Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions
UDC 517.5 For branched continued fractions of а special form (branched continued  fractions with independent variables with fixed values of the variables), the notion of $ \mathcal{C} $-figure convergence was introduced and used to establish a two-dimensional generalization of the...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7096 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512605671522304 |
|---|---|
| author | Bilanyk, I. B. Bodnar, D. I. Біланик, І. Б. Боднар, Д. І. Боднар, Дмитрий |
| author_facet | Bilanyk, I. B. Bodnar, D. I. Біланик, І. Б. Боднар, Д. І. Боднар, Дмитрий |
| author_sort | Bilanyk, I. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-07T13:45:35Z |
| description |
UDC 517.5
For branched continued fractions of а special form (branched continued  fractions with independent variables with fixed values of the variables), the notion of $ \mathcal{C} $-figure convergence was introduced and used to establish a two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions. A new method for the investigation of the domains of parabolic convergence  of branched continued fractions of a special form is proposed. This method does not use the Stielties–Vitali theorem on  convergence of the sequences of holomorphic functions. Hence, it enables us to extend the domain of parabolic convergence to a form similar to that established for the one-dimensional case. In proving this theorem, we essentially use a property of stability of continued fractions under perturbations established in the present work. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i9.7096 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i9.7096
УДК 517.5
I. Б. Бiланик1 (Терноп. нац. пед. ун-т iм. В. Гнатюка),
Д. I. Боднар (Захiдноукр. нац. ун-т, Тернопiль)
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА
ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ ЗБIЖНОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБIВ
For branched continued fractions of а special form (branched continued fractions with independent variables with fixed
values of the variables), the notion of \scrC -figure convergence was introduced and used to establish a two-dimensional
generalization of the Thron – Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions. A new method
for the investigation of the domains of parabolic convergence of branched continued fractions of a special form is proposed.
This method does not use the Stielties – Vitali theorem on convergence of the sequences of holomorphic functions. Hence, it
enables us to extend the domain of parabolic convergence to a form similar to that established for the one-dimensional case.
In proving this theorem, we essentially use a property of stability of continued fractions under perturbations established in
the present work.
Для гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду (гiллястi ланцюговi дроби з нерiвнозначними змiнними
при фiксованих значеннях змiнних) введено поняття \scrC -фiгурної збiжностi i використано його для встановлення
двовимiрного узагальнення теореми Трона – Джоунса про параболiчнi множини збiжностi неперервних дробiв. Роз-
роблено нову методику дослiдження параболiчних множин збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального
вигляду. Вона не використовує теорему Стiлтьєса – Вiталi про збiжнiсть послiдовностi голоморфних функцiй, то-
му дозволяє розширити параболiчну множину збiжностi до аналогiчного, як i в одновимiрному випадку, вигляду.
При обґрунтуваннi цiєї теореми суттєво використано доведену в роботi деяку властивiсть стiйкостi до збурень
неперервних дробiв.
1. Вступ. Велику частину дослiджень в аналiтичнiй теорiї неперервних дробiв присвячено пи-
танню їхньої збiжностi. Багато таких ознак формулюються як теореми про множини збiжностi
(якщо елементи дробу належать певнiй множинi, то дрiб збiгається). В якостi таких множин
використовують круги, пiвплощини, кутовi областi та iншi, а також їхнi пiдмножини. Зокрема,
велику увагу, починаючи з робiт [19, 20], придiлено параболiчним множинам збiжностi [16 – 18].
Дану статтю присвячено двовимiрному узагальненню наступної теореми Трона – Джоунса [18,
с. 1046] (теорема 4.3) про параболiчнi множини збiжностi неперервних дробiв
a1
b1 +
a2
b2 +
. . .
=
a1
b1 +
a2
b2 + . . .
=
\infty
D
n=1
an
bn
.
Теорема 1 (В. Б. Джоунс, В. Й. Трон). Неперервний дрiб
\infty
D
n=1
an
bn
(1)
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: i.bilanyk@ukr.net.
c\bigcirc I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9 1155
1156 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
збiгається до скiнченного значення, якщо елементи an, bn задовольняють умови
| an| - \mathrm{R}\mathrm{e} (ane
- i(\psi n+\psi n - 1)) \leq 2pn - 1
\bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e} (bne
- i\psi n) - pn
\bigr)
, n = 1, 2, 3, . . . ,
де pn \geq 0 i \psi n — дiйснi числа, а послiдовнiсть\biggl\{
an
pnpn - 1
\biggr\}
обмежена. Всi його пiдхiднi дроби скiнченнi i лежать у пiвплощинi
\scrH =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
zei(\psi 1 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1)
\Bigr)
\geq 0
\Bigr\}
,
якщо \mathrm{R}\mathrm{e} (b1e
i\psi 1) = p1, або в крузi
\scrK =
\biggl\{
z \in \BbbC :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z - a1e
- i\psi 1
2(\mathrm{R}\mathrm{e} (b1e - i\psi 1) - p1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | a1|
2(\mathrm{R}\mathrm{e} (b1e - i\psi 1) - p1)
\biggr\}
,
якщо \mathrm{R}\mathrm{e} (b1e
i\psi 1) > p1.
Багатовимiрнi аналоги параболiчних теорем для гiллястих ланцюгових дробiв (ГЛД), дво-
вимiрних неперервних дробiв, ГЛД спецiального вигляду розглядали, зокрема, у роботах [1 –
3, 5, 7, 9, 11, 12]. При доведеннi цих результатiв було використано теореми Стiлтьєса – Вiталi
про збiжнiсть послiдовностi аналiтичних функцiй. Ця методика приводить до звуження самої
параболiчної областi, з якої беруться частиннi чисельники дослiджуваного дробу. Метою даної
роботи є використання iншої методики доведення параболiчної теореми, яка допоможе вирi-
шити цю проблему (звуження параболiчної областi збiжностi за рахунок методу доведення).
Для побудови дробово-рацiональних наближень функцiй багатьох змiнних використовують
пiдхiднi дроби рiзних типiв функцiональних ГЛД з нерiвнозначними змiнними [4, 6 – 8, 13 – 15].
При фiксованих значеннях змiнних отриманi дроби з числовими елементами називають ГЛД
спецiального вигляду.
Об’єктом дослiдження є ГЛД спецiального вигляду
b0 +
\infty
D
k=1
ik - 1\sum
ik=1
ai(k)
bi(k)
= b0 +
N\sum
i1=1
ai(1)
bi(1) +
i1\sum
i2=1
ai(2)
bi(2) +
i2\sum
i3=1
ai(3)
bi(3) + . . .
, (2)
де b0, ai(k), bi(k) \in \BbbC , i(k) \in \scrI ,
\scrI = \{ i(k) = (i1, i2, . . . , ik) : 1 \leq ik \leq ik - 1 \leq . . . \leq i0; k \geq 1; i0 = N\}
— множина мультиiндексiв, N — фiксоване натуральне число, розмiрнiсть ГЛД.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1157
ГЛД (2) збiгається, якщо iснує скiнченна границя послiдовностi його пiдхiдних дробiв
\{ fn\} \infty n=0, де
f0 = b0, fn = b0 +
n
D
k=1
ik - 1\sum
ik=1
ai(k)
bi(k)
, n \geq 1.
