Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions
We consider a nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions. By introducing new unknown functions, the analyzed problem is reduced to an equivalent problem formed by a nonlocal problem for impulsive system of hyperbolic equations of the second or...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/712 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507089688854528 |
|---|---|
| author | Assanova, A. T. Tleulessova, A. B. Асанова, Анар Турмаганбеткызы Тлеулесова, Агила Балтабаевна Асанова, А. Т. Тлеулесова, А. Б. |
| author_facet | Assanova, A. T. Tleulessova, A. B. Асанова, Анар Турмаганбеткызы Тлеулесова, Агила Балтабаевна Асанова, А. Т. Тлеулесова, А. Б. |
| author_sort | Assanova, A. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-28T18:24:08Z |
| description | We consider a nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions. By introducing new unknown functions, the analyzed problem is reduced to an equivalent problem formed by a nonlocal problem for impulsive system of hyperbolic equations of the second order and integral relations. We propose an algorithm for finding the solutions of the equivalent problem based on the solution of a nonlocal problem for a system of hyperbolic equations of the second order with pulsed action for fixed values of the introduced additional functions, which are then determined from the integral relations in terms of the obtained solution. Sufficient conditions for the existence of a unique solution to the nonlocal problem for an impulsive system of hyperbolic equations of the second order are obtained by method of introduction functional parameters. The algorithms for finding its solutions are constructed. Conditions for the unique solvability of a nonlocal problem for the system of partial differential equations of higher order with pulsed actions are established in terms of the coefficients of the system and boundary matrices. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
А. Т. Асанова (Ин-т математики и мат. моделирования, Алматы, Казахстан),
А. Б. Тлеулесова (Ин-т математики и мат. моделирования, Алматы; Евраз. нац. ун-т им. Л. Н. Гумилева, Астана,
Казахстан)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
We consider a nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions. By
introducing new unknown functions, the analyzed problem is reduced to an equivalent problem formed by a nonlocal
problem for impulsive system of hyperbolic equations of the second order and integral relations. We propose an algorithm
for finding the solutions of the equivalent problem based on the solution of a nonlocal problem for a system of hyperbolic
equations of the second order with pulsed action for fixed values of the introduced additional functions, which are then
determined from the integral relations in terms of the obtained solution. Sufficient conditions for the existence of a unique
solution to the nonlocal problem for an impulsive system of hyperbolic equations of the second order are obtained by
method of introduction functional parameters. The algorithms for finding its solutions are constructed. Conditions for the
unique solvability of a nonlocal problem for the system of partial differential equations of higher order with pulsed actions
are established in terms of the coefficients of the system and boundary matrices.
Розглядається нелокальна задача для системи диференцiальних рiвнянь високого порядку з iмпульсним впливом.
Шляхом уведення нових невiдомих функцiй розглядувана задача зводиться до еквiвалентної задачi, що складаєть-
ся з нелокальної задачi з iмпульсним впливом для системи гiперболiчних рiвнянь другого порядку й iнтеграль-
них спiввiдношень. Запропоновано алгоритм знаходження розв’язкiв еквiвалентної задачi, який ґрунтується на
розв’язаннi нелокальної задачi з iмпульсним впливом для системи гiперболiчних рiвнянь другого порядку при фiк-
сованих значеннях уведених додаткових функцiй, якi потiм визначаються з iнтегральних спiввiдношень через цей
знайдений розв’язок. На основi методу введення функцiональних параметрiв отримано достатнi умови iснування
єдиного розв’язку нелокальної задачi з iмпульсним впливом для системи гiперболiчних рiвнянь другого порядку та
побудовано алгоритми знаходження його розв’язкiв. Встановлено умови однозначної розв’язностi нелокальної зада-
чi для системи диференцiальних рiвнянь високого порядку з iмпульсним впливом у термiнах коефiцiєнтiв системи
i граничних матриць.
1. Постановка задачи. В прямоугольной области \Omega = [0, T ] \times [0, \omega ] рассматривается нело-
кальная задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных высокого
порядка с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени
\partial m+1u
\partial xm\partial t
= A1(t, x)
\partial mu
\partial xm
+B1(t, x)
\partial mu
\partial xm - 1\partial t
+ C1(t, x)
\partial m - 1u
\partial xm - 1
+
+
m - 1\sum
s=2
\biggl\{
As(t, x)
\partial m - su
\partial xm - s
+Bs(t, x)
\partial m - su
\partial xm - s - 1\partial t
\biggr\}
+ C2(t, x)u+ f(t, x), (1.1)
c\bigcirc А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12 1587
1588 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
m\sum
i+j=0
i=0,m;j=0,1
\biggl\{
Pi,j(x)
\partial i+ju(t, x)
\partial xi\partial tj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Si,j(x)
\partial i+ju(t, x)
\partial xi\partial tj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=T
\biggr\}
= \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (1.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial mu(t, x)
\partial xm - 1\partial t
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial mu(t, x)
\partial xm - 1\partial t
= \varphi r(x), x \in [0, \omega ], r = 1, k, (1.3)
u(t, 0) = \psi 1(t),
\partial u(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= \psi 2(t), . . . ,
\partial m - 1u(t, x)
\partial xm - 1
\bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= \psi m(t), t \in [0, T ], (1.4)
где u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1, u2, . . . , un), m = 2, 3, . . . , (n \times n)-матрицы As(t, x), Bs(t, x), s = 1,m - 1,
C1(t, x), C2(t, x), n-вектор-функция f(t, x) кусочно-непрерывны на \Omega с возможными разры-
вами на линиях t = ti, i = 1, k, (n \times n)-матрицы Pi,j(x), Si,j(x), n-вектор-функция \varphi 0(x)
непрерывны на [0, \omega ], 0 \leq i + j \leq m, i = 0,m, j = 0, 1, 0 < t1 < t2 < . . . < tk < T,
n-вектор-функции \varphi r(x), r = 1, k, непрерывно дифференцируемы на [0, \omega ], n-вектор-функции
\psi l(t), l = 1,m, непрерывно дифференцируемы на [0, T ],
\| u(t, x)\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,n
| ui(t, x)| , \| A(t, x)\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,n
n\sum
j=1
| aij(t, x)| .
Введем обозначения t0 = 0, tk+1 = T, \Omega r = [tr - 1, tr) \times [0, \omega ], r = 1, k + 1, т. е. \Omega =
=
\bigcup k+1
r=1 \Omega r.
Пусть PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
— пространство кусочно-непрерывных на \Omega вектор-функций
u(t, x) с возможными разрывами на линиях t = tr, r = 1, k, и нормой
\| u\| 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \Omega r
\| u(t, x)\| .
Функция u(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
, имеющая частные производные
\partial i+ju(t, x)
\partial xi\partial tj
\in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
, i = 1,m, j = 0, 1, называется решением задачи (1.1) – (1.4), если
она удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных высокого
порядка (1.1) для всех (t, x) \in \Omega , кроме линий t = tr, r = 1, k, нелокальному условию (1.2),
условию импульсного воздействия (1.3) и краевым условиям (1.4). При этом решение и его
производные являются непрерывными справа на линиях t = tr, r = 1, k.
Теория краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных высокого
порядка активно развивается и находит многочисленные применения в различных областях
прикладной математики. Исследованию этих задач и разработке методов нахождения их реше-
ний посвящено много работ (см. [1 – 9] и приведенную там библиографию).
Многие задачи динамики и кинетики сорбции газов, процессов сушки воздушным пото-
ком, движения адсорбируемых смесей веществ и др. приводят к изучению краевых задач для
систем дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями [10 – 26]. Для решения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1589
указанных задач применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
математической физики, численно-аналитический метод и разрабатываются новые подходы и
методы. Получены условия разрешимости и предложены способы нахождения приближенных
решений. Несмотря на это вопрос об эффективных условиях однозначной разрешимости нело-
кальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка с
импульсными воздействиями остается открытым.
