An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions
UDC 517.9 Under the condition that a function $f$, which is continuous on $[-1,1],$ changes its sign at $s$ points $y_i,$ $-1 < y_{s} < y_{s-1} < \dots < y_1 < 1,$ then for each $n \in \mathbb{N}$ greater than some constant $\mathbb{N}$ dependin...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7103 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512605567713280 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_facet | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_sort | Dzyubenko, G. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.9
Under the condition that a function $f$, which is continuous on $[-1,1],$ changes its sign at $s$ points $y_i,$ $-1 < y_{s} < y_{s-1} < \dots < y_1 < 1,$ then for each $n \in \mathbb{N}$ greater than some constant $\mathbb{N}$ depending only on $\min_{i=0, \dots ,s}\{y_i -y_{i+1}\},$ $y_{s+1} := -1,$ $y_0 := 1,$ we construct an algebraic polynomial $P_n$ of degree $\le n$ such that $P_n$ has the same sign as $f$ on $[-1,1],$ in particular, $P_n(y_i) = 0,$ $i = 1,\dots ,s,$ and$$|f(x)-P_n(x)|\le c(s)\,\omega_2(f,\sqrt{1-x^2}/n), \quad x\in[-1,1],$$where $c(s)$ is a constant depending only on $s,$ and $\omega_2(f,\cdot)$ is the second order modulus of smoothness of $f$. Note that in this estimate, which is interpolatory at $\pm 1$ and established by DeVore for the unconstrained approximation, it is not possible, even for the unconstrained approximation, to replace $\omega_2$ with $\omega_k,$ $k>2.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7103 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7103
УДК 517.5
Г. А. Дзюбенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ
АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ
Under the condition that a function f, which is continuous on [ - 1, 1], changes its sign at s points yi, - 1 < ys <
< ys - 1 < . . . < y1 < 1, then for each n \in \BbbN greater than some constant N depending only on \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=0,...,s\{ yi - yi+1\} ,
ys+1 := - 1, y0 := 1, we construct an algebraic polynomial Pn of degree \leq n such that Pn has the same sign as f on
[ - 1, 1], in particular, Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, and
| f(x) - Pn(x)| \leq c(s)\omega 2(f,
\sqrt{}
1 - x2/n), x \in [ - 1, 1],
where c(s) is a constant depending only on s, and \omega 2(f, \cdot ) is the second order modulus of smoothness of f . Note that
in this estimate, which is interpolatory at \pm 1 and established by DeVore for the unconstrained approximation, it is not
possible, even for the unconstrained approximation, to replace \omega 2 with \omega k, k > 2.
Якщо неперервна на [ - 1, 1] функцiя f змiнює свiй знак у s точках yi : - 1 < ys < ys - 1 < . . . < y1 < 1, то для
кожного n \in \BbbN , що бiльше за деяку сталу N, яка залежить тiльки вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=0,...,s\{ yi - yi+1\} , ys+1 := - 1, y0 := 1,
знайдено алгебраїчний полiном Pn степеня \leq n такий, що Pn має на [ - 1, 1] той самий знак, що i f, зокрема
Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i
| f(x) - Pn(x)| \leq c(s)\omega 2(f,
\sqrt{}
1 - x2/n), x \in [ - 1, 1],
де c(s) — стала, яка залежить тiльки вiд s, i \omega 2(f, \cdot ) — модуль гладкостi 2-го порядку функцiї f . Зауважимо, що в
цiй iнтерполяцiйнiй у \pm 1 оцiнцi, встановленiй ДеВором для наближення без обмежень, не можна замiнити \omega 2 на
\omega k, k > 2, навiть для наближення без обмежень.
1. Вступ. Нехай C := C[ - 1,1] — простiр усiх неперервних на [ - 1, 1] функцiй f i \BbbP n — простiр
усiх алгебраїчних полiномiв Pn степеня \leq n \in \BbbN . Запишемо двi класичнi поточковi оцiнки
типу Нiкольського (похибки) наближення f \in C полiномами Pn \in \BbbP n : якщо f \in C, то для
будь-якого n \geq k - 1, k \in \BbbN , iснує Pn \in \BbbP n такий, що
| f(x) - Pn(x)| \leq c \omega k (f, \rho n(x)) , де \rho n(x) :=
1
n2
+
\surd
1 - x2
n
, x \in [ - 1, 1], (1.1)
\rho 0(x) : \equiv 1, c — стала, що залежить лише вiд k, i \omega k(f, t) — k-й модуль гладкостi f ; якщо
f \in C, то для k = 1, 2 i кожного n \geq k - 1 iснує Pn \in \BbbP n такий, що
| f(x) - Pn(x)| \leq c \omega k (f, \delta n(x)) , де \delta n(x) :=
\surd
1 - x2
n
, x \in [ - 1, 1], (1.2)
\delta 0(x) : \equiv 1. Оцiнку (1.1) встановили Тiман (для k = 1), Дзядик (для k = 2), Фройд (для
k = 2) i Брудний (для k > 2) (детальнiше див. [1], роздiл 6), а iнтерполяцiйну (в - 1 i 1)
оцiнку (1.2) — Теляковський [2] (для k = 1) i ДеВор [3] (для k = 2). Згодом Ю [4] i Венц,
Гонска, Левiатан та Шевчук [5] довели, що на вiдмiну вiд (1.1) оцiнка (1.2), взагалi кажучи, не
справджується для k > 2.
