Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets
УДК 517.555 For the classical Wiman inequality $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},$ $\varepsilon>0,$ with entire functions $f(z)=\displaystyle \sum\nolimits _{n=0}^{+\infty}a_nz^n,$ $z\in {\mathbb C},$ which holds outside a set of finite logarithmic measure, P. L${\rm\acut...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7137 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512617961881600 |
|---|---|
| author | Kuryliak, A. O. Skaskiv , O. B. Куриляк , А. О. Скасків , О. Б. |
| author_facet | Kuryliak, A. O. Skaskiv , O. B. Куриляк , А. О. Скасків , О. Б. |
| author_sort | Kuryliak, A. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:05Z |
| description | УДК 517.555
For the classical Wiman inequality $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},$ $\varepsilon>0,$ with entire functions $f(z)=\displaystyle \sum\nolimits _{n=0}^{+\infty}a_nz^n,$ $z\in {\mathbb C},$ which holds outside a set of finite logarithmic measure, P. L${\rm\acute{e}}$vy established (1929) that under some additional regularity conditions on $\ln M_f (r)$ the constant $1/2$ can be replaced by $1/4$ almost surely in some sense; here $M_f(r)=\max  \big \{|f(z)|\colon |z|=r \big \},$ $\mu_f(r)=\max  \big \{|a_n|r^n\colon n\geq 04\},$ $r>0. $  In this paper, we prove that the result established by P. L${\rm\acute{e}}$vy holds also in the case of Wiman-type inequality for  analytic functions in any multiple-circular domain, which gives an affirmative answer to the question posed by A. A. Goldberg and M. M. Sheremeta (1996).  Earlier, the answer to their question was obtained for Fenton's inequality in the case of entire functions of two variables (Mat. Stud., {\bf 23}, \No 2 (2005)), entire functions of several variables (Ufa Math. J., {\bf 6}, \No 2 (2014)), and analytic functions of several variables in a polydisc (Eur. J. Math., {\bf 6}, \No 1 (2020)). |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7137 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7137
УДК 517.555
А. О. Куриляк, О. Б. Скаскiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ:
ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ
For the classical Wiman inequality Mf (r) \leq \mu f (r)(\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r))
1/2+\varepsilon , \varepsilon > 0, with entire functions f(z) =
\sum +\infty
n=0
anz
n,
z \in \BbbC , which holds outside a set of finite logarithmic measure, P. L\'\mathrm{e}vy established (1929) that under some additional
regularity conditions on \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) the constant 1/2 can be replaced by 1/4 almost surely in some sense; here Mf (r) =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| f(z)| : | z| = r
\bigr\}
, \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| an| rn : n \geq 04\} , r > 0. In this paper, we prove that the result established
by P. L\'\mathrm{e}vy holds also in the case of Wiman-type inequality for analytic functions in any multiple-circular domain, which
gives an affirmative answer to the question posed by A. A. Goldberg and M. M. Sheremeta (1996). Earlier, the answer to
their question was obtained for Fenton’s inequality in the case of entire functions of two variables (Mat. Stud., 23, № 2
(2005)), entire functions of several variables (Ufa Math. J., 6, № 2 (2014)), and analytic functions of several variables in a
polydisc (Eur. J. Math., 6, № 1 (2020)).
Для цiлих функцiй вигляду f(z) =
\sum +\infty
n=0
anz
n, z \in \BbbC , П. Левi (1929 р.) встановив, що у класичнiй нерiвностi
Вiмана Mf (r) \leq \mu f (r)(\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r))
1/2+\varepsilon , \varepsilon > 0, що виконується зовнi множини скiнченної логарифмiчної мiри,
за деяких додаткових припущень регулярностi поводження \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) показник 1/2 майже напевно у деякому
ймовiрнiсному сенсi можна замiнити на 1/4. Тут Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| f(z)| : | z| = r
\bigr\}
, \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| an| rn : n \geq 0
\bigr\}
,
r > 0. У данiй статтi доведено, що ефект, вiдкритий П. Левi, справджується також у випадку нерiвностi типу
Вiмана для аналiтичних функцiй у довiльнiй кратно-круговiй областi. Це дає позитивну вiдповiдь на питання проф.
А. А. Гольдберга i проф. М. М. Шеремети (1996 р.) щодо можливостi такого ефекту у цьому випадку. Ранiше
позитивну вiдповiдь на це питання було отримано у випадку нерiвностi Фентона для цiлих функцiй двох змiнних
(Mat. Stud., 23, № 2 (2005)), для цiлих функцiй багатьох змiнних (Ufa Math. J., 6, № 2 (2014)), для аналiтичних
функцiй багатьох змiнних у полiкрузi (Eur. J. Math., 6, № 1 (2020)).
1. Вступ. Для цiлої функцiї вигляду
f(z) =
+\infty \sum
n=0
anz
n (1)
позначимо Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| f(z)| : | z| = r
\bigr\}
, \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| an| rn : n \geq 0
\bigr\}
, r > 0. Вiдомо (див.,
наприклад, [1 – 6]), що за класичною теоремою А. Вiмана i Ж. Валiрона для кожної вiдмiнної вiд
тотожно сталої функцiї вигляду (1) i для кожного \varepsilon > 0 iснує множина E = Ef (\varepsilon ) \subset [1; +\infty )
скiнченної логарифмiчної мiри
\Bigl(
тобто
\int
E
d \mathrm{l}\mathrm{n} r < +\infty
\Bigr)
така, що нерiвнiсть Вiмана
Mf (r) \leq \mu f (r) \mathrm{l}\mathrm{n}
1/2+\delta \mu f (r)
виконується для r \in (1,+\infty ) \setminus Ef (\varepsilon ). Зауважимо, що у [7] П. Левi довiв, що для кожної цiлої
функцiї f за деяких додаткових умов на регулярнiсть поводження \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) у нерiвностi Вiмана
сталу 1/2 можна замiнити на 1/4 у деякому ймовiрнiсному сенсi майже напевно (ефект Левi).
