On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity
UDC 517.5 We study the behavior of ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus with $p>n$  at infinity.
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7158 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512626295963648 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Klishchuk, B. A. Салімов, Р. Р. Кліщук, Б. А. |
| author_facet | Salimov, R. R. Klishchuk, B. A. Салімов, Р. Р. Кліщук, Б. А. |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-17T13:32:52Z |
| description |
UDC 517.5
We study the behavior of ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus with $p>n$  at infinity. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i10.7158 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i10.7158
УДК 517.5
Р. Р. Салiмов, Б. А. Клiщук1 (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ
НА НЕСКIНЧЕННОСТI
We study the behavior of ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus with p > n at infinity.
Дослiджується поведiнка на нескiнченностi кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв щодо p-модуля при p > n.
1. Вступ. Нагадаємо деякi означення (див. [1]). Нехай задано сiм’ю \Gamma кривих \gamma у просторi \BbbR n,
n \geq 2. Борелеву функцiю \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] називають допустимою для \Gamma (пишуть \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma ),
якщо \int
\gamma
\rho (x)ds \geq 1
для кожної (локально спрямлюваної) кривої \gamma \in \Gamma . Нехай p \in (1,\infty ). Тодi p-модулем сiм’ї \Gamma
називається величина
\mathrm{M}p(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma
\int
\BbbR n
\rho p(x) dm(x),
де m — мiра Лебега в \BbbR n.
Для довiльних множин E, F i G в \BbbR n позначимо через \Delta (E,F,G) сiм’ю всiх неперервних
кривих \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n, якi з’єднують E та F в G, тобто \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in G при
a < t < b. Нехай D — область в \BbbR n, x0 \in D i d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D). Покладемо
\BbbA (x0, r1, r2) = \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} ,
Si = S(x0, ri) = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| = ri\} , i = 1, 2.
Нехай Q : D \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя. Будемо говорити, що гомеоморфiзм f :
D \rightarrow \BbbR n є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-модуля в точцi x0 \in D, якщо спiввiдношення
\mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (fS1, fS2, fD)
\bigr)
\leq
\int
\BbbA
Q(x) \eta p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x)
виконується для будь-якого кiльця \BbbA = \BbbA (x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0, i для кожної вимiрної
функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: kban1988@gmail.com.
c\bigcirc Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК, 2022
1416 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ НА НЕСКIНЧЕННОСТI 1417
r2\int
r1
\eta (r)dr = 1.
Теорiю Q-гомеоморфiзмiв при p = n дослiджували в роботах [2 – 6], при 1 < p < n — у
[7 – 14] i при p > n — у [15 – 19]. Бiльш загальнi класи вiдображень дослiджували в [20 – 26].
Нехай \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n, qx0(r) =
1
\omega n - 1rn - 1
\int
S(x0,r)
Q(x)d\scrA —
середнє iнтегральне значення по сферi S(x0, r) = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| = r\} i d\scrA — елемент
площi поверхнi.
Сформулюємо критерiй належностi класу кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв щодо p-модуля при
p > 1 в \BbbR n.
Твердження 1. Нехай D — область в \BbbR n i Q : D \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя
така, що середнє iнтегральне значення qx0(r) скiнченне для майже всiх r \in (0, d0), d0 =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D). Гомеоморфiзм f : D \rightarrow \BbbR n є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом в точцi x0 \in D
тодi й лише тодi, коли для будь-яких 0 < r1 < r2 < d0
\mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (fS1, fS2, fD)
\bigr)
\leq \omega n - 1\Biggl( \int r2
r1
dr
r
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
\Biggr) p - 1 ,
де S1 i S2 — сфери S(x0, r1) i S(x0, r2) (див. теорему 2.3 в [12]).
Згiдно з роботою [29], пару \scrE = (A,C), де A \subset \BbbR n — вiдкрита множина i C — не-
порожня компактна множина, що мiститься в A, назвемо конденсатором. Говорять також,
що конденсатор \scrE = (A,C) лежить в областi D, якщо A \subset D. Очевидно, що якщо f :
D \rightarrow \BbbR n — неперервне вiдкрите вiдображення i \scrE = (A,C) — конденсатор в D, то (fA, fC)
також конденсатор в fD. Далi f\scrE = (fA, fC).
