Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon
UDC 517.9 Modern definitions and properties of special orbits-functions of simple Lie algebras are systematized. Models of carbon modifications related to simple Lie algebras and Coxeter groups are proposed.  
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7130 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512613761286144 |
|---|---|
| author | Nesterenko, M. O. Нестеренко, М. O. |
| author_facet | Nesterenko, M. O. Нестеренко, М. O. |
| author_sort | Nesterenko, M. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9
Modern definitions and properties of special orbits-functions of simple Lie algebras are systematized. Models of carbon modifications related to simple Lie algebras and Coxeter groups are proposed.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.7130 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.7130
УДК 517.9
М. О. Нестеренко (Iн-т математики НАН України, Київ)
СПЕЦIАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIЙНI ФУНКЦIЇ НА ҐРАТКАХ
ПРОСТИХ АЛГЕБР ЛI ТА АЛОТРОПНI МОДИФIКАЦIЇ КАРБОНУ
Modern definitions and properties of special orbits-functions of simple Lie algebras are systematized. Models of carbon
modifications related to simple Lie algebras and Coxeter groups are proposed.
Систематизовано означення та властивостi спецiальних орбiт-функцiй простих алгебр Лi. Запропоновано моделi
модифiкацiй карбону, що пов’язанi з простими алгебрами Лi та групами Коксетера.
1. Вступ. Вже тривалий час спостерiгається iнтенсивне зростання кiлькостi багатовимiрних
даних та необхiднiсть їх обробки i аналiзу. Крiм цього, у задачах сучасної математики та
фiзики все частiше виникає потреба використовувати неортогональнi системи координат, ґратки
та сiтки (наприклад, ґратки зi стiльниковими плитками у алотропних модифiкацiях карбону).
Iншим важливим прикладом є задача дискретизацiї комплексного аналiзу i факторизацiя умов
Кошi – Рiмана, яка була успiшно розв’язана на ґратцi утворенiй правильними трикутниками у
роботах Диннiкова та Новiкова (див. [1] та iншi роботи авторiв).
Ефективним iнструментом для дослiджень пов’язаних з такими ґратками є кореневi та ва-
говi системи простих груп Лi та спецiальнi експоненцiйнi функцiї (орбiт-функцiї ) симетричнi
вiдносно дiї вiдповiдної афiнної групи Вейля. Такi функцiї можна використовувати для пере-
творень аналогiчних перетворенню Фур’є, вони пов’язанi з важливими класами ортогональних
полiномiв, є розв’язками певних крайових задач Неймана та Дiрiхле та добре дискретизуються
на сiтках узгоджених з фундаментальними областями простих груп Лi [8, 10, 11].
Для визначення орбiт-функцiй стисло наведемо необхiднi поняття та факти про кореневi
системи та групи Вейля алгебр Лi [2, 3].
Кожна з простих алгебр Лi An (n \geq 1), Bn (n \geq 3), Cn (n \geq 2), Dn (n \geq 4), E6, E7, E8,
F4 та G2 визначається матрицею Картана, дiаграмою Динкiна або системою простих коренiв
\{ \alpha 1, . . . , \alpha n\} , яка є базисом дiйсного евклiдового простору \BbbR n зi стандартним скалярним добу-
тком \langle , \rangle . Такий \alpha -базис неортогональний та мiстить простi коренi однiєї довжини (для алгебр
An, Dn, E6, E7, E8) або двох рiзних довжин: короткi (s) та довгi (l) (у випадку алгебр Bn,
Cn, F4, G2). Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що квадрати довжин довгих коренiв
рiвнi 2, а коротких — 1. Для узагальнення наведених нижче означень i властивостей на випадок
напiвпростих алгебр Лi досить взяти до уваги, що \alpha -базиси їх простих компонент взаємно
ортогональнi.
З кожною простою алгеброю Лi асоцiйовано скiнченну групу W дзеркальних вiдображень
(групу Вейля), яка породжує кореневу систему алгебри \Delta з її простих коренiв. Дзеркальнi
вiдображення r\alpha i вiдносно (n - 1)-вимiрних гiперплощин, що ортогональнi до простих коренiв
\alpha i, i = 1, . . . , n та проходять через початок координат, задаються спiввiдношенням
rix = r\alpha ix = x - 2\langle x, \alpha i\rangle
\langle \alpha i, \alpha i\rangle
\alpha i, x \in \BbbR n. (1)
c\bigcirc М. О. НЕСТЕРЕНКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3 351
352 М. О. НЕСТЕРЕНКО
У випадку двох довжин коренiв має мiсце неперетинний розклад кореневої системи на
множини коротких та довгих коренiв \Delta = \Delta s
\bigcup
\Delta l. Вiдображення вiдносно коренiв з множин
\Delta s та \Delta l породжують вiдповiдно групи Вейля Ws та Wl, якi є нормальними пiдгрупами у W,
але мають нетривiальний перетин, оскiльки довгi та короткi коренi не взаємно ортогональнi.