Щодо твердження про нерiвнiсть Вiмана проф. Й. В. Островський у 1995 р. сформулював
таке питання: який найкращий опис величини виняткової множини E? Це ж питання було
розглянуто в рядi статей (див., наприклад, [4, 5, 8 – 15]) по вiдношенню до багатьох iнших
спiввiдношень, що розглядаються в теорiї Вiмана – Валiрона. У статтях [4 – 6] доведено деякi
аналоги нерiвностi Вiмана зовнi виняткової множини E скiнченної h-логарифмiчної мiри.
c\bigcirc А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, 2022
650 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 651
Зокрема, у статтi [6] доведено, що для кожної вiдмiнної вiд тотожно сталої аналiтичної функцiї
у крузi \BbbD R = \{ z : | z| < R\} , 0 < R \leq +\infty , вигляду (1) i для кожної додатної неспадної на
(0, R) функцiї h(r) такої, що h(r) \geq 2, r \in (0, R), нерiвнiсть
Mf (r) \leq h(r)\mu f (r)
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}(h(r)\mu f (r))
\bigr) 1/2+\delta
(2)
виконується для r \in (r0, R) зовнi виняткової множини E = Ef (\varepsilon , h) скiнченної h-логариф-
мiчної мiри, тобто
\int
E\cap (r0,R)
h(r)d \mathrm{l}\mathrm{n} r < +\infty . I навiть бiльше, у статтi [5] було встановлено,
що оцiнка \int
E
\mathrm{l}\mathrm{n}1/2 \mu f (r)
r
dr < +\infty
виняткової множини E у нерiвностi Вiмана для цiлих функцiй виконується майже напевно у
деякому ймовiрнiсному сенсi; тут h(r) = \mathrm{l}\mathrm{n}1/2 \mu f (r). З iншого боку, з прикладу цiлої функцiї,
побудованої у [4, 5], випливає, що опис виняткової множини у цьому твердженнi для конкретної
цiлої функцiї f не можна iстотно покращити. Власне, для кожного \varepsilon > 0 iснують цiла функцiя
f i множина E \subset [1,+\infty ) такi, що для всiх r \in E
Mf (r) \geq \mu f (r)
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r)
\bigr) 1/2+\varepsilon
i
\int
E
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r)
\bigr) 1/2+\varepsilon
r
dr = +\infty .
У випадку аналiтичних функцiй у крузi \BbbD 1 i h(r) = 1/(1 - r) з нерiвностi (2) випливає аналог
Кеварi нерiвностi Вiмана (див. [16, 17]). У статтях [18 – 24] встановлено наявнiсть ефекту Левi
у випадку нерiвностi Вiмана i аналогiв Кеварi нерiвностi Вiмана для рiзних класiв випадкових
цiлих i аналiтичних в одиничному крузi функцiй однiєї змiнної вiдповiдно.
У 1996 р., пiд час доповiдi П. В. Фiлевича на Львiвському семiнарi з теорiї аналiтичних
функцiй, професори А. А. Гольдберг i М. М. Шеремета поставили таке питання (див. [25, 27]):
чи виконується ефект Левi для аналогiв нерiвностi Вiмана для функцiй багатьох комплексних
змiнних? У статтi [25] отримано позитивну вiдповiдь на це питання у випадку нерiвностi Фен-
тона [26] для цiлих функцiй двох комплексних змiнних, а у статтi [27] — для нерiвностi типу
Вiмана для цiлих функцiй багатьох комплексних змiнних [28] i для аналiтичних функцiй бага-
тьох комплексних змiнних у полiкрузi [36]. Метою цiєї статтi є доведення наявностi ефекту Левi
у випадку нерiвностi типу Вiмана для аналiтичних функцiй у довiльнiй повнiй кратно-круговiй
областi (повнiй областi Рейнгардта), яку вперше отримано в [15]. Твердження, отримане у цiй
статтi, є новим навiть у випадку нерiвностi (2) для аналiтичних функцiй однiєї змiнної в \BbbD R.
2. Позначення, означення, деякi попереднi iнформацiя i результати. Щоб точнiше вказа-
ти мiсце результатiв цiєї статтi серед iнших дослiджень, у цьому пунктi ми наведемо короткий
огляд аналогiв нерiвностi Вiмана, отриманих у рiзних класах аналiтичних функцiй кiлькох
змiнних. Спочатку дамо позначення, необхiднi для подальшого, а також деякi загальнi пояснен-
ня. Через \scrA p
0(\BbbG ), p \in \BbbN , позначимо клас аналiтичних функцiй f у повнiй областi Рейнгардта
\BbbG \subset \BbbC p, якi можна записати у виглядi степеневого ряду
f(z) = f(z1, . . . , zp) =
+\infty \sum
\| n\| =0
anz
n (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
652 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ
з областю збiжностi \BbbG , де zn = zn1
1 . . . z
np
p , z = (z1, . . . , zp) \in \BbbG , n = (n1, . . . , np) \in \BbbZ p+,
\| n\| =
\sum p
j=1
nj . Через \scrA p(\BbbG ) позначимо пiдклас, в який входять функцiї f \in \scrA p
0(\BbbG ) такi, що
iснує таке n \in \BbbN p, що an \not = 0.
Для функцiї f \in \scrA p
0(\BbbG ) вигляду (3) з областю збiжностi \BbbG i r = (r1, . . . , rp) \in | G| :=
\bigl\{
r =
= (r1, . . . , rp) : rj = | zj | , z = (z1, . . . , zp) \in \BbbG
\bigr\}
позначимо
\Delta r0 =
\bigl\{
t \in | G| : tj \geq r0j , j \in \{ 1, . . . , p\}
\bigr\}
, \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| an| rn1
1 . . . r
np
p : n \in \BbbZ p+
\bigr\}
,
Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| f(z)| : | z1| = r1, . . . , | zp| = rp
\bigr\}
, \frakM f (r) =
+\infty \sum
\| n\| =0
| an| rn.
З одного боку, вiдомо, що кожну аналiтичну функцiю f у повнiй областi Рейнгардта \BbbG
з центром z = 0 можна зобразити в \BbbG у виглядi ряду (3). З iншого боку, область збiжностi
кожного ряду вигляду (3) є логарифмiчно-опуклою повною областю Рейнгардта з центром у
точцi z = 0.
Область \BbbG \subset \BbbC p називається повною областю Рейнгардта, якщо:
a) z = (z1, . . . , zp) \in \BbbG =\Rightarrow (\forall R = (R1, . . . , Rp) \in [0, 1]p) : Rz = (R1z1, . . . , Rpzp) \in \BbbG
(повна область);
b) (z1, . . . , zp) \in \BbbG =\Rightarrow (\forall (\theta 1, . . . , \theta p) \in \BbbR p) : (z1e
i\theta 1 , . . . , zpe
i\theta p) \in \BbbG (кратно-кругова
область).
Область Рейнгардта \BbbG є логарифмiчно-опуклою множиною, якщо G\ast =
\bigl\{
z \in \BbbG : z1 . . . zp \not =
\not = 0
\bigr\}
при вiдображеннi \mathrm{L}\mathrm{n} : z \rightarrow \mathrm{L}\mathrm{n}(z) = (\mathrm{l}\mathrm{n} | z1| , . . . , \mathrm{l}\mathrm{n} | zp| ) є опуклою множиною у просторi
\BbbR p. Для однiєї комплексної змiнної (p = 1) логарифмiчно-опуклою областю Рейнгардта є круг.
