Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers
UDC 511.7+517.5 Let $x=\Delta^{\overline{E}}_{g_1(x)\ldots g_n(x)\ldots}$ be the difference Engel-series representation of a real number $x\in\left(0;1\right]$ (${\overline{E}}$-representation), where $\Delta^{\overline{E}}_{g_1\ldots g_n\ldots}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7159 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512628570324992 |
|---|---|
| author | Moroz , M. P. Мороз, М. П. |
| author_facet | Moroz , M. P. Мороз, М. П. |
| author_sort | Moroz , M. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-25T09:23:04Z |
| description | UDC 511.7+517.5
Let $x=\Delta^{\overline{E}}_{g_1(x)\ldots g_n(x)\ldots}$ be the difference Engel-series representation of a real number $x\in\left(0;1\right]$ (${\overline{E}}$-representation), where $\Delta^{\overline{E}}_{g_1\ldots g_n\ldots}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$ $\omega^n(x)=\Delta^{\overline{E}}_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}$ is an $n$-fold  operator of left shift  of digits in the $\overline{E}$-representation of the number $x$.  For a sequence of sets $E_n(a)=\left\{x\colon x\in\left(0;1\right),\omega^n(x)<a\right\}$, where $a$ is a fixed parameter with $\left(0;1\right]$, it is proved that $\lim_{n\to\infty} \lambda\left(E_n(a)\right)=1$, where $\lambda(\cdot)$ is a Lebesgue measure. This problem is similar to the classical Gauss–Kuzmin problem for elementary continued  fractions. However, their solutions  are noticeably different. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7159 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7159
УДК 511.7+517.5
М. П. Мороз (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗАДАЧА ГАУССА – КУЗЬМIНА ДЛЯ РIЗНИЦЕВОГО ЗОБРАЖЕННЯ
ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ РЯДАМИ ЕНГЕЛЯ
Let x = \Delta E
g1(x)...gn(x)... be the difference Engel-series representation of a real number x \in (0; 1] (E -representation),
where \Delta E
g1...gn... =
\sum \infty
n=1
1
(2 + g1) . . . (2 + g1 + . . .+ gn)
, \omega n(x) = \Delta E
gn+1(x)gn+2(x)...
is an n-fold operator of left
shift of digits in the E -representation of the number x. For a sequence of sets En(a) = \{ x : x \in (0; 1) , \omega n(x) < a\} ,
where a is a fixed parameter with (0; 1], it is proved that \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (En(a)) = 1, where \lambda (\cdot ) is a Lebesgue measure. This
problem is similar to the classical Gauss – Kuzmin problem for elementary continued fractions. However, their solutions
are noticeably different.
Нехай x = \Delta E
g1(x)...gn(x)... — рiзницеве зображення числа x \in (0; 1] рядом Енгеля (E -зображення), де \Delta E
g1...gn... =
=
\sum \infty
n=1
1
(2 + g1) . . . (2 + g1 + . . .+ gn)
, \omega n(x) = \Delta E
gn+1(x)gn+2(x)...
— n-кратний оператор лiвостороннього зсу-
ву цифр E -зображення числа x. Для послiдовностi множин En(a) = \{ x : x \in (0; 1), \omega n(x) < a\} , де a — фiксований
параметр з (0; 1] , доведено, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (En(a)) = 1, де \lambda (\cdot ) — мiра Лебега. Дана задача є аналогом класичної
задачi Гаусса – Кузьмiна для елементарних ланцюгових дробiв, проте їхнi розв’язки суттєво вiдрiзняються.
1. Вступ. Нехай x = [0; a1, a2, . . .] — зображення дiйсного числа x \in (0; 1) у виглядi елемен-
тарного ланцюгового дробу, \tau n(x) = [0; an+1, an+2, . . .] , множина
Wn(a) = \{ x : x \in (0; 1), \tau n(x) < a\} .
Класична задача Гаусса – Кузьмiна полягає в знаходженнi границi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (Wn(a)), де \lambda —
мiра Лебега.
