Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder
By the method of integral and hybrid integrated transforms, in combination with the method of principal solutions (matrices of influence and Green matrices), we construct the integral representation of the unique exact analytic solution of a hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/714 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507089055514624 |
|---|---|
| author | Gromyk, A. P. Konet, I. M. Pylypiuk, T. M. Громик, А. П. Конет, И. М. Пилипюк, Т. М. Громик, А. П. Конет, І. М. Пилипюк, Т. М. |
| author_facet | Gromyk, A. P. Konet, I. M. Pylypiuk, T. M. Громик, А. П. Конет, И. М. Пилипюк, Т. М. Громик, А. П. Конет, І. М. Пилипюк, Т. М. |
| author_sort | Gromyk, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-17T11:44:12Z |
| description | By the method of integral and hybrid integrated transforms, in combination with the method of principal solutions (matrices of influence and Green matrices), we construct the integral representation of the unique exact analytic solution of a hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics for a piecewise homogeneous hollow cylinder. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
А. П. Громик (Подiл. держ. аграр.-техн. ун-т),
I. М. Конет, Т. М. Пилипюк (Кам’янець-Подiл. нац. ун-т iм. I. Огiєнка)
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА
ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА
By the method of integral and hybrid integrated transforms, in combination with the method of principal solutions (matrices
of influence and Green matrices), we construct the integral representation of the unique exact analytic solution of a
hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics for a piecewise homogeneous hollow cylinder.
Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом основних розв’язкiв (матриць
впливу i матриць Грiна) побудовано iнтегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної
крайової задачi математичної фiзики для кусково-однорiдного порожнистого цилiндра.
1. Вступ. Теорiя мiшаних (початково-крайових) задач для диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними гiперболiчного типу, зокрема рiвнянь математичної фiзики, — важливий роздiл
сучасної теорiї диференцiальних рiвнянь, який iнтенсивно розвивається завдяки численним за-
стосуванням при дослiдженнi рiзноманiтних математичних моделей рiзних процесiв i явищ
природи, механiки, фiзики, хiмiї, технiки, новiтнiх технологiй.
Вагомi результати з теорiї задачi Кошi та початково-крайових задач для рiвнянь i систем
рiвнянь гiперболiчного типу одержано в працях Ж. Адамара [1], Л. Гордiнга [2], Ю. О. Митро-
польського, Г. П. Хоми, М. I. Громяка [3], Б. Й. Пташника [4], А. М. Самойленка, Б. П. Ткача
[5], М. М. Смирнова [6], В. А. Чернятина [7] та iнших.
Вiдомо, що складнiсть дослiджуваних крайових i мiшаних задач суттєво залежить як вiд
властивостей коефiцiєнтiв рiвнянь (рiзних видiв виродженостей i особливостей коефiцiєнтiв),
так i вiд геометричної структури областi (гладкостi межi, наявностi кутових точок тощо), в якiй
розглядається задача. На даний час досить детально вивчено властивостi розв’язкiв i розвинуто
рiзноманiтнi методи побудови розв’язкiв (точнi та наближенi) крайових i мiшаних задач для
лiнiйних, квазiлiнiйних i деяких нелiнiйних рiвнянь рiзних типiв (елiптичних, параболiчних,
гiперболiчних) в однозв’язних областях (однорiдних середовищах), якi обумовленi згаданими
вище властивостями коефiцiєнтiв рiвнянь i геометрiї областi, та побудовано функцiональнi
простори коректностi задач у сенсi Адамара.
Водночас багато важливих прикладних задач термомеханiки, теплофiзики, дифузiї, теорiї
пружностi, теорiї електричних кiл, теорiї коливань механiчних систем приводять до крайових i
мiшаних задач не лише в однорiдних середовищах, коли коефiцiєнти рiвнянь є неперервними,
але й в неоднорiдних i кусково-однорiдних середовищах, коли коефiцiєнти рiвнянь є кусково-
неперервними чи, зокрема, кусково-сталими [8 – 10].
Як виявилося, для досить широкого класу лiнiйних крайових i мiшаних задач у кусково-
однорiдних середовищах ефективним методом побудови їхнiх точних розв’язкiв є метод гiбрид-
них iнтегральних перетворень, що породженi гiбридними диференцiальними операторами, коли
на кожнiй компонентi зв’язностi кусково-однорiдного середовища розглядаються або рiзнi ди-
ференцiальнi оператори, або диференцiальнi оператори того ж самого вигляду, але з рiзними
наборами коефiцiєнтiв [11 – 14].
c\bigcirc А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12 1607
1608 А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
У цiй статтi, яка є логiчним продовженням [15 – 17], методом iнтегральних i гiбридних
iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом основних розв’язкiв (матриць впливу та
матриць Грiна) побудовано єдиний точний аналiтичний розв’язок гiперболiчної крайової за-
дачi математичної фiзики для кусково-однорiдного порожнистого цилiндра.
