On a property of the arithmetic means of monotonous sequences
UDC 517.5 For a sequence $Y = \{y_i\}_{i=P+1}^Q$ (the numbers $P, Q \in \mathbb Z$ are fixed, $P < Q$), we consider the arithmetic mean oscillations\begin{equation*}\Omega \big (Y;[p,q] \big )=\frac1{q-p}\sum\limits _{i=p+1}^q\left|y_i-\sigma \big (Y;[p,q] \big )\right|\!,\end{equation*}w...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512622167719936 |
|---|---|
| author | Korenovskyi, A. O. Shanin, R. V. Кореновський, А. О. Шанiн, Р. В. |
| author_facet | Korenovskyi, A. O. Shanin, R. V. Кореновський, А. О. Шанiн, Р. В. |
| author_sort | Korenovskyi, A. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.5
For a sequence $Y = \{y_i\}_{i=P+1}^Q$ (the numbers $P, Q \in \mathbb Z$ are fixed, $P < Q$), we consider the arithmetic mean oscillations\begin{equation*}\Omega \big (Y;[p,q] \big )=\frac1{q-p}\sum\limits _{i=p+1}^q\left|y_i-\sigma \big (Y;[p,q] \big )\right|\!,\end{equation*}where $\sigma \big (Y;[p,q] \big )=\displaystyle\frac1{q-p}\sum\nolimits _{i=p+1}^qy_i$ is the arithmetic mean of the sequence $Y$ on the segment $[p,q],$ numbers $P \le p < q \le Q$ are arbitrary.Such oscillations coincide with the integral mean oscillations of the function $f_Y =\sum _{i=P+1}^Qy_i\chi_{(i-1,i)}$ $(\chi_E$ is the characteristic function of the set $E)$$$\Omega(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^q\left|f_Y(x)-\sigma(f_Y;[p,q])\right|\,dx,$$
$$\sigma(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^qf_Y(x)\,dx,$$on segments with integer boundaries.
The main result of the paper is the following equality:\begin{equation*}\max\limits _{ \{p,q\colon P\le p<q\le Q \}}\Omega \big (Y;[p,q] \big ) =\max\limits _{\left\{r\in\mathbb Z\colon P\le r\le Q\right\}}\max\left\{\Omega \big (Y;[P,r] \big ),\Omega \big (Y;[r,Q] \big )\right\},\end{equation*}which holds for every monotonic sequence $Y.$Here, the main point is the fact that the maximum in the right-hand side is taken only over all integer numbers $r.$This equality turns into a well-known equality if we consider the function $f_Y$ instead of the sequence $Y,$ replace the arithmetic mean oscillations by the integral mean oscillations and, in addition, assume that $r$ is not necessarily a integer number. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7151 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7151
УДК 517.5
А. О. Кореновський, Р. В. Шанiн (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова)
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ СЕРЕДНIХ АРИФМЕТИЧНИХ КОЛИВАНЬ
МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI
For a sequence Y = \{ yi\} Qi=P+1 (the numbers P,Q \in \BbbZ are fixed, P < Q), we consider the arithmetic mean oscillations
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
q\sum
i=p+1
\bigm| \bigm| yi - \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr) \bigm| \bigm| ,
where \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
\sum q
i=p+1
yi is the arithmetic mean of the sequence Y on the segment [p, q], numbers
P \leq p < q \leq Q are arbitrary. Such oscillations coincide with the integral mean oscillations of the function fY =
=
\sum Q
i=P+1
yi\chi (i - 1,i) (\chi E is the characteristic function of the set E)
\Omega (fY ; [p, q]) =
1
q - p
q\int
p
| fY (x) - \sigma (fY ; [p, q])| dx, \sigma (fY ; [p, q]) =
1
q - p
q\int
p
fY (x) dx,
on segments with integer boundaries.
The main result of the paper is the following equality:
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ p,q : P\leq p<q\leq Q\}
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ r\in \BbbZ : P\leq r\leq Q\}
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\Omega
\bigl(
Y ; [P, r]
\bigr)
,\Omega
\bigl(
Y ; [r,Q]
\bigr) \bigr\}
,
which holds for every monotonic sequence Y. Here, the main point is the fact that the maximum in the right-hand side is
taken only over all integer numbers r. This equality turns into a well-known equality if we consider the function fY instead
of the sequence Y, replace the arithmetic mean oscillations by the integral mean oscillations and, in addition, assume that
r is not necessarily a integer number.
Для числової послiдовностi Y = \{ yi\} Qi=P+1 (номери P,Q \in \BbbZ фiксованi, P < Q) розглянуто середнi арифметичнi
коливання
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
q\sum
i=p+1
\bigm| \bigm| yi - \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr) \bigm| \bigm| ,
де \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
\sum q
i=p+1
yi — середнє арифметичне значення послiдовностi Y на вiдрiзку [p, q], номери
P \leq p < q \leq Q довiльнi. Такi коливання збiгаються iз середнiми iнтегральними коливаннями функцiї fY =
=
\sum Q
i=P+1
yi\chi (i - 1,i) (\chi E — характеристична функцiя множини E)
\Omega (fY ; [p, q]) =
1
q - p
q\int
p
| fY (x) - \sigma (fY ; [p, q])| dx,
\sigma (fY ; [p, q]) =
1
q - p
q\int
p
fY (x)dx
на вiдрiзках iз цiлочисловими межами.
