Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations
UDC 517.9 We present sufficient conditions for the frequency locking of an orbitally asymptotically stable periodic solution of a system of autonomous differential equations with small impulsive perturbations. We introduce local coordinates in the neighborhood of stable invariant cycle and prove the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7138 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512616804253696 |
|---|---|
| author | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. I. Tkachenko, Viktor |
| author_facet | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. I. Tkachenko, Viktor |
| author_sort | Dvornyk, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:15Z |
| description | UDC 517.9
We present sufficient conditions for the frequency locking of an orbitally asymptotically stable periodic solution of a system of autonomous differential equations with small impulsive perturbations. We introduce local coordinates in the neighborhood of stable invariant cycle and prove the existence of a piecewise smooth integral manifold of the perturbed impulsive system. The method of averaging for the impulsive system is applied to the investigation of the equation on the manifold and in order to deduce the conditions of frequency synchronisation. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7138 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7138
УДК 517.9
А. В. Дворник, В. I. Ткаченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ПРИ IМПУЛЬСНИХ ЗБУРЕННЯХ*
We present sufficient conditions for the frequency locking of an orbitally asymptotically stable periodic solution of a
system of autonomous differential equations with small impulsive perturbations. We introduce local coordinates in the
neighborhood of stable invariant cycle and prove the existence of a piecewise smooth integral manifold of the perturbed
impulsive system. The method of averaging for the impulsive system is applied to the investigation of the equation on the
manifold and in order to deduce the conditions of frequency synchronisation.
Отримано умови частотної синхронiзацiї орбiтально асимптотично стiйкого перiодичного розв’язку системи авто-
номних диференцiальних рiвнянь при малих iмпульсних збуреннях. Введено локальнi координати в околi стiйкого
iнварiантного циклу i доведено iснування кусково-гладкого iнтегрального многовиду у збуреної iмпульсної системи.
Для дослiдження поведiнки iмпульсної системи на збуреному многовидi i отримання умов синхронiзацiї застосовано
метод усереднення iмпульсних систем.
1. Вступ. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= f(x) + \varepsilon g(x, \omega t), (1)
x(\tau k + 0) - x(\tau k) = \varepsilon gk(x(\tau k)), k \in \BbbZ , (2)
де x \in \BbbR n, f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n, g : \BbbR n\times \BbbR \rightarrow \BbbR n i gk : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — C2-гладкi функцiї, \omega > 0 i \varepsilon \geq 0 —
параметри. Вважаємо всi розв’язки системи (1), (2) неперервними злiва.
Припускаємо, що незбурена система dx/dt = f(x) має експоненцiально орбiтально стiйкий
перiодичний розв’язок x\ast (\omega 0t), тобто
dx\ast (\omega 0t)
dt
= f(x\ast (\omega 0t)), x\ast (\varphi + 1) = x\ast (\varphi ),
dx\ast (\varphi )
d\varphi
\not = 0.
Позначимо через \scrT 1 цикл \{ x\ast (\varphi ), \varphi \in \BbbT 1 = \BbbR /\BbbZ \} .
Припускаємо, що функцiя g(x, \varphi ) перiодична з перiодом 1 по \varphi й iснує таке m \in \BbbZ , що
gk+m(x) = gk(x) i \omega (\tau k+m - \tau k) = 1 для всiх k \in \BbbZ . Не зменшуючи загальностi, покладемо
\tau 0 = 0.
Ми отримаємо умови частотної синхронiзацiї частоти \omega 0 незбуреного перiодичного розв’язку
x\ast (\omega 0t) i частоти \omega \approx \omega 0 малого iмпульсного збурення. Це означає, що для малих \varepsilon iснують
двi гладкi функцiї \omega - (\varepsilon ) i \omega +(\varepsilon ) з \omega +(0) = \omega - (0) = \omega 0 i \omega +(\varepsilon ) - \omega - (\varepsilon ) > 0, \varepsilon > 0, такi
що для \omega \in (\omega - (\varepsilon ), \omega +(\varepsilon )) iснує принаймнi один асимптотично стiйкий кусково-неперервний
перiодичний розв’язок збуреної системи (1), (2) з частотою \omega .
Iснує багато дослiджень частотної синхронiзацiї для звичайних диференцiальних рiвнянь з
гладким збуренням (див., наприклад, [1 – 7]). У роботi [8] iз використанням редукцiї Ляпунова –
Шмiдта вивчалася частотна синхронiзацiя для збурення вигляду функцiї Дiрака.
* Виконано при частковiй фiнансовiй пiдтримцi в рамках програми пiдтримки прiоритетних для держави на-
укових дослiджень i науково-технiчних (експериментальних) розробок Вiддiлення математики НАН України на
2022 – 2023 рр. (державний реєстрацiйний номер 0122U000670).
c\bigcirc А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7 939
940 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
У данiй роботi ми вводимо локальнi координати в околi стiйкого iнварiантного циклу \scrT 1 i
доводимо iснування кусково-гладкого iнтегрального многовиду у збуреної iмпульсної системи.
Далi, застосовуємо метод усереднення iмпульсних систем для дослiдження поведiнки iмпульс-
ної системи на збуреному кусково-неперервному циклi i отримуємо умови синхронiзацiї.
Зазначимо, що такий пiдхiд було застосовано при вивченнi синхронної поведiнки моду-
льованих коливних розв’язкiв у S1-iнварiантних диференцiальних рiвняннях при зовнiшньому
збуреннi модульованою хвилею [9 – 11]. Iнтегральнi многовиди систем диференцiальних рiв-
нянь з iмпульсною дiєю дослiджувалися також у [12 – 14].
Система у варiацiях в околi перiодичного розв’язку x\ast (\varphi )
dy
d\varphi
=
1
\omega 0
\partial f(x\ast (\varphi ))
\partial x
y (3)
має перiодичний з перiодом 1 розв’язок \.x\ast (\varphi ) = dx\ast (\varphi )/d\varphi . Оскiльки перiодичний розв’язок
x\ast (\varphi ) експоненцiально орбiтально стiйкий, спряжена лiнiйна однорiдна система
dy
d\varphi
= - 1
\omega 0
\biggl(
\partial f(x\ast (\varphi ))
\partial x
\biggr) T
y (4)
має одновимiрну сiм’ю нетривiальних 1-перiодичних розв’язкiв. Тут через AT позначено транс-
поновану матрицю до A.
Позначимо через y\ast (\varphi ) такий перiодичний розв’язок системи (4), що yT\ast (\varphi ) \.x\ast (\varphi ) = 1,
\varphi \in \BbbT 1. Означимо перiодичну функцiю
G(\varphi ) =
1\int
0
yT\ast (\xi + \varphi )g(x\ast (\xi + \varphi ), \xi )d\xi +
m\sum
k=1
yT\ast (\varphi + \omega \tau k)gk(x\ast (\varphi + \omega \tau k)) (5)
i числа
G+ := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\varphi \in [0,1]
G(\varphi ), G - := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\varphi \in [0,1]
G(\varphi ). (6)
Будемо вважати, що всi критичнi точки функцiї G невиродженi: G\prime \prime (\varphi ) \not = 0 для всiх таких \varphi ,
що G\prime (\varphi ) = 0. Тому множина критичних точок функцiї G складається з парного числа 2N
рiзних точок: \bigl\{
\varphi \in [0, 1) : G\prime (\varphi ) = 0
\bigr\}
= \{ \varphi 1, . . . , \varphi 2N\} .
Множину критичних значень функцiї G позначимо через S :=
\bigl\{
G(\varphi 1), . . . , G(\varphi 2N )
\bigr\}
.
Теорема 1. Нехай \varphi 0 \in \BbbT 1 i G\prime (\varphi 0) \not = 0. Тодi iснує таке \varepsilon 0 > 0, що для всiх \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
система (1), (2) має єдиний кусково-неперервний перiодичний розв’язок
\~x0(\omega t, \varepsilon ) = x\ast (\omega t+ \varphi 0) + \varepsilon \~X(\omega t, \varepsilon ) (7)
з частотою \omega = \omega 0 + \varepsilon G(\varphi 0), а функцiя \~X перiодична з перiодом 1 щодо \omega t i неперервно
диференцiйовна при t \not = \tau k. Цей розв’язок асимптотично стiйкий, якщо G\prime (\varphi 0) < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 941
Теорема 2. Для довiльного \nu > 0 iснує таке \varepsilon 0 > 0, що для всiх \varepsilon \in (0, \varepsilon 0] i
G - <
\omega - \omega 0
\varepsilon
< G+, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\biggl(
\omega - \omega 0
\varepsilon
, S
\biggr)
\geq \nu (8)
справджуються такi твердження:
i) система (1), (2) має парне число кусково-неперервних перiодичних розв’язкiв \~xj(\omega t, \varepsilon ),
j = 1, . . . , 2 \~N(\omega , \varepsilon ), 0 < \~N(\omega , \varepsilon ) \leq N, вигляду
\~xj(\omega t, \varepsilon ) = x\ast (\omega t+ \vargamma j) + \varepsilon Xj(\omega t, \varepsilon ),
де сталi \vargamma j = \vargamma j(\varepsilon ) визначаються як розв’язки рiвняння \omega - \omega 0 = \varepsilon G(\vargamma j), а функцiї Xj
перiодичнi з перiодом 1 щодо \omega t i неперервно диференцiйовнi при t \not = \tau k;
ii) iснує таке \delta > 0, що розв’язки x(t) системи (1), (2) з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x(t0), \scrT 1) < \delta для деякого
t0 \in \BbbR прямують до одного з розв’язкiв \~xj(\omega t, \varepsilon ) при t\rightarrow \infty .
2. Локальнi координати. Для введення локальних координат в околi iнварiантного циклу
\scrT 1 використаємо метод роботи [15] (див. також [16]). Позначимо через Z тривiальне векторне
розшарування над \BbbT 1 з шаром \BbbR n. Розглянемо вiдповiдний (3) потiк на Z з часом \varphi :
(x0, \varphi 0) \rightarrow
\bigl(
\Omega (\varphi ,\varphi 0)x0, \varphi + \varphi 0
\bigr)
, (9)
де \Omega (\varphi ,\varphi 0) — фундаментальний розв’язок лiнiйної системи (3), такий що \Omega (\varphi 0, \varphi 0) = In, In —
одинична матриця розмiрностi n. Векторне розшарування Z є сумою двох пiдрозшарувань
Z1 i Z2, якi iнварiантнi по вiдношенню до потоку (9). Одновимiрне розшарування Z1 утво-
рюється перiодичними розв’язками системи (3), якi пропорцiйнi розв’язку \.x\ast (\varphi ). Розв’язки з
доповнюючого пiдрозшарування Z2 експоненцiально прямують до нуля при \varphi \rightarrow \infty . Оскiльки
пiдрозшарування Z1 тривiальне, пiдрозшарування Z2 стабiльно тривiальне. За результатами
[17, с. 117] стабiльно тривiальне векторне розшарування, в якого розмiрнiсть шару бiльша за
розмiрнiсть бази, тривiальне. Тому якщо n \geq 3, то (n - 1)-вимiрне розшарування Z2 тривiальне
й iснує гладке вiдображення \Phi 0 : \BbbT 1 \rightarrow \scrL (\BbbR n - 1,\BbbR n), яке є iзоморфiзмом мiж Z2 i \BbbT 1 \times \BbbR n - 1.
У випадку n = 2 iснування гладкої перiодичної функцiї \Phi 0(\varphi ) можна показати безпосереднiми
обчисленнями.