2. Постановка задачi. Нехай множина D \equiv D(t, r, \varphi , z) = D1
\bigcup
\cdot \cdot \cdot
\bigcup
Dn, де Dj =
= (0,+\infty ) \times Ij \times [0, 2\pi ) \times ( - l1, l2), Ij = (Rj - 1, Rj), R0 > 0, Rn \equiv R < +\infty , lk \geq 0,
k = 1, 2, l1 + l2 \equiv l \not = 0, n \geq 2 — кiлькiсть iнтервалiв.
Розглянемо задачу побудови обмеженого на множинi D 2\pi -перiодичного щодо кутової змiн-
ної \varphi класичного розв’язку диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними гiперболiчного
типу 2-го порядку [18]
\partial 2uj
\partial t2
-
\Biggl[
a2rj
\biggl(
\partial 2
\partial r2
+
1
r
\partial
\partial r
\biggr)
+
a2\varphi j
r2
\partial 2
\partial \varphi 2
+ a2zj
\partial 2
\partial z2
\Biggr]
uj+
+\chi 2
juj = fj(t, r, \varphi , z), r \in Ij , j = 1, n, (1)
з початковими умовами
uj | t=0 = g1j (r, \varphi , z),
\partial uj
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g2j (r, \varphi , z), r \in Ij , j = 1, n, (2)
крайовими\biggl(
\alpha 0
11
\partial
\partial r
+ \beta 0
11
\biggr)
u1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R0
= g0(t, \varphi , z),
\biggl(
\alpha n
22
\partial
\partial r
+ \beta n
22
\biggr)
un
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R
= gR(t, \varphi , z), (3)
\biggl(
- \partial
\partial z
+ p1
\biggr)
uj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z= - l1
= w1
j (t, r, \varphi ),
\biggl(
\partial
\partial z
+ p2
\biggr)
uj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=l2
= w2
j (t, r, \varphi ), (4)
r \in Ij , j = 1, n,
та умовами спряження [15]\biggl[
\alpha k
11 \beta k
11
\alpha k
21 \beta k
21
\biggr] \Biggl[ \partial uk
\partial r
uk
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
=
\biggl[
\alpha k
12 \beta k
12
\alpha k
22 \beta k
22
\biggr] \Biggl[ \partial uk+1
\partial r
uk+1
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
, k = 1, n - 1. (5)
У формулах (1) – (5) arj , a\varphi j , azj , \chi j , pj , \alpha
k
js, \beta
k
js — деякi сталi, pj \geq 0, p1 + p2 \not = 0,
cjk = \alpha k
2j\beta
k
1j - \alpha k
1j\beta
k
2j \not = 0, c1kc2k > 0, \alpha 0
11 \leq 0, \beta 0
11 \geq 0, | \alpha 0
11| + \beta 0
11 \not = 0,
\alpha n
22 \geq 0, \beta n
22 \geq 0, \alpha n
22 + \beta n
22 \not = 0,
f = (f1, . . . , fn), g
j = (gj1, . . . , g
j
n), wj = (wj
1, . . . , w
j
n), fm = fm(t, r, \varphi , z), gjm = gjm(r, \varphi , z),
wj
m = wj
m(t, r, \varphi ), j = 1, 2, g0(t, \varphi , z), gR(t, \varphi , z) — заданi дiйснi обмеженi неперервнi функцiї,
u = (u1, . . . , un) — шукана функцiя, um = um(t, r, \varphi , z), m = 1, n.
Пiд розв’язком задачi (1) – (5) розумiємо функцiю u, компоненти якої при пiдстановцi в
рiвняння, початково-крайовi умови та умови спряження перетворюють їх у тотожнiсть у кожнiй
точцi областi визначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА 1609
3. Основнi результати. Припустимо, що розв’язок задачi спряження (1) – (5) iснує, а заданi
й шуканi функцiї задовольняють умови застосовностi залучених нижче прямих та обернених
iнтегральних перетворень [11, 19, 20].
До задачi (1) – (5) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є на декартовому
сегментi ( - l1; l2) щодо змiнної z [11]:
\Lambda s[f(z)] =
l2\int
- l1
f(z)vs(z + l1)dz \equiv fs, (6)
\Lambda - 1
s [fs] =
\infty \sum
s=1
fs
vs(z + l1)
\| vs(z + l1)\| 2
\equiv f(z), (7)
\Lambda s
\biggl[
d2f
dz2
\biggr]
= - \gamma 2sfs + vs(0)
\biggl(
- df
dz
+ p1f
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z= - l1
+ vs(l)
\biggl(
df
dz
+ p2f
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=l2
. (8)
Формули (6) – (8) мiстять спектральну функцiю (ядро перетворення)
vs(z + l1) =
\gamma s \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma s(z + l1) + p1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \gamma s(z + l1)\sqrt{}
\gamma 2s + p21
,
квадрат норми якої
\| vs\| 2 \equiv
l2\int
- l1
v2s(z + l1)dz =
l
2
+
(p1 + p2)(\gamma
2
s + p1p2)
2(\gamma 2s + p21)(\gamma
2
s + p22)
.