Дану задачу вперше сформулював Гаусс в одному з листiв до Лапласа [5, c. 90]. В ньому ж
Гаусс стверджував (без доведення), що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (Wn(a)) =
\mathrm{l}\mathrm{g}(1 + a)
\mathrm{l}\mathrm{g}(2)
.
У 1928 роцi Р. О. Кузьмiн [3] навiв повне доведення цього твердження. У 1929 роцi, незалежно
вiд Р. О. Кузьмiна, цю задачу розв’язав П. Левi [6].
Аналогiчна задача для \~Q\infty -зображення чисел була розв’язана М. В. Працьовитим у роботi
„Фрактальний пiдхiд у дослiдженнi сингулярних розподiлiв” (Київ, 1998).
У данiй статтi ми розв’язуємо аналогiчну задачу для рiзницевого зображення дiйсних чисел
рядами Енгеля.
c\bigcirc М. П. МОРОЗ, 2022
1004 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЗАДАЧА ГАУССА – КУЗЬМIНА ДЛЯ РIЗНИЦЕВОГО ЗОБРАЖЕННЯ . . . 1005
2. Зображення чисел рядами Енгеля та їх рiзницеве зображення.
Означення 1. Рядом Енгеля називається ряд
\infty \sum
n=1
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
=
1
p1 + 1
+
1
(p1 + 1)(p2 + 1)
+ . . . , (1)
де pn \in \BbbN , pn+1 \geq pn \forall n \in \BbbN .
Теорема 1 ([4], лема 1). Сума кожного ряду Енгеля (1) є дiйсним числом з (0; 1]. Для будь-
якого числа x з (0; 1] iснує єдина неспадна послiдовнiсть натуральних чисел (pn(x)) така, що
x =
\infty \sum
n=1
1
(p1(x) + 1) . . . (pn(x) + 1)
\equiv \Delta E
p1(x)...pn(x)...
. (2)
Скорочений (символiчний) запис \Delta E
p1(x)...pn(x)...
ряду (2) i його суми x називається їх
E -зображенням, при цьому натуральне число pn(x) називається n-ю цифрою цього зобра-
ження.
Теорема 2 [1]. Для кожного iррацiонального числа x з iнтервалу (0; 1) має мiсце рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty pn(x) = +\infty .
Означення 2. \Delta E -цилiндром \Delta E
c1c2...cm рангу m з основою (c1c2 . . . cm) називається мно-
жина всiх чисел вигляду \Delta E
c1c2...cm\alpha m+1\alpha m+2....
Вiдомо [4, c. 110] (властивiсть 7), що рiзнi \Delta E -цилiндри або не перетинаються, або один iз
них є власною пiдмножиною iншого. При цьому \Delta E
a1a2...am \subset \Delta E
b1b2...bn
тодi й лише тодi, коли
n < m i ai = bi, i = 1, . . . , n. Кожен цилiндр \Delta E
c1c2...cm є пiввiдрiзком, довжина (мiра Лебега)
якого обчислюється за формулою
\lambda
\bigl(
\Delta E
c1c2...cm
\bigr)
=
1
(c1 + 1) . . . (cm + 1)cm
.
Ряд Енгеля (1) можна записати таким чином:
1
2 + g1
+
1
(2 + g1)(2 + g1 + g2)
+
1
(2 + g1)(2 + g1 + g2)(2 + g1 + g2 + g3)
+ . . . , (3)
де g1 = p1 - 1, gn+1 = pn+1 - pn для кожного n \in \BbbN . Вираз (3) називається рiзницевим зобра-
женням ряду Енгеля. Тут (gn) може бути довiльною послiдовнiстю цiлих невiд’ємних чисел.
Скорочений запис \Delta E
g1...gn... ряду (3) i його суми називається їх рiзницевим E -зображенням.
