On one Reverse asymptotic equality
УДК 517.5 We clarify an asymptotic equality proved by Revers for an interpolation analog of the classic Bernstein – Varga – Carpenter result.
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7111 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512608795230208 |
|---|---|
| author | Motorna, O. V. Shevchuk , V. I. Моторна, О. В. Шевчук, В. I. |
| author_facet | Motorna, O. V. Shevchuk , V. I. Моторна, О. В. Шевчук, В. I. |
| author_sort | Motorna, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | УДК 517.5
We clarify an asymptotic equality proved by Revers for an interpolation analog of the classic Bernstein – Varga – Carpenter result.
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7111 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7111
УДК 517.5
О. В. Моторна, В. I. Шевчук (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ОДНУ АСИМПТОТИЧНУ РIВНIСТЬ РЕВЕРСА
We clarify an asymptotic equality proved by Revers for an interpolation analog of the classic Bernstein – Varga – Carpenter
result.
Уточнено асимптотичну рiвнiсть, доведену Реверсом для iнтерполяцiйного аналога класичного результату Bernstein –
Varga – Carpenter.
1. Вступ i основний результат. Нехай P2n — полiном Лагранжа, який iнтерполює функцiю
| x| \alpha , \alpha > 0, в нулях полiнома Чебишова T2n+1 . Реверс [1] отримав iнтерполяцiйний аналог
класичного результату Bernstein – Varga – Carpenter. Вiн довiв, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(2n)\alpha \| | x| \alpha - P2n\| C[ - 1,1] =
2
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi \alpha
2
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [0,\infty )
H(\alpha , x), (1)
де
H(\alpha , x) :=
\infty \int
0
t\alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)
x| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x|
x2 + t2
dt, \alpha > 0, x > 0.
Крiм того, Реверс [2] знайшов асимптотично точний вираз для правої частини (1). А саме, довiв
таку теорему.
Теорема 1 ([2], теорема 1.3). Справджується асимптотична рiвнiсть
\| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) =
1
1 + 2\alpha
C(\alpha )(1 + o(1)), \alpha \rightarrow \infty ,
де
C(\alpha ) :=
\infty \int
0
t\alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)
dt, \alpha > 0.
З цiєю метою вiн, зокрема, довiв таке твердження.
Теорема 2 ([2], теорема 3.1). Нехай \alpha \geq 2. Тодi має мiсце
C(\alpha )
1 + 2\alpha
\biggl(
1 - 1\surd
\alpha
\biggr)
\leq H1(\alpha , \alpha ) \leq \| H1(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) =
C(\alpha )
1 + 2\alpha
\biggl(
1 +
2\surd
\alpha
\biggr)
,
де
H1(\alpha , x) :=
\infty \int
0
t\alpha
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)
x
x2 + t2
dt, \alpha > 0, x > 0.
Спрощуючи доведення з [2], встановимо точнiшi оцiнки. Основним результатом цiєї роботи
є така теорема.
c\bigcirc О. В. МОТОРНА, В. I. ШЕВЧУК, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4 573
574 О. В. МОТОРНА, В. I. ШЕВЧУК
,
,
,
,
, , , , ,
,
,
,
,
,
, , , , ,
а б
Графiки \alpha
\biggl(
1 - 2H(\alpha , \pi /2)
C(\alpha - 1)
\biggr)
(а) та \alpha
\biggl(
1 - 2H(\alpha , 3\pi /2)
C(\alpha - 1)
\biggr)
(б) на вiдповiдних промiжках.
Теорема 3. Нехай \alpha \geq 2. Тодi має мiсце
(1 - 1/\alpha )C(\alpha - 1) \leq 2\| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq 2\| H1(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq C(\alpha - 1). (2)
Зауважимо, що нерiвнiсть \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq \| H1(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) є очевидною, а оцiнка
2\| H1(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq C(\alpha - 1) легко випливає з нерiвностi x2 + t2 \geq 2xt (детальнiше див. [2],
лема 3.7). Отже, щоб отримати (2), нам потрiбно довести лише його лiву частину.
Безпосереднiми обчисленнями отримуємо
\alpha
\biggl(
1 - 2H(\alpha , \pi /2)
C(\alpha - 1)
\biggr)
< 0,7 < 1, 2 \leq \alpha \leq \pi ,
i
\alpha
\biggl(
1 - 2H(\alpha , 3\pi /2)
C(\alpha - 1)
\biggr)
< 0,7 < 1, \pi < \alpha \leq 2\pi ,
що зумовлює справедливiсть лiвої частини (2) для 2 \leq \alpha \leq 2\pi (див. рисунок).