При цьому
vs(0) =
\gamma s\sqrt{}
\gamma 2s + p21
, vs(l) =
\gamma s\sqrt{}
\gamma 2s + p22
,
\{ \gamma s\} \infty s=1 — монотонно зростаюча послiдовнiсть дiйсних рiзних додатних коренiв транcцендент-
ного рiвняння
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} (\gamma l) =
\gamma 2 - p1p2
\gamma (p1 + p2)
,
якi утворюють дискретний спектр.
Iнтегральний оператор \Lambda s, який дiє за формулою (6), внаслiдок тотожностi (8) тривимiрнiй
початково-крайовiй задачi спряження (1) – (5) ставить у вiдповiднiсть задачу побудови обмеже-
ного на множинi D\prime = \{ (t, r, \varphi )| t > 0, r \in I+n = I1 \cup . . . \cup In, \varphi \in [0; 2\pi )\} 2\pi -перiодичного
щодо кутової змiнної \varphi класичного розв’язку диференцiальних рiвнянь
\partial 2ujs
\partial t2
-
\Biggl[
a2rj
\biggl(
\partial 2
\partial r2
+
1
r
\partial
\partial r
\biggr)
+
a2\varphi j
r2
\partial 2
\partial \varphi 2
\Biggr]
ujs+
+
\bigl(
a2zj\gamma
2
s + \chi 2
j
\bigr)
ujs = \Phi js(t, r, \varphi ), r \in Ij , j = 1, n, (9)
з початковими умовами
ujs| t=0 = g1js(r, \varphi ),
\partial ujs
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g2js(r, \varphi ), r \in Ij , j = 1, n, (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1610 А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
крайовими\biggl(
\alpha 0
11
\partial
\partial r
+ \beta 0
11
\biggr)
u1s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R0
= g0s(t, \varphi ),
\biggl(
\alpha n
22
\partial
\partial r
+ \beta n
22
\biggr)
un,s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R
= gRs(t, \varphi ) (11)
та умовами спряження\biggl(
\alpha k
11 \beta k
11
\alpha k
21 \beta k
21
\biggr) \Biggl( \partial uks
\partial r
uks
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
=
\biggl(
\alpha k
12 \beta k
12
\alpha k
22 \beta k
22
\biggr) \left( \partial uk+1,s
\partial r
uk+1,s
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
, k = 1, n - 1, (12)
де \Phi js(t, r, \varphi ) = fjs(t, r, \varphi ) + a2zjvs(0)\omega
1
j (t, r, \varphi ) + a2zjvs(l)\omega
2
j (t, r, \varphi ).
До задачi (9) – (12) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є на промiжку
[0; 2\pi ) щодо кутової змiнної \varphi [19]:
Fm[g(\varphi )] =
2\pi \int
0
g(\varphi ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - im\varphi )d\varphi \equiv gm, i =
\surd
- 1, (13)
F - 1
m [gm] =
\Re e
2\pi
\infty \sum
m=0
\varepsilon mgm \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(im\varphi ) \equiv g(\varphi ), (14)
Fm
\biggl[
d2g
d\varphi 2
\biggr]
= - m2Fm[g(\varphi )] \equiv - m2gm, (15)
де \Re e — дiйсна частина виразу, \varepsilon 0 = 1, \varepsilon k = 2, k = 1, 2, 3, . . . .
Iнтегральний оператор Fm, який дiє за формулою (13), внаслiдок тотожностi (15) двови-
мiрнiй початково-крайовiй задачi спряження (9) – (12) ставить у вiдповiднiсть задачу побудови
обмеженого на множинi D
\prime \prime
= \{ (t, r) | t > 0, r \in I+n \} розв’язку одновимiрних диференцiальних
рiвнянь гiперболiчного типу другого порядку з оператором Бесселя
\partial 2ujsm
\partial t2
- a2rj
\Biggl(
\partial 2
\partial r2
+
1
r
\partial
\partial r
-
\nu 2jm
r2
\Biggr)
ujsm +
\bigl(
a2zj\gamma
2
s + \chi 2
j
\bigr)
ujsm =
= \Phi jsm(t, r), r \in Ij , j = 1, n, \nu jm = ma\varphi j/arj , (16)
з початковими умовами
ujsm| t=0 = g1jsm(r),
\partial ujsm
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g2jsm(r), r \in Ij , j = 1, n, (17)
крайовими\biggl(
\alpha 0
11
\partial
\partial r
+ \beta 0
11
\biggr)
u1sm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R0