Основний результат роботи полягає в тому, що для монотонної послiдовностi Y справджується рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ p,q : P\leq p<q\leq Q\}
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ r\in \BbbZ : P\leq r\leq Q\}
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\Omega
\bigl(
Y ; [P, r]
\bigr)
,\Omega
\bigl(
Y ; [r,Q]
\bigr) \bigr\}
,
до того ж максимум у правiй частинi береться лише за всiма цiлими r. Якщо у цiй рiвностi замiсть Y взяти fY
i, вiдповiдно, арифметичнi коливання замiнити середнiми iнтегральними коливаннями, а також вважати число r у
правiй частинi не обов’язково цiлим, то отриманий аналог такої рiвностi є вiдомим.
c\bigcirc А. О. КОРЕНОВСЬКИЙ, Р. В. ШАНIН, 2022
516 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ СЕРЕДНIХ АРИФМЕТИЧНИХ КОЛИВАНЬ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI 517
Вступ. Нехай функцiя f сумовна на вiдрiзку [A,B] \subset \BbbR . Для деякого вiдрiзка [a, b] \subset [A,B]
середнiм iнтегральним значенням функцiї f на [a, b] називають
\sigma
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr)
=
1
b - a
b\int
a
f(x) dx,
а середнiм iнтегральним коливанням —
\Omega
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr)
=
1
b - a
b\int
a
\bigm| \bigm| f(x) - \sigma
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr) \bigm| \bigm| dx.
Кажуть, що f є функцiєю з обмеженими середнiми коливаннями (f \in BMO) на [A,B], якщо
\| f\| \ast = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[a,b]
\Omega
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr)
< +\infty ,
де точна верхня межа береться по всiх вiдрiзках [a, b] \subset [A,B]. Клас BMO, введений у робо-
тi [1], отримав багато застосувань у рiзних напрямках. Тому зрозумiла увага багатьох авторiв
до вивчення властивостей середнiх iнтегральних коливань. Звичайно, таких властивостей ба-
гато, ми зосередимо увагу лише на тих, якi мають безпосереднє вiдношення до цiєї роботи.
Бiльшiсть з наведених властивостей можна знайти, наприклад, у [2].
Для вимiрної на множинi E функцiї f i сталої c через E(f > c) позначатимемо множину\bigl\{
x \in E : f(x) > c
\bigr\}
. Аналогiчно означаються множини E(f \geq c), E(f < c) i E(f \leq c).
Очевидно, що \bigm| \bigm| \bigm| E\bigl( f > \sigma (f ;E)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| E\bigl( f < \sigma (f ;E)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq | E|
2
,\bigm| \bigm| \bigm| E\bigl( f \geq \sigma (f ;E)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| E\bigl( f \leq \sigma (f ;E)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \geq | E|
2
.
Якщо E = [a, b]
\bigl(
| E| = b - a
\bigr)
, то зрозумiло, що для будь-якої сталої c
\sigma (f + c;E) = \sigma (f ;E) + c, \Omega (f + c;E) = \Omega (f ;E),
а умова \Omega (f ;E) = 0 рiвносильна тому, що f на E еквiвалентна тотожнiй сталiй \sigma (f ;E). Далi,\int
E(f>\sigma (f ;E))
\bigl(
f(x) - \sigma (f ;E)
\bigr)
dx =
\int
E(f\geq \sigma (f ;E))
\bigl(
f(x) - \sigma (f ;E)
\bigr)
dx =
=
\int
E(f<\sigma (f ;E))
\bigl(
\sigma (f ;E) - f(x)
\bigr)
dx =
\int
E(f\leq \sigma (f ;E))
\bigl(
\sigma (f ;E) - f(x)
\bigr)
dx.
З цiєї рiвностi випливає, що
\Omega (f ;E) =
2
b - a
\int
E(f>\sigma (f ;E))
\bigl(
f(x) - \sigma (f ;E)
\bigr)
dx.
Якщо функцiя f iстотно обмежена на E, то (див. [3, с. 224; 2, с. 29])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
518 А. О. КОРЕНОВСЬКИЙ, Р. В. ШАНIН
\Omega (f ;E) \leq 1
2
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in E
f(x) - \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in E
f(x)
\biggr)
.
Легко показати, що
\Omega
\bigl(
| f | ;E
\bigr)
\leq 2 \cdot \Omega (f ;E), (1)
причому сталий множник 2 у правiй частинi, взагалi кажучи, не можна зменшити [2, с. 29; 4].
Наведемо вiдповiдний приклад.