В настоящей статье методы работ [24 – 26] развиваются на нелокальные задачи для систе-
мы дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка с импульсными
воздействиями (1.1) – (1.4). На основе введения новых неизвестных функций рассматривае-
мая задача сводится к эквивалентной задаче, состоящей из нелокальной задачи с импульсны-
ми воздействиями для системы гиперболических уравнений второго порядка и интегральных
соотношений. Полученную эквивалентную задачу также можно трактовать как нелокальную
задачу для системы гиперболических уравнений второго порядка с импульсными воздействи-
ями и распределенными параметрами [27 – 32]. Предложены алгоритмы нахождения решения
эквивалентной задачи и показана их сходимость. Установлены условия существования един-
ственного решения нелокальной задачи для системы дифференциальных уравнений в частных
производных высокого порядка с импульсными воздействиями в терминах исходных данных.
2. Сведение к нелокальной задаче для системы гиперболических уравнений второго
порядка с импульсными воздействиями и распределенными параметрами. Алгоритм.
Пусть vs(t, x) =
\partial m - su(t, x)
\partial xm - s
, s = 1,m. Задачу (1.1) – (1.4) запишем в виде
\partial 2v1
\partial x\partial t
= A1(t, x)
\partial v1
\partial x
+B1(t, x)
\partial v1
\partial t
+ C1(t, x)v1 + f(t, x)+
+
m - 1\sum
s=2
\Bigl\{
As(t, x)vs(t, x) +Bs(t, x)
\partial vs
\partial t
\Bigr\}
+ C2(t, x)vm, (2.1)
Pm,0(x)
\partial v1(0, x)
\partial x
+ Pm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Pm - 1,0(x)v1(0, x)+
+Sm,0(x)
\partial v1(T, x)
\partial x
+ Sm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
+ Sm - 1,0(x)v1(T, x) =
= \varphi 0(x) -
m\sum
i=2
\Biggl\{
Pm - i,0(x)vi(0, x) + Sm - i,0(x)vi(T, x)+
+Pm - i,1(x)
\partial vi(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Sm - i,1(x)
\partial vi(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=T
\Biggr\}
, x \in [0, \omega ], (2.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial v1(t, x)
\partial t
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial v1(t, x)
\partial t
= \varphi r(x), x \in [0, \omega ], r = 1, k, (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1590 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
v1(t, 0) = \psi m(t), t \in [0, T ], (2.4)
vs+1(t, x) = \psi m - s(t) +
x\int
0
vs(t, \xi ) d\xi ,
\partial vs+1(t, x)
\partial t
= \.\psi m - s(t) +
x\int
0
\partial vs(t, \xi )
\partial t
d\xi , (2.5)
s = 1,m - 1.
В задаче (2.1) – (2.5) условия
u(t, 0) = \psi 1(t),
\partial u(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= \psi 2(t),
\partial 2u(t, x)
\partial x2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= \psi 3(t), . . . ,
\partial m - 2u(t, x)
\partial xm - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= \psi m - 1(t)
учтены в соотношениях (2.5).
Система m-вектор-функций
\bigl(
v1(t, x), v2(t, x), . . . , vm(t, x)
\bigr)
кусочно-непрерывных на \Omega
функций vs(t, x), s = 1,m, называется решением задачи (2.1) – (2.5), если функция v1(t, x)
имеет кусочно-непрерывные производные первого и смешанного второго порядков на \Omega и
удовлетворяет нелокальной задаче для системы гиперболических уравнений второго порядка
с импульсными воздействиями (2.1) – (2.4), где функции vs(t, x) и их производные
\partial vs(t, x)
\partial t
,
s = 2,m, связаны с v1(t, x) и ее производной
\partial v1(t, x)
\partial t
интегральными соотношениями (2.5).
Задача (2.1) – (2.4) при фиксированных vs(t, x) и
\partial vs(t, x)
\partial t
, s = 2,m, представляет нело-
кальную задачу с импульсными воздействиями для системы гиперболических уравнений вто-
рого порядка. Соотношения (2.5) позволяют определить неизвестные функции vs(t, x) и их
производные
\partial vs(t, x)
\partial t
с помощью v1(t, x), s = 2,m.
Задачу (2.1) – (2.5) можно трактовать также как нелокальную задачу для системы гипер-
болических уравнений второго порядка с импульсными воздействиями и распределенными
параметрами [27 – 32]. В качестве параметров используются введенные дополнительные функ-
ции vs(t, x), s = 2,m, которые связаны с искомой функцией интегральными соотношениями
(2.5). С другой стороны, задачу (2.1) – (2.5) можно интерпретировать как обратную задачу [28] с
неизвестными функциями vs(t, x), s = 2,m, для определения которых заданы дополнительные
условия (2.5).
Для нахождения решения задачи (2.1) – (2.5) — системы m-вектор-функций
\bigl(
v1(t, x),
v2(t, x), . . . , vm(t, x)
\bigr)
— применяется итерационный процесс на основе следующего
алгоритма \scrX p.
Шаг 0. Полагая vs(t, x) = \psi s - 1(t),
\partial vs(t, x)
\partial t
= \.\psi s - 1(t), s = 2,m, в правой части систе-
мы (2.1) и в нелокальном условии (2.2), из задачи (2.1) – (2.4) находим v(0)1 (t, x) \in PC(\Omega , \{ tr\} kr=1,
Rn) и ее производные
\partial v
(0)
1 (t, x)
\partial x
\in PC(\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n),
\partial v
(0)
1 (t, x)
\partial t
\in PC(\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n).
Из интегральных соотношений (2.5) при v1(t, x) = v
(0)
1 (t, x),
\partial v1(t, x)
\partial t
=
\partial v
(0)
2 (t, x)
\partial t
опре-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1591
деляем v
(0)
2 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(0)
2 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = 1, затем
v
(0)
3 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(0)
3 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = 2, . . . , v
(0)
m (t, x) \in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(0)
m (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = m - 1.
Шаг 1. Полагая vs(t, x) = v
(0)
s (t, x),
\partial vs(t, x)
\partial t
=
\partial v
(0)
s (t, x)
\partial t
, s = 2,m, в правой час-
ти системы (2.1) и в нелокальном условии (2.2), из задачи (2.1) – (2.4) находим v
(1)
1 (t, x) \in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
и ее производные
\partial v
(1)
1 (t, x)
\partial x
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(1)
1 (t, x)
\partial t
\in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
. Из интегральных соотношений (2.5) при v1(t, x) = v
(1)
1 (t, x),
\partial v1(t, x)
\partial t
=
=
\partial v
(1)
1 (t, x)
\partial t
определяем v
(1)
2 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(1)
2 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = 1, затем v
(1)
3 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(1)
3 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для
s = 2, . . . , v
(1)
m (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(1)
m (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = m - 1.
И так далее.
Шаг p. Полагая vs(t, x) = v
(p - 1)
s (t, x),
\partial vs(t, x)
\partial t
=
\partial v
(p - 1)
s (t, x)
\partial t
, s = 2,m, в правой час-
ти системы (2.1) и в нелокальном условии (2.2), из задачи (2.1) – (2.4) находим v(p)(t, x) \in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
и ее производные
\partial v(p)(t, x)
\partial x
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v(p)(t, x)
\partial t
\in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
. Из интегральных соотношений (2.5) при v1(t, x) = v
(p)
1 (t, x),
\partial v1(t, x)
\partial t
=
=
\partial v
(p)
1 (t, x)
\partial t
определяем v
(p)
2 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(p)
2 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = 1, затем v
(p)
3 (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(p)
3 (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для
s = 2, . . . , v
(p)
m (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v
(p)
m (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
для s = m - 1,
p = 1, 2, . . . .