У 1995 р. Копотун [6] отримав копозитивний аналог (1.1) з k = 3. А саме, нехай Ys позначає
набiр з s \in \BbbN фiксованих точок yi :
- 1 < ys < . . . < y1 < 1.
c\bigcirc Г. А. ДЗЮБЕНКО, 2022
496 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ 497
Через \Delta (0)(Ys) позначимо множину функцiй f \in C таких, що f невiд’ємна на [y1, 1], недодатна
на [y2, y1], невiд’ємна на [y3, y2] i т. д., тобто
f \in \Delta (0)(Ys) \leftrightarrow f(x)\Pi (x) \geq 0, де \Pi (x) := \Pi (x, Ys) :=
s\prod
i=1
(x - yi), \Pi (x,\varnothing ) : \equiv 1.
Функцiї з \Delta (0)(Ys) називаються копозитивними (одна однiй, або мiж собою). Покладемо
ys+1 := - 1 i y0 := 1.
Теорема 1.1 [6]. Якщо f \in \Delta (0)(Ys), то для кожного n \in \BbbN , що бiльше за деяку сталу
N(Ys), яка залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=0,...,s\{ yi - yi+1\} , iснує полiном Pn \in \BbbP n такий, що
Pn \in \Delta (0)(Ys),
зокрема, Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i\bigm| \bigm| f(x) - Pn(x)
\bigm| \bigm| \leq c(s)\omega \varphi
3 (f, 1/n), x \in [ - 1, 1], (1.3)
де c(s) — стала, що залежить лише вiд s, i \omega \varphi
3 — третiй модуль гладкостi Дiцiана – Тотiка.
З (1.3) випливає рiвномiрна оцiнка
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 3(f, 1/n), n \geq N(Ys), (1.4)
яку (зi сталою C(Ys) замiсть c(s) i для n \geq 2) встановлено в [7], як наслiдок аналогiчної
нерiвностi для сплайнiв [7], а для \omega 2 — у [8].
Оцiнка (1.4), а отже i (1.3), є остаточною за порядком модуля гладкостi, тобто в нiй не-
можливо замiнити \omega 3 на \omega k з k > 3, оскiльки в [9, 10] побудовано функцiю f \in \Delta (0)(Y1) (яка
є навiть ще й з C(1) := \{ f : f \prime \in C\} ) таку, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Pn\in \BbbP n\cap \Delta (0)(Y1)
\| f - Pn\|
\omega 4(f, 1/n)
= \infty .
У цiй статтi ми доведемо копозитивний аналог нерiвностi ДеВора (1.2) з k = 2, а саме,
таку теорему.
Теорема 1.2. Якщо f \in \Delta (0)(Ys), то iснує стала N(Ys), яка залежить лише вiд
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=0,...,s\{ yi - yi+1\} , така, що для кожного натурального n \geq N(Ys) знайдеться такий
полiном Pn \in \BbbP n, що
Pn \in \Delta (0)(Ys), (1.5)
зокрема, Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i\bigm| \bigm| f(x) - Pn(x)
\bigm| \bigm| \leq c(s)\omega 2
\bigl(
f, \delta n(x)
\bigr)
, x \in [ - 1, 1], (1.6)
де c(s) — стала, яка залежить лише вiд s.
Як було зазначено, оцiнка (1.6), взагалi кажучи, не справджується з \omega k, k > 2, навiть у
наближеннi без обмежень (1.2) (див. [4, 5]). З теореми 1.2 випливають такi наслiдки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
498 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Наслiдок 1.1. Якщо f \in \Delta (0)(Ys) \cap C(1), то для кожного n \geq N(Ys) iснує такий полiном
Pn \in \Delta (0)(Y ) \cap \BbbP n, що\bigm| \bigm| f(x) - Pn(x)
\bigm| \bigm| \leq c(s) \delta n(x)\omega 1
\bigl(
f \prime , \delta n(x)
\bigr)
, x \in [ - 1, 1].
Нехай W r, r \in \BbbN , — множина функцiй f \in C, що мають на [ - 1, 1] абсолютно неперервну
похiдну f (r - 1) i таких, що
\bigm| \bigm| f (r)(x)
\bigm| \bigm| \leq 1 майже скрiзь.
Наслiдок 1.2. Якщо r = 1, 2 i f \in \Delta (0)(Ys) \cap W r, то для кожного n \geq N(Ys) iснує такий
полiном Pn \in \Delta (0)(Y ) \cap \BbbP n , що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f - Pn
\delta rn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c(s).
Позначимо через \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\ast \alpha , 0 < \alpha \leq 2, множину функцiй f \in C таких, що
\omega 2(f, t) = O(t\alpha ), t \rightarrow 0.