Приклад 1. Нехай натуральне Q \geq 3. Означимо на [0, Q] функцiю f = \chi [0,1] - \chi (Q - 1,Q], де
\chi E — характеристична функцiя множини E. Маємо
\sigma (f ; [0, Q]) = 0, \Omega (f ; [0, Q]) =
2
Q
,
\sigma
\bigl(
| f | ; [0, Q]
\bigr)
=
2
Q
, \Omega (| f | ; [0, Q]) =
2
Q
\cdot 2
\biggl(
1 - 2
Q
\biggr)
=
4(Q - 2)
Q2
,
\Omega
\bigl(
| f | ; [0, Q]
\bigr)
\Omega (f ; [0, Q])
= 2 \cdot Q - 2
Q
\rightarrow 2, Q \rightarrow \infty .
Незважаючи на те, що нерiвнiсть (1) є точною, вiдповiдна нерiвнiсть для норм має вигляд\bigm\| \bigm\| | f | \bigm\| \bigm\| \ast \leq \| f\| \ast
(див. [2, с. 67]). Доведення цiєї нерiвностi ґрунтується на використаннi оцiнок рiвновимiр-
них перестановок функцiй, якi опираються на оцiнки коливань монотонної функцiї; деталi ми
пропускаємо.
Перейдемо до оцiнювання коливань монотонної функцiї (див. [2, с. 35]). Основою для таких
оцiнювань є таке твердження (див. [5]).
Лема 1. Нехай функцiя f монотонна на вiдрiзку [a, b], а вiдрiзок [a1, b1] \subset [a, b] такий,
що
\sigma
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr)
= \sigma (f ; [a1, b1]).
Тодi
\Omega (f ; [a1, b1]) \leq \Omega
\bigl(
f ; [a, b]
\bigr)
.
В свою чергу, на цю лему опирається доведення такого твердження.
Лема 2. Нехай функцiя f монотонна на вiдрiзку [a, b]. Тодi
\| f\| \ast = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\leq c\leq b
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\Omega (f ; [a, c]), \Omega (f ; [c, b])
\bigr\}
.
Цю лему легко отримати iз попередньої. Справдi, спираючись на абсолютну неперервнiсть
iнтеграла Лебега, достатньо для довiльного вiдрiзка [a1, b1] \subset [a, b] побудувати такий iз двох
вiдрiзкiв [a, c] \supset [a1, b1] чи [c, b] \supset [a1, b1], для якого \sigma (f ; [a, c]) = \sigma (f ; [a1, b1]) або \sigma (f ; [c, b]) =
= \sigma (f ; [a1, b1]). Але у дискретному випадку властивiсть абсолютної неперервностi не має мiсця,
тому описану схему доведення леми 2 застосувати не можна. Основний результат даної роботи
полягає у тому, що аналог леми 2 залишається справедливим i у дискретному випадку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ СЕРЕДНIХ АРИФМЕТИЧНИХ КОЛИВАНЬ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI 519
Середнi арифметичнi коливання послiдовностi. Вважаємо, що межi P, Q, p, q, r, . . .
усiх вiдрiзкiв — цiлi числа. Для зручностi скiнченнi набори дiйсних чисел будемо називати
послiдовностями.
Нехай задано послiдовнiсть Y = \{ yi\} Qi=P+1. Для P \leq p < q \leq Q середнiм арифметичним
значенням послiдовностi Y на вiдрiзку [p, q] називається
\sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
q\sum
i=p+1
yi,
а середнiм арифметичним коливанням —
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
1
q - p
q\sum
i=p+1
\bigm| \bigm| yi - \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr) \bigm| \bigm| ;
при p = q вважаємо, що \sigma
\bigl(
Y ; [p, p]
\bigr)
= \Omega
\bigl(
Y ; [p, p]
\bigr)
= 0. Для фiксованих P < Q означимо
\| Y \| d = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
P\leq p<q\leq Q
\bigl\{
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr) \bigr\}
.
Якщо на [P,Q] означити функцiю fY =
\sum Q
i=P+1
yi\chi (i - 1,i), то, очевидно, для будь-яких
P \leq p < q \leq Q
\sigma
\bigl(
fY ; [p, q]
\bigr)
= \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
, \Omega
\bigl(
fY ; [p, q]
\bigr)
= \Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
.
Зазначимо, що норма \| Y \| d вiдрiзняється вiд норми \| fY \| \ast лише тим, що точна верхня межа
береться не по всiх вiдрiзках, а лише по вiдрiзках iз цiлочисловими межами. Тому i \| Y \| d \leq
\leq \| fY \| \ast , а оскiльки функцiя fY обмежена, то \| fY \| \ast \leq
1
2
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}P+1\leq i\leq Q yi - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}P+1\leq i\leq Q yi
\bigr)
<
< \infty , тобто у будь-якому випадку fY \in BMO.