Крiм звичайної збiжностi для ГЛД розглядається так звана фiгурна збiжнiсть, при якiй
певним чином вибираються пiдхiднi дроби, зокрема \scrA - та \scrB -фiгурнi збiжностi [10]. При \scrA -
фiгурнiй збiжностi кожен наступний пiдхiдний дрiб утворюється додаванням наступної ланки
у природному записi ГЛД; n-й \scrB -фiгурний пiдхiдний дрiб — це частина ГЛД, яка мiстить всi
елементи, сума iндексiв у записi мультиiндексiв яких менша або дорiвнює n.
Урахування специфiки структури ГЛД спецiального вигляду приводить до \scrC -фiгурних пiд-
хiдних дробiв, якi неможливо означити для ГЛД загального вигляду. Новий вид збiжностi (\scrC -
фiгурну збiжнiсть) будемо використовувати при доведеннi аналога теореми Трона – Джоунса.
2. \bfscrC -фiгурна збiжнiсть. Для двовимiрного гiллястого ланцюгового дробу спецiального
вигляду означимо \scrC -фiгурнi пiдхiднi дроби i вiдповiдно \scrC -фiгурну збiжнiсть. Нехай усi непе-
рервнi дроби, що входять у структуру двовимiрного ГЛД спецiального вигляду (2) (N = 2),
збiгаються вiдповiдно до значень b(1)0 i b(1)2[r], r \geq 1, де
b
(1)
0 = b0 +
\infty
D
k=1
a1[k]
b1[k]
, b
(1)
2[r] = b2[r] +
\infty
D
k=1
a2[r],1[k]
b2[r],1[k]
, r \geq 1,
2[r] = (2, 2, . . . , 2\underbrace{} \underbrace{}
r
), 1[k] = (1, 1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k
).
n-м \scrC -фiгурним пiдхiдним дробом двовимiрного ГЛД спецiального вигляду називатимемо не-
перервний дрiб \widetilde fn = b
(1)
0 +
n
D
r=1
a2[r]
b
(1)
2[r]
, n \geq 1.
Цей ГЛД називається \scrC -фiгурно збiжним, якщо iснує скiнченна границя послiдовностi \{ \widetilde fn\} .
Для ГЛД спецiального вигляду довiльної розмiрностi (N \geq 3) можна ввести \scrC 1- i \scrC 2-фiгурнi
пiдхiднi дроби.
Нехай усi неперервнi дроби, що входять у структуру N -вимiрного ГЛД спецiального ви-
гляду (2), збiгаються, тобто мають сенс величини b(1)0 i b(1)i(s), i(s) \in \scrI (2), де
b
(1)
0 = b0 +
\infty
D
k=1
a1[k]
b1[k]
, b
(1)
i(s) = bi(s) +
\infty
D
k=1
ai(s),1[k]
bi(s),1[k]
,
\scrI (2) = \{ i(n) = (i1, i2, . . . , in) : 2 \leq in \leq in - 1 \leq . . . \leq i0; n \geq 1; i0 = N\} , 1[k] = (1, 1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k
).
Тодi скiнченний ГЛД
\widetilde fn = b
(1)
0 +
n
D
k=1
ik - 1\sum
ik=2
ai(k)
b
(1)
i(k)
, n \geq 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1158 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
називатимемо \scrC 1-фiгурним пiдхiдним дробом ГЛД спецiального вигляду (2).
Нехай тепер усi (N - 1)-вимiрнi ГЛД спецiального вигляду, що входять у структуру N -
вимiрного ГЛД спецiального вигляду (2), збiгаються, тобто мають сенс величини b
(N - 1)
0 i
b
(N - 1)
N [s] , s = 1, 2, . . . , де
b
(N - 1)
0 = b0 +
\infty
D
l=1
il - 1\sum
il=1
ai(l)
bi(l)
, b
(N - 1)
N [s] = bN [s] +
\infty
D
l=1
il - 1\sum
il=1
aN [s],i(l)
bN [s],i(l)
,
i0 = N - 1, s = 1, 2, . . . , n.
Тодi скiнченний неперервний дрiб
\widetilde \widetilde fn = b
(N - 1)
0 +
n
D
s=1
aN [s]
b
(N - 1)
N [s]
, n \geq 1,
називатимемо \scrC 2-фiгурним пiдхiдним дробом ГЛД спецiального вигляду (2).
Очевидно, що для двовимiрного ГЛД спецiального вигляду \scrC 1- та \scrC 2-фiгурнi пiдхiднi дроби
збiгаються мiж собою.
Означення фiгурної збiжностi, з урахуванням конкретного типу фiгурних пiдхiдних дробiв,
вводиться, як i збiжностi ГЛД.
3. Про одну властивiть стiйкостi неперервних дробiв. Спочатку обґрунтуємо допомiжне
твердження, яке використовується при доведеннi теореми, що стосується дослiдження стiйкостi
неперервних дробiв з елементами iз параболiчних областей.
Лема 1. Нехай
P =
\Bigl\{
z \in \BbbC : | z| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i(\beta 1+\beta 2)
\Bigr)
\leq 2s1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2)
\Bigr\}
— параболiчна множина, де \beta 1, \beta 2 — дiйснi числа, s1, s2 — додатнi числа, такi що
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta k \geq sk, k = 1, 2, (3)
i нехай
V \prime =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i\beta 1
\Bigr)
> - s1
\Bigr\}
,
V \prime \prime =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i\beta 2
\Bigr)
\geq - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 + s2
\Bigr\}
— пiвплощини. Тодi справджуються включення
P \subset V \prime , P \subset V \prime \prime .
Доведення. Доведемо включення P \subset V \prime . Нехай H \prime =
\bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\beta 1
\bigr)
\geq 0
\bigr\}
. Очевид-
но, що P = (P \cap H \prime ) \cup (P \setminus H \prime ). Для того щоб довести, що P \subset V \prime , достатньо показати, що
виконуються включення P \cap H \prime \subset V \prime i P \setminus H \prime \subset V \prime . Перше включення є очевидним, оскiльки
H \prime \subset V \prime . Для доведення другого включення запишемо у полярнiй системi координат рiвняння
дуги параболи, яка є частиною межi множини P \setminus H \prime :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1159
\rho =
2s1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
,
\pi
2
+ \beta 1 < \varphi <
3\pi
2
+ \beta 1.
Рiвняння прямої, що є межею множини V \prime , у полярнiй системi координат має вигляд
\rho =
- s1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1)
,
\pi
2
+ \beta 1 < \varphi <
3\pi
2
+ \beta 1.
При кожному фiксованому \varphi ,
\pi
2
+ \beta 1 < \varphi <
3\pi
2
+ \beta 1, рiзниця радiусiв-векторiв точок вище-
згаданих прямої i параболи є додатною. Справдi,
- s1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1)
- 2s1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
\geq - s1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1)
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 + \beta 2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
+ s1s2 \geq s1s2 > 0,
оскiльки
\pi
2
< \varphi - \beta 1 <
3\pi
2
i \varphi - \beta 1 \not = \beta 2, а також з урахуванням умов (3) - \pi
2
+ 2\pi k < \beta 2 <
<
\pi
2
+ 2\pi k, k \in \BbbZ .
