Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness
UDC 517.5 We establish asymptotic estimates for the least upper bound of approximations in the uniform metric by Fourier sums of order $n-1$ in classes of $2\pi$-periodic Weyl-Nagy differentiable functions $W^r_{\beta,p},$ $1\le p\le \infty,$ $\beta\in\mathbb{R},$ with high exponents of smoothness $...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7136 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512618030039040 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko , I. V. Сердюк, А. С. Соколенко , І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko , I. V. Сердюк, А. С. Соколенко , І. В. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-25T09:23:03Z |
| description | UDC 517.5
We establish asymptotic estimates for the least upper bound of approximations in the uniform metric by Fourier sums of order $n-1$ in classes of $2\pi$-periodic Weyl-Nagy differentiable functions $W^r_{\beta,p},$ $1\le p\le \infty,$ $\beta\in\mathbb{R},$ with high exponents of smoothness $r\ (r-1\ge \sqrt{n}).$  We also obtain similar estimates for functional classes $W^r_{\beta,1}$ in metrics of the spaces $L_p, 1\le p\le\infty.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7136 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7136
УДК 517.5
А. С. Сердюк, I. В. Соколенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є
НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ ФУНКЦIЙ
IЗ ВИСОКИМ ПОКАЗНИКОМ ГЛАДКОСТI*
We establish asymptotic estimates for the least upper bound of approximations in the uniform metric by Fourier sums of
order n - 1 in classes of 2\pi -periodic Weyl – Nagy differentiable functions W r
\beta ,p, 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR , with high exponents
of smoothness r (r - 1 \geq
\surd
n). We also obtain similar estimates for functional classes W r
\beta ,1 in metrics of the spaces
Lp, 1 \leq p \leq \infty .
Встановлено асимптотичнi оцiнки точних верхнiх меж вiдхилень у рiвномiрнiй метрицi частинних сум Фур’є
порядку n - 1 на класах 2\pi -перiодичних функцiй, диференцiйовних у сенсi Вейля – Надя, W r
\beta ,p, 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR ,
при високих показниках гладкостi r (r - 1 \geq
\surd
n). Аналогiчнi оцiнки встановлено i в метриках просторiв Lp, 1 \leq
\leq p \leq \infty , для функцiональних класiв W r
\beta ,1.
1. Вступ. Нехай Lp, 1 \leq p < \infty , — простiр 2\pi -перiодичних сумовних в p-му степенi на
[ - \pi , \pi ) функцiй \varphi зi стандартною нормою
\| \varphi \| p =
\left( \pi \int
- \pi
| \varphi (t)| pdt
\right) 1/p
;
L\infty — простiр 2\pi -перiодичних вимiрних та iстотно обмежених функцiй \varphi , в якому норму
задано рiвнiстю
\| \varphi \| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
| \varphi (t)| ;
C — простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй \varphi з нормою
\| \varphi \| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| \varphi (t)| .
Нехай, далi, W r
\beta ,p, r > 0, \beta \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty , — класи 2\pi -перiодичних функцiй f, що
зображуються у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+ (\varphi \ast Br,\beta ) (x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Br,\beta (t)dt, a0 \in \BbbR , (1)
з ядрами Вейля – Надя Br,\beta (\cdot ) вигляду
Br,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
k - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, r > 0, \beta \in \BbbR , (2)
функцiй \varphi , що задовольняють умову \varphi \in B0
p , де
* Виконано за часткової фiнансової пiдтримки за проєктом „Iнновацiйнi методи у теорiї диференцiальних рiв-
нянь, обчислювальнiй математицi та математичному моделюваннi” (№ держ. реєстрацiї 0122U000670) в рамках
програми „Пiдтримка прiоритетних для держави наукових дослiджень i науково-технiчних (експериментальних)
розробок Вiддiлення математики НАН України на 2022 – 2023 рр.”.
c\bigcirc А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5 685
686 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
B0
p :=
\left\{ \varphi \in Lp : \| \varphi \| p \leq 1,
\pi \int
- \pi
\varphi (t)dt = 0
\right\} . (3)
Класи W r
\beta ,p називають класами Вейля – Надя (див., наприклад, [1 – 4]), а функцiю \varphi в зобра-
женнi (1) — (r, \beta )-похiдною в сенсi Вейля – Надя функцiї f i позначають через f r
\beta .
При всiх 1 < p, s < \infty , r >
\biggl(
1
p
- 1
s
\biggr)
+
=
\left\{
1
p
- 1
s
, p < s,
0, p \geq s,
i \beta \in \BbbR має мiсце вкладення
W r
\beta ,p \subset Ls (див., наприклад, [1], гл. V. 4, [2], гл. VI. 6). Окрiм того, при довiльних 1 \leq p \leq
\leq \infty , r >
1
p
, \beta \in \BbbR виконуються вкладення W r
\beta ,p \subset C (див., наприклад, [5]).
Якщо r \in \BbbN i \beta = r, то функцiї вигляду (2) є вiдомими ядрами Бернуллi, а вiдповiднi класи
W r
\beta ,p збiгаються з вiдомими класами W r
p 2\pi -перiодичних функцiй f, якi мають абсолютно
неперервнi похiднi до (r - 1)-го порядку включно i такi, що \| f (r)\| p \leq 1. При цьому майже
скрiзь виконується рiвнiсть f (r)(\cdot ) = f r
\beta (\cdot ).
Для довiльної множини \frakN \subset X, де X = C або Ls, 1 \leq s \leq \infty , розглянемо величину
\scrE n(\frakN )X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \frakN
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| X , (4)
в якiй Sn - 1(f ; \cdot ) — частинна сума Фур’є порядку n - 1 функцiї f.
При X = C для точних верхнiх меж вигляду (4) на класах Вейля – Надя W r
\beta ,\infty має мiсце
асимптотична при n \rightarrow \infty рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,\infty )C =
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n
nr
+O
\biggl(
1
nr
\biggr)
, r > 0, \beta \in \BbbR . (5)
При r \in \BbbN i \beta = r цю оцiнку довiв А. М. Колмогоров [6], при дробових r > 0 i деяких
спiввiдношеннях мiж r i \beta — В. Т. Пiнкевич [7] та С. М. Нiкольський [8]. У загальному
випадку оцiнка (5) випливає iз результатiв А. В. Єфiмова [9] та С. О. Теляковського [10].