= g0sm(t),
\biggl(
\alpha n
22
\partial
\partial r
+ \beta n
22
\biggr)
un,sm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R
= gRsm(t) (18)
та умовами спряження\biggl(
\alpha k
11 \beta k
11
\alpha k
21 \beta k
21
\biggr) \Biggl( \partial uksm
\partial r
uksm
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
=
\biggl(
\alpha k
12 \beta k
12
\alpha k
22 \beta k
22
\biggr) \left( \partial uk+1,sm
\partial r
uk+1,sm
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
, k = 1, n - 1. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА 1611
До одновимiрної гiперболiчної початково-крайової задачi спряження (16) – (19) застосу-
ємо скiнченне гiбридне iнтегральне перетворення типу Ганкеля другого роду на кусково-
однорiдному промiжку I+n з n - 1 точками спряження на n iнтервалах щодо радiальної змiнної
r [20]:
Hpn[f(r)] =
R\int
R0
f(r)V (r, \lambda p)\sigma (r)rdr \equiv \~f(\lambda p), (20)
H - 1
pn [ \~f(\lambda p)] =
\infty \sum
p=1
\~f(\lambda p)
V (r, \lambda p)
\| V (r, \lambda p)\| 2
\equiv f(r), (21)
Hpn
\Bigl[
B(m)[f(r)]
\Bigr]
= - \lambda 2
p
\~f(\lambda p) -
n\sum
k=1
\alpha 2
k
Rk\int
Rk - 1
f(r)Vk(r, \lambda p)\sigma krdr -
- a21R0\sigma 1(\alpha
0
11)
- 1V1(R0, \lambda p)
\biggl(
\alpha 0
11
df
dr
+ \beta 0
11f
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R0
+
+a2nR\sigma n(\alpha
n
22)
- 1Vn(R, \lambda p)
\biggl(
\alpha n
22
df
dr
+ \beta n
22f
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=R
. (22)
Формули (20) – (22) мiстять величини i функцiї
V (r, \lambda p) =
n\sum
k=1
Vk(r, \lambda p)\Theta (r - Rk - 1)\Theta (Rk - r),
V1(r, \lambda p) =
n\prod
j=1
\Delta jJ\nu 1m(b1pr), bkp = a - 1
k (\lambda 2
p + \gamma 2k)
1/2 \equiv qk(\lambda
2
p),
Vk(r, \lambda p) =
n\prod
j=k
\Delta j
\Bigl[
w
(k - 1)
(\nu m)k;2
(\lambda p)J\nu km(bkpr) - w
(k - 1)
(\nu m)k;1
(\lambda p)N\nu km(bkpr)
\Bigr]
, k = 2, n - 1,
Vn(r, \lambda p) = w
(n)
(\nu m);2(\lambda p)J\nu nm(bnpr) - w
(n)
(\nu m);1(\lambda p)N\nu nm(bnpr),
\sigma (r) =
n\sum
k=1
\sigma k\Theta (r - Rk - 1)\Theta (Rk - r), \| V (r, \lambda p)\| 2 =
R\int
R0
V 2(r, \lambda p)\sigma (r)rdr,
J\nu (x) — цилiндрична функцiя Бесселя першого роду \nu -го порядку, N\nu (x) — цилiндрична
функцiя Бесселя другого роду \nu -го порядку, \alpha k — деякi дiйснi числа,
ak \equiv ark, qk \equiv qk(\lambda
2) = a - 1
k (\lambda 2 + \gamma 2k)
1/2, \gamma k \geq 0, k = 1, n,
(\nu m) \equiv (\nu m)n = (\nu 1m, \nu 2m, . . . , \nu nm),
\sigma k =
1
a2k
c1kc1,k+1 . . . c1,n - 1
c2kc2,k+1 . . . c2,n - 1
, \sigma n =
1
a2n
, \Delta j =
2c2j
\pi Rj
,
J\nu ,\alpha (x) = x - \alpha J\nu (x), N\nu ,\alpha (x) = x - \alpha N\nu (x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1612 А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
uk1\nu km;ij
(qpRk) =
\biggl(
\nu km
Rk
\alpha k
ij + \beta k
ij
\biggr)
J\nu km,0(qpRk) - R2
kq
2
p\alpha
k
ijJ\nu km+1,1(qpRk),
uk2\nu km;ij
(qpRk) =
\biggl(
\nu km
Rk
\alpha k
ij + \beta k
ij
\biggr)
N\nu km,0(qpRk) - R2
kq
2
p\alpha
k
ijN\nu km+1,1(qpRk),
i, j = 1, 2, k = 1, n - 1, p = 1, n,
\Psi k
(\nu km,\nu k+1,m);ij(qkRk, qk+1Rk) = uki\nu km;11
(qkRk)u
kj
\nu k+1,m;22
(qk+1Rk) -
- uki\nu km;21
(qkRk)u
kj
\nu k+1,m;12
(qk+1Rk), k = 1, n - 1,
w
(1)
(\nu m)2;p(q1R1, q2R1) \equiv \Psi 1
(\nu 1m,\nu 2m);1p(q1R1, q2R1) \equiv w
(1)
(\nu m)2;p(\lambda ), p = 1, 2,
w
(k)
(\nu m)k+1;j(\lambda ) = w
(k)
(\nu m)k+1;j(q1R1, q2R1, . . . , qkRk, qk+1Rk) =
= \Psi k
(\nu km,\nu k+1,m);1j(qkRk, qk+1Rk)w
(k - 1)
(\nu m)k;2(q1R1, q2R1, . . .
