Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass
UDC 517.9 Scale invariant Schrödinger equations with position dependent mass admitting second order integrals of motion are classified. 
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7162 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512628986609664 |
|---|---|
| author | Nikitin, A. G. Нікітін, А. Г. |
| author_facet | Nikitin, A. G. Нікітін, А. Г. |
| author_sort | Nikitin, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9
Scale invariant Schrödinger equations with position dependent mass admitting second order integrals of motion are classified.  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.7162 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.7162
УДК 517.9
А. Г. Нiкiтiн (Iн-т математики НАН України, Київ)
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI
КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ ЗI ЗМIННОЮ МАСОЮ
Scale invariant Schrödinger equations with position dependent mass admitting second order integrals of motion are classified.
Проведено класифiкацiю рiвнянь Шредiнгера зi змiнною масою, якi допускають масштабнi перетворення та опера-
тори симетрiї другого порядку.
1. Вступ. Добре вiдомо, що фундаментальнi рiвняння математичної фiзики як правило допу-
скають досить широкi групи симетрiй. В першу чергу це симетрiї вiдносно неперервних груп
перетворень залежних та незалежних змiнних (лiївськi симетрiї). Але iснує досить широкий
клас узагальнених симетрiй (суперсиметрiї, вищи симетрiї, прихованi симетрiї та iншi), наяв-
нiсть яких також є типовим для фундаментальних рiвнянь математичної фiзики. Аналiз таких
симетрiй для рiвнянь квантової механiки можна знайти у монографiї [1].
Важливий клас рiвнянь квантової механiки складають суперiнтегровнi рiвняння Шредiн-
гера, тобто рiвняння, що допускають бiльше iнтегралiв руху, нiж кiлькiсть ступенiв свободи
описуваної ним системи. Як правило, вони допускають також широку лiївську симетрiю i
суперсиметрiю. Вiдомим прикладом такого рiвняння є рiвняння для атому водню.
Дослiдження лiївських симетрiй є зараз досить популярною гiлкою математики яка породи-
ла дуже велику кiлькiсть публiкацiй. Але, як це не дивно, коректна групова класифiкацiя рiвнянь
Шредiнгера для частинки, що взаємодiє iз зовнiшнiм електромагнiтним полем, з’явилася тiль-
ки зараз [2 – 5], хоча дослiдження вiдповiдних груп симетрiї таких рiвнянь розпочалися дуже
давно, дивись роботи [6 – 8].
Систематичне дослiдження суперiнтегровних систем квантової механiки розпочалося у ро-
ботах Якова Смородинського i його учнiв [9, 10], якi повнiстю описали усi нееквiвалентнi
рiвняння Шредiнгера з двома просторовими змiнними, якi допускають оператори симетрiї пер-
шого та другого порядкiв. Сучасним трендом є аналiз операторiв симетрiї третього i навiть
довiльного порядкiв [11], дивись також [12], де запропоновано визначальнi рiвняння для таких
операторiв.
Дана робота присвячена класифiкацiї суперiнтегровних рiвнянь Шредiнгера зi змiнною
масою. Такi рiвняння мають дуже широке коло застосувань у сучаснiй теоретичний фiзицi,
зокрема, у моделях напiвпровiдникiв [13], квантових рiдин [14], квантових дротiв i квантових
точок [15], i у багатьох iнших моделях.
У випадку двох просторових змiнних вищи симетрiї рiвнянь Шредiнгера зi змiнною масою
добре вивченi (див., наприклад, [16] та посилання, наведенi у цiй роботi). Але iснує тiльки
кiлька частинних результатiв щодо класифiкацiї таких рiвнянь з трьома незалежними змiнними
[17 – 20]. Далi наведено класифiкацiю спецiального класу згаданих рiвнянь, а саме, рiвнянь, що
допускають масштабнi перетворення.
Про групову класифiкацiю стацiонарних i залежних вiд часу рiвнянь Шредiнгера зi змiнною
масою та спорiднених систем рiвнянь реакцiї-дифузiї дивись роботи [21, 22], та [23] вiдповiдно,
c\bigcirc А. Г. НIКIТIН, 2022
360 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 361
згiдно з якими такi рiвняння не можуть бути iнварiантними вiдносно групи Галiлея на вiдмiну
вiд стандартного рiвняння Шредiнгера та його узагальнень на випадок довiльного спiну [24].
Класифiкацiя вищих симетрiй тривимiрних рiвнянь Шредiнгера зi змiнною масою є дуже
складною задачею, яку поки що вдається розв’язати тiльки для певних класiв таких рiвнянь.
Важливий i досить широкий клас складають рiвняння, якi допускають хоча би однопарамет-
ричну групу симетрiї. Нееквiвалентнi рiвняння з цього класу, що допускають iнтеграли руху
першого порядку зафiксовано у роботi [21].
У данiй роботi пропонується класифiкацiя згаданих рiвнянь, якi є iнварiантними вiдно-
сно масштабних перетворень. Показано, що iснує досить багато цiкавих рiвнянь такого типу.
Отриманi результати є важливою складовою частиною бiльш загальної задачi класифiкацiї
суперiнтегровних рiвнянь, якi допускають хоча б мiнiмальну лiївську симетрiю.
2. Рiвняння Шредiнгера зi змiнною масою. Об’єктом нашого дослiдження будуть стацiо-
нарнi суперiнтегровнi рiвняння Шредiнгера зi змiнним параметром маси наступного загального
вигляду:
\^H\psi = E\psi , (1)
де
\^H = paf(\bfx )pa + V (\bfx ). (2)
У рiвняннi (1) \bfx = (x1, x2, x3), pa = - i\partial a, а V (\bfx ) та f(\bfx ) =
1
2m(\bfx )
— невiдомi функцiї вiд \bfx ,
якi асоцiюються з потенцiалом та оберненою масою вiдповiдно. По iндексам, що повторюються
(у нашому випадку це iндекс a) розумiється сумування по значенням 1, 2, 3.
