Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems
UDC 517.925.51; 681.5.03 We consider a class of linear descriptor control systems with bounded perturbations and establish a criterion and sufficient conditions for the existence of static controllers guaranteeing that the closed-loop system is admissible and satisifies a desired estimate for the we...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7167 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512629356756992 |
|---|---|
| author | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. |
| author_facet | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. |
| author_sort | Mazko, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:15Z |
| description | UDC 517.925.51; 681.5.03
We consider a class of linear descriptor control systems with bounded perturbations and establish a criterion and sufficient conditions for the existence of static controllers guaranteeing that the closed-loop system is admissible and satisifies a desired estimate for the weighted  level of damping of the external and initial disturbances.  We propose new methods for the synthesis of generalized state-feedback $H_\infty$-controllers that are reduced to solving linear matrix inequalities without additional constraints. In order to illustrate the accumulated results, we present an example of descriptor system for the stabilization of an electric circuit. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i7.7167 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i7.7167
УДК 517.925.51; 681.5.03
О. Г. Мазко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI
У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ КЕРУВАННЯ*
We consider a class of linear descriptor control systems with bounded perturbations and establish a criterion and sufficient
conditions for the existence of static controllers guaranteeing that the closed-loop system is admissible and satisifies a
desired estimate for the weighted level of damping of the external and initial disturbances. We propose new methods for
the synthesis of generalized state-feedback H\infty -controllers that are reduced to solving linear matrix inequalities without
additional constraints. In order to illustrate the accumulated results, we present an example of descriptor system for the
stabilization of an electric circuit.
Розглянуто клас лiнiйних дескрипторних систем керування з обмеженими збуреннями. Встановлено критерiй та
достатнi умови iснування статичних регуляторiв, при яких замкнена система є допустимою i гарантується бажана
оцiнка зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. Запропоновано новi методи синтезу узагальнених
H\infty -регуляторiв за станом, що зводяться до розв’язання лiнiйних матричних нерiвностей без додаткових обмежень.
Для iлюстрацiї отриманих результатiв наведено приклад дескрипторної системи стабiлiзацiї електричного кола.
1. Вступ. У сучаснiй теорiї керування велика увага придiляється диференцiально-алгебраїч-
ним (дескрипторним) системам, якi моделюють рух багатьох фiзичних об’єктiв iз фазовими
обмеженнями у просторi станiв (див., наприклад, [1 – 6]). Рiвняння руху, а також входiв i виходiв
таких об’єктiв можуть мiстити невизначенi елементи (параметри, зовнiшнi збурення тощо),
що спричиняє необхiднiсть розв’язання проблем робастної стабiлiзацiї та мiнiмiзацiї впливу
обмежених збурень на якiсть перехiдних процесiв (H\infty -оптимiзацiя).
У класичнiй теорiї H\infty -керування критерiєм якостi системи з нульовим початковим станом
є рiвень гасiння зовнiшнiх (екзогенних) збурень, який характеризує максимальне значення вiд-
ношення L2-норм векторiв керованого виходу i збурень. Для лiнiйної системи даний критерiй
якостi збiгається з H\infty -нормою її матричної передавальної функцiї [7, 8]. На практицi доцiль-
но застосовувати узагальненi критерiї якостi керованих систем, якi характеризують зважений
рiвень гасiння зовнiшнiх збурень, а також початкових збурень, обумовлених ненульовим почат-
ковим вектором [9 – 11]. За допомогою вагових коефiцiєнтiв у таких критерiях якостi можна
встановити прiоритети мiж компонентами керованого виходу i невизначених збурень у системi
керування.
В данiй роботi викладено новi результати щодо оцiнки та застосування зважених критерiїв
якостi в задачi узагальненого H\infty -керування для класу лiнiйних дескрипторних систем. В тер-
мiнах лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН) встановлено новий критерiй виконання заданої
верхньої оцiнки зваженого критерiю якостi дескрипторної системи. Аналогiчнi твердження в
лiтературi вiдомi як „bounded real lemma” [12, 13]. Для дескрипторної системи керування сфор-
мульовано необхiднi та достатнi умови iснування статичного регулятора за спостережуваним
виходом, при якому замкнена система є допустимою i гарантується задана оцiнка зваженого
критерiю якостi. Практична реалiзацiя даних умов у загальному випадку вимагає додаткових
* Виконано за часткової фiнансової пiдтримки за проєктом „Iнновацiйнi методи у теорiї диференцiальних рiв-
нянь, обчислювальнiй математицi та математичному моделюваннi”.
c\bigcirc О. Г. МАЗКО, 2022
980 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI . . . 981
дослiджень i розробку спецiальних обчислювальних процедур. Проте задачу синтезу статичних
регуляторiв за станом, що забезпечують дескрипторнiй системi вказанi властивостi, зведено до
розв’язання системи ЛМН без додаткових обмежень.
Будемо використовувати такi позначення: In — одинична матриця порядку n; 0n\times m —
нульова матриця розмiру n \times m; X = X\top > 0 (\geq 0) — додатно (невiд’ємно) визначена
симетрична матриця X ; \sigma (A) — спектр матрицi A; A - 1 (A\top ) — обернена (транспонована)
матриця; \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A — ядро матрицi A; WA — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A;
\| w\| P — зважена L2-норма вектор-функцiї w(t),
\mathrm{C}\mathrm{o}\{ A1, . . . , A\nu \} =
\Biggl\{
\nu \sum
i=1
aiAi : ai \geq 0, i = 1, \nu ,
\nu \sum
i=1
ai = 1
\Biggr\}
— опуклий багатогранник (полiтоп) з вершинами A1, . . . , A\nu у просторi матриць.