Областi (p \geq 2)
Cp(R) :=
\bigl\{
z \in \BbbC p : | z1| < R1, . . . , | zp| < Rp
\bigr\}
, R = (R1, . . . , Rp) \in (0,+\infty )p (полiкруг),
\BbbB p(r) :=
\bigl\{
z \in \BbbC p : | z| :=
\sqrt{}
| z1| 2 + . . .+ | zp| 2 < r
\bigr\}
, r \in (0,+\infty ) (куля),
\BbbG = \BbbD \ell \times \BbbC p - \ell , \ell \in \BbbN , 1 \leq \ell < p (необмежений цилiндр)
є логарифмiчно-опуклими повними областями Рейнгардта. Але, наприклад, повна область Рейн-
гардта
G1,2 =
\bigl\{
z = (z1, z2) : | z1| < 1, | z2| < 2
\bigr\}
\cup
\bigl\{
z = (z1, z2) : | z1| < 2, | z2| < 1
\bigr\}
не є логарифмiчно-опуклою областю.
Нехай (\Omega ,\scrA , P ) — ймовiрнiсний простiр Штейнгуаза, тобто \Omega = [0, 1], P — мiра Лебега,
визначена на \sigma -алгебрi \scrA вимiрних за Лебегом пiдмножин [0, 1]. Нехай X = (Xn(t)) — послi-
довнiсть випадкових величин на цьому просторi. Для цiлої функцiї вигляду (3) через \scrK (f,X)
позначимо клас випадкових функцiй вигляду
f(z, t) =
+\infty \sum
\| n\| =0
anXn(t)z
n. (4)
Пiд „майже напевно” будемо розумiти, що деяка властивiсть виконується майже скрiзь за
мiрою Лебега P. Говоритимемо, що деяке спiввiдношення виконується майже напевно у класi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 653
\scrK (f,X), якщо воно виконується для кожної цiлої функцiї f(z, t) вигляду (4) майже напевно
по t. Для функцiй вигляду (4) i t \in [0, 1] також позначимо
Mf (r, t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| f(z, t)| : | z1| = r1, . . . , | zp| = rp
\bigr\}
.
Послiдовнiсть X = (Xn(t)), n \in \BbbZ p+, випадкових величин Xn(t) є мультиплiкативною
системою, якщо
(\forall k \in \BbbN )(\forall (nj), nj \in \BbbZ p+, nj \not = ns(s \not = j) : \bfM (Xn1Xn2 . . . Xnk
) = 0,
де \bfM \xi — математичне сподiвання випадкової величини \xi .
У випадку, коли X=\scrR =(Rn(t)) є послiдовнiстю Радемахера, тобто Rn(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2n\pi t),
n \geq 0, П. Левi довiв, що для кожної цiлої функцiї f : \BbbC \rightarrow \BbbC вигляду (1), за деяких додаткових
припущень щодо регулярностi зростання \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r), для кожної функцiї f(z, t) \in \scrK (f,\scrR ) нерiв-
нiсть \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r, t) \leq \mu f (r) \mathrm{l}\mathrm{n}
1/4+\varepsilon \mu f (r) виконується майже напевно при r \rightarrow +\infty зовнi деякої
виняткової множини скiнченної логарифмiчної мiри. Зокрема, \scrR = (Rn(t)) — послiдовнiсть
незалежних однаково розподiлених випадкових величин таких, що P
\bigl\{
t : Rn(t) = \pm 1
\bigr\}
= 1/2.
Пiзнiше П. Ердеш i А. Реньї [18] довели цей результат без додаткових умов на регулярнiсть зро-
стання i зауважили, що їхнiй результат також правильний у класi \scrK (f,H), де H = (e2\pi i\omega n(t)) —
послiдовнiсть Штейнгауза, тобто (\omega n(t)) — послiдовнiсть незалежних рiвномiрно розподiлених
на [0, 1] випадкових величин \omega n(t) : [0, 1] \rightarrow \BbbR . Це твердженння також є правильним для класу
\scrK (f,X), де X = (Xn(t)) — мультиплiкативна система, рiвномiрно обмежена числом 1 [20, 21],
тобто | Xn(t)| \leq 1 для всiх n \in \BbbN майже напевно по t \in [0, 1].
Нехай \scrH p — клас функцiй h : | G| \rightarrow \BbbR + таких, що h є неспадною за кожною змiнною
функцiєю, h(r) > 10 для всiх r \in | G| i\int
\Delta \varepsilon
h(r)dr1 . . . drp
r1 . . . rp
= +\infty
для кожного \varepsilon \in \BbbR p+ такого, що множина \Delta \varepsilon є непорожньою в \BbbR p+. Для h \in \scrH p позначимо
через \scrS h клас множин E \subset | G| скiнченної логарифмiчної h-мiри на | G| , тобто таких, що iснує
таке \varepsilon \in \BbbR p+, що множина \Delta \varepsilon є непорожньою в областi | G| \subset \BbbR p+ i
\nu h(E \cap \Delta \varepsilon ):=
\int
E\cap \Delta \varepsilon
h(r)dr1 . . . drp
r1 . . . rp
< +\infty .
У статтi [15] уперше було доведено аналоги нерiвностi Вiмана для аналiтичних функцiй у
довiльнiй повнiй кратно-круговiй областi. А саме, було доведено таке твердження.
Теорема 1 [15]. Нехай f \in \scrA p(\BbbG ), h \in \scrH p. Тодi для кожних \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина
E \in \scrS h така, що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E виконується нерiвнiсть
Mf (r) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr) p\prod
j=1
\left( p\prod
k=1,k \not =j
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\right) 1
2
+\delta
. (5)
Якщо область \BbbG обмежена, то для кожних \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина E \in \scrS h така,
що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
654 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ
Mf (r) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr)
. (6)
Деякi аналоги нерiвностi Вiмана для цiлих функцiй кiлькох змiнних можна знайти у статтях
[25 – 34], а для аналiтичних функцiй у полiкрузi \BbbD p, p \geq 2, — у [35, 36]. У статтi [37] доведе-
но деякi аналоги нерiвностi Вiмана для аналiтичних функцiй f(z) i випадкових аналiтичних
функцiй f(z, t) у \BbbG = \BbbD \ell \times \BbbC p - \ell , \ell \in \BbbN , 1 \leq \ell < p, вигляду (3) i (4) вiдповiдно, де X = (Xn) —
мультиплiкативна система комплекснозначних випадкових величин на ймовiрнiсному просто-
рi Штейнгауза, майже напевно рiвномiрно обмежена числом 1. Також було доведено точнiсть
отриманих нерiвностей. При вiдповiдному виборi функцiї h(r) ми отримаємо твердження про
аналоги нерiвностi Вiмана у вiдповiдних випадках зi статей [28, 35 – 37].