У роботi [21] знайдено усi рiвняння вигляду (1), що допускають хоча би один iнтеграл руху
першого порядку, тобто для яких можна вказати диференцiальний оператор першого порядку,
що комутує з гамiльтонiаном (2). У роботi [20] проведено повну класифiкацiю спецiального
класу таких рiвнянь, а саме, рiвнянь, iнварiантних вiдносно групи обертань.
У данiй роботi проводиться класифiкацiя рiвнянь вигляду (1), iнварiантних вiдносно пере-
творень дилатацiї. Вiдповiднi довiльнi елементи V та f набувають наступного вигляду [21]:
f = r2F (\varphi , \theta ), V = V (\varphi ), (3)
де F (.) та V (.) — довiльнi функцiї, \varphi i \theta — кути Ейлера.
Гамiльтонiани (2) зi спецiальними довiльними елементами (3) комутують з генератором
перетворень дилатацiї (масштабних перетворень), що має наступний вигляд:
D = xapa -
3\mathrm{i}
2
.
Наша задача полягає знайти такi з них, що додатково комутують хоча б з одним диференцiаль-
ним оператором другого порядку.
3. Група еквiвалентностi. Замiни залежних та незалежних змiнних називаються перетво-
реннями еквiвалентностi, якщо вони зберiгають загальну форму рiвняння (у нашому випадку
рiвняння (1)), але, можливо, змiнюють довiльнi елементи (у нашому випадку функцiї f s V ).
Сукупнiсть перетворень еквiвалентностi має структуру групоїду [25], який може включати
групи еквiвалентностi i деякi дискретнi елементи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
362 А. Г. НIКIТIН
У роботi [21] показано, що максимальною неперервною групою еквiвалентностi рiвнян-
ня (1) є група C(3), тобто група конформних перетворень тривимiрного евклiдова простору.
Генератори цiєї групи мають наступний вигляд:
P a = pa = - i \partial
\partial xa
, La = \varepsilon abcxbpc,
D = xnp
n - 3\mathrm{i}
2
, Ka = r2pa - 2xaD,
(4)
де r2 = x21+x
2
2+x
2
3, pa = - i \partial
\partial xa
. Вiдповiднi груповi перетворення (явний вигляд яких можна
знайти у [21]) зберiгають загальну форму рiвнянь (1), (2) з точнiстю до явних виразiв для f i
V. Важливим частинним випадком цих перетворень є iнверсiя:
xa \rightarrow \~xa =
xa
x2
, \psi (\bfx ) \rightarrow \~x3\psi (\~\bfx ) (5)
пiд дiєю якої генератори (4) перетворюються наступним чином:
Pa \rightarrow Ka, Ka \rightarrow Pa, La \rightarrow La, D \rightarrow D. (6)
Але для класу рiвнянь, що розглядається у данiй роботi, група еквiвалентностi редукується
до прямого добутку групи обертань (генераторами якої є компоненти кутового моменту La)
та дилатацiї, оскiльки з усiх генераторiв (4) тiльки La комутують з генератором дилатацiї D.
Зберiгається також дискретне перетворення еквiвалентностi (5).
Далi перетворення з групи обертань та перетворення iнверсiї (5) будуть систематично вико-
ристовуватися як для спрощення розрахункiв, так i для селекцiї саме нееквiвалентних рiвнянь
та їх симетрiй.
4. Визначальнi рiвняння. Шуканi iнтеграли руху можна представити у наступнiй формi:
Q = \mu ab\partial a\partial b + \xi a\partial a + \eta (7)
де \mu ab = \mu ba, \xi a та \eta — невiдомi функцiї вiд \bfx .
По визначенню, оператори Q повиннi комутувати з \^H :
[ \^H,Q] \equiv \^HQ - Q \^H = 0. (8)
Умова (8) є операторним рiвнянням, яке повинно виконуватись при дiї операторiв у правiй та
лiвiй частинах на довiльну двiчi iнтегровну функцiю. Обраховуючи комутатор i прирiвнявши
коєфiцiєнти при однакових диференцiальних операторах
\partial
\partial xa
,
\partial 2
\partial xaxb
та
\partial 3
\partial xaxbxc
, приходимо
до наступної системи визначальних рiвнянь:
5
\bigl(
\mu abc + \mu acb + \mu bca
\bigr)
= \delta ab
\bigl(
\mu nnc + 2\mu cnn
\bigr)
+ \delta bc
\bigl(
\mu nna + 2\mu ann
\bigr)
+ \delta ac
\bigl(
\mu nnb + 2\mu bnn
\bigr)
, (9)\bigl(
\mu nna + 2\mu nan
\bigr)
f - 5\mu anfn = 0, (10)
2f\eta a + \xi anfn - \xi nfan + f\xi ann + 2\mu anVn + \mu mnfmna = 0, (11)\bigl(
\mu abnn + \xi ab + \xi ba
\bigr)
f + \mu abn fn - \mu nafnb - \mu nbfna - \delta ab
\bigl(
\mu mnfmn + \xi nfn
\bigr)
= 0, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 363
f
\bigl(
\mu mm
nn + 2\xi nn
\bigr)
+
\bigl(
\mu nnm - 3\xi m
\bigr)
fm - 5\mu mnfmn = 0, (13)
(f\eta n)n + \xi nVn + \mu mnVmn = 0 (14)
де fn =
\partial f
\partial xn
, \xi an =
\partial \xi a
\partial xn
, i так далi.
Щоб знайти усi гамiльтонiани (2), що допускають iнтеграли руху (7), необхiдно знайти усi
нееквiвалентнi розв’язки дуже складної системи рiвнянь (9) – (14) для дванадцяти невiдомих
функцiй \mu ab, \xi a, \eta , f та V. На щастя, рiвняння (12), (13) and (14) можна опустити, оскiльки
вони є диференцiальними наслiдками iнших рiвнянь, а змiннi \xi a можна виключити. Дiйсно,
диференцiюючи (10) по xa i проводячи сумування по iндексу a, отримуємо рiвняння (13), а та
ж сама операцiя з (11) дає рiвняння (14). З iншого боку, рiвняння (13) можна отримати з (9) та
(10), якщо виконуються наступнi умови:
\^\xi ba +
\^\xi ab =
2
3
\delta ab\^\xi
n
n ,
3\^\xi nfn = 2f \^\xi nn
, (15)
де \^\xi a = \xi a - \mu ann .