Зазначимо також, що аналогiчна (5) асимптотична рiвнiсть має мiсце i для класiв W r
\beta ,1 у
метрицi простору L1, а саме,
\scrE n(W r
\beta ,1)L1 =
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n
nr
+O
\biggl(
1
nr
\biggr)
, r > 0, \beta \in \BbbR (6)
(див. [11, 12]).
У вказаних роботах параметри r i \beta класiв Вейля – Надя вважалися фiксованими i питання
про залежнiсть залишкового члена в оцiнцi (5) (чи (6)) не розглядалося. Характер залежностi
вiд r i \beta залишкового члена в асимптотичнiй оцiнцi (5) вивчали в роботах [13 – 19].
У роботi [19] дослiджено асимптотичну поведiнку величин \scrE n(W r
\beta ,\infty )C при n \rightarrow \infty i
r \rightarrow \infty . А саме, було доведено, що при довiльних r \geq 1 i \beta \in \BbbR має мiсце рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,\infty )C =
1
nr
\biggl(
8
\pi 2
\bfK (e - r/n) +O(1)
1
r
\biggr)
, (7)
в якiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 687
\bfK (q) =
\pi /2\int
0
dt\sqrt{}
1 - q2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t
(8)
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по r, n
i \beta .
Крiм того, С. Б. Стєчкiн показав [19] (теорема 4), що для великих r залишковий член у
рiвностi (7) можна покращити. А саме, при довiльних r \geq n+ 1 i \beta \in \BbbR виконується оцiнка
\scrE n(W r
\beta ,\infty )C =
1
nr
\Biggl(
4
\pi
+O(1)
\biggl(
1 +
1
n
\biggr) - r
\Biggr)
, (9)
в якiй O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по r, n i \beta . Формула (9) є асимптотичною
рiвнiстю, якщо r/n \rightarrow \infty .
З [19] також випливає, що для величин \scrE n(W r
\beta ,1)L1 мають мiсце аналогiчнi (7) i (9) оцiнки,
а саме, при r \geq 1 i \beta \in \BbbR рiвномiрно щодо всiх розглядуваних параметрiв справджується
формула
\scrE n(W r
\beta ,1)L1 =
1
nr
\biggl(
8
\pi 2
\bfK (e - r/n) +O(1)
1
r
\biggr)
, (10)
а при r \geq n+ 1 i \beta \in \BbbR рiвномiрно за всiма параметрами — оцiнка
\scrE n(W r
\beta ,1)L1 =
1
nr
\Biggl(
4
\pi
+O(1)
\biggl(
1 +
1
n
\biggr) - r
\Biggr)
. (11)
Згодом С. О. Теляковський [17, 18] показав, що другий доданок у формулах (9), (11) можна
замiнити меншим, а саме, замiсть O(1)(1 + 1/n) - r писати O(1)(1 + 2/n) - r. Вiн же уточнив
оцiнки (9), (11) за рахунок видiлення наступних членiв асимптотики.
У роботi авторiв [20], зокрема, при довiльних 1 \leq p \leq \infty встановлено узагальнюючi
аналоги оцiнок С. Б. Стєчкiна (9), (11). А саме, було розглянуто бiльш загальнi, нiж W r
\beta ,p,
класи функцiй W r
\=\beta ,p
, якi задаються згортками
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Br,\=\beta (t)dt, a0 \in \BbbR , \varphi \in B0
p , (12)
з ядрами
Br,\=\beta (t) =
\infty \sum
k=1
k - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta k\pi
2
\biggr)
, (13)
що визначаються параметром r > 0 i довiльною числовою послiдовнiстю \=\beta = \{ \beta k\} \infty k=1 фазових
зсувiв \beta k \in \BbbR .
Зрозумiло, що у випадку, коли \beta k = \beta при всiх k \in \BbbN , класи W r
\=\beta ,p
перетворюються у класи
Вейля – Надя W r
\beta ,p.
У роботi [20] для величин (4) при \frakN = W r
\=\beta ,p
i X = C або \frakN = W r
\=\beta ,1
i X = Lp було
доведено, що при всiх r \geq n+ 1, \beta k \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty виконуються оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
688 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
\scrE n(W r
\=\beta ,p)C =
1
nr
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
+O(1)
\biggl(
1 +
1
n
\biggr) - r
\Biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (14)
\scrE n(W r
\=\beta ,1)Lp =
1
nr
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
+O(1)
\biggl(
1 +
1
n
\biggr) - r
\Biggr)
, (15)
в яких O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi щодо всiх розглядуваних параметрiв. Оцiнки
(14), (15) є асимптотичними рiвностями, якщо r/n \rightarrow \infty . I навiть бiльше, як доведено в [21]
(теорема 5), за умови r/n \rightarrow \infty величини \scrE n(W r
\=\beta ,p
)C асимптотично збiгаються з найкращими
рiвномiрними наближеннями класiв W r
\=\beta ,p
тригонометричними полiномами порядку n - 1.
У роботi авторiв [22] встановлено iнтерполяцiйнi аналоги асимптотичних оцiнок (14), (15),
в яких замiсть норм вiдхилень частинних сум Фур’є розглядаються норми вiдхилень iнтерпо-
ляцiйних тригонометричних полiномiв Лагранжа з рiвномiрним розподiлом вузлiв.
У данiй роботi дослiджується асимптотична поведiнка величин \scrE n(W r
\beta ,p)C i \scrE n(W r
\beta ,1)Lp , 1 \leq
\leq p \leq \infty , у випадку, коли гладкiсний та апроксимативний параметри r i n пов’язанi спiввiд-
ношенням
\surd
n+ 1 \leq r \leq n2. (16)
При p = \infty асимптотична поведiнка для зазначених величин є вiдомою й описується
формулами (7), (10).