За побудовою (n\times n)-матриця
\Phi 1(\varphi ) =
\bigl\{
\.x\ast (\varphi ),\Phi 0(\varphi )
\bigr\}
(10)
невироджена при всiх \varphi . Замiною змiнних y = \Phi 1(\varphi )z, z = (z1, z2), z1 \in \BbbR , z2 \in \BbbR n - 1,
система (3) трансформується у систему
dz
d\varphi
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl\{
0,
A0(\varphi )
\omega 0
\biggr\}
z
з 1-перiодичною ((n - 1)\times (n - 1))-матрицею A0(\varphi ). Пiдсистема
dz2
dt
= A0(\omega 0t)z2
експоненцiально стiйка, її матрицант X0(t, t0), X0(t0, t0) = I, задовольняє оцiнку\bigm\| \bigm\| X0(t, t0)
\bigm\| \bigm\| \leq Ke - \alpha (t - t0), t \geq t0,
з деякими сталими \alpha > 0 i K \geq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
942 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Спряжена система (4) має аналогiчнi властивостi. Оскiльки скалярний добуток довiльного
розв’язку системи (3) i довiльного розв’язку спряженої системи однаковий для всiх \varphi , можна
перевiрити, що матриця \Phi - 1
1 (\varphi ) має форму \Phi - 1
1 (\varphi ) =
\bigl\{
y\ast (\varphi ), \~\Phi 0(\varphi )
\bigr\} T
, де ((n - 1)\times n)-матриця
\~\Phi 0(\varphi ) перiодична з перiодом 1; ((n - 1)\times n)-матриця \Phi 0(\varphi ) задовольняє спiввiдношення
d\Phi 0(\varphi )
d\varphi
+
1
\omega 0
\Phi 0(\varphi )A0(\varphi ) =
1
\omega 0
\partial f(x\ast (\varphi ))
\partial x
\Phi 0(\varphi ). (11)
Введемо новi координати \varphi i h в околi циклу \scrT 1 формулою
x = x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, (12)
де h \in \BbbR n - 1, \| h\| \leq \rho , \rho = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, а матриця \Phi 0(\varphi ) визначається з формули (10).
Пiдставляючи (12) в (1), отримуємо\biggl(
dx\ast (\varphi )
d\varphi
+
d\Phi 0(\varphi )
d\varphi
h
\biggr)
d\varphi
dt
+\Phi 0(\varphi )
dh
dt
=
= f(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h) + \varepsilon g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \omega t). (13)
Враховуючи (3) i (11), записуємо (13) у виглядi\biggl(
dx\ast (\varphi )
d\varphi
+
d\Phi 0(\varphi )
d\varphi
h
\biggr) \biggl(
d\varphi
dt
- \omega 0
\biggr)
+\Phi 0(\varphi )
\biggl(
dh
dt
- A0(\varphi )h
\biggr)
=
= f(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h) - f(x\ast (\varphi )) -
\partial f(x\ast (\varphi ))
\partial x
\Phi 0(\varphi )h+ \varepsilon g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \omega t). (14)
Оскiльки за побудовою
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl[
dx\ast (\varphi )
d\varphi
,\Phi 0(\varphi )
\biggr]
\not = 0, \varphi \in \BbbT 1,
то для досить малих h iснує обернена матриця\biggl[
dx\ast (\varphi )
d\varphi
+
d\Phi 0(\varphi )
d\varphi
h,\Phi 0(\varphi )
\biggr] - 1
=
\Biggl[
yT\ast (\varphi )
\~\Phi T0 (\varphi )
\Biggr]
+
\Biggl[
\~H1(h, \varphi )
\~H2(h, \varphi )
\Biggr]
, (15)
де C1-гладка матрична функцiя \~H(h, \varphi ) = \scrO (\| h\| ) перiодична по \varphi .
Отже, рiвняння (14) може бути розв’язане щодо похiдних d\varphi /dt i dh/dt:
dh
dt
= A0(\varphi )h+
\bigl(
\~\Phi T0 (\varphi ) +
\~H2(h, \varphi )
\bigr)
F (h, \varphi ) +
+ \varepsilon
\bigl(
\~\Phi T0 (\varphi ) + \~H2(h, \varphi )
\bigr)
g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \omega t),
d\varphi
dt
= \omega 0 +
\bigl(
yT\ast (\varphi ) +
\~H1(h, \varphi )
\bigr)
F (h, \varphi ) +
+ \varepsilon
\bigl(
yT\ast (\varphi ) + \~H1(h, \varphi )
\bigr)
g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \omega t),
(16)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 943
F (h, \varphi ) = f(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h) - f(x\ast (\varphi )) -
\partial f(x\ast (\varphi ))
\partial x
\Phi 0(\varphi )h = \scrO (\| h\| 2).
Позначимо через \^F функцiю, яка задає iмпульсну дiю (2) пiсля замiни змiнних (12):
\^F (\Delta \varphi k,\Delta hk, \varphi k, hk, \varepsilon ) = x\ast (\varphi k +\Delta \varphi k) + \Phi 0(\varphi k +\Delta \varphi k)(hk +\Delta hk) -
- x\ast (\varphi k) - \Phi 0(\varphi k)hk - \varepsilon gk(x\ast (\varphi k) + \Phi 0(\varphi k)hk) = 0, (17)
де \varphi k = \varphi (\tau k), \Delta \varphi k = \varphi (\tau k + 0) - \varphi (\tau k), hk = h(\tau k), \Delta hk = h(\tau k + 0) - h(\tau k). Похiдна\Biggl[
\partial \^F (0, 0, \varphi k, hk, 0)
\partial (\Delta \varphi k)
,
\partial \^F (0, 0, \varphi k, hk, 0)
\partial (\Delta hk)
\Biggr]
=
\biggl[
dx\ast (\varphi k)
d\varphi
+
d\Phi 0(\varphi k)
d\varphi
hk,\Phi 0(\varphi k)
\biggr]
невироджена при досить малих h, тому з (15) отримуємо\biggl[
dx\ast (\varphi k)
d\varphi
+
d\Phi 0(\varphi k)
d\varphi
hk,\Phi 0(\varphi k)
\biggr] - 1
=
\Biggl[
yT\ast (\varphi k)
\~\Phi T0 (\varphi k)
\Biggr]
+
\Biggl[
\~H1(hk, \varphi k)
\~H2(hk, \varphi k)
\Biggr]
.
Тодi за теоремою про неявну функцiю iснують такi iнтервал \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) i функцiї \Delta \varphi k(\varepsilon ),
\Delta hk(\varepsilon ), що
\^F
\bigl(
\Delta \varphi k(\varepsilon ),\Delta hk(\varepsilon ), \varphi k, hk, \varepsilon
\bigr)
= 0, \varepsilon \in (0, \varepsilon 0).
Якщо \^F \in C1 у околi (0, 0) i \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), то \Delta \varphi k(\varepsilon ) i \Delta hk(\varepsilon ) також C1-гладкi.
З (17) випливає, що\Biggl[
d\Delta \varphi k(\varepsilon )/d\varepsilon
d\Delta hk(\varepsilon )/d\varepsilon
\Biggr]
=
\Biggl[
yT\ast (\varphi k) + \~H1(hk, \varphi k)
\~\Phi T0 (\varphi k) +
\~H2(hk, \varphi k)
\Biggr]
gk(x\ast (\varphi k) + \Phi 0(\varphi k)hk).
Розкладаючи \Delta hk(\varepsilon ) i \Delta \varphi k(\varepsilon ) за формулою Тейлора, одержуємо
\Delta hk(\varepsilon ) = \varepsilon \Phi T0 (\varphi k)gk(x\ast (\varphi k)) + \varepsilon R11(hk, \varphi k) + \varepsilon 2R12(hk, \varphi k, \varepsilon ),
\Delta \varphi k(\varepsilon ) = \varepsilon yT\ast (\varphi k)gk(x\ast (\varphi k)) + \varepsilon R21(hk, \varphi k) + \varepsilon 2R22(hk, \varphi k, \varepsilon ),
(18)
де R11(hk, \varphi k) = \scrO (\| hk\| ), R21(hk, \varphi k) = \scrO (\| hk\| ).
Система рiвнянь (16) з iмпульсною дiєю (18) еквiвалентна системi (1), (2) в деякому околi
перiодичного розв’язку x\ast (\omega 0t).
3. Iснування збуреного многовиду. Поклавши \psi = \omega t у системi (16), (18), отримаємо
систему автономних рiвнянь
dh
dt
= A0(\varphi )h+Q1(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
d\varphi
dt
= \omega 0 +Q2(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
d\psi
dt
= \omega ,
\Delta h| (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon R1(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
\Delta \varphi | (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon R2(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
944 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
де (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 = \BbbT 1 \times \BbbT 1. Многовид \Gamma має вигляд
\Gamma = \cup j\Gamma j \subset \BbbT 2, \Gamma j =
\bigl\{
\varphi \in \BbbT 1, \psi = \omega \tau j (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 1)
\bigr\}
.
Величини \Delta h i \Delta \varphi визначають стрибки вiдповiдно функцiй h i \varphi в точцi (\varphi ,\psi ) \in \Gamma , отриманих
при русi вздовж траєкторiй рiвнянь щодо \varphi i \psi . Ми використовуємо позначення
Q1(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) =
\bigl(
\~\Phi T0 (\varphi ) + \~H2(h, \varphi )
\bigr)
F (h, \varphi ) + \varepsilon
\bigl(
\~\Phi T0 (\varphi ) + \~H2(h, \varphi )
\bigr)
g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \psi ),
Q2(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) =
\bigl(
yT\ast (\varphi ) +
\~H1(h, \varphi )
\bigr)
F (h, \varphi ) + \varepsilon
\bigl(
yT\ast (\varphi ) +
\~H1(h, \varphi )
\bigr)
g(x\ast (\varphi ) + \Phi 0(\varphi )h, \psi ) =
= \varepsilon yT\ast (\varphi )g(x\ast (\varphi ), \psi ) +Q20(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
R1(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) = \Phi T0 (\varphi )\~g(x\ast (\varphi ), \psi ) +R11(h, \varphi , \psi ) + \varepsilon R12(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
R2(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) = yT\ast (\varphi )\~g(x\ast (\varphi ), \psi ) +R21(h, \varphi , \psi ) + \varepsilon R22(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
\~g : \Gamma \rightarrow \BbbR n, \~g(\varphi ,\psi ) = gk(x\ast (\varphi )), якщо \psi \in \Gamma k.
Цi функцiї мають такi властивостi:
Q1(h, \varphi , \psi , 0) = \scrO (\| h\| 2), Q20(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) = Q21(h, \varphi , \psi ) + \varepsilon Q22(h, \varphi , \psi , \varepsilon ),
Q21(h, \varphi , \psi ) = \scrO (\| h\| 2), Q22(h, \varphi , \psi , \varepsilon ) = \scrO (\| h\| ),
R11(h, \varphi , \psi ) = \scrO (\| h\| ), R21(h, \varphi , \psi ) = \scrO (\| h\| ).
Функцiї Q1 i Q2 є C1-гладкими по (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2, \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) i h, \| h\| \leq \rho , а функцiї R1 i R2 —
C1-гладкими по (\varphi ,\psi ) \in \Gamma , \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) i h, \| h\| \leq \rho .
Cs(\BbbT 2) — це простiр s разiв неперервно диференцiйовних функцiй чи матриць, означених
на \BbbT 2. Через Cs\Gamma (\BbbT 2) позначимо простiр функцiй чи матриць a(\varphi ,\psi ) з такими властивостями:
i) a(\varphi ,\psi ) має неперервнi частиннi похiднi по \varphi ,\psi до s-го порядку для (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 \setminus \Gamma ,
ii) всi частиннi похiднi a(\varphi ,\psi ) мають неперервнi продовження до лiвої та правої сторiн
многовиду \Gamma .
Для a \in Cs\Gamma (\BbbT 2) означимо норму
\| a\| Cs = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq | j| \leq s
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\varphi ,\psi )\in \BbbT 2\setminus \Gamma
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial | j| a(\varphi ,\psi )\partial \varphi j1\partial \psi j2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де j = (j1, j2), | j| = j1 + j2.
