Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications
UDC 517.5 In this paper, we develop the theory of approximations in functional semilinear metric spaces, which allows us to consider classes of multi- and fuzzy-valued functions, as well as classes of Banach space-valued functions including classes of random processes. For integral operators on clas...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7172 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512630308864000 |
|---|---|
| author | Babenko , V. F. Babenko , V. V. Kovalenko , O. V. Parfinovych , N. V. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. В. Коваленко, O. В. Парфінович, Н. В. |
| author_facet | Babenko , V. F. Babenko , V. V. Kovalenko , O. V. Parfinovych , N. V. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. В. Коваленко, O. В. Парфінович, Н. В. |
| author_sort | Babenko , V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:06Z |
| description | UDC 517.5
In this paper, we develop the theory of approximations in functional semilinear metric spaces, which allows us to consider classes of multi- and fuzzy-valued functions, as well as classes of Banach space-valued functions including classes of random processes. For integral operators on classes of functions with values in semilinear metric spaces, we obtain estimates of their deviations and discuss possible applications of these estimates to studying problems of approximation by generalized trigonometric polynomials, optimization of approximate integration formulas, and recovery of functions under the conditions of incomplete information. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i5.7172 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i5.7172
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара),
В. В. Бабенко (Унiверситет Дрейка, Де-Мойн, США),
O. В. Коваленко, Н. В. Парфiнович (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ
У НАПIВЛIНIЙНИХ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ I ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
In this paper, we develop the theory of approximations in functional semilinear metric spaces, which allows us to consider
classes of multi- and fuzzy-valued functions, as well as classes of Banach space-valued functions including classes of
random processes. For integral operators on classes of functions with values in semilinear metric spaces, we obtain
estimates of their deviations and discuss possible applications of these estimates to studying problems of approximation by
generalized trigonometric polynomials, optimization of approximate integration formulas, and recovery of functions under
the conditions of incomplete information.
Метою даної роботи є розвиток теорiї апроксимацiї у функцiональних напiвлiнiйних метричних просторах, що
дозволяє включити до розгляду класи багато- i нечiткозначних функцiй, а також класи функцiй зi значеннями у
банахових просторах, зокрема класи випадкових процесiв. Одержано оцiнки вiдхилення iнтегральних операторiв
на класах функцiй зi значеннями в напiвлiнiйних метричних просторах i обговорено можливiсть застосування їх до
дослiдження задач апроксимацiї узагальненими тригонометричними полiномами, оптимiзацiї формул наближеного
iнтегрування, а також вiдновлення функцiй за неповною iнформацiєю.
1. Вступ. Метою даної роботи є розвиток деяких роздiлiв теорiї апроксимацiї у функцiо-
нальних напiвлiнiйних метричних просторах. Робота у цьому напрямку мотивована такими
обставинами. На даний час теорiя апроксимацiї функцiй, що набувають числових значень, є
добре розвиненим роздiлом аналiзу (див., наприклад, монографiї [1 – 7]), який має численнi
застосування. Протягом останнiх десятилiть, виходячи як з теоретичних, так i практичних
мiркувань, також мали мiсце спроби розвитку теорiї апроксимацiї багатозначних (див. [8]) i не-
чiткозначних (див. [9]) функцiй. Природно, що при цьому насамперед математики намагалися
адаптувати до цих функцiй методи, розробленi для числових функцiй. Звичайно, це викликало i
продовжує викликати певнi труднощi. Розвиток теорiї апроксимацiї у напiвлiнiйних метричних
просторах, по-перше, дозволяє з єдиної точки зору розглядати вiдповiднi задачi для багато-
i нечiткозначних функцiй, а також функцiй зi значеннями у банахових просторах (зокрема,
для випадкових процесiв), а по-друге, така робота може стати основою для розробки обчис-
лювальних алгоритмiв для розв’язання рiзноманiтних задач, пов’язаних iз такими функцiями.
Крiм того, становить теоретичний iнтерес питання про те, наскiльки далеко можна просуну-
тись у напрямку узагальнення вiдомих результатiв для числових функцiй у випадку функцiй зi
значеннями у напiвлiнiйних метричних просторах.
Опишемо коротко структуру статтi. У другому пунктi наведено необхiднi вiдомостi iз теорiї
напiвлiнiйних метричних просторiв (L-просторiв). У третьому пунктi дослiджено задачу про
оцiнки вiдхилення iнтегральних операторiв у просторах функцiй зi значеннями в L-просторах.
