Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals
UDC 517.5I We study the approximative properties of generalized Abel–Poisson integrals $P_{\gamma}(\delta),$ $0<\gamma\leq2,$ on the Weil–Nagy classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ under the condition $0<r\leq\gamma$ in the uniform metric.
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7164 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512628105805824 |
|---|---|
| author | Kal'chuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, Инна Харкевич, Юрий Кальчук, I. В. Харкевич, Ю. I. |
| author_facet | Kal'chuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, Инна Харкевич, Юрий Кальчук, I. В. Харкевич, Ю. I. |
| author_sort | Kal'chuk, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-06T16:22:31Z |
| description | UDC 517.5I
We study the approximative properties of generalized Abel–Poisson integrals $P_{\gamma}(\delta),$ $0<\gamma\leq2,$ on the Weil–Nagy classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ under the condition $0<r\leq\gamma$ in the uniform metric. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i4.7164 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i4.7164
УДК 517.5
I. В. Кальчук, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т iм. Л. Українки)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ \bfitW \bfitr
\bfitbeta ,\infty УЗАГАЛЬНЕНИМИ
IНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ – ПУАССОНА
We study the approximative properties of generalized Abel – Poisson integrals P\gamma (\delta ), 0 < \gamma \leq 2, on the Weil – Nagy
classes W r
\beta ,\infty under the condition 0 < r \leq \gamma in the uniform metric.
Проведено дослiдження апроксимативних властивостей узагальнених iнтегралiв Абеля – Пуассона P\gamma (\delta ), 0 < \gamma \leq
\leq 2, на класах Вейля – Надя W r
\beta ,\infty у випадку 0 < r \leq \gamma в рiвномiрнiй метрицi.
Вступ. Нехай C — простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй, у якому норма задається
за допомогою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t | f(t)| ; L\infty — простiр 2\pi -перiодичних вимiрних суттєво
обмежених функцiй з нормою \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t | f(t)| ; L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних
на перiодi функцiй, в якому норма задається рiвнiстю \| f\| L = \| f\| 1 =
\int \pi
- \pi
| f(t)| dt.
Нехай функцiя f належить простору L i її ряд Фур’є має вигляд
S[f ] =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx).
Нехай, далi, r > 0 i \beta \in \BbbR . Якщо ряд
\infty \sum
k=1
kr
\biggl(
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr)
+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr) \biggr)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї \varphi , то функцiю \varphi називають (r, \beta )-похiдною функцiї f
у сенсi Вейля – Надя i позначають f r
\beta (див., наприклад, [1, с. 130]). Множину функцiй, для яких
виконується ця умова, називають класом Вейля – Надя i позначають W r
\beta . Якщо f \in W r
\beta i, крiм
того,
\bigm\| \bigm\| f r
\beta (\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq 1, то кажуть, що f належить класу W r
\beta ,\infty .
Нехай f \in L. Величину
P\gamma (\rho , f, x) =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
\rho k
\gamma
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx), 0 \leq \rho < 1, 0 < \gamma \leq 2, (1)
де ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f, називають узагальненим iнтегралом Абеля – Пуассона
(див., наприклад, [2, 3]). При \gamma = 1 iнтеграл (1) є iнтегралом Пуассона (див., наприклад, [4 – 6]),
при \gamma = 2 — iнтегралом Веєрштрасса (див., наприклад, [7, 8]).
Поклавши \rho = e -
1
\delta , скрiзь далi узагальнений iнтеграл Абеля – Пуассона будемо записувати
у виглядi
P\gamma (\delta , f, x) =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
e -
k\gamma
\delta (ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx), \delta > 0, 0 < \gamma \leq 2. (2)
Статтю присвячено дослiдженню асимптотичної поведiнки при \delta \rightarrow \infty величини
\scrE (W r
\beta ,\infty ;P\gamma (\delta ))C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta ,\infty
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - P\gamma (\delta , f, \cdot )
\bigm\| \bigm\|
C
. (3)
c\bigcirc I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4 507
508 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю g(\delta ) таку, що \scrE (W r
\beta ,\infty ;P\gamma (\delta ))C = g(\delta ) + o
\bigl(
g(\delta )
\bigr)
при \delta \rightarrow \infty , то говорять (див., наприклад, [1, c. 198]), що розв’язано задачу Колмогорова – Нi-
кольського для узагальненого iнтеграла Абеля – Пуассона на класi W r
\beta ,\infty у рiвномiрнiй метрицi.
