Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces
UDC 517.51 In this paper, we obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}(\mathbb{T}^d),$ $1\leq\theta\leq\infty,$ of periodic functions of one and many variables with dominating mixed...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7141 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512617731194880 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-15T07:54:32Z |
| description |
UDC 517.51
In this paper, we obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}(\mathbb{T}^d),$ $1\leq\theta\leq\infty,$ of periodic functions of one and many variables with dominating mixed smoothness in the space $B_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$.In the multidimensional case, $d\geq 2,$ we establish exact-order estimates for approximations of the mentioned classes of functions by their step-hyperbolic Fourier sums and find the orthoprojection width orders in the same space. The behavior of corresponding approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{1,\boldsymbol{\alpha}}\left(\mathbb{T}^d\right)$ for $d\in\{1,2\}$ is also studied. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i6.7141 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i6.7141
УДК 517.51
А. С. Романюк, С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
IЗ ПРОСТОРIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА ТА СОБОЛЄВА*
In this paper, we obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol’skii – Besov
classes B\bfitr
1,\theta (\BbbT d), 1 \leq \theta \leq \infty , of periodic functions of one and many variables with dominating mixed smoothness in
the space B\infty ,1(\BbbT d). In the multidimensional case, d \geq 2, we establish exact-order estimates for approximations of the
mentioned classes of functions by their step-hyperbolic Fourier sums and find the orthoprojection width orders in the same
space. The behavior of corresponding approximation characteristics of the Sobolev classes W \bfitr
1,\bfitalpha
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
for d \in \{ 1, 2\} is
also studied.
Одержано точнi за порядком оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв Нiкольського –
Бєсова B\bfitr
1,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq \infty , перiодичних функцiй однiєї змiнної та багатьох змiнних з домiнуючою мiшаною
похiдною у просторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
. У багатовимiрному випадку, d \geq 2, встановлено точнi за порядком оцiнки набли-
жень згаданих класiв функцiй їхнiми схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є, а також порядки ортопоперечникiв у
цьому ж просторi. Дослiджено поведiнку вiдповiдних апроксимацiйних характеристик класiв Соболєва W \bfitr
1,\bfitalpha
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
при d \in \{ 1, 2\} .
1. Вступ. У роботi продовжено дослiдження апроксимацiйних характеристик класiв Нiколь-
ського – Бєсова B\bfitr
p,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
,
норма в якому є не слабшою, нiж L\infty
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
-норма. Нагадаємо, що деякi апроксимацiйнi характе-
ристики функцiональних класiв у просторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
вивчалися у роботах [1 – 5]. У згаданих
роботах зазначалося, що мотивацiєю до дослiдження вiдповiдних характеристик саме у просто-
рi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
була та обставина, що питання про їхнi порядковi значення у просторi L\infty
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
при d > 2 на даний час залишаються вiдкритими.
Основну частину роботи присвячено встановленню точних за порядком оцiнок найкра-
щих ортогональних тригонометричних наближень класiв B\bfitr
1,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq \infty , у просторi
B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, d \geq 1. Крiм цього, при d \geq 2 з використанням одержаних результатiв вдало-
ся встановити точнi за порядком оцiнки наближень згаданих класiв функцiй їх схiдчасто-
гiперболiчними сумами Фур’є у просторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, а також порядки ортопоперечникiв класiв
B\bfitr
1,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, d \geq 1, у цьому ж просторi. У деяких випадках дослiджено поведiнку вiдповiдних
апроксимацiйних характеристик класiв Соболєва W \bfitr
1,\bfitalpha
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
при d \in \{ 1, 2\} . Зазначимо, що
одержанi оцiнки розглянутих апроксимацiйних характеристик доповнюють результати, вста-
новленi у роботах [3, 5].
2. Означення класiв функцiй i апроксимацiйних характеристик та допомiжнi тверд-
ження. Нехай \BbbR d, d \geq 1, — евклiдiв простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd) i (\bfitx ,\bfity ) =
= x1y1 + . . . + xdyd. Через Lp
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, \BbbT d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi ), 1 \leq p \leq \infty , позначимо простiр
функцiй f, якi є 2\pi -перiодичними за кожною змiнною зi скiнченною нормою
* Виконано за часткової фiнансової пiдтримки за проєктом „Iнновацiйнi методи у теорiї диференцiальних рiв-
нянь, обчислювальнiй математицi та математичному моделюваннi” (номер державної реєстрацiї 0122U000670) в
рамках програми „Пiдтримка прiоритетних для держави наукових дослiджень i науково-технiчних (експеримен-
тальних) розробок Вiддiлення математики НАН України на 2022 – 2023 рр.”
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО, 2022
844 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 845
\| f\| p := \| f\| Lp(\BbbT d) =
\left( (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
| f (\bfitx )| p d\bfitx
\right) 1/p
, 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (\BbbT d) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbT d
| f (\bfitx )| .
Також будемо розглядати множину функцiй L0
p
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, яка визначається таким чином:
L0
p
\Bigl(
\BbbT d
\Bigr)
:=
\left\{ f : f \in Lp
\Bigl(
\BbbT d
\Bigr)
,
2\pi \int
0
f (\bfitx ) dxj = 0, j = 1, d, майже скрiзь
\right\} .
Далi, з метою спрощення записiв, також будемо використовувати позначення Lp замiсть Lp
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
i вiдповiдно L0
p замiсть L0
p
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
.
Тепер наведемо означення класiв B\bfitr
p,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
(зокрема, H\bfitr
p
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
), якi дослiджуються в роботi.
При цьому нам буде зручно користуватися означенням цих класiв у термiнах так званого
декомпозицiйного нормування (див., наприклад, [6, 7]).
Для векторiв \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , \bfitk = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , j = 1, d, покладемо
\rho (\bfits ) =
\bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для f \in L0
p позначимо
\delta \bfits (f) := \delta \bfits (f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ),
де \widehat f(\bfitk ) = \int
\BbbT d
f (\bfitt ) e - i(\bfitk ,\bfitt )d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Нехай 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тодi класи B\bfitr
p,\theta
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
можна означити таким чином [7]:
B\bfitr
p,\theta := B\bfitr
p,\theta
\Bigl(
\BbbT d
\Bigr)
:=
\Bigl\{
f \in L0
p : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
,
де
\| f\| B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta p
\right) 1
\theta
при 1 \leq \theta < \infty i
\| f\| B\bfitr
p,\infty \equiv \| f\| H\bfitr
p
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr ) \| \delta \bfits (f)\| p .
Тут i далi для додатних величин a i b використовуємо запис a \asymp b, який означає, що iснують
такi додатнi сталi C1 i C2, якi не залежать вiд одного iстотного параметра у величинах a i
b, що C1a \leq b (пишемо a \ll b) i C2a \geq b (пишемо a \gg b). Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi
зустрiчаються в роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення
класу, метрики, в якiй оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору \BbbR d.
Зауважимо, що видозмiнивши певним чином „блоки” \delta \bfits (f), наведене означення класiв B\bfitr
p,\theta
можна поширити i на крайнi значення p = 1 i p = \infty (див., наприклад, [7], зауваження 2.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
846 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Нехай Vl(t), t \in \BbbR , l \in \BbbN , позначає ядро Валле Пуссена вигляду
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt,
де при l = 1 третiй доданок вважаємо рiвним нулевi. Поставимо у вiдповiднiсть кожному
вектору \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, полiном
A\bfits (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\bigl(
V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)
\bigr)
i для f \in L0
p, 1 \leq p \leq \infty , покладемо
A\bfits (f) := A\bfits (f,\bfitx ) = (f \ast A\bfits ) (\bfitx ),
де \ast означає операцiю згортки. Тодi при 1 \leq p \leq \infty , \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, класи
B\bfitr
p,\theta можна означити таким чином:
B\bfitr
p,\theta :=
\Bigl\{
f \in L0
p : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
,
де
\| f\| B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f)\| \theta p
\right) 1
\theta
(1)
при 1 \leq \theta < \infty i
\| f\| B\bfitr
p,\infty \equiv \| f\| H\bfitr
p
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbN d
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f)\| p. (2)
Зауважимо, що зi зростанням параметра \theta класи B\bfitr
p,\theta розширюються, тобто
B\bfitr
p,1 \subset B\bfitr
p,\theta 1 \subset B\bfitr
p,\theta 2 \subset B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p , 1 \leq \theta 1 < \theta 2 \leq \infty .
Тепер нагадаємо означення класiв W \bfitr
p,\bfitalpha , якi також дослiджуються в роботi.
Нехай F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) — багатовимiрнi аналоги ядер Бернуллi, тобто
F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) = 2d
\sum
\bfitk
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kjxj -
\alpha j\pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
i пiдсумовування проводиться за векторами \bfitk = (k1, . . . , kd), для яких kj > 0, j = 1, d. Тодi
через W \bfitr
p,\bfitalpha позначимо клас функцiй f, якi мають вигляд
f (\bfitx ) = \varphi (\bfitx ) \ast F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) = (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
\varphi (\bfity )F\bfitr (\bfitx - \bfity ,\bfitalpha ) d\bfity ,
\varphi \in Lp, \| \varphi \| p \leq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 847
Нагадаємо, що для введених класiв справджуються такi вкладення:
B\bfitr
p,p \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,2, 1 < p \leq 2,
B\bfitr
p,2 \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,p, 2 \leq p < \infty ,
W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p , 1 \leq p \leq \infty .
Зокрема, при \theta = p = 2
W \bfitr
2,\bfitalpha \subset B\bfitr
2,2 \subset W \bfitr
2,\bfitalpha .
З iсторiєю дослiдження апроксимацiйних характеристик класiв W \bfitr
p,\bfitalpha , H
\bfitr
p i B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty ,
у просторах Lq
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
, 1 \leq q \leq \infty , можна ознайомитись у монографiях [13 – 15, 30] i, зокрема,
у просторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
— у роботах [1 – 5].
У подальших мiркуваннях будемо вважати, що координати векторiв \bfitr = (r1, . . . , rd), якi
входять в означення класiв, впорядковано таким чином: 0 < r1 = r2 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . .
. . . \leq rd. Вектору \bfitr = (r1, . . . , rd) поставимо у вiдповiднiсть вектор \bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d), \gamma j =
= rj/r1, j = 1, d, а вектору \bfitgamma , в свою чергу, — вектор \bfitgamma \prime = (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d) , де \gamma \prime j = \gamma j , якщо
j = 1, \nu i 1 < \gamma \prime j < \gamma j , j = \nu + 1, d.
Тепер наведемо означення норми у пiдпросторi B\infty ,1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
(далi пишемо B\infty ,1) функ-
цiй f \in L\infty . Для тригонометричних полiномiв t за кратною тригонометричною системою\bigl\{
ei(\bfitk ,\bfitx )
\bigr\}
\bfitk \in \BbbZ d норма \| t\| B\infty ,1 визначається згiдно з формулою
\| t\| B\infty ,1 :=
\sum
\bfits \in \BbbN d
\| A\bfits (t)\| \infty .
Аналогiчно означується норма \| f\| B\infty ,1 для будь-якої функцiї f \in L\infty такої, що ряд\sum
\bfits \in \BbbN d
\| A\bfits (f)\| \infty
збiгається. Зазначимо, що для f \in B\infty ,1 виконується спiввiдношення
\| f\| \infty \ll \| f\| B\infty ,1 . (3)
Далi наведемо означення апроксимацiйної характеристики, яку будемо дослiджувати, i
сформулюємо допомiжнi твердження.
Нехай X — деякий нормований функцiональний простiр iз нормою \| \cdot \| X i \Omega M — довiльний
набiр iз M d-вимiрних векторiв \bfitk j =
\Bigl(
kj1, . . . , k
j
d
\Bigr)
, j = 1,M, з цiлочисловими координатами.
Для функцiї f \in X позначимо
S\Omega M
(f) := S\Omega M
(f,\bfitx ) =
M\sum
j=1
\widehat f \bigl( \bfitk j
\bigr)
ei(\bfitk
j ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
де \widehat f \bigl( \bfitk j
\bigr)
= (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
f (\bfitt ) e - i(\bfitk j ,\bfitt )d\bfitt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f, якi вiдповiдають набору векторiв iз \Omega M .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
848 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Розглянемо апроксимацiйну характеристику
e\bot M (f)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Omega M
\| f - S\Omega M
(f)\| X
i для функцiонального класу F \subset X покладемо
e\bot M (F )X = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
e\bot M (f)X .
Величину e\bot M (F )X називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням
класу F у просторi X .
Величини e\bot M (F )X на класах W \bfitr
p,\bfitalpha , B
\bfitr
p,\theta i H\bfitr
p у просторах Lq, 1 \leq q \leq \infty , i B\infty ,1 дослi-
джували в роботах [8 – 12] (див. також [13]), де можна ознайомитися з детальною бiблiографiєю.
Сформулюємо кiлька вiдомих тверджень, необхiдних для подальшого викладу.
Теорема А [12]. Нехай 1 \leq p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , r1 >
1
p
. Тодi справедливою є оцiнка
e\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta
\bigr)
\infty \asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta .
Лема А [14, c. 11]. Справджується спiввiдношення\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq l
2 - \beta (\bfits ,\bfitgamma ) \asymp 2 - \beta ll\nu - 1, \beta > 0.
Щоб сформулювати наступне твердження для f \in L1(\BbbT ), позначимо
Sn(f) := Sn(f, x) =
n\sum
s=1
\delta s(f, x). (4)
Якщо F \subset X \subset L\infty (\BbbT ) — деякий функцiональний клас, то покладемо
\scrE n(F )X = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\| f - Sn(f)\| X .
Теорема Б [15] (гл.1, § 3). Нехай d = 1, \alpha \in \BbbR i r1 > 1. Тодi справедливою є оцiнка
\scrE n
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
\infty
\asymp 2 - n(r1 - 1).
3. Основнi результати. Розглянемо спочатку одновимiрний випадок.
Теорема 1. Нехай d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 1. Тодi
e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp M - r1+1. (5)
Доведення. Встановимо в (5) оцiнку зверху. Попередньо зауважимо, що внаслiдок вкладен-
ня Br1
1,\theta \subset Hr1
1 , 1 \leq \theta < \infty , її достатньо отримати при \theta = \infty , тобто для класiв Hr1
1 .
Отже, нехай M \in \BbbN i f \in Hr1
1 . Розглянемо наближення функцiї f за допомогою полiномiв
вигляду (4), де число n пов’язане з M спiввiдношенням 2n \leq M \leq 2n+1. Тодi згiдно з
означенням норми у просторi B\infty ,1, беручи до уваги властивiсть згортки, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 849
e\bot M (f)B\infty ,1 \ll \| f - Sn(f)\| B\infty ,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n+1
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
=
\infty \sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\infty \sum
s=n+1
\| As\| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= J1. (6)
Для продовження оцiнювання величини J1 зазначимо, що згiдно зi спiввiдношенням \| V2s\| 1 \leq
\leq C3, C3 > 0 (див., наприклад, [15], гл. 1, § 1), маємо
\| As\| 1 = \| V2s - V2s - 1\| 1 \leq \| V2s\| 1 + \| V2s - 1\| 1 \leq C4, C4 > 0.
Тому для величини J1 одержуємо оцiнку
J1 \ll
\infty \sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\infty \sum
s=n+1
s+1\sum
s\prime =s - 1
\| \delta s\prime (f)\| \infty \ll
\ll
\infty \sum
s=n
\| \delta s(f)\| \infty =
\infty \sum
s=n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta s
\Biggl(
s+1\sum
s\prime =s - 1
As\prime (f)
\Biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= J2. (7)
Далi, враховуючи, що норма оператора \delta s : \delta sf = \delta s(f), як оператора з L1(\BbbT ) в L\infty (\BbbT ), не
перевищує за порядком 2s, продовжуємо оцiнювання величини J2 :
J2 \ll
\infty \sum
s=n
2s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\infty \sum
s=n
2s
s+1\sum
s\prime =s - 1
\| As\prime (f)\| 1 = J3.
Беручи до уваги, що для функцiї f \in Hr1
1 виконується спiввiдношення (2) при p = 1, тобто
\| As\prime (f)\| 1 \ll 2 - s\prime r1 , можемо записати
J3 \ll
\infty \sum
s=n
2s
s+1\sum
s\prime =s - 1
2 - s\prime r1 \ll
\infty \sum
s=n
2s2 - sr1 =
\infty \sum
s=n
2 - s(r1 - 1) \ll 2 - n(r1 - 1). (8)
Отже, враховуючи (6) – (8), а також спiввiдношення мiж числами M i n, отримуємо оцiнку
e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\ll M - r1+1.
Оцiнку зверху встановлено.
Щодо оцiнки знизу в (5) зауважимо, що вона є наслiдком теореми A за умови p = 1 i \nu = 1,
оскiльки, згiдно зi спiввiдношенням (3), можемо записати
e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
\infty
\asymp M - r1+1.
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 1. Тодi
\scrE n
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1). (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
850 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Оцiнку зверху в (9) встановлено при доведеннi теореми 1. Вiдповiдна оцiнка знизу також є
наслiдком цiєї теореми, оскiльки при 2n \leq M \leq 2n+1 маємо
\scrE n
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1).
Зауваження 1. Проаналiзувавши доведення теореми 1 i наслiдку 1, можемо зробити вис-
новок, що при d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 1 справджуються спiввiдношення
e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp e\bot M
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
\infty
,
\scrE n
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp \scrE n
\Bigl(
Br1
1,\theta
\Bigr)
\infty
.
Далi встановимо аналогiчнi теоремi 1 та наслiдку 1 твердження для класiв W r1
1,\alpha .
Теорема 2. Нехай d = 1, \alpha \in \BbbR i r1 > 1. Тодi
e\bot M
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp M - r1+1.
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 1 згiдно з вкладенням W r1
1,\alpha \subset Hr1
1 . Вiдпо-
вiдна оцiнка знизу є наслiдком теореми Б за умови 2n \leq M \leq 2n+1.
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 2. Нехай d = 1, \alpha \in \BbbR i r1 > 1. Тодi справджується спiввiдношення
\scrE n
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1).
Оцiнка зверху випливає з (9), оскiльки W r1
1,\alpha \subset Hr1
1 , а вiдповiдна оцiнка знизу є наслiдком
теореми Б i спiввiдношення (3).
Зауваження 2. Аналогiчно, як i у випадку класiв Br1
1,\theta , робимо висновок, що для класiв
W r1
1,\alpha при d = 1, \alpha \in \BbbR i r1 > 1 справджуються спiввiдношення
e\bot M
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp e\bot M
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
\infty
,
\scrE n
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
B\infty ,1
\asymp \scrE n
\Bigl(
W r1
1,\alpha
\Bigr)
\infty
.
У наступному твердженнi розглянемо багатовимiрний випадок (d \geq 2).
Теорема 3. Нехай d \geq 2, 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 1. Тодi справедливою є оцiнка
e\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1 \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta . (10)
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Нехай f \in B\bfitr
1,\theta i \bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d). Тодi,
поклавши \gamma (d) = \gamma 1 + . . . + \gamma d i пiдiбравши число n = n(M) \in \BbbN з умови M \asymp 2nn\nu - 1 та
скориставшись властивiстю згортки, можемо записати
e\bot M (f)B\infty ,1 \ll
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )<n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 851
=
\sum
\bfits \in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
(\bfits \prime ,\bfitgamma )\geq n
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
\| A\bfits \| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (f)\| \infty \ll
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
\| \delta \bfits (f)\| \infty =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta \bfits
\left( \sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
A\bfits \prime (f)
\right) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= J4. (11)
Далi, беручи до уваги, що норма оператора \delta \bfits : \delta \bfits f = \delta \bfits (f), як оператора з L1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
в L\infty
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
,
не перевищує за порядком 2(\bfits ,\bfone ), де \bfone = (1, . . . , 1) \in \BbbN d, для величини J4 одержуємо
J4 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfone )
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| A\bfits \prime (f)\| 1 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2(\bfits ,\bfone )\| A\bfits (f)\| 1 = J5. (12)
Для продовження оцiнювання величини J5 розглянемо кiлька випадкiв.
1. Нехай 1 < \theta < \infty . Тодi, застосувавши до J5 нерiвнiсть Гельдера з показником \theta i
врахувавши (1), можемо записати
J5 \leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f)\| \theta 1
\right) 1
\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitr - \bfone ) \theta
\theta - 1
\right) 1 - 1
\theta
\ll
\ll \| f\| B\bfitr
1,\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitr - \bfone ) \theta
\theta - 1
\right) 1 - 1
\theta
\leq
\leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2 - (\bfits ,\~\bfitgamma )(r1 - 1) \theta
\theta - 1
\right) 1 - 1
\theta
= J6, (13)
де \~\bfitgamma = (\~\gamma 1, . . . , \~\gamma d) — вектор з координатами \~\gamma j =
rj - 1
r1 - 1
, j = 1, d, а \bfitr - \bfone позначає вектор
з координатами rj - 1, j = 1, d. Легко бачити, що \~\gamma j = \gamma j = 1, j = 1, \nu , i 1 < \gamma j < \~\gamma j при
j = \nu + 1, d, а тому, використовуючи лему А при M \asymp 2nn\nu - 1, отримуємо
J6 \ll 2 - n(r1 - 1)n(\nu - 1)(1 - 1
\theta ) \asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1 \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta . (14)
Поєднуючи (11) – (14), приходимо до шуканої оцiнки зверху величини e\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B\infty ,1
у ви-
падку 1 < \theta < \infty .
2. Нехай \theta = 1. Тодi J5 оцiнюємо таким чином:
J5 =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f)\| 12 - (\bfits ,\bfitr )2(\bfits ,\bfone ) \ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
852 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f)\| 12 - (\bfits ,\bfitgamma )(r1 - 1) \leq
\leq \| f\| B\bfitr
1,\theta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitgamma )(r1 - 1) \ll 2 - n(r1 - 1) \asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
. (15)
Iз (11), (12) i (15) випливає шукана оцiнка зверху величини e\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,1
\bigr)
B\infty ,1
.
3. У випадку \theta = \infty , враховуючи, що для f \in B\bfitr
1,\infty \equiv H\bfitr
1 згiдно з (2) справджується
спiввiдношення \| A\bfits (f)\| 1 \ll 2 - (\bfits ,\bfitr ), \bfits \in \BbbN d, маємо
J5 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2(\bfits ,\bfone )2 - (\bfits ,\bfitr ) \leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 3\gamma (d)
2 - (\bfits ,\~\bfitgamma )(r1 - 1) \ll
\ll 2 - n(r1 - 1)n\nu - 1 \asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1 \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr)
. (16)
Поєднуючи (11), (12) i (16), приходимо до шуканої оцiнки зверху величини e\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\infty
\bigr)
B\infty ,1
.
Оцiнка знизу в (10) є наслiдком теореми А згiдно зi спiввiдношенням (3).
Теорему 3 доведено.
Для того щоб навести наслiдки теореми 3, а також вiдомих результатiв, введемо необхiднi
позначення й означимо вiдповiднi апроксимацiйнi характеристики.
При d \geq 2 через Q\bfitgamma
n, n \in \BbbN , позначимо множину Q\bfitgamma
n =
\bigcup
(\bfits ,\bfitgamma )<n \rho (\bfits ), яку називають
схiдчастим гiперболiчним хрестом.
Для функцiї f \in L1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
через SQ\bfitgamma
n
(f) будемо позначати її схiдчасто-гiперболiчну суму
Фур’є, тобто
SQ\bfitgamma
n
(f) := SQ\bfitgamma
n
(f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in Q\bfitgamma
n
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ) = \sum
(\bfits ,\bfitgamma )<n
\delta \bfits (f,\bfitx ).
Нехай, як i ранiше, X — деякий нормований функцiональний простiр iз нормою \| \cdot \| X ,
X \subset L1
\bigl(
\BbbT d
\bigr)
i F \subset X — деякий функцiональний клас. Тодi через \scrE \bfitgamma
n (F )X позначимо
величину
\scrE \bfitgamma
n
\bigl(
F
\bigr)
X
:= \scrE Q\bfitgamma
n
\bigl(
F
\bigr)
X
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\| f - SQ\bfitgamma
n
(f)\| X .
Нагадаємо, що величини \scrE \bfitgamma
n
\bigl(
F
\bigr)
X
для класiв F = B\bfitr
p,\theta у просторах X = Lq, 1 \leq q \leq \infty , або
X = B\infty ,1 дослiджували в роботах [3, 16 – 18].
Крiм цього, далi, як наслiдок оцiнок величини \scrE \bfitgamma
n
\Bigl(
B\bfitr
1,\theta
\Bigr)
B\infty ,1
i вiдомих результатiв набли-
ження цих класiв у просторi L\infty , встановимо порядки ортопоперечникiв d\bot M
\Bigl(
B\bfitr
1,\theta , B\infty ,1
\Bigr)
.
Нагадаємо означення вiдповiдної апроксимацiйної характеристики.
Нехай \{ ui\} Mi=1 — ортонормована у просторi L2 система функцiй ui \in L\infty , i = 1,M. Кожнiй
функцiї f \in X поставимо у вiдповiднiсть апроксимацiйний агрегат вигляду
\sum M
i=1
(f, ui)ui,
тобто ортогональну проєкцiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй \{ ui\} Mi=1.
Тут (f, ui) = (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
f (\bfitx )ui (\bfitx ) d\bfitx . Для F \subset X величина
d\bot M (F,X ) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ ui\} Mi=1\subset L\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
M\sum
i=1
(f, ui)ui
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
(17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 853
називається ортопоперечником (Фур’є-поперечником) класу F у просторi X . Ортопоперечник
d\bot M (F,Lq) увiв В. М. Темляков [19], i, зокрема, на класах W \bfitr
p,\bfitalpha , H\bfitr
p i B\bfitr
p,\theta у просторах Lq,
1 \leq q \leq \infty , Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , його дослiджували в роботах [5, 20 – 29] (див. також монографiї
[13 – 15, 30]). У цих роботах можна ознайомитися з iсторiєю дослiдження вiдповiдних величин
i на iнших функцiональних класах.
Наведемо один iз результатiв роботи [24], який будемо використовувати при одержаннi
порядкових оцiнок величини d\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B\infty ,1
\bigr)
.
Теорема В. Нехай d \geq 1, 1 \leq p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi при r1 >
1
p
справджується
порядкове спiввiдношення
d\bot M
\bigl(
B\bfitr
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta .
Зауважимо, що при \theta = \infty , тобто для класiв H\bfitr
p , вiдповiдну оцiнку встановлено в [20].
Наслiдок 3. Нехай d \geq 2, 1 \leq \theta \leq \infty i r1 > 1. Тодi
\scrE \bfitgamma
n
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1)n(\nu - 1)(1 - 1
\theta ). (18)
Оцiнку зверху в (18) встановлено при доведеннi теореми 3. Вiдповiдна оцiнка знизу також
є наслiдком теореми 3, оскiльки при M \asymp 2nn\nu - 1 виконуються спiввiдношення
\scrE \bfitgamma
n
\bigl(
B\bfitr
1,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\infty
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1)n(\nu - 1)(1 - 1
\theta ).
Оцiнка (18) доповнює вiдповiднi результати для класiв B\bfitr
p,\theta , 1 < p < \infty [3].
Наступний наслiдок стосується ортопоперечникiв класiв B\bfitr
1,\theta у просторi B\infty ,1.
Наслiдок 4. Нехай d \geq 1, 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi при r1 > 1
d\bot M
\bigl(
B\bfitr
1,\theta , B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1+1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
\theta . (19)
Оцiнка зверху випливає з (9) i (18) при вiдповiдному виборi чисел n, а оцiнка знизу згiдно
з нерiвнiстю (3) є наслiдком теореми В при p = 1.
Зазначимо, що оцiнка (19) доповнює вiдповiдний результат для класiв B\bfitr
p,\theta , 1 < p < \infty ,
встановлений у [5].
Крiм того, при дослiдженнi апроксимацiйних характеристик класiв B\bfitr
1,\theta виявлено, що в
одновимiрному випадку, на вiдмiну вiд багатовимiрного (d \geq 2), одержанi результати не зале-
жать вiд параметра \theta .
Насамкiнець наведемо два наслiдки, якi стосуються вiдповiдних апроксимацiйних характе-
ристик класiв Соболєва W \bfitr
1,\bfzero . Для цього нам також необхiдне допомiжне твердження.
Теорема Г [20]. Нехай d = 2, \bfitr = (r1, r1), r1 > 1. Тодi справедливою є оцiнка
d\bot M
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1+1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1 .
Наслiдок 5. Нехай d = 2, \bfitr = (r1, r1), r1 > 1. Тодi
d\bot M
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero , B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1+1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1 . (20)
Оцiнка зверху випливає з (19) при \theta = \infty внаслiдок вкладення W \bfitr
1,\bfzero \subset H\bfitr
1 . Вiдповiдна
оцiнка знизу в (20) одержується з теореми Г згiдно зi спiввiдношенням (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
854 А. С. РОМАНЮК, С. Я. ЯНЧЕНКО
Наслiдок 6. Нехай d = 2, \bfitr = (r1, r1), r1 > 1. Тодi
\scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
\infty \asymp \scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2 - n(r1 - 1)n. (21)
Зауважимо, що оцiнку зверху в (21) достатньо встановити для величини \scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
B\infty ,1
, а
знизу — для \scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
\infty .
Отже, оцiнка зверху величини \scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
B\infty ,1
випливає з наслiдку 3 при умовi d = 2, \theta = \infty
згiдно з вкладенням W \bfitr
1,\bfzero \subset H\bfitr
1 . Оцiнка знизу величини \scrE \bfone
n
\bigl(
W \bfitr
1,\bfzero
\bigr)
\infty випливає з теореми Г при
умовi, що число n \in \BbbN пiдiбрано по заданому M iз спiввiдношення M \asymp 2nn.
Лiтература
1. E. S. Belinsky, Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed
derivative, J. Approx. Theory, 93, 114 – 127 (1998).
2. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
у просторi B\infty ,1 , Укр. мат. журн., 71, № 2, 271 – 282 (2019).
3. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв перiодичних функцiй
однiєї та багатьох змiнних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102 – 1115 (2019).
4. M. V. Hembarskyi, S. B. Hembarska, K. V. Solich, The best approximations and widths of the classes of periodical
functions of one and several variables in the space B\infty ,1 , Mat. Stud., 51, № 1, 74 – 85 (2019).
5. А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв функцiй з просторiв Соболєва та Нiкольського – Бєсова, Укр. мат. вiсн., 17, № 3, 372 – 395
(2020).
6. Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)\ast
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n), Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5 – 34 (1965).
7. П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143 – 161 (1989).
8. Э. С. Белинский, Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с
ограниченной смешанной производной, Исследования по теории функций многих вещественных переменных,
Ярослав. ун-т, Ярославль (1988), с. 16 – 33.
9. А. С. Романюк, Приближение классов функций многих переменных их ортогональными проекциями на под-
пространства тригонометрических полиномов, Укр. мат. журн., 48, № 1, 80 – 89 (1996).
10. А. С. Романюк, Приближение классов периодических функций многих переменных, Мат. заметки, 71, № 1,
109 – 121 (2002).
11. А. С. Романюк, Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Br
p,\theta периодических функций
многих переменных, Изв. РАН. Сер. мат., 70, № 2, 69 – 98 (2006).
12. А. С. Романюк, Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике, Мат. заметки, 82, № 2, 247 – 261 (2007).
13. А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных,
Працi Iн-ту математики НАН України, 93 (2012).
14. В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178,
1 – 112 (1986).
15. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
16. Динь Зунг, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами, Мат. сб.,
131(173), № 2, 251 – 271 (1986).
17. А. С. Романюк, Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве Lq ,
Укр. мат. журн., 43, № 10, 1398 – 1408 (1991).
18. А. С. Романюк, Приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных линейными методами
и наилучшие приближения, Мат. сб., 195, № 2, 91 – 116 (2004).
19. В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных, Докл. АН СССР, 267, № 2,
314 – 317 (1982).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 855
20. В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-
изводной или разностью, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189, 138 – 168 (1989).
21. А. В. Андрианов, В. Н. Темляков, О двух методах распространения свойств систем функций от одной
переменной на их тензорное произведение, Тр. Мат. ин-та РАН, 219, 32 – 43 (1997).
22. Э. М. Галеев, Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами,
Мат. заметки, 47, № 3, 32 – 41 (1990).
23. А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных,
Мат. сб., 199, № 2, 93 – 114 (2008).
24. А. С. Романюк, Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих перемен-
ных, Anal. Math., 37, 181 – 213 (2011).
25. Д. Б. Базарханов, Оценки поперечников Фурье классов типа Никольского – Бесова и Лизоркина – Трибеля пери-
одических функций многих переменных, Мат. заметки, 87, № 2, 305 – 308 (2010).
26. Д. Б. Базарханов, Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих
переменных. II, Anal. Math., 38, № 4, 249 – 289 (2012).
27. А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br
p,\theta периодических функций многих
переменных в прострастве Lq. I, Укр. мат. журн., 53, № 9, 1224 – 1231 (2001).
28. А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br
p,\theta периодических функций многих
переменных в прострастве Lq. II, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1402 – 1408 (2001).
29. А. С. Романюк, С. Я. Янченко, Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого
наближення класiв перiодичних функцiй у просторi B1,1 , Укр. мат. журн., 73, № 8, 1102 – 1119 (2021).
30. D. Dũng, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses in Math., Birkhäuser/Springer,
CRM Barcelona (2018).
Одержано 01.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-7141 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:38Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/c72d71061556ae84a688baa07e1fdafb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71412022-07-15T07:54:32Z Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces Наближення класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних із просторів Нікольського – Бєсова та Соболєва Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. класи Нiкольського–Бєсова класи Соболєва найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення схiдчасто-гiперболiчнi суми Фур’є ортопоперечник Nikol’skii–Besov classes Sobolev classes best orthogonal trigonometric approximations step-hyperbolic Fourier sums orthoprojection width UDC 517.51 In this paper, we obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}(\mathbb{T}^d),$ $1\leq\theta\leq\infty,$ of periodic functions of one and many variables with dominating mixed smoothness in the space $B_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$.In the multidimensional case, $d\geq 2,$ we establish exact-order estimates for approximations of the mentioned classes of functions by their step-hyperbolic Fourier sums and find the orthoprojection width orders in the same space. The behavior of corresponding approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{1,\boldsymbol{\alpha}}\left(\mathbb{T}^d\right)$ for $d\in\{1,2\}$ is also studied. УДК 517.51 Одержано точнi за порядком оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв Нiкольського–Бєсова $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}(\mathbb{T}^d)$, $1\leq \theta \leq \infty$,&nbsp;перiодичних функцiй однiєїзмiнної та багатьох змiнних з домiнуючою мiшаною похiдною у просторi $B_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$. У багатовимiрному випадку, $d\geq 2$, встановлено точнi за порядком оцiнки наближень згаданих класiв функцiй їхнiми схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є, а також порядки ортопоперечникiв у цьому ж просторi. Дослiджено поведiнку вiдповiдних апроксимацiйних характеристик класiв Соболєва $W^{\boldsymbol{r}}_{1,\boldsymbol{\alpha}}(\mathbb{T}^d)$ при $d \in \{1,2\}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-07-07 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7141 10.37863/umzh.v74i6.7141 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 6 (2022); 844 - 855 Український математичний журнал; Том 74 № 6 (2022); 844 - 855 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7141/9256 Copyright (c) 2022 Сергій Янченко, Анатолій Романюк |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Yanchenko, S. Ya. Романюк, А. С. Янченко, С. Я. Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title | Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title_alt | Наближення класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних із просторів Нікольського – Бєсова та Соболєва |
| title_full | Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title_fullStr | Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title_short | Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces |
| title_sort | approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the nikol’skii – besov and sobolev spaces |
| topic_facet | класи Нiкольського–Бєсова класи Соболєва найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення схiдчасто-гiперболiчнi суми Фур’є ортопоперечник Nikol’skii–Besov classes Sobolev classes best orthogonal trigonometric approximations step-hyperbolic Fourier sums orthoprojection width |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7141 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas approximationofclassesofperiodicfunctionsinoneandmanyvariablesfromthenikolskiibesovandsobolevspaces AT yanchenkosya approximationofclassesofperiodicfunctionsinoneandmanyvariablesfromthenikolskiibesovandsobolevspaces AT romanûkas approximationofclassesofperiodicfunctionsinoneandmanyvariablesfromthenikolskiibesovandsobolevspaces AT ânčenkosâ approximationofclassesofperiodicfunctionsinoneandmanyvariablesfromthenikolskiibesovandsobolevspaces AT romanyukas nabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnihízprostorívníkolʹsʹkogobêsovatasobolêva AT yanchenkosya nabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnihízprostorívníkolʹsʹkogobêsovatasobolêva AT romanûkas nabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnihízprostorívníkolʹsʹkogobêsovatasobolêva AT ânčenkosâ nabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnihízprostorívníkolʹsʹkogobêsovatasobolêva |