Наслiдок 1.3. Нехай 0 < \alpha < 2. Функцiя f \in \Delta (0)(Ys) \cap \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\ast \alpha тодi й тiльки тодi, коли
iснує послiдовнiсть \{ Pn\} \infty n=1 таких полiномiв Pn \in \Delta (0)(Ys) \cap \BbbP n , що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f - Pn
\delta \alpha n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(1), n \rightarrow \infty .
Нерiвнiсть (1.6) для комонотонного та коопуклого наближень доведено у [11] та [12] вiдпо-
вiдно.
2. Допомiжнi факти. 2.1. Далi через c позначатимемо рiзнi невiд’ємнi абсолютнi сталi
або сталi, що можуть залежити лише вiд s. Вони можуть бути рiзними, навiть якщо знаходити-
муться в одному рядку.
Нехай точки xj := xj,n := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (j\pi /n), j = 0, . . . , n, складають чебишовське розбиття
[ - 1, 1] =: I(= [ys+1, y0]). Для фiксованих Ys = \{ yi\} si=1 i n \in \BbbN позначимо
Oi := Oi(n, Ys) := (xj+2, xj - 3), якщо yi \in [xj , xj - 1),
де x - 1 := 1, x - 2 := 1 i xn+1 := - 1, xn+2 := - 1. Нехай
O = O(n, Ys) :=
s\bigcup
i=1
Oi.
Будемо писати j \in H := H(n, Ys), якщо xj \in I \setminus O. Зокрема, \{ 0, n\} \subset H.
Для j = 1, . . . , n позначимо Ij := Ij,n := [xj , xj - 1]. Довжину будь-якого iнтервалу E
позначимо через | E| , зокрема | Ij | = xj - 1 - xj =: hj,n =: hj i h0 = hn+1 := h1. З посиланнями
i без них будемо використовувати вiдомi нерiвностi
hj\pm 1 < 3hj ,
\rho n(x) < hj < 5\rho n(x), x \in Ij ,
(2.1)
\rho n(x) < 2\delta n(x), x \in I \setminus (I1 \cup In),
\rho 2n(y) < 4\rho n(x)
\bigl(
| x - y| + \rho n(x)
\bigr)
, x, y \in I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ 499
Цi нерiвностi використовуються в багатьох роботах з поточкового наближення. Також будемо
використовувати нерiвнiсть Уїтнi [13]\bigm\| \bigm\| \bigm\| g - Lk - 1
\bigl(
g, \cdot , [a, b]
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
[a,b]
\leq 3\omega k
\bigl(
g, (b - a)/k, [a, b]
\bigr)
, g \in C
\bigl(
[a, b]
\bigr)
, (2.2)
де k \in \BbbN , Lk
\bigl(
g, x, [a, b]
\bigr)
— полiном Лагранжа степеня \leq k, що на [a, b] iнтерполює функцiю
g = g(x) в рiвновiддалених точках a + \nu (b - a)/k, \nu = 0, . . . , k; L0(g, x, [a, b]) := g(a);
\omega k
\bigl(
g, t, [a, b]
\bigr)
— k-й модуль гладкостi g на [a, b], а сталу 3 отримано в роботi [14].
Покладемо
\omega (t) := \omega 2(f, t).
Виберемо найменше N(Ys), що для всiх n \geq N(Ys) i i = 2, . . . , s задовольняє рiвнiсть
Oi \cap Oi - 1 \cap \{ - 1, 1\} = \varnothing ,
де Oi для кожного i = 1, . . . , s позначає об’єднання всiх вiдрiзкiв Ij , j = 1, . . . , n, таких, що
Ij \cap Oi \not = \varnothing . Нехай
Oi =: (yi, yi) =: (xji , xji
), i = 1, . . . , s,
тобто yi i y
i
— лiвi i правi кiнцi Oi вiдповiдно.
Лема 2.1. Якщо f \in \Delta (0)(Ys), то для кожного n \geq N(Ys) знайдеться ламана
L \in \Delta (0)(Ys), (2.3)
яка має вузли лише в точках xj з j \in H, i\bigm| \bigm| f(x) - L(x)
\bigm| \bigm| \leq c \omega 2(f, \delta n(x)), x \in I. (2.4)
Зауважимо, що ламана L в лемi 2.1 не може мати вузлiв у точках xj , якщо xj \in O.
Доведення. Нехай для кожного i = 1, . . . , s li — лiнiйна функцiя, що iнтерполює f в точках
yi i yi; li — лiнiйна функцiя, що iнтерполює f в yi i y
i
, i
\Delta i(x) :=
li(x) + li(x)
2
.
Через \widehat L := \widehat L(x) позначимо ламану, яка складається з 5s+ 1 ланок, таких, що \widehat L(\pm 1) = 0 i
для кожного i = 1, . . . , s \widehat L(xji+1) =
\widehat L(yi) = \widehat L(xj
i
- 1) = 0 та
\widehat L(yi) = \Delta i(yi) - f(yi), \widehat L(y
i
) = \Delta i(yi) - f(y
i
).