Основным моментом осуществимости предлагаемого алгоритма является разрешимость
нелокальной задачи с импульсными воздействиями для системы гиперболических уравнений
второго порядка (2.1) – (2.4) при фиксированных vs(t, x),
\partial vs(t, x)
\partial t
, s = 2,m.
Этому вопросу будет посвящен следующий пункт. Условия сходимости алгоритма будут
приведены в пункте 4.
3. Нелокальная задача с импульсными воздействиями для системы гиперболических
уравнений второго порядка. Рассмотрим нелокальную задачу с импульсными воздействиями
для системы гиперболических уравнений второго порядка
\partial 2v1
\partial x\partial t
= A1(t, x)
\partial v1
\partial x
+B1(t, x)
\partial v1
\partial t
+ C1(t, x)v1 + F (t, x), (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1592 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
Pm,0(x)
\partial v1(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Pm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
+Pm - 1,0(x)v1(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Sm,0(x)
\partial v1(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
+
+Sm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
+ Sm - 1,0(x)v1(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
= \Phi (x), x \in [0, \omega ], (3.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial v1(t, x)
\partial t
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial v1(t, x)
\partial t
= \varphi i(x), x \in [0, \omega ], i = 1, k, (3.3)
v1(t, 0) = \psi m(t), t \in [0, T ], (3.4)
где v1 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(v11, v12, . . . , v1n), функция F (t, x) \in PC(\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n), \Phi (x) \in C([0, \omega ], Rn),
0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tk < tk+1 = T.
Функция v1(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
, имеющая частные производные
\partial v1(t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v1(t, x)
\partial x
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial 2v1(t, x)
\partial x\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
называется решением нелокальной задачи с импульсными воздействиями для системы гипер-
болических уравнений (3.1) – (3.4), если она удовлетворяет системе (3.1) для всех (t, x) \in \Omega ,
кроме линий t = tr, r = 1, k, нелокальному условию (3.2), условиям импульсного воздей-
ствия (3.3) для всех x \in [0, \omega ] и краевому условию (3.4).
При отсутствии импульсных воздействий нелокальная задача (3.1), (3.2), (3.4) исследовалась
в работах [33 – 36]. Задача (3.1), (3.2), (3.4) с условиями импульсного воздействия вида
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial v1(t, x)
\partial x
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial v1(t, x)
\partial x
= Ur(x)
\partial u(tr + 0, x)
\partial x
+ \varphi r(x), x \in [0, \omega ], r = 1, k,
и их комбинациями с учетом импульсных воздействий в предыдущих линиях изучалась в
работах [24 – 26]. Нелокальная задача с условиями импульсного воздействия, заданными через
производную по t неизвестной функции, рассматривается впервые.
Для решения нелокальной задачи (3.1) – (3.4) используем методы и результаты работ
[24 – 26].
Вводятся дополнительные функциональные параметры как значения искомой функции на
линии t = 0 и линиях импульсного воздействия t = tr, r = 1, k, области \Omega . Исходная задача
путем замены переходит в эквивалентную задачу с функциональными параметрами. Свойства
решений переходят в свойства параметров.
Через v1,r(t, x) обозначим сужение функции v1(t, x) на \Omega r, r = 1, k + 1. Вводятся парамет-
ры \mu r(x) = v1,r(tr - 1, x), r = 1, k + 1, и задача (3.1) – (3.4) путем замены неизвестной функции
v1(t, x) = \widetilde vr(t, x) + \mu r(x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, сводится к следующей эквивалентной
задаче с параметрами:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1593
\partial 2\widetilde vr
\partial x\partial t
= A1(t, x)
\partial \widetilde vr
\partial x
+B1(t, x)
\partial \widetilde vr
\partial t
+ C1(t, x)\widetilde vr + F (t, x)+
+A1(t, x) \.\mu r(x) + C1(t, x)\mu r(x), (t, x) \in \Omega r, (3.5)
\widetilde vr(tr - 1, x) = 0, r = 1, k + 1, x \in [0, \omega ], (3.6)
\widetilde vr(t, 0) + \mu r(0) = \psi m(t), t \in [tr - 1, tr), r = 1, k + 1, (3.7)
Pm,0(x) \.\mu 1(x) + Sm,0(x) \.\mu k+1(x) + Pm - 1,0(x)\mu 1(x) + Sm - 1,0(x)\mu k+1(x)+
+Pm - 1,1(x)
\partial \widetilde v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Sm,0(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\partial \widetilde vk+1(t, x)
\partial x
+ Sm - 1,1(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\partial \widetilde vk+1(t, x)
\partial t
+
+Sm - 1,0(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x) = \Phi (x), x \in [0, \omega ], (3.8)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial \widetilde vr+1(t, x)
\partial t
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial t
= \varphi i(x), x \in [0, \omega ], r = 1, k. (3.9)
Из условий (3.6), (3.7) и согласования данных в точках (tr - 1, 0), r = 1, k + 1, получаем
\mu r(0) = \psi m(tr - 1), r = 1, k + 1. (3.10)
Решением задачи (3.5) – (3.9) является система пар
\bigl(
\mu (x), \widetilde v([t], x)\bigr) с элементами \mu (x) =
\bigl(
\mu 1(x),
\mu 2(x), . . . , \mu k+1(x)
\bigr) \prime
, \widetilde v([t], x) = \bigl( \widetilde v1(t, x), \widetilde v2(t, x), . . . , \widetilde vk+1(t, x)
\bigr) \prime
, где функции \widetilde vr(t, x) непре-
рывны на \Omega r, имеют непрерывные частные производные
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial x
,
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial t
,
\partial 2\widetilde vr(t, x)
\partial x\partial t
на \Omega r,
r = 1, k + 1, конечный левосторонний предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial x
, r = 1, k + 1, и при \mu r(x) =
= \mu \ast r(x) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (3.5) и условиям (3.6) – (3.9). От-
метим, что из существования предела \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial x
, r = 1, k + 1, следует существование
конечных левосторонних пределов \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 \widetilde vr(t, x), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial t
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0
\partial 2\widetilde vr(t, x)
\partial x\partial t
,
r = 1, k + 1.
Задачи (3.1) – (3.4) и (3.5) – (3.9) эквивалентны в том смысле, что если функция v1(t, x)
является решением задачи (3.1) – (3.4), то система пар
\bigl(
\mu (x), \widetilde v([t], x)\bigr) , где
\mu (x) =
\bigl(
\mu 1(x), \mu 2(x), . . . , \mu k+1(x)
\bigr) \prime
, \widetilde v([t], x) = \bigl( \widetilde v1(t, x), \widetilde v2(t, x), . . . , \widetilde vk+1(t, x)
\bigr) \prime
,
vr(t, x) = v1(t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
vk+1(t, x) = v1(T, x),
\mu r(x) = vr(tr - 1, x), \widetilde vr(t, x) = vr(t, x) - vr(tr - 1, x), r = 1, k + 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1594 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
будет решением задачи (3.5) – (3.9), и наоборот, если
\bigl(
\mu r(x), \widetilde vr(t, x)\bigr) , r = 1, k + 1, — решение
задачи (3.5) – (3.9), то функция v(t, x), определяемая равенствами
v1(t, x) = \mu r(x) + \widetilde vr(t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1,
v1(T, x) = \mu k+1(x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x), x \in [0, \omega ],
будет решением задачи (3.1) – (3.4).