Позначимо через \scrF \rho простiр функцiй w : \BbbT 2 \times [0, \varepsilon 0) \rightarrow \BbbR n - 1 з такими властивостями:
i) функцiї задовольняють умову Лiпшиця при (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 \setminus \Gamma i \| w\| C \leq \rho , \scrL (\varphi ,\psi )w \leq \rho
i \varepsilon \in [0, \varepsilon 0), \scrL (\varphi ,\psi )w — стала Лiпшиця функцiї w по змiнних \varphi , \psi , до того ж у нерiвностi\bigm\| \bigm\| w(\varphi ,\psi 1) - w(\varphi ,\psi 2)
\bigm\| \bigm\| \leq \scrL | \psi 1 - \psi 2| розглядаються лише тi пари точок \psi 1 i \psi 2, якi належать
тiй самiй областi неперервностi w;
ii) функцiї w(\varphi ,\psi , \varepsilon ) неперервнi по \varepsilon .
Теорема 3. Для \varepsilon \in [0, \varepsilon 1) з досить малим \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0 iмпульсна система (19) має iнварiант-
ний многовид
\frakM \varepsilon =
\bigl\{
(h, \varphi , \psi ) : h = \varepsilon u\ast (\varphi ,\psi , \varepsilon ), (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2, t \in \BbbR
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 945
де функцiя u\ast перiодична по \varphi i \psi з перiодом 1, неперервно диференцiйовна по (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 \setminus \Gamma ,
0 \leq \varepsilon < \varepsilon 1, має розриви першого роду при (\varphi ,\psi ) \in \Gamma , 0 \leq \varepsilon < \varepsilon 1, i задовольняє оцiнку
\| u\| C1 \leq M0 з додатною сталою M0, яка не залежить вiд \varepsilon .
Iнварiантний многовид \frakM \varepsilon асимптотично стiйкий, а саме, iснує таке \nu 0 = \nu 0(\varepsilon 1), що для
кожного початкового значення (h0, \varphi 0, \psi 0) з \| h0\| \leq \nu 0 iснує єдине значення \varphi 1 таке, що\bigm| \bigm| \varphi (t, h0, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - \varphi \ast (t, \varphi 1, \psi 0, \varepsilon )
\bigm| \bigm| +
+
\bigm\| \bigm\| h(t, h0, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - \varepsilon u\ast (\varphi \ast (t, \varphi 1, \psi 0, \varepsilon ), \psi (t), \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq Le - \kappa t
\bigl(
\| \varphi 0 - \varphi 1\| + \| h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 1, \psi 0, \varepsilon )\|
\bigr)
, t \geq 0, (20)
де додатнi сталi L i \kappa не залежать вiд \omega , \varepsilon , а \varphi \ast (t, \varphi 1, \psi 0, \varepsilon ), \varphi \ast (0, \varphi 1, \psi 0, \varepsilon ) = \varphi 1, —
розв’язок системи рiвнянь на многовидi
d\varphi \ast
dt
= \omega 0 +Q2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast , \psi , \varepsilon ),
d\psi
dt
= \omega ,
\Delta \varphi \ast | (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon R2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast , \psi , \varepsilon ).
(21)
Доведення. Нехай v \in \scrF \rho . Позначимо через \varphi v(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ), \psi (t, \psi 0) розв’язки з початко-
вими значеннями \varphi v(0, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) = \varphi 0, \psi (0, \psi 0) = \psi 0 системи рiвнянь на торi \BbbT 2 :
d\varphi v
dt
= \omega 0 +Q2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon ),
d\psi
dt
= \omega ,
\Delta \varphi v| (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon R2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon ).
Позначимо через \tau 0k (\psi 0) = \tau k - \psi 0/\omega , k \in \BbbZ , моменти часу перетину цих розв’язкiв iз мно-
говидом \Gamma i \varphi vk = \varphi v
\bigl(
\tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr)
, \psi 0
k = \psi
\bigl(
\tau 0k , \psi 0
\bigr)
= \psi 0 + \omega \tau 0k = \omega \tau k. Якщо v \in \scrF \rho , то
розв’язок \varphi v(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) однозначно визначений i неперервно диференцiйовний по \varphi 0 i \psi 0 для
(\varphi 0, \psi 0) \not \in \Gamma i має розриви першого роду по t при t = \tau 0k (\psi 0).
Лiнiйна система
dh
dt
= A0
\bigl(
\varphi v(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )
\bigr)
h (22)
має фундаментальний розв’язок Uv(t, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ), U
v(\tau , \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) = In - 1. Iснують такi \varepsilon 1 i
\rho 1, що для \varepsilon \leq \varepsilon 1 i \rho \leq \rho 1 iснують сталi \alpha 1 > 0 i K1 \geq 1 такi, що\bigm\| \bigm\| Uv(t, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq K1e
- \alpha 1(t - \tau ), t \geq \tau . (23)
Справдi, оскiльки за умовою теореми незбурена система експоненцiально стiйка з показниками
\alpha i K, для неї iснує додатно означена квадратична функцiя Ляпунова \scrV = \langle S(\varphi 0)h, h\rangle з мат-
рицею S(\varphi 0) =
\int \infty
0
\bigl(
U0(0, \tau , \varphi 0, \psi 0, 0)
\bigr) T
U0(0, \tau , \varphi 0, \psi 0, 0)d\tau , похiдна якої в силу незбуреної
системи вiд’ємно означена [19, с. 121]. Тут \langle \cdot , \cdot \rangle — скалярний добуток в \BbbR n - 1. Легко перевiрити,
що при малих \varepsilon i v похiдна функцiї \scrV в силу збуреної системи (22) також вiд’ємно означена.
За результатами [19, с. 123] система (22) експоненцiально стiйка.
Для h \in \scrF \rho функцiї Qi, Ri, i = 1, 2, задовольняють оцiнки
\| Qi\| \leq \| h\| 2M1 + \varepsilon M1, \| Ri\| \leq M1, \scrL hQi \leq \| h\| M1, \scrL hRi \leq M1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
946 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
\scrL (\varphi ,\psi )Qi \leq \| h\| 2M1 + \varepsilon M1, \scrL (\varphi ,\psi )Ri \leq M1
зi сталою M1, яка не залежить вiд \varepsilon .
Для доведення iснування iнварiантного многовиду для системи (19) розглянемо таке вi-
дображення T для v \in \scrF \rho :
[Tv](\varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) =
0\int
- \infty
Uv(0, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )Q1
\bigl(
v(\varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon
\bigr)
d\tau +
+ \varepsilon
\sum
\tau 0k<0
Uv
\bigl(
0, \tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr)
R1
\bigl(
v(\varphi vk, \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi
v
k, \omega \tau k, \varepsilon
\bigr)
.
Розглянемо пiдмножину \scrF \varepsilon a0 множини \scrF \rho , яка складається з функцiй v з \| v(., ., \varepsilon )\| C \leq
\leq \varepsilon a0,\scrL (\varphi ,\psi )v(., ., \varepsilon ) \leq \varepsilon a0, де a0 — деяка додатна стала. Покажемо, що iснує таке a0, що при
досить малих \varepsilon вiдображення
T : \scrF \varepsilon a0 \rightarrow \scrF \varepsilon a0 (24)
означене коректно. З (23) випливає, що
\| Tv\| C \leq K1M1
\alpha 1
(\varepsilon 2a20 + \varepsilon ) +
\varepsilon K1M1
1 - e - \alpha 1\theta
, (25)
де \theta \leq \tau k - \tau k - 1, k \in \BbbZ . З (21) отримуємо
\varphi v(t, \varphi 1, \psi 1, \varepsilon ) - \varphi v(t, \varphi 2, \psi 2, \varepsilon ) = \varphi v1(t) - \varphi v2(t) =
= \varphi 1 - \varphi 2 +
t\int
0
\bigl(
Q2(v(\varphi
v
1(s), \psi
1(s), \varepsilon ), \varphi v1(s), \psi
1(s), \varepsilon ) -
- Q2
\bigl(
v(\varphi v2(s), \psi
2(s), \varepsilon ), \varphi v2(s), \psi
2(s), \varepsilon
\bigr) \bigr)
ds +
+
\sum
0\leq \tau 1k<t
\varepsilon R2
\bigl(
v(\varphi 1
k, \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi
1
k, \omega \tau k, \varepsilon
\bigr)
-
\sum
0\leq \tau 2k<t
\varepsilon R2
\bigl(
v(\varphi 2
k, \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi
2
k, \omega \tau k, \varepsilon
\bigr)
,
де
\psi 1(s) = \psi 1 + \omega s, \psi 2(s) = \psi 2 + \omega s,
\varphi 1
k = \varphi v(\tau 1k , \varphi
1, \psi 1, \varepsilon ), \varphi 2
k = \varphi v(\tau 2k , \varphi
2, \psi 2, \varepsilon ), \tau 1k = \tau k - \psi 1/\omega , \tau 2k = \tau k - \psi 2/\omega .
Припустимо для визначеностi, що \psi 1 > \psi 2, до того ж точки \psi 1 i \psi 2 належать одному
i тому ж iнтервалу (\tau j , \tau j+1] для деякого j. Тодi за побудовою моменти перетину розв’язкiв
\psi 1(t) i \psi 2(t) з многовидом \Gamma задовольняють нерiвностi \tau 1k < \tau 2k для всiх k.
Введемо множини
\scrJ = \cup j\scrJ j , \scrI = \cup j\scrI j ,
де \scrJ j =
\bigl(
\tau 2j - 1, \tau
1
j
\bigr]
, \scrI j =
\bigl(
\tau 1j , \tau
2
j
\bigr]
. Нехай t \in \scrJ p =
\bigl(
\tau 2p - 1, \tau
1
p
\bigr]
. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 947
| \varphi v1(t) - \varphi v2(t)| \leq | \varphi 1 - \varphi 2| +
p\sum
j=1
\int
Ij\cap [0,t]
2\varepsilon M1(\varepsilon a
2
0 + 1)ds+
+
p\sum
j=1
\int
Jj\cap [0,t]
(\varepsilon a0\scrL hQ2 + \scrL (\varphi ,\psi )Q2)
\bigl(
| \varphi v1(s) - \varphi v2(s)| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
ds+
+
p\sum
j=1
\varepsilon (\varepsilon a0\scrL hR2 + \scrL (\varphi ,\psi )R2)
\bigl(
| \varphi 1
k - \varphi 2
k| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
. (26)
Спочатку оцiнимо
\bigm| \bigm| \varphi 1
k - \varphi 2
k
\bigm| \bigm| :
| \varphi 1
k - \varphi 2
k| \leq
\bigm| \bigm| \varphi v(\tau 1k , \varphi 1, \psi 1, \varepsilon ) - \varphi v(\tau 1k , \varphi
2, \psi 2, \varepsilon )
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \varphi v(\tau 1k , \varphi 2, \psi 2, \varepsilon ) - \varphi v(\tau 2k , \varphi
2, \psi 2, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \varphi v1(\tau 1k ) - \varphi v2(\tau
1
k )
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \varphi v2(\tau 1k ) - \varphi v2(\tau
2
k )
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \varphi v1(\tau 1k ) - \varphi v2(\tau
1
k )
\bigm| \bigm| + \varepsilon M1(\varepsilon a
2
0 + 1)| \psi 1 - \psi 2| .