Рiвняння (15) спiвпадають з визначальними рiвняннями для операторiв симетрiї першого
порядку, знайденими у роботi [21]. Оскiльки такi оператори вiдомi [21], ми можемо вважати
функцiї \^\xi a тривiальними, тобто покласти \xi a = \mu ann , що зводить рiвняння (11) до наступного
вигляду:
f\eta a + \mu abVb = 0, (16)
а iнтеграл руху (7) зводиться до наступної форми:
Q = \partial b\mu
ab\partial a + \eta . (17)
Вiдповiднi коефiцiєнтнi функцiї \mu ab повиннi задовольняти автономну систему рiвнянь (9),
якi визначають конформний тензор Кiллiнга. Такий тензор є лiнiйною комбiнацiєю наступних
тензорiв (дивись, наприклад, [26]):
\mu ab1 = \lambda ab0 + \delta ab
\lambda cd1 x
cxd
xa
\varphi 1(x),
\mu ab2 = \lambda a2x
b + \lambda b2x
a + \delta ab\lambda c3x
c\varphi 2(x),
\mu ab3 = (\varepsilon acd\lambda cb3 + \varepsilon bcd\lambda ca3 )xd,
\mu ab4 = (xa\varepsilon bcd + xb\varepsilon acd)xc\lambda d4,
\mu ab5 = \delta ab\varphi 5(x) + k(xaxb - \delta abx2),
\mu ab6 = \lambda ab6 x
2 - (x2\lambda bc + xb\lambda ac)xc + \delta ab\lambda cd7 x
cxd\varphi 6(x),
(18)
\mu ab7 = (xa\lambda b7 + xb\lambda a)x2 - 4xaxb\lambda c7x
c + \delta ab\lambda c8x
c\varphi 7(x),
\mu ab8 = 2(xa\varepsilon bcd + xb\varepsilon acd)\lambda dn8 xcxn - (\varepsilon ack\lambda bk8 + \varepsilon bck\lambda ak8 )xcx2,
\mu ab9 = \lambda ab9 x
4 - 2(xa\lambda bc9 + xb\lambda ac9 )xcx2 + (4xaxb + k\delta abx2)\lambda cd9 x
cxd + \delta ab\lambda cd10x
cxd\varphi 9(x),
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
364 А. Г. НIКIТIН
де \lambda abn = \lambda ban та \lambda an — довiльнi параметри, а \varphi 1, . . . , \varphi 9 — довiльнi функцiї вiд r = x =
=
\sqrt{}
x21 + x22 + x23.
Таким чином, наша класифiкацiйна задача зводиться до знаходження нееквiвалентних роз-
в’язкiв рiвнянь (10) та (16) для функцiй f i V, де \mu ab є лiнiйною комбiнацiєю функцiй (18) та
(19). При цьому технiчною проблемою є велика кiлькiсть довiльних параметрiв, яку необхiдно
редукувати з використанням перетворень еквiвалентностi.
5. Розщеплення визначальних рiвнянь. Зважаючи на iнварiантнiсть розглядуваних рiв-
нянь вiдносно масштабних перетворень (генератором яких є оператор симетрiї (17)), приходимо
до висновку, що тензори Кiллiнга, що входять у визначальнi рiвняння, повиннi включати полi-
номи по просторовим змiнним однакового порядку. Це означає, що визначальнi рiвняння (10) та
(16) розкладаються на п’ять незачеплених пiдсистем, що вiдповiдають тензорам Кiллiнга, що
є однорiдними полiномами фiксованого порядку n = 0, 1, 2, 3, 4, а вiдповiднi довiльнi функцiї
\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi 9 зводяться до констант.
Бiльш того, оскiльки рiвняння (1), (2) з довiльними елементами вигляду (3) є iнварiантними
вiдносно перетворень iнверсiї (5), можна обмежитись тензорами Кiллiнга з n \leq 2, що заданi
рiвняннями (18), оскiльки симетрiї з n = 3 and n = 4 є еквiвалентними до симетрiй з n = 1
та n = 0 вiдповiдно. Це означає, що досить розв’язати визначальнi рiвняння (10) та (16) з
наступними \mu ab :
\mu ab = \lambda ab + \kappa \delta ab
\~\lambda cdxcxd
x2
, (20)
\mu ab = \lambda axb + \lambda bxa - 2\delta ab\~\lambda cxc + \mu axb + \mu bxa + (\varepsilon acd\lambda cb + \varepsilon bcd\lambda ca)xd, (21)
\mu ab = \kappa xaxb + (xa\varepsilon bcd + xb\varepsilon acd)\lambda dxc + \delta ab\~\lambda cdxcxd + \lambda abx2 - (xa\lambda bc + xb\lambda ac)xc. (22)
Вiдмiтимо, що кожнiй зi знайдених у такий спосiб симетрiї для буде вiдповiдати додаткова
симетрiя, отримана замiнами (6).
5.1. Симетрiї, незалежнi вiд \bfitx \bfita . Почнемо з симетрiй, якi вiдповiдають постiйним матри-
цям \mu ab (20). Пiдставивши (20) до (13), отримуємо наступне рiвняння:
\lambda abfb + \kappa
\lambda mnxmxn
r2
fa = 0. (23)
Оскiльки \mu ab = \mu ba, з точнiстю до перетворень з групи обертань iснують три нееквiвалентнi
версiї ненульових коефiцiєнтiв \lambda ab :
\lambda 11 = k1, \lambda 22 = k2, \lambda 33 = k3, (24)
\lambda 11 = k1, \lambda 22 = k2, (25)
\lambda 33 = k3. (26)
Пiдставивши (24)-(26) у рiвняння (23) та прирiвнявши коефiцiєнти при однакових xm, прихо-
димо до висновку, що коефiцiєнт \kappa повинен бути тривiальним, i
f = 0 для версiї (24), (27)
f = x23 для версiї (25), (28)
f = (x21 + x22)F (\varphi ) для версiї (26) (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 365
де F (\varphi ) — довiльна функцiя вiд кута Ейлера \varphi = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
\biggl(
x2
x1
\biggr)
.