У загальному випадку для довiльної функцiї h(r) i нерiвностей (2), (5), а також окремих
випадкiв, отриманих з нерiвностi (5), питання про наявнiсть ефекту Левi є повнiстю вiдкритим.
Основна мета цiєї статтi — довести аналог ефекту Левi для нерiвностей з теореми 1, отри-
маних у класi аналiтичних функцiй f \in \scrA p
0(\BbbG ), для довiльної повної областi Рейнгардта \BbbG .
3. Основний результат: ефект Левi. Нехай Z = (Zn(t)) — комплекснозначна послiдов-
нiсть випадкових величин Zn(t) = Xn(t) + iYn(t) така, що обидвi X = (Xn(t)) i Y = (Yn(t))
є дiйсними мультиплiкативними системами.
Сформулюємо таку теорему.
Теорема 2. Нехай Z = (Zn(t)) — мультиплiкативна система, рiвномiрно обмежена чис-
лом 1 майже напевно, f \in \scrA p(\BbbG ), h \in \scrH p.
1. Для кожних \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина E \in \scrS h така, що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E
нерiвнiсть
Mf (r, t) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+1+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr) p\prod
j=1
\left( p\prod
k=1,k \not =j
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\right) 1
4
+\delta
(7)
виконується майже напевно в \scrK (f, Z).
2. Якщо область \BbbG обмежена, то для кожних \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина E \in \scrS h така,
що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E нерiвнiсть
Mf (r, t) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+1+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr)
(8)
виконується майже напевно в \scrK (f, Z).
Зауважимо, що нерiвнiсть (7) можна записати у виглядi
Mf (r, t) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+1+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr) \Biggl( p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p - 1
4
+\delta
.
Лема 1 [31]. Нехай X = (Xn(t)) — мультиплiкативна система, рiвномiрно обмежена чис-
лом 1 майже напевно. Тодi для кожного \beta > 0 iснує стала A\beta p > 0, яка залежить тiльки вiд
p i \beta , така, що для всiх N \geq N1(p) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ p, 4\pi \} i \{ cn : \| n\| \leq N\} \subset \BbbC
P
\left\{ t : \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
\| n\| =0
cnXn(t)e
in1\psi 1 . . . einp\psi p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : \psi \in [0, 2\pi ]p
\right\} \geq A\beta pSN \mathrm{l}\mathrm{n}
1
2 N
\right\} \leq 1
N\beta
, (9)
де S2
N =
\sum N
\| n\| =0
| cn| 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 655
Лема 2 [15]. Нехай f \in \scrA p(\BbbG ), h \in \scrH p. Тодi для \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина E \in \scrS h
така, що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E маємо
rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) \leq h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}1+\delta \frakM f (r)
p\prod
k=1,k \not =j
\mathrm{l}\mathrm{n}1+\delta
\biggl(
erk
\varepsilon k
\biggr)
, j \in \{ 1, . . . , p\} . (10)
Доведення теореми 2. Схема доведення теореми 2 в загальних рисах повторює схему
мiркувань зi статей [27, 36]. Не зменшуючи загальностi, вважатимемо, що Z = X = (Xn(t)) —
дiйсна мультиплiкативна система (див. [27]). Для k \in \BbbN , k \geq 11 i l \in \BbbZ таких, що k > l,
позначимо
Gkl =
\Bigl\{
r = (r1, . . . , rp) \in | G| : k \leq \mathrm{l}\mathrm{n}h(r) \leq k + 1, l \leq \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r) \leq l + 1
\Bigr\}
,
G+
kl =
+\infty \bigcup
i=k
+\infty \bigcup
j=l
Gij .
Нескладно перевiрити, що множина
E0 =
\Bigl\{
r \in | G| : \mathrm{l}\mathrm{n}h(r) + \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r) < 1
\Bigr\}
=
\Bigl\{
r \in | G| : \mu f (r)h(r) < e
\Bigr\}
\in \scrS h.
За лемою 2 iснує множина E1 \supset E0, E1 \in \scrS h, така, що для всiх r \in | G| \setminus E1 отримуємо
+\infty \sum
\| n\| =0
\| n\| \cdot | an| rn \leq h(r)\frakM f (r) \mathrm{l}\mathrm{n}
1+\delta \frakM f (r)
p\sum
j=1
\left( p\prod
k=1
k \not =s
\mathrm{l}\mathrm{n}1+\delta
erk
\varepsilon k
\right) \leq
\leq ph(r)\mu f (r)(h(r))
p+1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} \left( p\prod
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erj
\varepsilon j
\right)
p - 1
2
+\delta
\times
\times
\left[ \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r) + p+ 1
2
\mathrm{l}\mathrm{n}h(r) +
\Bigl( p
2
+ \delta
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}h(r) +
\Bigl( p
2
+ \delta
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\}
+
+
\biggl(
p - 1
2
+ \delta
\biggr) p\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
erj
\varepsilon j
\right]
1+\delta \left( p\prod
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erj
\varepsilon j
\right) 1+\delta
\leq
\leq \mu f (r)(h(r))
p+3
2
+2\delta \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+1+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} \Biggl( p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p+1
2
+2\delta
.
Тому
\sum
\| n\| \geq d
| an| rn \leq
\sum
\| n\| \geq d
\| n\|
d
| an| rn \leq 1
d
+\infty \sum
\| n\| =0
\| n\| | an| rn \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
656 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ
\leq 1
d
\mu f (r)(h(r))
p+3
2
+2\delta \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+1+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} \Biggl( p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p+1
2
+2\delta
\leq \mu f (r),
де
d = d(r) = (h(r))
p+3
2
+2\delta \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+1+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} \Biggl( p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p+1
2
+2\delta
.
Нехай G\ast
kl = Gkl \setminus E2, I = \{ (i; j) : G\ast
ij \not = \varnothing \} , E2 = E1 \cup
\Bigl( \bigcup
(i,j)\not \in I
Gij
\Bigr)
. Тодi \#I = +\infty .
Для (k, l) \in I виберемо послiдовнiсть r(k,l) \in G\ast
kl так, що \mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}r\in G\ast
kl
\mu f (r). Для
всiх r \in G\ast
kl одержимо
1
e
\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq \mu f (r) \leq e\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
, (11)
1
e
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq h(r) \leq eh
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
, (12)
1
e2
\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq \mu f (r)h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq e2\mu f
\bigl(
r(k,l) =)h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
, (13)
а також \bigcup
(k,l)\in I
G\ast
kl =
\bigcup
(k,l)\in I
Gkl \setminus E1 =
+\infty \bigcup
k,l=1
Gkl \setminus E1 = | G| \setminus E1.