Насамкiнець, у четвертому пунктi обговорено можливi застосування одержаних результатiв до
задач апроксимацiї узагальненими тригонометричними полiномами, оптимiзацiї формул набли-
женого iнтегрування, а також вiдновлення функцiй за неповною iнформацiєю.
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5 599
600 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
2. Означення i деякi вiдомостi про L-простори.
2.1. Означення 1. Множина X називається напiвлiнiйним простором, якщо в нiй означено
операцiї додавання елементiв та множення на дiйсне число i для всiх x, y, z \in X i \alpha , \beta \in \BbbR
виконуються умови:
1) x+ y = y + x;
2) x+ (y + z) = (x+ y) + z;
3) \exists \theta \in X : x+ \theta = x;
4) \alpha (x+ y) = \alpha x+ \alpha y;
5) \alpha (\beta x) = (\alpha \beta )x;
6) 1 \cdot x = x, 0 \cdot x = \theta ,
де через \theta позначено нейтральний елемент простору X, означений властивiстю 3; легко
бачити, що такий елемент \theta єдиний.
Iнодi в подальшому для \alpha \in \BbbR i x \in X будемо писати x\alpha замiсть \alpha x i - \alpha x замiсть ( - \alpha )x,
зокрема запис - x означатиме ( - 1) \cdot x.
Означення 2. Назвемо елемент x \in X опуклим, якщо для всiх \alpha , \beta \geq 0
(\alpha + \beta )x = \alpha x+ \beta x. (1)
Позначимо через Xc пiдпростiр усiх опуклих елементiв простору X.
Зауваження 1. Деякi автори (див., наприклад, [10]) включають до аксiом напiвлiнiйного
простору вимогу X = Xc.
Означення 3. Напiвлiнiйний метричний простiр X з метрикою h = hX називається L-
простором, якщо вiн є повним i сепарабельним i для всiх x, y, z \in X i \alpha \in \BbbR
h(\alpha x, \alpha y) = | \alpha | h(x, y),
h(x+ z, y + z) \leq h(x, y). (2)
Зауваження 2. Iз нерiвностi трикутника i (2) випливає, що
h(x+ z, y + w) \leq h(x, y) + h(z, w) \forall x, y, z, w \in X.
Означення 4. L-простiр X називається iзотропним, якщо нерiвнiсть (2) перетворю-
ється на рiвнiсть для всiх x, y, z \in X.
Довiльнi сепарабельнi банаховi простори i довiльнi повнi та сепарабельнi квазiлiйнi нор-
мованi простори (див. [11]) є L-просторами. Простiр \Omega (X) непорожнiх компактних пiдмно-
жин сепарабельного банахового простору X, надiлений звичайною ґаусдорфовою метрикою,
простiр \Omega conv(X) опуклих елементiв iз \Omega (X) i простори нечiтких множин (див., наприклад,
[12]) є також прикладами L-просторiв. Усi наведенi вище простори є iзотропними. Приклад
неiзотропного L-простору побудовано в [13]. Бiльше прикладiв L-просторiв можна знайти в
статтях [14 – 16].
Означення 5. Будемо говорити, що елемент x \in X є оборотним, якщо iснує елемент
x\prime \in X такий, що x + x\prime = \theta . Елемент x\prime називається оберненим для x. Позначимо через
X inv множину оборотних елементiв простору X. Елемент x називається сильно оборотним,
якщо x\prime = - x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 601
Зауваження 3. В довiльному L-просторi, який є не лише напiвлiнiйним, а i лiнiйним про-
стором, зокрема в довiльному банаховому просторi, кожний елемент буде опуклим i сильно
оборотним. У просторi \Omega (X) будь-який елемент вигляду \{ x\} , x \in X, є опуклим i сильно обо-
ротним. У просторах нечiтких множин кожна функцiя ux0 = \chi \{ x0\} , де \chi A — характеристична
функцiя множини A, також є опуклим i сильно оборотним елементом.
Мають мiсце (див. [13, 14, 17]) такi твердження.
Лема 1. Якщо x \in X inv, то обернений елемент x\prime єдиний.
Лема 2. Якщо x \in X inv \cap Xc, то x\prime \in Xc.
Лема 3. Для всiх x \in Xc i \alpha , \beta \in \BbbR
h(\alpha x, \beta x) \leq | \alpha - \beta | h(x, \theta ). (3)
Якщо X є iзотропним, то нерiвнiсть (3) перетворюється на рiвнiсть для x \in Xc i \alpha \cdot \beta \geq 0.
Лема 4. Нехай X — iзотропний L-простiр. Тодi для будь-якого x \in Xc \cap X inv
h(x, x\prime ) = d(x+ x, \theta ) = 2h(x, \theta ).