В отличие от задачи (3.1) – (3.4) здесь появились начальные условия (3.6) как значения
неизвестной функции на линиях t = tr - 1, r = 1, k + 1. При фиксированных \mu r(x), r = 1, k + 1,
функции \widetilde vr(t, x), r = 1, k + 1, являются решениями задачи Гурса (3.5) – (3.7) на \Omega r.
Пусть Vr(t, x) =
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial x
, Wr(t, x) =
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial t
. Из условий (3.6), (3.7) следует, что
Vr(tr - 1, x) = 0, Wr(t, 0) = \.\psi 1(t), r = 1, k + 1.
Задача Гурса (3.5) – (3.7) эквивалентна системе трех интегральных уравнений
Vr(t, x) =
t\int
tr - 1
\Bigl[
A1(\tau , x)Vr(\tau , x) +B1(\tau , x)Wr(\tau , x) + C1(\tau , x)\widetilde vr(\tau , x) + F (\tau , x)
\Bigr]
d\tau +
+
t\int
tr - 1
\Bigl[
A1(\tau , x) \.\mu r(x) + C1(\tau , x)\mu r(x)
\Bigr]
d\tau , (3.11)
Wr(t, x) = \.\psi m(t) +
x\int
0
\Bigl[
A1(t, \xi )Vr(t, \xi ) +B1(t, \xi )Wr(t, \xi ) + C1(t, \xi )\widetilde vr(t, \xi ) + F (t, \xi )
\Bigr]
d\xi +
+
x\int
0
\Bigl[
A1(t, \xi ) \.\mu r(\xi ) + C1(t, \xi )\mu r(\xi )
\Bigr]
d\xi , (3.12)
\widetilde vr(t, x) = \psi m(t) - \psi m(0) +
t\int
tr - 1
Wr(\tau , x) d\tau . (3.13)
Переходя в правых частях (3.11), (3.12) к пределу при t \rightarrow tr - 0, находим \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 Vr(t, x),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0Wr(t, x), r = 1, k + 1, x \in [0, \omega ]. Подставляя их в (3.8), (3.9) соответственно, а затем
дифференцируя (3.9) по x, для неизвестных вектор-функций \mu r(x), r = 1, k + 1, получаем
систему k + 1 дифференциального уравнения
Pm,0(x) \.\mu 1(x) + Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)d\tau
\right] \.\mu k+1(x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1595
= - Pm - 1,0(x)\mu 1(x) -
\left[ Sm - 1,0(x) + Sm,0(x)
T\int
tk
C1(\tau , x)d\tau
\right] \mu k+1(x) -
- Pm - 1,1(x)W1(0, x) - Sm - 1,1(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
Wk+1(t, x) -
- Sm,0(x)
T\int
tk
\Bigl[
A1(\tau , x)Vk+1(\tau , x) +B1(\tau , x)Wk+1(\tau , x) + C1(\tau , x)\widetilde vk+1(\tau , x)
\Bigr]
d\tau -
- Sm - 1,0(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x) + \Phi (x) - Sm,0(x)
T\int
tk
F (\tau , x)d\tau , x \in [0, \omega ], (3.14)
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
A1(t, x) \.\mu r(x) +A(tr + 0, x) \.\mu r+1(x) =
= - C1(tr + 0, x)\mu r+1(x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
C1(t, x)\mu r(x) - B1(tr + 0, x)Wr+1(tr + 0, x)+
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\Bigl[
A1(t, x)Vr(t, x) +B1(t, x)Wr(t, x) + C1(t, x)\widetilde vr(t, x)\Bigr] +
+ \.\varphi r(x) - F (tr + 0, x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
F (t, x), x \in [0, \omega ], r = 1, k, (3.15)
где I — единичная матрица размерности n\times n.
Запишем систему уравнений (3.14), (3.15) в векторно-матричной форме
Q(x, k) \.\mu (x) = - E(x, k)\mu (x) - G(x, k,W, V, \widetilde v) - H(x, k), (3.16)
где
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрицы
Q(x, k) =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
Pm,0(x) 0 0 . . . 0
Sm,0(x)
\biggl[
I+
+
T\int
tk
A1(\tau , x)d\tau
\biggr]
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t1 - 0
A1(t, x) A1(t1 + 0, x) 0 . . . 0 0
0 - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t2 - 0
A1(t, x) A1(t2 + 0, x) . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk - 0
A1(t, x) A1(t2 + 0, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1596 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
E(x, k) =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
Pm - 1,0(x) 0 0 . . . 0
Sm - 1,0(x)+Sm,0(x)\times
\times
T\int
tk
C1(\tau , x)d\tau
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t1 - 0
C1(t, x) C1(t1 + 0, x) 0 . . . 0 0
0 - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t2 - 0
C1(t, x) C1(t2 + 0, x) . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk - 0
C1(t, x) C1(t2 + 0, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
,
n(k + 1)-векторы
G(x, k,W, V, \widetilde v) =
\left( Pm - 1,1(x)W1(0, x) + Sm - 1,1(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
Wk+1(t, x) +
+Sm - 1,0(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x)+
+Sm,0(x)
T\int
tk
\Bigl[
A1(\tau , x)Vk+1(\tau , x) +B1(\tau , x)Wk+1(\tau , x) + C1(\tau , x)\widetilde vk+1(\tau , x)
\Bigr]
d\tau ,
B1(t1 + 0, x)W2(t1 + 0, x) - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t1 - 0
\Bigl[
A1(t, x)V1(t, x) - B1(t, x)W1(t, x) + C1(t, x)\widetilde v1(t, x)\Bigr] ,
B1(t2 + 0, x)W3(t2 + 0, x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t2 - 0
\Bigl[
A1(t, x)V2(t, x) +B1(t, x)W2(t, x) + C1(t, x)\widetilde v2(t, x)\Bigr] ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1(tk + 0, x)Wk+1(ti + 0, x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk - 0
\Bigl[
A1(t, x)Vk(t, x) +B1(t, x)Wk(t, x) + C1(t, x)\widetilde vk(t, x)\Bigr]
\right) \prime
,
H(x, k) =
\left( - \Phi (x) + Sm,0(x)
T\int
tk
F (\tau , x)d\tau , - \varphi 1(x) + F (t1 + 0, x) - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t1 - 0
F (t, x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1597
- \varphi 2(x) + F (t2 + 0, x) - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t2 - 0
F (t, x), . . . , - \varphi k(x) + F (tk + 0, x) - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk - 0
F (t, x)
\right) \prime
.
Система (3.16) вместе с условием (3.10) является задачей Коши для системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенной относительно старшей
производной.
Если известны функции \mu r(x) и ее производные \.\mu r(x), r = 1, k + 1, то решая систему
интегральных уравнений (3.11) – (3.13), находим функции \widetilde vr(t, x), Vr(t, x), Wr(t, x) и, состав-
ляя систему функций (\mu r(x) + \widetilde vr(t, x)), получаем решение задачи (3.1) – (3.4). Если известны
функции \widetilde vr(t, x), Vr(t, x), Wr(t, x), то, решая задачу Коши (3.16), (3.10), находим \mu r(x) и ее
производные \.\mu r(x) и, снова составляя систему функций (\mu r(x) + \widetilde vr(t, x)), получаем решение
задачи (3.1) – (3.4).
Здесь неизвестными являются как функции \mu r(x), так и функции \widetilde vr(t, x). Поэтому приме-
няется итерационный метод и решение задачи (3.5) – (3.9) находится как пределы последова-
тельностей
\Bigl\{
\mu
(l)
r (x)
\Bigr\}
,
\Bigl\{ \widetilde v(l)r (t, x)
\Bigr\}
, определяемых по следующему алгоритму Yl .