Нехай \scrE = (A,C) — конденсатор. Позначимо через \scrC 0(A) множину неперервних функцiй u :
A \rightarrow \BbbR 1 з компактним носiєм. \scrW 0(\scrE ) = \scrW 0(A,C) — сiм’я невiд’ємних функцiй u : A \rightarrow \BbbR 1
таких, що: 1) u \in \scrC 0(A), 2) u(x) \geq 1 для x \in C i 3) u належить класу \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{L}, i нехай
| \nabla u| =
\Biggl(
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr) 1
2
.
При p \geq 1 величину
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in \scrW 0(\scrE )
\int
A
| \nabla u| pdm(x)
називають p-ємнiстю конденсатора \scrE . Вiдомо, що при p > 1
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (\partial A, \partial C;A \setminus C)
\bigr)
(1)
(див. теорему 1 в [30]). При p > n виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1418 Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(A,C) \geq n\Omega
p
n
n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1 \Bigl[
m
p - n
n(p - 1) (A) - m
p - n
n(p - 1) (C)
\Bigr] 1 - p
, (2)
де \Omega n — об’єм одиничної кулi, а m — мiра Лебега в \BbbR n (див., наприклад, нерiвнiсть 8.7 у [31]).
2. Основнi результати. Наведемо основний результат цiєї статтi про поведiнку на нескiн-
ченностi кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв щодо p-модуля при p > n. Випадок p = n дослiджено
в роботi [27]. Нехай
L(x0, f, R) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x - x0| =R
| f(x) - f(x0)| .
Лема 1. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0 при
p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, r0 > 0 виконується умова\int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq cF (r0, R) \forall R > r0, (3)
де \psi (t) — невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя на (0,+\infty ) така, що
0 < I(r0, R) =
R\int
r0
\psi (t)dt <\infty \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
\biggl(
F (r0, R)
Ip(r0, R)
\biggr) 1
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
. (4)
Тут \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Розглянемо конденсатор \scrE = (A,C) в \BbbR n, де A = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| < R\} ,
C = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| \leq r0\} , 0 < r0 < R < \infty й \BbbA = \BbbA (x0, r0, R). Тодi f\scrE = (fA, fC) —
кiльцевий конденсатор в \BbbR n i згiдно з (1) справджується рiвнiсть
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pf\scrE = \mathrm{M}p(\Delta (\partial fA, \partial fC; f(A \setminus C))).
За означенням кiльцевого Q-гомеоморфiзму маємо оцiнку
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(fA, fC) \leq
\int
\BbbA
Q(x)\eta p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) (5)
для кожної вимiрної функцiї \eta : (r0, R) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
R\int
r0
\eta (t)dt = 1. (6)
Зазначимо, що функцiя
\eta (t) =
\left\{
\psi (t)
I(r0, R)
, t \in (r0, R),
0, t \not \in (r0, R),
задовольняє умову (6) i, отже, внаслiдок спiввiдношення (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ НА НЕСКIНЧЕННОСТI 1419
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(fA, fC) \leq I - p(r0, R)
\int
\BbbA
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x).
За умовою (3) iз останньої оцiнки маємо
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(fA, fC) \leq
c F (r0, R)
Ip(r0, R)
. (7)
З iншого боку, згiдно з (2)
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(fA, fC) \geq \nu n,p
\Bigl[
m
p - n
n(p - 1) (fA) - m
p - n
n(p - 1) (fC)
\Bigr] 1 - p
\geq \nu n,p[m(fA)] -
p - n
n , (8)
де \nu n,p = n\Omega
p
n
n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
.
Комбiнуючи нерiвностi (7) i (8), одержуємо
\nu n,p
\bigl[
m(fA)
\bigr] - p - n
n \leq cF (r0, R)
Ip(r0, R)
.
Звiдси випливає оцiнка
m
\bigl(
fB(x0, R)
\bigr)
\geq n
n
p - n\Omega
p
p - n
n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) n(p - 1)
p - n \bigl(
cF (r0, R)
\bigr) - n
p - n
\bigl(
I(r0, R)
\bigr) np
p - n . (9)
Згiдно з нерiвнiстю
m(fB(x0, R)) \leq \Omega nL
n(x0, f, R) ,
iз (9) випливає оцiнка
L(x0, f, R) \geq (n\Omega n)
1
p - n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n
(cF (r0, R))
- 1
p - n
\bigl(
I(r0, R)
\bigr) p
p - n .