2. Означення i допомiжнi твердження. Розглянемо дескрипторну систему з обмеженими
збуреннями
E \.x = Ax+Bw, z = Cx+Dw, x(0) = x0, (2.1)
де x \in \BbbR n, z \in \BbbR k i w \in \BbbR s — вектори вiдповiдно стану, виходу i зовнiшнiх (екзогенних)
збурень, E, A, B, C i D — сталi матрицi вiдповiдних розмiрiв, причому \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E = \rho < n.
Компонентами невизначених збурень можуть бути як зовнiшнi збурення, що дiють на систему,
так i похибки вимiрюваного виходу.
Означення 2.1. Система (2.1) називається допустимою, якщо пара матриць (A,E) регу-
лярна, стiйка i неiмпульсна, тобто вiдповiдно \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}F (\lambda ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A - \lambda E) \not \equiv 0, \lambda \in \BbbC , \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda i < 0,
i = 1, \alpha i \alpha = \rho , де \Sigma = \{ \lambda 1, . . . , \lambda \alpha \} — скiнченний спектр в’язки матриць F (\lambda ) = A - \lambda E
(див., наприклад, [3, с. 57 – 113]).
Вiдомо [14], що система (2.1) є допустимою тодi й лише тодi, коли iснує матриця X, що
задовольняє ЛМН A\top X +X\top A < 0 i додаткову умову
E\top X = X\top E \geq 0. (2.2)
При цьому спiввiдношення (2.2) за рангової умови \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl(
E\top X
\bigr)
= \rho еквiвалентне зображенню
матрицi X у виглядi [10]
X = SE +WE\top G, E\top
l SEl > 0, S = S\top \in \BbbR n\times n, G \in \BbbR (n - \rho )\times n,
де WE\top — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра матрицi E\top , а El — матриця повного
рангу \rho за стовпцями у скелетному розкладi E = ElE
\top
r .
Розглянемо зважений критерiй якостi системи (2.1) вигляду [11]
J = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(w,x0)\in \scrW
\| z\| Q\sqrt{}
\| w\| 2P + x\top 0 X0x0
, (2.3)
де
\| z\| 2Q =
\infty \int
0
z\top Qz dt, \| w\| 2P =
\infty \int
0
w\top Pw dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
982 О. Г. МАЗКО
\scrW — множина допустимих пар (w, x0) системи, для яких виконується нерiвнiсть 0 < \| w\| 2P +
+x\top 0 X0x0 < \infty , а P = P\top > 0, Q = Q\top > 0 i X0 = E\top HE, H = H\top > 0, — заданi ваговi мат-
рицi. Значення J характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх збурень, а також початкових
збурень, обумовлених ненульовим початковим вектором. Застосування вагових коефiцiєнтiв у
(2.3) дає можливiсть встановити прiоритети впливу вiдповiдних компонент векторiв w, z i x0
на формування значення критерiю якостi J.
У випадку x0 \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}E значення виразу J в (2.3) позначимо через J0. Оскiльки H > 0, то
x0 \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}E тодi й лише тодi, коли x\top 0 X0x0 = 0. Очевидно, що J0 \leq J, оскiльки \scrW 0 \subseteq \scrW , де
\scrW 0 — множина допустимих пар (w, x0) в означеннi виразу J0. У випадку одиничних матриць
P = Is i Q = Ik вираз J0 характеризує типовий критерiй якостi, що використовується в задачах
H\infty -оптимiзацiї систем, i його значення збiгається з H\infty -нормою матричної передавальної
функцiї системи (2.1):
\| Gzw\| \infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \BbbR
\sqrt{}
\lambda max(G\top ( - i\omega )G(i\omega )), G(\lambda ) = C(\lambda E - A) - 1B +D.
У даному випадку всi компоненти векторiв збурень i виходу системи рiвноцiннi при формуваннi
значення критерiю якостi J0.
Вектор збурення w(t) i початковий вектор x0 є найгiршими в системi (2.1) щодо критерiю
якостi J, якщо на їхнiх значеннях в (2.3) досягається супремум, тобто
\| z\| 2Q = J2
\Bigl(
\| w\| 2P + x\top 0 X0x0
\Bigr)
.
Метод знаходження таких векторiв для дескрипторних систем запропоновано в [15].
Лема 2.1 [16]. Якщо iснує невироджена матриця X, що задовольняє систему спiввiдно-
шень \Biggl[
A\top X +X\top A+ C\top QC X\top B + C\top QD
B\top X +D\top QC D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
< 0, (2.4)
0 \leq E\top X = X\top E \leq \gamma 2X0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Bigl(
E\top X - \gamma 2X0
\Bigr)
= \rho , (2.5)
де \gamma > 0, то система (2.1) допустима i виконується оцiнка J < \gamma . Зворотне твердження
виконується за умови
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl[
E\top C\top QD
\bigr]
= \rho . (2.6)
Якщо в лемi 2.1 не використовувати спiввiдношення з ваговою матрицею X0, тобто замiсть
(2.5) взяти (2.2), то матимемо достатнi та необхiднi умови, при яких система (2.1) допустима i
виконується оцiнка J0 < \gamma .