Шаг 0. Предполагая в правой части (3.16) Vr(t, x) = 0, Wr(t, x) = \.\psi m(t), \widetilde vr(t, x) =
= \psi m(t) - \psi m(0) и считая, что матрица Q(x, k) обратима при всех x \in [0, \omega ], из задачи
Коши (3.16), (3.10) находим функции \.\mu
(0)
r (x) и \mu
(0)
r (x), x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1. Из инте-
гральных уравнений (3.11) – (3.13), где \mu r(x) = \mu
(0)
r (x), \.\mu r(x) = \.\mu
(0)
r (x), определяем функции
V
(0)
r (t, x), W
(0)
r (t, x), \widetilde v(0)r (t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1.
Шаг 1. Из задачи Коши (3.16), (3.10), где в правой части системы (3.16) Vr(t, x) = V
(0)
r (t, x),
Wr(t, x) = W
(0)
r (t, x), \widetilde vr(t, x) = \widetilde v(0)r (t, x), в силу обратимости Q(x, k) при x \in [0, \omega ] находим
функции \.\mu
(1)
r (x) и \mu
(1)
r (x), x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1. Из интегральных уравнений (3.11) – (3.13),
где \mu r(x) = \mu
(0)
r (x), \.\mu r(x) = \.\mu
(0)
r (x), определяем функции V
(1)
r (t, x), W
(1)
r (t, x), \widetilde v(1)r (t, x),
(t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1.
И так далее.
Шаг l. Из задачи Коши (3.16), (3.10), где в правой части системы (3.16) Vr(t, x) =
= V
(l - 1)
r (t, x), Wr(t, x) =W
(l - 1)
r (t, x), \widetilde vr(t, x) = \widetilde v(l - 1)
r (t, x), r = 1, k + 1, в силу обратимости
Q(x, k) при x \in [0, \omega ], находим функции \.\mu
(l)
r (x) и \mu
(l)
r (x), x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1. Из инте-
гральных уравнений (3.11) – (3.13), где \mu r(x) = \mu
(l)
r (x), \.\mu r(x) = \.\mu
(l)
r (x), определяем функции
V
(l)
r (t, x), W
(l)
r (t, x), \widetilde v(l)r (t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, l = 1, 2, . . . .
Применяемый метод делит на две части процесс нахождения неизвестных функций:
1) нахождение введенных функциональных параметров \mu r(x) из задачи Коши (3.16), (3.10);
2) нахождение неизвестной функции \widetilde vr(t, x) из задачи Гурса (3.5) – (3.7).
Пусть
\alpha 1(x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [tr - 1,tr)
\| A1(t, x)\| , h = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k+1
(tr - tr - 1),
\Phi r(x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
\| \varphi r(x)\| , \| \.\varphi r(x)\|
\Bigr)
, r = 1, k,
\| v1(\cdot , x)\| 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [tr - 1,tr)
\| v1(t, x)\| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1598 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
\Psi l = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\| \psi l(t)\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\| \.\psi l(t)\|
\Bigr)
, l = 1,m.
Условия реализуемости и сходимости предложенного алгоритма, а также существования и
единственности решения задачи (3.5) – (3.9) устанавливает следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Q(x, k) обратима для всех x \in [0, \omega ]
и имеют место неравенства:
a)
\bigm\| \bigm\| [Q(x, k)] - 1
\bigm\| \bigm\| \leq \gamma (x, k), \gamma (x, k) — положительная непрерывная по x \in [0, \omega ] функция;
b) q(x, k) = \gamma (x, k)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
(T - tk)\| Sm,0(x)\| , 1
\Bigr)
\alpha 1(x)
\Bigl(
e\alpha 1(x)h - 1 - \alpha 1(x)h
\Bigr)
\leq \chi < 1, где
\chi — постоянная.
Тогда задача с параметрами и импульсными воздействиями (3.5) – (3.9) имеет единствен-
ное решение — пару
\bigl(
\mu \ast (x), \widetilde v\ast ([t], x)\bigr) , элементы которой являются пределами последователь-
ных приближений
\Bigl\{
\mu
(l)
r (x)
\Bigr\}
,
\Bigl\{ \widetilde v(l)r (t, x)
\Bigr\}
, r = 1, k + 1, определяемых по алгоритму Yl.
Доказательство теоремы 3.1 проводится аналогично доказательству теоремы 1 из [24] по
схеме вышеприведенного алгоритма.
Таким образом, теорема 3.1 дает достаточные условия существования единственного ре-
шения задачи (3.5) – (3.9) в терминах исходных данных: коэффициентной матрицы A1(t, x),
граничных матриц Pm,0(x), Sm,0(x) и точек импульсного воздействия tr, r = 1, k.
Из эквивалентности задач (3.1) – (3.4) и (3.5) – (3.9) следует такая теорема.
Теорема 3.2. Пусть
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Q(x, k) обратима для всех x \in [0, \omega ]
и имеют место неравенства a), b) из теоремы 3.1.
Тогда нелокальная задача для системы гиперболических уравнений второго порядка с им-
пульсными воздействиями (3.1) – (3.4) имеет единственное решение v\ast 1(t, x), для которого
справедлива оценка
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
\| v\ast 1(\cdot , x)\| 1,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial v\ast 1(\cdot , x)\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial v\ast 1(\cdot , x)\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\biggr)
\leq
\leq K\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
\| F (\cdot , x)\| 1, \| \Phi (x)\| ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k
\Phi r(x),\Psi m
\Bigr)
, (3.17)
где K — положительная постоянная, не зависящая от F (t, x), \Phi (x), \varphi r(x), r = 1, k, \psi m(t) и
вычисляемая через коэффициенты системы и граничные матрицы.
Доказательство теоремы 3.2 проводится аналогично доказательству теоремы 2 из [25].
4. Условия сходимости алгоритма \bfscrX \bfitp и основные утверждения. Условия сходимости
алгоритма \scrX p, которые одновременно обеспечивают существование единственного решения
задачи (2.1) – (2.5), дает следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Q(x, k) обратима для всех x \in [0, \omega ]
и справедливы неравенства a), b) из теоремы 3.1.
Тогда нелокальная задача с импульсными воздействиями и распределенными параметра-
ми (2.1) – (2.5) имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда по теореме 3.2 нелокальная
задача с импульсными воздействиями (3.1) – (3.4) имеет единственное решение. Следуя алго-
ритму \scrX p, будем находить решение задачи (2.1) – (2.4). Из нулевого шага алгоритма находим
решение задачи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1599
\partial 2v1
\partial x\partial t
= A1(t, x)
\partial v1
\partial x
+B1(t, x)
\partial v1
\partial t
+ C1(t, x)v1 + f(t, x)+
+
m - 1\sum
s=2
\Bigl\{
As(t, x)\psi s - 1(t) +Bs(t, x) \.\psi s - 1(t)
\Bigr\}
+ C2(t, x)\psi m - 1(t), (4.1)
Pm,0(x)
\partial v1(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Pm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ Pm - 1,0(x)v1(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
+Sm,0(x)
\partial v1(t, x)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=T
+ Sm - 1,1(x)
\partial v1(t, x)
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=T
+ Sm - 1,0(x)v1(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
=
= \varphi 0(x) -
m\sum
i=2
\Bigl\{
Pm - i,0(x)\psi i - 1(0) + Sm - i,0(x)\psi i - 1(T )+
+Pm - i,1(x) \.\psi i - 1(0) + Sm - i,1(x) \.\psi i - 1(T )
\Bigr\}
, x \in [0, \omega ], (4.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr+0
\partial v1(t, x)
\partial t
- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
\partial v1(t, x)
\partial t
= \varphi i(x), x \in [0, \omega ], i = 1, k, (4.3)
v1(t, 0) = \psi m(t), t \in [0, T ]. (4.4)
По предположению задача (4.1) – (4.4) имеет единственное решение v(0)1 (t, x) и
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\| v(0)1 (\cdot , x)\| 1,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial v(0)1 (\cdot , x)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial v(0)1 (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
\leq
\leq K(1 +K1)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
\| f(\cdot , x)\| 1, \| \varphi 0(x)\| ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k
\Phi r(x), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,m
\Psi l
\biggr)
, (4.5)
где
K1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl[
m - 1\sum
s=2
\bigl\{
\| As\| 1 + \| Bs\| 1
\bigr\}
+ \| C2\| 1,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,\omega ]
m\sum
i=2
\Bigl\{
\| Pm - i,0(x)\| + \| Sm - i,0(x)\| + \| Pm - i,1(x)\| + \| Sm - i,1(x)\|
\Bigr\} \Biggr]
.