Зазначимо, що \bigm| \bigm| \widehat L(x)\bigm| \bigm| \leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
, x \in I. (2.5)
Справдi, якщо x \in Oi, то за нерiвнiстю Уїтнi (2.2)\bigm| \bigm| f(x) - li(x)
\bigm| \bigm| \leq c \omega
\bigl(
| Oi|
\bigr)
i
\bigm| \bigm| f(x) - li(x)
\bigm| \bigm| \leq c \omega
\bigl(
| Oi|
\bigr)
,
тобто
| \widehat L(x)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \widehat L(yi)\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \widehat L(yi)\bigm| \bigm| \Bigr\} \leq c \omega
\bigl(
| Oi|
\bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
500 Г. А. ДЗЮБЕНКО
i (2.5) справджується з урахуванням означення \widehat L i (2.1).
Через L\ast := L\ast (x) позначимо ламану з вузлами в xj , j \in H, i yi, i = 1, . . . , s, що
iнтерполює f у цих вузлах. Звiсно, L\ast \in \Delta (0)(Ys), якщо f \in \Delta (0)(Ys), i за нерiвнiстю Уїтнi\bigm| \bigm| f(x) - L\ast (x)
\bigm| \bigm| \leq c \omega (\rho n(x)) , x \in I. (2.6)
Тепер ламана
L := L(x) := L\ast (x) + \widehat L(x)
є шуканою. Справдi, включення L \in \Delta (0)(Ys) є очевидним за побудовою i L не має вузлiв
нiде, крiм в xj з j \in H (на кожному Oi вона лiнiйна, L = \Delta i), тодi як нерiвностi (2.5), (2.6)
зумовлюють (2.4) для x \in I \setminus (I1 \cup In) .
Отже, ми залишились з (2.4) для x \in I1 i x \in In. За побудовою, L лiнiйна на I1 i In
та L( - 1) = f( - 1), L(1) = f(1). Покладемо g(x) := f(x) - L(x). Тодi маємо g( - 1) = 0,
g(1) = 0, \omega 2(g, t, I1) = \omega 2(f, t, I1) \leq \omega (t) i \omega 2(g, t, In) \leq \omega (t). Крiм того, нерiвностi (2.5) i (2.6)
зумовлюють оцiнку \bigm| \bigm| g(x)\bigm| \bigm| \leq c \omega (1/n2), x \in I1 \cup In.
Тепер, наприклад, для x \in I1 застосуємо нерiвнiсть Маршо [15] i отримаємо
\bigm| \bigm| f(x) - L(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| g(x)\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| g(x) - g(1)
\bigm| \bigm| \leq c (1 - x)
| I1| \int
1 - x
\omega (u)
u2
du+
1 - x
| I1|
\omega (| I1| ) \leq
\leq c (1 - x)
\delta n(x)\int
1 - x
\omega (u)
u2
du+ c (1 - x)
| I1| \int
\delta n(x)
\omega (u)
u2
du+ c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
\leq
\leq c (1 - x)\omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr) \infty \int
1 - x
du
u2
+ c (1 - x2) | I1|
\omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
\delta 2n(x)
+ c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
\leq
\leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
+ c n2| I1| \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
\leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
.
Так само перевiряється (2.4) для x \in In.
Лему 2.1 доведено.
Наслiдок 2.1. Якщо L — ламана з леми 2.1, то
\bigm| \bigm| [xj+1, xj , xj - 1, L]
\bigm| \bigm| \leq c
\omega (hj)
h2j
, j = 1, . . . , n - 1, (2.7)
[xj+1, xj , xj - 1, L] = [xj , xj - 1, L] = 0, j /\in H, (2.8)
де [xj , xj - 1, L] i [xj+1, xj , xj - 1, L] — перша i друга подiленi рiзницi L вiдповiдно.
2.2. Наслiдуючи [16] (див. також [17]), покладаємо
tj(x) := tj,n(x) :=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 2n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x
(x - x0j )
2
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 2n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x
(x - \=xj)2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ 501
де \=xj = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
j - 1
2
\biggr)
\pi /n, x0j = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 0
j з \beta 0
j =
\biggl(
j - 1
4
\biggr)
\pi /n, j \leq n/2, i \beta 0
j =
\biggl(
j - 3
4
\biggr)
\pi /n,
j > n/2. Зазначимо, що \=xj i x0j — нулi вiдповiдних чисельникiв, якi мiстяться строго в Ij , а
tj — алгебраїчнi полiноми степеня 4n - 2 такi, що
tj(x) \leq
c\bigl(
| x - xj | + hj
\bigr) 2 \leq c tj(x), x \in I.