Враховуючи рiвнiсть \omega n - 1 = n\Omega n (див., наприклад, [28], розд. I, §1, п. 1.1), останню оцiнку
можна записати виглядi
L(x0, f, R) \geq \omega
1
p - n
n - 1
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n \bigl(
cF (r0, R)
\bigr) - 1
p - n
\bigl(
I(r0, R)
\bigr) p
p - n .
Помноживши останню нерiвнiсть на величину
\biggl(
F (r0, R)
Ip(r0, R)
\biggr) 1
p - n
та перейшовши до нижньої
границi при R\rightarrow \infty , отримаємо оцiнку (4).
Лему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, r0 > 0 виконується умова\int
\BbbR n\setminus B(x0,r0)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq c , (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1420 Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК
де \psi (t) — невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя на (0,+\infty ) така, що
0 < I(r0, R) =
R\int
r0
\psi (t)dt <\infty \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
I
p
p - n (r0, R)
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
. (11)
Тут \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Справдi, для R > r0 > 0
\BbbA (x0, r0, R) \subset \BbbR n \setminus B(x0, r0).
Отже, за умовою (10) маємо оцiнку\int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq
\int
\BbbR n\setminus B(x0,r0)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq c.
Далi, поклавши в лемi 1 F (r0, R) = 1, отримаємо оцiнку (11).
Теорема 1. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, 0 \leq \kappa \leq p, r0 > 0
виконується умова \int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq cI\kappa (r0, R) \forall R > r0,
де \psi (t) — невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя на (0,+\infty ) така, що
0 < I(r0, R) =
R\int
r0
\psi (t)dt <\infty \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)I
\kappa - p
p - n (r0, R) \geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
.
Тут \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Справдi, вибираючи в лемi 1 F (r0, R) = I\kappa (r0, R), приходимо до висновку
теореми.
Поклавши в теоремi 1 \kappa = n, отримаємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, r0 > 0 виконується умова\int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq cIn(r0, R) \forall R > r0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ НА НЕСКIНЧЕННОСТI 1421
де \psi (t) — невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя на (0,+\infty ) така, що
0 < I(r0, R) =
R\int
r0
\psi (t)dt <\infty \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
I(r0, R)
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
,
де \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Наслiдок 3. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, 0 \leq \kappa \leq p виконується
умова \int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x) dm(x)
| x - x0| p
\leq c \mathrm{l}\mathrm{n}\kappa R \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
(\mathrm{l}\mathrm{n}R)
p - \kappa
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
,
де \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Справдi, вибираючи в теоремi 1 функцiю \psi (t) =
1
t
, отримуємо нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} R
r0
\Bigr) p - \kappa
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
.
Звiдси маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
(\mathrm{l}\mathrm{n}R)
p - \kappa
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
.
Наслiдок 4. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n, r0 > e. Якщо для деяких чисел c > 0, 0 \leq \kappa \leq p
виконується умова \int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)dm(x)
| x - x0| p \mathrm{l}\mathrm{n}p | x - x0|
\leq c(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}R)\kappa \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}R)
p - \kappa
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
,
де \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1422 Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК
Доведення. Вибираючи в лемi 1 функцiю \psi (t) =
1
t \mathrm{l}\mathrm{n} t
i F (r0, R) = \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}R, одержуємо
нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
\left[ (\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}R)\kappa \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mathrm{l}\mathrm{n}R
\mathrm{l}\mathrm{n} r0
\biggr) p
\right]
1
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
.
Звiдси отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}R)
p - \kappa
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
.
Теорема 2. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, 0 < \alpha < p, 0 \leq \lambda < p - \alpha
виконується умова \int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x) dm(x)
| x - x0| \alpha
\leq cR\lambda \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
R
p - \alpha - \lambda
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n
\biggl(
p
p - \alpha
\biggr) p
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
, (12)
де \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Застосовуючи лему 1 з функцiями \psi (t) =
1
t
\alpha
p
та F (r0, R) = R\lambda , згiдно з (4)
отримуємо нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
\biggl(
R\lambda
Ip(r0, R)
\biggr) 1
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
, (13)
де I(r0, R) =
\int R
r0
dt
t
\alpha
p
.
Далi знаходимо границю
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
\bigl(
I(r0, R)
\bigr) p
p - n
R
p - \alpha
p - n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
1
R
p - \alpha
p - n
\left( R\int
r0
dt
t
\alpha
p
\right)
p
p - n
=
\biggl(
p
p - \alpha
\biggr) p
p - n
(14)
i оскiльки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
R
p - \alpha - \lambda
p - n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
\biggl(
R\lambda
Ip(r0, R)
\biggr) 1
p - n
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
\bigl(
I(r0, R)
\bigr) p
p - n
R
p - \alpha
p - n
,
то, враховуючи оцiнки (13), (14), приходимо до нерiвностi (12).