Нехай Nkl = [2d1
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
], де [x] — цiла частина числа x i
d1(r) = (eh(r))
p+3
2
+2\delta \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+1+\delta \{ e2\mu f (r)h(r)\}
\Biggl(
p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
e2rk
\varepsilon k
\Biggr) p+1
2
+2\delta
.
Для r \in G\ast
kl позначимо
WNkl
(r, t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
\| n\| \leq Nkl
anr
n1
1 . . . r
np
p ein1\psi 1+...+inp\psi pXn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : \psi \in [0, 2\pi ]p
\right\} ,
а для вимiрних за Лебегом множин G \subset G\ast
kl i для (k, l) \in I —
\nu kl(G) =
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p(G)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p(G\ast
kl)
,
де \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p означає мiру Лебега на \BbbR p.
Зауважимо, що \nu kl — ймовiрнiсна мiра, визначена на сiм’ї вимiрних за Лебегом пiдмножин
G\ast
k [27]. Нехай \Omega =
\bigcup
(k,l)\in I G
\ast
kl i
ki, li,j : (ki, li,j) \in I, ki < ki+1, li,j < li,j+1 \forall i, j \in \BbbZ +.
Для вимiрних за Лебегом пiдмножин G з \Omega позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 657
\nu (G) = 2k0
+\infty \sum
i=0
\left( 1
2ki
\Biggl(
1 -
\biggl(
1
2
\biggr) ki+1 - ki
\Biggr)
\times
\times
Ni\sum
j=0
2li,0
2li,j
\Biggl(
1 -
\biggl(
1
2
\biggr) li,j+1 - li,j
\Biggr)
1 -
\biggl(
1
2
\biggr) li,Ni+1
+li,0
\nu ki+1li+1,j+1
\bigl(
G \cap G\ast
kj+1li+1,j+1
\bigr)
\right) , (14)
де Ni = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
j : (ki, lij) \in I
\bigr\}
. Зауважимо, що \nu kj+1lj+1
(G\ast
kj+1lj+1
) = \nu (\Omega ) = 1.
Тому \nu є ймовiрнiсною мiрою, яка визначена на вимiрних пiдмножинах \Omega . На \Omega 0 :=
:= [0, 1]\times \Omega визначимо ймовiрнiсну мiру P0 = P \otimes \nu , яка є прямим добутком iмовiрнiсних мiр
P i \nu . Тепер для (k; l) \in I позначимо
Fkl =
\bigl\{
(t, r) \in [0, 1]\times \Omega : WNkl
(r, t) > ApSNkl
(r) \mathrm{l}\mathrm{n}1/2Nkl
\bigr\}
,
Fkl(r) =
\bigl\{
t \in [0, 1] : WNkl
(r, t) > ApSNkl
(r) \mathrm{l}\mathrm{n}1/2Nkl
\bigr\}
,
де S2
Nkl
(r) =
\sum Nkl
\| n\| =0
| an| 2r2n i Ap — стала з леми 1 з \beta = 1. За теоремою Фубiнi i за лемою
1 з cn = anr
n i \beta = 1 для (k, l) \in I одержимо
P0(Fkl) =
\int
\Omega
\left( \int
Fkl(r)
dP
\right) d\nu =
\int
\Omega
P (Fkl(r))d\nu \leq 1
Nkl
\nu (\Omega ) =
1
Nkl
.
Зауважимо, що
Nkl > (h(r))
p+3
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+1+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
p+1
2
erk
\varepsilon k
> e2k(l + k)2+2\delta .
Тому \sum
(k,l)\in I
P0(Fkl) \leq
+\infty \sum
k=1
+\infty \sum
l= - k+1
1
e2k(l + k)2+2\delta
< +\infty .
Звiдси за лемою Бореля – Кантеллi з iмовiрнiстю, що дорiвнює одиницi, серед подiй
\{ Fkl : (k, l) \in I\} вiдбувається щонайбiльше скiнченна кiлькiсть подiй. Тому
P0(F ) = 1, F =
+\infty \bigcup
s=1
+\infty \bigcup
m=1
\bigcap
k\geq s, l\geq m
(k,l)\in I
Fkl \subset [0, 1]\times \Omega .
Тодi для кожної точки (t, r) \in F iснують k0 = k0(t, r) i l0 = l0(t, r) такi, що для всiх k \geq k0,
l \geq l0, (k, l) \in I
WNkl
(r, t) \leq ApSNkl
(r) \mathrm{l}\mathrm{n}1/2Nkl.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
658 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ
Нехай F\Omega =
\bigl\{
r \in \Omega : (\exists t)[(t, r) \in F ]
\bigr\}
. Тодi \nu (F\Omega ) = 1. Подiбно для проєкцiї F на [0, 1],
F[0,1] =
\bigl\{
t \in [0, 1] : (\exists r)[(t, r) \in F ]
\bigr\}
, маємо P (F[0,1]) = 1.
Нехай далi F\wedge (t) =
\bigl\{
r \in \Omega : (t, r) \in F
\bigr\}
. Як i в [27, 36], за теоремою Фубiнi отримуємо
0 =
\int
\Omega 0
(1 - \chi F )dP0 =
1\int
0
\left( \int
\Omega
(1 - \chi F\wedge (t))d\nu
\right) dP.
Тому P -майже скрiзь 0 =
\int
\Omega
(1 - \chi F\wedge (t))d\nu = 1 - \nu (F\wedge (t)), звiдки випливає, що iснує F1 \subset
\subset F[0,1], P (F1) = 1, така, що \nu (F\wedge (t)) = 1 для кожного t \in F1.
Для кожних t \in F1 [27, 36] i (k, l) \in I виберемо точку r(k,l)0 (t) \in G\ast
kl так, що
WNkl
\bigl(
r
(k,l)
0 (t), t
\bigr)
\geq 3
4
Mkl(t), Mkl(t)
df
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
WNkl
(r, t) : r \in G\ast
kl
\bigr\}
.
Тодi з \nu kl
\bigl(
F\wedge (t) \cap G\ast
kl
\bigr)
= 1 для всiх (k, l) \in I випливає, що iснує точка r(k,l)(t) \in G\ast
kl \cap F\wedge (t)
така, що \bigm| \bigm| WNkl
\bigl(
r
(k,l)
0 (t), t
\bigr)
- WNkl
(r(k,l)(t), t)
\bigm| \bigm| < 1
4
Mkl(t),
звiдки
3
4
Mkl(t) \leq WNkl
\bigl(
r
(k,l)
0 (t), t
\bigr)
\leq WNkl
(r(k,l)(t), t) +
1
4
Mkl(t).