Лема 2.2 [17]. Для невироджених матриць X i Y, пов’язаних рiвнiстю
XY = \gamma 2In, (2.7)
еквiвалентнi такi твердження:
(i) виконується система спiввiдношень (2.5);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI . . . 983
(ii) iснують матрицi S = S\top \in \BbbR n\times n i G \in \BbbR (n - \rho )\times n, при яких
X = SE +WE\top G, 0 < E\top
l SEl < \gamma 2E\top
l HEl; (2.8)
(iii) iснують матрицi T = T\top \in \BbbR n\times n i F \in \BbbR (n - \rho )\times n, при яких
Y = TE\top +WEF, E\top
r TEr >
\Bigl(
E\top
l HEl
\Bigr) - 1
. (2.9)
Лема 2.3. Система (2.1) допустима i виконується оцiнка J < \gamma тодi й лише тодi, коли
система ЛМН (2.8) i
\Xi \gamma =
\Biggl[
A\top X +X\top A+ C\top QC X\top B +A\top WE\top \Lambda + C\top QD
B\top X + \Lambda \top W\top
E\top A+D\top QC B\top WE\top \Lambda + \Lambda \top W\top
E\top B +D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
< 0 (2.10)
сумiсна щодо S = S\top \in \BbbR n\times n, G \in \BbbR (n - \rho )\times n i \Lambda \in \BbbR (n - \rho )\times s.
Доведення. Запишемо систему (2.1) у виглядi
\widetilde E \.\widetilde x = \widetilde A\widetilde x+ \widetilde Bw, z = \widetilde C\widetilde x, \widetilde x(0) = \widetilde x0, (2.11)
де
\widetilde E =
\Biggl[
E 0
0 0
\Biggr]
, \widetilde A =
\Biggl[
A 0
0 Is
\Biggr]
, \widetilde B =
\Biggl[
B
- Is
\Biggr]
, \widetilde C =
\bigl[
C D
\bigr]
, \widetilde x =
\Biggl[
x
w
\Biggr]
.
Для даної системи виконується рангова умова (2.1), тобто \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Bigl[ \widetilde E\top \widetilde C\top Q \widetilde D\Bigr]
= \rho , де \widetilde D = 0.
За лемою 2.1 система (2.11) допустима i виконується оцiнка J < \gamma тодi й лише тодi, коли для
деякої матрицi \widetilde X виконуються спiввiдношення\Biggl[ \widetilde A\top \widetilde X + \widetilde X\top \widetilde A+ \widetilde C\top Q \widetilde C \widetilde X\top \widetilde B\widetilde B\top \widetilde X - \gamma 2P
\Biggr]
< 0, (2.12)
0 \leq \widetilde E\top \widetilde X = \widetilde X\top \widetilde E \leq \gamma 2 \widetilde X0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Bigl( \widetilde E\top \widetilde X - \gamma 2 \widetilde X0
\Bigr)
= \rho , (2.13)
\widetilde X0 = \widetilde E\top \widetilde H \widetilde E =
\Biggl[
X0 0
0 0
\Biggr]
, \widetilde X =
\Biggl[
X X3
X1 X2
\Biggr]
.
Спiввiдношення (2.5) i (2.13) еквiвалентнi, причому E\top X3 = 0, тобто X3 = WE\top \Lambda для деякої
матрицi \Lambda . Матрична нерiвнiсть (2.12) має вигляд
\widetilde \Xi =
\left[
A\top X +X\top A+ C\top QC A\top X3 +X\top
1 + C\top QD X\top B - X\top
1
X1 +X\top
3 A+D\top QC X2 +X\top
2 +D\top QD X\top
3 B - X\top
2
B\top X - X1 B\top X3 - X2 - \gamma 2P
\right] < 0.
Звiдси, зокрема, випливає, що матриця X повинна бути невиродженою. Iнакше для деякого
ненульового вектора x \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}X квадратична форма x\top \widetilde \Xi 11x \geq 0, де \widetilde \Xi 11 — перший дiагональний
блок матрицi \widetilde \Xi , що суперечить умовi \widetilde \Xi < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
984 О. Г. МАЗКО
Виконаємо таке конгруентне перетворення матрицi \widetilde \Xi :
\Theta \top \widetilde \Xi \Theta =
\left[ \Xi \gamma
X\top B - X\top
1
X\top
3 B - \gamma 2P - X\top
2
B\top X - X1 B\top X3 - \gamma 2P - X2 - \gamma 2P
\right] < 0,
де
\Theta =
\left[
In 0 0
0 Is 0
0 Is Is
\right] .
Очевидно, що для виконання останньої нерiвностi необхiдна умова (2.10). При цьому \widetilde \Xi < 0,
якщо, наприклад, X1 = B\top X i X2 = X\top
3 B - \gamma 2P.
Оскiльки матриця X невироджена, то можна скористатись еквiвалентнiстю тверджень (i)
та (ii) в лемi 2.2. Отже, спiввiдношення (2.8) i (2.10) необхiднi й достатнi для того, щоб
система (2.1) була допустимою i виконувалась оцiнка J < \gamma .
Лему 2.3 доведено.