Отже, виконується включення P \setminus H \prime \subset V \prime i тому P \subset V \prime .
Аналогiчно доведемо, що P \subset V \prime \prime . Означивши множину H \prime \prime =
\bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\beta 2
\bigr)
\geq 0
\bigr\}
i врахувавши, що P = (P \cap H \prime \prime ) \cup (P \setminus H \prime \prime ), покажемо виконання включень P \cap H \prime \prime \subset V \prime \prime i
P \setminus H \prime \prime \subset V \prime \prime .
Iз спiввiдношення H \prime \prime \subset V \prime \prime випливає, що P \cap H \prime \prime \subset V \prime \prime .
Повторивши наведенi вище мiркування, запишемо рiвняння частини параболи, що є межею
множини P \setminus H \prime \prime :
\rho =
2s1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
,
\pi
2
+ \beta 2 < \varphi <
3\pi
2
+ \beta 2,
i рiвняння межi множини V \prime \prime :
\rho =
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 + s2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2)
,
\pi
2
+ \beta 2 < \varphi <
3\pi
2
+ \beta 2.
Для доведення включення P\setminus H \prime \prime \subset V \prime \prime покажемо, що при кожному фiксованому \varphi ,
\pi
2
+\beta 2 <
< \varphi <
3\pi
2
+ \beta 2, рiзниця радiусiв-векторiв точок прямої i параболи є невiд’ємною:
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2)
- 2s1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
=
= (s2 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2) + 2s1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2))
\geq
\geq - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 2 - s2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2)
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 2 + \beta 1)
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - \beta 1 - \beta 2)
\geq 0,
оскiльки
\pi
2
< \varphi - \beta 2 <
3\pi
2
i \varphi - \beta 2 \not = \beta 1, а також з урахуванням умов (3) - \pi
2
+ 2\pi k < \beta 1 <
<
\pi
2
+ 2\pi k, k \in \BbbZ . Таким чином, P \subset V \prime \prime .
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1160 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
Теорема 2. Нехай елементи неперервного дробу (1) задовольняють умови
| an| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ane
- i(\phi n+\phi n - 1)
\Bigr)
\leq 2qn - 1
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
bne
- i\phi n
\Bigr)
- qn
\Bigr)
, n = 1, 2, . . . , (4)
де \phi n — дiйснi числа, qn — деякi додатнi сталi, такi що послiдовнiсть\biggl\{
an
qnqn - 1
\biggr\} \infty
n=1
(5)
обмежена. Тодi для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке n0 \in \BbbN , що для довiльного n \geq n0 i довiльного
b\ast n+1 такого, що
| an+1| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
an+1e
- i(\phi n+\phi n+1)
\Bigr)
\leq 2qn
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b\ast n+1e
- i\phi n+1
\Bigr)
- qn+1
\Bigr)
, (6)
виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| fn - f\ast n+1
\bigm| \bigm| < \varepsilon ,
де
fn =
a1
b1 +
a2
b2 + \cdot \cdot \cdot +
an
bn
, f\ast n+1 =
a1
b1 +
a2
b2 + \cdot \cdot \cdot +
an
bn +
an+1
b\ast n+1
.
Доведення. Розглянемо рiзницю fn - f\ast n+1. Позначимо через An, Bn i A\ast
n+1, B
\ast
n+1 канонiчнi
чисельники i знаменники пiдхiдних дробiв fn i f\ast n+1 вiдповiдно. Тодi для довiльних n \geq 2
маємо
fn - f\ast n+1 =
An
Bn
-
A\ast
n+1
B\ast
n+1
=
An
Bn
-
b\ast n+1An + an+1An - 1
b\ast n+1Bn + an+1Bn - 1
=
=
Bn - 1An - An - 1Bn
Bn - 1Bn
1
b\ast n+1Bn + an+1Bn - 1
an+1Bn - 1
= (fn - fn - 1)
1
1 +
b\ast n+1
an+1
Bn
Bn - 1
.
Використовуючи рекурентнi спiввiдношення i те, що B2/B1 = b2 + a2/b1, перетворюємо зна-
менник другого множника останнього виразу:
1 +
b\ast n+1
an+1
\biggl(
bnBn - 1 + anBn - 2
Bn - 1
\biggr)
= 1 +
b\ast n+1
an+1
\biggl(
bn +
an
bn - 1 +
an - 1
bn - 2 + \cdot \cdot \cdot +
a2
b1
\biggr)
.
Виконуючи еквiвалентнi перетворення [20] отриманого неперервного дробу, де \rho k = 1/bk,
k = n - 1, n - 2, . . . , 1, маємо
bn +
an\rho n - 1
bn - 1\rho n - 1 +
an - 1\rho n - 1\rho n - 2
bn - 2\rho n - 2 + \cdot \cdot \cdot +
a2\rho 2\rho 1
b1\rho 1
=
= bn +
an/bn - 1
1 +
an - 1/(bn - 1bn - 2)
1 + \cdot \cdot \cdot +
a2/(b2b1)
1
.
Далi, пiсля елементарних перетворень отримуємо
fn - f\ast n+1 = (fn - fn - 1)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
+ 1 +
an/(bnbn - 1)
1 +\cdot \cdot \cdot +
a2/(b2b1)
1
. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1161
Позначимо
\alpha k =
ak
bkbk - 1
, 2 \leq k \leq n, Fn =
\alpha n
1 +
\alpha n - 1
1 + \cdot \cdot \cdot +
\alpha 2
1
, n \geq 2.
Тодi рiзницю fn - f\ast n+1 остаточно запишемо у виглядi
fn - f\ast n+1 = (fn - fn - 1)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
+ 1 + Fn
. (8)
Покажемо, що для довiльного дiйсного \varepsilon > 0 iснує таке натуральне n0, що для довiльних
n \geq n0 i довiльних b\ast n+1 таких, що задовольняють умову (6), величина
\bigm| \bigm| fn - f\ast n+1
\bigm| \bigm| не переви-
щує \varepsilon .
Доведемо обмеженiсть другого множника у правiй частинi рiвностi (8). Для цього знайдемо
множину всiх можливих значень Fn. Нехай \psi k = \phi k - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} bk, k = 1, n. Очевидно, що \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k \geq
\geq qk/| bk| , k = 1, n, оскiльки \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
bke
- i\phi k
\bigr)
\geq qk, k = 1, n. Тодi кожне \alpha k, 2 \leq k \leq n, належить
параболi
Pk =
\Bigl\{
z \in \BbbC : | z| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i(\psi k+\psi k - 1)
\Bigr)
\leq 2\~qk - 1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk)
\Bigr\}
, (9)
де \~qk = qk/| bk| , k = 1, n. Справдi, враховуючи (4), маємо
| \alpha k| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
\alpha ke
- i(\psi k+\psi k - 1)
\Bigr)
=
1
| bkbk - 1|
\Bigl(
| ak| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ake
- i(\phi k+\phi k - 1)
\Bigr) \Bigr)
\leq
\leq 2
qk - 1
| bk - 1|
\biggl(
\mathrm{R}\mathrm{e} (bke
- i\phi k)
| bk|
- qk
| bk|
\biggr)
= 2\~qk - 1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk), k = 2, 3, . . . , n.