Пiдставивши (55) – (29) дo (16), отримуємо наступнi розв’язки:
f = x23, V =
x23
(x21 + x22)
F (\varphi ), \eta = - 1
x21 + x22
F (\varphi ), \lambda 11 = \lambda 22 = 1, (30)
f = x23, V = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \eta = 0, \lambda 11 = k1, \lambda 22 = k2 \not = k1, (31)
f = (x21 + x22)F (\varphi ), V =
f
x23
, \eta = - 1
x23
, \lambda 33 = 1. (32)
Таким чином, точнiстю до еквiвалентностi, iснує три версiї рiвнянь Шредiнгера зi змiнним
параметром маси, для яких iснують симетрiї, незалежнi вiд xa. Вiдповiднi довiльнi елементи
f i V задано формулами (30) та (31), де вказанi також вiдповiднi функцiї \eta та ненульовi
коефiцiєнти \lambda ab, що визначають iнтеграл руху (7) з \mu ab = \lambda ab.
5.2. Симетрiї, лiнiйнi за незалежними змiнними. Розглянемо тепер симетрiї, породженi
тензорами Кiллiнга (22), якi є лiнiйними функцiями вiд xa. Вiдповiднi визначальнi рiвняння
(13) приймають наступний вигляд:
2\mu af = \mu abfb. (33)
Для спрощення розрахункiв скористаємося тотожнiстю 2f = x1f1 + x2f2 + x3f3, яка доз-
воляє звести (33) до наступної однорiдної системи лiнiйних рiвнянь для похiдних fa :
Mabfb = 0, (34)
де
Mab = \mu ab - \lambda axb - \mu axb. (35)
Зауважимо, що оператор (7), де \mu ab має вигляд, визначений у (31), є бiлiнiйною комбiнацiєю
генераторiв групи C(3), а саме:
Q = a+P2L3 + a - L2P3 + b+P1L3 + b - 2P3L1 + c+P1L2 +
+ c - P2L1 + \lambda apaD + \~d1P1L1 + \~d2P2L2 + \~d3L3P3, (36)
де a\pm = \lambda 23 \pm \lambda 1, b\pm = \lambda 31 \pm \lambda 2, c\pm = \lambda 12 \pm \lambda 3, \~da = \lambda bb - \lambda cc, (a, b, c) — цикл (1, 2, 3).
За допомогою перетворень з групи обертань, коефiцiєнти a1, b1 та c2 можна звести до нуля.
В результатi компоненти тензора Mab (35) набувають наступного вигляду:
M11 = - 2cx3 +m1x1, M12 = m2x1 +M21 = m1x2 + d3x3,
M22 = m2x2, M23 = d1x1 +m3x2 + bx3,
M31 = cx1 + d2x2 + (a+m1)x3,
M32 = (b+m2)x3 + d1x1, M33 = m3x3 - 2ax1 - 2bx2,
(37)
де ми позначили a - = a, b - = b, c+ = c, d1 = \~d2 - \~d3, d2 = \~d3 - \~d1, d3 = \~d1 - \~d2. Умовою
iснування нетривiальних розв’язкiв для рiвняння (34) є рiвнiсть нулю визначника матрицi,
елементами якої є Mab (37). Це вiдбувається, якщо виконується одна з наступних комбiнацiй
умов на довiльнi коефiцiєнти:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
366 А. Г. НIКIТIН
a = b = c = da = 0, (38)
d1 = - d2, c = 0, (39)
ad2 = - bc, bm1 = - 2m3, (40)
bm1 = am2, c = 0, (41)
a = b = da = m2 = 0, (42)
m1d1 = - cm2, d1m3 = - am2, b = 0. (43)
Пiдставляючи послiдовно усi версiї довiльних коефiцiєнтiв, наведенi у (38) – (43) до рiв-
нянь (34) та (16) з матрицями (37), знаходимо вiдповiднi функцiї f, V та \eta .
Почнемо з версiї (38). У цьому разi оператор симетрiї включає лiнiйну комбiнацiю опе-
раторiв P1D, P2D та P3D з коефiцiєнтами m1, m2 та m3 вiдповiдно. Поворотом системи
координат два з цих коефiцiєнтiв (наприклад, m1 та m2) можна занулити. У цьому випадку
компоненти тензора Mab, наведенi у формулах (37), редукуються до наступної форми:
M1a = xa, a = 1, 2, 3,
а решта компонент дорiвнює нулю. Вiдповiднi рiвняння (34) та (16) набувають наступного
вигляду:
xaf3 = 0, (44)
f\eta a + xaV3 = 0. (45)
Загальний розв’язок рiвняння (44) для функцiї f вигляду (3) задається наступною форму-
лою:
f = \~r2F (\varphi ), (46)
де F (\varphi ) — довiльна функцiя вiд кута Ейлера. Iнтегруючи вiдповiдне рiвняння (45) для V
вигляду (3), отримуємо загальний вигляд функцiй \eta та V :
V = G(\varphi ) + c1
x3
\~r
F (\varphi ) + c2
x3
r
F (\varphi ),
\eta =
c1
\~r
+
c2
r
,
де c1 та c2 — константи iнтегрування, а G(\varphi ) — додаткова довiльна функцiя.
Знайденi розв’язки представленi у першому пунктi таблицi 1, де вказано також додатковий
iнтеграл руху, отриманий за допомогу перетворення iнверсiї.