Зазначимо, що апроксимативнi властивостi узагальнених iнтегралiв Абеля – Пуассона на
класах W r
\beta , W
r та iнших вивчали в роботах [2, 7, 9 – 14], але в бiльшостi робiт задачу Колмо-
горова – Нiкольського було розв’язано лише у випадках \gamma = 1 та \gamma = 2. Ми ж ставимо за мету
знайти асимптотичнi рiвностi для величин (3) при довiльних 0 < \gamma \leq 2.
Асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилень узагальнених iнтегралiв Абеля –
Пуассона вiд функцiй iз класу \bfitW \bfitr
\bfitbeta ,\infty . Для узагальненого iнтеграла Абеля – Пуассона (1)
запишемо пiдсумовуючу функцiю [15] у виглядi
\tau (u) =
\left\{
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr) \Bigl(
(\gamma - r - 1)\delta
r+2
\gamma
- 1
u2 - \gamma + (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
u1 - \gamma
\Bigr)
, 0 \leq u \leq 1
\gamma
\surd
\delta
,\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u - r, u \geq 1
\gamma
\surd
\delta
,
(4)
де 0 < \gamma \leq 2, \delta > 0.
Домовимося далi через K, Ki, i = 1, 2, . . . , позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi в рiзних
спiввiдношеннях.
Справджується така теорема.
Теорема. Нехай 0 < r \leq \gamma . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE
\bigl(
W r
\beta ,\infty ;P\gamma (\delta )
\bigr)
C
=
1\bigl(
\gamma
\surd
\delta
\bigr) rA(\tau ) + \Upsilon (\gamma , \delta ), (5)
де
\Upsilon (\gamma , \delta ) =
\left\{
O
\biggl(
1
\delta
\biggr)
, 0 < \gamma \leq 1,
O
\left( 1
\delta
+
1\Bigl(
\gamma
\surd
\delta
\Bigr) r+1
\right) , 1 < \gamma \leq 2,
(6)
величину A(\tau ) означено рiвнiстю
A(\tau ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
ut+
\beta \pi
2
\Bigr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt (7)
i для неї має мiсце оцiнка
A(\tau ) =
\left\{ O(1), 0 < r < \gamma ,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r = \gamma .
(8)
Доведення. Згiдно з теоремою А [10], якщо функцiя \tau (u) неперервна при u \geq 0 й iнтег-
рал (7) є збiжним, то при r > 0, \beta \in \BbbR i \delta \rightarrow \infty справджується рiвнiсть
\scrE (W r
\beta ,\infty ;P\gamma (\delta ))C =
1
( \gamma
\surd
\delta )r
A(\tau ) +O
\biggl(
1
( \gamma
\surd
\delta )r
a(\tau )
\biggr)
, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ W r
\beta ,\infty УЗАГАЛЬНЕНИМИ IНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ – ПУАССОНА 509
де
a(\tau ) =
\int
| t| \geq
\gamma \surd
\delta \pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
ut+
\beta \pi
2
\Bigr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt. (10)
Покажемо збiжнiсть iнтеграла (7). Згiдно з теоремою 1 [10], для доведення збiжностi iнтег-
рала (7) необхiдно i достатньо показати збiжнiсть iнтегралiв
1
2\int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , \infty \int
1
2
| u - 1|
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , \infty \int
0
| \tau (u)|
u
du,
1\int
0
\bigm| \bigm| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)
\bigm| \bigm|
u
du. (11)
Знайдемо оцiнку для першого iнтеграла з (11), роздiливши його на двi частини:
1
2\int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| =
1
\gamma \surd
\delta \int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| +
1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , \delta > 4.