. . . , qk - 1Rk - 1, qkRk - 1) - \Psi k
(\nu km,\nu k+1,m);2j(qkRk, qk+1Rk)\times
\times w
(k - 1)
(\nu m)k;1(q1R1, q2R1, . . . , qk - 1Rk - 1, qkRk - 1),
k = 2, n - 1, j = 1, 2, (k) = 123 . . . k, (\nu m)k = (\nu 1m, \nu 2m, . . . , \nu km),
B(m) =
n\sum
k=1
a2k\Theta (r - Rk - 1)\Theta (Rk - r)B\nu km ,
де B\nu km =
\partial 2
\partial r2
+
1
r
\partial
\partial r
-
\nu 2km
r2
— класичний диференцiальний оператор Бесселя, \Theta (x) — оди-
нична функцiя Гевiсайда;
\{ \lambda p\} \infty p=1 — монотонно зростаюча послiдовнiсть дiйсних рiзних додатних коренiв транcцен-
дентного рiвняння
un1\nu nm;22
(qnR)w
(n)
(\nu m);2(q1R1, q2R1, . . . , qn - 1Rn - 1, qnRn - 1) -
- un2\nu nm;22
(qnR)w
(n)
(\nu m);1(q1R1, q2R1, . . . , qn - 1Rn - 1, qnRn - 1) = 0,
якi утворюють дискретний спектр.
Запишемо диференцiальнi рiвнянння (16) та початковi умови (17) у матричнiй формi\left[
\biggl(
\partial 2
\partial t2
- a2r1B\nu 1m + q21s
\biggr)
u1sm\biggl(
\partial 2
\partial t2
- a2r2B\nu 2m + q22s
\biggr)
u2sm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\biggl(
\partial 2
\partial t2
- a2rnB\nu nm + q2ns
\biggr)
unsm
\right]
=
\left[
\Phi 1sm(t, r)
\Phi 2sm(t, r)
. . . . . . . . .
\Phi nsm(t, r)
\right] , (23)
\left[
u1sm(t, r)
u2sm(t, r)
. . . . . . . . .
unsm(t, r)
\right]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
\left[
g11sm(r)
g12sm(r)
. . . . . . . . .
g1nsm(r)
\right] ,
\partial
\partial t
\left[
u1sm(t, r)
u2sm(t, r)
. . . . . . . . .
unsm(t, r)
\right]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
\left[
g21sm(r)
g22sm(r)
. . . . . . . . .
g2nsm(r)
\right] , (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА 1613
де q2js = a2zj\gamma
2
s + \chi 2
j , j = 1, n.
Iнтегральний оператор Hpn, який дiє за формулою (20), зобразимо у виглядi операторної
матрицi-рядка
Hpn[v(r)] =
\left[ R1\int
R0
v1(r)V1(r, \lambda p)\sigma 1rdr . . .
R\int
Rn - 1
vn(r)Vn(r, \lambda p)\sigma nrdr
\right] , (25)
де v(r) = (v1(r), . . . , vn(r)), i застосуємо за правилом множення матриць до задачi (23), (24).
З огляду на тотожнiсть (22) одержуємо задачу Кошi
n\sum
j=1
\biggl(
d2
dt2
+ \lambda 2
p + \alpha 2
j + q2js
\biggr)
\~ujsm(t, \lambda p) =
n\sum
j=1
\~\Phi jsm(t, \lambda p)+
+( - a21R0\sigma 1)(\alpha
0
11)
- 1V1(R0, \lambda p)g0sm(t) + a2nR\sigma n(\alpha
n
22)
- 1Vn(R, \lambda p)gRsm(t), (26)
n\sum
j=1
\~ujsm(t, \lambda p)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
n\sum
j=1
\~g1jsm(\lambda p),
d
dt
n\sum
j=1
\~ujsm(t, \lambda p)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
n\sum
j=1
\~g2jsm(\lambda p), (27)
де
\~ujsm(t, \lambda p) =
Rj\int
Rj - 1
ujsm(t, r)Vj(r, \lambda p)\sigma jrdr, j = 1, n,
\~\Phi jsm(t, \lambda p) =
Rj\int
Rj - 1
\~\Phi jsm(t, r)Vj(r, \lambda p)\sigma jrdr, j = 1, n,
\~gkjsm(\lambda p) =
Rj\int
Rj - 1
\~gkjsm(r)Vj(r, \lambda p)\sigma jrdr, j = 1, n, k = 1, 2.
Припустимо, не зменшуючи загальностi розв’язку задачi (1) – (5), що \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ q21s, q22s, . . .