Тогда из интегральных соотношений (2.5) получаем
v
(0)
2 (t, x) = \psi m - 1(t) +
x\int
0
v
(0)
1 (t, \xi 1) d\xi 1,
\partial v
(0)
2 (t, x)
\partial t
= \.\psi m - 1(t) +
x\int
0
\partial v
(0)
1 (t, \xi 1)
\partial t
d\xi 1
при s = 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1600 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
v
(0)
3 (t, x) = \psi m - 2(t) +
x\int
0
v
(0)
2 (t, \xi 1) d\xi 1 =
= \psi m - 2(t) + \psi m - 1(t)x+
x\int
0
\xi 1\int
0
v
(0)
1 (t, \xi 2) d\xi 2 d\xi 1 =
= \psi m - 2(t) + \psi m - 1(t)x+
x\int
0
(x - \xi )v
(0)
1 (t, \xi ) d\xi ,
\partial v
(0)
3 (t, x)
\partial t
= \.\psi m - 2(t) +
x\int
0
\partial v
(0)
2 (t, \xi 1)
\partial t
d\xi 1 =
= \.\psi m - 2(t) + \.\psi m - 1(t)x+
x\int
0
\xi 1\int
0
\partial v
(0)
1 (t, \xi 2)
\partial t
d\xi 2 d\xi 1 =
= \.\psi m - 2(t) + \.\psi m - 1(t)x+
x\int
0
(x - \xi )
\partial v
(0)
1 (t, \xi )
\partial t
d\xi
при s = 2, далее
v
(0)
s+1(t, x) = \psi m - s(t) +
x\int
0
v(0)s (t, \xi 1) d\xi 1 =
= \psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
\xi 1\int
0
\xi 2\int
0
. . .
\xi s - 1\int
0
v
(0)
1 (t, \xi s) d\xi s d\xi s - 1 . . . d\xi 2 d\xi 1 =
= \psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )s - 1
(s - 1)!
v
(0)
1 (t, \xi ) d\xi ,
\partial v
(0)
s+1(t, x)
\partial t
= \.\psi m - s(t) +
x\int
0
\partial v
(0)
s (t, \xi 1)
\partial t
d\xi 1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1601
= \.\psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\.\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
\xi 1\int
0
\xi 2\int
0
. . .
\xi s - 1\int
0
\partial v
(0)
1 (t, \xi s)
\partial t
d\xi s d\xi s - 1 . . . d\xi 2 d\xi 1 =
= \.\psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\.\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )s - 1
(s - 1)!
\partial v
(0)
1 (t, \xi )
\partial t
d\xi
при s = 3,m - 1 и отсюда
v(0)m (t, x) = \psi 1(t) +
m - 2\sum
i=1
\psi 1+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )m - 2
(m - 2)!
v
(0)
1 (t, \xi ) d\xi ,
\partial v
(0)
m (t, x)
\partial t
= \.\psi 1(t) +
m - 2\sum
i=1
\.\psi 1+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )m - 2
(m - 2)!
\partial v
(0)
1 (t, \xi )
\partial t
d\xi
при s = m - 1.
Пусть известны v
(p - 1)
s+1 (t, x), s = 1,m - 1. Тогда функцию v
(p)
1 (t, x) находим, решая зада-
чу (2.1) – (2.4), где vs+1(t, x) = v
(p - 1)
s+1 (t, x), s = 1,m - 1, p = 1, 2, . . . .
При найденном v
(p
1 (t, x) следующие приближения по vs+1(t, x), s = 1,m - 1, определим
из соотношений (2.5):
v
(p)
2 (t, x) = \psi m - 1(t) +
x\int
0
v
(p)
1 (t, \xi 1) d\xi 1,
\partial v
(p)
2 (t, x)
\partial t
= \.\psi m - 1(t) +
x\int
0
\partial v
(p)
1 (t, \xi 1)
\partial t
d\xi 1
при s = 1 и
v
(p)
s+1(t, x) = \psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )s - 1
(s - 1)!
v
(p)
1 (t, \xi ) d\xi ,
\partial v
(p)
s+1(t, x)
\partial t
= \.\psi m - s(t) +
s - 1\sum
i=1
\.\psi m - s+i(t)
xi
i!
+
x\int
0
(x - \xi )s - 1
(s - 1)!
\partial v
(p)
1 (t, \xi )
\partial t
d\xi
при s = 2,m - 1. Составим разности
\Delta v
(p)
1 (t, x) = v
(p)
1 (t, x) - v
(p - 1)
1 (t, x),
\Delta v
(p)
2 (t, x) = v
(p)
2 (t, x) - v
(p - 1)
2 (t, x), . . . ,\Delta v(p)m (t, x) = v(p)m (t, x) - v(p - 1)
m (t, x)
и для них, использовав однозначную разрешимость задачи (3.1) – (3.4), установим оценки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1602 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
\leq K(1 +K1)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s=2,m
\bigm\| \bigm\| \Delta v(p)s (\cdot , x)
\bigm\| \bigm\|
1
, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s=2,m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)s (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
, (4.6)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p)2 (\cdot , x)
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)2 (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
\leq
\leq
x\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
d\xi , (4.7)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p)s (\cdot , x)
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)s (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
\leq
\leq
x\int
0
(x - \xi )s - 2
(s - 2)!
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
d\xi , (4.8)
s = 3,m, p = 1, 2, . . . .
Отсюда следует основное неравенство
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p+1)
1 (\cdot , x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
\leq
\leq K(1 +K1)
x\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
1, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s=3,m
(x - \xi )s - 2
(s - 2)!
\biggr)
\times
\times \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(p)1 (\cdot , \xi )
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Biggr)
d\xi , (4.9)
где x \in [0, \omega ].
Из (4.9) вытекает равномерная сходимость последовательностей
\bigl\{
v
(p)
1 (t, x)
\bigr\}
,
\biggl\{
\partial v
(p)
1 (t, x)
\partial t
\biggr\}
в пространстве PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
при p \rightarrow \infty . Тогда равномерная сходимость на \Omega после-
довательностей
\bigl\{
v
(p)
s (t, x)
\bigr\}
,
\biggl\{
\partial v
(p)
s (t, x)
\partial t
\biggr\}
, s = 2,m, следует из (4.7) и (4.8). При этом пре-
дельные функции v\ast 1(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v\ast 1(t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
, v\ast s(t, x) \in
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
,
\partial v\ast s(t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ tr\} kr=1, R
n
\bigr)
, s = 2,m, и система функций
\bigl\{
v\ast 1(t, x),
v\ast 2(t, x), . . . , v
\ast
m(t, x)
\bigr\}
является решением задачи (2.1) – (2.5).
Теорема 4.1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1603
Из теоремы 4.1 и эквивалентности задач (1.1) – (1.4) и (2.1) – (2.5) следуют такие утвер-
ждения.