Зафiксуємо b \in \BbbN . Далi сталi c будуть залежити вiд цього b, тобто c := c(b). Також будемо
писати ck := ck(b), k = 1, 2, якщо будуть посилання на значення цих сталих. Наслiдуючи
[18 – 20], означимо для кожного j \in H два алгебраїчних полiноми степеня \leq cn :
Tj(x) := Tj,n(x, b, Ys) :=
x\int
- 1
tbj(u)\Pi (u, Ys)du
\Big/ 1\int
- 1
tbj(u)\Pi (u, Ys)du,
\tau j(x) := \tau j,n(x, b, Ys) := \alpha
x\int
- 1
Tj+1(u)du+ (1 - \alpha )
x\int
- 1
Tj - 1(u)du,
де 0 \leq \alpha \leq 1 вибрано з умови
\tau j,n(1, b, Ys) = 1 - xj ,
i Tn+1(x) = Tn(x) :\equiv 1, T - 1(x) = T0(x) :\equiv 0. Позначимо
\chi (x, a) =
\left\{ 0, якщо x \leq a,
1, якщо x > a,
a \in I, \chi j(x) := \chi (x, xj), (x - xj)+ := (x - xj)\chi j(x),
\Gamma j(x) := \Gamma j,n(x) :=
hj
| x - xj | + hj
i запишемо нерiвнiсть з (2.1):
hj\Gamma j(x) \leq c\rho n(x), x \in I. (2.9)
Нехай
Y \ast := Ys \cup \{ - 1, 1\} = \{ ys+1, . . . , y0\} ,
t\ast j := T \prime
j,n(x, b, Y
\ast ).
Будемо писати O\ast
i , i = 0, . . . , s + 1, для O\ast
s+1 := [ - 1, xn - 1), O\ast
i := Oi, i = 1, . . . , s, i
O\ast
0 := (x1, 1]. Нехай
O\ast = O\ast (n, Y \ast ) :=
s+1\bigcup
i=0
O\ast
i .
В лемi 2.2 зберемо, в зручнiй для нас формi, необхiднi нерiвностi з [18 – 20].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
502 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Лема 2.2. Якщо j \in H i b \geq 6(s+ 3), то\bigm| \bigm| \chi j(x) - Tj(x)
\bigm| \bigm| \leq c
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - s - 1
, x \in I,\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \tau j(x)
\bigm| \bigm| \leq c hj
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - s - 2
, x \in I,
\tau j(\pm 1) = (\pm 1 - xj)+, t\ast j (\pm 1) = 0, (2.10)
t\ast j (x)\Pi (x)\Pi (xj) \geq 0, x \in I, (2.11)
| t\ast j (x)| \leq c
1
hj
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - s
, x \in I, (2.12)
| t\ast j
\prime (x)| \leq c
1
\rho n(x)hj
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - s+1
, x \in I, (2.13)
| t\ast j (x)| \geq c1
1
hj
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b+2s
, x \in I \setminus O\ast , (2.14)
| t\ast j (x)| \geq c1
1
hj
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b+2s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in O\ast
i , i = 0, . . . , s+ 1, (2.15)
де, нагадаємо, c1 = c1(b) — додатна стала, яка залежить лише вiд s i b.
Зауваження 2.1. Лему 2.2 доводять за допомогою нерiвностей
c
1
hj
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | T \prime
j(x)| \leq c
1
hj
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in I,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \biggl( | x - y|
\rho n(y)
+ 1
\biggr) s+2
, x \in I, y \in I \setminus O\ast ,
\gamma 2j (x) < 16\Gamma j(x), \Gamma 2
j (x) < 400\gamma j(x), x \in I,
де \gamma j(x) := \rho n(x)/
\bigl(
| x - xj | +\rho n(x)
\bigr)
, i з урахуванням нерiвностi Бернштейна – Маркова для (2.13).
2.3. Для кожного j \in H покладемо
\widehat \tau j(x) := \widehat \tau j,n(x, b, Y \ast ) := \tau j,n(x, b,\varnothing ) +
s\sum
i=1
(yi - xj)+ - \tau j,n(yi, b,\varnothing )
T \prime
j,n(yi, b, Yi)
T \prime
j,n(x, b, Yi),
де Yi := Y \ast \setminus \{ yi\} .
Наслiдок 2.2. Якщо j \in H i b \geq 6(s+ 3), то полiном \widehat \tau j \in \BbbP cn задовольняє нерiвностi\bigm| \bigm| \chi j(x) - \widehat \tau \prime j(x)\bigm| \bigm| \leq c (\Gamma j(x))
2b - 2s - 2, x \in I, (2.16)\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \widehat \tau j(x)\bigm| \bigm| \leq c2 hj(\Gamma j(x))
2b - 2s - 3, x \in I, (2.17)\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \widehat \tau j(x)\bigm| \bigm| \leq c2 hj(\Gamma j(x))
2b - 2s - 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in O\ast
i , i = 0, . . . , s+ 1, (2.18)
зокрема,
(yi - xj)+ - \widehat \tau j(yi) = 0. (2.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ 503
Вiзьмемо три числа:
b1 = 6(s+ 3), b2 = 6(2s+ 3), n1 = 2
\bigl[
1 + c2(b2)/c1(b1)
\bigr]
n
([\cdot ] — цiла частина) i для кожного j = 1, . . . , n - 1 через j\ast позначимо iндекс такий, що
xj\ast ,n1 = xj,n.