Зауваження 2.1. Твердження леми 2.3, на вiдмiну вiд леми 2.1, сформульовано виключно в
термiнах строгих ЛМН без додаткових обмежень. Тому спiввiдношення (2.8) i (2.10) доцiльно
використовувати при обчисленнi значення J, розв’язуючи оптимiзацiйну задачу
J = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\gamma : \Xi \gamma < 0, 0 < E\top
l SEl < \gamma 2E\top
l HEl
\Bigr\}
,
до того ж
J0 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\gamma : \Xi \gamma < 0, E\top
l SEl > 0
\Bigr\}
.
В задачах зваженої H\infty -оптимiзацiї дескрипторних систем з невизначеними коефiцiєнтами
замiсть (2.10) можна використовувати еквiвалентну матричну нерiвнiсть\left[
A\top X +X\top A X\top B +A\top WE\top \Lambda C\top
B\top X + \Lambda \top W\top
E\top A B\top WE\top \Lambda + \Lambda \top W\top
E\top B - \gamma 2P D\top
C D - Q - 1
\right] < 0, (2.14)
яка є лiнiйною щодо невiдомих матриць X i \Lambda , а також вихiдних матриць A, B, C i D
системи (2.1). Еквiвалентнiсть спiввiдношень (2.10) i (2.14) є наслiдком леми Шура для блочних
матричних нерiвностей (див., наприклад, [7, с. 7]).
3. Основнi результати. Розглянемо дескрипторну систему керування
E \.x = Ax+B1w +B2u, x(0) = x0,
z = C1x+D11w +D12u, (3.1)
y = C2x+D21w +D22u,
де x \in \BbbR n, u \in \BbbR m, w \in \BbbR s, z \in \BbbR k i y \in \BbbR l — вектори вiдповiдно стану, керування, зовнiшнiх
збурень, керованого i спостережуваного виходiв. Всi матричнi коефiцiєнти в (3.1) сталi, до того
ж пара (E,A) регулярна i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E = \rho \leq n. Нас цiкавлять стабiлiзуючi закони керування, якi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI . . . 985
гарантують бажану оцiнку J < \gamma критерiю якостi (2.3) замкненої системи щодо керованого
виходу z. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують критерiй якостi J, називатимемо
J -оптимальними. J0-оптимальне керування у випадку одиничних вагових матриць P i Q є
H\infty -оптимальним.
При дослiдженнi класу систем (3.1) використовуються поняття типу керованостi та (двоїстi
до них) спостережуваностi. На вiдмiну вiд звичайних систем дескрипторнi системи мають
кiлька типiв керованостi та спостережуваностi (див., наприклад, [3, 4, 18]). Для успiшного
розв’язання задач J -оптимiзацiї за виходом для системи (3.1) необхiдно, щоб дана система
була стабiлiзовною та I -керованою, а також детектовною та I -спостережуваною. Критерiями
I -керованостi та I -спостережуваностi системи (3.1) є вiдповiднi ранговi умови
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E 0 0
A E B2
\Biggr]
= n+ \rho , \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E\top 0 0
A\top E\top C\top
2
\Biggr]
= n+ \rho .
Нехай керування у системi (3.1) виконує статичний регулятор за спостережуваним виходом
u = Ky, K \in \BbbR m\times l. (3.2)
Тодi за умови \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Im - KD22) \not = 0 замкнена система має вигляд
E \.x = A\ast x+B\ast w, z = C\ast x+D\ast w, (3.3)
де \Biggl[
A\ast B\ast
C\ast D\ast
\Biggr]
=
\Biggl[
A B1
C1 D11
\Biggr]
+
\Biggl[
B2
D12
\Biggr]
K\ast
\bigl[
C2 D21
\bigr]
, K\ast = (Im - KD22)
- 1K.
Запишемо матричну нерiвнiсть (2.14) для системи (3.3) у виглядi\left[
A\top
\ast X +X\top A\ast X\top B\ast +A\top
\ast \Lambda 0 C\top
\ast
B\top
\ast X + \Lambda \top
0 A\ast B\top
\ast \Lambda 0 + \Lambda \top
0 B\ast - \gamma 2P D\top
\ast
C\ast D\ast - Q - 1
\right] < 0,
де \Lambda 0 = WE\top \Lambda . Враховуючи лiнiйну залежнiсть матричних коефiцiєнтiв системи A\ast = A +
+ B2K\ast C2, B\ast = B1 + B2K\ast D21, C\ast = C1 + D12K\ast C2 i D\ast = D11 + D12K\ast D21 вiд K\ast ,
останню нерiвнiсть можна записати у виглядi ЛМН щодо K\ast :
\widetilde L\top K\ast \widetilde R+ \widetilde R\top K\top
\ast
\widetilde L+\Omega < 0, (3.4)
де
\widetilde L =
\bigl[
B\top
2 D\top
12 0
\bigr]
\Delta , \Delta =
\left[
X \Lambda 0 0
0 0 Ik
0 Is 0
\right] , \widetilde R =
\bigl[
C2 D21 0
\bigr]
,
\Omega =
\left[
A\top X +X\top A X\top B1 +A\top \Lambda 0 C\top
1
B\top
1 X + \Lambda \top
0 A B\top
1 \Lambda 0 + \Lambda \top
0 B1 - \gamma 2P D\top
11
C1 D11 - Q - 1
\right] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
986 О. Г. МАЗКО
Також в цьому можна переконатися безпосередньо за допомогою блочно-матричних обчислень
виразу (3.4).
Необхiднi та достатнi умови сумiсностi нерiвностi (3.4) мають вигляд [12]
W\top \widetilde L \Omega W\widetilde L < 0, W\top \widetilde R\Omega W \widetilde R < 0. (3.5)
Оскiльки
W\widetilde L = \Delta - 1
\Biggl[
WL 0
0 Is
\Biggr]
, \Delta - 1 =
\left[
X - 1 0 - X - 1\Lambda 0
0 0 Is
0 Ik 0
\right] , W \widetilde R =
\Biggl[
WR 0
0 Ik
\Biggr]
,
то умови (3.5) набирають вигляду
\Biggl[
W\top
L 0
0 Is
\Biggr] \left[
AY + Y \top A\top Y \top C\top
1 B1 - A\Lambda 1
C1Y - \gamma 2Q - 1 D11 - C1\Lambda 1
B\top
1 - \Lambda \top
1 A
\top D\top
11 - \Lambda \top
1 C
\top
1 - P
\right]
\Biggl[
WL 0
0 Is
\Biggr]
< 0, (3.6)
\Biggl[
W\top
R 0
0 Ik
\Biggr] \left[ A\top X +X\top A X\top B1 +A\top \Lambda 0 C\top
1
B\top
1 X + \Lambda \top
0 A B\top
1 \Lambda 0 + \Lambda \top
0 B1 - \gamma 2P D\top
11
C1 D11 - Q - 1
\right] \Biggl[ WR 0
0 Ik
\Biggr]
< 0, (3.7)
де
L =
\bigl[
B\top
2 D\top
12
\bigr]
, R =
\bigl[
C2 D21
\bigr]
, \Lambda 1 = \gamma - 2Y \Lambda 0,
а невиродженi матрицi X i Y пов’язанi рiвнiстю (2.7).
Отже, на основi лем 2.2, 2.3 i критерiю (3.5) сумiсностi ЛМН (3.4) маємо такий результат.
Теорема 3.1. Для системи (3.1) iснує статичний регулятор (3.2), при якому замкнена сис-
тема (3.3) допустима i виконується оцiнка J < \gamma , тодi й лише тодi, коли система матричних
спiввiдношень (2.7), (2.8), (3.6) i (3.7) сумiсна щодо S = S\top , G, Y i \Lambda .
Побудова статичного регулятора за спостережуваним виходом на основi теореми 3.1 в
загальному випадку є складною обчислювальною задачею. При застосуваннi статичного регу-
лятора за станом умови даної теореми суттєво спрощуються i зводяться до розв’язання системи
ЛМН без додаткових обмежень.
Теорема 3.2. Нехай виконуються умови
C2 = In, D21 = 0, D22 = 0, (3.8)
\exists \beta \in \BbbR : 2\beta B\top
1 WE\top W\top
E\top B1 +D\top
11QD11 - \gamma 2P < 0. (3.9)
Тодi iснує статичний регулятор за станом u = Kx, при якому замкнена система (3.3) допус-
тима i виконується оцiнка J < \gamma , якщо система ЛМН (2.9) i (3.6), де
\Lambda 1 =
\beta
\gamma 2
WEFWE\top W\top
E\top B1, (3.10)
сумiсна щодо T = T\top i F.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI . . . 987
Доведення. За умов (3.8) до системи (3.1) застосовуємо статичний регулятор (3.2) при
y = x. При цьому A\ast = A + B2K, B\ast = B1, C\ast = C1 + D12K, D\ast = D11, K\ast = K i
WR =
\bigl[
0 Is
\bigr] \top
. На пiдставi леми Шура умова (3.7) теореми 3.1 набирає вигляду
B\top
1 WE\top \Lambda + \Lambda \top W\top
E\top B1 +D\top
11QD11 - \gamma 2P < 0.
Остання нерiвнiсть має розв’язок \Lambda тодi й лише тодi, коли виконується умова (3.9) [7]. Ви-
користовуючи один iз розв’язкiв \Lambda = \beta W\top
E\top B1, структуру матрицi Y в (2.9) i вираз (3.10),
отримуємо ЛМН (3.6) щодо T = T\top i F. Крiм того, враховуючи еквiвалентнiсть тверджень
(ii) та (iii) в лемi 2.2, замiсть (2.8) можна використати спiввiдношення (2.9). Отже, необхiднi та
достатнi умови в теоремi 3.1 зводяться до двох ЛМН (2.9) i (3.6) з виразом (3.10) щодо T = T\top
i F.
Теорему 3.2 доведено.
Зауваження 3.1. При виконаннi умов теореми 3.1 матрицю шуканого регулятора (3.2) мож-
на побудувати у виглядi K = K\ast (Il + D22K\ast )
- 1, де K\ast — розв’язок ЛМН (3.4). Побудова
статичного регулятора за станом на основi теореми 3.2 зводиться до розв’язання трьох ЛМН
без додаткових обмежень.
Теорема 3.3. Нехай виконуються умови
C2 = In, D11 = 0, D21 = 0, D22 = 0. (3.11)
Якщо матрицi T = T\top , F i Z задовольняють систему ЛМН (2.9) i\Biggl[
\gamma 2
\bigl(
AY + Y \top A\top +B1P
- 1B\top
1 +B2Z + Z\top B\top
2
\bigr)
Y \top C\top
1 + Z\top D\top
12
C1Y +D12Z - Q - 1
\Biggr]
< 0, (3.12)
то система (3.1) зi статичним регулятором за станом
u = Kx, K = ZY - 1, (3.13)
є допустимою i виконується оцiнка J < \gamma . Навпаки, якщо для деякого регулятора u = Kx
замкнена система (3.3) допустима i виконується оцiнка J < \gamma , то система ЛМН (2.9) i (3.12)
сумiсна.
Доведення. За умов (3.11) матрицi замкненої системи A\ast = A + B2K, B\ast = B1, C\ast =
= C1 +D12K i D\ast = 0. За лемою 2.1 дана система допустима i J < \gamma тодi й лише тодi, коли
сумiсна система спiввiдношень (2.5) i
\Omega \ast =
\left[
A\top
\ast X +X\top A\ast X\top B\ast C\top
\ast
B\top
\ast X - \gamma 2P 0
C\ast 0 - Q - 1
\right] < 0.
При цьому за лемою 2.2 спiввiдношення (2.5), (2.8) i (2.9) еквiвалентнi. Застосуємо таке кон-
груентне перетворення матрицi \Omega \ast :
\Gamma \top \Omega \ast \Gamma =
\left[
\gamma 2
\bigl(
A\ast Y + Y \top A\top
\ast +B\ast P
- 1B\top
\ast
\bigr)
0 Y \top C\top
\ast
0 - \gamma 2P 0
C\ast Y 0 - Q - 1
\right] < 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
988 О. Г. МАЗКО
де
\Gamma =
\left[
Y 0 0
P - 1B\top
\ast Is 0
0 0 Ik
\right] , Y = \gamma 2X - 1.
Очевидно, що матричнi нерiвностi \Omega \ast < 0 i\Biggl[
\gamma 2
\bigl(
A\ast Y + Y \top A\top
\ast +B\ast P
- 1B\top
\ast
\bigr)
Y \top C\top
\ast
C\ast Y - Q - 1
\Biggr]
< 0
еквiвалентнi. На пiдставi (2.9) i (3.13) остання нерiвнiсть збiгається з (3.12). Навпаки, якщо для
деяких матриць K i X виконуються спiввiдношення (2.5) i \Omega \ast < 0, то iснує таке зображення
матрицi Y = TE\top +WEF, при якому система ЛМН (2.9) i (3.12) сумiсна.
Теорему 3.3 доведено.
Теореми 3.1 – 3.3 можна поширити на вiдповiднi класи систем (3.1) з полiедральною не-
визначенiстю матричних коефiцiєнтiв. Для цього замiсть (3.6), (3.7) i (3.12) слiд використати
вiдповiднi системи матричних нерiвностей, сформованих для всiх можливих наборiв вершин
заданих полiтопiв. Наведемо, наприклад, наслiдок теореми 3.3.
Наслiдок 3.1. Нехай виконуються умови (3.11) i
A \in \mathrm{C}\mathrm{o} \{ A1, . . . , A\nu 1\} , B1 \in \mathrm{C}\mathrm{o}
\Bigl\{
B
(1)
1 , . . . , B
(\nu 2)
1
\Bigr\}
, B2 \in \mathrm{C}\mathrm{o}
\Bigl\{
B
(1)
2 , . . . , B
(\nu 3)
2
\Bigr\}
,
C1 \in \mathrm{C}\mathrm{o}
\Bigl\{
C
(1)
1 , . . . , C
(\nu 4)
1
\Bigr\}
, D12 \in \mathrm{C}\mathrm{o}
\Bigl\{
D
(1)
12 , . . . , D
(\nu 5)
12
\Bigr\}
.
(3.14)
Якщо матрицi T = T\top , F i Z задовольняють систему ЛМН (2.9) i\left[ \gamma 2 \Bigl( AiY + Y \top A\top
i +B
(j)
1 P - 1B
(j)\top
1 +B
(p)
2 Z + Z\top B
(p)\top
2
\Bigr)
Y \top C
(q)\top
1 + Z\top D
(r)\top
12
C
(q)
1 Y +D
(r)
12 Z - Q - 1
\right] < 0,
i = 1, \nu 1, j = 1, \nu 2, p = 1, \nu 3, q = 1, \nu 4, r = 1, \nu 5,
то система (3.1) зi статичним регулятором за станом (3.13) є допустимою i виконується
оцiнка J < \gamma при будь-яких значеннях коефiцiєнтiв (3.14).
Зазначимо, що матричнi iнтервали й афiннi множини можна описати у виглядi полiтопiв.
Наприклад, матричний iнтервал
\scrA =
\bigl\{
A \in \BbbR n\times m : A \leq A \leq A
\bigr\}
, A =
\bigm\| \bigm\| aij\bigm\| \bigm\| n,mi,j=1
, A = \| aij\| n,mi,j=1 ,
де \leq — знак нерiвностi щодо конуса невiд’ємних матриць, описує полiтоп iз \nu = 2nm верши-
нами
Ak =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| akij\bigm\| \bigm\| \bigm\| n,m
i,j=1
, akij \in
\bigl\{
aij , aij
\bigr\}
, i = 1, n, j = 1,m, k = 1, \nu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
ОЦIНКА ТА ДОСЯГНЕННЯ ЗВАЖЕНИХ КРИТЕРIЇВ ЯКОСТI . . . 989
4. Приклад. Розглянемо систему керування електричним колом, що описується у виглядi
(3.1) з матрицями [19]
E =
\left[
L 0 0
0 C 0
0 0 0
\right] , A =
\left[
- R1 - 1 1
0 - 1/R2 0
1 0 0
\right] , B1 = B2 =
\left[
0
1
- 1
\right] ,
C1 =
\Biggl[
0 1 0
0 0 1
\Biggr]
, C2 = I3, D12 =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, D11 =
\Biggl[
0
d
\Biggr]
, D21 = D22 = 03\times 1,
де
x =
\bigl[
i v2 v1
\bigr] \top
, z =
\bigl[
v2 v1 + dw + u
\bigr] \top
, y = x,
L = 3 — iндуктивнiсть, C = 2 — ємнiсть, R1 = 2 i R2 = 1 — опори, i — струм, v1 i v2 —
напруги, u — керуючий сигнал джерела струму з обмеженим збуренням w, d — параметр. У
данiй системi пара матриць (E,A) iмпульсна, а (E,A,B2) i (E,A,C2) — вiдповiдно I -керована
та I -спостережувана трiйки матриць.
Виберемо ваговi матрицi критерiю якостi (2.3) P = 1, Q = I2, X0 = E\top E (H = In) i
наведемо результати розрахункiв у двох випадках.
Випадок d = 1. Iз застосуванням теореми 3.2 i комп’ютерної системи Matlab знайдено
матрицi
T =
\left[
2, 65967 - 0, 78874 - 11, 44372
- 0, 78874 0, 50223 - 28, 01395
- 11, 44372 - 28, 01395 0, 00000
\right] ,
F =
\bigl[
26, 05397 57, 67267 - 0, 06316
\bigr]
,
що задовольняють ЛМН (2.9) i (3.6) при \beta = - 1 i \gamma = 0, 5. Знайдено також матрицю статичного
регулятора за станом (див. зауваження 3.1)
K =
\bigl[
- 3, 87730 - 0, 38656 - 4, 62514
\bigr]
,
при якому замкнена система (3.3) допустима, має скiнченний спектр \{ - 0, 75909\pm 0, 33685 i\} i
виконується оцiнка J < \gamma . При цьому значення критерiїв якостi J = 0, 46428 i J0 = 0, 21620
обчислено на основi зауваження 2.1.
Випадок d = 0. У цьому випадку виконуються умови (3.11). На основi теореми 3.3 набли-
жено знайдено матрицю J -оптимального статичного регулятора за станом
K =
\bigl[
- 0, 04618 - 0, 08759 - 1, 00000
\bigr]
,
при якому замкнена система допустима i має мiнiмально можливе значення критерiю якостi
J \approx \gamma = 0, 47134 i скiнченний спектр \{ - 0, 75770\pm 0, 33891 i\} .
Для демонстрацiї наслiдку 3.1 введено iнтервальну невизначенiсть опорiв
R1 = 1, 5 \leq R1 \leq 2, 5 = R1, R2 = 0, 5 \leq R2 \leq 1, 5 = R2 (4.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
990 О. Г. МАЗКО
i при \gamma = 0, 6 знайдено матрицi
T =
\left[
1, 30369 - 0, 43438 - 0, 67369
- 0, 43438 0, 40919 0, 38024
- 0, 67369 0, 38024 0, 00000
\right] ,
F =
\bigl[
- 2, 09845 0, 95984 - 0, 85585
\bigr]
, Z =
\bigl[
4, 11648 - 2, 07990 1, 21632
\bigr]
,
що задовольняють систему п’яти ЛМН, сформовану згiдно з (2.9) i (3.12) при таких значеннях
пари (R1, R2) : (R1, R2), (R1, R2), (R1, R2), (R1, R2). Замкнена система (3.3) з матрицею
робастного регулятора (3.13)
K =
\bigl[
- 0, 45769 - 0, 03989 - 1, 42118
\bigr]
є допустимою i виконується оцiнка J < \gamma при будь-яких значеннях опорiв R1 i R2 з вiдповiдних
iнтервалiв (4.1).
Лiтература
1. L. Dai, Singular control systems, Springer, New York (1989).
2. R. Riaza, Differential-algebraic systems. Analytical aspects and circuit applications, World Sci., Singapore (2008).
3. Guang-Ren Duan, Analysis and design of descriptor linear systems, Springer, New York etc. (2010).
4. Yu Feng, Mohamed Yagoubi, Robust control of linear descriptor systems, Springer Nature, Singapore (2017).
5. S. Campbell, A. Ilchmann, V. Mehrmann, T. Reis (Eds.), Applications of differential-algebraic equations: examples
and benchmarks, Differential-Algebraic Equations Forum, Springer Nature, Switzerland AG (2019).
6. А. А. Белов, А. П. Курдюков, Дескрипторные системы и задачи управления, Физматлит, Москва (2015).
7. S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishman, Linear matrix inequalities in system and control theory, SIAM
Stud. Appl. Math., 15 (1994).
8. Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков, Робастная устойчивость и управление, Наука, Москва (2002).
9. Д. В. Баландин, М. М. Коган, Обобщенное H\infty -оптимальное управление как компромисс между H\infty -
оптимальным и \gamma -оптимальным управлениями, Автоматика и телемеханика, № 6, 20 – 38 (2010).
10. Z. Feng, J. Lam, S. Xu, S. Zhou, H\infty control with transients for singular systems, Asian J. Control, 18, № 3,
817 – 827 (2016).
11. А. Г. Мазко, Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матричных и конусных
неравенств, Пр. Iн-ту математики НАН України, 102 (2016).
12. P. Gahinet, P. Apkarian, A linear matrix inequality approach to H\infty control, Intern. J. Robust and Nonlinear Control,
4, 421 – 448 (1994).
13. M. Chadli, P. Shi, Z. Feng, J. Lam, New bounded real lemma formulation and H\infty control for continuous-time
descriptor systems, Asian J. Control, 20, № 1, 1 – 7 (2018).
14. I. Masubushi, Y. Kamitane, A. Ohara, N. Suda, H\infty Control for descriptor systems: a matrix inequalities approach,
Automatica, 33, № 4, 669 – 673 (1997).
15. О. Г. Мазко, Зважена оцiнка i пониження рiвня впливу обмежених збурень у дескрипторних системах керуван-
ня, Укр. мат. журн., 72, № 11, 1510 – 1523 (2020).
16. О. Г. Мазко, Оцiнка зваженого рiвня гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах, Укр. мат. журн.,
70, № 11, 1541 – 1552 (2018).
17. О. Г. Мазко, Зважене гасiння зовнiшнiх i початкових збурень у дескрипторних системах керування, Укр. мат.
журн., 73, № 10, 1377 – 1390 (2021).
18. D. Cobb, Robust controllability, observability and duality in singular systems, IEEE Trans. Automat. Control, 29,
1076 – 1082 (1984).
19. K. Takaba, Robust H2 control of descriptor system with time-varying uncertainty, Intern. J. Robust and Nonlinear
Control, 71, № 4, 559 – 579 (1998).
Одержано 17.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7167 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:49Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/6b37db6905e65d19e754b4004adc591e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71672022-10-24T09:23:15Z Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems Оценка и достижение взвешенных критериев качества в дескрипторных системах управления Оцiнка та досягнення зважених критерiїв якостi у дескрипторних системах керування Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. Дескрипторна система зовнішні збурення робастна стабілізація зважена H_inf оптимізація Descriptor system external disturbances robust stabilization weighted H_inf optimization UDC 517.925.51; 681.5.03 We consider a class of linear descriptor control systems with bounded perturbations and establish a criterion and sufficient conditions for the existence of static controllers guaranteeing that the closed-loop system is admissible and satisifies a desired estimate for the weighted&nbsp; level of damping of the external and initial disturbances.&nbsp;&nbsp;We propose new methods for the synthesis of generalized state-feedback $H_\infty$-controllers that are reduced to solving linear matrix inequalities without additional constraints.&nbsp;In order to illustrate the accumulated results, we present an example of descriptor system for the stabilization of an electric circuit. Рассмотрен класс линейных дескрипторных систем с ограниченными возмущениями. Установлены критерий и достаточные условия существования статических регуляторов, при которых замкнутая система является допустимой и гарантируется желаемая оценка взвешенного уровня гашения внешних и начальных возмущений. Предложено новые методы синтеза обобщенных H∞-регуляторов по состоянию, которые сводятся к решению линейных матричных неравенств без дополнительных ограничений. Для иллюстрации полученных результатов приведен пример дескрипторной системы стабилизации электрической цепи. УДК 517.925.51; 681.5.03Розглянуто клас лiнiйних дескрипторних систем керування з обмеженими збуреннями. Встановлено критерiй та достатнi умови iснування статичних регуляторiв, при яких замкнена система є допустимою i гарантується бажана оцiнка зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. Запропоновано новi методи синтезу узагальнених $H_\infty$ -регуляторiв за станом, що зводяться до розв’язання лiнiйних матричних нерiвностей без додаткових обмежень.Для iлюстрацiї отриманих результатiв наведено приклад дескрипторної системи стабiлiзацiї електричного кола. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-08-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7167 10.37863/umzh.v74i7.7167 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 7 (2022); 980 - 990 Український математичний журнал; Том 74 № 7 (2022); 980 - 990 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7167/9280 Copyright (c) 2022 Олексій Григорович Мазко |
| spellingShingle | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title | Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title_alt | Оценка и достижение взвешенных критериев качества в дескрипторных системах управления Оцiнка та досягнення зважених критерiїв якостi у дескрипторних системах керування |
| title_full | Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title_fullStr | Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title_full_unstemmed | Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title_short | Evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| title_sort | evaluation and attainment of weighted performance measures in descriptor control systems |
| topic_facet | Дескрипторна система зовнішні збурення робастна стабілізація зважена H_inf оптимізація Descriptor system external disturbances robust stabilization weighted H_inf optimization |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7167 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoag evaluationandattainmentofweightedperformancemeasuresindescriptorcontrolsystems AT mazkoaleksej evaluationandattainmentofweightedperformancemeasuresindescriptorcontrolsystems AT mazkoog evaluationandattainmentofweightedperformancemeasuresindescriptorcontrolsystems AT mazkoag ocenkaidostiženievzvešennyhkriterievkačestvavdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoaleksej ocenkaidostiženievzvešennyhkriterievkačestvavdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoog ocenkaidostiženievzvešennyhkriterievkačestvavdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoag ocinkatadosâgnennâzvaženihkriteriívâkostiudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoaleksej ocinkatadosâgnennâzvaženihkriteriívâkostiudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoog ocinkatadosâgnennâzvaženihkriteriívâkostiudeskriptornihsistemahkeruvannâ |