Теорема 4.2. Пусть
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Q(x, k) обратима для всех x \in [0, \omega ]
и справедливы неравенства a), b) из теоремы 3.1.
Тогда нелокальная задача для системы дифференциальных уравнений в частных производ-
ных высокого порядка с импульсными воздействиями (1.1) – (1.4) имеет единственное решение.
Основным условием однозначной разрешимости исследуемой задачи является обратимость
матрицы Q(x, k) для всех x \in [0, \omega ]. Поскольку
\bigl(
n(k + 1)\times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Q(x, k) имеет
специальную блочно-ленточную структуру, то справедливы следующие леммы.
Лемма 4.1. Пусть матрицы A1(tr + 0, x) (или \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0A1(t, x)), r = 1, k, обратимы
для всех x \in [0, \omega ].
\bigl(
n(k + 1) \times n(k + 1)
\bigr)
-Матрица Q(x, k) при x \in [0, \omega ] обратима тогда и
только тогда, когда обратима (n\times n)-матрица
M(x, k) = Pm,0(x) + Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)]d\tau
\right] 1\prod
s=k
\bigl[
A1(ts + 0, x)
\bigr] - 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ts - 0
A1(t, x)
\left( или L(x, k) = Pm,0(x)
k\prod
s=1
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ts - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
A1(ts + 0, x)+
+ Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)]d\tau
\right] \right) .
Лемма 4.2. Если матрица M(x, k) (или L(x, k)) обратима для всех x \in [0, \omega ], то
[Q(x, k)] - 1 = \{ gi,j(x)\} , i, j = 1, k + 1, где
g1,1(x) =M - 1(x, k),
g1,l(x) = - M - 1(x, k)Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)d\tau
\right] \times
\times
l\prod
s=k
\bigl[
A1(ts + 0, x)
\bigr] - 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ts - 0
A1(t, x)[A1(tl - 1 + 0, x)] - 1, 1 < l \leq k,
g1,k+1(x) = - M - 1(x, k)Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)]d\tau
\right] [A1(tk + 0, x)] - 1,
gr,l(x) =
\bigl[
A1(tr - 1 + 0, x)
\bigr] - 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 1 - 0
A1(t, x)gr - 1,l(x), l \not = r,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1604 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
gr,r(x) =
\bigl[
A1(tr - 1 + 0, x)
\bigr] - 1\times
\times \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 1 - 0
A1(t, x)gr - 1,r(x) +
\bigl[
A1(tr - 1 + 0, x)
\bigr] - 1
, r = 2, 3, . . . , k + 1,
\Biggl(
или gk+1,1(x) = L - 1(x, k),
gk+1,2(x) = L - 1(x, k)Pm,0(x)
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t1 - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
,
gk+1,l(x) = L - 1(x, k)Pm,0(x)
l - 2\prod
s=1
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ts - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
\times
\times A1(ts + 0, x)
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl - 1 - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
, 2 < l \leq k + 1,
gr,l(x) =
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
A1(tr + 0, x)gr+1,l(x), l \not = r + 1,
gr,r+1(x) =
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
\times
\times A1(tr + 0, x)gr+1,r+1(x) -
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
A1(t, x)
\Bigr] - 1
, r = 1, 2, . . . , k
\Biggr)
.
Из леммы 4.1 следует, что достаточно проверить обратимость матриц A1(tr + 0, x)
\bigl(
или
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0A1(t, x)
\bigr)
, r = 1, k, размерности которых совпадают с размерностью исходной сис-
темы. Если матрицы A1(tr + 0, x)
\bigl(
или \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0A1(t, x)
\bigr)
, r = 1, k, обратимы, то можно
найти их обратные и получить оценку. Как видно из рекуррентных формул леммы 4.2, ве-
личина \gamma (x, k) вычисляется через обратные матриц A1(tr + 0, x), r = 1, k, нормы матриц
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0A1(t, x), r = 1, k, Pm,0(x), Sm,0(x),
\biggl[
I +
\int T
tk
A1(\tau , x)d\tau
\biggr] \biggl(
или через обратные мат-
риц \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0A1(t, x), r = 1, k, и нормы матриц A1(tr + 0, x), r = 1, k, Pm,0(x), Sm,0(x),\biggl[
I +
\int T
tk
A1(\tau , x)d\tau
\biggr] \biggr)
.
Если матрица A1(t, x) является непрерывной на \Omega , достаточно предположить обратимость
матрицы A1(t, x) на линиях t = tr, r = 1, k, для всех x \in [0, \omega ]. В этом случае матрицы
M(x, k) и L(x, k) будут иметь один и тот же вид
M(x, k) = L(x, k) = Pm,0(x) + Sm,0(x)
\left[ I + T\int
tk
A1(\tau , x)]d\tau
\right] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1605
Тогда рекуррентные формулы в лемме 4.2 позволят нам определить блочные элементы матрицы\bigl[
Q(x, k)
\bigr] - 1
сверху вниз или снизу вверх по строкам.
Таким образом, теорема 4.2 дает достаточные условия существования единственного ре-
шения задачи (1.1) – (1.4) в терминах исходных данных: коэффициентной матрицы A1(t, x),
граничных матриц Sm,0(x), Pm,0(x) и количества линий возможных разрывов t = tr, r = 1, k.
Литература
1. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производны-
ми. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 c.
2. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 415 c.
3. Kiguradze T., Lakshmikantham V. On Dirichlet problem in a characteristic restangle for higher order linear hyperbolic
equations // Nonlinear Anal. – 2002. – 50, № 8. – P. 1153 – 1178.
4. Kiguradze T. I., Kusano T. Well-posedness of initial-boundary value problems for higher-order linear hyperbolic
equations with two independent variables // Different. Equat. – 2003. – 39, № 4. – P. 553 – 563.
5. Kiguradze T., Kusano T. On ill-posed initial-boundary value problems for higher order linear hyperbolic equations
with two independent variables // Different. Equat. – 2003. – 39, № 10. – P. 1379 – 1394.
6. Kiguradze I., Kiguradze T. On solvability of boundary value problems for higher order nonlinear hyperbolic
equations // Nonlinear Anal. – 2008. – 69. – P. 1914 – 1933.
7. Kiguradze T. The Valle-Poussin problem for higher order nonlinear hyperbolic equations // Comput. and Math. Appl. –
2010. – 59. – P. 994 – 1002.
8. Kiguradze I. T., Kiguradze T. I. Analog of the first Fredholm theorem for higher-order nonlinear differential equations //
Different. Equat. – 2017. – 53, № 8. – P. 996 – 1004.
9. Нахушев А. М. Задачи со смещением для дифференциальных уравнений в частных производных. – М.: Наука,
2006. – 200 с.
10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. – Киев:
Вища шк., 1987. – 287 с.
11. Rogovchenko S. P. Periodic solutions for hyperbolic impulsive systems (in Russian). – Kiev, 1988. – 20 p. – (Preprint /
Ukr. Acad. Sci. Inst. Math.; № 88.3).
12. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Stability of periodic solutions of differential equations with impulse effect on
surfaces // Ukr. Math. J. – 1989. – 41, № 12. – P. 1596 – 1601.
13. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. – New York etc.: Halsted
Press, 1989. – 345 p.
14. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 434 p.
15. Bainov D. D., Kamont Z., Minchev E. Monotone iterative methods for impulsive hyperbolic differential functional
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 1996. – 70. – P. 329 – 347.
16. Perestyuk N. A., Tkach A. B. Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with pulse influense // Ukr. Math.
J. – 1997. – 49, № 4. – P. 601 – 605.
17. Bainov D. D., Minchev E., Myshkis A. Periodic boundary value problems for impulsive hyperbolic systems // Commun.
Appl. Anal. – 1997. – 1, № 4. – P. 1 – 14.