Нехай
Vk =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i\psi k
\Bigr)
\geq - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k + \~qk
\Bigr\}
, k = 2, 3, . . . , n.
Доведемо, що якщо елементи неперервного дробу Fn належать параболiчним областям, \alpha k \in
\in Pk, k = 2, 3, . . . , n, то Fn \in Vn. Для цього достатньо показати, що \alpha 2 \in V2 i справджуються
включення
\alpha k
1 + Vk - 1
\subset Vk, k = 3, 4, . . . , n. (10)
Iз умов теореми випливає, що \alpha 2 \in P2. Використовуючи лему 1, де \beta r = \psi r, sr = \widetilde qr,
r = 1, 2, P = P2, V
\prime \prime = V2, переконуємося, що P2 \subset V2. Отже, \alpha 2 \in V2. Очевидно, що
1 + Vk - 1 =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i\psi k - 1
\Bigr)
\geq \~qk - 1
\Bigr\}
, k = 3, 4, . . . , n.
При вiдображеннi w = \alpha k/z остання пiвплощина перейде у замкнений круг, оскiльки \~qk - 1 \not =
\not = 0, k = 2, 3, . . . , n. Точка ck = 2\~qk - 1e
i\psi k - 1 , симетрична початку координат щодо прямої
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\psi k - 1
\bigr)
= \~qk - 1, перейде у центр цього круга, тобто у точку Ck = \alpha ke
- i\psi k - 1/(2\~qk - 1).
Образом точки gk = \~qk - 1e
i\psi k - 1 прямої \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\psi k - 1
\bigr)
= \~qk - 1 при вiдображеннi w = \alpha k/z
буде точка Gk = \alpha ke
- i\psi k - 1/(\~qk - 1), що належатиме колу, саме тому радiус цього кола буде
Rk = | Gk - Ck| = | \alpha k| /(2\~qk - 1). Отже,
\alpha k
1 + Vk - 1
= Bk, де Bk = \{ z \in \BbbC : | z - Ck| \leq Rk\} , n = 3, 4, . . . , n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1162 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
Покажемо, що цей круг мiститься у пiвплощинi Vk, тобто виконується включення (10). Для
того щоб Bk \subset Vk, k = 2, 3, . . . , n, необхiдно i достатньо, щоб (a) Ck \in Vk i (б) вiдстань вiд
межi областi Vk до центра кола перевищувала радiус кола Rk.
Перевiримо виконання умови (а). Вона еквiвалентна нерiвностi
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
Cke
- i\psi k
\Bigr)
\geq - (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk) або - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
\alpha ke
- i(\psi k - 1+\psi k)
\Bigr)
\leq 2\~qk - 1(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk).
Остання нерiвнiсть виконується, оскiльки \alpha k \in Pk, k = 2, 3, . . . , n, де Pk визначено у (9).
Таким чином, умова (а) справджується.
Для перевiрки умови (б) знайдемо вiдстань вiд центра кола Bk до межi областi Vk. Для
цього опустимо перпендикуляр з точки Ck на пряму \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\psi k
\bigr)
= - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k + \~qk. Основою
перпендикуляра буде точка Dk = ei\psi k
\bigl(
- (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk) + i\mathrm{I}\mathrm{m}
\bigl(
Cke
- i\psi k
\bigr) \bigr)
. Вiдстань | Dk - Ck|
вiд центра кола до межi пiвплощини є такою:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ei\psi k
\Bigl(
- (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk) + i\mathrm{I}\mathrm{m}
\Bigl(
Cke
- i\psi k
\Bigr) \Bigr)
- \alpha ke
- i\psi k - 1
2\~qk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk +
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
\alpha ke
- i(\psi k - 1+\psi k)
\bigr)
2\~qk - 1
.
Ця величина має бути меншою за радiус кола, тобто повинна виконуватися нерiвнiсть
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk +
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
\alpha ke
- i(\psi k - 1+\psi k)
\bigr)
2\~qk - 1
\geq | \alpha k|
2\~qk - 1
або
| \alpha k|
2\~qk - 1
-
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
\alpha ke
- i(\psi k - 1+\psi k)
\bigr)
2\~qk - 1
\leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi k - \~qk.
Остання нерiвнiсть випливає з того, що \alpha k \in Pk, де Pk визначено у (9).
Таким чином, доведено правильнiсть включення (10), тобто що Fn \in Vn. Звiдси випливає,
що
1 + Fn \in Wn, Wn =
\Bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i\psi n
\Bigr)
\geq \~qn
\Bigr\}
. (11)
Як i при доведеннi того, що \alpha k \in Pk, k = 2, n, враховуючи умову (4), можна показати, що
an+1/(b
\ast
n+1bn) \in P \ast
n+1, де
P \ast
n+1 =
\Bigl\{
z \in \BbbC : | z| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ze - i(\psi n+\psi \ast
n+1)
\Bigr)
\leq 2\~qn
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi \ast
n+1 - \~q\ast n+1
\bigr) \Bigr\}
, (12)
до того ж \~q\ast n+1 = qn+1/
\bigm| \bigm| b\ast n+1
\bigm| \bigm| , \psi \ast
n+1 = \phi n+1 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} b\ast n+1. Iз умови (6) випливає, що \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi \ast
n+1 \geq
\geq \~q\ast n+1.
Величина an+1/(b
\ast
n+1bn) обмежена, оскiльки\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| an+1
b\ast n+1bn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | an+1|
\mathrm{R}\mathrm{e} (b\ast n+1)\mathrm{R}\mathrm{e} (bn)
\leq | an+1|
qn+1qn
,
а послiдовнiсть (5) обмежена за умовою теореми. Таким чином, iснує така стала M > 0, що
an+1/(b
\ast
n+1bn) \in K, де K = \{ z \in \BbbC : | z| \leq M\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1163
Покажемо, що знаменник другого множника (8) an+1/(b
\ast
n+1bn)+ 1+Fn вiдокремлений вiд
нуля. Для довiльних z1 i z2, таких що z1 \in P \ast
n+1\cap K, а z2 \in Wn, де P \ast
n+1 i Wn визначенi згiдно
з (11) i (12), оцiнимо | z1 + z2| . Очевидно, що z1+z2 = z1 - \widetilde z2, де z1 \in P \ast
n+1\cap K, а \widetilde z2 \in \widetilde Wn, до
того ж \widetilde Wn =
\bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
ze - i\psi n
\bigr)
\leq - \~qn
\bigr\}
. Застосуємо лему 1, поклавши \beta 1 = \psi n, \beta 2 = \psi \ast
n+1,
s1 = \~qn, s2 = \~q\ast n+1, i отримаємо, що P \ast
n+1 \subset \BbbC \setminus \widetilde W, оскiльки у даному випадку P = P \ast
n+1,
V \prime = \BbbC \setminus \widetilde W. Таким чином,
\bigl(
P \ast
n+1 \cap K
\bigr)
\cap \widetilde W = \varnothing . Отже, вираз | z1 - \widetilde z2| не менший нiж
вiдстань мiж замкненою обмеженою множиною P \ast
n+1 \cap K i прямою, що є межею пiвплощини\widetilde Wn. Ця вiдстань є неперервною функцiєю i досягає, за другою теоремою Веєрштрасса, свого
мiнiмального значення d, до того ж d > 0.
