Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$
UDC 517.5 In the space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$ approximating characteristics of the optimizing sense have been considered for the classes $W^r_2(\Omega_{m,\gamma}, \varphi,\Psi; \mathbb{R}) := $ $:= \Big\{ f \in L^r_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) : \int\limits_0^t \Omega_{m,\gamma} (D^rf, u) \varphi(u)...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7147 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512621797572608 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:06Z |
| description | UDC 517.5
In the space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$ approximating characteristics of the optimizing sense have been considered for the classes $W^r_2(\Omega_{m,\gamma}, \varphi,\Psi; \mathbb{R}) := $ $:= \Big\{ f \in L^r_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) : \int\limits_0^t \Omega_{m,\gamma} (D^rf, u) \varphi(u) du \leqslant \Psi(t) \, \forall t \in (0,1) \Big\}$, where $r \in \mathbb{Z}_{+}$; $m \in \mathbb{N}$; $\Omega_{m,\gamma}$ is the generalized $m$th order modulus of continuity; $\varphi$ is a weight function; $\Psi$ is a majorant; $D := - \frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle d x^2} +2x \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d x}$ is the differential operator, $D^r f = D(D^{r-1} f)$ $(r \in \mathbb{N})$, $D^0 f \equiv f$; $L^0_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) \equiv L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$. Lower and upper estimates were found for the different widths of the indicated classes in $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$. The conditions on the majorant have been determined under which realization their exact values succeed to compute. Some concrete exact rezults given. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7147 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7147
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Унiверситет iменi А. Нобеля, Днiпро)
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ
У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI \bfitL \bftwo ,\bfitgamma (\BbbR ), \bfitgamma = \bfe \bfx \bfp ( - \bfitx \bftwo )
In the space L2,\gamma (\BbbR ), we study approximating characteristics of optimization for the classes W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ) :=
:=
\biggl\{
f \in Lr
2,\gamma (D,\BbbR ) :
\int t
0
\Omega m,\gamma (D
rf, u)\varphi (u)du \leq \Psi (t) \forall t \in (0, 1)
\biggr\}
, where r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \Omega m,\gamma is the generalized
modulus of continuity of order m, \varphi is a weight function, \Psi is a majorant, D := - d2
dx2
+2x d
dx
is a differential operator,
Drf = D(Dr - 1f) (r \in \BbbN ), D0f \equiv f ; L0
2,\gamma (D,\BbbR ) \equiv L2,\gamma (\BbbR ). We obtain lower and upper estimates for widths of
the indicated classes in L2,\gamma (\BbbR ) and find the conditions on the majorant under which their exact values can be computed.
Some specific exact results are also given.
У просторi L2,\gamma (\BbbR ) дослiджуються апроксимацiйнi характеристики оптимiзацiйного змiсту для класiв функцiй
W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ) :=
\biggl\{
f \in Lr
2,\gamma (D,\BbbR ) :
\int t
0
\Omega m,\gamma (D
rf, u)\varphi (u)du \leq \Psi (t) \forall t \in (0, 1)
\biggr\}
, де r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \Omega m,\gamma
— узагальнений модуль неперервностi m-го порядку, \varphi — вагова функцiя, \Psi — мажоранта, D := - d2
dx2
+ 2x
d
dx
— диференцiальний оператор, Drf = D(Dr - 1f) (r \in \BbbN ), D0f \equiv f ; L0
2,\gamma (D,\BbbR ) \equiv L2,\gamma (\BbbR ). Для вказаних класiв
знайдено оцiнки знизу та зверху низки рiзних поперечникiв у L2,\gamma (\BbbR ) i вказано умову на мажоранту, при виконаннi
якої вдається обчислити їхнi точнi значення. Наведено кiлька конкретизацiй точних результатiв.
1. Вступ. 1.1. Питаннями наближення функцiй алгебраїчними полiномами в середньому на
дiйснiй осi з вагою Чебишова – Ермiта в рiзний час займались В. А. Абiлов, С. З. Рафальсон,
Г. Фройд, H. N. Mhaskar та iншi [1 – 9]. Пiд L2(\BbbR ), де \BbbR = \{ x : - \infty < x < \infty \} , розумiємо
простiр вимiрних на \BbbR дiйсних функцiй, якi є сумовними з квадратом на \BbbR . Через L2,\gamma (\BbbR ), де
\gamma (x) := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2), позначимо множину функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR , для яких \gamma 1/2f \in L2(\BbbR ). Лiнiйна
множина L2,\gamma (\BbbR ) стає гiльбертовим простором пiсля введення в нiй скалярного добутку
(g, \psi )\gamma :=
\int
\BbbR
\gamma (x)g(x)\psi (x)dx; g, \psi \in L2,\gamma (\BbbR ).