Оскiльки (t, r(k,l)(t)) \in F, то з нерiвностi (14) маємо
1
2
Mkl(t) \leq WNkl
(r(k,l)(t), t) \leq ApSNkl
(r(k,l)(t)) \mathrm{l}\mathrm{n}1/2Nkl.
Тепер для r(k,l) = r(k,l)(t) одержуємо
S2
Nkl
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq \mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\frakM f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq \mu 2f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
(h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
)
p+1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\times
\times \mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta
\bigl\{
\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr) \bigr\} \left( p\prod
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
er
(k,l)
j
\varepsilon j
\right)
p - 1
2
+\delta
.
Звiдси для t \in F1 i всiх k \geq k0(t), l \geq l0(t) отримуємо
SN
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\leq \mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr) \Bigl(
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr) \Bigr) p+1
4
\mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+ \delta
2 h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\times
\times \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+ \delta
2
\bigl\{
\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr) \bigr\} \left( p\prod
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
er
(k,l)
j
\varepsilon j
\right)
p - 1
4
+ \delta
2
.
З (11) – (13) випливає, що d1
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\geq d(r) для r \in G\ast
kl. Тодi для t \in F1, r \in F\wedge (t) \cap G\ast
kl,
(k, l) \in I, k \geq k0(t), l \geq l0(t) виконується нерiвнiсть
Mf (r, t) \leq
\sum
\| n\| \geq 2d1
\bigl(
r(k,l)
\bigr) | an| rn +WNkl
(r, t) \leq
\sum
\| n\| \geq 2d(r)
| an| rn +Mkl(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 659
Отже, для t \in F1, r \in F\wedge (t) \cap G\ast
kl, l \geq l0(t) i k \geq k0(t) маємо
Mf (r
(k,l), t) \leq \mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
+ 2ApSNkl
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n}1/2Nkl \leq \mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
+
+2Ap\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
(h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
)
p+1
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+ \delta
2 h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\times
\times \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+ \delta
2
\bigl\{
\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr) \bigr\} \left( p\prod
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
er
(k,l)
j
\varepsilon j
\right)
p - 1
4
+ \delta
2
\times
\times
\biggl[ \Bigl( p+ 3
2
+ 2\delta
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n}(eh
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
) +
\Bigl( p
2
+ 1 + 2\delta
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}\{ e2\mu f
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
h
\bigl(
r(k,l)
\bigr)
\} +
+
\Bigl( p+ 1
2
+ 2\delta
\Bigr) n\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
er
(k,l)
j
\varepsilon j
\biggr]
.
Для t \in F1, r \in F\wedge (t) \cap G\ast
kl, k \geq k0(t) i l \geq l0(t)
Mf (r, t) \leq \mu f (r)(h(r))
p+1
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+1+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
p
4
+\delta
\bigl\{
\mu f (r)h(r)
\bigr\} \Biggl( p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p - 1
4
+\delta
.
Тому попередня нерiвнiсть виконується майже напевно (t \in F1, P (F1) = 1) для всiх
r \in
\left( \bigcup
(k,l)\in I
(G\ast
kl \cap F\wedge (t)) \cap G+
kl
\right) \setminus E\ast = ([0; 1)p \cap G+
kl) \setminus (E
\ast \cup G\ast \cup E1) = [0; 1)p \setminus E2,
де
G+
kl =
+\infty \bigcup
i=k
+\infty \bigcup
j=l
Gkl, E2 = E1 \cup G\ast \cup E\ast , G\ast =
\bigcup
(k,l)\in I
\bigl(
G\ast
kl \setminus F\wedge (t)
\bigr)
.
Залишилося зауважити, що для \nu (G\ast ) маємо \nu (G\ast ) =
\sum
(k,l)\in I
(\nu kl(G
\ast
kl) - \nu kl(F\wedge (t))) = 0.
Тодi для всiх (k, l) \in I одержуємо
\nu kl(G
\ast
kl \setminus F\wedge (t)) =
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p(G
\ast
kl \setminus F\wedge (t))
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p(G\ast
kl)
= 0,
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}p(G
\ast
kl \setminus F\wedge (t)) =
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
G\ast
kl\setminus F\wedge (t)
dr1 . . . drp
(1 - r1) . . . (1 - rp)
= 0.
Теорему 2 доведено.
4. Наслiдки i заключнi зауваження.
Зауваження 1. Точнiсть нерiвностi (7) доведено:
1) у випадку \BbbC p з h(r1, . . . , rp) \equiv 10, p \in \BbbN , p > 1, у [27];
2) у випадку \BbbD p з h(r1, . . . , rp) = r1 . . . rp
\bigl(
(1 - r1) . . . (1 - rp)
\bigr) - 1
p \in \BbbN , p > 1, у [36];
3) у випадку \BbbD \ell \times \BbbC p - \ell з h(r1, . . . , rp) = r1 . . . r\ell
\bigl(
(1 - r1) . . . (1 - r\ell )
\bigr) - 1
, \ell \in \BbbN ,1 \leq \ell < p,
p \in \BbbN , у [37].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
660 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ
Проблема 1. Питання щодо точностi нерiвностей (2) i (7) у довiльнiй фiксованiй повнiй
областi Рейнхарда є вiдкритим; те ж саме стосується довiльної функцiї h \in \scrH p.
У випадку \BbbG = \BbbC p з нерiвностi (5) при h(r1, . . . , rp) \equiv 10 випливає, що майже напевно
Mf (r, t) \leq \mu f (r)(\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r))
p
2
+\delta
\Biggl(
p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
erk
\varepsilon k
\Biggr) p - 1
4
+\delta
(15)
для всiх r \in \Delta \varepsilon \subset \BbbR \shortmid
+ зовнi деякої множини E такої, що
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E\cap \Delta \varepsilon
dr1 . . . drp
r1 . . . rp
< +\infty .
Наступне твердження є наслiдком з теореми 2 i дає для заданої функцiї f \in \scrA p(\BbbC p) майже
напевно iстотно сильнiший опис виняткової множини у нерiвностi (15).
Наслiдок 1. Нехай Z = (Zn(t)) — мультиплiкативна система, рiвномiрно обмежена чис-
лом 1 майже напевно, f \in \scrA p(\BbbC p). Для кожних \varepsilon \in \BbbR p+, \delta > 0 iснує множина E = E(\delta , f, t) \in
\in \scrS h з h(r) = (\mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r))
p/(p+1) така, що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E майже напевно в \scrK (f, Z)
виконується нерiвнiсть (15).