Отже, використовуючи обмеженiсть областi, з якої вибираємо елемент an+1/(b
\ast
n+1bn), i
попереднi мiркування, переконуємося, що для довiльного n \geq 2\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
+ 1 + Fn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
d
.
Оскiльки для неперервного дробу (1) виконуються умови теореми Трона – Джоунса, то вiн
збiгається, тобто для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке n0 \in \BbbN , що для довiльного n \geq n0 виконується
нерiвнiсть | fn - 1 - fn| < d\varepsilon /M.
Отже, для довiльного n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 2, n0\} маємо
\bigm| \bigm| fn - f\ast n+1
\bigm| \bigm| = | fn - 1 - fn|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
an+1/
\bigl(
b\ast n+1bn
\bigr)
+ 1 + Fn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon .
Теорему доведено.
4. Основний результат. Розглянемо двовимiрний ГЛД спецiального вигляду
2\sum
i1=1
ai1
bi1 +
\infty
D
k=1
ik - 1\sum
ik=1
ai(k)
bi(k)
, (13)
де ai(k), bi(k) \in \BbbC , i(k) \in \scrI , i0 = 2. Встановимо аналог теореми Трона – Джоунса для таких
дробiв.
Теорема 3. Нехай елементи двовимiрного ГЛД спецiального вигляду (13) задовольняють
умови \bigm| \bigm| a1[n]\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
a1[n]e
- i(\psi n+\psi n - 1)
\Bigr)
\leq 2pn - 1
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b1[n]e
- i\psi n
\Bigr)
- pn
\Bigr)
, n = 1, 2, . . . , (14)\bigm| \bigm| a2[k],1[n]\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
a2[k],1[n]e
- i(\psi k+\psi k - 1)
\bigr)
\leq 2sk,n - 1
\bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl(
b2[k],1[n]e
- i\psi k
\bigr)
- sk,n
\bigr)
, (15)
n = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . ,
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b2[n]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n],1 - \psi n)
\Bigr)
\geq qn, n = 1, 2, . . . , (16)
i при деяких lk \in \BbbZ
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 + \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k+1],1 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k+1] = \psi k + \psi k+1 + 2\pi lk, k = 1, 2, . . . , (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1164 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
де \psi k — дiйснi числа, pn, sk,n, qn, n = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . . , — деякi додатнi сталi, такi що
кожна з послiдовностей\biggl\{
a1[n]
pnpn - 1
\biggr\} \infty
n=1
,
\biggl\{
a2[k],1[n]
sk,nsk,n - 1
\biggr\} \infty
n=1
, k = 1, 2, . . . ,
\biggl\{
a2[n]
qn, qn - 1
\biggr\} \infty
n=1
є обмеженою. Тодi ГЛД (13) збiгається.
Доведення. Враховуючи нерiвностi (14), (15), обмеженiсть послiдовностей
\biggl\{
a1[n]
pnpn - 1
\biggr\} \infty
n=1
,\biggl\{
a2[k],1[n]
sk,nsk,n - 1
\biggr\} \infty
n=1
, k = 1, 2, . . . , переконуємося, що для елементiв неперервних дробiв
\infty
D
n=1
a1[n]
b1[n]
,
\infty
D
n=1
a2[k],1[n]
b2[k],1[n]
, k = 1, 2, . . . ,
виконуються умови теореми Трона – Джоунса. Таким чином, цi неперервнi дроби збiгаються.
Позначимо їхнi значення вiдповiдно b\prime 0 i b\prime 2[k], k = 1, 2, . . . . Згiдно з тiєю ж теоремою, значення
цих дробiв та їхнiх пiдхiдних дробiв належать вiдповiдним пiвплощинам
H \prime
0 =
\Bigl\{
v \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
vei(\psi 1 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1)
\Bigr)
\geq 0
\Bigr\}
, H \prime
k =
\Bigl\{
v \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
vei(\psi k - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1)
\Bigr)
\geq 0
\Bigr\}
, k \geq 1.
Тодi значення неперервних дробiв
b
(1)
2[k] = b2[k] +
\infty
D
n=1
a2[k],1[n]
b2[k],1[n]
, k = 1, 2, . . . , (18)
i їхнiх пiдхiдних дробiв з урахуванням умови (16) належать пiвплощинам
Hk =
\Bigl\{
v \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
ve - i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 - \psi k)
\Bigr)
\geq qk
\Bigr\}
, k = 1, 2, . . . ,
вiдповiдно.
Розглянемо неперервний дрiб
b\prime 0 +
\infty
D
k=1
a2[k]
b
(1)
2[k]
. (19)
Враховуючи умови (16) i (17), а також те, що
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b
(1)
2[k]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 - \psi k)
\Bigr)
\geq \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b2[k]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 - \psi k)
\Bigr)
\geq qk, k = 1, 2, . . . , (20)
маємо\bigm| \bigm| a2[k]\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
a2[k]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 - \psi k+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k - 1],1 - \psi k - 1)
\Bigr)
=
\bigm| \bigm| a2[k]\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
a2[k]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k])
\Bigr)
= 0 \leq
\leq 2qk - 1
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b
(1)
2[k]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[k],1 - \psi k)
\Bigr)
- qk
\Bigr)
, k = 1, 2, . . . .
Iз обмеженостi послiдовностi
\biggl\{
a2[n]
qnqn - 1
\biggr\} \infty
n=1
випливає, що елементи неперервного дробу (19)
задовольняють умови теореми Трона – Джоунса, тобто неперервний дрiб (19) збiгається, а ГЛД
(13) є \scrC 1-фiгурно збiжним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1165
Доведемо тепер, що iз збiжностi неперервного дробу (19) випливає збiжнiсть ГЛД спецi-
ального вигляду (13).
Нехай \widehat fr = b\prime 0 +
r
D
k=1
a2[k]
b
(1)
2[k]
, r \geq 1,
— r-й пiдхiдний дрiб неперервного дробу (19), а
fr =
r
D
k=1
ik - 1\sum
ik=1
ai(k)
bi(k)
, r \geq 1,
— r-й пiдхiдний дрiб ГЛД (13). Враховуючи особливостi структури ГЛД (13), fr можна записати
у виглядi
fr = b
(1,r)
0 +
r
D
k=1
a2[k]
b
(1,r - k)
2[k]
, r \geq 1,
де
b
(1,r)
0 =
r
D
l=1
a1[l]
b1[l]
, b
(1,0)
2[r] = b2[r], b
(1,r - k)
2[k] = b2[k] +
r - k
D
l=1
a2[k],1[l]
b2[k],1[l]
, k = 1, r - 1.