Введемо позначення
v(u) =
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u2 - \gamma , w(u) =
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u1 - \gamma . (12)
Знайдемо першу i другу похiднi функцiй v(u) та w(u):
v\prime (u) = \gamma ue - u\gamma + (2 - \gamma )u1 - \gamma (1 - e - u\gamma ), w\prime (u) = \gamma e - u\gamma + (1 - \gamma )u - \gamma (1 - e - u\gamma ),
v\prime \prime (u) = \gamma e - u\gamma (1 - \gamma u\gamma ) + (2 - \gamma )
\bigl(
(1 - \gamma )u - \gamma (1 - e - u\gamma ) + \gamma e - u\gamma
\bigr)
,
w\prime \prime (u) = \gamma e - u\gamma
\bigl(
(1 - \gamma )u - 1 - \gamma u\gamma - 1
\bigr)
+ \gamma (\gamma - 1)u - \gamma - 1(1 - e - u\gamma ).
Тодi, враховуючи, що при u \in
\biggl[
0,
1
\gamma
\surd
\delta
\biggr]
\tau \prime \prime (u) = (\gamma - r - 1)\delta
r+2
\gamma
- 1
v\prime \prime (u) + (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
w\prime \prime (u), (13)
отримуємо
1
\gamma \surd
\delta \int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
u| v\prime \prime (u)| du+ (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
u| w\prime \prime (u)| du.
Враховуючи, що v\prime \prime (u) \geq 0, w\prime \prime (u) \leq 0 при u \in
\biggl[
0,
1
\gamma
\surd
\delta
\biggr]
, а також нерiвностi
e - u\gamma \leq 1, 1 - e - u\gamma \leq u\gamma , (14)
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
510 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1\surd
\delta \int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
uv\prime \prime (u)du -
- (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
uw\prime \prime (u)du = | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1 \bigl(
uv\prime (u) - v (u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\gamma \surd
\delta
0
-
- (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1 \bigl(
uw\prime (u) - w(u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\gamma \surd
\delta
0
=
= | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1
\Bigl(
\gamma \delta
- 2
\gamma e -
1
\delta + (2 - \gamma )\delta
1 - 2
\gamma
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr)
- \delta
1 - 2
\gamma
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr) \Bigr)
-
- (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
\Bigl(
\gamma \delta
- 1
\gamma e -
1
\delta + (1 - \gamma )\delta
1 - 1
\gamma
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr)
- \delta
1 - 2
\gamma
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr) \Bigr)
\leq K\delta
r
\gamma
- 1
. (15)
Враховуючи, що при u \geq 1
\gamma
\surd
\delta
\tau \prime \prime (u) = \gamma u\gamma - r - 2e - u\gamma (\gamma - 1 - \gamma u\gamma ) - 2r\gamma u\gamma - r - 2e - u\gamma + r(r + 1)
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u - r - 2, (16)
а також нерiвностi (14) та нерiвнiсть\bigm| \bigm| - \gamma u\gamma + \gamma - 1
\bigm| \bigm| e - u\gamma \leq 1, u \in [0,\infty ),
знаходимо
1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq \gamma
1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
| \gamma - 1 - \gamma u\gamma | e - u\gamma u\gamma - r - 1du+ 2r\gamma
1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
u\gamma - r - 1e - u\gamma du+
+r(r + 1)
1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u - r - 1du \leq
\leq
\bigl(
\gamma + 2r\gamma + r(r + 1)
\bigr) 1
2\int
1
\gamma \surd
\delta
u\gamma - r - 1du =
\left\{ K1 +K2\delta
r
\gamma
- 1
, 0 < r < \gamma ,
K3 +K4 \mathrm{l}\mathrm{n} \delta , r = \gamma .
(17)
Iз спiввiдношень (15), (17) випливає оцiнка
1
2\int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| =
\left\{ O(1), 0 < r < \gamma ,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r = \gamma ,
\delta \rightarrow \infty . (18)
Знайдемо оцiнку для другого iнтеграла з (11). Враховуючи (16), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ W r
\beta ,\infty УЗАГАЛЬНЕНИМИ IНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ – ПУАССОНА 511
\infty \int
1
2
| u - 1|
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq \infty \int
1
2
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq r(r + 1)
\infty \int
1
2
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u - r - 1du+
+2r\gamma
\infty \int
1
2
u\gamma - r - 1e - u\gamma du+ \gamma
\infty \int
1
2
| \gamma - 1 - \gamma u\gamma | u\gamma - r - 1e - u\gamma du.