При p = 2 вiдомими є точнi значення величин \scrE n(W r
\=\beta ,p
)C та \scrE n(W r
\=\beta ,1
)Lp при довiльних
r >
1
2
, n \in \BbbN i \=\beta = \{ \beta k\} \infty k=1, \beta k \in \BbbR :
\scrE n(W r
\=\beta ,2)C = \scrE n(W r
\=\beta ,1)L2 =
1\surd
\pi
\Biggl( \infty \sum
k=n
1
k2r
\Biggr) 1/2
=
1\sqrt{}
\pi \Gamma (2r)
\left( \infty \int
0
t2r - 1e - nt
1 - e - t
dt
\right) 1
2
(17)
(див., наприклад, [20, 23, 24]).
При всiх iнших значеннях параметра p
\Bigl(
тобто при 1 \leq p < 2 або 2 < p < \infty i
r
n
\nrightarrow
\nrightarrow \infty
\Bigr)
асимптотичнi рiвностi для величин \scrE n(W r
\beta ,p)C i \scrE n(W r
\beta ,1)Lp за умови (16) залишались
невiдомими.
У данiй роботi зазначенi рiвностi будуть знайденi за рахунок використання методологiї,
яка дозволяє звести задачу про сильну асимптотику величин вигляду (4) при X = C або Lp
на класах Вейля – Надя до аналогiчних величин на класах iнтегралiв Пуассона; для останнiх
асимптотичнi рiвностi вiдомi завдяки роботам [25, 26].
Позначимо через Cq
\beta ,p, q \in (0, 1), \beta \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty , класи iнтегралiв Пуассона перiодичних
функцiй iз множин B0
p вигляду (3), тобто класи 2\pi -перiодичних функцiй f, що зображуються
згортками
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Pq,\beta (t)dt, a0 \in \BbbR , \varphi \in B0
p , (18)
з ядрами Пуассона Pq,\beta (t) вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 689
Pq,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
qk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, q \in (0, 1), \beta \in \BbbR . (19)
2. Наближення функцiй iз класiв \bfitW \bfitr
\bfitbeta ,\bfitp сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi.
Теорема 1. Нехай 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR , r > 1 i n \in \BbbN . Тодi за умови
\surd
n+ 1 \leq r \leq n+ 1 (20)
при p = 1 має мiсце формула
\scrE n(W r
\beta ,1)C = n - r
\biggl(
1
\pi (1 - e - r/n)
+O(1)nr - 2
\biggr)
, (21)
а при 1 < p \leq \infty — формула
\scrE n(W r
\beta ,p)C = n - r
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
F
1
p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; e - 2r/n
\biggr)
+O(1)nr - 2
\biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (22)
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса
F (a, b; c; z) = 1 +
\infty \sum
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
, (x)k := x(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ k - 1). (23)
В (21) i (22) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi щодо всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення. Будемо використовувати запропонований С. Б. Стєчкiним у [19] метод доведен-
ня, який полягає в тому, що залишок ряду Фур’є ядра Вейля – Надя Br,\beta вигляду (2) апрокси-
мується в Lp\prime -метрицi залишком ряду Фур’є ядра Пуассона Pq,\beta вигляду (19) при q = e - r/n.
С. Б. Стєчкiн [19] реалiзував зазначений пiдхiд при p\prime = 1. Ми ж розглядаємо загальний
випадок 1 \leq p\prime \leq \infty .
Покладемо
Br,\beta ,n(t) :=
\infty \sum
k=n
k - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
. (24)
Iз рiвностей (1), (2) i (4) отримуємо
\scrE n(W r
\beta ,p)C =
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
p
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)
\infty \sum
k=n
k - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt - \beta \pi
2
\biggr)
dt =
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
p
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Br,\beta ,n(t)dt.
(25)
Поклавши q = e - r/n, запишемо Br,\beta ,n(t) у виглядi
Br,\beta ,n(t) =
\Bigl( e
n
\Bigr) r
Pq,\beta ,n(t) +Rn(r;\beta )(t), (26)
де
Pq,\beta ,n(t) :=
\infty \sum
k=n
qk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
690 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Rn(r;\beta )(t) := Br,\beta ,n(t) -
\Bigl( e
n
\Bigr) r
Pq,\beta ,n(t). (28)
Тодi з (25) одержимо
\scrE n(W r
\beta ,p)C =
\Bigl( e
n
\Bigr) r
\scrE n(Cq
\beta ,p)C +O(1)Rn(r;\beta ; p)C , (29)
де
Rn(r;\beta ; p)C := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
p
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Rn(r;\beta )(t)dt. (30)
Як випливає з теореми 1 [25] i формули (25) [27], при довiльних 1 \leq p \leq \infty для величин
\scrE n(Cq
\beta ,p)C , 0 < q < 1, \beta \in \BbbR , мають мiсце рiвностi
\scrE n(Cq
\beta ,1)C = qn
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+O(1)
q
n(1 - q)2
\biggr)
, p = 1, (31)
i
\scrE n(Cq
\beta ,p)C = qn
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
F
1
p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; q2
\biggr)
+O(1)
\xi (p)q
n(1 - q)s(p)
\biggr)
,
1 < p \leq \infty ,
1
p
+
1
p\prime
= 1,
(32)
де
s(p) =
\Biggl\{
1, p = \infty ,
2, p \in [1,\infty ),
\xi (p) =
\Biggl\{
0, p = 2,
1, p \in [1, 2) \cup (2,\infty ],
(33)
а величини O(1) рiвномiрно обмеженi щодо n, p, q i \beta .
Для залишкових членiв зi спiввiдношень (31), (32) при q = e - r/n за умови
\surd
n + 1 \leq r \leq
\leq n+ 1, з урахуванням нерiвностей
e - x \leq 1
1 + x
, x > 0, (34)
1
1 - e - x
\leq 1 + x
x
, x > 0, (35)
отримуємо такi оцiнки:
q
n(1 - q)s(p)
\leq e - r/n
n(1 - e - r/n)2
\leq 1
n(1 + r/n)
\biggl(
1 + r/n
r/n
\biggr) 2
=
n+ r
r2
\leq 2n+ 1
r2
= O(1)nr - 2.