Таким чином, залишилося довести лему 1.
Лема 1. Нехай \alpha > 2\pi . Тодi
C(\alpha - 1) - 2\| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq
1
\alpha
C(\alpha - 1). (3)
2. Доведення леми 1. Нехай
\Gamma (\alpha ) =
\infty \int
0
t\alpha - 1
et
dt
— гамма-функцiя Ейлера.
Лема 2. Нехай \alpha > 1. Тодi
\Gamma (\alpha ) - H1(\alpha , x) \leq
x
2\alpha (\alpha - 1)
\Gamma (\alpha ) +
(x - \alpha )2
2x\alpha
\Gamma (\alpha ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ АСИМПТОТИЧНУ РIВНIСТЬ РЕВЕРСА 575
Доведення. Маємо
\Gamma (\alpha ) - H1(\alpha , x) \leq
\infty \int
0
t\alpha - 1
et
dt - 2
\infty \int
0
t\alpha
et
x
x2 + t2
dt =
=
\infty \int
0
t\alpha - 1
et
(x - t)2
x2 + t2
dt \leq
\infty \int
0
t\alpha - 1
et
(x - t)2
2xt
dt =
=
1
2x
(x2\Gamma (\alpha - 1) - 2x\Gamma (\alpha ) + \Gamma (\alpha + 1)) =
=
1
2x
\biggl(
x2
\alpha - 1
\Gamma (\alpha ) - 2x\Gamma (\alpha ) + \alpha \Gamma (\alpha )
\biggr)
=
=
\Gamma (\alpha )
2x\alpha
\biggl(
x2
\alpha - 1
+ x2 - 2x\alpha + \alpha 2
\biggr)
=
=
x
2\alpha (\alpha - 1)
\Gamma (\alpha ) +
(x - \alpha )2
2x\alpha
\Gamma (\alpha ).
Лема 3. Нехай \alpha > 2\pi . Тодi
\Gamma (\alpha ) - \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) <
0,91
\alpha
\Gamma (\alpha ).
Доведення. Нехай x(\alpha ) — така точка, що | \alpha - x(\alpha )| \leq \pi /2 i | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x(\alpha )| = 1. Тодi
H1(\alpha , x(\alpha )) = H(\alpha , x(\alpha )) \leq \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ).
Звiдси за лемою 2
\Gamma (\alpha ) - \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq \Gamma (\alpha ) - H1(\alpha , x(\alpha )) \leq
\leq \Gamma (\alpha )
\alpha
\biggl(
x(\alpha )
2(\alpha - 1)
+
(x(\alpha ) - \alpha )2
2x(\alpha )
\biggr)
\leq \Gamma (\alpha )
\alpha
\biggl(
x(\alpha )
2(\alpha - 1)
+
\pi 2
8x(\alpha )
\biggr)
\leq
\leq \Gamma (\alpha )
\alpha
\biggl(
5\pi
4(2\pi - 1)
+
\pi 2
20\pi
\biggr)
<
\Gamma (\alpha )
\alpha
\biggl(
3
4
+
\pi
20
\biggr)
< 0,91
\Gamma (\alpha )
\alpha
.
Лема 4. Нехай \alpha > 1. Тодi
1
2
C(\alpha - 1) = \Gamma (\alpha )
\infty \sum
k=0
1
(2k + 1)\alpha
.
Доведення. Оскiльки
1
u - 1/u
=
\infty \sum
k=0
1
u2k+1
, u > 1,
i
\infty \int
0
t\alpha - 1
emt
dt =
\Gamma (\alpha )
m\alpha
, m > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
576 О. В. МОТОРНА, В. I. ШЕВЧУК
то отримуємо
1
2
C(\alpha - 1) =
\infty \int
0
t\alpha - 1
et - e - t
dt =
\infty \int
0
t\alpha - 1
\infty \sum
k=0
1
e(2k+1)t
dt =
=
\infty \sum
k=0
\infty \int
0
t\alpha - 1 1
e(2k+1)t
dt = \Gamma (\alpha )
\infty \sum
k=0
1
(2k + 1)\alpha
.