Далi, використовуючи нерiвностi
1 - e - u\gamma \leq 1, u\gamma e - u\gamma \leq 1,
\bigm| \bigm| - \gamma u\gamma + \gamma - 1
\bigm| \bigm| u\gamma - 1 \leq 2u2\gamma - 1 + u\gamma - 1, u \in (0,\infty ), (19)
отримуємо
\infty \int
1
2
| u - 1|
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq \bigl(
r(r + 1) + 2\gamma r
\bigr) \infty \int
1
2
u - r - 1du+
+\gamma
\infty \int
1
2
u - r(2u2\gamma - 1 + u\gamma - 1)e - u\gamma du \leq
\leq (r(r + 1) + 2\gamma r)
\infty \int
1
2
u - r - 1du+ 2r\gamma
\infty \int
1
2
(2u2\gamma - 1 + u\gamma - 1)e - u\gamma du = K1. (20)
Iз (20) випливає оцiнка
\infty \int
1
2
| u - 1|
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| = O(1), \delta \rightarrow \infty . (21)
Для оцiнки третього iнтеграла з (11), як i в роботi [16], розiб’ємо промiжок iнтегрування на
три частини:
\biggl[
0,
1
\gamma
\surd
\delta
\biggr]
,
\biggl[
1
\gamma
\surd
\delta
, 1
\biggr]
, [1,\infty ).
Нехай u \in
\biggl[
0,
1
\gamma
\surd
\delta
\biggr]
. Враховуючи (4) i друге спiввiдношення iз (14), маємо
1
\gamma \surd
\delta \int
0
| \tau (u)|
u
du \leq | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
(1 - e - u\gamma )u1 - \gamma du+
+(2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
(1 - e - u\gamma )u - \gamma du \leq | \gamma - r - 1| \delta
r+2
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
udu+
+(2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
1
\gamma \surd
\delta \int
0
du \leq K\delta
r
\gamma
- 1
. (22)
Згiдно з формулою (4) у випадку u \in
\biggl[
1
\gamma
\surd
\delta
, 1
\biggr]
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
512 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1
\gamma \surd
\delta
\tau (u)
u
du -
1\int
1
\gamma \surd
\delta
u\gamma - 1 - rdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| 1 - e - u\gamma - u\gamma | u - r - 1du.
Оскiльки при довiльних u виконується нерiвнiсть
e - u\gamma + u\gamma - 1 \leq u2\gamma
2
, (23)
то \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1
\gamma \surd
\delta
\tau (u)
u
du -
1\int
1
\gamma \surd
\delta
u\gamma - 1 - rdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1
2
1\int
1
\gamma \surd
\delta
u2\gamma - r - 1du = K2 +K3\delta
r
\gamma
- 2
. (24)
Iз (24) випливає, що
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau (u)|
u
du =
\gamma \surd
\delta \int
1
u\gamma - r - 1du+O(1) =
\left\{ O(1), r < \gamma ,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r = \gamma .
(25)
Нехай тепер u \in [1,\infty ). Згiдно з формулою (4) та першою нерiвнiстю з (19) одержуємо
\infty \int
1
\tau (u)
u
du =
\infty \int
1
\bigl(
1 - e - u\gamma
\bigr)
u - r - 1du \leq
\infty \int
1
u - r - 1du =
1
r
. (26)
Iз (22), (25) i (26) випливає оцiнка
\infty \int
0
| \tau (u)|
u
du =
\left\{ O(1), r < \gamma ,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r = \gamma ,
\delta \rightarrow \infty . (27)
Оцiнимо тепер четвертий iнтеграл з (11). Як i в роботi [10, с. 29], можна показати справед-
ливiсть рiвностi
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u
du =
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u
du+O
\bigl(
H(\tau )
\bigr)
, (28)
де H(\tau ) означається рiвнiстю
H(\tau ) = | \tau (0)| + | \tau (1)| +
1
2\int
0
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| + \infty \int
1
2
| u - 1|
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| ,
а \lambda (u) = e - u\gamma . Враховуючи, що
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u
du =
1\int
0
e - (1 - u)\gamma - e - (1+u)\gamma
u
du = O(1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ W r
\beta ,\infty УЗАГАЛЬНЕНИМИ IНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ – ПУАССОНА 513
а також спiввiдношення (18) i (21), iз (28) маємо
1\int
0
\bigm| \bigm| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)
\bigm| \bigm|
u
du =
\left\{ O(1), 0 < r < \gamma ,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r = \gamma ,
\delta \rightarrow \infty . (29)
Отже, згiдно з теоремою 1 [10], переконуємося в тому, що iнтеграл A(\tau ) вигляду (7) є
збiжним. Iз нерiвностей (2.14) i (2.15) з роботи [10] iз урахуванням формул (18), (21), (27) i (29)
отримуємо спiввiдношення (8).