Теорема 3 ([2], лема 1). Нерiвнiсть x < y має мiсце тодi й лише тодi, коли iснує число
m \in \BbbN таке, що gm(x) > gm(y) i gj(x) = gj(y) для будь-якого j \in \{ 1, . . . ,m - 1\} . В свою
чергу числа x та y є рiвними тодi й лише тодi, коли gi(x) = gi(y) для будь-якого i \in \BbbN .
3. Аналог задачi Гаусса – Кузьмiна для рiзницевого зображення дiйсних чисел рядами
Енгеля. Нехай x = \Delta E
g1(x)g2(x)...
. Функцiя \omega , означена рiвнiстю
\omega (x) = \omega
\Bigl(
\Delta E
g1(x)g2(x)...
\Bigr)
= \Delta E
g2(x)g3(x)...
,
називається оператором лiвостороннього зсуву цифр E -зображення чисел.
З означення функцiї \omega та властивостей E -зображення випливає, що функцiя \omega є:
сюр’єктивною;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
1006 М. П. МОРОЗ
зростаючою на кожному \Delta E -цилiндрi;
неперервною в усiх внутрiшнiх точках кожного \Delta E -цилiндра.
Оператор n-кратного лiвостороннього зсуву \omega n означується рiвнiстю \omega n(x) \equiv \omega
\bigl(
\omega n - 1(x)
\bigr)
,
де \omega 1(x) = \omega (x).
Множину En(a) означимо рiвнiстю
En(a) =
\bigl\{
x : x \in (0; 1], \omega n(x) < a
\bigr\}
.
Задача Гаусса – Кузьмiна для рiзницевого зображення дiйсних чисел рядами Енгеля полягає у
знаходженнi границi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (En(a)), де \lambda (\cdot ) — мiра Лебега.
Нехай
Mk
n =
\bigcup
pn - 1\leq k
pn>k
\Delta E
p1...pn
— множина всiх тих чисел, у яких першi n - 1 цифра не перевищують k, а n-на цифра бiльша
за k. Тодi для кожного x \in (0; 1)\setminus \BbbQ i кожного k \in \BbbN iснує єдине n = n(x) \in \BbbN таке, що
x \in Mk
n (наслiдок з теореми 2).
Очевидно, що для кожного k має мiсце рiвнiсть
\sum \infty
n=1
\lambda
\bigl(
Mk
n
\bigr)
= 1. Тодi справджуються
рiвностi, якi випливають iз збiжностi цього ряду:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda
\bigl(
Mk
n
\bigr)
= 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\infty \sum
n=r+1
\lambda
\bigl(
Mk
n
\bigr)
= 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
r\sum
n=1
\lambda
\bigl(
Mk
n
\bigr)
= 1.
Лема 1. Для кожного t \in \BbbN має мiсце рiвнiсть
\infty \sum
i=t
\lambda
\Bigl(
\Delta E
p1...pn[pn+i]
\Bigr)
=
pn
pn + t
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pn
\bigr)
.
Доведення. Використовуючи формулу для мiри Лебега цилiндра, отримуємо
\infty \sum
i=t
\lambda
\Bigl(
\Delta E
p1...pn[pn+i]
\Bigr)
=
\infty \sum
i=t
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)(pn + i+ 1)(pn + i)
=
=
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
\infty \sum
i=t
1
(pn + i+ 1)(pn + i)
=
=
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
1
pn + t
=
=
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)pn
pn
pn + t
=
pn
pn + t
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pn
\bigr)
.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ЗАДАЧА ГАУССА – КУЗЬМIНА ДЛЯ РIЗНИЦЕВОГО ЗОБРАЖЕННЯ . . . 1007
Теорема 4. Для довiльних \varepsilon \in (0; 1) i t \in \BbbN iснує H = H(\varepsilon , t) \in \BbbN таке, що для всiх
натуральних r > H
\lambda
\bigl( \bigl\{
x : gr+1(x) \geq t
\bigr\} \bigr)
> 1 - \varepsilon .