Проведемо перетворення у (26):\bigm| \bigm| \varphi v(t, \varphi 1, \psi 1, \varepsilon ) - \varphi v(t, \varphi 2, \psi 2, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq
\leq | \varphi 1 - \varphi 2| + t
\bigl(
\varepsilon a0\scrL hQ2 + \scrL (\varphi ,\psi )Q2
\bigr)
| \psi 1 - \psi 2| +
+
\bigl(
2\varepsilon M1(\varepsilon a
2
0 + 1) + \varepsilon (\varepsilon a0\scrL hR2 + \scrL (\varphi ,\psi )R2)(1 +M1(\varepsilon a
2
0 + 1))
\bigr)
p| \psi 1 - \psi 2| +
+
t\int
0
\bigl(
\varepsilon a0\scrL hQ2 + \scrL (\varphi ,\psi )Q2
\bigr)
| \varphi v(s) - \varphi v(s)| ds +
+
p\sum
j=1
(\varepsilon a0\scrL hR2 + \scrL (\varphi ,\psi )R2)| \varphi v(\tau 1j ) - \varphi v(\tau 1j )| .
Застосувавши до останньої формули узагальнену нерiвнiсть Гронуолла для iмпульсних систем
[18, с. 12], отримаємо оцiнки\bigm| \bigm| \varphi v(t, \varphi 1, \psi 1, \varepsilon ) - \varphi v(t, \varphi 2, \psi 2, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq L1
\bigl(
| \varphi 1 - \varphi 2| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
e\varepsilon \kappa 1t, t \in J, (27)\bigm\| \bigm\| Uv(t, \tau , \varphi 1, \psi 1, \varepsilon ) - Uv(t, \tau , \varphi 2, \psi 2, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| Uv1 (t, \tau ) - Uv2 (t, \tau )
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
t\int
\tau
\| Uv1 (t, s)\|
\bigm\| \bigm\| A0(\varphi
v(s, \varphi 1, \psi 1, \varepsilon )) - A0(\varphi
v(s, \varphi 2, \psi 2, \varepsilon ))
\bigm\| \bigm\| \| Uv2 (s, \tau )\| ds \leq
\leq
\int
Jj\cap [0,t]
K1e
- \alpha 1(t - s)\| A0\| C1L1e
\varepsilon \kappa 1sK1e
- \alpha 1(s - \tau )ds
\bigl(
| \varphi 1 - \varphi 2| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
+
+
\int
Ij\cap [0,t]
2K2
1e
- \alpha 1(t - s)\| A0\| Ce - \alpha 1(s - \tau )ds \leq
\leq K2e
- \alpha 2(t - \tau ) \bigl( | \varphi 1 - \varphi 2| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
, (28)
де додатнi сталi \kappa 1, L1, \alpha 2 \leq \alpha 1 i K2 не залежать вiд \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
948 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Використовуючи останнi нерiвностi, оцiнюємо сталу Лiпшиця для Tv :\bigm\| \bigm\| [Tv](\varphi 1, \psi 1) - [Tv](\varphi 2, \psi 2)
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
0\int
- \infty
\bigm\| \bigm\| Uv1 (0, \tau ) - Uv2 (0, \tau )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q1(v(\varphi
v
1(\tau ), \psi 1(\tau ), \varepsilon ), \varphi
v
1(\tau ), \psi 1(\tau ), \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| d\tau +
+
0\int
- \infty
\| Uv2 (0, \tau )\|
\bigm\| \bigm\| Q1(v(\varphi
v
1(\tau ), \psi 1(\tau ), \varepsilon ), \varphi
v
1(\tau ), \psi 1(\tau ), \varepsilon ) -
- Q1 (v(\varphi
v
2(\tau ), \psi 2(\tau ), \varepsilon ), \varphi
v
2(\tau ), \psi 2(\tau ), \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| d\tau +
+ \varepsilon
\sum
\tau 2k<0
\bigm\| \bigm\| Uv1 (0, \tau 1k ) - Uv2 (0, \tau
2
k )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| R1(v(\varphi
1
k, \psi
1
k, \varepsilon ), \varphi
1
k, \psi
1
k, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| +
+ \varepsilon
\sum
\tau 2k<0
\| Uv2 (0, \tau 2k )\|
\bigm\| \bigm\| R1(v(\varphi
1
k, \psi
1
k, \varepsilon ), \varphi
1
k, \psi
1
k, \varepsilon ) - R1(v(\varphi
2
k, \psi
2
k, \varepsilon ), \varphi
2
k, \psi
2
k, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\biggl(
K2
\alpha 2
\varepsilon M1(\varepsilon a
2
0 + 1) +
K1
\alpha 1
(\varepsilon a0\scrL hQ1 + \scrL (\varphi ,\psi )Q1)
\biggr) \bigl(
| \varphi 1 - \varphi 2| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
+
+ \varepsilon
\Biggl[
M1K2
1 - e - \alpha 2\theta
+
\varepsilon M1(\varepsilon a
2
0 + 1) + \scrL hR1 + \scrL (\varphi ,\psi )R1
1 - e - \alpha 1\theta
\Biggr] \bigl(
| \varphi 1 - \varphi 2| + | \psi 1 - \psi 2|
\bigr)
. (29)
З (25) i (29) випливає, що iснують такi додатнi сталi a0 i \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що для \varepsilon \leq \varepsilon 1 вiдображен-
ня (24) означене коректно.
Тепер доведемо, що T є вiдображенням стиску на множинi Fa0\varepsilon для всiх \varepsilon \leq \varepsilon 1 з деяким
досить малим \varepsilon 1. Для v1, v2 \in Fa0\varepsilon розглянемо рiзницю
[Tv1](\varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - [Tv2](\varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) =
= \varepsilon
0\int
- \infty
Uv1(0, \tau )
\Bigl(
Q1(v1(\varphi
v1(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v1(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ) -
- Q1 (v2(\varphi
v2(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v2(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon )
\Bigr)
d\tau +
+ \varepsilon
0\int
- \infty
\Bigl(
Uv1(0, \tau ) - Uv2(0, \tau )
\Bigr)
Q1(v2(\varphi
v2(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v2(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon )d\tau +
+ \varepsilon
\sum
\tau 0k<0
Uv1(0, \tau 0k )
\Bigl(
R1(v1(\varphi
v1
k , \psi
0
k, \varepsilon ), \varphi
v1
k , \psi
0
k, \varepsilon ) - R1(v2(\varphi
v2
k , \psi
0
k, \varepsilon ), \varphi
v2
k , \psi
0
k, \varepsilon )
\Bigr)
+
+ \varepsilon
\sum
\tau 0k<0
\Bigl(
Uv1(0, \tau 0k ) - Uv2(0, \tau 0k )
\Bigr)
R1(v2(\varphi
v2
k , \psi
0
k, \varepsilon ), \varphi
v2
k , \psi
0
k, \varepsilon ). (30)
Тут Uvj (0, \tau ) = Uvj (0, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ). Рiзниця \varphi v1(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - \varphi v2(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) задовольняє рiв-
няння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 949
\varphi v1(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - \varphi v2(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) =
=
t\int
0
\Bigl(
Q2(v1(\varphi
v1(s), \psi (s), \varepsilon ), \varphi v1(s), \psi (s), \varepsilon ) -
- Q2 (v2(\varphi
v2(s), \psi (s), \varepsilon ), \varphi v2(s), \psi (s), \varepsilon )
\Bigr)
ds +
+
\sum
0\leq \tau 0k<t
\varepsilon
\Bigl(
R2(v1( \~\varphi
1
k, \psi
0
k, \varepsilon ), \~\varphi
1
k, \psi
0
k, \varepsilon ) - R2(v2( \~\varphi
2
k, \psi
0
k, \varepsilon ), \~\varphi
2
k, \psi
0
k, \varepsilon )
\Bigr)
,
де \~\varphi 1
k = \varphi v1
\bigl(
\tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr)
, \~\varphi 2
k = \varphi v2
\bigl(
\tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr)
.
Аналогiчно (27) i (28), застосовуючи узагальнену нерiвнiсть Гронуолла, отримуємо\bigm| \bigm| \varphi v1(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) - \varphi v2(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq \varepsilon L2e
\varepsilon \kappa 2t
\bigm\| \bigm\| v1(., ., \varepsilon ) - v2(., ., \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
C
. (31)
З (23) i (31) випливає оцiнка
\bigm\| \bigm\| Uv1(t, \tau ) - Uv2(t, \tau )
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t\int
\tau
Uv1(t, s) (A0(\varphi
v2(s)) - A0(\varphi
v1(s)))Uv2(s, \tau )ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
t\int
\tau
K1e
- \alpha 1(t - s) \| A0\| C1
\bigm| \bigm| \varphi v1(s) - \varphi v2(s)
\bigm| \bigm| K1e
- \alpha 1(s - \tau )ds \leq
\leq \varepsilon K3e
- \alpha 3(t - \tau )
\bigm\| \bigm\| v1(., ., \varepsilon ) - v2(., ., \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
C
(32)
з додатними сталими K3 i \alpha 3, якi не залежать вiд \varepsilon .
З (30) – (32) випливає, що iснують такi \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0 i \gamma 1 < 1, що\bigm\| \bigm\| T (v1) - T (v2)
\bigm\| \bigm\|
C
\leq \gamma 1\| v1 - v2\| C
для v1, v2 \in \scrF a0\varepsilon i \varepsilon \leq \varepsilon 1. Отже, вiдображення T : \scrF a0\varepsilon \rightarrow \scrF a0\varepsilon при \varepsilon \leq \varepsilon 1 з деяким досить
малим \varepsilon 1 є вiдображенням стиску. Воно має єдину нерухому точку w\ast (\varphi ,\psi , \varepsilon ) = \varepsilon u\ast (\varphi ,\psi , \varepsilon ).
Функцiя u\ast лiпшицева при (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 \setminus \Gamma .
Для доведення диференцiйовностi iнварiантного многовиду \varepsilon u\ast (\varphi ,\psi , \varepsilon ) використаємо те-
орему про нерухому точку вiдображення стиску на шарах розшарування [2, с. 127]. Спочатку
покажемо, що iнварiантний многовид є C1-гладким щодо \varphi . Неперервна диференцiйовнiсть
щодо \varepsilon доводиться аналогiчно.
Розглянемо вiдображення T 1 : \scrF \rho \times \scrF \rho \rightarrow \scrF \rho , яке має вигляд
T 1(v,\Psi )(\varphi 0, \psi 0) =
0\int
- \infty
Uv(0, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )
\Biggl(
\partial Q1
\bigl(
v(\varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon
\bigr)
\partial \varphi
W (\tau )+
+
\partial Q1
\bigl(
v(\varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ), \varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon
\bigr)
\partial h
\Psi (\varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon )W (\tau )+
+
\partial A0(\varphi
v(\tau ))
\partial \varphi
W (\tau )v(\varphi v(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon )
\Biggr)
d\tau +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
950 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
+ \varepsilon
\sum
\tau 0k<0
Uv
\bigl(
0, \tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr) \Biggl( \partial R1(v(\varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon ), \varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon )
\partial \varphi
W (\tau 0k )+
+
\partial R1(v(\varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon ), \varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon )
\partial h
\Psi (\varphi vk, \psi
0
k, \varepsilon )W (\tau 0k ) +
\partial A0(\varphi
0
k)
\partial \varphi
W (\tau 0k )v(\varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon )
\Biggr)
, (33)
де W (t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) — розв’язок початкової задачi W (0, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) = 1 для рiвняння
dW
dt
=
\partial Q2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon )
\partial h
\Psi (\varphi v, \psi , \varepsilon )W +
\partial Q2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon )
\partial \varphi
W,
\Delta W | (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon
\partial R2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon )
\partial h
\Psi (\varphi v, \psi , \varepsilon )W+
+ \varepsilon
\partial R2(v(\varphi
v, \psi , \varepsilon ), \varphi v, \psi , \varepsilon )
\partial \varphi
W. (34)
Для v,\Psi \in \scrF a0\varepsilon i (\varphi ,\psi ) \not \in \Gamma похiднi функцiй Qj i Rj задовольняють оцiнки\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Qj\partial \varphi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon M2,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Qj\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon M2,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Rj\partial \varphi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq M2,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Rj\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq M2, j = 1, 2, (35)
з додатною сталою M2, не залежною вiд \varepsilon .