Багато властивостей середнiх арифметичних коливань послiдовностi Y можна отримати iз
вiдповiдних властивостей середнiх iнтегральних коливань функцiї fY . Наприклад, \sigma
\bigl(
Y ; [r -
- 1, r]
\bigr)
= yr, \Omega
\bigl(
Y ; [r - 1, r]
\bigr)
= 0 (r = P + 1, . . . , Q), а умова \Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
= 0 рiвносильна
тому, що yp+1 = . . . = yq = \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
. Також легко бачити, що
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
=
2
q - p
\sum
\{ i\in [p+1,q] : yi>\sigma (Y ;[p,q])\}
\bigl(
yi - \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr) \bigr)
=
=
2
q - p
\sum
\{ i\in [p+1,q] : yi<\sigma (Y ;[p,q])\}
\bigl(
\sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
- yi
\bigr)
.
З iншого боку, дискретизацiя вiдрiзкiв, за якими можна розглядати середнi iнтегральнi
коливання функцiї fY , накладає певнi обмеження, зокрема, як вже зазначалось, вiдсутнiсть
властивостi абсолютної неперервностi.
Зрозумiло, що будь-яке коливання послiдовностi Y можна записати у виглядi вiдповiдного
коливання функцiї fY , тому далi можна було б обмежитись дослiдженням середнiх iнтеграль-
них коливань функцiї fY за цiлочисловими вiдрiзками. Але щоб не зазначати щоразу, що межi
вiдрiзкiв цiлочисловi, подальший виклад будемо проводити у термiнах послiдовностей. Для
Y = \{ yi\} Qi=P+1 позначаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
520 А. О. КОРЕНОВСЬКИЙ, Р. В. ШАНIН
| Y | =
\bigl\{
| yi|
\bigr\} Q
i=P+1
, cY =
\bigl\{
c \cdot yi
\bigr\} Q
i=P+1
, Y + c =
\bigl\{
yi + c
\bigr\} Q
i=P+1
,
де c — деяка стала.
Основним результатом роботи є наступна теорема, що є дискретним аналогом леми 2. Як i
в лемi 2, в цiй теоремi звичайно також припускається умова монотонностi.
Теорема. Нехай послiдовнiсть Y = \{ yi\} Qi=P+1 монотонна. Тодi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ p,q : P\leq p<q\leq Q\}
\Omega
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\{ r : P\leq r\leq Q\}
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\Omega (Y ; [P, r]),\Omega (Y ; [r,Q])
\bigr\}
.
Для доведення теореми встановимо спочатку кiлька допомiжних тверджень, якi в деякому
сенсi замiнюють лему 1, що використовувалась при доведеннi леми 2. Така замiна потрiбна
тому, що у дискретному випадку для довiльного вiдрiзка [p, q] \subset [P,Q] не можна гаранту-
вати наявнiсть принаймнi одного з таких цiлочислових вiдрiзкiв [P, r] чи [r,Q], для яких
\sigma (Y ; [P, r]) = \sigma (Y ; [p, q]) або \sigma (Y ; [r,Q]) = \sigma (Y ; [p, q]).
Лема 3. Нехай послiдовнiсть Z = \{ zi\} ri=1 задовольняє умови
z1 \geq z2 \geq . . . \geq zr\prime > 0 \geq zr\prime +1 \geq . . . \geq zr,
до того ж
r\prime <
r + 1
2
, (2)
\sigma (Z; [1, r]) =
r\sum
i=2
zi = 0. (3)
Тодi
\Omega
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr)
\geq \Omega (Z; [1, r]). (4)
Доведення. Спочатку покажемо, що за умови (2) виконується нерiвнiсть
r - r\prime \geq r\prime + 1. (5)
Справдi, для доведення нерiвностi (5) у випадку r = 2k + 1, тобто
r + 1
2
= k + 1, за умови
(2) маємо r\prime \leq k, i тому r - r\prime = 2k + 1 - r\prime \geq r\prime + 1. Якщо ж r = 2k, тобто
r + 1
2
= k +
1
2
,
то за умови (2) маємо r\prime \leq k - 1
2
, i тому r - r\prime \geq 2k -
\biggl(
k - 1
2
\biggr)
= k +
1
2
\geq r\prime + 1. Отже,
нерiвнiсть (5) виконується у будь-якому випадку.
За умови (3)
\sigma
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr)
=
1
r
r\sum
i=1
zi =
z1
r
> 0.