У випадку p = 1 з теореми 2 маємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай Z = (Zn(t)) — мультиплiкативна система, рiвномiрно обмежена чис-
лом 1 майже напевно, h \in \scrH 1, f \in \scrA 1(\BbbD R), 0 < R \leq +\infty . Для кожного \delta > 0 iснують
множина E = E(\delta , f, t) \in \scrS h i стала C > 0 такi, що для всiх r \in \Delta \varepsilon \setminus E майже напевно в
\scrK (f, Z) виконується нерiвнiсть
Mf (r, t) \leq C\mu f (r)(h(r))
1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}
5
4
+\delta h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
4
+\delta
\bigl(
\mu f (r)h(r)
\bigr)
.
Зауважимо, що у частковому випадку p = 1 нерiвнiсть (5) є слабшою за нерiвнiсть (2),
тому у цьому випадку висловимо припущення, що у наслiдку 2 повинна виконуватись дещо
сильнiша нерiвнiсть Mf (r, t) \leq \mu f (r)(h(r))
1
2
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}h(r) \mathrm{l}\mathrm{n}(h(r)\mu f (r))
\bigr) 1/4+\delta
.
Лiтература
1. G. Valiron, Functions analytiques, Press Univ. de France, Paris (1954).
2. H. Wittich, Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen, Springer-Verlag, Berlin etc. (1955).
3. P. C. Rosenbloom, Probability and entire functions, Stud. Math. Anal. and Relat. Top., Calif. Univ. Press, Stanford
(1962), p. 325 – 332.
4. O. B. Skaskiv, P. V. Filevych, On the size of an exceptional set in the Wiman theorem, Mat. Stud., 12, № 1, 31 – 36
(1999) (in Ukrainian).
5. O. B. Skaskiv, O. V. Zrum, On an exeptional set in the Wiman inequalities for entire functions, Mat. Stud., 21, № 1,
13 – 24 (2004) (in Ukrainian).
6. A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality for analytic and entire functions and h-measure of an
exceptional sets, Carpathian Math. Publ., 12, № 2, 492 – 498 (2020).
7. P. Lévy, Sur la croissance de fonctions enti\`ere, Bull. Soc. Math. France, 58, 29 – 59, 127 – 149 (1930).
8. W. Bergweiler, On meromorphic function that share three values and on the exceptional set in Wiman – Valiron theory,
Kodai Math. J., 13, № 1, 1 – 9 (1990); DOI: 10.2996/kmj/1138039154.
9. T. M. Salo, O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On the best possible description of exeptional set in Wiman – Valiron theory
for entire function, Mat. Stud., 16, № 2, 131 – 140 (2001).
10. O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On exeptional set in Borel relation for multiple entire Dirichlet series, Mat. Stud., 15,
№ 2, 163 – 172 (2001) (in Ukrainian).
11. P. V. Filevych, An exact estimate for the measure of the exceptional set in the Borel relation for entire functions, Ukr.
Math. J., 53, № 2, 328 – 332 (2001); https://doi.org/10.1023/A:1010489609188.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА В КРАТНО-КРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ: ЕФЕКТ ЛЕВI I ВИНЯТКОВI МНОЖИНИ 661
12. O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, Sharp estimate of exceptional set in Borel’s relation for entire functions of several
complex variables, Mat. Stud., 18, № 1, 53 – 56 (2002) (in Ukrainian).
13. O. B. Skaskiv, D. Yu. Zikrach, On the best possible description of an exceptional set in asymptotic estimates for
Laplace – Stieltjes integrals, Mat. Stud., 35, № 2, 131 – 141 (2011).
14. T. M. Salo, O. B. Skaskiv, Minimum modulus of lacunary power series and h-measure of exceptional sets, Ufa Math.
J., 9, № 4, 135 – 144 (2017); DOI: 10.13108/2017-9-4-135.
15. A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality in multiple-circular domain, Axioms, 2021, № 10(4), Article
ID: 348 (2021); https://doi.org/10.3390/axioms10040348.
16. T. Kővari, On the maximum modulus and maximal term of functions analytic in the unit disc, J. London Math. Soc.,
41, 129 – 137 (1966); https://doi.org/10.1112/jlms/s1-41.1.129.
17. N. V. Suleymanov, An estimate of the Wiman – Valiron type for power series with a finite radius of convergence and
its sharpness, Dokl. Akad. Nauk USSR, 253, № 4, 822 – 824 (1980) (in Russian).
18. P. Erdős, A. Rényi, On random entire function, Zastosowania mat., 10, 47 – 55 (1969).
19. J. M. Steele, Sharper Wiman inequality for entire functions with rapidly oscillating coefficients, J. Math. Anal. and
Appl., 123, 550 – 558 (1987).
20. P. V. Filevych, Some classes of entire functions in which the Wiman – Valiron inequality can be almost certainly
improved, Mat. Stud., 6, 59 – 66 (1996) (in Ukrainian).
21. P. V. Filevych, The Baire categories and Wiman’s inequality for entire functions, Mat. Stud., 20, № 2, 215 – 221
(2003).
22. O. B. Skaskiv, Random gap power series and Wiman’s inequality, Mat. Stud., 30, № 1, 101 – 106 (2008) (in Ukrainian).
23. O. B. Skaskiv, A. O. Kuryliak, Direct analogues of Wiman’s inequality for analytic functions in the unit disk,
Carpathian Math. Publ., 2, № 1, 109 – 118 (2010) (in Ukrainian).
24. A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, I. E. Chyzhykov, Baire categories and Wiman’s inequality for analytic functions, Bull.
Soc. Sci. Lett. Lodz, 62, № 3, 17 – 33 (2012).
25. O. V. Zrum, O. B. Skaskiv, On Wiman’s inequality for random entire functions of two variables, Mat. Stud., 23, № 2,
149 – 160 (2005) (in Ukrainian).
26. P. C. Fenton, Wiman – Valiron theory in two variables, Trans. Amer. Math. Soc., 347, № 11, 4403 – 4412 (1995).
27. A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, O. V. Zrum, Lévy’s phenomenon for entire functions of several variables, Ufa Math.
J., 6, № 2, 118 – 127 (2014).
28. J. Gopala Krishna, I. H. Nagaraja Rao, Generalised inverse and probability techniques and some fundamental growth
theorems in \BbbC k , J. Indian Math. Soc., 41, 203 – 219 (1977).
29. A. Schumitzky, Wiman – Valiron theory for functions of several complex variables, Ph. D. Dissertation, Ithaca, Cornell
Univ. (1965).
30. A. Schumitzky, A probabilistic approach to the Wiman – Valiron theory for entire functions of several complex
variables, Complex Variables, 13, 85 – 98 (1989).
31. A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequalities without exceptional sets for random entire functions of
several variables, Mat. Stud., 38, № 1, 35 – 50 (2012).