Насправдi важливим фактом є те, що у групах Ws i Wl iснують такi пiдгрупи \~Ws i \~Wl такi,
що W \simeq \~Ws \ltimes Wl i W \simeq Ws \ltimes \~Wl.
Нехай \omega -базис — базис фундаментальних ваг, який є \BbbZ -дуальним до базису простих коренiв.
Для груп Лi з коренями рiзних довжин зручно додатково ввести двоїстi базиси до \alpha - та \omega -
базисiв, а саме \v \omega -коваговий базис та \v \alpha -кокореневий базис вiдповiдно. У евклiдовому просторi
\BbbR n розглянемо двi пари ґраток: кореневу ґратку Q, вагову P та дуальнi до них:
Q = \BbbZ \alpha 1+\BbbZ \alpha 2 + . . .+ \BbbZ \alpha n, P = \BbbZ \omega 1 + \BbbZ \omega 2 + . . .+ \BbbZ \omega n.
У загальному випадку Q \subseteq P, але для алгебр Лi рангу 3 рiвнiсть не має мiсця. Аналогiчно
визначаються дуальнi ґратки
\v Q = \BbbZ \v \alpha 1 + \BbbZ \v \alpha 2 + . . .+ \BbbZ \v \alpha n, \v P = \BbbZ \v \omega 1 + \BbbZ \v \omega 2 + . . .+ \BbbZ \v \omega n.
У ваговiй ґратцi P означимо конуси домiнантних ваг P+ та строго домiнантних ваг P++ :
P \supset P+ = \BbbZ \geq 0\omega 1 + . . .+ \BbbZ \geq 0\omega n \supset P++ = \BbbZ >0\omega 1 + . . .+ \BbbZ >0\omega n.
Простi коренi \{ \alpha 1, . . . , \alpha n\} iндукують вiдношення часткового порядку \leq на \BbbR n, а саме:
для x, y \in \BbbR n має мiсце нерiвнiсть x \leq y тодi i лише тодi, коли y - x = c1\alpha 1 + . . . + cn\alpha n i
ci \in \BbbZ \geq 0, i = 1, 2, . . . , n. Для кожної простої алгебри Лi у кореневiй системi \Delta iснує єдиний
старший корiнь \xi (найбiльший вiдносно заданого порядку)
\xi = m1\alpha 1 +m2\alpha 2 + . . .+mn\alpha n.
Афiнною групою Вейля W aff = \v Q \rtimes W є прямий добуток групи зсувiв та групи Вейля,
вона породжується дзеркальними вiдображеннями r\alpha i та додатковим вiдображенням r0 :
r0x = r\xi x+
2\xi
\langle \xi , \xi \rangle
, де r\xi x = x - 2\langle x, \xi \rangle
\langle \xi , \xi \rangle
\xi , x \in \BbbR n. (2)
Стандартний симплекс F = \{ x | \langle \alpha i, x\rangle \geq 0, i = 1, 2, . . . , n, \langle \xi , x\rangle \leq 1\} у \BbbR n є фундамен-
тальною областю афiнної групи Вейля W aff , вершини цiєї фундаментальної областi наступнi:\biggl\{
0,
\v \omega 1
m1
,
\v \omega 2
m2
, . . . ,
\v \omega n
mn
\biggr\}
.
Останньою компонентою, необхiдною для означення орбiт-функцiй, є гомоморфiзми знакiв
групи Вейля \sigma : W \rightarrow \{ \pm 1\} . Аналiзуючи дiаграми Динкiна та накладаючи умови гомоморфiзму,
можна отримати лише чотири рiзнi типи гомоморфiзмiв \sigma :
1. \sigma + : \sigma +(ri) = 1, i = 1, 2, . . . , n, — знаки не змiнюються, тотожне перетворення;
2. \sigma - : \sigma - (ri) = - 1, i = 1, 2, . . . , n, — стандартна функцiя sign, знак залежить вiд парностi
необхiдної кiлькостi вiддзеркалень;
3. \sigma l : \sigma l(ri) = - 1, якщо \alpha i довгий корiнь, та \sigma l(rj) = 1, якщо \alpha j короткий корiнь;
4. \sigma s : \sigma s(ri) = - 1, якщо \alpha i короткий корiнь, та \sigma s(rj) = 1, якщо \alpha j довгий корiнь.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СПЕЦIАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIЙНI ФУНКЦIЇ НА ҐРАТКАХ ПРОСТИХ АЛГЕБР ЛI . . . 353
Чотири основнi класи орбiт-функцiй f\sigma
\lambda : \BbbR n \rightarrow \BbbC параметризованих точками \lambda \in \BbbR n
визначаються для змiнної x \in \BbbR n вiдповiдно до рiзних гомоморфiзмiв знакiв групи Вейля
f\sigma
\lambda (x) :=
\sum
w\in W
\sigma (w)\mathrm{e}2\pi i\langle w\lambda ,x\rangle . (3)
Симетричнi та антисиметричнi суми експонент орбiти групи Вейля зустрiчаються у стан-
дартнiй теорiї зображень алгебр Лi (наприклад, як характери зображень), проте систематичне
вивчення та застосування таких сум як окремих спецiальних функцiй iнiцiйоване у роботах
Клiмика та Патери [4, 5] та iнтенсивно розвивається у десятках подальших наукових публiка-
цiй.
Розглянемо основнi типи орбiт-функцiй для кожного з гомоморфiзмiв знаку [4 – 6]:
1. \sigma = \sigma + : f\sigma +
\lambda (x) = C\lambda (x) =
\sum
w\in W
\mathrm{e}2\pi i\langle w\lambda ,x\rangle — випадок симетричної C -функцiї, яка
для алгебри A1 спiвпадає з тригонометричною функцiєю косинус, що i обумовило назву.
2. \sigma = \sigma - : f\sigma -
\lambda (x) = S\lambda (x) =
\sum
w\in W
( - 1)p(w)\mathrm{e}2\pi i\langle w\lambda ,x\rangle , де p(w) — кiлькiсть елементар-
них дзеркальних вiдображень ri, якi необхiднi для отримання точки w\lambda з точки \lambda . Це випадок
антисиметричної S -функцiї, яка для алгебри A1 спiвпадає з тригонометричною функцiєю си-
нус.
3. \sigma = \sigma l : f\sigma l
\lambda (x) = Sl
\lambda (x) =
\sum
w\in W
\sigma l(w)\mathrm{e}2\pi i\langle w(\lambda +\varrho l),x\rangle , де \varrho l — пiвсума додатних коренiв
з \Delta l, це випадок Sl -функцiї, у якої знаки доданкiв змiнюються лише для вiддзеркалень вiдносно
довгих коренiв [6].
4. \sigma = \sigma s :
\sum
f\sigma s
\lambda (x) = Ss
\lambda (x) =
\sum
w\in W
\sigma s(w)\mathrm{e}2\pi i\langle w(\lambda +\varrho s),x\rangle , де \varrho s — пiвсума додатних
коренiв з \Delta s, це випадок Ss-функцiї, у якої знаки доданкiв змiнюються лише для вiддзеркалень
вiдносно коротких коренiв.
Якщо у означеннi C -функцiї замiнити орбiту групи Вейля W\lambda на орбiту її парної пiд-
групи We\lambda , то ми отримаємо ще один клас орбiт-функцiй, а саме E -функцiї, якi у випадку
алгебри A1 спiвпадають з експонентою E\lambda (x) :=
\sum
w\in We
\mathrm{e}2\pi i\langle w\lambda ,x\rangle . E -функцiї також можна
отримати як лiнiйну комбiнацiю C - та S -функцiй E\lambda (x) =
1
2
\bigl(
C\lambda (x) + S\lambda (x)
\bigr)
. Можна побуду-
вати шiсть рiзних типiв E -функцiй для алгебр Лi з коренями рiзної довжини, узагальнивши
такi лiнiйнi комбiнацiї на випадок напiвсум чи напiврiзниць усiх можливих пар основних орбiт-
функцiй.
Загалом орбiт-функцiї є скiнченними сумами експонент, тому вони є неперервними та мають
неперервнi похiднi всiх порядкiв.
Використовуючи тотожнiсть \langle \lambda , rix\rangle = \langle ri\lambda , x\rangle для вiдображень з афiнної групи Вейля та
гомоморфiзми знакiв, ми отримаємо наступнi властивостi симетрiї орбiт-функцiй:
C\lambda (rix) = Cri\lambda (x) = C\lambda (x), i = 0, . . . , n,
Sri\lambda (x) = S\lambda (rix) = - S\lambda (x), i = 0, . . . , n,
Sl
\lambda (rix) = - Sl
\lambda (x), i = 0, . . . , n якщо ri вiдповiдає довгому кореню,
Sl
\lambda (rix) = Sl
\lambda (x), i = 1, . . . , n якщо ri вiдповiдає короткому кореню,
Ss
\lambda (rix) = Ss
\lambda (x), i = 0, . . . , n якщо ri вiдповiдає довгому кореню,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
354 М. О. НЕСТЕРЕНКО
Ss
\lambda (rix) = - Ss
\lambda (x), i = 1, . . . , n якщо ri вiдповiдає короткому кореню.
S -функцiї антисиметричнi вiдносно (n - 1)-вимiрних граней фундаментальної областi F, тому
вони є нульовими на межi F. C -функцiї симетричнi вiдносно (n - 1)-вимiрних граней фунда-
ментальної областi F, їх нормальнi похiднi є S -функцiями i тому нульовi на межi F. Ss-функцiї
та Sl -функцiї антисиметричнi вiдносно певних граней фундаментальної областi F, тому вони
є нульовими на частинi межi F.
Нехай скалярний добуток орбiт-функцiй на фундаментальнiй областi F визначається фор-
мулою:
\langle f\sigma
\lambda (x), f
\sigma
\lambda \prime (x)\rangle :=
\int
F
f\sigma
\lambda (x)f
\sigma
\lambda \prime (x)\mathrm{d}x, (4)
де f\sigma
\lambda \prime (x) позначає комплексне спряження, а iнтегрування вiдбувається вiдносно евклiдової
мiри.
Нехай \lambda , \lambda \prime \in P+, тодi будь-яка пара орбiт-функцiй з того самого класу є ортогональною
на вiдповiднiй фундаментальнiй областi вiдносно скалярного добутку (4):
\langle C\lambda (x), C\lambda \prime (x)\rangle = | \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(\lambda )| \cdot | W | \cdot | F | \cdot \delta \lambda \lambda \prime ,
\langle S\lambda (x), S\lambda \prime (x)\rangle = | W | \cdot | F | \cdot \delta \lambda \lambda \prime ,
\langle Sl
\lambda (x), S
l
\lambda \prime (x)\rangle =
| W | 2 \cdot | F |
| W\lambda +\varrho l |
\cdot \delta \lambda \lambda \prime ,
\langle Ss
\lambda (x), S
s
\lambda \prime (x)\rangle =
| W | 2 \cdot | F |
| W\lambda +\varrho s |
\cdot \delta \lambda \lambda \prime .
Тут \delta \lambda \lambda \prime — дельта-символ Кронекера, | W | — порядок групи Вейля, | W\lambda +\varrho l | — розмiрнiсть
орбiти точки \lambda + \varrho l пiд дiєю групи Вейля, | \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(\lambda )| — порядок стабiлiзатора точки \lambda , а | F |
— об’єм фундаментальної областi. Ортогональнiсть орбiт-функцiй випливає з ортогональностi
експонент та того факту, що задана вага \lambda \in P завжди належить рiвно однiй орбiтi.
Таким чином, кожен з класiв орбiт-функцiй утворює ортогональний базис у гiльбертовому
просторi квадратично iнтегровних функцiй \scrL 2(F ), тому такi функцiї можуть бути розкладенi
в ряд за орбiт-функцiями.
Нехай неперервну змiнну x задано в ортонормованому базисi з координатами x1, x2, . . . , xn.
Припустимо, що точку \lambda , яка нумерує та визначає орбiт-функцiю, також задано у ортонормова-
ному e-базисi, тодi скалярнi добутки у експоненцiйних компонентах орбiт-функцiй перетворю-
ються на суми попарних добуткiв координат. Оператор Лапласа у ортогональних координатах
має вигляд \nabla 2 =
\partial 2
\partial x1
+
\partial 2
\partial x2
+ . . .+
\partial 2
\partial xk
, де k = n або k = n+ 1 для An.
Оскiльки оператор Лапласа має те саме власне значення для кожної з експонент (якi є
доданками орбiт-функцiй), а саме число - 4\pi 2\langle \lambda , \lambda \rangle , то орбiт-функцiї C\lambda (x), E\lambda (x) та S\lambda (x),
заданi у ортонормованому базисi, є власними функцiями оператора Лапласа:
\nabla 2C\lambda (x) = - 4\pi 2\langle \lambda , \lambda \rangle C\lambda (x), \nabla 2E\lambda (x) = - 4\pi 2\langle \lambda , \lambda \rangle E\lambda (x), \nabla 2S\lambda (x) = - 4\pi 2\langle \lambda , \lambda \rangle S\lambda (x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СПЕЦIАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIЙНI ФУНКЦIЇ НА ҐРАТКАХ ПРОСТИХ АЛГЕБР ЛI . . . 355
На границi \partial F фундаментальної областi C -функцiї мають нульову нормальну похiдну
(оскiльки вона спiвпадає з S -функцiєю, яка є антисиметричною), а S — є нульовими на границi
фундаментальної областi F для усiх простих груп Лi, тому C\lambda -функцiї є власними функцiями
оператора Лапласа на n-вимiрному симплексi F, що задовольняють крайову умову Неймана
\partial f(x)
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial F
= 0, де \nu — нормаль до \partial F.
S\lambda -функцiї є власними функцiями оператора Лапласа на n-вимiрному симплексi F, що задо-
вольняють крайову умову Дiрiхле
f(x)| \partial F = 0.
Такi властивостi орбiт-функцiй успiшно застосовуються i до розв’язання мiшаних крайових
задач [7]. Наприклад, крайовi задачi з умовами типу Дiрiхле, Неймана або мiшаними крайови-
ми умовами для однорiдного рiвняння Гельмгольца \nabla 2\varphi (x) = - v2\varphi (x), де v \in \BbbR +, x \in \BbbR n
розв’язуються за допомогою рiзних орбiт функцiй на фундаментальних областях напiвпростих
алгебр Лi обраних вiдповiдно до кiлькостi змiнних рiвняння, форми потрiбної областi та пове-
дiнки розв’язку на межi областi. При потребi, будь-яку просту алгебру можна редукувати до
випадку A1 \times . . .\times An, що додатково дозволяє роздiлити змiннi у орбiт-функцiях та рiвняннi.
Ще однiєю важливою властивiстю орбiт-функцiй є їх зв’язок з ортогональними полiномами,
такими як полiноми Чебишева, Якобi та Макдональда. Такi полiноми будуються з орбiт-функцiй
алгебраїчними методами: замiною експонент, тригонометричних функцiй чи за допомогою
рекурсiй виходячи з орбiт-функцiй фундаментальних ваг [10, 11] та зберiгають всi властивостi,
включаючи дискретизацiю.
Розглянутi орбiт-функцiї є комплекснозначними функцiями, проте, для деяких простих ал-
гебр Лi, орбiти групи Вейля складаються з пар, якi породжують у орбiт-функцiях комплексно
спряженi доданки. Такими алгебрами є: A1, G2, E7, E8, Bn, Cn, D2n, отже, їх C -функцiї
завжди дiйснозначнi. Для алгебр An\geq 2, E6 та D2n - 1 дiйснi функцiї можна побудувати симе-
тризувавши спецiальним чином координати \lambda .
В загальному випадку для роботи з дiйснозначними функцiями \forall a \in \BbbR замiсть експоненти
використовуються функцiї ядра Хартлi
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}(a) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(a) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(a) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
x+
\pi
4
\Bigr)
=
\surd
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
x - \pi
4
\Bigr)
.
Аналогiчно до комплекснозначних визначаються дiйснозначнi орбiт-функцiї h\sigma \lambda : \BbbR n \rightarrow \BbbR па-
раметризованi точками \lambda \in \BbbR n
h\sigma \lambda (x) :=
\sum
w\in W
\sigma (w)\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}(2\pi \langle w\lambda , x\rangle ). (5)
При цьому h\sigma \lambda (x) = \mathrm{R}\mathrm{e}(f\sigma
\lambda (x)) + \mathrm{I}\mathrm{m}(f\sigma
\lambda (x)).
Дискретнi методи для дiйснозначних та комплекснозначних орбiт-функцiй будуються одно-
типно для рiзних простих алгебр Лi виходячи з подрiбнення фундаментальної областi, дуальних
афiнних груп Вейля, решiток дуальних до кореневих та максимальних торiв простих груп Лi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
356 М. О. НЕСТЕРЕНКО
Для багатьох випадкiв у явному виглядi отримано формули об’ємiв фундаментальних обла-
стей, кiлькостi точок сiтки, розмiрностi стабiлiзаторiв та ряд iнших необхiдних компонент для
дискретного аналiзу, що базується на орбiт-функцiях, див. [8, 9] та посилання у цих роботах.
Орбiт-функцiї знайшли широкий спектр застосувань у задачах з обробки зображень, на-
ближень та iнтерполяцiї багатовимiрних функцiй, проте особливо важливим є застосування
орбiт-функцiй до математичних моделей структур та явищ, якi конструктивно пов’язанi з коре-
невими або ваговими ґратками груп Коксетера. Прикладами таких структур є вiдкритi протягом
останнiх двох десятилiть новi алотропнi модифiкацiї карбону, а саме: графен, фулерени, нано-
трубки та нанокiльця. Дослiдники у галузях хiмiї, фiзики та бiологiї вiдкривають все новi й
новi властивостi цих речовин, тому вивчення математичних властивостей вiдповiдних много-
гранникiв i мозаїк, а також спецiальних функцiй узгоджених з ними, видається надзвичайно
важливою задачею.
Графен — майже прозорий матерiал, який є першим двовимiрним матерiалом товщиною
всього в один атом. З точки зору математики графен є замощенням двовимiрної площини пра-
вильними шестикутниками, тобто плоскою перiодичною мозаїкою з однiєю базовою плиткою
у формi шестикутника. Усi вершини мозаїки мають степiнь три, тобто з кожної вершини вихо-
дить по 3 ребра, якi розташованi у однiй площинi з кутом
2\pi
3
мiж сусiднiми ребрами. Отже,
розглянута модель задовольняє ознакам sp2-гiбридизацiї i має поворотну симетрiю на кут
2\pi
3
,
яка задовольняє класичнiй кристалографiї. Виходячи з поворотної симетрiї робимо висновок,
що для побудови графену можуть бути використанi кореневi ґратки простих алгебр A2 i G2
рангу два або проєкцiї на двовимiрну площину кореневих ґраток простих алгебр A3 i B3 рангу
три (проєкцiя на пiдалгебру iзоморфну A2).
В усiх цих випадках отримана базова плитка (шестикутник) розмножується на всю площину
дiєю вiдповiдної афiнної групи Вейля, породженої вiддзеркаленнями заданими формулами (1)
i (2). Для виконання усiх необхiдних побудов (див. рис. 1 та 2) наведемо для кожної з алгебр
її дiаграму Динкiна
\biggl(
зафарбованi вершини кодують короткий корiнь, мiж простими коренями
з’єднаними одним ребром кут
2\pi
3
, двома ребрами —
3\pi
4
, трьома ребрами —
5\pi
6
\biggr)
та матрицю
Картана \frakC , що задає скалярнi добутки фундаментальних ваг та простих коренiв:
A2 :
1i
\alpha 1
1i
\alpha 2
\frakC =
\biggl(
2 - 1
- 1 2
\biggr)
; G2 :
2i
\alpha 1
3y
\alpha 2
\frakC =
\biggl(
2 - 3
- 1 2
\biggr)
;
A3 :
1i
\alpha 1
1i
\alpha 2
1i
\alpha 3
\frakC =
\left( 2 - 1 0
- 1 2 - 1
0 - 1 2
\right) ; B3 :
1i
\alpha 1
2i
\alpha 2
2y
\alpha 3
\frakC =
\left( 2 - 1 0
- 1 2 - 2
0 - 1 2
\right) .
Площина покрита мозаїкою з правильних шестикутникiв (див. рис. 3) може бути розбита на
нескiнченнi паски (див. рис. 4) складенi з шестикутникiв, де два сусiднi шестикутники мають
спiльний вiдрiзок (2 вершини та ребро, що їх сполучає). Такi паски є основними елемента-
ми для побудови нанотрубок. Вуглецевi нанотрубки — алотропна модифiкацiя карбону, вони
мають форму тонких порожнiх цилiндрiв. Нанотрубки будуються з скiнченої парної кiлькостi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СПЕЦIАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIЙНI ФУНКЦIЇ НА ҐРАТКАХ ПРОСТИХ АЛГЕБР ЛI . . . 357
Рис. 1. Базова шестикутна плитка мозаїки побудована з простих коренiв алгебри A2, вершини повнiстю спiвпа-
дають з кореневою системою.
Рис. 2. Точки кореневої системи алгебри G2 та базова шестикутна плитка мозаїки побудована лише з коротких
коренiв. Частина кореневої системи, що вiдповiдає нормальнiй пiдгрупi Wl є зайвою i опускається.
паскiв розташованих зi зсувом на половину базової плитки i з’єднаних мiж собою без утворення
додаткових плиток мозаїки, при цьому вiльнi ребра крайнiх паскiв ототожнюються (математи-
чна ‘склейка’). Парнiсть набору паскiв є суттєвою, оскiльки склейка непарної кiлькостi паскiв
призводить до появи нових не шестикутних (ромбовидних) плиток. Мiнiмальна (найтонша)
нанотрубка утворюється двома нескiнченими пасками.
Рис. 3. Фрагмент графену побудованого вiдображеннями r0, . . . , rn фундаментальної шестикутної плитки вiд-
носно її ребер.
Замикання обмеженого цилiндру нанотрубки у тор (ототожнення ребер шестикутникiв роз-
ташованих на кiнцях) дозволяє побудувати модель нанокiльця, при цьому важливим є вибiр
обмеженої частини нанотрубки так, щоб на краях були розташованi замкненi паски зi зсувом
на половину плитки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
358 М. О. НЕСТЕРЕНКО
Рис. 4. Базовий пасок з шестикутникiв для побудови нанотрубок.
Суттєво тривимiрною алотропною модифiкацiєю карбону, яка не може бути отримана з
двовимiрної шестикутної мозаїки, є фулерени — речовини, що складаються тiльки з карбонових
елементiв i мають сферичну, елiптичну або трубчасту структуру. Структура фулерена подiбна
до графiту, вiдмiннiсть полягає в тому, що в фулеренi зустрiчаються п’ятичленнi кiльця (гранi у
формi правильного п’ятикутника), а найвiдомiшим та найбiльш дослiдженим з яких є фулерен
C60, див. рис. 5.
Рис. 5. Розрiз фулерена C60. Для побудови нанотрубок вiдбувається вклейка зигзагiв з шестикутникiв у розрiз
позначений жирною суцiльною лiнiєю.
Наявнiсть правильних п’ятикутних граней свiдчить про поворотну симетрiю на кут
3\pi
5
,
який заборонений класичною кристалографiєю та не зустрiчається серед ґраток простих груп
Лi, проте зустрiчається у ґратках груп Коксетера. Зокрема фулерен C60 можна побудувати
проєкцiєю кореневої ґратки групи Коксетера H3, при умовi збереження симетрiї групи Лi
A2 [12].
Наведена модель дозволяє будувати обмеженi нанотрубки C60+10k, k = 1, 2, . . . вклейкою
довiльної кiлькостi зигзагiв з 10 шестикутникiв у модель фулерена на мiсцi позначеному жир-
ною лiнiєю на рис. 5.
Зауважимо, що в усiх моделях (окрiм графену!) порушується властивiсть sp2-гiбридизацiї,
оскiльки утворюються три гiбриднi орбiталi з осями, якi не розташованi в однiй площинi i
плоскi кути не дорiвнюють
2\pi
3
.
Для обчислень та побудови фулерена за допомогою проєкцiй наведемо дiаграму Коксетера
та матрицю Картана \frakC некристалографiчної групи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СПЕЦIАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIЙНI ФУНКЦIЇ НА ҐРАТКАХ ПРОСТИХ АЛГЕБР ЛI . . . 359
H3 : i
\alpha 1
i
\alpha 2
y
\alpha 3
\frakC =
\left(
2 - 1 0
- 1 2 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
5
0 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
5
2
\right) .
Всi вищенаведенi моделi, що побудованi за допомогою простих груп Лi, дозволяють аналiз
iз застосуванням неперервних та дискретних орбiт-функцiй, теорiю яких викладено на поча-
тку статтi. Що ж стосується некристалографiчних груп Коксетера, то властивостi аналогiчних
спецiальних функцiй вимагають додаткового вивчення та доведення i вони є об’єктом наших
подальших дослiджень.
Авторка вдячна Їржi Патерi за постановку ряду задач, пов’язаних з орбiт-функцiями та
плiднi науковi дискусiї про теорiю та властивостi простих алгебр Лi та їх кореневих систем.
Також авторка висловлює вдячнiсть за фiнансову пiдтримку в рамках програми пiдтримки
прiоритетних для держави наукових дослiджень i науково-технiчних (експериментальних) роз-
робок Вiддiлення математики НАН України на 2022 – 2023 рр. (Проєкт “Iнновацiйнi методи у
теорiї диференцiальних рiвнянь, обчислювальнiй математицi та математичному моделюваннi”,
№ 7/1/241).
Лiтература
1. I. A. Dynnikov, S. P. Novikov, Geometry of the triangle equation on two-manifolds, Mosc. Math. J., 3, 419 – 438
(2003); DOI: 10.17323/1609-4514-2003-3-2-419-438.
2. N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras, Chapters 3 – 6, Springer-Verlag, Berlin,-New York (1989).
3. J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, Cambridge (1990).
4. A. Klimyk, J. Patera, Orbit functions, SIGMA, 2, 006 (2006), 60 pp.; DOI:10.3842/SIGMA.2006.006.
5. A. Klimyk, J. Patera, Antisymmetric orbit functions, SIGMA, 3, 023 (2007), 83 pp.; DOI:10.3842/SIGMA.2007.023.
6. R. V. Moody, L. Motlochová, J. Patera, Gaussian cubature arising from hybrid characters of simple Lie groups, J.
Fourier Anal. Appl., 20, 1257 – 1290 (2014); DOI: 10.1007/s00041-014-9355-0.
7. M. Szajewska, A. Tereszkiewicz, Multidimensional hybrid boundary value problem, Acta Polytechnica 58, № 6,
402 – 413 (2018). DOI: 10.14311/AP.2018.58.0402
8. J. Hrivn?k, L. Motlochová, Dual-root lattice discretization of Weyl orbit functions, J Fourier Anal Appl., 25, 2521 –
2569 (2019); DOI: 10.1007/s00041-019-09673-1.
9. M. Nesterenko, J. Patera, Three-dimensional C -, S - and E -transforms, J. Phys. A, 41, 475205 (2008), 31 pp.; DOI:
10.1088/1751-8113/41/47/475205.
10. M. Nesterenko, J. Patera, M. Szajewska, A. Tereszkiewicz, Orthogonal polynomials of compact simple Lie groups:
Branching rules for polynomials, J. Phys. A, 43, 495207 (2010), 27 pp.; DOI: 10.1088/1751-8113/43/49/495207.
11. M. Nesterenko, J. Patera, A. Tereszkiewicz, Orthogonal polynomials of compact simple Lie groups, Int. J. Math.
Math. Sci., 2011, 969424 (2011), 23 pp.; DOI: 10.1155/2011/969424.
12. M. Bodner, E. Bourret, J. Patera, M. Szajewska, Icosahedral symmetry breaking: C60 to C78, C96 and to related
nanotubes, Acta Cryst. A, 70, 650 – 655 (2014); DOI: 10.1107/S2053273314017215.
Одержано 25.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7130 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:35Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/911204f17027177eea292c99a2ab2cba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71302025-03-31T08:44:52Z Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon Специальные экспоненциальные функции на решетках простых алгебр Ли и аллотропные модификации углерода Спеціальні експоненційні функції на ґратках простих алгебр Лі та алотропні модифікації карбону Nesterenko, M. O. Нестеренко, М. O. орбіт-функція, коренева система, шестикутна мозаїка, фулерен orbit function, root system, hexagonal tiling, fullerene UDC 517.9 Modern definitions and properties of special orbits-functions of simple Lie algebras are systematized. Models of carbon modifications related to simple Lie algebras and Coxeter groups are proposed.   Систематизированы современные определения и свойства специальных орбит-функций простых алгебр Ли. Предложены модели модификаций углерода, связанные с простыми алгебрами Ли и группами Коксетера. УДК 517.9 Систематизовано означення та властивостi спецiальних орбiт-функцiй простих алгебр Лi. Запропоновано моделi модифiкацiй карбону, що пов’язанi з простими алгебрами Лi та групами Коксетера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7130 10.37863/umzh.v74i3.7130 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 351-359 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 351-359 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7130/9212 Copyright (c) 2022 Марина Нестеренко |
| spellingShingle | Nesterenko, M. O. Нестеренко, М. O. Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title | Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title_alt | Специальные экспоненциальные функции на решетках простых алгебр Ли и аллотропные модификации углерода Спеціальні експоненційні функції на ґратках простих алгебр Лі та алотропні модифікації карбону |
| title_full | Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title_fullStr | Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title_full_unstemmed | Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title_short | Special exponential functions on lattices of simple Lie groups and allotropic modifications of carbon |
| title_sort | special exponential functions on lattices of simple lie groups and allotropic modifications of carbon |
| topic_facet | орбіт-функція коренева система шестикутна мозаїка фулерен orbit function root system hexagonal tiling fullerene |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7130 |
| work_keys_str_mv | AT nesterenkomo specialexponentialfunctionsonlatticesofsimpleliegroupsandallotropicmodificationsofcarbon AT nesterenkomo specialexponentialfunctionsonlatticesofsimpleliegroupsandallotropicmodificationsofcarbon AT nesterenkomo specialʹnyeéksponencialʹnyefunkciinarešetkahprostyhalgebrliiallotropnyemodifikaciiugleroda AT nesterenkomo specialʹnyeéksponencialʹnyefunkciinarešetkahprostyhalgebrliiallotropnyemodifikaciiugleroda AT nesterenkomo specíalʹníeksponencíjnífunkcíínagratkahprostihalgebrlítaalotropnímodifíkacííkarbonu AT nesterenkomo specíalʹníeksponencíjnífunkcíínagratkahprostihalgebrlítaalotropnímodifíkacííkarbonu |