Припускаючи v \in \scrF \varepsilon a0 i застосовуючи узагальнену нерiвнiсть Гронуолла до (34), отримуємо
\| W (t, \varphi , \psi , \varepsilon )\| \leq L3e
\varepsilon \kappa 3| t| (36)
з додатними сталими L3 i \kappa 3, не залежними вiд \varepsilon .
Оцiнимо рiзницю W1 - W2, де Wj(t, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ), Wj(0, \varphi 0, \psi 0, \varepsilon ) = 1, — розв’язок рiвнян-
ня (34) при \Psi (s) = \Psi j(s) = \Psi j(\varphi
v(s), \psi (s), \varepsilon ):
\bigm\| \bigm\| W1(t) - W2(t)
\bigm\| \bigm\| \leq
t\int
0
\biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Q2
\partial \varphi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Q2
\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| \Psi 1\|
\biggr)
\| W1(s) - W2(s)\| ds+
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Q2
\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| W2\| \| \Psi 1(s) - \Psi 2(s)\| ds+ \varepsilon
\sum
0\leq \tau 0k<t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial R2
\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| W2\|
\bigm\| \bigm\| \Psi 1(\tau
0
k ) - \Psi 2(\tau
0
k )
\bigm\| \bigm\| +
+ \varepsilon
\sum
0\leq \tau 0k<t
\biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial R2
\partial \varphi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial R2
\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| \Psi 1\|
\biggr) \bigm\| \bigm\| W1(\tau
0
k ) - W2(\tau
0
k )
\bigm\| \bigm\| . (37)
Пiдставляючи (35) i (36) у (37), одержуємо
\| W1(t) - W2(t)\| \leq
t\int
0
\varepsilon M2 [(1 + \varepsilon a2)\| W1(s) - W2(s)\| + L3e
\varepsilon \kappa 3s\| \Psi 1(s) - \Psi 2(s)\| ] ds +
+
\sum
0\leq \tau 0k<t
\varepsilon M2
\bigl[
(1 + \varepsilon a2)
\bigm\| \bigm\| W1(\tau
0
k ) - W2(\tau
0
k )
\bigm\| \bigm\| + L3e
\varepsilon \kappa 3s
\bigm\| \bigm\| \Psi 1(\tau
0
k ) - \Psi 2(\tau
0
k )
\bigm\| \bigm\| \bigr] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 951
Застосовуючи узагальнену нерiвнiсть Гронуолла, отримуємо\bigm\| \bigm\| W1(t) - W2(t)
\bigm\| \bigm\| \leq L4e
\varepsilon \kappa 4| t| \| \Psi 1 - \Psi 2\| C (38)
з додатними сталими L4 i \kappa 4, не залежними вiд \varepsilon .
Аналогiчно вiдображенню (24) можна перевiрити, що iснують такi сталi a1 i \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що
для \varepsilon \leq \varepsilon 1 вiдображення T 1(v,\Psi ) означене коректно.
Розглянемо вiдображення \scrF \varepsilon a0 \times \scrF \varepsilon a1 \rightarrow \scrF \varepsilon a0 \times \scrF \varepsilon a1 , задане виразом
(v,\Psi ) \rightarrow (T (v), T 1(v,\Psi )). (39)
Аналогiчно [2, с. 337] можна показати, що вiдображення (39) неперервне по v. Тепер доведемо,
що (39) є вiдображенням стиску на розшаруваннi. Для v \in \scrF \varepsilon a0 i \Psi 1,\Psi 2 \in \scrF 1
\varepsilon a1 маємо\bigm\| \bigm\| T 1(v,\Psi 1) - T 1(v,\Psi 2)
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0\int
- \infty
Uv(0, \tau , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon )
\biggl(
\partial Q1
\partial \varphi
(W1 - W2) +
\partial Q1
\partial h
(\Psi 1W1 - \Psi 2W2)
\biggr)
d\tau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+ \varepsilon
\sum
\tau 0k<0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Uv\bigl( 0, \tau 0k , \varphi 0, \psi 0, \varepsilon
\bigr) \biggl( \partial R1
\partial \varphi
\bigl(
W1(\tau
0
k ) - W2(\tau
0
k )
\bigr)
+
+
\partial R1
\partial h
\bigl(
\Psi 1(\varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon )W1(\tau
0
k ) - \Psi 2(\varphi
v
k, \psi
0
k, \varepsilon )W2(\tau
0
k )
\bigr) \biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (40)
Пiдставляючи (38) у (40), одержуємо\bigm\| \bigm\| T 1(v,\Psi 1) - T 1(v,\Psi 2)
\bigm\| \bigm\| \leq \sigma \| \Psi 1 - \Psi 2\| C ,
де \sigma < 1 для досить малих \varepsilon . Отже, вiдображення (39) є вiдображенням стиску на розша-
руваннi. Воно має єдину нерухому точку (w\ast , w1). З (33) випливає, що функцiя w1(\varphi ,\psi , \varepsilon )
рiвномiрно обмежена для \varepsilon \in (0, \varepsilon 1). Повторюючи результати [2, с. 290], показуємо, що w\ast
неперервно диференцiйовна для (\varphi ,\psi ) \in \BbbT 2 \setminus \Gamma i Dw\ast = w1.
Для доведення орбiтальної асимптотичної стiйкостi многовиду \frakM \varepsilon скористаємось iдеями
роботи [19, с. 227]. Виконаємо замiну змiнних h = z+ \varepsilon u\ast , \varphi = \varphi \ast + \theta , де \varphi \ast (t) — розв’язок з
початковими даними \varphi \ast (0, \=\varphi \ast , \psi 0, \varepsilon ) = \=\varphi \ast , \psi (0, \psi 0) = \psi 0 системи на многовидi (21). У змiнних
(z, \theta ) система (19) має вигляд
dz
dt
= A(z, \theta , \psi , \varepsilon )z,
d\theta
dt
= a1(\theta , \psi , \varepsilon )\theta + a2(z, \theta , \psi , \varepsilon )z,
\Delta z| (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon B(z, \theta , \psi , \varepsilon )z,
\Delta \theta | (\varphi ,\psi )\in \Gamma = \varepsilon b1(\theta , \psi , \varepsilon )\theta + \varepsilon b2(z, \theta , \psi , \varepsilon )z,
(41)
де
a1(\theta , \psi , \varepsilon )\theta = Q2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) - Q2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast , \psi , \varepsilon ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
952 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
a2(z, \theta , \psi , \varepsilon )z = Q2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) + z, \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) -
- Q2 (\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ),
b1(\theta , \psi , \varepsilon )\theta = R2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) - R2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast , \psi , \varepsilon ),
b2(z, \theta , \psi , \varepsilon )z = R2(\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) + z, \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) -
- R2 (\varepsilon u\ast (\varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ), \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ),
A(z, \theta , \psi , \varepsilon )z = A0(\varphi \ast + \theta )z +Q1(z + \varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) - Q1(\varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) -
- \varepsilon
\partial u\ast
\partial \varphi
(Q2(z + \varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) - Q2(\varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon )) ,
B(z, \theta , \psi , \varepsilon )z = R1(z + \varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ) - R1(\varepsilon u\ast , \varphi \ast + \theta , \psi , \varepsilon ),
а \varphi i \psi задовольняють вiдповiднi рiвняння (19) при h = z + \varepsilon u\ast .
Для функцiї \alpha : \BbbR + \rightarrow \BbbR n будемо позначати норму так: \| \alpha \| 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq 0 \| \alpha (t)\| .
Зафiксуємо початкове значення \psi (0) = \psi 0, тодi розв’язок \psi (t, \psi 0) перетинає многовид \Gamma в
моменти часу \tau 0j = \tau j - \psi 0/\omega . Побудуємо послiдовнiсть функцiй zk(t), \theta k(t), t \geq 0. Покладемо
z0(t) = z0, \theta
0(t) = 0. Iтерацiю zk+1(t), zk+1(0) = z0, k = 0, 1, . . . , визначимо як розв’язок
системи
dzk+1
dt
= A(zk(t), \theta k(t), \psi (t), \varepsilon )zk+1, t \not = \tau 0j ,
\Delta zk+1
\bigm| \bigm| \bigm|
t=\tau 0j
= \varepsilon B(zk(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )z
k+1(\tau 0j ).
(42)
Незбурена система (42) (при \varepsilon = 0, zk \equiv 0, \theta k \equiv 0 ) експоненцiально стiйка. За лемою про
експоненцiальну стiйкiсть збуреної iмпульсної системи [20] iснують такi сталi \alpha 1 > 0 i K1 \geq 1,
що при \| zk\| \leq \nu 1, \| \theta k\| \leq \nu 1, \varepsilon \leq \varepsilon 1 з деякими \nu 1 > 0, \varepsilon 1 > 0 система (42) експоненцiально
стiйка, а саме, її фундаментальна система розв’язкiв Xk(t, \tau ) задовольняє оцiнку\bigm\| \bigm\| Xk(t, \tau )
\bigm\| \bigm\| \leq K1e
- \alpha 1(t - \tau ), t \geq \tau . (43)
Оскiльки Q1 = \scrO (\| h\| 2), стала \nu 1 не залежить вiд \varepsilon .
Iтерацiю \theta k+1(t) означимо так:
\theta k+1(t) = -
\infty \int
t
V k(t, s, \varepsilon )a2(z
k(s), \theta k(s), \psi (s), \varepsilon )zk+1(s)ds -
-
\sum
\tau 0j \geq t
\varepsilon V k(t, \tau 0j , \varepsilon )b2(z
k(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )z
k+1(\tau 0j ),
де V k(t, s, \varepsilon ), V k(s, s, \varepsilon ) = 1, — фундаментальний розв’язок рiвняння
d\theta
dt
= a1(\theta
k, \psi , \varepsilon )\theta , \Delta \theta
\bigm| \bigm|
t=\tau 0j
= \varepsilon b1(\theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )\theta (\tau
0
j ).
Оскiльки за побудовою a1 = \scrO (\varepsilon ), b1 = \scrO (\varepsilon ), розв’язок V k(t, s, \varepsilon ) ненульовий i задовольняє
оцiнку \| V k(t, s)\| \leq N1e
\varepsilon \beta 1| t - s| , t, s \in \BbbR , з деякими сталими N1 \geq 1 i \beta 1 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 953
Покажемо рiвномiрну обмеженiсть послiдовностей zk(t) i \theta k(t).
Iтерацiя z1(t) визначається як розв’язок системи
dz1
dt
= A(z0, 0, \psi , \varepsilon )z
1, t \not = \tau 0j , \Delta z1
\bigm| \bigm|
t=\tau 0j
= \varepsilon B(z0, 0, \omega \tau j , \varepsilon )z
1(\tau 0j ) (44)
з початковою умовою z1(0) = z0, тобто z1(t) = X0(t, 0)z0, де X0(t, t0), X
0(t0, t0) = In - 1 —
фундаментальна система розв’язкiв системи рiвнянь (44). Якщо \| z0\| \leq \nu 1, то \| X0(t, t0)\| \leq
\leq K1e
- \alpha 1(t - t0), t \geq t0. Iтерацiя \theta 1(t) задовольняє рiвнiсть
\theta 1(t) = -
\infty \int
t
a2(z0, 0, \psi (s), \varepsilon )z
1(s)ds -
\sum
\tau 0j \geq t
\varepsilon b2(z0, 0, \omega \tau j , \varepsilon )z
1(\tau 0j ),
тому
\| \theta 1(t)\| \leq
\biggl(
K1\| a2\| 0
\alpha 1
+
K1\| b2\| 0
1 - e - \alpha 1\theta
\biggr)
e - \alpha 1t\| z0\| ,
де \| a2\| 0 i \| b2\| 0 — норми функцiй a2(z, \theta , \psi , \varepsilon ) i b2(z, \theta , \psi , \varepsilon ) при \varepsilon \leq \varepsilon 0, \| z\| \leq \nu 0. Отже, при
малих \| z0\| виконується \| z1\| 0 \leq \nu 1, \| \theta 1\| 0 \leq \nu 1.