Лема 2.3. Для кожного j \in H полiноми
\tau j(x) := \widehat \tau j\ast ,n1(x, b2, Y
\ast ) + h2j,n T
\prime
j,n(x, b1, Y
\ast ),
\tau j(x) := \widehat \tau j\ast ,n1(x, b2, Y
\ast ) - h2j,n T
\prime
j,n(x, b1, Y
\ast )
степеня cn при всiх x \in I задовольняють нерiвностi\bigl(
\tau j(x) - (x - xj)+
\bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \geq 0, (2.20)\bigl(
\tau j(x) - (x - xj)+
\bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \leq 0, (2.21)\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \tau j(x)
\bigm| \bigm| \leq c hj \Gamma
6
j,n(x), (2.22)\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \tau j(x)
\bigm| \bigm| \leq c (1 - x2) \Gamma 4
j,n(x), (2.23)
де \tau j := \tau j \vee \tau j .
Доведення. З двох схожих нерiвностей (2.20) i (2.21) доведемо лише (2.20). Якщо x \in
\in I \setminus O\ast (n1, Y
\ast ), то (2.17), (2.14) i (2.11) обумовлюють\bigl(
\tau j(x) - (x - xj)+
\bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \equiv
\equiv
\bigl( \widehat \tau j\ast ,n1(x, b2, Y
\ast ) - (x - xj)+ + h2j,n T
\prime
j,n(x, b1, Y
\ast )
\bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \geq
\geq - c2(b2) hj\ast ,n1\Gamma
22s+33
j\ast ,n1
(x) + c1(b1)
h2j,n
hj,n
\Gamma 14s+36
j,n (x) \geq
\geq
\bigl(
c1(b1)hj,n - c2(b2)hj\ast ,n1
\bigr)
\Gamma 14s+36
j,n (x) \geq 0
завдяки n1. Збираючи (2.18), (2.15) i (2.11), отримуємо (2.20) для x \in O\ast (n1, Y
\ast ).
Доведемо (2.22) i (2.23) лише для \tau j . Нерiвностi (2.17) i (2.12) зумовлюють (2.22):\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \tau j(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( (x - xj)+ - \widehat \tau j\ast ,n1(x, b2, Y
\ast )
\bigr)
+ h2j,n T
\prime
j,n(x, b1, Y
\ast )
\bigm| \bigm| \bigm| =:
=:
\bigm| \bigm| A1(x) +A2(x)
\bigm| \bigm| \leq c2(b2)hj\ast ,n1\Gamma
22s+33
j\ast ,n1
(x) + c(b1)
h2j,n
hj,n
\Gamma 11s+36
j,n (x) \leq c hj \Gamma
6
j (x).
Якщо x /\in I1 \cup In, то (2.9) зумовлює нерiвнiсть
hj \Gamma
2
j (x) \leq c n2 \rho 2n(x) \leq c (1 - x2),
i тодi (2.23) випливає з (2.22).
Якщо x \in I1, то згiдно з (2.19), (2.10), (2.16), (2.13) i (2.1) записуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
504 Г. А. ДЗЮБЕНКО\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \tau j\ast (x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| A1(x) - A1(1) +A2(x) - A2(1)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
x
A\prime
1(u)du+
1\int
x
A\prime
2(u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1\int
x
\bigm| \bigm| A\prime
1(u)
\bigm| \bigm| du+
1\int
x
\bigm| \bigm| A\prime
2(u)
\bigm| \bigm| du \leq
\leq c(b2) (1 - x) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in I1
\Gamma 22s+34
j\ast ,n1
(t) + c(b1)
h2j,n
\rho n(x)hj,n
(1 - x) \Gamma 11s+35
j,n (x) \leq
\leq c (1 - x) \Gamma 22s+34
j\ast ,n1
(x1) + c
4(| x - xj | + \rho n(x))h
2
j,n
\rho 2n(xj)hj,n
(1 - x) \Gamma 11s+35
j,n (x) \leq
\leq c (1 - x) \Gamma 22s+34
j\ast ,n1
(x1) + c (1 - x) \Gamma 11s+34
j,n (x) \leq
\leq c (1 - x) \Gamma 4
j (x) \leq c (1 - x2) \Gamma 4
j (x).
Аналогiчно доводиться (2.23) для x \in In.
Лему 2.3 доведено.
3. Доведення теореми 1.2. Нехай L — ламана з леми 2.1. Запишемо її у виглядi
L(x) \equiv l(x) +
n - 1\sum
j=1
\bigl[
xj+1, xj , xj - 1, L
\bigr] \bigl(
xj - 1 - xj+1
\bigr)
(x - xj)+ \equiv
\equiv l(x) +
\sum
j\in H\ast
\bigl[
xj+1, xj , xj - 1, L
\bigr] \bigl(
xj - 1 - xj+1
\bigr)
(x - xj)+,
де l(x) := L( - 1) + [xn, xn - 1, L](x+ 1), H\ast := H \setminus \{ 0, n\} i де ми скористалися (2.8).