Доведення. Нехай \varepsilon \in (0; 1) — довiльна фiксована як завгодно близька до нуля стала, t —
довiльне фiксоване натуральне число.
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}pn\rightarrow \infty
pn
pn + t
= 1, причому послiдовнiсть
pn
pn + t
зростаюча, то iснує натураль-
не число N = N(\varepsilon , t) таке, що для всiх pn > N виконується нерiвнiсть
pn
pn + t
>
N
N + t
>
\surd
1 - \varepsilon .
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty
\sum r
n=1
\lambda
\bigl(
Mk
n
\bigr)
= 1, то iснує натуральне число H = H(\varepsilon , t,N) таке, що
для всiх r > H виконується нерiвнiсть
\sum r
n=1
\lambda (MN
n ) >
\surd
1 - \varepsilon .
Розiб’ємо множину
r\bigcup
n=1
MN
n = \{ x : pr(x) > N\} на цилiндри (r + 1)-го рангу та оцiнимо
сумарну мiру Лебега \lambda t = \lambda (\varepsilon , t,N, r) тих цилiндрiв, для яких pr+1 \geq pr + t (тобто gr+1 \geq t):
\lambda t =
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pr
pr>N
\Biggl( \infty \sum
i=t
\lambda
\Bigl(
\Delta E
p1...pr[pr+i]
\Bigr) \Biggr)
=
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pr
pr>N
\biggl(
pr
pr + t
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pr
\bigr) \biggr)
>
>
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pr
pr>N
\biggl(
N
N + t
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pr
\bigr) \biggr)
=
N
N + t
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pr
pr>N
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pr
\bigr)
=
=
N
N + t
\lambda
\Biggl(
r\bigcup
n=1
MN
n
\Biggr)
=
N
N + t
r\sum
n=1
\lambda
\bigl(
MN
n
\bigr)
>
\surd
1 - \varepsilon
\surd
1 - \varepsilon = 1 - \varepsilon .
Далi, очевидно, що \lambda
\bigl( \bigl\{
x : gr+1(x) \geq t
\bigr\} \bigr)
\geq \lambda t > 1 - \varepsilon .
Теорему 4 доведено.
Теорема 5 (основний результат). Для кожного a \in (0; 1] має мiсце рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (En(a)) = 1.
Доведення. Достатньою умовою для того, щоб x1 < x2, є нерiвнiсть g1(x1) > g1(x2). Тому
(0; 1] \supset En(a) \supset
\bigl\{
x : gn+1(x) > g1(a)
\bigr\}
. Звiдси
1 = \lambda (0; 1] \geq \lambda (En(a)) \geq \lambda
\bigl( \bigl\{
x : gn+1(x) > g1(a)
\bigr\} \bigr)
.
З теореми 4 при t = g1(a) отримуємо, що для довiльних \varepsilon \in (0; 1) i a \in (0; 1] iснує таке
H = H(\varepsilon , a) \in \BbbN , що
\lambda
\bigl( \bigl\{
x : gr+1(x) \geq g1(a)
\bigr\} \bigr)
> 1 - \varepsilon
для всiх r > H. Тодi для кожного r > H виконується нерiвнiсть
1 \geq \lambda (Er(a)) \geq \lambda
\bigl( \bigl\{
x : gr+1(x) > g1(a)
\bigr\} \bigr)
> 1 - \varepsilon .
З останньої нерiвностi випливає, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (En(a)) = 1.
Теорему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
1008 М. П. МОРОЗ
Лiтература
1. Б. I. Гетьман, Зображення чисел s-адичними рядами Енгеля, Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгома-
нова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки, № 9, 212 – 224 (2008).
2. Б. I. Гетьман, Метричнi властивостi множини чисел, визначених умовами на їх розклади в ряд Енгеля, Наук.
часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки, № 10, 88 – 99 (2009).
3. Р. О. Кузьмин, Об одной задаче Гаусса, Докл. АН СССР, 375 – 380 (1928).
4. М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман, Ряди Енгеля та їх застосування, Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки, № 7, 105 – 116 (2006).
5. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, Наука, Москва (1978).
6. P. Levy, Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d’une fraction continue, Bull.
Soc. Math. France, 57, 178 – 194 (1929).
Одержано 10.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7159 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/584c988c7ee03a21ce772337954ba664.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71592022-10-25T09:23:04Z Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля Moroz , M. P. Мороз, М. П. Задача Гауса--Кузьміна, ряд Енгеля, оператор зсуву цифр (shift operator), різницеве зображення чисел рядами Енгеля (${\overline{E}}$-зображення), метричні задачі теорії ${\overline{E}}$-зображення чисел UDC 511.7+517.5 Let $x=\Delta^{\overline{E}}_{g_1(x)\ldots g_n(x)\ldots}$ be the difference Engel-series representation of a real number $x\in\left(0;1\right]$ (${\overline{E}}$-representation), where $\Delta^{\overline{E}}_{g_1\ldots g_n\ldots}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$&nbsp;$\omega^n(x)=\Delta^{\overline{E}}_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}$ is an $n$-fold&nbsp; operator of left shift&nbsp; of digits in the $\overline{E}$-representation of the number $x$.&nbsp;&nbsp;For a sequence of sets $E_n(a)=\left\{x\colon x\in\left(0;1\right),\omega^n(x)&lt;a\right\}$, where $a$ is a fixed parameter with $\left(0;1\right]$, it is proved that $\lim_{n\to\infty} \lambda\left(E_n(a)\right)=1$, where $\lambda(\cdot)$ is a Lebesgue measure. This problem is similar to the classical Gauss–Kuzmin problem for elementary continued&nbsp; fractions.&nbsp;However, their solutions&nbsp; are noticeably different. УДК 511.7+517.5 Нехай $x=\Delta_{g_{1}(x)\ldots g_{n}(x)\ldots}^{\bar E}$~--- різницеве зображення числа $x\in(0;1]$ рядом Енгеля (${\bar E}$-зображення), де $\Delta_{g_1\ldots g_n\ldots}^{\bar E}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$ $\omega^n(x)=\Delta_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}^{\bar E}$ — $n$-кратний оператор лівостороннього зсуву цифр $\bar E $-зображення числа $x.$&nbsp;&nbsp;Для послідовності множин $E_n(a)=\left\{x\colon x\in(0;1),\omega^n(x)&lt;a\right\},$ де $a$ — фіксований параметр з $\left(0;1\right],$ доведено, що $\lim_{n\to\infty}\lambda(E_n(a))=1,$ де&nbsp;$\lambda(\cdot)$ — міра Лебега. Дана задача є аналогом класичної задачі Гаусса–Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів, проте їхні розв'язки суттєво відрізняються.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7159 10.37863/umzh.v74i7.7159 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 1004 - 1008 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 1004 - 1008 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7159/9282 Copyright (c) 2022 Микола Мороз |
| spellingShingle | Moroz , M. P. Мороз, М. П. Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title | Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title_alt | Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля |
| title_full | Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title_fullStr | Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title_full_unstemmed | Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title_short | Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel-series representation of real numbers |
| title_sort | gauss–kuzmin problem for the difference engel-series representation of real numbers |
| topic_facet | Задача Гауса--Кузьміна ряд Енгеля оператор зсуву цифр (shift operator) різницеве зображення чисел рядами Енгеля (${\overline{E}}$-зображення) метричні задачі теорії ${\overline{E}}$-зображення чисел |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7159 |
| work_keys_str_mv | AT morozmp gausskuzminproblemforthedifferenceengelseriesrepresentationofrealnumbers AT morozmp gausskuzminproblemforthedifferenceengelseriesrepresentationofrealnumbers AT morozmp zadačagaussakuzʹmínadlâríznicevogozobražennâdíjsnihčiselrâdamiengelâ AT morozmp zadačagaussakuzʹmínadlâríznicevogozobražennâdíjsnihčiselrâdamiengelâ |