Припустимо, що \| zk\| 0 \leq \nu 1, \| \theta k\| 0 \leq \nu 1. Тодi розв’язок zk+1(t) задовольняє нерiвнiсть
\| zk+1(t)\| \leq \| Xk(t, 0)\| \| z0\| \leq K1e
- \alpha 1t\| z0\| , t \geq 0, (45)
де Xk(t, t0) — фундаментальна система розв’язкiв системи рiвнянь (42).
Якщо \| zk\| 0 \leq \nu 1, \| \theta k\| 0 \leq \nu 1, то iтерацiя \theta k+1(t) задовольняє оцiнку
\| \theta k+1(t)\| \leq
\infty \int
t
M1e
\varepsilon \beta 1(s - t)\| a2\| 0K1e
- \alpha 1s\| z0\| ds+
\sum
\tau 0j \geq t
M1e
\varepsilon \beta 1(\tau 0j - t)\| b2\| 0K1e
- \alpha 1\tau 0j \| z0\| \leq
\leq K1M1
\biggl(
\| a2\| 0
\alpha 1 - \varepsilon \beta 1
+
\varepsilon \| b2\| 0
1 - e - (\alpha 1 - \varepsilon \beta 1)\theta
\biggr)
e - (\alpha 1 - \varepsilon \beta 1)t\| z0\| = K4e
- \alpha 4t\| z0\| . (46)
Вибираємо \| z0\| \leq \nu 1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1/M2, 1/K1\} , тодi \| zk+1\| 0 \leq \nu 1, \| \theta k+1\| 0 \leq \nu 1.
Доведемо збiжнiсть послiдовностей \{ zk\} i \{ \theta k\} . Рiзниця zk+1 - zk задовольняє систему
d(zk+1 - zk)
dt
= A(zk, \theta k, \psi , \varepsilon )(zk+1 - zk) +
\Bigl(
A(zk, \theta k, \psi , \varepsilon ) - A(zk - 1, \theta k - 1, \psi , \varepsilon )
\Bigr)
zk,
\Delta (zk+1 - zk)
\bigm| \bigm|
t=\tau 0j
= \varepsilon B(zk(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )(z
k+1(\tau 0j ) - zk(\tau 0j ))+
+ \varepsilon
\Bigl(
B(zk(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon ) - B(zk - 1(\tau 0j ), \theta
k - 1(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )
\Bigr)
zk(\tau 0j ),
тому
zk+1(t) - zk(t) =
t\int
0
Xk(t, s)
\Bigl(
A(zk(s), \theta k(s), \psi (s), \varepsilon ) -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
954 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
- A (zk - 1(s), \theta k - 1(s), \psi (s), \varepsilon )
\Bigr)
zk(s)ds+
+
\sum
0\leq \tau 0j <t
\varepsilon Xk(t, \tau 0j + 0)
\Bigl(
B(zk(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon ) -
- B (zk - 1(\tau 0j ), \theta
k - 1(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )
\Bigr)
zk(\tau 0j ), (47)
\theta k+1(t) - \theta k(t) = -
\infty \int
t
V k(t, s)a2(z
k(s), \theta k(s), \psi (s), \varepsilon )
\Bigl(
zk+1(s) - zk(s)
\Bigr)
ds -
-
\infty \int
t
V k(t, s)
\Bigl(
a2(z
k(s), \theta k(s), \psi (s), \varepsilon ) - a2(z
k - 1(s), \theta k - 1(s), \psi (s), \varepsilon )
\Bigr)
zk(s)ds -
-
\infty \int
t
\Bigl(
V k(t, s) - V k - 1(t, s)
\Bigr)
a2(z
k - 1(s), \theta k - 1(s), \psi (s), \varepsilon )zk(s)ds -
- \varepsilon
\sum
t\leq \tau 0j
V k(t, \tau 0j )b2(z
k(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )
\Bigl(
zk+1(\tau 0j ) - zk(\tau 0j )
\Bigr)
-
- \varepsilon
\sum
t\leq \tau 0j
V k(t, \tau 0j )
\Bigl(
b2(z
k(\tau 0j ), \theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon ) - b2(z
k - 1(\tau 0j ), \theta
k - 1(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )
\Bigr)
zk(\tau 0j ) -
- \varepsilon
\sum
t\leq \tau 0j
\Bigl(
V k(t, \tau 0j ) - V k - 1(t, \tau 0j )
\Bigr)
b2(z
k - 1(\tau 0j ), \theta
k - 1(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )z
k(\tau 0j ). (48)
З (47) отримуємо
\| zk+1(t) - zk(t)\| \leq
t\int
0
K2
1e
- \alpha 1(t - s)\scrL (h,\theta )A
\Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
e - \alpha 1s\| z0\| ds+
+
\sum
0\leq \tau 0j <t
\varepsilon K2
1e
- \alpha 1(t - \tau 0j )\scrL (h,\theta )B
\Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
e - \alpha 1\tau 0j \| z0\| \leq
\leq K2
1e
- \alpha 1t
\bigl(
t\scrL (h,\theta )A+ (t/\theta + 1)\scrL (h,\theta )B
\bigr) \Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
\| z0\| \leq
\leq K5e
- \alpha 5t
\Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
\| z0\| , (49)
де \alpha 5 = \alpha 1 - \epsilon > 0 з малим додатним числом \epsilon , K5 = K5(\epsilon ).
Оскiльки V k+1(s, s) - V k(s, s) = 0, рiзниця V k+1(t, s) - V k(t, s) задовольняє рiвняння
V k+1(t, s) - V k(t, s) =
t\int
s
V k(t, \tau )
\Bigl(
a1(\theta
k(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon ) - a1(\theta
k - 1(\tau ), \psi (\tau ), \varepsilon )
\Bigr)
V k(\tau , s)d\tau +
+ \varepsilon
\sum
s\leq \tau 0j <t
V k(t, \tau 0j )
\Bigl(
b1(\theta
k(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon ) - b1(\theta
k - 1(\tau 0j ), \omega \tau j , \varepsilon )
\Bigr)
V k(\tau 0j , s), t > s,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 955
V k+1(t, s) - V k(t, s) = V k(t, s)
\Bigl(
V k+1(s, t) - V k(s, t)
\Bigr)
V k+1(t, s), s > t.
З останнiх рiвностей отримуємо\bigm\| \bigm\| V k+1(t, s) - V k(t, s)
\bigm\| \bigm\| \leq N2e
\varepsilon \beta 2| t - s|
\bigm\| \bigm\| \theta k - \theta k - 1
\bigm\| \bigm\|
0
, s, t \in \BbbR ,
де \beta 2 = \beta 1 + \epsilon з малим додатним числом \epsilon , N2 = N2(\epsilon ). Виберемо \epsilon так, щоб \alpha 1 - \varepsilon \beta 2 > 0.
Тодi з (48) випливає, що\bigm\| \bigm\| \theta k+1(t) - \theta k(t)
\bigm\| \bigm\| \leq
\biggl(
M1K4\| a2\| 0
\alpha 1 - \varepsilon \beta 1
+
M1K4\| b2\| 0
1 - e - (\alpha 1 - \varepsilon \beta 1)\theta
\biggr) \Bigl(
\| \theta k - \theta k - 1\| 0 + \| zk - zk - 1\| 0
\Bigr)
\| z0\| +
+
\biggl(
M1K1\scrL (h,\theta )a2
\alpha 1 - \varepsilon \beta 1
+
M1K1\scrL (h,\theta )b2
1 - e - (\alpha 1 - \varepsilon \beta 1)\theta
\biggr) \Bigl(
\| \theta k - \theta k - 1\| 0 + \| zk - zk - 1\| 0
\Bigr)
\| z0\| +
+
\biggl(
N2K1\| a2\| 0
\alpha 1 - \varepsilon \beta 2
+
N2K1\| b2\| 0
1 - e - (\alpha 1 - \varepsilon \beta 2)\theta
\biggr)
\| \theta k - \theta k - 1\| 0\| z0\| \leq
\leq M3
\Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
\| z0\| . (50)
З (43), (45), (46), (49) i (50) випливає, що при
\| z0\| \leq \nu 2 < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\nu 1/K1, \nu 1/M1, 1/K4, 1/M3
\bigr\}
(51)
виконується нерiвнiсть
\| zk+1 - zk\| 0 + \| \theta k+1 - \theta k\| 0 \leq M4
\Bigl(
\| zk - zk - 1\| 0 + \| \theta k - \theta k - 1\| 0
\Bigr)
зi сталою M4 < 1. З останнього випливає збiжнiсть
zk(t) \rightarrow \~z(t), \theta k(t) \rightarrow \~\theta (t), k \rightarrow \infty ,
рiвномiрно щодо t \in [0,\infty ). Граничнi функцiї \~z(t) i \~\theta (t) задовольняють систему рiвнянь (41).
З нерiвностей (45) i (46) випливають оцiнки
\| \~z(t)\| \leq K1e
- \alpha 1t\| z0\| , \| \~\theta (t)\| \leq N4e
- \alpha 4t\| z0\| , t \geq 0. (52)
Система рiвнянь (19) має розв’язок (h(t), \varphi (t), \psi (t)) з початковими значеннями
h(0) = z0 + \varepsilon u\ast ( \=\varphi \ast , \psi , \varepsilon ), \varphi (0) = \=\varphi \ast + \~\theta (0, z0, \=\varphi \ast , \psi , \varepsilon ),
який задовольняє нерiвностi
\| h(t) - \varepsilon u\ast (\varphi (t), \psi (t), \varepsilon )\| \leq K1e
- \alpha 1t\| z0\| , \| \varphi (t) - \varphi \ast (t)\| \leq N4e
- \alpha 4t\| z0\| , t \geq 0.
Як i в роботi [19], покажемо, що для заданих \varphi 0 i h0 iснує \=\varphi \ast , яке задовольняє рiвняння
\varphi 0 = \=\varphi \ast + \~\theta
\bigl(
0, h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 0, \psi , \varepsilon ), \=\varphi \ast , \psi , \varepsilon
\bigr)
.
Введемо нову змiнну \vargamma = \varphi 0 - \=\varphi \ast i запишемо рiвняння у виглядi
\vargamma = \~\theta
\bigl(
0, h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 0, \psi , \varepsilon ), \varphi 0 - \vargamma , \psi , \varepsilon
\bigr)
. (53)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
956 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
За формулами (52)
\bigm\| \bigm\| \~\theta (0, h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 0, \psi , \varepsilon ), \varphi 0 - \vargamma , \psi , \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq M2\| z0\| . Тому для \vargamma з областi \| \vargamma \| \leq
\leq M2\| z0\| права частина рiвняння (53) задає оператор, який переводить кулю \| \vargamma \| \leq M2\| z0\|
в себе. Цей оператор неперервний по \vargamma i за теоремою Брауера має нерухому точку. Тобто
рiвняння (53) має розв’язок \vargamma 0 = \vargamma 0(h0, \varphi 0, \varepsilon ), який задовольняє нерiвнiсть \| \vargamma 0\| \leq M2\| z0\| .
Як наслiдок для кожних (h0, \varphi 0, \psi ) з \| h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 0, \psi , \varepsilon )\| \leq \nu 2 iснує таке \varphi 1 = \varphi 0 -
- \vargamma 0(h0, \varphi 0, \varepsilon ), що виконується оцiнка (20). Оскiльки \nu 2 не залежить вiд \varepsilon , iснує таке \nu > 0,
що при \| h0\| \leq \nu i \varepsilon \leq \varepsilon 1 виконується \| h0 - \varepsilon u\ast (\varphi 0, \psi , \varepsilon )\| \leq \nu 2.