Розглядаючи версiю (39), дiстаємо наступнi ненульовi компоненти тензора Mab (37):
M13 = ax3 + dx2 + \lambda 3x1, M23 = \lambda 3x2 - dx1 - bx3,
M31 = ax3 + dx2, M32 = - dx1 - bx3, \lambda 3x3 + 2bx2 - 2ax1.
При цьому, з точнiстю до перетворень з групи обертань, b = 0, а вiдповiднi рiвняння (34)
набувають наступного вигляду:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 367
f3 = 0, af1 = 0, d(x1f2 - x2f1) = 0. (47)
Згiдно з (47) , один з коефiцiєнтiв a чи d повинен бути нульовим (iнакше маса не буде
залежати вiд координат). Вiдповiднi розв’язки рiвняння (47) мають вигляд:
f = x22, d = 0, a \not = 0, (48)
f = \~r2, a = 0, d \not = 0. (49)
У випадку (48) рiвняння (16) набувають наступного вигляду:
\~r2\eta 1 = - (dx2 +m1x1)V3,
\~r2\eta 2 = (dx1 - m1x2)V3, (50)
\~r2\eta 3 = d(x1V2 - x2V1) - m1x3V3,
а їх розв’язки наведено у таблицi в секцiї 6, де зроблено замiну x2 \rightarrow x3, x3 \rightarrow x2.
Отриманi у такий спосiб версiї гамiльтонiанiв (2), якi допускають iнтеграли руху, лiнiйнi
по незалежним змiнним, представлено у таблицi 1.
6. Симетрiї, бiлiнiйнi по незалежним змiнним. Залишилось знайти рiвняння, що допу-
скають iнтеграли руху, породженi тензорами (22). Цi iнтеграли допускають наступне представ-
лення:
Q = \nu ab
\bigl(
\{ Ka, Pb\} + \{ Pb,Ka\}
\bigr)
+ \~\lambda abQab, (51)
де \nu ab = \lambda ab + \varepsilon abc\lambda c, \~\lambda
ab — довiльнi коефiцiєнти, Qab = PcxaxbPc, i фiгурнi дужки означають
антикомутатор. Оператори Qab також можна представити як бiлiнiйнi комбiнацiї генераторiв (4),
оскiльки мають мiсце наступнi тотожностi:
\{ La, Lb\} + \{ Pa,Kb\} = 2Qab, a \not = b,
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} + L2
3 = 2Q33.
(52)
Вiдповiднi визначальнi рiвняння (13) приймають наступний вигляд:
2f(\lambda ab - \~\lambda ab)xb) = \mu abfb. (53)
По аналогiї з (33) – (35) рiвняння (53) варто переписати у формi (34), де
Mab = \mu ab - \lambda acxcxb. (54)
Як i у випадку рiвняння (37), за допомогою перетворень з групи обертань багато коефi-
цiєнтiв в (54) можна занулити, а саме, матриця коефiцiєнтiв може бути зведена до однiєї з
канонiчних форм. Вiдповiднi матрицi (54) зводяться до лiнiйних комбiнацiй матриць Nab та
\~Nab
M = \nu abNab + \~\nu ab \~Nab, (55)
де \~Nab = xaxbI, I — одинична матриця, а ненульовi компоненти Nab
cd матриць Nab згiдно з
(22) мають вигляд:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
368 А. Г. НIКIТIН
N12
11 = - x1x2, N13
11 = - x1x3, N22
11 = N33
11 = x21,
N11
22 = N33
22 = x22, N21
22 = - x2x1, N23
22 = - x2x3,
N31
33 = - x3x1, N32
33 = - x3x2, N33
33 = \~r2,
N12
11 = - 2x1x2, N12
12 = r2, N12
21 = r2 - 2x22, N12
31 = - 2x2x3,
N21
12 = r2 - 2x21, N21
21 = r2, N21
22 = - 2x1x2, N21
32 = - 2x1x2.
(56)
Всi матрицi (56) виродженi, тому для кожної з них iснують нетривiальнi розв’язки вiдповiд-
них рiвнянь (34) та (16). Нееквiвалентнi варiанти цих матриць наведено у наступнiй формулi:
N = \nu 1N
11 + \nu 2N
22 + \nu 3N
33, (57)
N = \nu 4(N
11 +N22) + \nu 5N
33 + \nu 6N
12, (58)
N = \nu 7(N
11 +N22 +N33) + \nu 8N
12 + \nu 9N
23, (59)
N = \nu 10(N
11 +N22) + \nu 11N
33 + \nu 12(N
12 - N21), (60)
N = \nu 13(N
11 +N22 +N33) + \nu 14(N
12 - N21) + \nu 15(N
23 - N32), (61)
де \nu 1, \nu 2, . . . , \nu 15 — довiльнi дiйснi коєфiцiєнти.
Таким чином, класифiкацiя бiлiнiйних по xa iнтегралiв руху зводиться до пошуку загальних
розв’язкiв рiвнянь (34) та (16), де матрицi M задано формулами (55) та (57) – (61). Ми не будемо
наводити деталi вiдповiдних громiздких обчислень, але наведемо тiльки один приклад.
Нехай матриця M зводиться до (60) з \nu 10 та \nu 12 не рiвними нулю. Тодi рiвняння (34) мають
нетривiальнi розв’язки для f при умовi \nu 11 = 0, a рiвняння (16) мають нетривiальнi розв’язки
для V при умовах \nu 10 = \nu 12 чи \nu 10\nu 12 = 0.
Якщо \nu 10 = \nu 11 = 0, рiвняння (34) та (16) набувають наступного вигляду:
x1f2 - x2f1 = 0
та
f\eta a = - 2xa(x1V2 - x2V1), a = 1, 2, 3,
вiдповiдно. Загальний розв’язки цих рiвнянь мають вигляд:
f = r2F (\theta ), V = cF (\theta )\varphi +G(\theta ), \eta = - c \mathrm{l}\mathrm{n}(r2).