При цьому норма функцiї g \in L2,\gamma (\BbbR ) дорiвнює \| g\| 2,\gamma := \| g\| L2,\gamma (\BbbR ) = (g, g)
1/2
\gamma .
Розглянемо узагальнений оператор зсуву
\scrT hf(x) :=
1\surd
\pi
\int
\BbbR
f(x
\sqrt{}
1 - h2 + h\tau )\gamma (\tau )d\tau , h \in (0, 1),
введений С. З. Рафальсоном [1], де f \in L2,\gamma (\BbbR ). За допомогою \scrT hf В. А. Абiловим та Ф. В. Абi-
ловою в [5] було введено узагальненi скiнченнi рiзницi першого та вищих порядкiв, якi майже
скрiзь на \BbbR мають вигляд
\Delta 1
h(f, x) := \scrT hf(x) - f(x) = (\scrT h - \BbbI )f(x),
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2022
610 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI L2,\gamma (\BbbR ), \gamma = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2) 611
\Delta m
h (f, x) := \Delta 1
h(\Delta
m - 1
h (f), x) = (\scrT h - \BbbI )mf(x) =
m\sum
k=0
( - 1)m - k
\Bigl( m
k
\Bigr)
\scrT k
h f(x), m = 2, 3, . . . ,
де \scrT k
h f(x) := \scrT h(\scrT k - 1
h f)(x), k = 1,m, \scrT 0
h f(x) \equiv f(x); \BbbI — одиничний оператор у просторi
L2,\gamma (\BbbR ). Величину
\Omega m,\gamma (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<h\leq t
\| \Delta m
h (f)\| 2,\gamma , t \in (0, 1), (1)
де m \in \BbbN , називають узагальненим модулем неперервностi m-го порядку функцiї f \in L2,\gamma (\BbbR )
[5]. Вона задовольняє такi умови: \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0+0\Omega m,\gamma (f, t) = 0, \Omega m,\gamma (f1 + f2, t) \leq \Omega m,\gamma (f1, t) +
+ \Omega m,\gamma (f2, t). Покладаючи \Omega m,\gamma (f, 0) = 0, одержуємо неспадну неперервну на множинi [0, 1)
функцiю \Omega m,\gamma (f).
Символом Ls
2,\gamma (\BbbR ), s \in \BbbN , позначимо множину функцiй f \in L2,\gamma (\BbbR ), у яких похiднi (s - 1)-
го порядку f (s - 1) абсолютно неперервнi на будь-якому скiнченному iнтервалi, а похiднi s-го
порядку f (s) належать L2,\gamma (\BbbR ). Символом D позначимо диференцiальний оператор
D := - d2
dx2
+ 2x
d
dx
,
який у 1984 роцi розглянув В. М. Федоров при введеннi певних класiв функцiй у просторi
L2,\gamma (\BbbR ) [9]. Нехай функцiя f належить класу L2r
2,\gamma (\BbbR ), r \in \BbbZ +;L
0
2,\gamma (\BbbR ) \equiv L2,\gamma (\BbbR ). Покладемо
Drf := D(Dr - 1f), r \in \BbbN ; D0f \equiv f. Через L2r
2,\gamma (D,\BbbR ) позначимо клас функцiй f \in L2r
2,\gamma (\BbbR ),
для яких Drf \in L2,\gamma (\BbbR ).
Нехай \Psi (t), де t \in [0, 1], є монотонно зростаючою та неперервною функцiєю, такою, що
\Psi (0) = 0. Скрiзь далi будемо називати її мажорантою. Символом \varphi позначимо означену на
вiдрiзку [0, 1] додатну обмежену та неперервну майже скрiзь функцiю, яку будемо назива-
ти ваговою. Згiдно з теоремою Лебега [10] (гл. V, § 4) функцiя \varphi є iнтегровною за Рiманом.
Символом W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), r \in \BbbZ +, позначимо клас функцiй f \in L2r
2,\gamma (D,\BbbR ), для яких нерiв-
нiсть
\int t
0
\Omega m,\gamma (D
rf, u)\varphi (u)du \leq \Psi (t) виконується для будь-яких значень t \in (0, 1). У випадку
r = 0 покладаємо W2(\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ) := W 0
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ). Зазначимо, що дещо подiбнi варi-
анти усереднення iнших характеристик гладкостi використовувались ранiше, наприклад, при
розв’язаннi низки екстремальних задач теорiї апроксимацiї у просторi 2\pi -перiодичних функцiй
L2 (див., наприклад, [11 – 17]).