Покладаючи \lambda = 0 в теоремi 2, одержуємо такий наслiдок.
Наслiдок 5. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Якщо для деяких чисел c > 0, 0 < \alpha < p виконується
умова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ НА НЕСКIНЧЕННОСТI 1423\int
\BbbR n\setminus B(x0,r0)
Q(x)dm(x)
| x - x0| \alpha
\leq c \forall R > r0,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
R
p - \alpha
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n
\biggl(
p
p - \alpha
\biggr) p
p - n\Bigl( \omega n - 1
c
\Bigr) 1
p - n
,
де \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
3. Екстремальний випадок. У цьому пунктi вивчаються точнi оцiнки та побудовано прик-
лад, на якому вони досягаються.
Теорема 3. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n. Тодi для всiх чисел r0 > 0 справджується оцiнка
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
\left( R\int
r0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right) - p - 1
p - n
\geq
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n
> 0, (15)
де qx0(t) =
1
\omega n - 1tn - 1
\int
S(x0,t)
Q(x)d\scrA — середнє iнтегральне значення по сферi S(x0, t) = \{ x \in
\in \BbbR n : | x - x0| = t\} , \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доведення. Справдi, покладаючи в теоремi 1 функцiю \psi (t) =
1
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
, за теоремою
Фубiнi маємо \int
\BbbA (x0,r0,R)
Q(x)\psi p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) = \omega n - 1I(r0, R),
де I(r0, R) =
\int R
r0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
, \omega n - 1 — площа одиничної сфери \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Тодi, використовуючи теорему 1 при c = \omega n - 1, \kappa = 1, приходимо до нерiвностi (15).
Наслiдок 6. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n, де x0 — деяка точка в \BbbR n, i для деяких чисел r0 > 0, K > 0 виконується умова
qx0(t) \leq K t\alpha (16)
для майже всiх t \in [r0,+\infty ). Якщо \alpha \in [0, p - n), то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
R
p - n - \alpha
p - n
\geq K
1
n - p
\biggl(
p - n
p - n - \alpha
\biggr) p - 1
p - n
> 0. (17)
Якщо ж \alpha = p - n, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
(\mathrm{l}\mathrm{n}R)
p - 1
p - n
\geq K
1
n - p
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1
p - n
> 0. (18)
Доведення. Використавши умову (16), оцiнимо лiву частину нерiвностi (15), а виконавши
елементарнi перетворення, отримаємо оцiнки (17) i (18).
Поклавши \alpha = 0 в наслiдку 6, одержимо ще один наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1424 Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК
Наслiдок 7. Нехай f : \BbbR n \rightarrow \BbbR n — кiльцевий Q-гомеоморфiзм щодо p-модуля в точцi x0
при p > n i для деяких чисел r0 > 0, K > 0 виконується умова
qx0(t) \leq K
для майже всiх t \in [r0,+\infty ). Тодi має мiсце оцiнка
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
L(x0, f, R)
R
\geq K
1
n - p > 0.
Приклад. Нехай f1 : \BbbR n \rightarrow \BbbR n, де
f1(x) =
\left\{ K
1
n - p
\biggl(
p - n
p - n - \alpha
\biggr) p - 1
p - n
| x|
p - n - \alpha
p - n
x
| x|
, x \not = 0,
0, x = 0.
Легко бачити, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}R\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}| x| =R | f1(x)|
R
p - n - \alpha
p - n
= K
1
n - p
\biggl(
p - n
p - n - \alpha
\biggr) p - 1
p - n
. Тепер покажемо, що
вiдображення f1 є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-модуля з функцiєю Q(x) = K| x| \alpha в
точцi x0 = 0. Очевидно, що qx0(t) = Kt\alpha . Розглянемо кiльце \BbbA (0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < \infty .
Зазначимо, що вiдображення f1 вiдображає кiльце \BbbA (0, r1, r2) на кiльце \widetilde \BbbA (0, \widetilde r1, \widetilde r2), де
\widetilde ri = K
1
n - p
\biggl(
p - n
p - n - \alpha
\biggr) p - 1
p - n
r
p - n - \alpha
p - n
i , i = 1, 2.