Оцiнимо залишковий член у правiй частинi рiвностi (9), тобто знайдемо оцiнку для iнтег-
рала (10). Враховуючи, що \tau (0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow \infty \tau (u) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow \infty \tau \prime (u) = 0 i \tau \prime (u) неперервна на
[0,\infty ), i двiчi iнтегруючи частинами, отримуємо
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du = - 1
t2
\left( \tau \prime (0) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
+
\infty \int
0
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\right) .
Звiдси \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
t2
\left( | \tau \prime (0)| +
\infty \int
0
| \tau \prime \prime (u)| du
\right) .
Оскiльки
| \tau \prime (0)| = \gamma (2 + r - \gamma )\delta
r+1
\gamma
- 1
= K1\delta
r+1
\gamma
- 1
,
то можемо записати\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K1
t2
\delta
r+1
\gamma
- 1
+
1
t2
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \tau \prime \prime (u)\bigm| \bigm| du. (30)
Проводячи аналогiчнi мiркування, як i при оцiнюваннi першого iнтеграла з (5) на промiжку
u \in
\biggl[
0,
1
\gamma
\surd
\delta
\biggr]
, \delta > 4, можемо записати оцiнку
1
\gamma \surd
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \tau \prime \prime (u)\bigm| \bigm| du = O
\Bigl(
\delta
r+1
\gamma
- 1
\Bigr)
, \delta \rightarrow \infty . (31)
Нехай u \in
\biggl[
1
\gamma
\surd
\delta
, 1
\biggr]
. Покладемо
\tau 1(u) = (1 - e - u\gamma - u\gamma )u - r, \tau 2(u) = u\gamma - r,
тодi
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau \prime \prime (u)| du \leq
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau \prime \prime 1 (u)| du+
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau \prime \prime 2 (u)| du. (32)
Враховуючи, що
\tau \prime \prime 1 (u) = r(r + 1)
\bigl(
1 - e - u\gamma - u\gamma
\bigr)
u - r - 2 - 2\gamma u\gamma - r - 2
\bigl(
e - u\gamma - 1
\bigr)
+
+\gamma
\bigl(
(\gamma - 1)u\gamma - 2(e - u\gamma - 1) - \gamma u2\gamma - 2e - u\gamma
\bigr)
u - r,
знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
514 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1\int
1\surd
\delta
| \tau \prime \prime 1 (u)| du \leq r(r + 1)
1\int
1
\gamma \surd
\delta
(e - u\gamma + u\gamma - 1)u - r - 2du+
+2\gamma r
1\int
1
\gamma \surd
\delta
(1 - e - u\gamma )u\gamma - r - 2du+ \gamma
1\int
1
\gamma \surd
\delta
\bigm| \bigm| (\gamma - 1)u\gamma - 2(e - u\gamma - 1) - \gamma u2\gamma - 2e - u\gamma
\bigm| \bigm| u - rdu.
Враховуючи (23), другу нерiвнiсть з (14) i нерiвнiсть\bigm| \bigm| (\gamma - 1)u\gamma - 2(e - u\gamma - 1) - \gamma u2\gamma - 2e - u\gamma
\bigm| \bigm| \leq (2\gamma - 1)u2\gamma - 2, u \in [0,\infty ),
маємо
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau \prime \prime 1 (u)| du \leq
\biggl(
r(r + 1)
2
+ 2\gamma r + \gamma (2\gamma - 1)
\biggr) 1\int
1
\gamma \surd
\delta
u2\gamma - r - 2du =
=
\left\{ K1 +K2\delta
r+1
\gamma
- 2
, r \not = 2\gamma - 1,
K3 \mathrm{l}\mathrm{n} \delta , r = 2\gamma - 1.