Якщо \nu 10 \not = 0, \nu 12 = \nu 11 = 0, маємо наступнi версiї рiвнянь (34) та (16):
f1 = 0, f2 = 0,
f\eta 1 + (x22 + x23)V1 - x1x2)V2 = 0,
f\eta 2 - x1x2V1 + (x21 + x23)V2 = 0,
f\eta 3 - x1x3V1 - x2x3V2 = 0,
а вiдповiднi розв’язки мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 369
f = x23, V =
x23
\~r2
F (\varphi ) +G(\theta ), \eta - r2
\~r2
F (\varphi ) - G(\theta ).
Наприкiнцi, якщо \nu 10 = \nu 12, \nu 11 = 0, маємо наступнi рiвняння (34) та (16):
f1 = 0, f2 = 0,
f\eta 1 + (x22 + x23 - 2x1x2)V1 + (2x21 - x1x2)V2 = 0,
f\eta 2 - (x1x2 + 2x22)V1 + (x21 + 2x1x2 + x23)V2 = 0,
f\eta 3 - (x1x3 + 2x2x3)V1 + (2x1x3 - x2x3)V2 = 0,
а вiдповiдними розв’язками будуть f = x23, V = F (\theta ), \eta = - F (\theta ).
Аналогiчно розв’язуються рiвняння, якi вiдповiдають рештi нееквiвалентних матриць M.
При цьому на кожному кроцi необхiдно дослiдити можливiсть додавання до N матрицю \~N
загального вигляду, дивись рiвняння (24), але таку, щоб M залишалась виродженою. Отриманi в
такий спосiб результати пiдсумовано у двох таблицях, одна з яких включає довiльнi коєфiцiєнти,
а друга — довiльнi функцiї. Список потенцiалiв, мас та вiдповiдних iнтегралiв руху є повним з
точнiстю до перетворень з групи обертань.
У таблицях F (.), G(.), R(.) — довiльнi функцiї вiд аргументiв, вказаних у дужках, c, c1,
c2, \mu та \nu – довiльнi дiйснi коєфiцiєнти, \varphi та \theta — кути Ейлера, r2 = x21+x
2
2+x
2
3, \~r
2 = x21+x
2
2,
Pa, Ka, D та L3 — оператори, визначенi формулою (4), i по iндексам a, що повторюються,
робиться сумування по значенням 1, 2 та 3. Символ \{ A,B\} означає антикомутатор операторiв
A та B, тобто \{ A,B\} = AB +BA. Для систем, наведених у трьох останнiх рядках таблицi 2,
iнтеграли руху другого порядку зводяться до довiльних бiлiнiйних комбiнацiй наведених там
операторiв симетрiї першого порядку.
7. Заключнi зауваження. У роботi знайдено всi нееквiвалентнi рiвняння Шредiнгера зi
змiнним параметром маси, якi є iнварiантними вiдносно масштабних перетворень i допускають
iнтеграли руху другого порядку. У пiдсумкових таблицях наведено двадцять сiм версiй таких
рiвнянь, частина з яких включає довiльнi параметри (константи взаємодiї з потенцiалом, див.
таблицю 2), а решта визначена з точнiстю до довiльних функцiй вiд редукованої кiлькостi
змiнних (див. таблицю 1).
Оскiльки усi знайденi гамiльтонiани по визначенню комутують з генераторами дилатацiї D,
вiдповiднi рiвняння Шредiнгера є iнтегровними, якщо вони допускають два додаткових iнтегра-
ла руху, i суперiнтегровними, якщо таких iнтегралiв руху бiльше нiж два. Згiдно з таблицею, у
класi, що розглядається, iснує досить велика кiлькiсть iнтегровних i суперiнтегровних рiвнянь.
Таким чином, знайдено низку нових iнтегровних систем зi змiнною масою. Але основна
вага отриманих результатiв полягає у їх повнотi, оскiльки пропонується повний опис усiх
нееквiвалентних систем, якi допускають масштабнi перетворення та iнтеграли руху другого
порядку. Цi результати можна розглядати як перший крок у побудовi усiх нееквiвалентних
систем зi змiнною масою, якi допускають такi iнтеграли руху i є iнварiантними вiдносно хоча
б однопараметричної групи Лi.
Природною наступною задачею є пошук точних розв’язкiв знайдених iнтегровних та супе-
рiнтегровних систем. Нагадаємо, що такi розв’язки для рiвнянь Шредiнгера зi змiнною масою,
якi допускають бiльш як п’яти параметричнi групи симетрiї, знайдено у роботi [27].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
370 А. Г. НIКIТIН
Таблиця 1. Оберненi маси та потенцiали та вiдповiднi iнтеграли руху,
визначенi з точнiстю до довiльних функцiй
№ f V Iнтеграли руху
1 \~r2F (\varphi ) F (\varphi )G(\theta ) \{ P3,K3\} - 2G(\theta )
2 \~r2F (\varphi ) F (\varphi )(c1
x3
\~r + c2
x3
r ) +G(\varphi )
\{ P3, D\} + 2c1
\~r + 2c2
r ,
\{ K3, D\} + 2c1r2
\~r + 2c2r