4. Дослiдження системи на многовидi. Пiдставивши вираз для iнварiантного многовиду
\varepsilon u\ast (\varphi ,\psi , \varepsilon ) у систему (19), отримаємо рiвняння на многовидi
d\varphi
dt
= \omega 0 + \varepsilon yT\ast (\varphi )g(x\ast (\varphi ), \omega t) +Q2(\varepsilon u\ast (\varphi , \omega t, \varepsilon ), \varphi , \omega t, \varepsilon ),
\Delta \varphi
\bigm| \bigm|
t=\tau k
= \varepsilon yT\ast (\varphi )gk(x\ast (\varphi )) + \varepsilon R2(\varepsilon u\ast (\varphi , \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi , \omega \tau k, \varepsilon ),
(54)
\varphi k = \varphi (\tau k), \Delta \varphi k = \varphi (\tau k + 0) - \varphi (\tau k).
Тепер скористаємося близькiстю частот \omega 0 i \omega , а саме, \omega - \omega 0 = \varepsilon \Delta . Введемо нову змiнну
\varphi 1 за формулою
\varphi = \omega t+ \varphi 1 (55)
i отримаємо рiвняння
d\varphi 1
dt
= - \varepsilon \Delta + \varepsilon yT\ast (\varphi 1 + \omega t)g(x\ast (\varphi 1 + \omega t), \omega t) + \varepsilon 2 \~Q2(\varphi 1, \omega t, \varepsilon ),
\Delta \varphi 1
\bigm| \bigm|
t=\tau k
= \varepsilon yT\ast (\varphi 1 + \omega \tau k)gk(x\ast (\varphi 1 + \omega \tau k)) + \varepsilon 2 \~R2k(\varphi 1, \omega tk, \varepsilon ),
(56)
де
\varepsilon 2 \~Q2(\varphi 1, \omega t, \varepsilon ) = Q20(\varepsilon u\ast (\varphi 1 + \omega t, \omega t, \varepsilon ), \varphi 1 + \omega t, \omega t, \varepsilon ),
\varepsilon 2 \~R2(\varphi 1, \omega tk, \varepsilon ) = \varepsilon R21(\varepsilon u\ast (\varphi 1 + \omega \tau k, \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi 1 + \omega \tau k, \omega \tau k) +
+ \varepsilon 2R22(\varepsilon u\ast (\varphi 1 + \omega \tau k, \omega \tau k, \varepsilon ), \varphi 1 + \omega \tau k, \omega \tau k, \varepsilon ).
У вiдповiдностi з методом усереднення для систем з iмпульсною дiєю [18, с. 341], у рiв-
няннi (56) виконаємо усереднене перетворення щодо \omega t:
\varphi 1 = \varphi 2 +
\varepsilon
\omega
\omega t\int
0
[yT\ast (\xi + \varphi 1)g(x\ast (\xi + \varphi 1), \xi ) - G1(\varphi 1)]d\xi +
+
\varepsilon
\omega
m\sum
k=1
yT\ast (\varphi 1 + \omega \tau k)gk(x\ast (\varphi 1 + \omega \tau k))
\biggl\{
1
2
- \omega (t - \tau k)
\biggr\}
, (57)
де
G1(\varphi 1) =
1\int
0
xT (\xi + \omega \tau k)g(x\ast (\xi + \varphi 1), \xi )d\xi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 957
i 1-перiодична функцiя
\biggl\{
1
2
- \xi + \omega \tau k
\biggr\}
визначається на її перiодi через
\biggl\{
1
2
- \xi + \omega \tau k
\biggr\}
=
1
2
- \xi + \omega \tau k, \omega \tau k < \xi \leq \omega \tau k + 1.
Пiсля замiни змiнних (57) рiвняння (56) набере вигляду
d\varphi 2
dt
= - \varepsilon \Delta + \varepsilon G(\varphi 2) + \varepsilon 2S3(\varphi 2, \omega t, \varepsilon ), \Delta \varphi 2
\bigm| \bigm|
t=\tau k
= \varepsilon 2R3(\varphi 2, \omega \tau k, \varepsilon ), (58)
де функцiї у правiй частинi C1-гладкi й 1-перiодичнi по \varphi 2 i \omega t, функцiя G(\varphi 2) означена у (5).
Вiдповiдне усереднене рiвняння
d\varphi 2
dt
= \varepsilon
\bigl(
- \Delta +G(\varphi 2)
\bigr)
має нерухомi точки, якi визначаються з рiвняння
\Delta = G(\xi ). (59)
Цi нерухомi точки iснують, якщо
\Delta =
\omega - \omega 0
\varepsilon
\in [G - , G+],
де G - i G+ визначено у (6).
Якщо \Delta \in [G - , G+] є регулярним значенням функцiї G, то iснує парне число розв’язкiв
\xi = \vargamma 0j , j = 1, . . . , 2 \~N, рiвняння (59) таких, що G\prime (\vargamma 0j ) \not = 0. Загалом \~N залежить вiд \Delta . Легко
бачити, що знаки кожних двох послiдовних значень G\prime (\vargamma 0j ) i G\prime (\vargamma 0j+1) протилежнi. Кожнiй iз
цих нерухомих точок \vargamma 0j вiдповiдає перiодичний розв’язок рiвняння (58).
Лема 1. Нехай \Delta \in [G - , G+], рiвняння (59) має 2 \~N невироджених розв’язкiв \xi = \vargamma 0j ,
j = 1, . . . , 2 \~N i G\prime (\vargamma 02q) < 0, G\prime (\vargamma 02q - 1) > 0, q = 1, . . . , \~N.
Тодi iснує таке \varepsilon 1 > 0, що для всiх 0 < \varepsilon \leq \varepsilon 1 рiвняння (58) має 2 \~N перiодичних розв’язкiв
\varphi j2(\omega t, \varepsilon ) = \vargamma 0j + \varepsilon vj(\omega t, \varepsilon ), t \in \BbbR ,
з C1-гладкими при t \not = \tau k, перiодичними по \omega t функцiями vj такими, що \| vj\| C1 \leq M3 з
додатною сталою M3, яка не залежить вiд \varepsilon .
Розв’язки \varphi 2q
2 , q = 1, . . . , \~N, експоненцiально стiйкi: iснує таке \delta 0, що при
\bigm| \bigm| \varphi 0 - \varepsilon \vargamma 02q
\bigm| \bigm| \leq \delta 0
виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \varphi 2(t, t0, \varphi 0) - \vargamma 02q - \varepsilon v2q(\omega t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq L5e
- \varepsilon \kappa 5(t - t0)
\bigm| \bigm| \varphi 0 - \vargamma 02q - \varepsilon v2q(\omega t0, \varepsilon )
\bigm| \bigm| , t \geq t0,
де L5 \geq 1 i \kappa 5 > 0 не залежать вiд \varepsilon .
Розв’язки \varphi 2q - 1
2 , k = 1, . . . , \~N, експоненцiально нестiйкi: iснує таке \delta 0, що при | \varphi 0 -
- \vargamma 02q - 1| \leq \delta 0 виконується нерiвнiсть
| \varphi 2(t, t0, \varphi 0) - \vargamma 02q - 1 - \varepsilon v2q - 1(\omega t, \varepsilon )| \leq L6e
\varepsilon \kappa 6(t - t0)| \varphi 0 - \vargamma 02q - 1 - \varepsilon v2q - 1(\omega t0, \varepsilon )| , t \leq t0,
де L6 \geq 1 i \kappa 6 > 0 не залежать вiд \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
958 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Доведення. Розглянемо рiвняння (58) в околi точки \psi 2 = \vargamma 0j . Пiсля замiни змiнних \varphi 2 =
= \vargamma 0j + b1 у рiвняннi (58) отримаємо
db1
dt
= \varepsilon G\prime (\vargamma 0j )b1 + \varepsilon \~Gj(b1)b
2
1 + \varepsilon 2S3(\vargamma
0
j + b1, \omega t, \varepsilon ),
b1(\tau k + 0) = b1(\tau k) + \varepsilon 2R3(\vargamma
0
j + b1(\tau k), \omega \tau k, \varepsilon ),
(60)
де \~Gj(b1)b
2
1 = G(\vargamma 0j+b1) - G\prime (\vargamma 0j )b1, а функцiї у правiй частинi рiвняння C1-гладкi i перiодичнi
по b1 i \omega t для t \not = \tau k.
Перiодичний розв’язок рiвняння (60) визначається з iнтегрального рiвняння
b1(\omega t) = \omega
t\int
- \infty
e\varepsilon G
\prime (\vargamma 02q)(t - s)
\Bigl(
\varepsilon \~G(b1(\omega s))b
2
1(\omega s) + \varepsilon 2S3(\vargamma
0
2q + b1(\omega s), \omega s, \varepsilon )
\Bigr)
ds+
+
\sum
\tau k<t
e\varepsilon G
\prime (\vargamma 02q)(t - \tau k)\varepsilon 2R3(\vargamma
0
2q + b1(\omega \tau k), \omega \tau k, \varepsilon )
при j = 2q i з iнтегрального рiвняння
b1(\omega t) = - \omega
\infty \int
t
e\varepsilon G
\prime (\vargamma 02q - 1)(t - s)
\Bigl(
\varepsilon \~G(b1(\omega s))b
2
1(\omega s) + \varepsilon 2S3(\vargamma
0
2q - 1 + b1(\omega s), \omega s, \varepsilon )
\Bigr)
ds -
-
\sum
\tau k\geq t
e\varepsilon G
\prime (\vargamma 02q - 1)(t - \tau k)\varepsilon 2R3(\vargamma
0
2q - 1 + b1(\omega \tau k), \omega \tau k, \varepsilon )
при j = 2q + 1. Перевiряємо, що iснує таке \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що при \varepsilon \leq \varepsilon 1 правi частини цих
iнтегральних рiвнянь задають вiдображення стиску на множинi перiодичних функцiй. Вiдобра-
ження мають нерухомi точки, якi визначають перiодичнi розв’язки рiвняння (60).
5. Доведення теореми 1. У теоремi 3 стверджується, що всi розв’язки з деякого околу циклу
\scrT 1 притягуються до збуреного iнтегрального многовиду \frakM \varepsilon . Тому досить розглянути рiвняння
на многовидi. Оскiльки за умовою теореми \varphi 0 є невиродженим розв’язком рiвняння (59) при
\Delta \in [G - , G+], можна скористатися доведенням леми 1.
Розглянемо рiвняння (58) в околi точки \varphi 2 = \varphi 0. Пiсля замiни змiнних \varphi 2 = \varphi 0 + b1 у
рiвняннi (58) отримаємо рiвняння вигляду (60) iз \varphi 0 замiсть \vargamma 0j . Це рiвняння має перiодичний
розв’язок вигляду \varphi 2(\omega t, \varepsilon ) = \varphi 0 + \varepsilon \~v(\omega t, \varepsilon ). Враховуючи замiни змiнних (57), (55) i (12),
отримуємо перiодичний розв’язок (7).
6. Доведення теореми 2. Зафiксуємо довiльне додатне \nu 1. Для множини S критичних
значень вiдображення G означимо двi множини:
\scrB (\nu 1) =
\Bigl\{
g \in [G - , G+] : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(g, S) \geq \nu 1
\Bigr\}
, \scrA (\nu 1) =
\Bigl\{
\theta \in [0, 1] : G(\theta ) \in \scrB (\nu 1)
\Bigr\}
.