Знайдемо таке максимальне r\prime \prime \in [1, r\prime ], що
zr\prime \prime > \sigma
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr)
,
i отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ СЕРЕДНIХ АРИФМЕТИЧНИХ КОЛИВАНЬ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI 521
1
2
\bigl(
\Omega
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr)
- \Omega (Z; [1, r])
\bigr)
=
1
r
r\prime \prime \sum
i=1
\bigl(
zi - \sigma
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr) \bigr)
- 1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi =
=
1
r
\Biggl( \Bigl(
z1 -
z1
r
\Bigr)
+
r\prime \prime \sum
i=2
\Bigl(
zi -
z1
r
\Bigr) \Biggr)
- 1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi =
=
(r - 1)z1
r2
+
1
r
r\prime \prime \sum
i=2
zi -
(r\prime \prime - 1)z1
r2
- 1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi =
=
(r - r\prime \prime )z1
r2
+
1
r
r\prime \sum
i=2
zi -
1
r
r\prime \sum
i=r\prime \prime +1
zi -
1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi =
=
(r - r\prime \prime )z1
r2
- 1
r(r - 1)
r\prime \sum
i=2
zi -
1
r
r\prime \sum
i=r\prime \prime +1
zi =
=
1
r
\Biggl(
(r - r\prime )z1
r
- 1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi
\Biggr)
+
r\prime - r\prime \prime
r
\Biggl(
z1
r
- 1
r\prime - r\prime \prime
r\prime \sum
i=r\prime \prime +1
zi
\Biggr)
\equiv
\equiv 1
r
S1 +
r\prime - r\prime \prime
r
S2 (6)\Bigl(
нагадаємо, що при r\prime = r\prime \prime вважаємо, що
\sum r\prime
i=r\prime \prime +1
zi =
1
r\prime - r\prime \prime
\sum r\prime
i=r\prime \prime +1
zi = 0
\Bigr)
. Оскiльки
послiдовнiсть Z не зростає, то
S2 =
z1
r
- 1
r\prime - r\prime \prime
r\prime \sum
i=r\prime \prime +1
zi = \sigma
\bigl(
Z; [0, r]
\bigr)
- \sigma (Z; [r\prime \prime , r\prime ]) \geq 0.
Далi, запишемо
S1 =
(r - r\prime )z1
r
- 1
r - 1
r\prime \sum
i=2
zi =
(r - r\prime )z1
r
- r\prime - 1
r - 1
\sigma
\bigl(
Z; [1, r\prime ]
\bigr)
i скористаємось нерiвнiстю z1 \geq \sigma
\bigl(
Z; [1, r\prime ]
\bigr)
, яка також випливає iз монотонностi Z. В резуль-
татi отримаємо
S1 =
(r - r\prime )z1
r
- r\prime - 1
r - 1
\sigma
\bigl(
Z; [1, r\prime ]
\bigr)
\geq z1
r
\biggl(
r - r\prime - r(r\prime - 1)
r - 1
\biggr)
.
Залишилося показати, що вираз у дужках у правiй частинi є невiд’ємним. Але за умови (5)
r - r\prime - r(r\prime - 1)
r - 1
\geq r\prime + 1 - r(r\prime - 1)
r - 1
=
=
1
r - 1
((r - 1)(r\prime + 1) - r(r\prime - 1)) =
r - r\prime + r - 1
r - 1
> 0.
Таким чином, S1 \geq 0. Ранiше ми показали, що i S2 \geq 0, i тому iз (6) випливає (4).
Лему 3 доведено.
Наступна лема симетрична до леми 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
522 А. О. КОРЕНОВСЬКИЙ, Р. В. ШАНIН
Лема 4. Нехай послiдовнiсть Z = \{ zi\} r+1
i=2 задовольняє умови
z2 \geq . . . \geq zr\prime \geq 0 > zr\prime +1 \geq . . . \geq zr \geq zr+1,
до того ж
r\prime >
r + 1
2
,
r\sum
i=2
zi = 0.
Тодi
\Omega (Z; [1, r + 1]) \geq \Omega (Z; [1, r]). (7)
Доведення проведемо, застосувавши лему 3 до послiдовностi Z \prime =
\bigl\{
z\prime i = - zr+1 - i, i =
= 1, . . . , r
\bigr\}
.
В лемах 3 i 4 вилучено випадок r\prime =
r + 1
2
. Це є iстотним, оскiльки доведення леми 3
опирається на нерiвнiсть (5), яка виконується при r\prime =
r + 1
2
. В наступнiй лемi розглядається
аналог саме такого випадку. Сформулюємо цю лему в дещо iншiй, бiльш зручнiй формi.
Лема 5. Нехай послiдовнiсть Z = \{ zi\} r+1
i= - r задовольняє умови
z - r \geq z - r+1 \geq . . . \geq z0 \geq 0 \geq z1 . . . \geq zr \geq zr+1,
до того ж
\sigma
\bigl(
Z; [ - r, r]
\bigr)
=
r\sum
i= - r+1
zi = 0. (8)
Тодi
\Omega (Z; [ - r - 1, r + 1]) \geq \Omega
\bigl(
Z; [ - r, r]
\bigr)
. (9)
Доведення. Враховуючи (8), обчислюємо
\sigma (Z; [ - r - 1, r + 1]) =
1
2r + 2
r+1\sum
i= - r
zi =
z - r + zr+1
2r + 2
.