(33)
Для другого iнтеграла з правої частини рiвностi (32) очевидною є оцiнка
1\int
1
\gamma \surd
\delta
| \tau \prime \prime 2 (u)| du = O
\Bigl(
1 + \delta
r+1
\gamma
- 1
\Bigr)
, \delta \rightarrow \infty . (34)
Враховуючи (33), (34), iз (32) знаходимо
1\int
1\surd
\delta
| \tau \prime \prime (u)| du = O
\bigl(
1 + \delta
r+1
\gamma
- 1\bigr)
, \delta \rightarrow \infty . (35)
Нехай тепер u \in [1,\infty ). Проводячи аналогiчнi мiркування, як i при оцiнюваннi другого
iнтеграла з (11), отримуємо
\infty \int
1
| \tau \prime \prime (u)| du = O(1), \delta \rightarrow \infty . (36)
Об’єднуючи формули (31), (35) i (36), iз (30) одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = O
\Bigl(
\delta
r+1
\gamma
- 1
\Bigr) 1
t2
при 0 < \gamma \leq 1 i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ W r
\beta ,\infty УЗАГАЛЬНЕНИМИ IНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ – ПУАССОНА 515\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = O
\Bigl(
1 + \delta
r+1
\gamma
- 1
\Bigr) 1
t2
при 1 < \gamma \leq 2. Звiдси
a(\tau ) =
\int
| t| \geq
\gamma \surd
\delta \pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt =
\left\{ O
\Bigl(
\delta
r
\gamma
- 1
\Bigr)
, 0 < \gamma \leq 1,
O
\Bigl(
\delta
- 1
\gamma + \delta
r
\gamma
- 1
\Bigr)
, 1 < \gamma \leq 2.
Iз останньої рiвностi та спiввiдношення (9) випливає, що мають мiсце рiвностi (5) i (6).
Теорему доведено.
Лiтература
1. А. И. Степанец, Методы теории приближения, Ин-т математики НАН Украины, Киев (2002).
2. Л. П. Фалалеев, О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона, Сиб. мат. журн., 42,
№ 4, 926 – 936 (2001).
3. Я. С. Бугров, Неравенства типа неравенств Бернштейна и их применение к исследованию дифференциальных
свойств решений дифференциальных уравнений высшего порядка, Math. Cluj, 5, № 1, 5 – 25 (1963).
4. И. П. Натансон, О порядке приближения непрерывной 2\pi -периодической функции при помощи ее интеграла
Пуассона, Докл. АН СССР, 72, № 1, 11 – 14 (1950).
5. А. Ф. Тиман, Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегра-
лами Пуассона, Докл. АН СССР, 74, № 1, 17 – 20 (1950).
6. I. V. Kal’chuk, Yu. I. Kharkevych, K. V. Pozharska, Asymptotics of approximation of functions by conjugate Poisson
integrals, Carpatian Math. Publ., 12, № 1, 138 – 147 (2020).
7. В. А. Баскаков, О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона, Мат. заметки, 17,
№ 2, 169 – 180 (1975).
8. O. L. Shvai, K. V. Pozharska, On some approximation properties of Gauss – Weierstrass singular operators, J. Math.
Sci., 260, № 5, 693 – 699 (2022).
9. Л. И. Баусов, О приближении функций класса Z\alpha положительными методами суммирования рядов Фурье,
Успехи мат. наук, 16, № 3, 143 – 149 (1961).
10. Л. И. Баусов, Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами. I, Изв.
вузов, 46, № 3, 15 – 31 (1965).
11. Yu. I. Kharkevych, Asymptotic expansions of upper bounds of deviations of functions of class W r from their
generalized Poisson integrals, J. Automat. and Inform. Sci., 50, № 8, 38 – 49 (2018).
12. I. V. Kal’chuk, Yu. I. Kharkevych, Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes
by the Poisson integrals, Acta Comment. Univ. Tartu. Math., 22, № 1, 23 – 36 (2018).