Враховуючи, що множини \scrB (\nu 1) i \scrA (\nu 1) компактнi, легко довести, що iснує така додатна
стала \varsigma , що \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dG(\theta )d\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \varsigma для всiх \theta \in \scrA (\nu 1). (61)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЧАСТОТНА СИНХРОНIЗАЦIЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 959
Розглянемо iмпульсне рiвняння (58). Для \omega i \varepsilon , якi задовольняють нерiвностi (8), iснує скiн-
ченна множина точок \vargamma 0j , j = 1, . . . , 2N (розв’язкiв рiвняння \omega - \omega 0 = \varepsilon G(\theta )), якi визначають
перiодичнi розв’язки \varphi j2(\omega t, \varepsilon ), j = 1, . . . , 2N, рiвняння (54). Зазначимо, що число N залежить
вiд параметрiв \omega i \varepsilon . Враховуючи рiвномiрну оцiнку (61), сталi L5, \kappa 5, L6, \kappa 6 i \varepsilon 1 у лемi 2
можна вибрати однаковими для всiх \theta \in \scrA (\nu 1).
Всi перiодичнi розв’язки \varphi 2q
2 асимптотично стiйкi, а перiодичнi розв’язки \varphi 2q - 1
2 , 1 \leq q \leq N,
асимптотично нестiйкi. Тому якщо початкове значення \varphi 20 при t = t0 задовольняє умову\bigm| \bigm| \varphi 20 - \vargamma 02q - 1
\bigm| \bigm| < \delta 0 i не належить траєкторiї розв’язку \varphi 2q - 1
2 , то\bigm| \bigm| \varphi 2(t, t0, \varphi 20) - \vargamma 02q - 1 - \varepsilon v2q - 1(\omega t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \geq L7e
\varepsilon \kappa 7(t - t0)
\bigm| \bigm| \varphi 20 - \vargamma 02q - 1 - \varepsilon v2q - 1(\omega t0, \varepsilon )
\bigm| \bigm| (62)
при t \geq t0, де L7 i \kappa 7 — додатнi сталi.
З (62) випливає, що за скiнченний час T, який залежить вiд \varphi 20, \nu i \varepsilon , розв’язок \varphi 2(t)
рiвняння (54) з початковим значенням \varphi 2(t0) при t = t0, яке не належить траєкторiї розв’язку
\varphi 2q - 1
2 , тобто
\varphi 2(t0) \not = \vargamma 02q - 1 + \varepsilon v2q - 1(\omega t0, \varepsilon ) (63)
i
\bigm| \bigm| \varphi 2(t0) - \vargamma 02q - 1
\bigm| \bigm| < \delta 0, досягає границi \delta 0-околу нерухомої точки \vargamma 02q - 1, точнiше, значення
\varphi 2(t1) = \vargamma 02q - 1 - \delta 0 або \varphi 2(t2) = \vargamma 02q - 1 + \delta 0.
Тепер покажемо, що розв’язки рiвняння (58) мають такi властивостi:
(i) якщо розв’язок \varphi 2(t) в деякий момент часу t = t0 має значення \varphi 2(t0) = \vargamma 02q - 1 + \delta 0, то
вiн досягає значення \varphi 2(t0 + T ) = \vargamma 02q - \delta 0 за скiнченний промiжок часу T = T (\delta 0, \varepsilon );
(ii) якщо розв’язок \varphi 2(t) в деякий момент часу t = t0 має значення \varphi 2(t0) = \vargamma 02q - 1 - \delta 0,
то вiн досягає значення \varphi 2(t0 + T ) = \vargamma 02q - 2 + \delta 0 за скiнченний промiжок часу T = T (\delta 0, \varepsilon ).
(Тут ми iдентифiкуємо \vargamma 02N+1 з \vargamma 01 i \vargamma 00 з \vargamma 02N .)
Справдi, розглянемо iнтервал
\bigl(
\vargamma 02q - 1, \vargamma
0
2q
\bigr)
(iнтервал
\bigl(
\vargamma 02q - 2, \vargamma
0
2q - 1
\bigr)
розглядається аналогiч-
но). Позначимо
r0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\xi \in [\vargamma 02q - 1+\delta 0,\vargamma
0
2q - \delta 0]
(G(\xi ) - \Delta ) > 0.
Розв’язок рiвняння (58) оцiнюється так:
\varphi 2(t) = \varphi 2(t0) + \varepsilon
t\int
t0
\bigl(
(G(\varphi 2) - \Delta )+
+ \varepsilon S3(\varphi 2(s), \omega s, \varepsilon )
\bigr)
ds+ \varepsilon 2
\sum
t0\leq \tau k<t
R3(\varphi 2(\tau k), \omega \tau k, \varepsilon ) \geq
\geq \varphi 2(t0) + \varepsilon r0(t - t0) - \varepsilon 2(r1 +mr2)(t - t0),
де r1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} | S3| , r2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} | R3| . При досить малих \varepsilon виконується \varepsilon (r1 + \omega mr2) < r0. Тому
t - t0 \leq
\varphi 2(t) - \varphi 2(t0)
\varepsilon (r0 - \varepsilon (r1 + \omega mr2))
\leq
\vargamma 02q - \vargamma 02q - 1
\varepsilon (r0 - \varepsilon (r1 + \omega mr2))
\leq 1
\varepsilon (r0 - \varepsilon (r1 + \omega mr2))
= T (\delta , \varepsilon ).
Отже, кожний розв’язок з початковим значенням \varphi 2(t0), яке задовольняє умову (63), досягає
\delta 0-околу нерухомої точки \vargamma 02q - 2 або, вiдповiдно, \delta 0-околу нерухомої точки \vargamma 02q за скiнченний
час. Далi при зростаннi часу t розв’язок досягає одного зi стiйких перiодичних розв’язкiв \varphi 2q - 2
2
чи \varphi 2q
2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
960 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Лiтература
1. M. V. Bartuccelli, J. H. B. Deane, G. Gentile, Frequency locking in an injection-locked frequency divider equation,
Proc. Roy. Soc. A: Math., Phys. and Eng. Sci., 465, № 2101, 283 – 306 (2008).
2. C. Chicone, Ordinary differential equations with applications, second ed., Springer, New York (2006).
3. J. K. Hale, P. Z. Táboas, Interaction of damping and forcing in a second order equation, Nonlinear Anal., 2, № 1,
77 – 84 (1978).
4. N. Levinson, Small periodic perturbations of an autonomous system with a stable orbit, Ann. Math., 52, № 3,
727 – 738 (1950).
5. W. S. Loud, Periodic solutions of a perturbed autonomous system, Ann. Math., 52, № 3, 490 – 529 (1959).
6. M. B. H. Rhouma, C. Chicone, On the continuation of periodic orbits, Methods and Appl. Anal., 7, № 1, 85 – 104
(2000).
7. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences, Cambridge Univ.
Press, Cambridge (2001).
8. L. Recke, Forced frequency locking for differential equations with distributional forcings, Ukr. Math. J., 70, № 1,
124 – 141 (2018).
9. A. M. Samoilenko, L. Recke, Conditions for synchronization of one oscillation system, Ukr. Math. J., 57, № 7,
1089 – 1119 (2005).
10. L. Recke, A. Samoilenko, A. Teplinsky, V. Tkachenko, S. Yanchuk, Frequency locking of modulated waves, Discrete
and Contin. Dyn. Syst., 31, № 3, 847 – 875 (2011).
11. L. Recke, A. Samoilenko, V. Tkachenko, S. Yanchuk, Frequency locking by external forcing in systems with rotational
symmetry, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 11, № 3, 771 – 800 (2012).
12. V. I. Tkachenko, The Green function and conditions for the existence of invariant sets of impulse systems, Ukr. Math.
J., 41, № 10, 1187 – 1190 (1989).
13. V. I. Tkachenko, On exponential dichotomy and invariant sets of impulsive systems, Communications in Difference
Equations: Proc. Fourth Int. Conf. Difference Equat., Poznan, Poland, August 27 – 31, 1998, CRC Press (2000),
p. 367 – 378.
14. M. O. Perestyuk, P. V. Feketa, Invariant manifolds of a class of systems of differential equations with impulse
perturbation, Nonlinear Oscillations, 13, № 2, 260 – 273 (2010).
15. J. K. Hale, Ordinary differential equations, second ed., Robert E. Krieger Publ. Co., Inc., Huntington, N. Y. (1980).
16. A. M. Samoilenko, Some problems in the theory of perturbations of smooth invariant tori of dynamical systems, Ukr.
Math. J., 46, № 12, 1848 – 1889 (1996).
17. D. Husemoller, Fibre bundles, McGraw-Hill, New York (1966).
18. A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk, Impulsive differential equations, World Sci. Publ., Singapore (1995).
19. A. M. Samoilenko, Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations, Kluwer Acad. Publ. Group,
Dordrecht (1991).
20. A. V. Dvornyk, V. I. Tkachenko, Almost periodic solutions for systems with delay and nonfixed times of impulsive
actions, Ukr. Math. J., 68, № 11, 1673 – 1693 (2017).
Одержано 31.01.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7138 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:37Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/61/bb67aa6c4016b5129fd0225cc8cc5b61.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71382022-10-24T09:23:15Z Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations Частотна синхронізація періодичних розв’язків диференціальних рівнянь при імпульсних збуреннях Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. I. Tkachenko, Viktor частотна синхронізація, імпульсне збурення періодичний розв'язок frequency locking impulsive perturbation periodic solution UDC 517.9 We present sufficient conditions for the frequency locking of an orbitally asymptotically stable periodic solution of a system of autonomous differential equations with small impulsive perturbations. We introduce local coordinates in the neighborhood of stable invariant cycle and prove the existence of a piecewise smooth integral manifold of the perturbed impulsive system. The method of averaging for the impulsive system is applied to the investigation of the equation on the manifold and in order to deduce the conditions of frequency synchronisation. УДК 517.9Отримано умови частотної синхронiзацiї орбiтально асимптотично стiйкого перiодичного розв’язку системи автономних диференцiальних рiвнянь при малих iмпульсних збуреннях. Введено локальнi координати в околi стiйкого&nbsp; iнварiантного циклу i доведено iснування кусково-гладкого iнтегрального многовиду у збуреної iмпульсної системи.Для дослiдження поведiнки iмпульсної системи на збуреному многовидi i отримання умов синхронiзацiї застосовано метод усереднення iмпульсних систем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7138 10.37863/umzh.v74i7.7138 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 939 - 960 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 939 - 960 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7138/9277 Copyright (c) 2022 Віктор Іванович Ткаченко, Анатолій Дворник |
| spellingShingle | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. I. Tkachenko, Viktor Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title | Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title_alt | Частотна синхронізація періодичних розв’язків диференціальних рівнянь при імпульсних збуреннях |
| title_full | Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title_fullStr | Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title_full_unstemmed | Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title_short | Frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| title_sort | frequency locking of periodic solutions to differential equations with impulsive perturbations |
| topic_facet | частотна синхронізація імпульсне збурення періодичний розв'язок frequency locking impulsive perturbation periodic solution |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7138 |
| work_keys_str_mv | AT dvornykav frequencylockingofperiodicsolutionstodifferentialequationswithimpulsiveperturbations AT tkachenkovi frequencylockingofperiodicsolutionstodifferentialequationswithimpulsiveperturbations AT dvornikav frequencylockingofperiodicsolutionstodifferentialequationswithimpulsiveperturbations AT tkačenkovi frequencylockingofperiodicsolutionstodifferentialequationswithimpulsiveperturbations AT tkachenkoviktor frequencylockingofperiodicsolutionstodifferentialequationswithimpulsiveperturbations AT dvornykav častotnasinhronízacíâperíodičnihrozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹpriímpulʹsnihzburennâh AT tkachenkovi častotnasinhronízacíâperíodičnihrozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹpriímpulʹsnihzburennâh AT dvornikav častotnasinhronízacíâperíodičnihrozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹpriímpulʹsnihzburennâh AT tkačenkovi častotnasinhronízacíâperíodičnihrozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹpriímpulʹsnihzburennâh AT tkachenkoviktor častotnasinhronízacíâperíodičnihrozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹpriímpulʹsnihzburennâh |