Approximation of holomorphic functions by Cesàro means
UDC 517.5 For the Lipschitz class of functions holomorphic in the disc, we present a constructive characterization of this class in terms of Cesaro’s means of order $\alpha \ge 2$ of the Taylor series. We solve the problem of exact upper bound for the deviations of Cesaro’s means of order $\alpha \g...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512619016749056 |
|---|---|
| author | Rovenska , O. G. Savchuk , V. V. Savchuk, M. V. Ровенська, О. Г. Савчук, В. В. Савчук , М. В. Савчук, Віктор Васильович |
| author_facet | Rovenska , O. G. Savchuk , V. V. Savchuk, M. V. Ровенська, О. Г. Савчук, В. В. Савчук , М. В. Савчук, Віктор Васильович |
| author_sort | Rovenska , O. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:05Z |
| description | UDC 517.5
For the Lipschitz class of functions holomorphic in the disc, we present a constructive characterization of this class in terms of Cesaro’s means of order $\alpha \ge 2$ of the Taylor series. We solve the problem of exact upper bound for the deviations of Cesaro’s means of order $\alpha \ge 2$ as well as for the deviations of Riesz’s means of order 2 of the Taylor series in the class of functions holomorphic in the disc and having a bounded derivative.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7143 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7143
УДК 517.5
О. Г. Ровенська, В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
М. В. Савчук (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ЧЕЗАРО
For the Lipschitz class of functions holomorphic in the disc, we present a constructive characterization of this class in terms
of Cesàro’s means of order \alpha \geq 2 of the Taylor series. We solve the problem of exact upper bound for the deviations of
Cesàro’s means of order \alpha \geq 2 as well as for the deviations of Riesz’s means of order 2 of the Taylor series in the class
of functions holomorphic in the disc and having a bounded derivative.
Наведено конструктивну характеристику класу Лiпшиця голоморфних у крузi функцiй в термiнах середнiх Чезаро
порядку \alpha \geq 2 рядiв Тейлора. Розв’язано задачу про точну верхню межу вiдхилень середнiх Чезаро порядку \alpha \geq 2,
а також середнiх Рiса другого порядку рядiв Тейлора на класi голоморфних у крузi функцiй з обмеженою похiдною.
1. Вступ. Нехай f — функцiя, голоморфна у крузi \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} , i
f(z) =
\infty \sum
j=0
\widehat fjzj , \widehat fj := f (j)(0)
j!
,
— її розклад у ряд Тейлора.
Середнiми Чезаро (C,\alpha ) порядку \alpha , \alpha > - 1, i степеня n - 1, n \in \BbbN , функцiї f називається
многочлен
\sigma \alpha
n(f)(z) :=
1
A\alpha
n - 1
n - 1\sum
j=0
A\alpha
n - j - 1
\widehat fjzj ,
де
A\alpha
k :=
\Gamma (k + \alpha + 1)
\Gamma (k + 1)\Gamma (\alpha + 1)
=
\biggl(
k + \alpha
k
\biggr)
i \Gamma — гамма-функцiя.
Зокрема, \sigma 0
n(f)(z) =
\sum n - 1
k=0
\widehat fkzk — частиннi суми ряду Тейлора, а \sigma n(f)(z) := \sigma 1
n(f)(z) =
=
\sum n - 1
k=0
(1 - k/n) \widehat fkzk — середнi Феєра функцiї f.
Нехай A(\BbbD ) — диск-алгебра з нормою \| f\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}z\in \BbbD | f(z)| , тобто банахова алгебра функ-
цiй, голоморфних в \BbbD i неперервних в \BbbD .
Якщо функцiя f \in A(\BbbD ), то при z \in \BbbT := \{ t \in \BbbC : | t| = 1\} ми можемо розглядати \sigma \alpha
n(f)
як (C,\alpha )-середнi Чезаро тригонометричного ряду Фур’є
\sum \infty
k=0
\widehat fkeix функцiї x \mapsto \rightarrow f(eix).
Такий пiдхiд дозволяє застосовувати величезний арсенал тверджень, методiв i прийомiв про
(C,\alpha )-пiдсумовуванiсть тригонометричних рядiв i щодо рядiв Тейлора. Наприклад, за теоре-
мою М. Рiса [1] (див. також [2, с. 157]) при \alpha > 0 для будь-якої функцiї f \in A(\BbbD )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| f - \sigma \alpha
n(f)
\bigm\| \bigm\| = 0.
Iншими словами, середнi Чезаро \sigma \alpha
n(f) при \alpha > 0 породжують лiнiйний метод рiвномiрного
наближення голоморфних функцiй з диск-алгебри A(\BbbD ). Апроксимативнi властивостi \sigma \alpha
n як в
c\bigcirc О. Г. РОВЕНСЬКА, В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК, 2022
676 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ЧЕЗАРО 677
A(\BbbD ), так i в iнших банахових просторах голоморфних функцiй, є добре вивченими. Тут ми
згадаємо статтю [3], в якiй можна знайти бiблiографiю з питань наближення середнiми Чезаро
в просторах Гардi Hp, p > 0.
У данiй статтi ми зосередимося на питаннях насичення середнiх \sigma \alpha
n(f) як лiнiйного методу
наближення та пiдсумовуваннi рядiв Тейлора методом Чезаро в сильному квадратичному сенсi.
Нагадаємо необхiднi поняття (див., наприклад, [4, с. 90]).
Якщо для даного \alpha > - 1 iснує додатна, монотонно спадна до нуля функцiя \varphi \alpha : \BbbN \rightarrow \BbbR +
така, що спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| f - \sigma \alpha
n(f)
\bigm\| \bigm\| = o(\varphi \alpha (n)) при n \rightarrow \infty iмплiкує, f \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, i знайдеться
хоча б одна функцiя f \in A(\BbbD ), вiдмiнна вiд сталої, така, що\bigm\| \bigm\| f - \sigma \alpha
n(f)
\bigm\| \bigm\| = O(\varphi \alpha (n)), n \in \BbbN , (1)
то метод наближення (пiдсумовування) \sigma \alpha
n є насиченим у просторi A(\BbbD ) з порядком насичення
\varphi \alpha . При цьому клас \Phi функцiй f \in A(\BbbD ), для яких виконується спiввiдношення (1), називається
класом насичення методу \sigma \alpha
n .
Iз робiт [5 – 7] випливає, що \varphi \alpha (n) = \alpha /n при \alpha > 0, i згiдно з контурно-тiлесною теоремою
Гардi – Лiттлвуда (див., наприклад, [8, с. 13])
\Phi = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}(\BbbD ) :=
\Bigl\{
f \in A(\BbbD ) :
\bigm| \bigm| f(z1) - f(z2)
\bigm| \bigm| = O
\bigl(
| z1 - z2|
\bigr)
, z1, z2 \in \BbbD
\Bigr\}
.
Запишемо цi факти у зручному для нас виглядi:
f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}(\BbbD ) \leftrightarrow
\bigm\| \bigm\| f - \sigma \alpha
n(f)
\bigm\| \bigm\| = O
\Bigl( \alpha
n
\Bigr)
, \alpha > 0, n \in \BbbN . (2)
Наша основна мета — конкретизувати сталi i функцiю \varphi \alpha , якi неявно фiгурують у рiвно-
сильностi (2). А саме, ми прагнемо дати конструктивну характеристику класу
\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ) :=
\Bigl\{
f \in A(\BbbD ) :
\bigm| \bigm| f(z1) - f(z2)
\bigm| \bigm| \leq | z1 - z2| , z1, z2 \in \BbbD
\Bigr\}
в термiнах \sigma \alpha
n .
На цьому шляху видається важливим обчислення точного значення величини
C (n, \alpha , z) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
| f(z) - \sigma \alpha
n(f)(z)| : f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD )
\Bigr\}
,
де n \in \BbbN , \alpha > 0 i z \in \BbbD . Функцiї, для яких досягається точна верхня межа, будемо називати
екстремальними.
Нескладно зрозумiти, що C (n, \alpha , z), як функцiя змiнної z, залежить лише вiд | z| i, згiдно
з принципом максимуму модуля голоморфної функцiї, для всiх z \in \BbbT
C (n, \alpha , z) = C (n, \alpha , 1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| f - \sigma \alpha
n(f)
\bigm\| \bigm\| : f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD )
\Bigr\}
.
Зауважимо також, що клас \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ) збiгається з класом B1, який складається з голоморфних
в \BbbD функцiй f, для яких | f \prime (z)| \leq 1 при всiх z \in \BbbD .
Задача про вiдшукання явного аналiтичного виразу для C (n, \alpha , z) i вiдповiдних екстремаль-
них функцiй належить до кола основних екстремальних задач теорiї наближення голоморфних
функцiй. Її розв’язок є вiдомим лише в окремих випадках при \alpha = 1, тобто у випадку середнiх
Феєра. Зокрема, в [9] показано, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
678 О. Г. РОВЕНСЬКА, В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
C (n, 1, z) =
| z|
n
для кожного натурального n i z \in
\bigl\{
w : | w| \leq (3 -
\surd
3)/2
\bigr\}
, а екстремальними при z \not = 0 є лише
функцiї вигляду f(z) = az + b, a, b \in \BbbC , | a| = 1.
Стосовно поведiнки функцiї z \mapsto \rightarrow C (n, 1, z) у замкненому кiльцi
\bigl\{
z : (3 -
\surd
3)/2 \leq | z| \leq 1
\bigr\}
є вiдомою така оцiнка [10]:
| z|
n
\leq C (n, 1, z) \leq 2
n+ 1
\forall n \in \BbbN . (3)
При z \in \BbbT лiва частина цих спiввiдношень є строгою нерiвнiстю для всiх натуральних n \geq 2.
Щодо нерiвностi в правiй частинi (3) при z \in \BbbT зазначимо наступне. А. Зигмунд [11]
показав, що
C (n, 1, 1) \leq
\biggl(
\pi +
2
\pi
\biggr)
1
n
\forall n \in \BbbN , (4)
а згодом С. Б. Стєчкiн [12] уточнив сталу справа в (4), довiвши нерiвнiсть
C (n, 1, 1) \leq 3n - 1
n(n+ 1)
<
3
n
\forall n \in \BbbN .
Таким чином, стала 2 в (3) є найменшою з вiдомих нам стала, якi мажорують величину
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
nC (n, 1, z) : n \in \BbbN \setminus \{ 1\}
\bigr\}
при z \in \BbbT .
У данiй роботi ми показуємо, що для будь-якого натурального n \in \BbbN , \alpha \geq 2 i z \in \BbbD
справджується рiвнiсть (див. наслiдок 2)
C (n, \alpha , z) =
\alpha | z|
n+ \alpha - 1
. (5)
Нам вдалося знайти просте доведення (5). А саме, ми з’ясували, що обчислення C (n, \alpha , z)
зводиться до обчислення (у частковому випадку) величини
H (\alpha , \lambda , z) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{ \infty \sum
k=0
\lambda k (A
\alpha
k )
2
\bigm| \bigm| f(z) - \sigma \alpha
k+1(f)(z)
\bigm| \bigm| 2 : f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD )
\Biggr\}
, (6)
де \lambda = \{ \lambda k\} \infty k=0 — числова послiдовнiсть, така що
\lambda k \geq 0 i \lambda k \geq \lambda k+1, k \in \BbbZ +. (7)
Знаходження явної формули для H (\alpha , \lambda , z) i вiдповiдних екстремальних функцiй також ви-
дається цiкавою екстремальною задачою. В такiй постановцi нам не вiдомо жодного результату
в її розв’язаннi.
Збiжнiсть ряду у правiй частинi (6) характеризує сумовнiсть методом Чезаро у сильному
квадратичному сенсi. Подiбнi конструкцiї дослiджено досить ґрунтовно на рiзноманiтних кла-
сах як голоморфних, так i 2\pi -перiодичних функцiй. Тут ми згадаємо основоположнi роботи
[13, 14], що стосуються голоморфних функцiй, а також статтю [15], де отримано в певному
розумiннi остаточнi результати щодо 2\pi -перiодичних функцiй.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ЧЕЗАРО 679
Рiвнiсть (5) виявилася також корисною в доведеннi рiвностi (див. теорему 2)
R(n, 2, z) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
| f(z) - R2
n(f)(z)| : f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD )
\Bigr\}
=
2n - 1
n2
| z| , n \in \BbbN ,
де R2
n(f) — середнi Рiса другого порядку функцiї f.
Нагадаємо, що середнiми Рiса порядку \delta > 0 i степеня n - 1 ряду Тейлора голоморфної
функцiї f називається алгебраїчнний многочлен
R\delta
n(f)(z) :=
n - 1\sum
k=0
\biggl(
1 - k
n
\biggr) \delta \widehat fkzk, n \in \BbbN .
З результатiв робiт [5, 6] випливає, що середнi Рiса R\delta
n породжують лiнiйний метод набли-
ження, насичений в A(\BbbD ) з порядком насичення \varphi (n) = 1/n i класом насичення \Phi = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}(\BbbD )
при всiх \delta > 0.
На завершення зазначимо, що задачi, аналогiчнi задачам про C (n, \alpha , 1) i R(n, 2, z), на
класах диференцiйовних 2\pi -перiодичних функцiй розв’язанi iншим методом у [16].
Стаття написана за такою схемою. У п. 2 сформульовано двi теореми. З теореми 1 отримано
два наслiдки. У п. 3 наведено три леми, серед яких лема 3 не позбавлена й самостiйного
iнтересу. Доведення основних результатiв наведено у п. 4, вони спираються на леми з п. 3.
2. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай \alpha \geq 2 i f — функцiя, голоморфна в \BbbD . Тодi рiвносильнi такi тверджен-
ня:
1) для кожного натурального n, будь-якої числової послiдовностi \lambda , яка задовольняє (7), i
для будь-якого z \in \BbbD
n - 1\sum
k=0
\lambda k
\bigl(
A\alpha - 1
k
\bigr) 2 \bigm| \bigm| f(z) - \sigma \alpha - 1
k+1 (f)(z)
\bigm| \bigm| 2 \leq | z| 2
n - 1\sum
k=0
\lambda k
\bigl(
A\alpha - 2
k
\bigr) 2
;
2) для кожного натурального n i будь-якого z \in \BbbD
\bigm| \bigm| f(z) - \sigma \alpha
n(f)(z)
\bigm| \bigm| \leq \alpha | z|
n+ \alpha - 1
;
3) f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ).
З теореми 1 випливають такi наслiдки.
Наслiдок 1. Нехай \alpha \geq 1, \lambda — числова послiдовнiсть, яка задовольняє (7), i z \in \BbbD . Якщо
\infty \sum
k=0
\lambda k
\bigl(
A\alpha - 1
k
\bigr) 2
< +\infty , (8)
то
H (\alpha , \lambda , z) = | z| 2
\infty \sum
k=0
\lambda k
\bigl(
A\alpha - 1
k
\bigr) 2
.
Екстремальними є функцiї вигляду f\ast (z) = az + b, a, b \in \BbbC , | a| = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
680 О. Г. РОВЕНСЬКА, В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Справдi, за умови (8), з iмплiкацiї 3) \Rightarrow 1) в теоремi 1 для будь-якої функцiї f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD )
маємо
\infty \sum
k=0
\lambda k (A
\alpha
k )
2
\bigm| \bigm| f(z) - \sigma \alpha
k+1(f)(z)
\bigm| \bigm| 2 \leq | z| 2
\infty \sum
k=0
\lambda k
\bigl(
A\alpha - 1
k
\bigr) 2
. (9)
З iншого боку, для функцiї f\ast
f\ast (z) - \sigma \alpha
k+1(f\ast )(z) = az
\biggl(
1 -
A\alpha
k - 1
A\alpha
k
\biggr)
= az
A\alpha - 1
k
A\alpha
k
, k \in \BbbN ,
що доводить рiвнiсть у (9) для f\ast i твердження в цiлому.
Наслiдок 2. Нехай n \in \BbbN , \alpha \geq 2 i z \in \BbbD . Тодi
C (n, \alpha , z) =
\alpha | z|
n+ \alpha - 1
.
Екстремальними є функцiї вигляду f\ast (z) = az + b, a, b \in \BbbC , | a| = 1.
Це твердження доводиться аналогiчно попередньому з урахуванням тотожностi
1 -
A\alpha
k - 1
A\alpha
k
=
\alpha
k + \alpha
, k \in \BbbN .
Наведемо тепер одне застосування наслiдку 2 до розв’язання задачi про точну верхню межу
похибки наближення середнiми Рiса другого порядку R2
n на класi \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ).
Справджується така теорема.
Теорема 2. Нехай n \in \BbbN i z \in \BbbD . Тодi
R(n, 2, z) =
2n - 1
n2
| z| .
Екстремальними є функцiї вигляду f\ast (z) = az + b, a, b \in \BbbC , | a| = 1.
3. Леми. Доведення основних результатiв спирається на такi допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай \alpha > - 1, z \in \BbbD i f — функцiя, голоморфна в \BbbD . Тодi для будь-якого t \in \BbbD
f(z) - f(zt)
(1 - t)\alpha +1
=
\infty \sum
k=0
A\alpha
k
\bigl(
f(z) - \sigma \alpha
k+1(f)(z)
\bigr)
tk.
Ця формула є вiдомою i неважко доводиться, наприклад, за правилом Кошi множення
степеневих рядiв.
Лема 2. Нехай \beta > 0, \lambda — числова послiдовнiсть, яка задовольняє (7), i \Phi (t) =
\sum \infty
k=0
akt
k —
функцiя, голоморфна в \BbbD . Якщо
| \Phi (t)| \leq K
| 1 - t| \beta
\forall t \in \BbbD , K = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, (10)
то для будь-якого n \in \BbbN
n - 1\sum
k=0
\lambda k | ak| 2 \leq K2
n - 1\sum
k=0
\lambda k
\Bigl(
A\beta - 1
k
\Bigr) 2
. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ЧЕЗАРО 681
Це твердження є частковим випадком теореми Голузiна в теорiї квазiсубординованих голо-
морфних функцiй.
Нагадаємо (див., наприклад, [17, с. 9]), що голоморфна функцiя \Phi є квазiсубординованою
до голоморфної функцiї \Psi , якщо \Phi (t) = \varphi (t)\Psi (\omega (t)) для всiх t \in \BbbD , де \varphi i \omega — функцiї,
голоморфнi в \BbbD , такi що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| \varphi (t)| : t \in \BbbD
\bigr\}
\leq 1, | \omega (t)| < 1 при t \in \BbbD i \omega (0) = 0.
Доведення. Розглянемо функцiї \Psi (t) = K(1 - t) - \beta , \varphi (t) = K - 1(1 - t)\beta \Phi (t) i \omega (t) = t.
Оскiльки \Phi (t) = \varphi (t)\Psi (t) i, згiдно з (10), | \varphi (t)| \leq 1, то \Phi є квазiсубординованою до функцiї
\Psi . Тому за теоремою Голузiна [18] (див. також [17, с. 10]) з урахуванням того, що функцiя \Psi
має розклад у ряд Тейлора \Psi (t) = K
\sum \infty
k=0
A\beta - 1
k tk, переконуємося в справедливостi (11) при
всiх натуральних n.
Лема 3. Нехай B0 — множина голоморфних у \BbbD функцiй f, для яких f(0) = 0 i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| f(z)| :
z \in \BbbD
\bigr\}
\leq 1. Тодi
F (n, z) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| \sigma n(f)(z)| : f \in B0
\bigr\}
=
n - 1
n
| z| \forall n \geq 2, z \in \BbbD . (12)
Екстремальними є функцiї вигляду f\ast (z) = az, a \in \BbbC , | a| = 1.
Це твердження доведене в [19], але задля зручностi ми його вiдтворимо тут.
Доведення. Зауважимо, що функцiя з B0 має вигляд f(z) = zg(z), де g — функцiя з кла-
су B, що складається з голоморфних в \BbbD функцiй, для яких \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| g(z)| : z \in \BbbD
\bigr\}
\leq 1. Тому,
поклавши \lambda k,n = zk(n - k - 1)/n, k = 0, 1, . . . , n - 2, одержимо
\sigma n(f)(z) = z
n - 2\sum
k=0
\lambda k,n\widehat gk.
Не втрачаючи загальностi, можна вважати, що z \in (0, 1].
Отже,
| \sigma n(f)(z)| \leq z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2\sum
k=0
\lambda k,n\widehat gk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \forall f \in B0. (13)
З огляду на це рiвнiсть (12) стає очевидною при n = 2.
Нехай n = 3. Тодi, використовуючи вiдомi нерiвностi | \widehat g1| \leq 2(1 - | \widehat g0| ) i | \widehat g0| \leq 1, одержуємо
| \sigma n(f)(z)| \leq z \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| \lambda 0,3\widehat g0 + \lambda 1,3\widehat g1| : g \in B
\bigr\}
\leq
\leq z \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\lambda 0,3| \widehat g0| + 2\lambda 1,3(1 - | \widehat g0| ) : g \in B
\bigr\}
\leq z\lambda 0,3,
до того ж рiвностi виконуються, якщо | \widehat g0| = 1 i \widehat g1 = 0, тобто f(z) = az, | a| = 1.
Нарештi, нехай n \geq 4. Тодi безпосередньою перевiркою переконуємося в тому, що для всiх
k = 0, 1, . . . , n - 4
\lambda k,n - 2\lambda k+1,n + \lambda k+2,n =
zk
n
(1 - z)
\bigl(
(n - k - 1)(1 - z) + 2z
\bigr)
\geq 0
i
\lambda n - 3,n - 2\lambda n - 2,n =
2zn - 3
n
(1 - z) \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
682 О. Г. РОВЕНСЬКА, В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Отже, виконуються всi умови теореми Рогозинського – Сегьо [20] (див. також [21, с. 324]),
за якою
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2\sum
k=0
\lambda k,n\widehat gk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : g \in B
\Biggr\}
= \lambda 0,n,
а максимум досягається лише для функцiй g(z) = a, | a| = 1.
Ця рiвнiсть разом iз (13) i доводять лему 3 при n \geq 4.
4. Доведення основних результатiв. Доведення теореми 1. 1) \Rightarrow 2). Насамперед нагада-
ємо двi вiдомi формули:
n - 1\sum
k=0
A\alpha - 1
k = A\alpha
n - 1, (14)
f(z) - \sigma \alpha
n(f)(z) =
1
A\alpha
n - 1
n - 1\sum
k=0
A\alpha - 1
k
\bigl(
f(z) - \sigma \alpha - 1
k+1 (f)(z)
\bigr)
. (15)
Вiзьмемо послiдовнiсть \lambda = \{ \lambda k\} \infty k=0, в якiй \lambda k = 1/A\alpha - 2
k . Неважко переконатися, що
умова (7) виконується тодi й лише тодi, коли \alpha \geq 2.
У цьому випадку, вiдштовхуючись вiд формули (15), за нерiвнiстю Кошi – Буняковського –
Шварца з урахуванням (14) одержуємо
| f(z) - \sigma \alpha
n(f)(z)| \leq
1
A\alpha
n - 1
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
A\alpha - 2
k
\Biggr) 1/2\Biggl( n - 1\sum
k=0
\bigl(
A\alpha - 1
k
\bigr) 2
A\alpha - 2
k
| f(z) - \sigma \alpha - 1
k+1 (f)(z)|
2
\Biggr) 1/2
\leq
\leq | z|
A\alpha
n - 1
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
A\alpha - 2
k
\Biggr) 1/2\Biggl( n - 1\sum
k=0
A\alpha - 2
k
\Biggr) 1/2
= | z|
A\alpha - 1
n - 1
A\alpha
n - 1
=
\alpha | z|
n+ \alpha - 1
.
2) \Rightarrow 3). Зафiксуємо z \in \BbbD \setminus \{ 0\} , i нехай t \in [0, 1). Тодi, згiдно з лемою 1, маємо\bigm| \bigm| f(z) - f(zt)
\bigm| \bigm|
(1 - t)\alpha +1
\leq
\infty \sum
k=0
A\alpha
k
\bigm| \bigm| f(z) - \sigma \alpha
k+1(f)(z)
\bigm| \bigm| tk \leq | z|
\infty \sum
k=0
A\alpha
k
\alpha
k + \alpha
tk =
= | z|
\infty \sum
k=0
A\alpha - 1
k tk =
| z|
(1 - t)\alpha
.
Звiдси випливає нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) - f(zt)
z - zt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1.
Спрямувавши t до 1 - , одержимо | f \prime (z)| \leq 1. Оскiльки z — довiльне, то \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| f \prime (z)| : z \in \BbbD
\bigr\}
\leq
\leq 1, що рiвносильно включенню f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ).
3) \Rightarrow 1). Зафiксуємо довiльне z \in \BbbD i розглянемо голоморфну функцiю
\Phi (t) =
f(z) - f(zt)
(1 - t)\alpha
, t \in \BbbD .
Зрозумiло, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ЧЕЗАРО 683
| \Phi (t)| \leq | z|
| 1 - t| \alpha - 1
\forall t \in \BbbD .
Тому твердження 1 випливає з твердження 3 згiдно з лемами 1 i 2.
Доведення теореми 2. Оскiльки\biggl(
1 - k
n
\biggr) 2
=
\biggl(
1 - k
n
\biggr) \biggl(
1 - k
n+ 1
\biggr)
- k
n(n+ 1)
\biggl(
1 - k
n
\biggr)
,
то для будь-якої голоморфної функцiї f
f(z) - R2
n(f)(z) = f(z) - \sigma 2
n(f)(z) +
1
n(n+ 1)
\sigma n (Df) (z),
де Df(z) := zf \prime (z) =
\sum \infty
k=1
k \widehat fkzk.
Оскiльки f \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}1(\BbbD ) тодi й лише тодi, коли Df \in B0, то, ґрунтуючись на останнiй
формулi, за наслiдком 2 i лемою 3 одержуємо
R(n, 2, z) \leq C (n, 2, z) +
1
n(n+ 1)
F (n, z) =
=
2| z|
n+ 1
+
(n - 1)| z|
n2(n+ 1)
=
2n - 1
n2
| z| .
З iншого боку, для функцiї f\ast (z) = az + b маємо
f(z) - R2
n(f)(z) = az -
\biggl(
1 - 1
n
\biggr) 2
az =
2n - 1
n2
az.
Теорему доведено.
Лiтература
1. M. Riesz, Sur la sommation des séries de Fourier, Acta Sci. Math., 1, 104 – 113 (1923).
2. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды: в 2-х т., т. 1, Мир, Москва (1965).
3. Э. А. Стороженко, Приближение функций класса Hp, 0 < p \leq 1, Мат. сб., 105, № 4, 601 – 621 (1978).
4. А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2-х ч., ч. 1, Ин-т математики НАН Украины, Киев (2002).
5. G.-I. Sunouchi, C. Watari, On determination of the class of saturation in the theory of approximation of functions. II,
Tôhoku Math. J., II. Ser., 11, 480 – 488 (1959).
6. А. Х. Турецкий, О классах насыщения в пространстве C , Изв. АН СССР. Сер. мат., 25, № 3, 411 – 442 (1961).
7. H. Berens, On the saturation theorem for the Cesàro means of Fourier series, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 21,
95 – 99 (1970).
8. П. М. Тамразов, Гладкости и полиномиальные приближения, Наук. думка, Киев (1975).
9. В. В. Савчук, С. О. Чайченко, М. В. Савчук, Наближення обмежених голоморфних i гармонiчних функцiй
середнiми Фейєра, Укр. мат. журн., 71, № 4, 516 – 542 (2019).
10. В. В. Савчук, Приближения средними Фейера функций класса Дирихле, Мат. заметки, 81, № 5, 744 – 750 (2007).
11. A. Zygmund, On the degree of approximation of functions by Fejer means, Bull. Amer. Math. Soc., 51, 274 – 278
(1945).
12. С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций, Изв. АН СССР.
Сер. мат., 17, № 5, 462 – 472 (1953).
13. H. C. Chow, Theorems on power series and Fourier series, Proc. London Math. Soc., 1, 206 – 216 (1951).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
684 О. Г. РОВЕНСЬКА, В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
14. G.–I. Sunouchi, On the strong summability of power series and Fourier series, Tôhoku Math. J., II. Ser., 6, 220 – 225
(1954).
15. V. Totik, On the strong approximation by the (C,\alpha )-means of Fourier series. I, Anal. Math., 6, 57 – 85 (1980).
16. В. П. Заставный, Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций сверточными
операторами, Укр. мат. вiсн., 7, № 3, 409 – 433 (2010).
17. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, Schwarz – Pick type inequalities, Birkhäuser-Verlag, Basel (2008).
18. Г. М. Голузин, О мажорации подчиненных аналитических функций.I, Мат. сб., 29 (71), № 1, 209 – 224 (1951).
19. В. В. Савчук, М. В. Савчук, Оцiнки сум Фейєра для голоморфних функцiй класу Блоха, Зб. праць Iн–ту
математики НАН України, 7, № 1, 264 – 273 (2010).
20. W. Rogosinski, G. Szegö, Über die Abschnitte von Potenzreihen, die in einem Kreise beschränkt bleiben, Math. Z.,
28, 73 – 94 (1928).
21. G. V. Milovanović, D. S. Mitrinović, Th. M. Rassias, Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros,
World Sci. Publ. Co. Inc., Singapore etc. (1994).
Одержано 02.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7143 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:40Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/7efe92a69c957f017f593a50aa78af07.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71432022-10-24T09:23:05Z Approximation of holomorphic functions by Cesàro means Наближення голоморфних функцій середніми Чезаро Rovenska , O. G. Savchuk , V. V. Savchuk, M. V. Ровенська, О. Г. Савчук, В. В. Савчук , М. В. Савчук, Віктор Васильович голоморфна функція, диск-алгебра, середні Чезаро, середні Ріса, конструктивна характеристика holomorphic function, disk algebra, Cesare averages, Reasz a avs, constructive characteristic UDC 517.5 For the Lipschitz class of functions holomorphic in the disc, we present a constructive characterization of this class in terms of Cesaro’s means of order $\alpha \ge 2$ of the Taylor series. We solve the problem of exact upper bound for the deviations of Cesaro’s means of order $\alpha \ge 2$ as well as for the deviations of Riesz’s means of order 2 of the Taylor series in the class of functions holomorphic in the disc and having a bounded derivative. &nbsp; УДК 517.5 Наведено конструктивну характеристику класу Лiпшиця голоморфних у крузi функцiй в термiнах середнiх Чезаро порядку $\alpha \ge 2$ рядiв Тейлора. Розв’язано задачу про точну верхню межу вiдхилень середнiх Чезаро порядку $\alpha \ge 2$, а також середнiх Рiса другого порядку рядiв Тейлора на класi голоморфних у крузi функцiй з обмеженою похiдною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7143 10.37863/umzh.v74i5.7143 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 676 - 684 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 676 - 684 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7143/9240 Copyright (c) 2022 Віктор Васильович Савчук |
| spellingShingle | Rovenska , O. G. Savchuk , V. V. Savchuk, M. V. Ровенська, О. Г. Савчук, В. В. Савчук , М. В. Савчук, Віктор Васильович Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title | Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title_alt | Наближення голоморфних функцій середніми Чезаро |
| title_full | Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title_fullStr | Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title_full_unstemmed | Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title_short | Approximation of holomorphic functions by Cesàro means |
| title_sort | approximation of holomorphic functions by cesàro means |
| topic_facet | голоморфна функція диск-алгебра середні Чезаро середні Ріса конструктивна характеристика holomorphic function disk algebra Cesare averages Reasz a avs constructive characteristic |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7143 |
| work_keys_str_mv | AT rovenskaog approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT savchukvv approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT savchukmv approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT rovensʹkaog approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT savčukvv approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT savčukmv approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT savčukvíktorvasilʹovič approximationofholomorphicfunctionsbycesaromeans AT rovenskaog nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT savchukvv nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT savchukmv nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT rovensʹkaog nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT savčukvv nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT savčukmv nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro AT savčukvíktorvasilʹovič nabližennâgolomorfnihfunkcíjserednímičezaro |