13. Yu. I. Kharkevych, On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson type integrals, J. Automat. and
Inform. Sci., 49, № 10, 74 – 81 (2017).
14. I. V. Kal’chuk, Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators,
Ukr. Math. J., 59, № 9, 1342 – 1363 (2007).
15. I. V. Kal’chuk, V. I. Kravets, U. Z. Hrabova, Approximation of the classes W r
\beta H
\alpha by three-harmonic Poisson
integrals, J. Math. Sci., 246, № 1, 39 – 50 (2020).
16. F. G. Abdullayev, Yu. I. Kharkevych, Approximation of the classes C\psi \beta H
\alpha by biharmonic Poisson integrals, Ukr.
Math. J., 72, № 1, 21 – 38 (2020).
Одержано 15.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7164 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:48Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/6fa724823ef5df8fbf6b39d571763b68.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71642022-07-06T16:22:31Z Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals Приближение классов $W^{r}_{\beta,\infty}$ обобщенными интегралами Абеля--Пуассона Наближення класів $W^{r}_{\beta,\infty}$ узагальненими інтегралами Абеля – Пуассона Kal'chuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, Инна Харкевич, Юрий Кальчук, I. В. Харкевич, Ю. I. узагальнений інтеграл Абеля-Пуассона класи Вейля-Надя асимптотична рівність рівномірна метрика generalized Abel-Poisson integral Weil-Nagy classes asymptotic equality uniform metric UDC 517.5I We study the approximative properties of generalized Abel–Poisson integrals $P_{\gamma}(\delta),$ $0&lt;\gamma\leq2,$ on the Weil–Nagy classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ under the condition $0&lt;r\leq\gamma$ in the uniform metric. В работе проведено исследование апроксимативных свойств обобщенных интегралов Абеля-Пуассона $P_{\gamma}(\delta), 0&lt;\gamma\leq2,$ на классах Вейля-Надя $W^{r}_{\beta,\infty}$ в случае $0&lt;r\leq\gamma$ в равномерной метрике УДК 517.5 Проведено дослідження апроксимативних властивостей узагальнених інтегралів Абеля–Пуассона $P_{\gamma}(\delta),$ $0&lt;\gamma&nbsp;\leq2,$ на класах Вейля–Надя $W^{r}_{\beta,\infty}$ у випадку $0&lt;r\leq\gamma$ в рівномірній метриці.&nbsp; &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-05-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7164 10.37863/umzh.v74i4.7164 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 4 (2022); 507 - 515 Український математичний журнал; Том 74 № 4 (2022); 507 - 515 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7164/9220 Copyright (c) 2022 Інна Кальчук, Юрій Харкевич |
| spellingShingle | Kal'chuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, Инна Харкевич, Юрий Кальчук, I. В. Харкевич, Ю. I. Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title | Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title_alt | Приближение классов $W^{r}_{\beta,\infty}$ обобщенными интегралами Абеля--Пуассона Наближення класів $W^{r}_{\beta,\infty}$ узагальненими інтегралами Абеля – Пуассона |
| title_full | Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title_short | Approximation of the classes $W^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized Abel-Poisson integrals |
| title_sort | approximation of the classes $w^{r}_{\beta,\infty}$ by generalized abel-poisson integrals |
| topic_facet | узагальнений інтеграл Абеля-Пуассона класи Вейля-Надя асимптотична рівність рівномірна метрика generalized Abel-Poisson integral Weil-Nagy classes asymptotic equality uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7164 |
| work_keys_str_mv | AT kal039chukiv approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT kalʹčukinna approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT harkevičûrij approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT kalʹčukiv approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT harkevičûi approximationoftheclasseswrbetainftybygeneralizedabelpoissonintegrals AT kal039chukiv približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT kharkevychyui približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT kalʹčukinna približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT harkevičûrij približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT kalʹčukiv približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT harkevičûi približenieklassovwrbetainftyobobŝennymiintegralamiabelâpuassona AT kal039chukiv nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona AT kharkevychyui nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona AT kalʹčukinna nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona AT harkevičûrij nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona AT kalʹčukiv nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona AT harkevičûi nabližennâklasívwrbetainftyuzagalʹnenimiíntegralamiabelâpuassona |