Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives
UDC 517.5 For the best approximations of $e_{n-1}(f)$ functions in $C^1_{2\pi}$ by trigonometric polynomials, Zhuk proved the exact Jackson inequality $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)$. In this paper, we prove the following version of Jackson'...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7124 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512610860924928 |
|---|---|
| author | Babich, Yu. P. Mikhailova, T. F. Бабич, Ю. П. Михайлова, Т. Ф. |
| author_facet | Babich, Yu. P. Mikhailova, T. F. Бабич, Ю. П. Михайлова, Т. Ф. |
| author_sort | Babich, Yu. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.5
For the best approximations of $e_{n-1}(f)$ functions in $C^1_{2\pi}$ by trigonometric polynomials, Zhuk proved the exact Jackson inequality $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)$. In this paper, we prove the following version of Jackson's exact inequality: $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\left(\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{2n}\right)+\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)\right)$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7124 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7124
УДК 517.5
Ю. П. Бабич, Т. Ф. Михайлова (Укр. держ. ун-т науки i технологiй, Днiпро)
ТОЧНI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ В \bfitC \bftwo \bfitpi
У ТЕРМIНАХ ЛIНIЙНИХ КОМБIНАЦIЙ
МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI ЇХНIХ ПОХIДНИХ
For the best approximations of en - 1(f) functions in C1
2\pi by trigonometric polynomials, Zhuk proved the exact Jackson
inequality en - 1(f) \leq \pi
4n
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr)
. In this paper, we prove the following version of Jackson’s exact inequality:
en - 1(f) \leq
\pi
4n
\biggl(
1
2
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
2n
\Bigr)
+
1
2
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) \biggr)
.
Для найкращих наближень en - 1(f) функцiй iз C1
2\pi тригонометричними полiномами В. В. Жук довiв точну не-
рiвнiсть Джексона en - 1(f) \leq \pi
4n
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr)
. У данiй роботi доведено такий варiант точної нерiвностi Джексона:
en - 1(f) \leq
\pi
4n
\biggl(
1
2
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
2n
\Bigr)
+
1
2
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) \biggr)
.
Нехай C[ - \pi , \pi ] — простiр дiйснозначних неперервних 2\pi -перiодичних функцiй з нормою
\| f\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(x)| ;x \in R1\} ,
en - 1(f) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ ck\}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
n - 1\sum
k= - (n - 1)
cke
ikx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ; c - k = ck
\right\}
— найкраще наближення f пiдпростором тригонометричних полiномiв \{ Tn - 1\} степеня не ви-
щого за n - 1, n \in \BbbN ; \omega (f, h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| \Delta tf\| ; | t| \leq h\} , \Delta tf(x) = f
\biggl(
x+
t
2
\biggr)
- f
\biggl(
x - t
2
\biggr)
—
модуль неперервностi f .
Для оцiнювання зверху величини en - 1(f) у термiнах значень модуля неперервностi f вико-
ристовується нерiвнiсть Джексона – Корнєйчука [1, 2] (§ 9.2) en - 1(f) \leq \omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
, яка для всiх
n \in \BbbN є непокращуваною; точнiше кажучи, для всiх n \in \BbbN
1 - 1
2n
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C[ - \pi ,\pi ]
f \not =const
en - 1(f)
\omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr) \leq 1.
У роботi [3] доведено такий варiант оцiнок зверху en - 1(f) у термiнах лiнiйної комбiнацiї двох
значень модуля неперервностi:
1 - 1
2n
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C[ - \pi ,\pi ]
f \not =const
en - 1(f)
1
2
\Bigl(
\omega
\Bigl(
f,
\pi
2n
\Bigr)
+ \omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr) \Bigr) \leq 1.
Для неперервно диференцiйовних функцiй f , f \in C1[ - \pi , \pi ], в [4] доведено, що для всiх n
c\bigcirc Ю. П. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4 569
570 Ю. П. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C[ - \pi ,\pi ]
f \not =const
en - 1(f)
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) =
\pi
4n
. (1)
Подальшi результати для функцiй f з Cr[ - \pi , \pi ], r \in \BbbN , див. у [4, 5].
Ми доведемо аналог рiвностi (1) для лiнiйної комбiнацiї двох значень \omega (f \prime , h).
Теорема. Для всiх n \in \BbbN справджується рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C[ - \pi ,\pi ]
f \not =const
en - 1(f)
1
2
\Bigl(
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
2n
\Bigr)
+ \omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) \Bigr) =
\pi
4n
. (2)
Спочатку доведемо таку лему.
Лема. Нехай \scrL — лiнiйний оператор згортки з парним ядром K(t):
\scrL (f, x) =
\pi \int
- \pi
K(t)f(x+ t)dt, K( - t) = K(t),
\pi \int
- \pi
K(t)dt = 1.
Тодi для f \in C1[ - \pi , \pi ] виконується нерiвнiсть
en - 1(f - \scrL (f)) \leq
\pi \int
0
\omega (f \prime , t)| K(t)| \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
t;
\pi
n
\Bigr)
dt. (3)
Доведення. Iз властивостей ядра випливає, що
f(x) - \scrL (f, x) =
\pi \int
0
K(t)( - \Delta 2
t f(x))dt.
Для оцiнювання найкращого наближення використаємо спiввiдношення двоїстостi [2] (§ 2.5)
en - 1(f) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \langle f, g\rangle ; g \in Hn
L\} ,
\langle f, g\rangle :=
\pi \int
- \pi
f(x)g(x)dx,
Hn
L =
\left\{ g : \| g\| 1 :=
\pi \int
- \pi
| g(x)| dx = 1; g\bot \{ Tn - 1\}
\right\} .
Нехай g1 — перiодична первiсна функцiї g з Hn
L . Тодi
en - 1(f - \scrL (f)) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in H1
L
\pi \int
0
K(t)\langle \Delta 2
t f, g\rangle dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in H1
L
\pi \int
0
K(t)\langle \Delta tf
\prime ,\Delta tg1\rangle dt \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ТОЧНI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 571
\leq
\pi \int
0
| K(t)| \omega (f \prime , t) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Hn
L
\omega (g1, t)1dt,
де \omega (g1, t)1 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| \Delta yg1\| 1; | y| \leq t\} . Оскiльки g1\bot \{ Tn - 1\} , то з нерiвностi Фавара [2] (§ 5.3)
випливає, що \| \Delta tg1\| 1 \leq 2\| g1\| 1 \leq 2
\pi
2n
\| g\| 1 =
\pi
n
. Окрiм того, g1 задовольняє умову Лiпшиця
в L1 : \| \Delta 1g1\| 1 \leq \| g\prime 1\| 1| t| = | t| . Звiдси випливає (3).
Лему доведено.
Доведення теореми. За допомогою доведеної леми оцiнимо величину en - 1(f - Sh(f)), де
Sh(f, x) =
1
h
\int h
2
- h
2
f(x+ t)dt — середнє Стєклова f iз кроком h > 0. Якщо h \leq 2\pi
n
, то
en - 1(f - Sh(f)) \leq
1
h
h
2\int
0
\omega (f \prime , t)tdt \leq h
8
\omega
\biggl(
f \prime ,
h
2
\biggr)
.
Далi, за теоремою Фавара [2] (§ 5.3)
en - 1(Shf) \leq
\pi 2
8n2
\omega (f \prime , h)
h
.
Тому при h \in
\biggl(
0,
2\pi
n
\biggr]
en - 1(f) \leq en - 1(f - Shf) + en - 1(Shf) \leq
h
8
\biggl(
\omega
\biggl(
f \prime ,
h
2
\biggr)
+
\Bigl( \pi
nh
\Bigr) 2
\omega (f \prime , h)
\biggr)
. (4)
У випадку h =
\pi
n
отримуємо оцiнку
en - 1(f) \leq
\pi
8n
\Bigl(
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
2n
\Bigr)
+ \omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) \Bigr)
. (5)
Iз (1) випливає, що сталу
\pi
8n
у (5) зменшити не можна.
Теорему доведено.
Наведемо кiлька зауважень.
