort | on the existence of solutions of quasilinear beltrami equations with two characteristics |
| topic_facet | відображення зі скінченним і обмеженим спотворенням рівняння Бельтрамі одностайна неперервність mappings with a finite and bounded distortion Beltrami equations equicontinuity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7088 |
| work_keys_str_mv | AT dovhopiatyiop ontheexistenceofsolutionsofquasilinearbeltramiequationswithtwocharacteristics AT sevostyanovea ontheexistenceofsolutionsofquasilinearbeltramiequationswithtwocharacteristics AT dovgopâtijop ontheexistenceofsolutionsofquasilinearbeltramiequationswithtwocharacteristics AT sevostʹânovêo ontheexistenceofsolutionsofquasilinearbeltramiequationswithtwocharacteristics AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič ontheexistenceofsolutionsofquasilinearbeltramiequationswithtwocharacteristics AT dovhopiatyiop proísnuvannârozv039âzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostyanovea proísnuvannârozv039âzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT dovgopâtijop proísnuvannârozv039âzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostʹânovêo proísnuvannârozv039âzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič proísnuvannârozv039âzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT dovhopiatyiop proísnuvannârozvâzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostyanovea proísnuvannârozvâzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT dovgopâtijop proísnuvannârozvâzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostʹânovêo proísnuvannârozvâzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič proísnuvannârozvâzkívkvazílíníjnihrívnânʹbelʹtramízdvomaharakteristikami |