Позначимо через \Gamma множину всiх кривих, що з’єднують сфери S(0, r1) i S(0, r2) у кiльцi
\BbbA (0, r1, r2). Тодi p-модуль сiм’ї кривих f1\Gamma можна обчислити в явному виглядi
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) = \omega n - 1
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1\biggl( \widetilde r p - n
p - 1
2 - \widetilde r p - n
p - 1
1
\biggr) 1 - p
(див., наприклад, спiввiдношення (2) в [32]). Пiдставляючи у попередню рiвнiсть значення \widetilde r1 i\widetilde r2, означенi вище, одержуємо
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) = \omega n - 1K
\biggl(
p - n - \alpha
p - 1
\biggr) p - 1\biggl(
r
p - n - \alpha
p - 1
2 - r
p - n - \alpha
p - 1
1
\biggr) 1 - p
.
Зауважимо, що останню рiвнiсть можна записати у виглядi
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) =
\omega n - 1\left( \int r2
r1
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right) p - 1 ,
де qx0(t) = Kt\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ПОВЕДIНКУ ОДНОГО КЛАСУ ГОМЕОМОРФIЗМIВ НА НЕСКIНЧЕННОСТI 1425
Отже, згiдно з твердженням 1, гомеоморфiзм f1 є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-
модуля при p > n з функцiєю Q(x) = K| x| \alpha в точцi x0 = 0.
Лiтература
1. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., vol. 229, Springer-Verlag, Berlin
(1971).
2. V. I. Ryazanov, E. A. Sevost’yanov, Equicontinuous classes of ring Q-homeomorphisms, Sib. Math. J., 48, № 6,
1093 – 1105 (2007).
3. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Q-homeomorphisms, Complex Analysis and Dynamical Systems,
Contemp. Math., 364, 193 – 203 (2004).
4. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 30, № 1,
49 – 69 (2005).
5. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Math. Monogr., New
York (2009).
6. R. Salimov, ACL and differentiability of a generalization of quasiconformal maps, Izv. Math., 72, № 5, 977 – 984
(2008).
7. A. Golberg, Differential properties of (\alpha ,Q)-homeomorphisms, Further Progress in Analysis, Proc. 6th ISAAC
Congr. (2009), p. 218 – 228.
8. A. Golberg, Integrally quasiconformal mappings in space, Trans. Inst. Math. NAS Ukraine, 7, № 2, 53 – 64 (2010).
9. A. Golberg, R. Salimov, Logarithmic Hölder continuity of ring homeomorphisms with controlled p-module, Complex
Var. and Elliptic Equat., 59, № 1, 91 – 98 (2014).
10. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Distortion estimates under mappings with controlled p-module, Ann. Univ.
Bucharest, Math. Ser., 63, № 5, 95 – 114 (2014).
11. R. Salimov, On finitely Lipschitz space mappings, Sib. Elecron. Math. Rep., 8, 284 – 295 (2011).
12. R. Salimov, Estimation of the measure of the image of the ball, Sib. Math. J., 53, № 4, 920 – 930 (2012).
13. R. Salimov, To a theory of ring Q-homeomorphisms with respect to a p-modulus, Ukr. Math. Bull., 10, № 3, 379 – 396
(2013).
14. R. Salimov, Оne property of ring Q-homeomorphisms with respect to a p-module, Ukr. Math. J., 65, № 5, 728 – 733
(2013).
15. R. Salimov, B. Klishchuk, The extremal problem for the area of an image of a disc, Rep. NAS Ukraine, 10, 22 – 27
(2016).
16. B. Klishchuk, R. Salimov, Lower bounds for the area of the image of a circle, Ufa Math. J., 9, № 2, 55 – 61 (2017).
17. R. Salimov, B. Klishchuk, Extremal problem for the area of the image of a disk, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 456,
160 – 171 (2017).
18. R. Salimov, B. Klishchuk, An extremal problem for the volume functional, Mat. Stud., 50, № 1, 36 – 43 (2018).
19. B. Klishchuk, R. Salimov, Lower bounds for the volume of the image of a ball, Ukr. Math. J., 71, № 6, 774 – 785
(2019).
20. M. Cristea, Local homeomorphisms satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic Equat., 59,
№ 2, 232 – 246 (2014).
21. M. Cristea, Some properties of open discrete generalized ring mappings, Complex Var. and Eliptic Equat., 61, № 5,
623 – 643 (2016).
22. M. Cristea, Eliminability results for mappings satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic
Equat., 64, № 4, 676 – 684 (2019).