Покажемо, що для довiльного дiйсного \varepsilon > 0 iснує натуральне число \mu таке, що для
довiльних натуральних r \geq \mu виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - fr
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon , (21)
тобто що iз \scrC 1-фiгурної збiжностi ГЛД (13) випливає звичайна збiжнiсть. Очевидно, що для
довiльних n \geq 1 i r \geq n+ 1 \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - fr
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - hr,n
\bigm| \bigm| \bigm| + | fr - hr,n| , (22)
де
hr,n = b
(1)
0 +
a2[1]
b
(1)
2[1]
+ \cdot \cdot \cdot +
a2[n]
b
(1)
2[n]
+
a2[n+1]
b
(1,r - n - 1)
2[n+1]
+ \cdot \cdot \cdot +
a2[r]
b
(1,0)
2[r]
.
Розглянемо перший доданок у правiй частинi нерiвностi (22). Для довiльних n \geq 1 i r \geq
\geq n+ 1 маємо \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - hr,n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - \widehat fn\bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fn - hr,n
\bigm| \bigm| \bigm| . (23)
Оскiльки неперервний дрiб (19) збiгається, то для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке натуральне число
n0, що для довiльних натуральних n \geq n0 i r \geq n виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - \widehat fn\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon
3
. (24)
Для оцiнки другого доданка правої частини нерiвностi (23) застосуємо теорему 2. Нехай
b\ast 2[n+1] = b
(1,0)
2[n+1] = b2[n+1], якщо r = n+ 1, (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1166 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
i
b\ast 2[n+1] = b
(1,r - n - 1)
2[n+1] +
r
D
l=n+2
a2[l]
b
(1,r - l)
2[l]
, якщо r \geq n+ 2.
Знайдемо область значень останнього дробу. Як i при встановленнi нерiвностi (20), можна
показати, що елементи b
(1,r - l)
2[l] , l = n+ 1, r, належать вiдповiдно множинам Hl, l = n+ 1, r.
Враховуючи умови (16), (17) i отриманi нерiвностi
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b
(1,r - l)
2[l] e - i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[l],1 - \psi l)
\Bigr)
\geq \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b2[l]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[l],1 - \psi l)
\Bigr)
\geq ql, l = n+ 1, r,
для кожного l = n+ 1, r маємо\bigm| \bigm| a2[l]\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
a2[l]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[l],1 - \psi l+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[l - 1],1 - \psi l - 1)
\Bigr)
\leq 2ql - 1
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b
(1,r - l)
2[l] e - i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[l],1 - \psi l)
\Bigr)
- ql
\Bigr)
.
Оскiльки послiдовнiсть
\biggl\{
a2[n]
qnqn - 1
\biggr\} \infty
n=1
обмежена, то для дробу b\ast 2[n+1], r \geq n+2, виконуються
умови теореми Трона – Джоунса. Тому, враховуючи, що b(1,r - n - 2)
2[n+2] \in Hn+2, переконуємося, що
значення неперервного дробу
r
D
l=n+2
a2[l]
b
(1,r - l)
2[l]
належить пiвплощинi
H =
\Bigl\{
v \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
vei(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+2],1 - \psi n+2 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+2])
\Bigr)
\geq 0
\Bigr\}
.
Враховуючи (17), отримуємо, що Hn+1 = H, n \in \BbbN . Оскiльки b
(1,r - n - 1)
2[n+1] \in Hn+1, то
b\ast 2[n+1] \in Hn+1, r \geq n+ 1.
Далi, використовуючи мiркування, аналогiчнi до наведених вище, легко показати, що
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b\ast 2[n+1]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+1],1 - \psi n+1)
\Bigr)
\geq \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b2[n+1]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+1],1 - \psi n+1)
\Bigr)
\geq qn+1,
а це, з урахуванням умови (17), означає, що виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| a2[n+1]
\bigm| \bigm| - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
a2[n+1]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+1],1 - \psi n+1+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n],1 - \psi n)
\Bigr)
= 0 \leq
\leq 2qn
\Bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
b\ast 2[n+1]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n+1],1 - \psi n+1)
\Bigr)
- qn+1
\Bigr)
.
Тобто для неперервного дробу (19) та визначеного згiдно з (25) елемента b\ast 2[n+1] виконуються
умови теореми 2, де \widehat f\ast n+1 = b
(1)
0 +
a2[1]
b
(1)
2[1]
+ \cdot \cdot \cdot +
a2[n]
b
(1)
2[n]
+
a2[n+1]
b\ast 2[n+1]
,
\phi n = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[n],1 - \psi n, а замiсть b\ast n+1 взято b\ast 2[n+1], n = 2, 3, . . . .
Отже, оскiльки \widehat f\ast n+1 = hr,n, r \geq n+ 1, для вже заданого \varepsilon iснує таке натуральне число n,
що для всiх n \geq n1 справджується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fn - hr,n
\bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fn - \widehat f\ast n+1
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon
3
. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1167
Нехай \nu = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n0, n1\} . Тодi при n = \nu отримаємо одночасне виконання нерiвностей (24)
i (26). Поклавши у нерiвностi (23) n = \nu , якщо r \geq \nu + 1, одержимо, що для ранiше заданого
\varepsilon виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - hr,\nu
\bigm| \bigm| \bigm| < 2\varepsilon
3
, r \geq \nu + 1.
Оскiльки умова (22) виконується для довiльних натуральних n i r \geq n + 1, то вона буде
виконуватись i для фiксованого n = \nu i довiльних r \geq \nu + 1, тобто\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - fr
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fr - hr,\nu
\bigm| \bigm| \bigm| + | fr - hr,\nu | . (27)
Встановимо оцiнку зверху для другого доданка у правiй частинi нерiвностi (27). Нехай
Q
(r)
2[s],
\widehat Q(r)
2[s], s = 1, 2, . . . , r, — залишки неперервних дробiв fr та hr,\nu вiдповiдно, тобто
Q
(r)
2[s] = b
(1,r - s)
2[s] +
a2[s]
Q
(r)
2[s+1]
, s = 1, 2, . . . , r - 1, Q
(r)
2[r] = b
(1,0)
2[r] ,
\widehat Q(r)
2[s] =
\left\{
b
(1)
2[s] +
a2[s]\widehat Q(r)
2[s+1]
, s = 1, 2, . . . , \nu ,
Q
(r)
2[s], s = \nu + 1, \nu + 2, . . . , r.
Мiркуючи, як i при встановленнi того, що b\ast 2[n+1] \in Hn+1, легко довести, що
Q
(r)
2[s] \in Hs i \widehat Q(r)
2[s] \in Hs, s = 1, 2, . . . , r. (28)
Враховуючи, що
fr - hr,\nu = b
(1,r)
0 - b
(1)
0 +
a2[1]
Q
(r)
2[1]
-
a2[1]\widehat Q(r)
2[1]
,
пiсля елементарних перетворень з використанням рекурентних спiввiдношень для залишкiв
неперервних дробiв fr i hr,\nu та методики доведення формули для рiзницi пiдхiдних дробiв [3]
можна показати, що
| fr - hr,\nu | \leq
\bigm| \bigm| \bigm| b(1,r)0 - b
(1)
0
\bigm| \bigm| \bigm| + \nu \sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| b(1,r - k)2[k] - b
(1)
2[k]
\bigm| \bigm| \bigm| \prod k
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| a2[1]a2[2] . . . a2[k]\bigm| \bigm| . (29)
Iз спiввiдношень (28) пiсля елементарних перетворень отримуємо, що для довiльного s, 1 \leq
\leq s \leq \nu , виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \widehat Q(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl( \widehat Q(r)
2[s]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[s],1 - \psi s)
\Bigr)
\geq qs,
\bigm| \bigm| \bigm| Q(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
Q
(r)
2[s]e
- i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2[s],1 - \psi s)
\Bigr)
\geq qs.