3 \~r2F (\varphi ) F (\varphi )(c1
x3
\~r + c2
x3
r )
\{ P3,K3\} - 2c1
\~r + 2c2
r ,
\{ P3, D\} + 2c1
\~r + 2c2
r ,
\{ K3, D\} + 2c1r2
\~r + 2c2r
4 \~r2F (\varphi ) F (\varphi )
P 2
1 + P 2
2 - 1
x2
3
F (\varphi ),
K2
1 +K2
2 - r4
x2
3
, \{ P3,K3\} ,
\{ P3, D\} , \{ K3, D\}
5 \~r2F (\varphi ) \~r2
x2
3
F (\varphi )
P 2
3 - 1
x2
3
, K2
3 - r4
x2
3
,
\{ P3,K3\} - 2\~r2
x2
3
6 \~r2F (\theta ) G(\varphi )F (\theta ) +R(\theta )
L2
3 - 2G(\varphi ),
\{ P3,K3\} - 2F (\theta )
7 \~r2F (\theta ) R(\theta )
L2
3, L3D
\{ P3,K3\} - 2F (\theta )
8 \~r2F (\theta ) c\~r2
r2
F (\theta )\varphi +G(\theta ) \{ L3, D\} - 2c \mathrm{l}\mathrm{n}(r)
9 r2 F (\varphi , \theta ) L2
1 + L2
2 + L2
3
10 r2 c\varphi +G(\theta )
L2
1 + L2
2 + L2
3,
\{ Pa,Ka\} -
2cx2
3
\~r2
\varphi - 2G(\theta ),
L3D - c \mathrm{l}\mathrm{n}(r)
11 r2 r2
\~r2
F (\varphi ) +G(\theta )
\{ P3,K3\} , L2
1 + L2
2 + L2
3,
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} - 2F (\varphi ) - 2G(\theta ),
L2
3 - 2F (\varphi )
12 x23
x2
3
\~r2
F (\varphi ) +G(\theta )
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} - 2r2
\~r2
F (\varphi ) - G(\theta ),
L2
3 - 2F (\varphi )
13 r2 G(\theta )
\{ P3,K3\} , L2
1 + L2
2 + L2
3, L3D
\{ Pa,Ka\} - 2G(\theta ), L2
3
14 x23 c
x2
3\varphi
r2
+G(\theta )
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} - 2r2
\~r2
\varphi - G(\theta ),
L2
3 - 2\varphi , \{ L3, D\} - 2c \mathrm{l}\mathrm{n}(r)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СУПЕРIНТЕГРОВНI ТА МАСШТАБНО IНВАРIАНТНI КВАНТОВОМЕХАНIЧНI СИСТЕМИ . . . 371
Таблиця 2. Оберненi маси та потенцiали та вiдповiднi iнтеграли руху,
визначенi з точнiстю до довiльних коєфiцiєнтiв
№ f V Iнтеграли руху
1 r2 c
r2
x23
L2
1 + L2
2 + L2
3,
\{ L1, L2\} + 4c
x1x2
x23
, L3D,L
2
3
2 x23
cx23
\nu 2r2 + \nu ((\mu + 1)x23 + \mu x21 + x22) + \mu x23
\{ P1,K1\} + \mu \{ P2,K2\} + 4\nu
r2
x23
V
3 x23
cx23
(\nu - \mu + 1)x23 + \nu \~r2
L3D, (1 + \mu )\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} + 2\mu L2
3 + 4\nu
r2
x23
V
4 x21 c1
x21
x23
+ c2
x2
\~r
\{ P2, D\} + \{ P3, L1\} + 2c2
1
\~r
- 4c1
x2
x23
,
\{ K2, D\} + \{ K3, L1\} + 2c2
r2
\~r
- 4c1
r2x2
x23
5 x23 c1
x1x
2
3
\~rx22
+ c2
x23
x21
\{ L2, P1\} + 4c2
x1
x22
+ 2c1
2x21 + x22
\~rx22
,
\{ L2,K1\} + 4c2
x1r
2
x22
+ 2c1
(2x21 + x22)r
2
\~rx22
6 x23 c
x23
x21
\{ L2, P1\} + c
4x21 + 2x22
\~rx22
, \{ P2, D\} ,
\{ L2,K1\} + c
(4x21 + 2x22)r
2
\~rx22
, \{ K2, D\} ,
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} - 2c
r2
x21
,
\{ P1, L3\} - 4c
x2
x21
, \{ P3,K3\} - 2
x23
\~r2
,
\{ K1, L3\} - 4c
r2x2
x21
7 x23 c
\~r2
r2
\{ K1, P2\} - 4c
x1x2
r2
, \{ P1,K1\} - 2c
x21
r2
, L3D,L
2
3
8 x23 c
x23
r2
\{ P2,K1\} + 4c
x1x2
r2
, \{ P1,K2\} + 4c
x1x2
r2
,
\{ P1,K1\} + \{ P2,K2\} + 2c
\~r2
r2
, \{ P3,K3\} - 2
x23
\~r2
, L3D,L
2
3
9 \~r2 c1e
- 2\varphi r
2 + x23
\~r2
+ c2e
- \varphi x3
\~r
\{ P3, (L3 +D)\} + 4c1e
- 2\varphi x3
\~r2
+ 2c2e
- \varphi 1
\~r
,
\{ K3, (L3 +D)\} + 4c1e
- 2\varphi r
2x3
\~r2
+ 2c2e
- \varphi r
2
\~r
10 \~r2 c1e
2\varphi r
2 + x23
\~r2
+ c2e
\varphi x3
\~r
\{ P3, (L3 - D)\} - 4c1e
2\varphi x3
\~r2
- 2c2e
\varphi 1
\~r
,
\{ K3, (L3 - D)\} - 4c1e
2\varphi r
2x3
\~r2
- 2c2e
\varphi r
2
\~r
11 \~r2 c1
x3
\~r + c2
x3
r
\{ P3,K3\} - 2c1
\~r - 2c2
r , L
2
3
\{ P3, D\} + 2c1
\~r + 2c2
r , L3D,
\{ K3, D\} + 2c1r
2
\~r + 2c2r
12 \~r2 \~r2
x2
3
P 2
3 - 1
x2
3
, K2
3 - r4
x2
3
,
\{ P3,K3\} - 2\~r2
x2
3
, L3D, L
2
3
13 \~r2 c P3, L3, D, K3
14 x23 c P1, P2, K1, K2, D, L3
15 r2 c L1, L2, L3, D
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
372 А. Г. НIКIТIН
Лiтература
1. V. I. Fushchich, and A. G. Nikitin, Symmetries of equations of quantum mechanics, Allerton Press, New York (1994).
2. A. G. Nikitin, The maximal “kinematical” invariance group for an arbitrary potential revised, J. Math. Phys.,
Analysis, Geometry 14, 519 – 531 (2018).