Покладемо
Pn(x) := l(x) +
\sum
j\in H\ast
\bigl[
xj+1, xj , xj - 1, L
\bigr] \bigl(
xj - 1 - xj+1
\bigr)
\tau \ast j (x),
де
\tau \ast j (x) :=
\left\{ \tau j(x), якщо [xj+1, xj , xj - 1, L]\Pi (xj) \geq 0,
\tau j(x) у протилежному випадку.
Таким чином, беручи до уваги (2.3), бачимо, що нерiвностi (2.20) i (2.21) при всiх x \in I
зумовлюють оцiнку
Pn(x)\Pi (x) =
\bigl(
Pn(x) - L(x) + L(x)
\bigr)
\Pi (x) =
=
\left( \sum
j\in H\ast
\bigl[
xj+1, xj , xj - 1, L
\bigr]
(xj - 1 - xj+1)(\tau
\ast
j (x) - (x - xj)+) + L(x)
\right) \Pi (x) \geq 0,
яка еквiвалентна (1.5).
Для доведення (1.6) запишемо рiзницю f - Pn у виглядi
f(x) - Pn(x) = f(x) - L(x) + L(x) - Pn(x) = f(x) - L(x)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
IНТЕРПОЛЯЦIЙНА ОЦIНКА КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ 505
+
\sum
j\in H\ast
[xj+1, xj , xj - 1, L](xj - 1 - xj+1)
\bigl(
(x - xj)+ - \tau \ast j (x)
\bigr)
=:
=: f(x) - L(x) +
\sum
j\in H\ast
\alpha j(x). (3.1)
Для оцiнювання \alpha j(x) скористаємося нерiвностями (2.22), (2.23) i (2.7). Якщо x /\in I1 \cup In, то
\bigm| \bigm| \alpha j(x)
\bigm| \bigm| \leq c
\omega (hj)
h2j
hjhj\Gamma
4
j (x) = c \omega (hj)\Gamma
4
j (x) \leq
\leq c \omega
\bigl(
\rho n(x)
\bigr) \Biggl(
1 +
h2j
\rho 2n(x)
\Biggr)
\Gamma 4
j (x) \leq c \omega
\bigl(
\rho n(x)
\bigr)
\Gamma 2
j (x) \leq
\leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
\Gamma 2
j (x),
де ми скористалися (2.9). Якщо x \in I1, то
| \alpha j(x)| \leq c
\omega (hj)
h2j
hj(1 - x2)\Gamma 4
j (x) \leq c \omega (\delta n(x)) \Gamma
2
j (x),
де ми знову скористалися (2.9). Тому, беручи до уваги, що (2.9) також зумовлює нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum n
j=1
\Gamma 2
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c, записуємо
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
j\in H\ast
\alpha j(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr) \sum
j\in H\ast
\Gamma 2
j (x) \leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
j=1
\Gamma 2
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c \omega
\bigl(
\delta n(x)
\bigr)
, x \in I.
Звiдси, з (3.1) i (2.4) випливає (1.6).
Теорему 1.2 доведено.
Лiтература
1. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
2. С. А. Теляковский, Две теоремы о приближении функций алгебраическими многочленами, Мат. сб., 70 (112),
№ 2, 252 – 265 (1966).
3. R. A. DeVore, Degree of approximation, Approximation theory, II, Proc. Intern. Sympos., Univ. Texas, Austin, Tex.,
1976, Acad. Press, New York (1976), p. 117 – 161.
4. X. M. Yu, Pointwise estimates for convex polynomial approximation, Approx. Theory and Appl., 1, № 4, 65 – 74
(1985).
5. H. H. Gonska, D. Leviatan, I. A. Shevchuk, H.-J. Wenz, Interpolatory pointwise estimates for polynomial approxi-
mation, Constr. Approx., 16, 603 – 629 (2000).
6. K. A. Kopotun, Copositive approximation by algebraic polynomials, Anal. Math., 21, Issue 4, 269 – 283 (1995).
7. Y. Hu, X. M. Yu, The degree of copositive approximation and a computer algorithm, SIAM J. Numer. Anal., 33,
Issue 1, 388 – 398 (1996).
8. Y. Hu, D. Leviatan, X. M. Yu, Copositive polynomial approximation in C[0, 1], J. Anal., 1, 85 – 90 (1993).
9. S. P. Zhou, A counterexample in copositive approximation, Israel J. Math., 78, 75 – 83 (1992).
10. S. P. Zhou, On copositive approximation, Approxim. Theory and Appl., 9, Issue 2, 104 – 110 (1993).
11. G. A. Dzyubenko, Comonotone approximation with interpolation at the ends of an interval, Anal. Theory and Appl.,
22, № 3, 233 – 245 (2006).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
506 Г. А. ДЗЮБЕНКО
12. G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, I. A. Shevchuk, Coconvex pointwise approximation, Укр. мат. журн., 54, № 9,
1200 – 1212 (2002).
13. H. Whitney, On functions with bouded n-th differences, J. Math. Pures et Appl., 36, № 9, 67 – 95 (1957).
14. J. Gilewicz, Yu. V. Kryakin, I. A. Shevchuk, Boundedness by 3 of the Whitney interpolation constant, J. Approx.
Theory, 119, 271 – 290 (2002).