Покладемо \delta = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}1\leq s\leq \nu \{ qs\} . Таким чином,\bigm| \bigm| \bigm| \widehat Q(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \delta ,
\bigm| \bigm| \bigm| Q(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \delta , s = 1, 2, . . . , \nu . (30)
Розглянемо добутки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1168 I. Б. БIЛАНИК, Д. I. БОДНАР
k\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[s]\widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , k = 1, 2, . . . , \nu ,
у нерiвностi (29). Якщо k = 1, то враховуючи (30), маємо
\bigm| \bigm| \bigm| a2/( \widehat Q(r)
2 Q
(r)
2 )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq | a2| /\delta 2. Якщо
k = 2l + 1, l \geq 1, то
2l+1\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[s]\widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2\widehat Q(r)
2 Q
(r)
2[2l+1]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[2s+1]\widehat Q(r)
2[2s]
\widehat Q(r)
2[2s+1]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[2s]
Q
(r)
2[2s - 1]Q
(r)
2[2s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq | a2|
q2q2l+1
l\prod
s=1
\bigm| \bigm| a2[2s+1]
\bigm| \bigm|
q2sq2s+1
l\prod
s=1
\bigm| \bigm| a2[2s]\bigm| \bigm|
q2s - 1q2s
.
З обмеженостi послiдовностi
\biggl\{
a2[n]
qnqn - 1
\biggr\} \infty
n=1
випливає, що iснує стала M > 0 така, що\bigm| \bigm| a2[n]\bigm| \bigm| /(qnqn - 1) \leq M, n \geq 1. Таким чином,
2l+1\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[s]\widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | a2|
\delta 2
M2l.
Якщо k = 2l, l \geq 1, то використовуючи (30) i аналогiчнi мiркування, отримуємо
2l\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[s]\widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2\widehat Q(r)
2
\widehat Q(r)
2[2l]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l - 1\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[2s+1]\widehat Q(r)
2[2s]
\widehat Q(r)
2[2s+1]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[2s]
Q
(r)
2[2s - 1]Q
(r)
2[2s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | a2|
\delta 2
M2l - 1.
Отже,
k\prod
s=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a2[s]\widehat Q(r)
2[s]Q
(r)
2[s]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | a2|
\delta 2
Mk - 1 \leq | a2|
\delta 2
K\nu - 1, 1 \leq k \leq \nu , K = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ M, 1\} .
Оцiнимо вирази у чисельниках (29). Як було показано, неперервнi дроби (18) є збiжни-
ми. Тому для ранiше заданого \varepsilon iснують номери r1, r2, . . . , r\nu такi, що для довiльного r \geq
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq \nu \{ rk\} виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| b(1,r - k)2[k] - b
(1)
2[k]
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon \delta 2
3K\nu - 1| a2| (\nu + 1)
, 1 \leq k \leq \nu , (31)
як модуль рiзницi мiж значенням нескiнченного неперервного дробу i його (r - k)-м пiдхiдним
дробом. Аналогiчно, iснує таке r0, що для довiльних r \geq r0\bigm| \bigm| \bigm| b(1,r)0 - b\prime 0
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon
3(\nu + 1)
. (32)
Нехай \mu = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq k\leq \nu \{ rk\} . Використовуючи оцiнки (31), (32), для довiльних r \geq \mu =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq k\leq \nu \{ rk\} i заданого ранiше \nu маємо
| fr - hr,\nu | <
\varepsilon
3
.
Отже, для заданого \varepsilon iснує таке натуральне число \mu , що для всiх r \geq \mu виконується нерiв-
нiсть (21), з якої випливає, що ГЛД (13) збiгається, оскiльки неперервний дрiб (19) збiгається.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ДВОВИМIРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ТРОНА – ДЖОУНСА ПРО ПАРАБОЛIЧНI МНОЖИНИ . . . 1169
Лiтература
1. Т. М. Антонова, Багатовимiрне узагальнення теореми про параболiчнi областi збiжностi неперервних дробiв,
Мат. методи та фiз.-мех. поля, 42, № 4, 7 – 12 (1999).
2. О. Є. Баран, Деякi областi збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Карпат. мат. публ.,
5, № 1, 4 – 13 (2013).
3. Д. И. Боднар, Ветвящиеся цепные дроби, Наук. думка, Киев (1986).
4. Д. I. Боднар, Р. I. Дмитришин, Багатовимiрнi приєднанi дроби з нерiвнозначними змiнними i кратнi степеневi
ряди, Укр. мат. журн., 71, № 3, 325 – 339 (2019).
5. Д. I. Боднар, Х. Й. Кучмiнська, Параболiчна область збiжностi для двовимiрних неперервних дробiв, Мат.
студ., 4, 29 – 36 (1995).
6. Р. I. Дмитришин, Про розвинення деяких функцiй у двовимiрний g-дрiб з нерiвнозначними змiнними, Мат.
методи та фiз.-мех. поля, 53, № 4, 28 – 34 (2010).
7. T. M. Antonova, R. I. Dmytryshyn, Truncation error bounds for the branched continued fraction
\sum N
i1=1
ai(1)
1
+
+
\sum i1
i2=1
ai(2)
1
+
\sum i2
i3=1
ai(3)
1
+ . . . , Ukr. Math. J., 72, № 7, 1018 – 1029 (2021).
8. T. Antonova, R. Dmytryshyn, V. Kravtsiv, Branched continued fraction expansions of Horn’s hypergeometric function
H3 ratios, Mathematics, 9 (2021).
9. I. Bilanyk, D. Bodnar, Convergence criterion for branched continued fractions of the special form with positive
elements, Carpathian Math. Publ., 9, № 1, 13 – 21 (2017).
10. I. Bilanyk, D. Bodnar, L. Buyak, Representation of a quotient of solutions of a four-term linear recurrence relation
in the form of a branched continued fraction, Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 33 – 41 (2019).
11. D. I. Bodnar, I. B. Bilanyk, Parabolic convergence regions of branched continued fractions of the special form,
Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 619 – 630 (2021).
12. R. I. Dmytryshyn, Convergence of some branched continued fractions with independent variables, Mat. Stud., 47,
№ 2, 150 – 159 (2017).
13. R. I. Dmytryshyn, Multidimensional regular C-fraction with independent variables corresponding to formal multiple
power series, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1 – 18 (2019); DOI:10.1017/prm.2019.2.
14. R. I. Dmytryshyn, On some of convergence domains of multidimensional S -fractions with independent variables,
Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 54 – 58 (2019).