1. Спiввiдношення (1) справедливе i в просторi L1[ - \pi , \pi ] [4]. Доведенi тут спiввiдношення
(2), (3) також виконуються i в L1[ - \pi , \pi ].
2. Покладемо в (4) h =
\pi
n(2k + 1)
, k = 0, 1, 2, . . .. Тодi
en - 1(f) \leq
\pi
8n(2k + 1)
\biggl(
\omega
\biggl(
f \prime ,
\pi
2n(2k + 1)
\biggr)
+ (2k + 1)2\omega
\biggl(
f \prime ,
\pi
n(2k + 1)
\biggr) \biggr)
.
Сталу
\pi
8n(2k + 1)
у правiй частинi зменшити не можна. Це випливає з вiдомого результату [6]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C[ - \pi ,\pi ]
f \not =const
en - 1(f)
\omega
\biggl(
f \prime ,
\pi
n(2k + 1)
\biggr) =
\pi
8n(2k + 1)
\bigl(
1 + (2k + 1)2
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
572 Ю. П. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
3. При доведеннi теореми мы використали оператор Sh усереднення за Стєкловим. Роз-
глянемо тепер для промiжного наближення оператор S2
h усереднення за Стєкловим другого
порядку:
S2
h(f, x) =
h\int
- h
h - | t|
h2
f(x+ t)dt.
При h \leq \pi
n
використаємо лему:
en - 1(f - S2
hf) \leq
h\int
0
h - t
h2
\omega (f \prime , t)tdt \leq \omega
\biggl(
f \prime ,
h
2
\biggr) h
2\int
0
h - t
h2
tdt+ \omega (f \prime , h)
h\int
h
2
h - t
h2
tdt =
=
h
12
\omega
\biggl(
f \prime ,
h
2
\biggr)
+
h
12
\omega (f \prime , h).
Далi, за теоремою Фавара
en - 1(S
2
hf) \leq
\pi 3
24n3
\| \Delta 2
hf
\prime \|
h2
\leq \pi 3
12n3
\omega (f \prime , h)
h2
.
В результатi для довiльного h \in
\Bigl(
0,
\pi
n
\Bigr]
отримуємо аналогiчну (4) оцiнку
en - 1(f) \leq
h
12
\biggl(
\omega
\biggl(
f \prime ,
h
2
\biggr)
+
\biggl(
1 +
\Bigl( \pi
nh
\Bigr) 3
\biggr)
\omega (f \prime , h)
\biggr)
.
Зокрема, при h =
\pi
n
en - 1(f) \leq
\pi
12n
\Bigl(
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
2n
\Bigr)
+ 2\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr) \Bigr)
. (6)
Сталу
\pi
12n
зменшити не можна, оскiльки з (6) випливає точна нерiвнiсть
en - 1(f) \leq
\pi
4n
\omega
\Bigl(
f \prime ,
\pi
n
\Bigr)
.
Лiтература
1. Н. П. Корнейчук, Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непре-
рывных периодических функций, Докл. АН СССР, 145, 514 – 515 (1962).
2. Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Наука, Москва (1976).
3. С. А. Пичугов, Вогнутые оболочки модулей непрерывности, Укр. мат. журн., 71, № 5, 716 – 720 (2019).
4. В. В. Жук, Некоторые точные неравенства между равномерными приближениями периодических функций,
Докл. АН СССР, 201, 263 – 266 (1967).
5. А. А. Лигун, О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций, Мат. заметки,
14, № 1, 21 – 30 (1973).
6. О. Л. Виноградов, В. В. Жук, Точные неравенства, связанные с оценками приближений периодических функций
посредством модулей непрерывности нечетных производных с различным шагом, Проблемы мат. анализа, вып.
19, 69 – 88 (1999).