Розглянемо спочатку випадок \sigma (Z; [ - r - 1, r + 1]) \leq 0, тобто z - r \leq - zr+1. Знайдемо таке
найбiльше r\prime \in [0, r], при якому zr\prime \geq \sigma (Z; [ - r - 1, r + 1]). Тодi
1
2
\Omega (Z; [ - r - 1, r + 1]) - 1
2
\Omega
\bigl(
Z; [ - r, r]
\bigr)
=
=
1
2r + 2
r\prime \sum
i= - r
\bigl(
zi - \sigma (Z; [ - r - 1, r + 1])
\bigr)
- 1
2r
0\sum
i= - r+1
zi =
=
1
2r + 2
0\sum
i= - r
zi -
1
2r
0\sum
i= - r+1
zi =
1
2
\sigma (Z; [ - r - 1, 0]) - 1
2
\sigma (Z; [ - r, 0]).
Оскiльки, завдяки спаданню послiдовностi Z, \sigma (Z; [ - r - 1, 0]) \geq \sigma (Z; [ - r, 0]), то отримали (9).
Випадок \sigma
\bigl(
Z; [ - r - 1, r + 1]
\bigr)
\geq 0 легко доводиться аналогiчним чином, або ж, як i при
доведеннi леми 4, можна отримати iз розглянутого випадку, застосованого до послiдовностi
Z \prime =
\bigl\{
z\prime i = - z1 - i, i = - r, . . . , r + 1
\bigr\}
.
Лему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ СЕРЕДНIХ АРИФМЕТИЧНИХ КОЛИВАНЬ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI 523
Iз лем 3 – 5 випливає наступне твердження, яке пiдсумовує цi леми. Його сенс полягає у
тому, що коли довiльний вiдрiзок можна iстотно розширити в обидва боки, то його можна
розширити принаймнi в один бiк таким чином, щоб на розширеному вiдрiзку коливання не
стало меншим.
Лема 6. Нехай послiдовнiсть Y = \{ yi\} q+1
i=p монотонна. Тодi
\Omega (Y ; [p, q]) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\Omega (Y ; [p - 1, q]),\Omega (Y ; [p, q + 1]),\Omega (Y ; [p - 1, q + 1])
\bigr\}
. (10)
Доведення. Очевидно, достатньо розглянути випадок незростаючої послiдовностi Y, для
якої \Omega (Y ; [p, q]) > 0.
Знайдемо такi p\prime \geq p+ 1 i q\prime \leq q - 1, що
yp\prime > \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
\geq yp\prime +1, yq\prime \geq \sigma
\bigl(
Y ; [p, q]
\bigr)
> yq\prime +1.
Легко бачити, що p\prime \leq q\prime , i виконується принаймнi одна з таких умов:
1) p\prime <
p+ q
2
;
2) q\prime >
p+ q
2
;
3) p\prime = q\prime =
p+ q
2
,
до того ж першi двi умови можуть виконуватись одночасно, а третiй випадок виключає об’єднання
двох перших.
У двох перших випадках покладемо r = q - p+ 1,
Z =
\bigl\{
zi = yp+i - 1 - \sigma (Y ; [p, q]), i = 1, . . . , r + 1
\bigr\}
i отримаємо \sigma (Z; [1, r]) = 0. При цьому у першому випадку умова p\prime <
p+ q
2
рiвносильна
умовi r\prime \equiv p\prime - p + 1 <
r + 1
2
. Це означає, що послiдовнiсть Z = \{ zi\} ri=1 задовольняє умови
леми 3, згiдно з якою виконується нерiвнiсть (4). Але, очевидно, нерiвнiсть (4) рiвносильна
тому, що
\Omega (Y ; [p - 1, q]) \geq \Omega (Y ; [p, q]). (11)
У другому випадку умова q\prime >
p+ q
2
рiвносильна умовi r\prime \equiv q\prime - p+1 >
r + 1
2
. Це означає, що
послiдовнiсть Z = \{ zi\} r+1
i=2 задовольняє умови леми 4, згiдно з якою виконується нерiвнiсть (7).
Але, очевидно, нерiвнiсть (7) рiвносильна тому, що
\Omega (Y ; [p, q + 1]) \geq \Omega (Y ; [p, q]). (12)
У третьому випадку q + p парне, а тому i q - p також є парним. Покладемо r =
q - p
2
,
Z =
\Bigl\{
zi = y p+q
2
+i - \sigma (Y ; [p, q]), i = - r, . . . , r + 1
\Bigr\}
i отримаємо \sigma
\bigl(
Z; [ - r, r]
\bigr)
= 0. При цьому умова p\prime = q\prime =
p+ q
2
рiвносильна тому, що
r\prime \equiv p\prime - p+ q
2
= 0. Це означає, що послiдовнiсть Z = \{ zi\} r+1
i= - r задовольняє умови леми 5,
згiдно з якою виконується нерiвнiсть (9). Але, очевидно, нерiвнiсть (9) рiвносильна тому, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
524 А. О. КОРЕНОВСЬКИЙ, Р. В. ШАНIН
\Omega (Y ; [p - 1, q + 1]) \geq \Omega (Y ; [p, q]). (13)
Насамкiнець зазначимо, що для незростаючої послiдовностi Y нерiвнiсть (10) випливає iз
нерiвностей (11) – (13).
Лему 6 доведено.