23. А. А. Маркиш, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса
отображений, Укр. мат. журн, 70, № 11, 1553 – 1562 (2018).
24. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Singularities of discrete open mappings with controlled p-module, J. Anal.
Math., 127, 303 – 328 (2015).
25. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Poletskii type inequality for mappings from the Orlicz – Sobolev classes,
Complex Anal. and Oper. Theory, 10, 881 – 901 (2016).
26. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Estimates for Jacobian and dilatation coefficients of open discrete mappings
with controlled p-module, Complex Anal. and Oper. Theory, 11, № 7, 1521 – 1542 (2017).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1426 Р. Р. САЛIМОВ, Б. А. КЛIЩУК
27. R. Salimov, E. Smolovaya, On the order of growth of ring Q-homeomorphisms at infinity, Ukr. Math. J., 62, № 6,
829 – 836 (2010).
28. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Новосибирск, Наука (1982).
29. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 448, 1 – 40
(1969).
30. V. A. Shlyk, The equality between p-capacity and p-modulus, Sib. Math. J., 34, № 6, 216 – 221 (1993).
31. V. Maz’ya, Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces, Contemp. Math.,
338, 307 – 340 (2003).
32. F. W. Gehring, Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space, Adv. Theory Riemann Surfaces (Proc.
Conf. Stonybrook, New York, 1969), Ann. Math. Stud., 66, 175 – 193 (1971).
Одержано 10.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-7158 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:47Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6a/dcc1f2a6caad7b119a60a13ca50ee16a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71582023-03-17T13:32:52Z On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity О поведении одного класса гомеоморфизмов на бесконечности Про поведінку одного класу гомеоморфізмів на нескінченності Salimov, R. R. Klishchuk, B. A. Салімов, Р. Р. Кліщук, Б. А. р-модуль сімї кривих р-ємність конденсатора кільцеві гомеоморфізми відносно р-модуля p-modulus of a family of curves p-capacity of a condenser ring homeomorphisms with respect to p-modulus UDC 517.5 We study the behavior of ring $Q$-homeomorphisms with&nbsp;respect to the $p$-modulus with $p&gt;n$&nbsp; at infinity. В работе исследуется асимптотическое поведение на бесконечности кольцевих Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля при p&gt;n. УДК 517.5 Досліджується поведінка на нескінченності кільцевих&nbsp;$Q$-гомеоморфізмів щодо $p$-модуля при $p&gt;n.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-27 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7158 10.37863/umzh.v74i10.7158 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 10 (2022); 1416 - 1426 Український математичний журнал; Том 74 № 10 (2022); 1416 - 1426 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7158/9317 Copyright (c) 2022 Богдан Кліщук, Руслан Салімов |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Klishchuk, B. A. Салімов, Р. Р. Кліщук, Б. А. On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title | On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title_alt | О поведении одного класса гомеоморфизмов на бесконечности Про поведінку одного класу гомеоморфізмів на нескінченності |
| title_full | On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title_fullStr | On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title_full_unstemmed | On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title_short | On the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| title_sort | on the behavior of one class of homeomorphisms at infinity |
| topic_facet | р-модуль сімї кривих р-ємність конденсатора кільцеві гомеоморфізми відносно р-модуля p-modulus of a family of curves p-capacity of a condenser ring homeomorphisms with respect to p-modulus |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7158 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr onthebehaviorofoneclassofhomeomorphismsatinfinity AT klishchukba onthebehaviorofoneclassofhomeomorphismsatinfinity AT salímovrr onthebehaviorofoneclassofhomeomorphismsatinfinity AT klíŝukba onthebehaviorofoneclassofhomeomorphismsatinfinity AT salimovrr opovedeniiodnogoklassagomeomorfizmovnabeskonečnosti AT klishchukba opovedeniiodnogoklassagomeomorfizmovnabeskonečnosti AT salímovrr opovedeniiodnogoklassagomeomorfizmovnabeskonečnosti AT klíŝukba opovedeniiodnogoklassagomeomorfizmovnabeskonečnosti AT salimovrr propovedínkuodnogoklasugomeomorfízmívnaneskínčenností AT klishchukba propovedínkuodnogoklasugomeomorfízmívnaneskínčenností AT salímovrr propovedínkuodnogoklasugomeomorfízmívnaneskínčenností AT klíŝukba propovedínkuodnogoklasugomeomorfízmívnaneskínčenností |