15. R. I. Dmytryshyn, S. V. Sharyn, Approximation of functions of several variables by multidimensional S -fractions
with independent variables, Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 592 – 607 (2019).
16. W. B. Gragg, D. D. Warner, Two constructive results in continued fractions, SIAM J. Numer. Anal., 20, № 3,
1187 – 1197 (1983).
17. W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Addison-Wesley Publ. Co., Reading,
Mass. (1980).
18. W. B. Jones, W. J. Thron, Convergence of continued fractions, Canad. J. Math., 20, 1037 – 1055 (1968).
19. W. J. Thron, Two families of twin convergence regions for continued fractions, Duke Math. J., 10, № 4, 677 – 685
(1943).
20. H. S. Wall, Analytic theory of continued fractions, D. Van Nostrand Co., Inc., New York (1948).
Одержано 10.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-7096 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:27Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3a/74eabac438ee8742c0c7ad7495afe53a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70962023-01-07T13:45:35Z Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions Двухмерное обобщение теоремы Трона--Джоунса о параболических множествах сходимости непрерывных дробей Двовимірне узагальнення теореми Трона–Джоунса про параболічні множини збіжності неперервних дробів Bilanyk, I. B. Bodnar, D. I. Біланик, І. Б. Боднар, Д. І. Боднар, Дмитрий непервний дріб, гіллястий ланцюговий дріб з нерівнозначними змінними, гіллястий ланцюговий дріб спеціального вигляду, стійкість до збурень, параболічні теореми continued fraction, branched continued fractions with independent variables, branched continued fractions of the special form, stability to perturbations, parabolic theorem UDC 517.5 For branched continued fractions of а special form (branched continued&nbsp; fractions with independent variables with fixed values of the variables), the notion of $ \mathcal{C} $-figure convergence was introduced and used to establish a two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions.&nbsp;A new method for the investigation of the domains of parabolic convergence&nbsp; of branched continued fractions of a special form is proposed.&nbsp;This method does not use the Stielties–Vitali theorem on&nbsp; convergence of the sequences of holomorphic functions.&nbsp;Hence, it enables us to extend the domain of parabolic convergence to a form similar to that established for the one-dimensional case.&nbsp;In proving this theorem, we essentially use a property of stability of continued fractions under perturbations established in the present work. Для ветвящихся цепных дробей специального вида (ветвящихся цепных дробей с неравнозначными переменными при фиксированных значениях переменных) введено понятие - фигурной сходимости и использовано для установления двумерного обобщения теоремы Трона-Джоунса о параболическом множестве сходимости непрерывных дробей. Разработано новую методику исследования параболических множеств сходимости ветвящихся цепных дробей специального вида. Она не использует теорему Стильтьеса-Витали о сходимости последовности голоморфных функций, поэтому позволяет расширить параболическое множество сходимости к аналогичному как и в одномерном случае вида. При обосновании этой теоремы существенно использовано доказанную в этой работе некоторое свойство устойчивости к возмущениям непрерывных дробей. УДК 517.5 Для гіллястих ланцюгових дробів спеціального вигляду&nbsp; (гіллясті ланцюгові дроби з нерівнозначними змінними при фіксованих значеннях змінних) введено поняття $\mathcal{C}$-фігурної збіжності і використано його для встановлення двовимірного узагальнення теореми Трона–Джоунса про параболічні множини збіжності неперервних дробів. Розроблено нову методику дослідження параболічних множин збіжності гіллястих ланцюгових дробів спеціального вигляду. Вона не використовує теорему Стілтьєса–Віталі про збіжність послідовності голоморфних функцій, тому дозволяє розширити параболічну множину збіжності до аналогічного, як і в одновимірному випадку, вигляду. При об\cyrgupрунтуванні цієї теореми суттєво використано доведену в роботі деяку властивість стійкості до збурень неперервних дробів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-08 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7096 10.37863/umzh.v74i9.7096 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 9 (2022); 1155 - 1169 Український математичний журнал; Том 74 № 9 (2022); 1155 - 1169 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7096/9294 Copyright (c) 2022 Ірина Біланик, Дмитро Боднар |
| spellingShingle | Bilanyk, I. B. Bodnar, D. I. Біланик, І. Б. Боднар, Д. І. Боднар, Дмитрий Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title | Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title_alt | Двухмерное обобщение теоремы Трона--Джоунса о параболических множествах сходимости непрерывных дробей Двовимірне узагальнення теореми Трона–Джоунса про параболічні множини збіжності неперервних дробів |
| title_full | Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title_fullStr | Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title_short | Two-dimensional generalization of the Thron–Jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| title_sort | two-dimensional generalization of the thron–jones theorem on the parabolic domains of convergence of continued fractions |
| topic_facet | непервний дріб гіллястий ланцюговий дріб з нерівнозначними змінними гіллястий ланцюговий дріб спеціального вигляду стійкість до збурень параболічні теореми continued fraction branched continued fractions with independent variables branched continued fractions of the special form stability to perturbations parabolic theorem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7096 |
| work_keys_str_mv | AT bilanykib twodimensionalgeneralizationofthethronjonestheoremontheparabolicdomainsofconvergenceofcontinuedfractions AT bodnardi twodimensionalgeneralizationofthethronjonestheoremontheparabolicdomainsofconvergenceofcontinuedfractions AT bílanikíb twodimensionalgeneralizationofthethronjonestheoremontheparabolicdomainsofconvergenceofcontinuedfractions AT bodnardí twodimensionalgeneralizationofthethronjonestheoremontheparabolicdomainsofconvergenceofcontinuedfractions AT bodnardmitrij twodimensionalgeneralizationofthethronjonestheoremontheparabolicdomainsofconvergenceofcontinuedfractions AT bilanykib dvuhmernoeobobŝenieteoremytronadžounsaoparaboličeskihmnožestvahshodimostinepreryvnyhdrobej AT bodnardi dvuhmernoeobobŝenieteoremytronadžounsaoparaboličeskihmnožestvahshodimostinepreryvnyhdrobej AT bílanikíb dvuhmernoeobobŝenieteoremytronadžounsaoparaboličeskihmnožestvahshodimostinepreryvnyhdrobej AT bodnardí dvuhmernoeobobŝenieteoremytronadžounsaoparaboličeskihmnožestvahshodimostinepreryvnyhdrobej AT bodnardmitrij dvuhmernoeobobŝenieteoremytronadžounsaoparaboličeskihmnožestvahshodimostinepreryvnyhdrobej AT bilanykib dvovimírneuzagalʹnennâteoremitronadžounsaproparabolíčnímnožinizbížnostíneperervnihdrobív AT bodnardi dvovimírneuzagalʹnennâteoremitronadžounsaproparabolíčnímnožinizbížnostíneperervnihdrobív AT bílanikíb dvovimírneuzagalʹnennâteoremitronadžounsaproparabolíčnímnožinizbížnostíneperervnihdrobív AT bodnardí dvovimírneuzagalʹnennâteoremitronadžounsaproparabolíčnímnožinizbížnostíneperervnihdrobív AT bodnardmitrij dvovimírneuzagalʹnennâteoremitronadžounsaproparabolíčnímnožinizbížnostíneperervnihdrobív |