. . . , q2ns\} = q21s, i покладемо скрiзь \alpha 2
j = q21s - q2js, j = 1, n. Якщо \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ q21s, q22s, . . . , q2ns\} = q2ms,
то покладемо \alpha 2
j = q2ms - q2js. Тодi задача Кошi (26), (27) набере вигляду
d2\~usm(t, \lambda p)
dt2
+ \delta 2s(\lambda p)\~usm(t, \lambda p) = \~Tsm(t, \lambda p), (28)
\~usm(t, \lambda p)| t=0 = \~g1sm(\lambda p),
d\~usm(t, \lambda p)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \~g2sm(\lambda p), (29)
де
\~usm(t, \lambda p) =
n\sum
j=1
\~ujsm(t, \lambda p), \~Tsm(t, \lambda p) =
n\sum
j=1
\~\Phi jsm(t, \lambda p)+
+( - a21R0\sigma 1)(\alpha
0
11)
- 1V1(R0, \lambda p)g0sm(t) + a2nR\sigma n(\alpha
n
22)
- 1Vn(R, \lambda p)gRsm(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1614 А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
\~gksm(\lambda p) =
n\sum
j=1
\~gkjsm(\lambda p), k = 1, 2, \delta 2s(\lambda p) = \lambda 2
p + a2z1\gamma
2
s + \chi 2
1.
Безпосередньо перевiряється, що єдиним розв’язком задачi Кошi (28), (29) є функцiя
\~usm(t, \lambda p) = Gs(t, \lambda p)\~g
2
sm(\lambda p) +
d
dt
Gs(t, \lambda p)\~g
1
sm(\lambda p) +
t\int
0
Gs(t - \tau , \lambda p) \~Tsm(\tau , \lambda p)d\tau , (30)
де функцiя Кошi (розв’язуюча функцiя) Gs(t, \lambda p) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\delta s(\lambda p)t)
\delta s(\lambda p)
.
Оператор H - 1
pn , як обернений до оператора (25), зобразимо у виглядi операторної матрицi-
стовпця
H - 1
pn [\~v(\lambda p)] =
\left[
\infty \sum
p=1
\~v1(\lambda p)
V1(r, \lambda p)
\| V (r, \lambda p)\| 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\infty \sum
p=1
\~vn(\lambda p)
Vn(r, \lambda p)
\| V (r, \lambda p)\| 2
\right]
. (31)
Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (31) до матрицi-
елемента [\~usm(t, \lambda p)], де функцiю \~usm(t, \lambda p) визначено формулою (30). Одержимо єдиний
розв’язок одновимiрної гiперболiчної початково-крайової задачi спряження (16) – (19):
ujsm(t, r) =
\infty \sum
p=1
\~usm(t, \lambda p)
Vj(r, \lambda p)
\| V (r, \lambda p)\| 2
, j = 1, n. (32)
Застосовуючи послiдовно до функцiй ujsm(t, r), визначених формулами (32), оберненi опе-
ратори \Lambda - 1
s , F - 1
m , i виконуючи нескладнi перетворення, одержуємо функцiї
uj(t, r, \varphi , z) =
n\sum
k=1
t\int
0
Rk\int
Rk - 1
2\pi \int
0
l2\int
- l1
Ejk(t - \tau , r, \rho , \varphi - \alpha , z, \xi )fk(\tau , \rho , \alpha , \xi )\sigma k\rho d\xi d\alpha d\rho d\tau +
+
\partial
\partial t
n\sum
k=1
Rk\int
Rk - 1
2\pi \int
0
l2\int
- l1
Ejk(t, r, \rho , \varphi - \alpha , z, \xi )g1k(\rho , \alpha , \xi )\sigma k\rho d\xi d\alpha d\rho +
+
n\sum
k=1
Rk\int
Rk - 1
2\pi \int
0
l2\int
- l1
Ejk(t, r, \rho , \varphi - \alpha , z, \xi )g2k(\rho , \alpha , \xi )\sigma k\rho d\xi d\alpha d\rho +
+
n\sum
k=1
a2zk
t\int
0
Rk\int
Rk - 1
2\pi \int
0
[W 1
jk(t - \tau , r, \rho , \varphi - \alpha , z)w1
k(\tau , \rho , \alpha ) +W 2
jk(t - \tau , r, \rho , \varphi - \alpha , z)\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА 1615
\times w2
k(\tau , \rho , \alpha )]\sigma k\rho d\alpha d\rho d\tau +
t\int
0
2\pi \int
0
l2\int
- l1
[W 1
jr(t - \tau , r, \varphi - \alpha , z, \xi )g(\tau , \alpha , \xi )+
+W 2
jr(t - \tau , r, \varphi - \alpha , z, \xi )gR(\tau , \alpha , \xi )]d\xi d\alpha d\tau , j = 1, n, (33)
якi визначають єдиний розв’язок гiперболiчної початково-крайової задачi (1) – (5). Формули (33)
мiстять компоненти
Ejk(t, r, \rho , \varphi , z, \xi ) =
1
2\pi
\infty \sum
m=0
\infty \sum
s=1
\infty \sum
p=1
\varepsilon mGs(t, \lambda p)
Vj(r, \lambda p)Vk(\rho , \lambda p)
\| V (r, \lambda p)\| 2
vs(z + l1)vs(\xi + l1)
\| vs(z + l1)\| 2
\times
\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(m\varphi ), j, k = 1, n,
матрицi впливу (функцiї впливу) E = [Ejk]
n
j,k=1, компоненти W 1
jk = Ejk| \xi = - l1 нижньої тан-
генцiальної матрицi Грiна (нижнi тангенцiальнi функцiї Грiна) W 1 =
\Bigl[
W 1
jk
\Bigr] n
j,k=1
, компоненти
W 2
jk = Ejk| \xi =l2 верхньої тангенцiальної матрицi Грiна (верхнi тангенцiальнi функцiї Грiна)
W 2 =
\Bigl[
W 2
jk
\Bigr] n
j,k=1
, компоненти W 1
jr = - a21R0\sigma 1(\alpha
0
11)
- 1Ej1| \rho =R0 лiвої радiальної матрицi Грi-
на (лiвi радiальнi функцiї Грiна) W 1
r =
\Bigl[
W 1
jr
\Bigr] n
j=1
i компоненти W 2
jr = a2nR\sigma n(\alpha
n
22)
- 1Ejn| \rho =R
правої радiальної матрицi Грiна (правi радiальнi функцiї Грiна) W 2
r =
\Bigl[
W 2
jr)
\Bigr] n
j=1
розглянутої
задачi.