(36)
Встановимо оцiнку зверху залишку Rn(r;\beta ; p)C зi спiввiдношення (29). Покажемо, що за
умови (20) для залишку Rn(r;\beta ; p)C , означеного рiвнiстю (30), при всiх 1 \leq p \leq \infty справджу-
ється рiвномiрна щодо всiх розглядуваних параметрiв оцiнка
Rn(r;\beta ; p)C = O(1)n - r+1r - 2, 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR . (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 691
Застосовуючи нерiвнiсть Гельдера до правої частини (30) i враховуючи, що q = e - r/n,
маємо
Rn(r;\beta ; p)C \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Br,\beta ,n(t) -
\Bigl( e
n
\Bigr) r
Pq,\beta ,n(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
=
= n - r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
\Bigl( \Bigl( n
k
\Bigr) r
- qk - n
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
=
= n - r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=1
\Biggl( \biggl(
1 +
k
n
\biggr) - r
- e - rk/n
\Biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
(k + n)t - \beta \pi
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
\leq (2\pi )1/p
\prime
n - r
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
, (38)
де
\varphi (x) := (1 + x) - r - e - rx. (39)
Для оцiнки зверху величини
\sum \infty
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
нам знадобиться твердження, доведення якого
наведемо пiсля доведення теореми 1.
Лема 1. Нехай r > 1, n \in \BbbN i виконується умова (20). Тодi мають мiсце нерiвностi
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
< (54e - 1 + 16 - 8
\surd
2)nr - 2 < 24, 5518nr - 2. (40)
Оцiнка (37) у випадку виконання умови (20) є наслiдком формул (38), (40). Тодi, об’єднуючи
спiввiдношення (29), (31), (32) i (36), отримуємо оцiнки (21), (22).
Теорему 1 доведено.
Доведення леми 1. Покладемо m =
\biggl[
n\surd
r
\biggr]
, де [x] — цiла частина дiйсного числа x. Зро-
зумiло, що
m \leq n\surd
r
< m+ 1. (41)
Зазначимо, що (див. [19, c. 145])
0 \leq \varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
\leq e -
rk
n
\biggl(
e
rk2
n(n+k) - 1
\biggr)
=
\Bigl(
e -
r
n
\Bigr) k \biggl(
e
rk2
n(n+k) - 1
\biggr)
, k \in \BbbN . (42)
Крiм того, згiдно з теоремою Лагранжа, при 1 \leq k \leq m
e
rk2
n(n+k) - 1 \leq e
rm2
n(n+1)
rk2
n(n+ k)
< e
rm2
n2
rk2
n2
. (43)
Згiдно з (20), rm2/n2 \leq 1 i, отже,
e
rm2
n2 \leq e. (44)
Об’єднуючи оцiнки (42) – (44) i враховуючи, що при довiльних 0 < q < 1
\infty \sum
k=1
qkk2 =
q(1 + q)
(1 - q)3
, (45)
одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
692 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
m\sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
\leq
\Biggl(
m\sum
k=1
\Bigl(
e -
r
n
\Bigr) k
k2
\Biggr)
er
n2
<
\Biggl( \infty \sum
k=1
\Bigl(
e -
r
n
\Bigr) k
k2
\Biggr)
er
n2
=
=
e -
r
n
\Bigl(
1 + e -
r
n
\Bigr)
\Bigl(
1 - e -
r
n
\Bigr) 3 er
n2
<
2e -
r
n\Bigl(
1 - e -
r
n
\Bigr) 3 ern2
. (46)
Оскiльки, як неважко переконатись, функцiя e - x(1 + x)3 набуває найбiльшого значення на
(0,+\infty ) в точцi x0 = 2, тобто \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x>0
e - x(1 + x)3 =
27
e2
, то
e - x \leq 27
e2(1 + x)3
, x > 0. (47)
Використовуючи нерiвностi (35), (47), маємо
e -
r
n\Bigl(
1 - e -
r
n
\Bigr) 3 \leq 27
e2
\bigl(
1 + r
n
\bigr) 3
\bigl(
1 + r
n
\bigr) 3\bigl(
r
n
\bigr) 3 =
27
e2
n3
r3
. (48)
Iз (46), (48) випливає нерiвнiсть
m\sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
<
54
e
nr - 2. (49)
Далi знайдемо оцiнку зверху величини
\sum \infty
k=m+1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
. На пiдставi очевидної нерiвностi
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
<
\biggl(
1 +
k
n
\biggr) - r
(50)
i нерiвностi (41) маємо
\varphi
\biggl(
m+ 1
n
\biggr)
<
\biggl(
1 +
m+ 1
n
\biggr) - r
<
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r
(51)
i
\infty \sum
k=m+2
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
<
\infty \sum
k=m+2
\biggl(
1 +
k
n
\biggr) - r
<
\infty \int
m+1
\biggl(
1 +
t
n
\biggr) - r
dt = n
\infty \int
m+1
n
(1 + x) - r dx =
=
n
r - 1
\biggl(
1 +
m+ 1
n
\biggr) - r+1
<
n
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
. (52)
Функцiя
r2
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
спадає на промiжку [2,+\infty ), тому
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r\geq 2
r2
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
= 8 - 4
\surd
2. (53)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 693
Iз (51), (53) отримуємо
\infty \sum
k=m+1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
<
\biggl( \surd
r
1 +
\surd
r
+
n
r - 1
\biggr) \biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
=
r + n -
\surd
r
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
<
<
2n+ 1 -
\surd
r
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
<
2n
r2
r2
r - 1
\biggl(
1 +
1\surd
r
\biggr) - r+1
\leq (16 - 8
\surd
2)nr - 2. (54)
Об’єднуючи оцiнки (49) i (54), одержуємо нерiвностi (40).
Лему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR , r > 1 i n \in \BbbN . Тодi за умови
n+ 1 \leq r \leq n2 (55)
при p = 1 має мiсце формула
\scrE n(W r
\beta ,1)C = n - r
\biggl(
1
\pi (1 - e - r/n)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
, (56)
а при 1 < p \leq \infty — формула
\scrE n(W r
\beta ,p)C = n - r
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
F
1
p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; e - 2r/n
\biggr)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (57)
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса вигляду (23). В (56) i (57) O(1) — величини,
рiвномiрно обмеженi щодо всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення будемо проводити за схемою доведення теореми 1. Базуючись на спiввiдно-
шеннi (29) i використовуючи рiвностi (31), (32), неважко помiтити, що асимптотичнi формули
(56) i (57) будуть встановленi, якщо за виконання умови (55) ми доведемо iстиннiсть таких
рiвномiрних за всiма параметрами оцiнок:
1
(1 - q)2
= O(1), де q = e - r/n, (58)
i
Rn(r;\beta ; p)C = O(1)rn - r - 2e - r/n, 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR . (59)
Щоб переконатись у справедливостi (58), достатньо скористатись нерiвнiстю (35) при x =
r
n
i
спiввiдношенням (55), згiдно з якими
1
(1 - q)2
=
1
(1 - e - r/n)2
\leq
\biggl(
1 + r/n
r/n
\biggr) 2
=
\biggl(
r + n
r
\biggr) 2
\leq 2r - 1
r
< 2.
Для оцiнювання залишку Rn(r;\beta ; p)C використаємо ланцюжок спiввiдношень (38), згiдно
з якими
Rn(r;\beta ; p)C = O(1)n - r
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
. (60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
694 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Як випливає з доведення теореми 3 роботи [19, c. 147], при n \in \BbbN i n + 1 \leq r \leq n2
рiвномiрно щодо всiх розглядуваних параметрiв справджується оцiнка
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
= O(1)rn - 2e - r/n. (61)
Оцiнка (59) випливає безпосередньо iз формул (60), (61).
Теорему 2 доведено.
3. Наближення функцiй iз класiв \bfitW \bfitr
\bfitbeta ,\bfone сумами Фур’є в iнтегральних метриках.
Теорема 3. Нехай 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR , r > 1 i n \in \BbbN . Тодi за умови
\surd
n + 1 \leq r \leq n + 1
при 1 \leq p < \infty має мiсце формула
\scrE n(W r
\beta ,1)Lp = n - r
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
F
1
p
\Bigl( p
2
,
p
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
+O(1)nr - 2
\biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (62)
а при p = \infty — формула
\scrE n(W r
\beta ,1)L\infty = n - r
\biggl(
1
\pi (1 - e - r/n)
+O(1)nr - 2
\biggr)
, (63)
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса вигляду (23), а O(1) — величини, рiвномiрно
обмеженi щодо всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення. Як i при доведеннi теореми 1, запишемо величину \scrE n(W r
\beta ,1)Lp , r > 1, 1 \leq p \leq
\leq \infty , \beta \in \BbbR , у виглядi
\scrE n(W r
\beta ,1)Lp =
\Bigl( e
n
\Bigr) r
\scrE n(Cq
\beta ,1)Lp +O(1)Rn(r;\beta ; 1)Lp , (64)
де
\scrE n(Cq
\beta ,1)Lp =
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Pq,\beta ,n(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
, q = e - r/n, (65)
Rn(r;\beta ; 1)Lp := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\pi \int
- \pi
\varphi (x - t)Rn(r;\beta )(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
, (66)
а Rn(r;\beta )(t) означено рiвнiстю (28).
Як випливає з теореми 1 роботи [26] та формули (25) роботи [27], при довiльних 1 \leq p \leq \infty
для величин \scrE n(Cq
\beta ,1)Lp , 0 < q < 1, \beta \in \BbbR , справджуються асимптотичнi рiвностi
\scrE n(Cq
\beta ,1)Lp =
=
\left\{
qn
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
F
1
p
\Bigl( p
2
,
p
2
; 1; q2
\Bigr)
+O(1)
q
n(1 - q)s(p\prime )
\biggr)
, 1 \leq p < \infty ,
1
p
+
1
p\prime
= 1,
qn
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+O(1)
q
n(1 - q)2
\biggr)
, p = \infty ,
(67)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 695
в яких s(\cdot ) означено спiввiдношенням (33), a O(1) — величини, що рiвномiрно обмеженi щодо
всiх розглядуваних параметрiв.
В роботi [24, с. 250] було доведено, що для величин \scrE n(Cq
\beta ,1)Lp при p = 2 виконується
рiвнiсть
\scrE n(Cq
\beta ,1)L2 =
qn\sqrt{}
\pi (1 - q2)
, 0 < q < 1, \beta \in \BbbR , n \in \BbbN . (68)
Рiвнiсть (68) уточнює асимптотичну рiвнiсть (67) при p = 2 в тому сенсi, що зазначена рiвнiсть
(67) при s = 2 залишається правильною, якщо в нiй обнулити залишковий член.
Отже, беручи до уваги формули (67), (68) та очевидну рiвнiсть F (1, 1; 1; q2) =
1
1 - q2
,
q \in (0, 1), для всiх 0 < q < 1, \beta \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty можемо записати
\scrE n(Cq
\beta ,1)Lp =
=
\left\{
qn
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
F
1
p
\Bigl( p
2
,
p
2
; 1; q2
\Bigr)
+O(1)
\xi (p)q
n(1 - q)s(p\prime )
\biggr)
, 1 \leq p < \infty ,
1
p
+
1
p\prime
= 1,
qn
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+O(1)
q
n(1 - q)2
\biggr)
, p = \infty ,
(69)
де \xi (\cdot ) i s(\cdot ) означено формулами (33), a O(1) — величини, що рiвномiрно обмеженi щодо всiх
розглядуваних параметрiв.
Застосовуючи до правої частини (66) твердження 1.5.5 iз роботи [28, с. 43], згiдно з яким
для Lp-норми згортки (\varphi \ast K)(\cdot ) = 1
\pi
\int \pi
- \pi
\varphi (\cdot - t)K(t)dt, де \varphi \in L1,K \in Lp, 1 \leq p \leq \infty ,
\| \varphi \ast K\| p \leq
1
\pi
\| \varphi \| 1\| K\| p, (70)
i враховуючи оцiнку (40), для залишку Rn(r;\beta ; 1)Lp при 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR i виконаннi умови
(20) одержуємо
Rn(r;\beta ; 1)Lp \leq \| Rn(r;\beta )(t)\| p \leq (2\pi )1/pn - r
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
= O(1)n1 - rr - 2. (71)
Iз (36), (64), (69) i (71) отримуємо рiвностi (62), (63).
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай 1 \leq p \leq \infty , \beta \in \BbbR , r > 1 i n \in \BbbN . Тодi за умови n + 1 \leq r \leq n2 при
1 \leq p < \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,1)Lp = n - r
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
F
1
p
\Bigl( p
2
,
p
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (72)
а при p = \infty — рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,1)L\infty = n - r
\biggl(
1
\pi (1 - e - r/n)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
, (73)
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса вигляду (23), а O(1) — величини, рiвномiрно
обмеженi щодо всiх розглядуваних параметрiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
696 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Доведення. За умови n+ 1 \leq r \leq n2, згiдно з (61), (66) i (70),
Rn(r;\beta ; 1)Lp = \| Rn(r;\beta )(t)\| p \leq (2\pi )1/pn - r
\infty \sum
k=1
\varphi
\biggl(
k
n
\biggr)
= O(1)rn - r - 2e - r/n. (74)
Об’єднуючи спiввiдношення (64), (69) i (74), для величин \scrE n(W r
\beta ,1)Lp за умови (55) отримуємо
рiвностi
\scrE n(W r
\beta ,1)Lp =
\left\{
n - r
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
F
1
p
\Bigl( p
2
,
p
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
, 1 \leq p < \infty ,
n - r
\biggl(
1
\pi (1 - e - r/n)
+O(1)rn - 2e - r/n
\biggr)
, p = \infty .
Теорему 4 доведено.
Зрозумiло, що у формулах (63), (73) величини \scrE n(W r
\beta ,1)L\infty можна замiнити на \scrE n(W r
\beta ,1)C
i, по сутi, зазначенi оцiнки збiгаються з оцiнками (21) i (56) вiдповiдно. Доцiльнiсть наведення
їх у теоремах 3, 4 мотивується завершенiстю формулювання останнiх щодо параметра p, 1 \leq
\leq p \leq \infty .
В ходi доведення теорем 1 – 4 суттєвим чином були використанi асимптотичнi рiвностi для
точних верхнiх меж вiдхилень сум Фур’є на класах iнтегралiв Пуассона Cq
\beta ,p (формули (31),
(32), (67)). Завдяки роботам [1, 2, 17, 18, 29, 30] аналогiчнi асимптотичнi рiвностi встановлено
i для класiв узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta ,p (див., наприклад, [30]).
4. Зауваження та наслiдки.
Зауваження 1. Формули (21), (22), (56), (57), (62), (63), (72) i (73), якi фiгурують в теоремах
1 – 4, є асимптотичними рiвностями при r \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty у випадку, коли частка
r
n
обмежена
зверху i знизу деякими додатними числами K1 i K2 :
0 < K1 \leq
r
n
\leq K2 < +\infty . (75)
Справдi, нехай спочатку
\surd
n+ 1 \leq r \leq n+ 1. В цьому випадку
0 < K1 \leq
r
n
\leq 2 (76)
i, отже, можна записати
n
r2
= O
\biggl(
1
r
\biggr)
. (77)
Далi, з урахуванням (76) маємо
1
1 - e - r/n
\geq 1
1 - e - 2
, (78)
F
\Bigl(
s, s; 1; e - 2r/n
\Bigr)
\geq F
\bigl(
s, s; 1; e - 4
\bigr)
, s > 0. (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 697
Iз спiввiдношень (76), (78) i (79) випливає, що за умови (75) формули (21), (22), (62) i (63)
є асимптотичними рiвностями при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty . При цьому у (21), (22) i (62), (63)
залишковий член O(1)nr - 2 можна замiнити на O
\biggl(
1
r
\biggr)
.
Нехай, далi, n+ 1 \leq r \leq n2. В цьому випадку
1 <
r
n
\leq K2 < +\infty , (80)
i, отже,
r
n2
e - r/n = O
\biggl(
1
r
\biggr)
. (81)
Очевидно також, що
1
1 - e - r/n
> 1, (82)
F
\Bigl(
s, s; 1; e - 2r/n
\Bigr)
> 1, s > 0. (83)
Iз спiввiдношень (81) – (83) випливає, що формули (56), (57), (72) i (73) за умови (75) також
є асимптотичними рiвностями при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty .
Зауваження 2. Формули (21), (22), (62) i (63) з теорем 1 i 3 є асимптотичними рiвностями
при r \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty у випадку, коли
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
n\rightarrow \infty
r
n
= 0. (84)
Справдi, згiдно з умовою
\surd
n+1 \leq r \leq n+1, що фiгурує в зазначених теоремах, виконується
нерiвнiсть
n
r2
\leq 1, (85)
а отже, залишковi члени у формулах (21), (22), (62) i (63) рiвномiрно обмеженi за всiма парамет-
рами. Залишилося показати, що головнi члени у зазначених формулах за умови (84) прямують
до нескiнченностi при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty . Оскiльки
1
1 - e - x
=
1
x
+O(1) при x \rightarrow 0, (86)
то за умови (84) справджується асимптотична рiвнiсть
1
1 - e - r/n
=
n
r
+O(1). (87)
Iз (84), (85) i (87) випливає, що формули (21) i (62) є асимптотичними рiвностями. I навiть
бiльше, насправдi ми довели таке твердження.
Наслiдок 1. Нехай
\surd
n + 1 \leq r \leq n + 1, n \in \BbbN , \beta \in \BbbR i має мiсце (84). Тодi при r \rightarrow \infty i
n \rightarrow \infty виконується асимптотична рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,1)C = \scrE n(W r
\beta ,1)L\infty =
1
rnr - 1
\biggl(
1
\pi
+O
\biggl(
r
n
+
1
r
\biggr) \biggr)
. (88)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
698 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Покажемо далi, що за умови (84)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
n\rightarrow \infty
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
= +\infty , s > 0. (89)
Як показано у [27] (формула (25)),
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
=
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\sqrt{}
1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+ q2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s
dx
\right) 1/s
, s \geq 1, q \in (0, 1), (90)
тому, враховуючи, що величина\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\sqrt{}
1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+ q2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s
dx
\right) 1/s
зростає за параметром s на [1,+\infty ), отримуємо
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
\geq F
\biggl(
1
2
,
1
2
; 1; q2
\biggr)
=
1
2\pi
2\pi \int
0
dx\sqrt{}
1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+ q2
=
2
\pi
\bfK (q), (91)
де \bfK (q) — повний елiптичний iнтеграл першого роду.
Iз (91) i асимптотичного розкладу величини \bfK (q),
\bfK (q) =
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
+ C + o(1), q \rightarrow 1 - 0
(див. [31], гл. 22), а також iз формули (87) маємо
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
\geq 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - e - r/n
+O(1) =
1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
n
r
+O(1) \rightarrow \infty . (92)
Iз (85), (92) випливає, що за умови (84) оцiнки (21) i (62) є асимптотичними рiвностями при
r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty .
Зауваження 3. Формули (56), (57), (72) i (73), якi фiгурують у теоремах 2 i 4, є асимптотич-
ними рiвностями при r \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty у випадку, коли
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
n\rightarrow \infty
r
n
= +\infty . (93)
Справдi, як зазначалось ранiше, згiдно з умовою n + 1 \leq r \leq n2 має мiсце оцiнка (81) i,
крiм того, з урахуванням (93)
1
1 - e - r/n
= 1 + e - r/n +O(1)e - 2r/n. (94)
Iз (81) i (94) випливає, що формули (56) i (73) є асимптотичними рiвностями. I навiть
бiльше, ми тим самим довели таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай n+1 \leq r \leq n2, n \in \BbbN , \beta \in \BbbR i має мiсце (93). Тодi при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty
виконується асимптотична рiвнiсть
\scrE n(W r
\beta ,1)C = \scrE n(W r
\beta ,1)L\infty =
1
nr
\biggl(
1
\pi
+
1
\pi
e - r/n +O(1)
\Bigl( r
n2
+ e - r/n
\Bigr)
e - r/n
\biggr)
. (95)
Iз спiввiдношень (90), (91) для величини F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
випливає двостороння оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА КЛАСАХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ У СЕНСI ВЕЙЛЯ – НАДЯ . . . 699
2
\pi
\bfK (q) \leq F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
\leq 1
1 - q
, s \geq 1, q \in (0, 1). (96)
Оскiльки згiдно з (91)
\bfK (q) =
\pi
2
+O(q2), (97)
то iз (96) при q = e - r/n за умови (93) випливає асимптотична при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty рiвнiсть
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; e - 2r/n
\Bigr)
= 1 +O(1)e - r/n, 1 \leq s < \infty . (98)
Iз (81) i (98) випливає, що за умови (93) формули (57) i (72) є асимптотичними при r \rightarrow \infty
i n \rightarrow \infty рiвностями. При цьому ми встановили таке твердження.
Наслiдок 3. Нехай 1 \leq p \leq \infty , n \in \BbbN , \beta \in \BbbR i n + 1 \leq r \leq n2. Тодi за умови (93) мають
мiсце асимптотичнi при r \rightarrow \infty i n \rightarrow \infty рiвностi
\scrE n(W r
\beta ,p)C =
1
nr
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
+O(1)e - r/n
\biggr)
,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (99)
\scrE n(W r
\beta ,1)Lp =
1
nr
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
\pi
+O(1)e - r/n
\biggr)
. (100)
Утiм асимптотичнi рiвностi (99) i (100) випливають також iз (14) i (15) вiдповiдно. Отже,
формули (14) i (15) та (56), (57), (72) i (73) повнiстю узгоджуються мiж собою.
Зауваження 4. Оцiнки (21) i (56) є граничними випадками оцiнок (22) i (57) при p\prime \rightarrow \infty .
Аналогiчно, оцiнки (63) i (73) є граничними випадками оцiнок (62) i (72) при p \rightarrow \infty .
Щоб у цьому переконатись, потрiбно перейти до границi при s \rightarrow \infty у формулi (90):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
1
(2\pi )1/s
\left( 2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\sqrt{}
1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+ q2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s
dx
\right) 1/s
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\sqrt{}
1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot ) + q2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\infty
=
1
1 - q
. (101)
Далi залишається застосувати (101) при q = e - r/n i s = p\prime або s = p.
Лiтература
1. A. I. Stepanets, Classification and approximation of periodic functions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1995).
2. A. I. Stepanets, Methods of approximation theory, VSP, Utrecht (2005).
3. B. Sz.-Nagy, Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen. 1. Periodischer
Fall, Ber. Math.-Phys. Kl. Akad. Wiss., Leipzig, 90, 103 – 134 (1938).
4. S. B. Stechkin, On the best approximation of certain classes of periodic functions by trigonometric polynomials, Izv.
Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 20, 643 – 648 (1956) (in Russian).
5. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Comput. Math. and Anal. Ser. Nova Sci. Publ. Inc., New
York (1993).
6. A. N. Kolmogorov, On the order of the remainders of the Fourier series of differentiable functions, Selected Works.
Mathematics and Mechanics, Nauka, Moscow (1985), p. 179 – 185.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
700 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
7. V. T. Pinkevich, On the order of the remainders of the Fourier series of functions differentiable in the sense of Weyl,
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 4, 521 – 528 (1940) (in Russian).
8. S. M. Nikol’skii, An asymptotic estimation of the remainder under approximation by Fourier sums, Dokl. Akad.
Nauk SSSR, 32, 386 – 389 (1941) (in Russian).
9. A. V. Efimov, Approximation of continuous periodic functions by Fourier sums, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.,
24, 243 – 296 (1960) (in Russian).
10. S. A. Telyakovskii, On the norms of trigonometric polynomials and approximation of differentiable functions by the
linear means of their Fourier series, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 62, 61 – 97 (1961) (in Russian).
11. S. M. Nikol’skii, Approximation of functions in the mean by trigonometric polynomials, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser.
Mat., 10, 207 – 256 (1946) (in Russian).
12. S. B. Stechkin, S. A. Telyakovskii, On approximation of differentiable functions by trigonometric polynomials in the
L metric, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 88, 20 – 29 (1967) (in Russian).
13. I. G. Sokolov, The remainder term of the Fourier series of differentiable functions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 103,
23 – 26 (1955) (in Russian).
14. S. G. Selivanova, Approximation by Fourier sums of the functions possessing a derivative satisfying the Lipschitz
condition, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 105, 909 – 912 (1955) (in Russian).
15. G. I. Natanson, Approximation by Fourier sums of functions possessing different structural properties on different
parts of the domain of definition, Vestn. Leningr. Univ., 19, 20 – 35 (1961) (in Russian).
16. S. A. Telyakovskii, Approximation of differentiable functions by the partial sums of their Fourier series, Math. Notes,
4, 668 – 673 (1968).
17. S. A. Telyakovskii, Approximation of functions of high smoothness by Fourier sums, Ukr. Math. J., 41, № 4, 444 – 451
(1989).
18. S. A. Telyakovskii, On approximation by Fourier sums of differentiable functions of high smoothness, Tr. Mat. Inst.
Steklov, 198, 193 – 211 (1992).
19. S. B. Stechkin, An estimation of the remainders of the Fourier series of differentiable functions, Tr. Mat. Inst. Akad.
Nauk SSSR, 145, 126 – 151 (1980) (in Russian).
20. A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Approximation by Fourier sums in classes of differentiable functions with high
exponents of smoothness, Methods Funct. Anal. and Top., 25, № 4, 381 – 387 (2019).
21. A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Asymptotic estimates for the best uniform approximations of classes of convolution
of periodic functions of high smoothness, J. Math. Sci., 252, 526 – 540 (2021).
22. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами в метриках
просторiв Lp на класах перiодичних цiлих функцiй, Укр. мат. журн., 71, № 2, 283 – 292 (2019).
23. A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Uniform approximation of classes of (\psi , \=\beta )-differentiable functions by linear methods,
Approx. Theory Funct. and Relat. Probl., 8, № 1, 181 – 189 (2011) (in Ukrainian).
24. A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Approximation by linear methods of classes of (\psi , \=\beta )-differentiable functions,
Approx. Theory Funct. and Relat. Probl., 10, № 1, 245 – 254 (2013) (in Ukrainian).
25. A. S. Serdyuk, Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the uniform metric, Ukr. Math. J.,
57, № 8, 1275 – 1296 (2005).
26. A. S. Serdyuk, Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space Lp , Ukr.
Math. J., 57, № 10, 1635 – 1651 (2005).
27. А. С. Сердюк, Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами на класах перiодичних аналi-
тичних функцiй, Укр. мат. журн., 64, № 5, 698 – 712 (2012).
28. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
29. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Наближення класiв узагальнених iнтегралiв Пуассона сумами Фур’є в метриках
просторiв Ls , Укр. мат. журн., 69, № 5, 695 – 704 (2017).
30. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Uniform approximations by fourier sums in classes of generalized Poisson integrals,
Anal. Math., 45, № 1, 201 – 236 (2019).
31. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, Физматгиз, Москва (1983).
Одержано 29.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7136 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:39Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/8c3e376da878947e181db5a74d0d0478.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71362022-10-25T09:23:03Z Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness Наближення сумами Фур’є на класах диференційовних у сенсі Вейля – Надя функцій із високим показником гладкості Serdyuk, A. S. Sokolenko , I. V. Сердюк, А. С. Соколенко , І. В. Суми Фур'є, клас Вейля-Надя асимптотична рівність Fourier sum Weyl-Nagy class asymptotic equality UDC 517.5 We establish asymptotic estimates for the least upper bound of approximations in the uniform metric by Fourier sums of order $n-1$ in classes of $2\pi$-periodic Weyl-Nagy differentiable functions $W^r_{\beta,p},$ $1\le p\le \infty,$ $\beta\in\mathbb{R},$ with high exponents of smoothness $r\ (r-1\ge \sqrt{n}).$&nbsp;&nbsp;We also obtain similar estimates for functional classes $W^r_{\beta,1}$ in metrics of the spaces $L_p, 1\le p\le\infty.$ УДК 517.5 Встановлено асимптотичні оцінки точних верхніх меж відхилень у рівномірній метриці частинних сум Фур'є порядку $n-1$ на класах $2\pi$-періодичних функцій, диференційовних у сенсі Вейля–Надя, $W^r_{\beta,p}, 1\le p\le \infty, \beta\in\mathbb{R},$ при високих показниках гладкості $r\ (r-1\ge \sqrt{n}).$ Аналогічні оцінки встановлено і в метриках просторів $L_p, 1\le p\le\infty,$ для функціональних класів $W^r_{\beta,1}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7136 10.37863/umzh.v74i5.7136 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 685 - 700 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 685 - 700 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7136/9241 Copyright (c) 2022 Igor Sokolenko, Анатолій Сердюк |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko , I. V. Сердюк, А. С. Соколенко , І. В. Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title | Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title_alt | Наближення сумами Фур’є на класах диференційовних у сенсі Вейля – Надя функцій із високим показником гладкості |
| title_full | Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title_fullStr | Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title_full_unstemmed | Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title_short | Approximation by Fourier sums in classes of Weyl – Nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| title_sort | approximation by fourier sums in classes of weyl – nagy differentiable functions with high exponent of smoothness |
| topic_facet | Суми Фур'є, клас Вейля-Надя асимптотична рівність Fourier sum Weyl-Nagy class asymptotic equality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7136 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationbyfouriersumsinclassesofweylnagydifferentiablefunctionswithhighexponentofsmoothness AT sokolenkoiv approximationbyfouriersumsinclassesofweylnagydifferentiablefunctionswithhighexponentofsmoothness AT serdûkas approximationbyfouriersumsinclassesofweylnagydifferentiablefunctionswithhighexponentofsmoothness AT sokolenkoív approximationbyfouriersumsinclassesofweylnagydifferentiablefunctionswithhighexponentofsmoothness AT serdyukas nabližennâsumamifurênaklasahdiferencíjovnihusensívejlânadâfunkcíjízvisokimpokaznikomgladkostí AT sokolenkoiv nabližennâsumamifurênaklasahdiferencíjovnihusensívejlânadâfunkcíjízvisokimpokaznikomgladkostí AT serdûkas nabližennâsumamifurênaklasahdiferencíjovnihusensívejlânadâfunkcíjízvisokimpokaznikomgladkostí AT sokolenkoív nabližennâsumamifurênaklasahdiferencíjovnihusensívejlânadâfunkcíjízvisokimpokaznikomgladkostí |