Доведення теореми. Очевидно, достатньо розглянути випадок незростаючої послiдовнос-
тi Y.
Припустимо, що P < p < q < Q i \Omega (Y ; [p, q]) > 0. Позначимо [p0, q0] = [p, q] i застосуємо
лему 6. В результатi отримаємо вiдрiзок [p1, q1] \supset [p0, q0], де [p1, q1] — той iз вiдрiзкiв [p - 1, q],
[p, q + 1] чи [p - 1, q + 1], на якому досягається максимум у правiй частинi (10). За лемою 6
\Omega (Y ; [p0, q0]) \leq \Omega (Y ; [p1, q1]). При цьому довжина вiдрiзка [p1, q1] принаймнi на 1 бiльша за
довжину вiдрiзка [p0, q0]. Якщо (p1 - P )(Q - q1) = 0 (тобто один iз кiнцiв вiдрiзка [p1, q1]
збiгається з одним iз кiнцiв вiдрiзка [P,Q]), то теорему доведено. У протилежному випадку за-
стосуємо лему 6 до вiдрiзка [p1, q1], в результатi чого отримаємо вiдрiзок [p2, q2] \supset [p1, q1], дов-
жина якого принаймнi на 1 бiльша за довжину вiдрiзка [p1, q1], i \Omega (Y ; [p1, q1]) \leq \Omega (Y ; [p2, q2]).
Зрозумiло, що за скiнченну кiлькiсть крокiв отримаємо такий вiдрiзок [pk, qk] \supset [pk - 1, qk - 1],
один iз кiнцiв якого збiгається з одним iз кiнцiв вiдрiзка [P,Q], i
\Omega (Y ; [p0, q0]) \leq \Omega (Y ; [p1, q1]) \leq . . . \leq \Omega (Y ; [pk, qk]).
Теорему доведено.
Висновки. Доведена теорема може виявитись корисною для встановлення подальших вла-
стивостей середнiх арифметичних коливань послiдовностей, зокрема, у випадку нескiнченних
послiдовностей на \BbbN , \BbbZ та оцiнювання швидкостi їх зростання, тобто дискретних аналогiв те-
ореми Джона – Нiренберга. Крiм того, напевно цю теорему можна застосувати до оцiнювання
коливань послiдовностi iз модулiв елементiв, або ж монотонних чи симетричних перестановок
послiдовностей.
Лiтература
1. F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation, Commun. Pure and Appl. Math., 14, № 4, 415 – 426
(1961).
2. A. A. Korenovskii, Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions, Lect. Notes Unione Mat.
Ital., 4, Springer, Berlin (2007); DOI 10.1007/978-3-540-74709-3.
3. J. Garnett, Bounded analytic functions, Acad. Press, New York (1981).
4. А. А. Кореновский, О связи между средними колебаниями и точными показателями суммируемости функций,
Мат. сб., 181, № 12, 1721 – 1727 (1990).
5. I. Klemes, A mean oscillation inequality, Proc. Amer. Math. Soc., 93, № 3, 497 – 500 (1985).
Одержано 07.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7151 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:43Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3f/4e46495fb89e237f125ff08ec5d0d43f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71512022-07-06T16:22:31Z On a property of the arithmetic means of monotonous sequences Об одном свойстве средних арифметических колебаний монотонной функции Про одну властивість середніх арифметичних коливань монотонної послідовності Korenovskyi, A. O. Shanin, R. V. Кореновський, А. О. Шанiн, Р. В. Середнє інтегральне коливання; $BMO$; Середнє арифметичне коливання; Арифметичне коливання послідовності; Середнє коливанння монотонної послідовності Integral mean oscillation; $BMO$; Arithmetic mean oscillation; Arithmetic mean of a sequence; Mean oscillation of a monotonic sequence UDC 517.5 For a sequence $Y = \{y_i\}_{i=P+1}^Q$ (the numbers $P, Q \in \mathbb Z$ are fixed, $P &lt; Q$), we consider the arithmetic mean oscillations\begin{equation*}\Omega \big (Y;[p,q] \big )=\frac1{q-p}\sum\limits _{i=p+1}^q\left|y_i-\sigma \big (Y;[p,q] \big )\right|\!,\end{equation*}where $\sigma \big (Y;[p,q] \big )=\displaystyle\frac1{q-p}\sum\nolimits _{i=p+1}^qy_i$ is the arithmetic mean of the sequence $Y$ on the segment $[p,q],$ numbers $P \le p &lt; q \le Q$ are arbitrary.Such oscillations coincide with the integral mean oscillations of the function $f_Y =\sum _{i=P+1}^Qy_i\chi_{(i-1,i)}$ $(\chi_E$ is the characteristic function of the set $E)$$$\Omega(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^q\left|f_Y(x)-\sigma(f_Y;[p,q])\right|\,dx,$$ $$\sigma(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^qf_Y(x)\,dx,$$on segments with integer boundaries. The main result of the paper is the following equality:\begin{equation*}\max\limits _{ \{p,q\colon P\le p&lt;q\le Q \}}\Omega \big (Y;[p,q] \big ) =\max\limits _{\left\{r\in\mathbb Z\colon P\le r\le Q\right\}}\max\left\{\Omega \big (Y;[P,r] \big ),\Omega \big (Y;[r,Q] \big )\right\},\end{equation*}which holds for every monotonic sequence $Y.$Here, the main point is the fact that the maximum in the right-hand side is taken only over all integer numbers $r.$This equality turns into a well-known equality if we consider the function $f_Y$ instead of the sequence $Y,$ replace the arithmetic mean oscillations by the integral mean oscillations and, in addition, assume that $r$ is not necessarily a integer number. УДК 517.5Для числової послiдовностi $Y = \{y_i\}_{i=P+1}^Q$ (номери $P, Q \in \mathbb Z$ фiксованi, $P &lt; Q$) розглянуто середнi арифметичнi коливання\begin{equation*}\Omega \big (Y;[p,q] \big )=\frac1{q-p}\sum\limits _{i=p+1}^q\left|y_i-\sigma \big (Y;[p,q] \big )\right|\!,\end{equation*}де&nbsp; $\sigma \big (Y;[p,q] \big )=\displaystyle\frac1{q-p}\sum\nolimits _{i=p+1}^qy_i$— середнє арифметичне значення послiдовностi $Y$ на вiдрiзку $[p,q],$, номери $P \le p &lt; q \le Q$ довiльнi. Такi коливання збiгаються iз середнiми iнтегральними коливаннями функцiї $f_Y =\sum _{i=P+1}^Qy_i\chi_{(i-1,i)}$ $(\chi_E$— характеристична функцiя множини $E)$ $$\Omega(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^q\left|f_Y(x)-\sigma(f_Y;[p,q])\right|\,dx,$$ $$\sigma(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^qf_Y(x)\,dx,$$ на вiдрiзках iз цiлочисловими межами.Основний результат роботи полягає в тому, що для монотонної послiдовностi Y справджується рiвнiсть\begin{equation*}\max\limits _{ \{p,q\colon P\le p&lt;q\le Q \}}\Omega \big (Y;[p,q] \big ) =\max\limits _{\left\{r\in\mathbb Z\colon P\le r\le Q\right\}}\max\left\{\Omega \big (Y;[P,r] \big ),\Omega \big (Y;[r,Q] \big )\right\},\end{equation*}до того ж максимум у правiй частинi береться лише за всiма цiлими $r$. Якщо у цiй рiвностi замiсть $Y$ взяти $f_Y$ i, вiдповiдно, арифметичнi коливання замiнити середнiми iнтегральними коливаннями, а також вважати число $r$ у правiй частинi не обов’язково цiлим, то отриманий аналог такої рiвностi є вiдомим. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-12 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7151 10.37863/umzh.v74i4.7151 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 516 - 524 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 516 - 524 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7151/9231 Copyright (c) 2022 Анатолій Кореновський |
| spellingShingle | Korenovskyi, A. O. Shanin, R. V. Кореновський, А. О. Шанiн, Р. В. On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title | On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title_alt | Об одном свойстве средних арифметических колебаний монотонной функции Про одну властивість середніх арифметичних коливань монотонної послідовності |
| title_full | On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title_fullStr | On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title_full_unstemmed | On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title_short | On a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| title_sort | on a property of the arithmetic means of monotonous sequences |
| topic_facet | Середнє інтегральне коливання $BMO$ Середнє арифметичне коливання Арифметичне коливання послідовності Середнє коливанння монотонної послідовності Integral mean oscillation $BMO$ Arithmetic mean oscillation Arithmetic mean of a sequence Mean oscillation of a monotonic sequence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7151 |
| work_keys_str_mv | AT korenovskyiao onapropertyofthearithmeticmeansofmonotonoussequences AT shaninrv onapropertyofthearithmeticmeansofmonotonoussequences AT korenovsʹkijao onapropertyofthearithmeticmeansofmonotonoussequences AT šaninrv onapropertyofthearithmeticmeansofmonotonoussequences AT korenovskyiao obodnomsvojstvesredniharifmetičeskihkolebanijmonotonnojfunkcii AT shaninrv obodnomsvojstvesredniharifmetičeskihkolebanijmonotonnojfunkcii AT korenovsʹkijao obodnomsvojstvesredniharifmetičeskihkolebanijmonotonnojfunkcii AT šaninrv obodnomsvojstvesredniharifmetičeskihkolebanijmonotonnojfunkcii AT korenovskyiao proodnuvlastivístʹseredníharifmetičnihkolivanʹmonotonnoíposlídovností AT shaninrv proodnuvlastivístʹseredníharifmetičnihkolivanʹmonotonnoíposlídovností AT korenovsʹkijao proodnuvlastivístʹseredníharifmetičnihkolivanʹmonotonnoíposlídovností AT šaninrv proodnuvlastivístʹseredníharifmetičnihkolivanʹmonotonnoíposlídovností |