1.2. Через \scrP n - 1, n \in \BbbN , позначимо пiдпростiр алгебраїчних полiномiв степеня, що не
перевищує n - 1, а пiд символом En - 1(f)2,\gamma будемо розумiти найкраще наближення функцiї
f \in L2,\gamma (\BbbR ) полiномами з пiдпростору \scrP n - 1 в L2,\gamma (\BbbR ), тобто
En - 1(f)2,\gamma := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - pn - 1\| 2,\gamma : pn - 1 \in \scrP n - 1\} . (2)
Також для множини \frakM \subset L2,\gamma (\BbbR ) покладаємо
En - 1(\frakM )2,\gamma := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ En - 1(f)2,\gamma : f \in \frakM \} . (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
612 С. Б. ВАКАРЧУК
Через
Hn(x) :=
( - 1)n\sqrt{}
2n
\surd
\pi n!
ex
2 dn(e - x2
)
dxn
, n \in \BbbZ +,
позначимо ортонормовану систему полiномiв Ермiта у просторi L2,\gamma (\BbbR ). Для функцiї f \in
\in L2,\gamma (\BbbR ) запишемо спiввiдношення
f(x) =
\sum
j\in \BbbZ +
cj(f)Hj(x), (4)
де рiвнiсть розумiється у сенсi збiжностi у метрицi простору L2,\gamma (\BbbR ), а (4) є розвиненням f у
ряд Фур’є – Ермiта. Тут числа
cj(f) :=
\int
\BbbR
f(x)Hj(x)\gamma (x)dx, j \in \BbbZ +,
є коефiцiєнтами Фур’є – Ермiта функцiї f. Символом Sn - 1(f) позначимо частинну суму (n - 1)-
го порядку ряду Фур’є – Ермiта (4), тобто
Sn - 1(f, x) :=
n - 1\sum
j=0
cj(f)Hj(x).
Для апроксимацiйної характеристики (2) маємо
En - 1(f)2,\gamma = \| f - Sn - 1(f)\| 2,\gamma =
\left\{ \sum
j\geq n(j\in \BbbN )
c2j (f)
\right\}
1/2
, n \in \BbbN . (5)
Наведемо означення поперечникiв, якi будемо використовувати далi. Нехай \BbbB — одинична
куля у просторi L2,\gamma (\BbbR ), \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR ) — n-вимiрний пiдпростiр; \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR ) — пiдпростiр
ковимiрностi n, \Lambda : L2,\gamma (\BbbR ) \rightarrow \scrL n — неперервний лiнiйний оператор, \Lambda \bot : L2,\gamma (\BbbR ) \rightarrow \scrL n — не-
перервний оператор лiнiйного проєктування, \frakM — опукла центрально-симетрична пiдмножина
з L2,\gamma (\BbbR ). Тодi величини
bn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset \frakM \} : \scrL n+1 \subset L2,\gamma (\BbbR )\} ,
dn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \| f - g\| 2,\gamma : g \subset \scrL n\} : f \in \frakM \} : \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR )\} ,
\delta n(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \| f - \Lambda (f)\| 2,\gamma : f \in \frakM \} : \Lambda L2,\gamma (\BbbR ) \subset \scrL n\} : \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR )\} ,
dn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \| f\| 2,\gamma : f \in \frakM \cap \scrL n\} : \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR )\} ,
\Pi n(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| f - \Lambda \bot (f)\| 2,\gamma : f \in \frakM
\Bigr\}
: \Lambda \bot L2,\gamma (\BbbR ) \subset \scrL n
\Bigr\}
: \scrL n \subset L2,\gamma (\BbbR )
\Bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI L2,\gamma (\BbbR ), \gamma = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2) 613
називають вiдповiдно бернштейнiвським, колмогоровським, лiнiйним, гельфандiвським та про-
єкцiйним поперечниками множини \frakM у просторi L2,\gamma (\BbbR ). Оскiльки L2,\gamma (\BbbR ) iз введеним в
ньому скалярним добутком є гiльбертовим простором, то мiж зазначеними екстремальними
характеристиками мають мiсце такi спiввiдношення:
bn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) \leq dn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) \leq \delta n(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) = \Pi n(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) =
= dn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) \leq En - 1(\frakM )2,\gamma . (6)
2. Оцiнки значень поперечникiв класiв функцiй \bfitW \bfitr
\bftwo (\bfOmega \bfitm ,\bfitgamma , \bfitvarphi ,\bfPsi ;\BbbR ), де \bfitr \in \BbbZ +, \bfitm \in
\in \BbbN , у просторi \bfitL \bftwo ,\bfitgamma (\BbbR ). Позначимо
wm(t) :=
t2m
(1 + (1 - t2)1/2)m
, m \in \BbbN , t \in [0, 1]. (7)
Теорема 1. Нехай n,m \in \BbbN , функцiя \Psi є мажорантою, а \varphi — ваговою функцiєю. Тодi
справджується спiвiдношення
1
2rnr+m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
\leq qn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) \leq
\leq En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ))2,\gamma \leq 1
2rnr+m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
, (8)
де qn(W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) — будь-який iз розглянутих поперечникiв.
Доведення. В [1] зазначено, що у сенсi збiжностi у просторi L2,\gamma (\BbbR ) для його довiльного
елемента f має мiсце таке зображення узагальненого оператора зсуву:
\scrT hf(x) =
\sum
j\in \BbbZ +
(1 - h2)j/2cj(f)Hj(x), 0 < h < 1.
Тодi, у тому ж сенсi, правильним є зображення
\Delta 1
h(f, x) = \scrT hf(x) - f(x) =
\sum
j\in \BbbN
\Bigl(
(1 - h2)j/2 - 1
\Bigr)
cj(f)Hj(x). (9)
Використовуючи (9) та метод математичної iндукцiї, для m = 2, 3, . . . маємо
\Delta m
h (f, x) = \Delta 1
h(\Delta
m - 1
h (f), x) =
\sum
j\in \BbbN
\Bigl(
(1 - h2)j/2 - 1
\Bigr) m
cj(f)Hj(x).
Звiдси отримуємо
\| \Delta m
h (f)\| 22,\gamma =
\sum
j\in \BbbN
\Bigl(
1 - (1 - h2)j/2
\Bigr) 2m
c2j (f)
i, використовуючи (1), записуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
614 С. Б. ВАКАРЧУК
\Omega m,\gamma (f, t) =
\left\{ \sum
j\in \BbbN
\Bigl(
1 - (1 - t2)j/2
\Bigr) 2m
c2j (f)
\right\}
1/2
. (10)
Для довiльної функцiї f \in L2r
2,\gamma (D,\BbbR ), r \in \BbbN , у вiдповiдностi з [5], її коефiцiєнти Фур’є –
Ермiта задовольняють свiввiдношення
cj(f) = ( - 1)r+1 1
(2j)r
cj(D
rf), j \in \BbbN . (11)
Тодi з (5) i (11) для n \in \BbbN маємо
En - 1(f)2,\gamma \leq 1
(2n)r
\left\{ \sum
j\geq n(j\in \BbbN )
(2j)2rc2j (f)
\right\}
1/2
=
1
(2n)r
En - 1(D
rf)2,\gamma . (12)
З формули (5), де f замiнено на Drf \in L2,\gamma (\BbbR ), випливає, що для кожного числа k \in \BbbZ +
iснує єдине невiд’ємне число \mu k,f , яке залежить вiд k i f, таке, що
E2
n - 1(D
rf)2,\gamma =
n+k\sum
j=n
c2j (D
rf) + \mu k,f . (13)
Нехай f не є алгебраїчним полiномом, тобто при жодному n \in \BbbZ + функцiя Drf не належить
пiдпростору \scrP n. Тодi з формули (5) для En - 1(D
rf)2,\gamma та з рiвностi (13) маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mu k,f = 0. (14)
При цьому \mu k,f \geq \mu k+1,f > 0 \forall k \in \BbbZ +. Якщо ж при деякому натуральному числi l \geq n, n \in \BbbN ,
f належить \scrP l i коефiцiєнт Фур’є – Ермiта al(Drf) \not = 0, то числова послiдовнiсть \{ \mu k,f\} k\in \BbbZ +
буде мати нульовi елементи \mu k,f = 0 для всiх k \geq l - n.
Нехай u \in (0, 1) є довiльним числом. Використовуючи (10), записуємо оцiнку зверху для
суми у правiй частинi формули (13):
n+k\sum
j=n
c2j (D
rf) \leq 1
(1 - (1 - u2)n/2)2m
n+k\sum
j=n
(1 - (1 - u2)j/2)2mc2j (D
rf) \leq
\leq 1
(1 - (1 - u2)n/2)2m
\Omega 2
m,\gamma (D
rf, u).
Звiдси отримуємо
(1 - (1 - u2)n/2)m
\left\{
n+k\sum
j=n
c2j (D
rf)
\right\}
1/2
\leq \Omega m,\gamma (D
rf, u). (15)
Розглянемо довiльну числову послiдовнiсть \{ \tau k\} k\in \BbbZ + , елементи якої задовольняють такi
умови: \tau k \in (0, 1/(n+ k)] i \tau k > \tau k+1 для довiльного k \in \BbbZ +. Очевидно, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\tau k = 0. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI L2,\gamma (\BbbR ), \gamma = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2) 615
Над обома частинами нерiвностi (15) виконаємо такi дiї: помножимо на вагову функцiю
\varphi (u) i зiнтегруємо по змiннiй u в межах вiд 0 до \tau k. В результатi отримаємо спiввiдношення
n+k\sum
j=n
c2j (D
rf) \leq
\left\{
\int \tau k
0
\Omega m,\gamma (D
rf, u)\varphi (u)du\int \tau k
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du
\right\}
2
. (17)
Нехай f — довiльна функцiя iз класу W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ). Тодi з (13) i (17) маємо
En - 1(D
rf)2,\gamma \leq \Psi (\tau k)\int \tau k
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du
+
\surd
\mu k,f . (18)
Для будь-якого k \in \BbbZ + з (12), (13) i (18) одержуємо нерiвнiсть
En - 1(f)2,\gamma \leq 1
(2n)r
\left\{
\Psi (\tau k)\int \tau k
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du
+
\surd
\mu k,f
\right\} . (19)
Лiва частина нерiвностi (19) не залежить вiд k. Використовуючи означення та певнi властивостi
верхньої межi числової послiдовностi, при k \rightarrow \infty для довiльної функцiї f \in W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR )
з (19) та (14), (16) отримуємо
En - 1(f)2,\gamma \leq 1
(2n)r
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Psi (\tau k)\int \tau k
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du
\leq
\leq 1
(2n)r
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du
. (20)
Запишемо в дещо iншому виглядi знаменник у правiй частинi спiввiдношення (20). Для
цього скористаємося рiвнiстю
1 - \beta n = (1 - \beta )\lambda n(\beta ), n \in \BbbN , \beta \in (0, 1),
де \lambda n(\beta ) :=
\sum n - 1
j=0
\beta j . Покладаючи \beta := (1 - u2)1/2, де u \in (0, 1), звiдси, з урахуванням (7),
маємо
(1 - (1 - u2)n/2)m =
u2m\lambda mn ((1 - u2)1/2)
(1 + (1 - u2)1/2)m
= wm(u)\lambda mn ((1 - u2)1/2). (21)
Згiдно з (20), (21) отримуємо нерiвнiсть
En - 1(f)2,\gamma \leq 1
(2n)r
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
\lambda mn ((1 - u2)1/2)wm(u)\varphi (u)du
. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
616 С. Б. ВАКАРЧУК
Оскiльки пiдiнтегральна функцiя у знаменнику правої частини формули (22) є iнтегровною за
Рiманом i виконуються умови теореми про середнє значення для означеного iнтеграла, то з (22)
маємо
En - 1(f)2,\gamma \leq 1
(2n)r
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
1
\lambda mn ((1 - \xi 2t )
1/2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
,
де значення \xi t \in (0, t) залежить вiд t. Зважаючи на те, що \lambda n((1 - \xi 2t )
1/2) =
\sum n - 1
j=0
(1 - \xi 2t )
j/2,
i враховуючи, що f — довiльна функцiя з класу W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), з останньої нерiвностi та з
(3) одержуємо оцiнку зверху
En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ))2,\gamma \leq 1
2rnr+m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
. (23)
Отримаємо оцiнку знизу дослiджуваних апроксимацiйних характеристик оптимiзацiйного
змiсту. Для цього у пiдпросторi алгебраїчних полiномiв \scrP n розглянемо кулю
\sigma n+1(\varepsilon \ast ) := \varepsilon \ast \BbbB \cap \scrP n = \{ pn \in \scrP n : \| pn\| 2,\gamma \leq \varepsilon \ast \} ,
де
\varepsilon \ast :=
1
2rnr+m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
, (24)
i покажемо, що вона належить класу W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ).
Для будь-якого полiнома pn \in \scrP n та довiльного значення u \in (0, 1) згiдно з (10), (11)
запишемо
\Omega m,\gamma (D
rpn, u) =
\left\{
n\sum
j=1
(1 - (1 - u2)j/2)2m(2j)2rc2j (pn)
\right\}
1/2
\leq
\leq (1 - (1 - u2)n/2)m(2n)r\| pn\| 2,\gamma , r \in \BbbZ +. (25)
Над лiвою i правою частинами спiввiдношення (25) виконаємо такi дiї: помножимо на вагову
функцiю \varphi (u) i зiнтегруємо по змiннiй u в межах вiд 0 до \tau , де \tau \in (0, 1). В результатi
одержимо нерiвнiсть
\tau \int
0
\Omega m,\gamma (D
rpn, u)\varphi (u)du \leq (2n)r\| pn\| 2,\gamma
\tau \int
0
(1 - (1 - u2)n/2)m\varphi (u)du. (26)
Тодi для довiльного полiнома pn \in \sigma n+1(\varepsilon \ast ) з урахуванням формул (21), (24) i (26) маємо
\tau \int
0
\Omega m,\gamma (D
rpn, u)\varphi (u)du \leq 2rnr+m\| pn\| 2,\gamma
\tau \int
0
wm(u)\varphi (u)du \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI L2,\gamma (\BbbR ), \gamma = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2) 617
\leq
\tau \int
0
wm(u)\varphi (u)du \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
. (27)
З огляду на означення точної нижньої межi, покладаючи у правiй частинi спiввiдношення (27)
замiсть t значення \tau , записуємо нерiвнiсть
\tau \int
0
\Omega m,\gamma (D
rpn, u)\varphi (u)du \leq \Psi (\tau ) \forall \tau \in (0, 1),
тобто \sigma n+1(\varepsilon \ast ) \subset W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ).
Використовуючи означення бернштейнiвського поперечника та (24), одержуємо оцiнку
знизу
bn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrP n \subset W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR )\} \geq
\geq \varepsilon \ast =
1
2rnr+m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
. (28)
Спiввiдношення (8) отримуємо зi спiввiдношень (23), (28) i (6).
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай n,m \in \BbbN , r \in \BbbZ + i мажоранта \Psi задовольняє умову
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
, (29)
де функцiя wm(u) визначається формулою (7). Тодi справджуються рiвностi
qn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) = En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ))2,\gamma =
=
1
2rnr+m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi (t)\int t
0
wm(u)\varphi (u)du
, (30)
где qn(W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) — будь-який iз розглянутих поперечникiв.
3. Конкретизацiя точних результатiв щодо наближення класiв \bfitW \bfitr
\bftwo (\bfOmega \bfitm ,\bfitgamma ,\bfitvarphi ,\bfPsi ;\BbbR ), де
\bfitr \in \BbbZ +, \bfitm \in \BbbN . Певний вибiр вагових функцiй \varphi та мажорант \Psi , якi задiянi у форму-
ваннi класiв W r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi ,\Psi ;\BbbR ), дозволяє завдяки наслiдку 1 отримувати точнi значення рiзних
поперечникiв зазначених класiв та величин їх найкращих полiномiальних наближень. Проде-
монструємо це на кiлькох конкретних прикладах.
Нехай ваговими функцiями є, наприклад,
\varphi 1(x) := (1 + (1 - x2)1/2)mxsm - 1
i
\varphi 2(x) := (1 + (1 - x2)1/2)m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x2m+1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
618 С. Б. ВАКАРЧУК
де m \in \BbbN , s \in (1,\infty ). Тодi, враховуючи (7), записуємо
t\int
0
wm(u)\varphi i(u)du =
\left\{
t(2+s)m/((2 + s)m), якщо i = 1,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2m+1)/(2m+ 1), якщо i = 2.
(31)
Через C+([0, 1]) позначимо клас неперервних на вiдрiзку [0, 1] функцiй, якi є неспадними i
набувають додатних значень на вказанiй точковiй множинi. Виходячи з (29), (31) i використову-
ючи певну iнформацiю щодо еквiвалентних нескiнченно малих функцiй при t\rightarrow 0, розглянемо
мажоранти
\Psi 1(\mu , t) :=
\bigl(
at
2+s - 1
\bigr) m
\mu (t), (32)
\Psi 2(\mu , t) := t2m+1\mu (t), (33)
\Psi 3(\mu , t) :=
\bigl(
(1 + t2+s)k - 1
\bigr) m
\mu (t), (34)
де \mu \in C+([0, 1]) — довiльна функцiя, m \in \BbbN , s, a \in (1,\infty ), k \in (0,\infty ). Використовуючи
мажоранти (32) – (34) i зазначенi ваговi функцiї, можна переконатись у виконаннi умови (29) у
таких випадках:
(\varphi 1,\Psi 1(\mu )) : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi 1(\mu , t)
t(2+s)m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi 1(\mu , t)
t(2+s)m
= \mathrm{l}\mathrm{n}m(a)\mu (0), (35)
(\varphi 2,\Psi 2(\mu )) : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi 2(\mu , t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2m+1)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi 2(\mu , t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2m+1)
= \mu (0), (36)
(\varphi 1,\Psi 3(\mu )) : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi 3(\mu , t)
t(2+s)m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+0
\Psi 3(\mu , t)
t(2+s)m
= km\mu (0). (37)
Виходячи з (29) – (37), записуємо точнi значення поперечникiв i найкращих полiномiальних
наближень низки утворених зазначеним чином класiв:
qn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 1,\Psi 1(\mu );\BbbR ),L2,\gamma (\BbbR ))=En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 1,\Psi 1(\mu );\BbbR ))2,\gamma =
(2 + s)m \mathrm{l}\mathrm{n}m(a)\mu (0)
2rnr+m
,
qn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 2,\Psi 2(\mu );\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) = En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 2,\Psi 2(\mu );\BbbR ))2,\gamma =
(2m+ 1)\mu (0)
2rnr+m
,
qn(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 1,\Psi 3(\mu );\BbbR ), L2,\gamma (\BbbR )) = En - 1(W
r
2 (\Omega m,\gamma , \varphi 1,\Psi 3(\mu );\BbbR ))2,\gamma =
(2 + s)mkm\mu (0)
2rnr+m
,
де qn(\frakM , L2,\gamma (\BbbR )) — будь-який iз розглянутих поперечникiв, r \in \BbbZ +, n,m \in \BbbN , s, a \in (1,\infty ),
k \in (0,\infty ), \mu \in C+([0, 1]).
Лiтература
1. С. З. Рафальсон, О приближении функций в среднем суммами Фурье – Эрмита, Изв. вузов. Математика, № 7,
78 – 84 (1968).
2. Г. Фройд, Об аппроксимации с весом алгебраическими многочленами на действительной оси, Докл. АН СССР,
191, № 2, 293 – 294 (1970).
3. В. А. Абилов, О порядке приближения непрерывных функций арифметическими средними частных сумм ряда
Фурье – Эрмита, Изв. вузов. Математика, № 3, 3 – 9 (1972).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ВАГОВОМУ ПРОСТОРI L2,\gamma (\BbbR ), \gamma = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x2) 619
4. H. N. Mhaskar, Weighted polynomial approximation, J. Approx. Theory, 46, № 1, 100 – 110 (1986).
5. V. A. Abilov, F. A. Abilova, Some problems of the approximation of functions by Fourier – Hermite sums in the space
L2(\BbbR , e - x2
), Russian Math., 50, № 1, 1 – 10 (2006).
6. S. B. Vakarchuk, Mean approximation of functions on the real axis by algebraic polynomials with Chebyhev – Hermite
weight and widths of function classes, Math. Notes, 95, № 5-6, 599 – 614 (2014).
7. S. B. Vakarchuk, A. V. Shvachko, On the best approximation in the mean by algebraic polynomials with weight and
exact values of widths for the classes of functions, Ukr. Math. J., 65, № 12, 1774 – 1792 (2014).
8. К. Тухлиев, А. М. Туйчиев, Среднеквадратическое приближение функций на всей оси с весом Чебышева –
Эрмита алгебраическими полиномами, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 26, № 2, 270 – 277 (2020).
9. V. M. Fedorov, Approximation by algebraic polynomials with Chebyshev – Hermitian weight, Soviet Math., 28, № 6,
70 – 79 (1984).
10. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, Москва (1974).
11. L. V. Taikov, Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in L2 , Math.
Notes, 20, № 3, 797 – 800 (1976).
12. L. V. Taikov, Best approximations of differentiable functions in the metric of the space L2 , Math. Notes, 22, № 4,
789 – 794 (1977).
13. A. A. Ligun, Some inequalities between best approximations and moduli of continuity in an L2 space, Math. Notes,
24, № 6, 917 – 921 (1978).
14. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities and widths of function classes in L2 , Math. Notes, 80, № 1, 11 – 18
(2006).
15. M. Sh. Shabozov, G. A. Yusupov, Best polynomial approximations in L2 of classes of 2\pi -periodic functions and
exact values of their widths, Math. Notes, 90, № 5, 748 – 757 (2011).
16. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
of the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. I, Ukr. Math. J., 68, № 6, 823 – 848 (2016).
17. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
of the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. II, Ukr. Math. J., 68, № 8, 1165 – 1183 (2017).
Одержано 05.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7147 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:42Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6e/479e0e7926ba3a722530c115b8ec3b6e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71472022-10-24T09:23:06Z Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ Поперечники классов функций в весовом пространстве $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ Поперечники класів функцій у ваговому просторі $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. найкраще поліноміальне наближення, ряд Фур'є - Єрміта, поперечник the best polynomial approximation, series Fourier - Hermite, width UDC 517.5 In the space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$ approximating characteristics of the optimizing sense have been considered for the classes $W^r_2(\Omega_{m,\gamma}, \varphi,\Psi; \mathbb{R}) := $ $:= \Big\{ f \in L^r_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) : \int\limits_0^t \Omega_{m,\gamma} (D^rf, u) \varphi(u) du \leqslant \Psi(t) \, \forall t \in (0,1) \Big\}$, where $r \in \mathbb{Z}_{+}$; $m \in \mathbb{N}$; $\Omega_{m,\gamma}$ is the generalized $m$th order modulus of continuity; $\varphi$ is a weight function; $\Psi$ is a majorant; $D := - \frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle d x^2} +2x \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d x}$ is the differential operator, $D^r f = D(D^{r-1} f)$ $(r \in \mathbb{N})$, $D^0 f \equiv f$; $L^0_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) \equiv L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$. Lower and upper estimates were found for the different widths of the indicated classes in $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$. The conditions on the majorant have been determined under which realization their exact values succeed to compute. Some concrete exact rezults given. УДК 517.5 У просторі $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$ досліджуються апроксимаційні характеристики оптимізаційного змісту для класів функцій$W^r_2(\Omega_{m,\gamma}, \varphi,\Psi; \mathbb{R}) :=$ $:= \Big\{ f \in L^r_{2,\gamma}(D,\mathbb{R}) : \int\limits_0^t \Omega_{m,\gamma}(D^rf, u) \varphi(u) du \leqslant \Psi(t) \, \forall t \in (0,1)\Big\}$, де $r \in \mathbb{Z}_{+}$; $m \in \mathbb{N}$;$\Omega_{m,\gamma}$ - узагальнений модуль неперервності $m$-го порядку; $\varphi$ --- вагова функція; $\Psi$ - мажоранта; $D := -\frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle d x^2} + 2x \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d x}$ --- диференціальний оператор, $D^r f = D(D^{r-1} f)$ $(r \in \mathbb{N})$, $D^0 f \equiv f$; $L^0_{2,\gamma}(D,\mathbb{R})\equiv L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$. Для вказаних класів знайдено оцінки знизу та зверху низки різних поперечників у $L_{2,\gamma}(\mathbb{R})$ та вказано умову на мажоранту, при виконанні якої вдається обчислити їх точні значення. Наведено декілька конкретизацій точних результатів.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7147 10.37863/umzh.v74i5.7147 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 610 - 619 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 610 - 619 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7147/9235 Copyright (c) 2022 Сергій Борисович Вакарчук |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title | Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_alt | Поперечники классов функций в весовом пространстве $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ Поперечники класів функцій у ваговому просторі $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_full | Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_fullStr | Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_full_unstemmed | Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_short | Widths of classes of functions in the weight space $L_{2,\gamma}(\mathbb{R}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| title_sort | widths of classes of functions in the weight space $l_{2,\gamma}(\mathbb{r}), \gamma=\exp(-x^2)$ |
| topic_facet | найкраще поліноміальне наближення ряд Фур'є - Єрміта поперечник the best polynomial approximation series Fourier - Hermite width |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7147 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb widthsofclassesoffunctionsintheweightspacel2gammamathbbrgammaexpx2 AT vakarčuksb widthsofclassesoffunctionsintheweightspacel2gammamathbbrgammaexpx2 AT vakarchuksb poperečnikiklassovfunkcijvvesovomprostranstvel2gammamathbbrgammaexpx2 AT vakarčuksb poperečnikiklassovfunkcijvvesovomprostranstvel2gammamathbbrgammaexpx2 AT vakarchuksb poperečnikiklasívfunkcíjuvagovomuprostoríl2gammamathbbrgammaexpx2 AT vakarčuksb poperečnikiklasívfunkcíjuvagovomuprostoríl2gammamathbbrgammaexpx2 |