3. A. G. Nikitin, Symmetries of Schrödinger equation with scalar and vector potentials, J. Phys. A, 53, 455202 (2020).
4. A. G. Nikitin, Symmetries of the Schrödinger – Pauli equation for neutral particles, J. Math. Phys., 62, 083509 (2021).
5. A. G. Nikitin, Symmetries of the Schrödinger-Pauli equations for charged particles and quasirelativistic Schrödinger
equations, J. Phys. A, 55, 115202 (2022).
6. U. Niederer, The maximal kinematical invariance group of the free Schrödinger equations, Helv. Phys. Acta, 45,
802 – 810 (1972).
7. R. L. Anderson, S. Kumei, C. E. Wulfman, Invariants of the equations of wave mechanics. I, Rev. Mex. Fis., 21,
1 – 33 (1972).
8. C. P. Boyer, The maximal kinematical invariance group for an arbitrary potential, Helv. Phys. Acta, 47, 450 – 605
(1974).
9. P. Winternitz, J. Smorodinsky, M. Uhlĭr, I. Fris̆, Symmetry groups in classical and quantum mechanics, Sov. J. Nucl.
Phys., 4, 444 – 450 (1967).
10. A. Makarov, J. Smorodinsky, Kh. Valiev, P. Winternitz, A systematic search for non-relativistic systems with dynamical
symmetries, Nuovo Cim. A, 52, 1061 – 1084 (1967)
11. Ian Marquette, Pavel Winternitz, Higher order quantum superintegrability: a new Painleve conjecture. Integrability,
Supersymmetry and Coherent States, Springer, Cham (2019), pp. 103 – 131.
12. A. G. Nikitin, Higher-order symmetry operators for Schrödinger equation, In CRM Proceedings and Lecture Notes
(AMS), 37, 137 – 144 (2004).
13. Oldwig von Roos, Position-dependent effective masses in semiconductor theory, Phys. Rev. B, 27, 7547 (1983).
14. A. de Saavedra, F. Boronat, A. Polls, A. Fabrocini, Effective mass of one He 4 atom in liquid He 3, Phys. Rev. B,
50, 4248 (1994).
15. P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots, Wiley, New York (2000).
16. R. Heinonen, E. G. Kalnins, W. Miller Jr, E. Subag, Structure relations and Darboux contractions for 2D 2nd order
superintegrable systems, SIGMA, 11, 043 (2015).
17. B. K. Berntson, E. G. Kalnins, W. Miller Jr., Toward classification of 2nd order superintegrable systems in 3-
dimensional conformally flat spaces with functionally linearly dependent symmetry operators, SIGMA: Symmetry,
Integrability and Geometry: Methods and Applications, 16, 135 (2020).
18. A. Ballesteros, A. Enciso, F. J. Herranz, O. Ragnisco, D. Riglioni, Superintegrable oscillator and Kepler systems on
spaces of nonconstant curvature via the Stäckel transform, SIGMA, 7, 048 (2011).
19. O. Ragnisco, D. Riglioni, A Family of Exactly Solvable Radial Quantum Systems on Space of Non-Constant Curvature
with Accidental Degeneracy in the Spectrum, SIGMA, 6, 097 ( 2010).
20. A. G. Nikitin, Superintegrable and shape invariant systems with position dependent mass, J. Phys. A: Math. Theor.,
48, 335201 (2015).
21. A. G. Nikitin, T. M. Zasadko, Superintegrable systems with position dependent mass, J. Math. Phys., 56, 042101
(2015).
22. A. G. Nikitin, Kinematical invariance groups of the 3d Schr?dinger equations with position dependent masses, J.
Math. Phys., 58, № 8, 083508 (2017).
23. A. G. Nikitin, Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations with triangular diffusion
matrix, Ukr. Math. J., 59, 439 – 458 (2007).
24. A. G. Nikitin, V. I. Fushchich, Equations of motion for particles of arbitrary spin invariant under the Galileo group,
Theor. and Math. Phys., 44, 584 – 592 (1980)
25. O. O. Vaneeva, R. O. Popovych, C. Sophocleous, Equivalence transformations in the study of integrability, Physica
Scripta, 89, 038003 (2014).
26. A. G. Nikitin, Generalized Killing tensors of arbitrary valence and order, Ukr. Math. J., 43, 734 – 743 (1991).
27. A.G. Nikitin, Exact solvability of PDM systems with extended Lie symmetries, Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci.
Ukraine, 16, № 1, 1 – 18 (2019).
Одержано 14.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7162 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/87/790e35367e1be7cdacc41a9fe4e56187.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71622025-03-31T08:44:52Z Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass Суперінтегровні та масштабно інваріантні квантовомеханічні системи зі змінною масою Nikitin, A. G. Нікітін, А. Г. Рівняння Шродінгера Schrödinger equation UDC 517.9 Scale invariant Schrödinger equations with position dependent mass admitting second order integrals of motion are classified.  УДК 517.9 Проведено класифікацію рівнянь Шродінгера зі змінною масою, які допускають перетворення зміни масштабу та оператори симетрії другого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7162 10.37863/umzh.v74i3.7162 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 360-372 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 360-372 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7162/9205 Copyright (c) 2022 Анатолій Глібович Нікітін |
| spellingShingle | Nikitin, A. G. Нікітін, А. Г. Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title | Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title_alt | Суперінтегровні та масштабно інваріантні квантовомеханічні системи зі змінною масою |
| title_full | Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title_fullStr | Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title_full_unstemmed | Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title_short | Superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| title_sort | superintegrable and scale invariant quantum systems with position dependent mass |
| topic_facet | Рівняння Шродінгера Schrödinger equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7162 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinag superintegrableandscaleinvariantquantumsystemswithpositiondependentmass AT níkítínag superintegrableandscaleinvariantquantumsystemswithpositiondependentmass AT nikitinag superíntegrovnítamasštabnoínvaríantníkvantovomehaníčnísistemizízmínnoûmasoû AT níkítínag superíntegrovnítamasštabnoínvaríantníkvantovomehaníčnísistemizízmínnoûmasoû |