18. Liu X., Zhang S. H. A cell population model described by impulsive PDE-s, existence and numerical approximation //
Comput. and Math. Appl. – 1998. – 36, № 8. – P. 1 – 11.
19. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial differential equations with
pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2. – P. 278 – 288.
20. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial integro-differential
equations with pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2005. – 8, № 1. – P. 123 – 131.
21. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. Impulsive differential equations and inclusions. – New York; Cairo: Hindawi
Publ. Corp., 2006. – 366 p.
22. Akhmet M. U. Principles of discontinuous dynamical systems. – New York: Springer, 2010.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1606 А. Т. АСАНОВА, А. Б. ТЛЕУЛЕСОВА
23. Akhmet M., Fen M. O. Replication of chaos in neural networks, economics and physics // Nonlinear Phys. Sci. –
Beijing: Higher Education Press, 2016.
24. Асанова А. Т. О нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений с импульсными воздей-
ствиями // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. – C. 315 – 328.
25. Асанова А. Т. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений
с импульсными воздействиями // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 3. – С. 291 – 303.
26. Assanova A. T. On the solvability of non-local boundary value problem for the systems of impulsive hyperbolic
equations with mixed derivatives // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. – 2016. – 5, № 2. – P. 153 – 165.
27. Ахмедов К. Т., Ахиев С. С. Необходимое условие оптимальности для некоторых задач теории оптимального
управления // Докл. АН АзССР. – 1972. – 28, № 5. – С. 12 – 15.
28. Новоженов М. М., Сумин В. И., Сумин М. И. Методы оптимального управления системами математической
физики. – Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1986.
29. Денисов А. М., Лукшин А. В. Математические модели однокомпонентной динамики сорбции. – М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1989.
30. Бокмельдер Е. П., Дыхта В. А., Москаленко А. И., Овсянникова Н. А. Условия экстремума и конструктивные
методы решения в задачах оптимизации гиперболических уравнений. – Новосибирск: Наука, 1993.
31. Васильев О. В. Лекции по методам оптимизации. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994.
32. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Изд-во Факториал Пресс, 2002. – 824 с.
33. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость краевой задачи с данными на характеристиках
для систем гиперболических уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2002. – 42, № 11. –
C. 1673 – 1685.
34. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем гипербо-
лических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 10. – C. 1343 – 1354.
35. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Корректная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем гипербо-
лических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 3. – C. 337 – 346.
36. Джумабаев Д. С., Асанова А. Т. Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи
для систем гиперболических уравнений // Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 7 – 11.
37. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral condition for
the system of hyperbolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2013. – 402, № 1. – P. 167 – 178.
Получено 13.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-712 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/68ee0f390310d56e948f45db0d5a2768.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7122020-03-28T18:24:08Z Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions Нелокальная задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка с импульсными воздействиями Нелокальна задача для системи диференціальних рівнянь в часткових похідних високого порядку з імпульсними впливами Assanova, A. T. Tleulessova, A. B. Асанова, Анар Турмаганбеткызы Тлеулесова, Агила Балтабаевна Асанова, А. Т. Тлеулесова, А. Б. We consider a nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions. By introducing new unknown functions, the analyzed problem is reduced to an equivalent problem formed by a nonlocal problem for impulsive system of hyperbolic equations of the second order and integral relations. We propose an algorithm for finding the solutions of the equivalent problem based on the solution of a nonlocal problem for a system of hyperbolic equations of the second order with pulsed action for fixed values of the introduced additional functions, which are then determined from the integral relations in terms of the obtained solution. Sufficient conditions for the existence of a unique solution to the nonlocal problem for an impulsive system of hyperbolic equations of the second order are obtained by method of introduction functional parameters. The algorithms for finding its solutions are constructed. Conditions for the unique solvability of a nonlocal problem for the system of partial differential equations of higher order with pulsed actions are established in terms of the coefficients of the system and boundary matrices. Рассматривается нелокальная задача для системы дифференциальных уравнений высокого порядка с импульсными воздействиями. Путем введения новых неизвестных функций рассматриваемая задача сводится к эквивалентной задаче, состоящей из нелокальной задачи с импульсными воздействиями для системы гиперболических уравнений второго порядка и интегральных соотношений. Предложен алгоритм нахождения решений эквивалентной задачи, основанный на решении нелокальной задачи с импульсными воздействиями для системы гиперболических уравнений второго порядка при фиксированных значениях введенных дополнительных функций, которые затем определяются из интегральных соотношений через это найденное решение. На основе метода введения функциональных параметров получены достаточные условия существования единственного решения нелокальной задачи с импульсными воздействиями для системы гиперболических уравнений второго порядка и построены алгоритмы нахождения его решений. Установлены условия&nbsp; однозначной разрешимости нелокальной задачи для системы дифференциальных уравнений высокого порядка с импульсными воздействиями в терминах коэффициентов системы и граничных матриц. Розглядається нелокальна задача для системи диференціальних рівнянь високого порядку з імпульсним впливом. Шляхом уведення нових невідомих функцій розглядувана задача зводиться до еквівалентної задачі, що складається з нелокальної задачі з імпульсним впливом для системи гіперболічних рівнянь другого порядку й інтегральних співвідношень. Запропоновано алгоритм знаходження розв'язків еквівалентної задачі, який ґрунтується на розв'язанні нелокальної задачі з імпульсним впливом для системи гіперболічних рівнянь другого порядку при фіксованих значеннях уведених додаткових функцій, які потім визначаються з інтегральних співвідношень через цей знайдений розв'язок. На основі методу введення функціональних параметрів отриманодостатні умови існування єдиного розв'язку нелокальної задачі з імпульсним впливом для системи гіперболічних рівнянь другого порядку та побудовано алгоритми знаходження його розв'язків. Встановлено умови однозначної розв'язності нелокальної задачі для системи диференціальних рівнянь високого порядку з імпульсним впливом у термінах коефіцієнтів системи і граничних матриць. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/712 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 12 (2019); 1587-1606 Український математичний журнал; Том 71 № 12 (2019); 1587-1606 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/712/1521 Copyright (c) 2019 A. T. Assanova, A. B. Tleulessova |
| spellingShingle | Assanova, A. T. Tleulessova, A. B. Асанова, Анар Турмаганбеткызы Тлеулесова, Агила Балтабаевна Асанова, А. Т. Тлеулесова, А. Б. Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title | Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title_alt | Нелокальная задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка с импульсными воздействиями Нелокальна задача для системи диференціальних рівнянь в часткових похідних високого порядку з імпульсними впливами |
| title_full | Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title_fullStr | Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title_full_unstemmed | Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title_short | Nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| title_sort | nonlocal problem for а system of partial differential equations of higher order with pulsed actions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/712 |
| work_keys_str_mv | AT assanovaat nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT tleulessovaab nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT asanovaanarturmaganbetkyzy nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT tleulesovaagilabaltabaevna nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT asanovaat nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT tleulesovaab nonlocalproblemforasystemofpartialdifferentialequationsofhigherorderwithpulsedactions AT assanovaat nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT tleulessovaab nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaanarturmaganbetkyzy nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT tleulesovaagilabaltabaevna nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT tleulesovaab nelokalʹnaâzadačadlâsistemydifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvysokogoporâdkasimpulʹsnymivozdejstviâmi AT assanovaat nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami AT tleulessovaab nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami AT asanovaanarturmaganbetkyzy nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami AT tleulesovaagilabaltabaevna nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami AT asanovaat nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami AT tleulesovaab nelokalʹnazadačadlâsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvčastkovihpohídnihvisokogoporâdkuzímpulʹsnimivplivami |