Одержано 22.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7124 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:32Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0d/065e1899fed3804929f0b68430bbe80d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71242022-07-06T16:22:31Z Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ С2π В ТЕРМИНАХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ИХ ПРОИЗВОДНЫХ. Точні оцінки найкращих наближень гладких функцій в $C_{2\pi}$ у термінах лінійних комбінацій модулів неперервності їхніх похідних Babich, Yu. P. Mikhailova, T. F. Бабич, Ю. П. Михайлова, Т. Ф. тригонометричний поліном, модуль неперервності modules of the non-procurrency trigonometric polynomial UDC 517.5 For the best approximations of $e_{n-1}(f)$ functions in $C^1_{2\pi}$ by trigonometric polynomials, Zhuk proved the exact Jackson inequality $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)$. In this paper, we prove the following version of Jackson's exact inequality: $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\left(\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{2n}\right)+\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)\right)$. УДК 517.5 Для найкращих наближень $e_{n-1}(f)$ функцiй iз $C^1_{2\pi}$ тригонометричними полiномами В. В. Жук довiв точну нерiвнiсть Джексона $e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)$. У данiй роботi доведено такий варiант точної нерiвностi Джексона:$e_{n-1}(f)\leqslant \dfrac{\pi}{4n}\left(\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{2n}\right)+\dfrac{1}{2}\omega\left(f',\dfrac{\pi}{n}\right)\right)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7124 10.37863/umzh.v74i4.7124 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 569 - 572 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 569 - 572 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7124/9226 Copyright (c) 2022 Юрій Бабич |
| spellingShingle | Babich, Yu. P. Mikhailova, T. F. Бабич, Ю. П. Михайлова, Т. Ф. Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title | Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title_alt | ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ С2π В ТЕРМИНАХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ИХ ПРОИЗВОДНЫХ. Точні оцінки найкращих наближень гладких функцій в $C_{2\pi}$ у термінах лінійних комбінацій модулів неперервності їхніх похідних |
| title_full | Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title_fullStr | Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title_full_unstemmed | Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title_short | Fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $C_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| title_sort | fine-grained evaluations of the best estimates for smooth functions in $c_{2\pi}$ in terms of linear combinations of modules of continuity of their derivatives |
| topic_facet | тригонометричний поліном модуль неперервності modules of the non-procurrency trigonometric polynomial |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7124 |
| work_keys_str_mv | AT babichyup finegrainedevaluationsofthebestestimatesforsmoothfunctionsinc2piintermsoflinearcombinationsofmodulesofcontinuityoftheirderivatives AT mikhailovatf finegrainedevaluationsofthebestestimatesforsmoothfunctionsinc2piintermsoflinearcombinationsofmodulesofcontinuityoftheirderivatives AT babičûp finegrainedevaluationsofthebestestimatesforsmoothfunctionsinc2piintermsoflinearcombinationsofmodulesofcontinuityoftheirderivatives AT mihajlovatf finegrainedevaluationsofthebestestimatesforsmoothfunctionsinc2piintermsoflinearcombinationsofmodulesofcontinuityoftheirderivatives AT babichyup točnyeocenkinailučšihpribliženijgladkihfunkcijs2pvterminahlinejnyhkombinacijmodulejnepreryvnostiihproizvodnyh AT mikhailovatf točnyeocenkinailučšihpribliženijgladkihfunkcijs2pvterminahlinejnyhkombinacijmodulejnepreryvnostiihproizvodnyh AT babičûp točnyeocenkinailučšihpribliženijgladkihfunkcijs2pvterminahlinejnyhkombinacijmodulejnepreryvnostiihproizvodnyh AT mihajlovatf točnyeocenkinailučšihpribliženijgladkihfunkcijs2pvterminahlinejnyhkombinacijmodulejnepreryvnostiihproizvodnyh AT babichyup točníocínkinajkraŝihnabliženʹgladkihfunkcíjvc2piutermínahlíníjnihkombínacíjmodulívneperervnostííhníhpohídnih AT mikhailovatf točníocínkinajkraŝihnabliženʹgladkihfunkcíjvc2piutermínahlíníjnihkombínacíjmodulívneperervnostííhníhpohídnih AT babičûp točníocínkinajkraŝihnabliženʹgladkihfunkcíjvc2piutermínahlíníjnihkombínacíjmodulívneperervnostííhníhpohídnih AT mihajlovatf točníocínkinajkraŝihnabliženʹgladkihfunkcíjvc2piutermínahlíníjnihkombínacíjmodulívneperervnostííhníhpohídnih |