Наслiдок. Нехай \alpha \geq 2. Тодi
1
2
C(\alpha - 1) = \Gamma (\alpha )
\biggl(
1 +
\theta (\alpha )
3\alpha
\biggr)
,
де
1 < \theta (\alpha ) < 2,11.
Справдi, за лемою 4
1 < \theta (\alpha ) = 3\alpha
\infty \sum
k=1
1
(2k + 1)\alpha
=
\infty \sum
k=1
3\alpha
(2k + 1)\alpha
\leq \theta (2) =
= 9
\infty \sum
k=1
1
(2k + 1)2
= 9
\biggl(
\pi 2
8
- 1
\biggr)
= 2,103 . . . .
Доведення нерiвностi (3). Використовуючи лему 3 i наслiдок, отримуємо
1
2
C(\alpha - 1) - \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) =
1
2
C(\alpha - 1) - \Gamma (\alpha ) + \Gamma (\alpha ) - \| H(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq
\leq \theta (\alpha )
3\alpha
\Gamma (\alpha ) +
0,91
\alpha
\Gamma (\alpha ) \leq 1
\alpha
2\pi \cdot 2,11
32\pi
\Gamma (\alpha ) +
0,91
\alpha
\Gamma (\alpha )
<
\Gamma (\alpha )
\alpha
<
1
2
C(\alpha - 1)
\alpha
.
Зауваження . З леми 2, теореми 3 i наслiдку випливає, що
\Gamma (\alpha )
\biggl(
1 - 1
2(\alpha - 1)
\biggr)
\leq H1(\alpha , \alpha ) \leq \| H1(\alpha , \cdot )\| L\infty [0,\infty ) \leq \Gamma (\alpha )
\biggl(
1 +
2,1
3\alpha
\biggr)
, \alpha \geq 2.
Лiтература
1. M. Revers, Extremal polynomials and entire functions of exponential type, Res. Math., 2018, № 73, Article 73:109
(2018).
2. M. Revers, Asymptotics of polynomial interpolation and the Bernstein constants, Res. Math., 2021, № 76, Artic-
le 76:100 (2021).
Одержано 16.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7111 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:30Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/286b79b5c4c45dcf5e5a144549c0bdd1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71112022-07-06T16:22:31Z On one Reverse asymptotic equality Про одну асимптотичну рівність Реверса Motorna, O. V. Shevchuk , V. I. Моторна, О. В. Шевчук, В. I. Константи Бернштейна вузли Чебишева асимптотика високого порядку найкраще рівномірне наближення гамма-функція Bernstein constants Chebyshev nodes higher order asymptotics best uniform approximation Gamma-function УДК 517.5 We clarify an asymptotic equality proved by Revers for an interpolation analog of the classic Bernstein – Varga – Carpenter result. УДК 517.5Уточнено асимптотичну рiвнiсть, доведену Реверсом для iнтерполяцiйного аналога класичного результату Bernstein – Varga – Carpenter. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7111 10.37863/umzh.v74i4.7111 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 572 - 576 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 572 - 576 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7111/9230 Copyright (c) 2022 Оксана Моторна, Віталій Шевчук |
| spellingShingle | Motorna, O. V. Shevchuk , V. I. Моторна, О. В. Шевчук, В. I. On one Reverse asymptotic equality |
| title | On one Reverse asymptotic equality |
| title_alt | Про одну асимптотичну рівність Реверса |
| title_full | On one Reverse asymptotic equality |
| title_fullStr | On one Reverse asymptotic equality |
| title_full_unstemmed | On one Reverse asymptotic equality |
| title_short | On one Reverse asymptotic equality |
| title_sort | on one reverse asymptotic equality |
| topic_facet | Константи Бернштейна вузли Чебишева асимптотика високого порядку найкраще рівномірне наближення гамма-функція Bernstein constants Chebyshev nodes higher order asymptotics best uniform approximation Gamma-function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7111 |
| work_keys_str_mv | AT motornaov ononereverseasymptoticequality AT shevchukvi ononereverseasymptoticequality AT motornaov ononereverseasymptoticequality AT ševčukvi ononereverseasymptoticequality AT motornaov proodnuasimptotičnurívnístʹreversa AT shevchukvi proodnuasimptotičnurívnístʹreversa AT motornaov proodnuasimptotičnurívnístʹreversa AT ševčukvi proodnuasimptotičnurívnístʹreversa |