32. I. F. Bitlyan, A. A. Goldberg, Wiman – Valiron’s theorem for entire functions of several complex variables, Vestn.
Leningrad Univ. Ser. Mat., Mech. and Astron., 2, № 131, 27 – 41 (1959) (in Russian).
33. O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On classical Wiman’s inequality for multiple entire Dirichlet series, Mat. Metods and
Fys.-Mekh. Polya, 43, № 3, 34 – 39 (2000) (in Ukrainian).
34. A. O. Kuryliak, S. I. Panchuk, O. B. Skaskiv, Gol’dberg type inequality for entire functions and diagonal maximal
term, Mat. Stud. 54, № 2, 135 – 145 (2020); DOI:10.30970/ms.54.2.135-145.
35. A. O. Kuryliak, L. O. Shapovalovska, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality for analytic functions in the polydisc,
Ukr. Math. J., 68, № 1, 78 – 86 (2016).
36. A. Kuryliak, O. Skaskiv, S. Skaskiv, Lévy’s phenomenon for analytic functions on a polydisk, Eur. J. Math., 6, № 1,
138 – 152 (2020); DOI.org/10.1007/s40879-019-00363-2.
37. A. Kuryliak, V. Tsvigun, Wiman’s type inequality for multiple power series in the unbounded cylinder domain, Mat.
Stud., 49, № 1, 29 – 51 (2018); DOI:10.15330/ms.49.1.29-51.
Одержано 30.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7137 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:39Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/31/c50d60105ed18aa60efda4a36f5aff31.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71372022-10-24T09:23:05Z Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets Нерівність типу Вімана в кратно-кругових областях: ефект Леві і виняткові множини Kuryliak, A. O. Skaskiv , O. B. Куриляк , А. О. Скасків , О. Б. область Рейнгарда; ефект Леві; кратні степеневі ряди; випадкові степеневі ряди; нерівність Вімана; виняткова множина Reinhardt domain; L'evy's phenomenon; multiple power series; random power series; Wiman's inequality; exceptional set УДК 517.555 For the classical Wiman inequality $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},$ $\varepsilon&gt;0,$ with entire functions $f(z)=\displaystyle \sum\nolimits _{n=0}^{+\infty}a_nz^n,$ $z\in {\mathbb C},$ which holds outside a set of finite logarithmic measure, P. L${\rm\acute{e}}$vy established (1929) that under some additional regularity conditions on $\ln M_f (r)$ the constant $1/2$ can be replaced by $1/4$ almost surely in some sense; here $M_f(r)=\max&nbsp; \big \{|f(z)|\colon |z|=r \big \},$ $\mu_f(r)=\max&nbsp; \big \{|a_n|r^n\colon n\geq 04\},$ $r&gt;0. $&nbsp;&nbsp;In this paper, we prove that the result established by P. L${\rm\acute{e}}$vy holds also in the case of Wiman-type inequality for&nbsp; analytic functions in any multiple-circular domain, which gives an affirmative answer to the question posed by A. A. Goldberg and M. M. Sheremeta (1996).&nbsp;&nbsp;Earlier, the answer to their question was obtained for Fenton's inequality in the case of entire functions of two variables (Mat. Stud., {\bf 23}, \No 2 (2005)), entire functions of several variables (Ufa Math. J., {\bf 6}, \No 2 (2014)), and analytic functions of several variables in a polydisc (Eur. J. Math., {\bf 6}, \No 1 (2020)). УДК 517.555 Для цілих функцій вигляду $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n,\ z\in {\mathbb C},$ P. L${\rm \acute{e}}$vy (1929) встановив, що в класичній нерівності Вімана $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},\\varepsilon&gt;0,$ що виконується зовні множини скінченної логарифмічної міри, за деяких додаткових припущень регулярності поводження $\ln M_f (r),$ показник $1/2$ майже напевно у деякому ймовірнісному сенсі можна замінити на $1/4$; тут $M_f(r)=\max\{|f(z)|\colon |z|=r\},\ \mu_f(r)=\max\{|a_n|r^n\colon n\geq0\},\ r&gt;0. $ У даній статті ми доводимо, що ефект відкритий P.~L${\rm\acute{e}}$vy справджується також у випадку нерівності типу Вімана для аналітичних функцій в довільній кратно-круговій області, що дає позитивну відповідь на запитання проф. А.А. Гольдберга і проф. М.М. Шеремети (1996) стосовно можливості такого ефекту у цьому випадку.Раніше позитивну відповідь на це запитання було отримано у випадку нерівності Фентона для цілих функцій від двох змінних (Mat. Stud., 23 (2) (2005)), для цілих функцій від багатьох змінних (Ufa Math. J. 6 (2) (2014)), для аналітичних функцій від багатьох змінних в полікрузі (European Journal of Mathematics 6 (1) (2020)). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7137 10.37863/umzh.v74i5.7137 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 650 - 661 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 650 - 661 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7137/9238 Copyright (c) 2022 Andriy Kuryliak |
| spellingShingle | Kuryliak, A. O. Skaskiv , O. B. Куриляк , А. О. Скасків , О. Б. Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title | Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title_alt | Нерівність типу Вімана в кратно-кругових областях: ефект Леві і виняткові множини |
| title_full | Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title_fullStr | Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title_full_unstemmed | Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title_short | Wiman-type inequality in multiple-circular domains: Lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| title_sort | wiman-type inequality in multiple-circular domains: lévy’s phenomenon and exceptional sets |
| topic_facet | область Рейнгарда ефект Леві кратні степеневі ряди випадкові степеневі ряди нерівність Вімана виняткова множина Reinhardt domain L'evy's phenomenon multiple power series random power series Wiman's inequality exceptional set |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7137 |
| work_keys_str_mv | AT kuryliakao wimantypeinequalityinmultiplecirculardomainslevysphenomenonandexceptionalsets AT skaskivob wimantypeinequalityinmultiplecirculardomainslevysphenomenonandexceptionalsets AT kurilâkao wimantypeinequalityinmultiplecirculardomainslevysphenomenonandexceptionalsets AT skaskívob wimantypeinequalityinmultiplecirculardomainslevysphenomenonandexceptionalsets AT kuryliakao nerívnístʹtipuvímanavkratnokrugovihoblastâhefektlevíívinâtkovímnožini AT skaskivob nerívnístʹtipuvímanavkratnokrugovihoblastâhefektlevíívinâtkovímnožini AT kurilâkao nerívnístʹtipuvímanavkratnokrugovihoblastâhefektlevíívinâtkovímnožini AT skaskívob nerívnístʹtipuvímanavkratnokrugovihoblastâhefektlevíívinâtkovímnožini |