15. A. Marchaud, Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles, J. Math. Pures et Appl., 6,
337 – 426 (1927).
16. И. А. Шевчук, Приближение монотонных функций монотонными многочленами, Мат. сб., 183, № 5, 63 – 78
(1992).
17. И. А. Шевчук, Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций, Наук. думка, Киев
(1992).
18. G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, I. A. Shevchuk, Piecewise monotone pointwise approximation, Constr. Approx., 14,
311 – 348 (1998).
19. K. A. Kopotun, Pointwise and uniform estimates for convex approximation of functions by algebraic polynomials,
Constr. Approx., 10, № 2, 153 – 178 (1994).
20. D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Coconvex approximation, J. Approx. Theory, 118, 20 – 65 (2002).
Одержано 12.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7103 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:27Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/21/3120fcb040acf718cfdcf446cbba9121.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71032022-07-06T16:22:31Z An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions Інтерполяційна оцінка копозитивного наближення алгебраїчними поліномами Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. копозитивне наближення алгебраїчними поліномами, поточкові оцінки UDC 517.9 Under the condition that a function $f$, which is continuous on $[-1,1],$ changes its sign at $s$ points $y_i,$ $-1 &lt; y_{s} &lt; y_{s-1} &lt; \dots &lt; y_1 &lt; 1,$ then for each $n \in \mathbb{N}$ greater than some constant $\mathbb{N}$ depending only on $\min_{i=0, \dots ,s}\{y_i -y_{i+1}\},$ $y_{s+1} := -1,$ $y_0 := 1,$ we construct an algebraic polynomial $P_n$ of degree $\le n$ such that $P_n$ has the same sign as $f$ on $[-1,1],$ in particular, $P_n(y_i) = 0,$ $i = 1,\dots ,s,$ and$$|f(x)-P_n(x)|\le c(s)\,\omega_2(f,\sqrt{1-x^2}/n), \quad x\in[-1,1],$$where $c(s)$ is a constant depending only on $s,$ and $\omega_2(f,\cdot)$ is the second order modulus of smoothness of $f$. Note that in this estimate, which is interpolatory at $\pm 1$ and established by DeVore for the unconstrained approximation, it is not possible, even for the unconstrained approximation, to replace $\omega_2$ with $\omega_k,$ $k&gt;2.$ УДК 517.9 Якщо неперервна на $[ 1, 1]$ функцiя $f$ змiнює свiй знак у $s$ точках $y_i,$ $-1 &lt; y_{s} &lt; y_{s-1} &lt; \dots&lt; y_1 &lt; 1$, то для кожного $n \in \mathbb{N}$, що бiльше за деяку сталу $\mathbb{N}$, яка залежить тiльки вiд $\min_{i=0, \dots ,s}\{y_i -y_{i+1}\},$ $y_{s+1} := -1,$ $y_0 := 1,$ знайдено алгебраїчний полiном $P_n$ степеня $\le n$ такий, що $P_n$ має на $[ 1, 1]$ той самий знак, що i $f$, зокрема $P_n(y_i) = 0,$ $i = 1,\dots ,s,$ i$$|f(x)-P_n(x)|\le c(s)\,\omega_2(f,\sqrt{1-x^2}/n), \quad x\in[-1,1],$$де $c(s)$ — стала, яка залежить тiльки вiд $s$, i $\omega_2(f,\cdot)$ — модуль гладкостi 2-го порядку функцiї $f$ . Зауважимо, що в цiй iнтерполяцiйнiй у $\pm 1$ оцiнцi, встановленiй ДеВором для наближення без обмежень, не можна замiнити $\omega_2$ на $\omega_k,$ $k&gt;2,$ навiть для наближення без обмежень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7103 10.37863/umzh.v74i4.7103 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 496 - 506 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 496 - 506 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7103/9219 Copyright (c) 2022 German Dzyubenko |
| spellingShingle | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title | An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title_alt | Інтерполяційна оцінка копозитивного наближення алгебраїчними поліномами |
| title_full | An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title_fullStr | An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title_full_unstemmed | An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title_short | An interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| title_sort | interpolatory estimate for copositive polynomial approximations of continuous functions |
| topic_facet | копозитивне наближення алгебраїчними поліномами поточкові оцінки |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7103 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoga aninterpolatoryestimateforcopositivepolynomialapproximationsofcontinuousfunctions AT dzûbenkoga aninterpolatoryestimateforcopositivepolynomialapproximationsofcontinuousfunctions AT dzyubenkoga ínterpolâcíjnaocínkakopozitivnogonabližennâalgebraíčnimipolínomami AT dzûbenkoga ínterpolâcíjnaocínkakopozitivnogonabližennâalgebraíčnimipolínomami AT dzyubenkoga interpolatoryestimateforcopositivepolynomialapproximationsofcontinuousfunctions AT dzûbenkoga interpolatoryestimateforcopositivepolynomialapproximationsofcontinuousfunctions |