Пiдсумком викладеного вище є така теорема.
Теорема. Якщо функцiї fj , g
p
j , w
p
j , p = 1, 2, задовольняють умови:
1) двiчi неперервно диференцiйовнi за кожною змiнною;
2) мають обмежену варiацiю за геометричними змiнними;
3) справджують умови спряження, а функцiї g0, gR задовольняють умови 1, 2,
то гiперболiчна початково-крайова задача спряження (1) – (5) має єдиний обмежений класич-
ний розв’язок, який визначається за формулами (33).
З використанням властивостей функцiй впливу Ejk i функцiй Грiна W p
jk, W
p
jr безпосеред-
ньо перевiряється, що функцiї uj , визначенi за формулами (33), задовольняють рiвняння (1),
початковi умови (2), крайовi умови (3), (4) й умови спряження (5) у сенсi теорiї узагальнених
функцiй [21].
Єдинiсть розв’язку (33) випливає з його структури (iнтегрального зображення) та єдиностi
основних розв’язкiв (функцiй впливу i функцiй Грiна) задачi (1) – (5).
Методами з [22] можна довести, що при вiдповiдних умовах на початковi данi форму-
ли (33) визначають обмежений класичний розв’язок гiперболiчної початково-крайової задачi
спряження (1) – (5).
Зауваження . 1. У випадку arj = a\varphi j = azj \equiv aj > 0 формули (33) визначають структуру
розв’язку гiперболiчної початково-крайової задачi спряження (1) – (5) в iзотропному кусково-
однорiдному порожнистому цилiндрi.
2. Параметри \alpha 0
11, \beta
0
11, \alpha
n
22, \beta
n
22 дозволяють видiляти з формул (33) розв’язки початково-
крайових задач у випадках задання на радiальних поверхнях r = R0, r = R крайових умов
першого, другого i третього роду та їхнiх можливих комбiнацiй.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1616 А. П. ГРОМИК, I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
3. Параметри pj , j = 1, 2, дозволяють видiляти з формул (33) розв’язки початково-крайових
задач у випадках задання на площинах z = - l1, z = l2 крайових умов першого i другого роду
та їхнiх можливих комбiнацiй (1-1, 1-2, 2-1, 2-2).
4. У випадку \chi j \equiv 0 рiвняння (1) є класичним тривимiрним неоднорiдним хвильовим
рiвнянням (рiвнянням коливань, рiвнянням Даламбера) для ортотропного середовища у цилiнд-
ричнiй системi координат.
5. Якщо \alpha k
11 = 0, \beta k
11 = 1; \alpha k
12 = 0, \beta k
12 = 1; \alpha k
21 = Ek
1 , \beta
k
21 = 0; \alpha k
22 = Ek
2 , \beta
k
22 = 0, де
Ek
1 , E
k
2 — модулi Юнга, то умови спряження (5) збiгаються з класичними умовами iдеального
механiчного контакту
uk| r=Rk
= uk+1| r=Rk
, Ek
1
\partial uk
\partial r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
= Ek
2
\partial uk+1
\partial r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r=Rk
, k = 1, n - 1.
Таким чином, у випадках, зазначених у зауваженнях 4 i 5, розглянута гiперболiчна крайова
задача математичної фiзики (1) – (5) охоплює вiдомi класичнi математичнi моделi коливних
процесiв у кусково-однорiдному порожнистому цилiндрi.
4. Висновки. Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi
з методом основних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше побудовано iн-
тегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної крайової задачi
математичної фiзики для кусково-однорiдного порожнистого цилiндра. Одержаний розв’язок
має алгоритмiчний характер, неперервно залежить вiд параметрiв i даних задачi й може бути
використаний як у подальших теоретичних дослiдженнях, так i в практицi iнженерних розра-
хункiв реальних процесiв, якi моделюються гiперболiчними крайовими задачами математичної
фiзики кусково-однорiдних середовищ.
Лiтература
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М.:
Наука, 1978. – 352 с.
2. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 122 с.
3. Митропольський Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых
уравнений гиперболического типа. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с.
4. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь з частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
5. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений
с частными производными. – Киев: Наук. думка, 1992. – 208 с.
6. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. – М.: Наука, 1969. – 292 с.
7. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. – М.:
Изд-во Моск. гос. ун-та, 1991. – 112 с.
8. Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и исследование процессов в
неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
9. Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения. –
Киев: Наук. думка, 1998. – 614 с.
10. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка,
2001. – 606 с.
11. Конет I. М., Ленюк М. П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових областях. –
Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
12. Громик А. П., Конет I. М., Ленюк М. П. Температурнi поля в кусково-однорiдних просторових середовищах. –
Кам’янець-Подiльський: Абетка-Свiт, 2011. – 200 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛIНДРА 1617
13. Конет I. М. Гiперболiчнi крайовi задачi математичної фiзики в кусково-однорiдних просторових середови-
щах. – Кам’янець-Подiльський: Абетка-Свiт, 2013. – 120 с.
14. Конет I. М., Пилипюк Т. М. Параболiчнi крайовi задачi в кусково-однорiдних середовищах. – Кам’янець-
Подiльський: Абетка-Свiт, 2016. – 244 с.
15. Громик А. П., Конет I. М., Пилипюк Т. М. Гiперболiчна крайова задача для кусково-однорiдного цилiндрично-
кругового шару // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Математика. Механiка. – 2018. – Вип. 1(39). – С. 19 – 25.
16. Громик А. П., Конет I. М., Пилипюк Т. М. Гiперболiчна крайова задача для кусково-однорiдного цилiндрично-
кругового шару з порожниною // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Математика. Механiка. – 2018. – Вип. 1(39). – С. 25 – 28.
17. Конет I. М., Пилипюк Т. М. Гiперболiчна крайова задача для кусково-однорiдного суцiльного цилiндра //
Нелiнiйнi коливання. – 2018. – 21, № 4. – С. 485 – 495.
18. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. – Київ: Либiдь, 2006. – 424 с.
19. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. – М.: Гостехтеориздат, 1956. – 204 с.
20. Быблив О. Я., Ленюк М. П. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля II-го рода для кусочно-
однородных сегментов // Изв. вузов. Математика. – 1987. – № 5. – С. 82 – 85.
21. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
22. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
Одержано 14.02.19,
пiсля доопрацювання — 25.07.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-714 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/39f2c52a96b515208beb2dab61e17f05.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7142020-01-17T11:44:12Z Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder Гиперболическая краевая задача для кусочно-однородного полого цилиндра Гіперболічна крайова задача для кусково- однорідного порожнистого циліндра Gromyk, A. P. Konet, I. M. Pylypiuk, T. M. Громик, А. П. Конет, И. М. Пилипюк, Т. М. Громик, А. П. Конет, І. М. Пилипюк, Т. М. By the method of integral and hybrid integrated transforms, in combination with the method of principal solutions (matrices of influence and Green matrices), we construct the integral representation of the unique exact analytic solution of a hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics for a piecewise homogeneous hollow cylinder. Методом интегральных и гибридных интегральных преобразований в сочетании с методом главных решений (матриц влияния и матриц Грина) впервые построено интегральное представление единственного точного аналитического решения гиперболической краевой задачи математической физики для кусочно-однородного полого цилиндра. Методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом основних розв'язків (матриць впливу і матриць Гріна) побудовано інтегральне зображення єдиного точного аналітичного розв'язку гіперболічної крайової задачі математичної фізики для кусково-однорідного порожнистого циліндра. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-12-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/714 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 12 (2019); 1607-1617 Український математичний журнал; Том 71 № 12 (2019); 1607-1617 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/714/1523 Copyright (c) 2019 Тетяна Михайлівна Пилипюк,Иван Михайлович Конет,Андрей Петрович Громик |
| spellingShingle | Gromyk, A. P. Konet, I. M. Pylypiuk, T. M. Громик, А. П. Конет, И. М. Пилипюк, Т. М. Громик, А. П. Конет, І. М. Пилипюк, Т. М. Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title | Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title_alt | Гиперболическая краевая задача для кусочно-однородного полого цилиндра Гіперболічна крайова задача для кусково- однорідного порожнистого циліндра |
| title_full | Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title_fullStr | Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title_full_unstemmed | Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title_short | Hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| title_sort | hyperbolic boundary-value problem for a piecewisehomogeneous hollow cylinder |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/714 |
| work_keys_str_mv | AT gromykap hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT konetim hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT pylypiuktm hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT gromikap hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT konetim hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT pilipûktm hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT gromikap hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT konetím hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT pilipûktm hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoushollowcylinder AT gromykap giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT konetim giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT pylypiuktm giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT gromikap giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT konetim giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT pilipûktm giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT gromikap giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT konetím giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT pilipûktm giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogopologocilindra AT gromykap gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT konetim gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT pylypiuktm gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT gromikap gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT konetim gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT pilipûktm gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT gromikap gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT konetím gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra AT pilipûktm gíperbolíčnakrajovazadačadlâkuskovoodnorídnogoporožnistogocilíndra |