Лема 5. Для будь-якого x \in X inv \cap Xc h(x\prime , \theta ) = h(x, \theta ).
Крiм того, нам знадобиться таке твердження.
Лема 6. Якщо опуклий елемент x у iзотропному просторi X є сильно оборотним, то для
всiх \alpha , \beta \in \BbbR виконується рiвнiсть (1), а нерiвнiсть (3) перетворюється на рiвнiсть.
Доведення. Доведемо спочатку справедливiсть рiвностi (1). Якщо \alpha \cdot \beta = 0, то твердження
є очевидним. Якщо \alpha , \beta < 0, то за лемою 2
\alpha x+ \beta x = ( - \alpha )x\prime + ( - \beta )x\prime = ( - \alpha - \beta )x\prime = (\alpha + \beta )x.
Якщо ж \alpha \cdot \beta < 0, то можемо вважати, що \beta < 0 < \alpha i \alpha + \beta \geq 0. Тодi
h(\alpha x+ \beta x, (\alpha + \beta )x) = h(\alpha x+ ( - \beta )x\prime , (\alpha + \beta )x) =
= h(\alpha x, (\alpha + \beta )x+ ( - \beta )x) = h(\alpha x, (\alpha + \beta - \beta )x) = 0,
i рiвнiсть (1) доведено.
Доведемо тепер нерiвнiсть (3). За лемою 3 достатньо довести, що нерiвнiсть (3) перетво-
рюється на рiвнiсть у випадку \alpha \cdot \beta < 0. Можемо вважати, що \beta < 0 < \alpha . Тодi
h(\alpha x, \beta x) = h(\alpha x, - \beta ( - x)) = h(\alpha x, - \beta x\prime ) = h(\alpha x+ ( - \beta )x, \theta ) =
= h((\alpha - \beta )x, \theta ) = | \alpha - \beta | h(x, \theta ),
що й потрiбно було довести.
2.2. Iнтегрування в \bfitL -просторах. Нехай (S,\scrF ) — вимiрний простiр (тобто S — множина,
а \scrF — \sigma -алгебра її пiдмножин) з повною скiнченною додатною мiрою \mu . Через Lp(S), 1 \leq p \leq
\leq \infty , позначимо простори функцiй f : S \rightarrow \BbbR з вiдповiдними нормами \| f\| Lp(S).
Означення 6. Нехай X — L-простiр. Функцiя f : S \rightarrow X називається вимiрною, якщо
для будь-якого елемента x \in X дiйснозначна функцiя t \mapsto \rightarrow h(f(t), x) є вимiрною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
602 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Для L-простору (X,h), позначимо через Lp(S,X), 1 \leq p \leq \infty , простiр вимiрних функцiй
f : S \rightarrow X таких, що h(f(\cdot ), \theta ) \in Lp(S). Якщо f, g \in Lp(S,X), то функцiя h(f(\cdot ), g(\cdot )))
вимiрна (див. [18], теорема 1.4.22) i належить простору Lp(S,X). Отже, hLp(S,X)(f, g) =
= \| h(f(\cdot ), g(\cdot ))\| Lp(S) — метрика у просторi Lp(S,X).
Наведемо означення i деякi властивостi iнтеграла Лебега для функцiй f \in L1(S,X) (див. [19]
i [11], пiдроздiл 5).
Означення 7. Сюр’єктивний оператор P : X \rightarrow Xc називається опуклюючим, якщо
h(P (x), P (y)) \leq h(x, y) для всiх x, y \in X,
P \circ P = P,
P (\alpha x+ \beta y) = \alpha P (x) + \beta P (y) для всiх x, y \in X i \alpha , \beta \in \BbbR .
Зауважимо, що для всiх x \in Xc P (x) = x (див., наприклад, [15], зауваження 4).
Оператор \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} : \Omega (\BbbR m) \rightarrow \Omega (\BbbR m), який кожному x \in \Omega (\BbbR m) ставить у вiдповiднiсть його
опуклу оболонку \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} x, є опуклюючим.
Нехай X — L-простiр i P — опуклюючий оператор. Вiдображення f : S \rightarrow X називається
простим, якщо воно має не бiльш нiж злiченну множину значень \{ fk\} на попарно неперетин-
них вимiрних множинах Sk, об’єднання яких дорiвнює S. Кажуть, що просте вiдображення
iнтегровне за Лебегом, якщо ряд
\sum
k
h(P (fk), \theta )\mu (Sk) збiгається. Iнтеграл Лебега простого
вiдображення f визначається так:\int
S
f(s) ds :=
\sum
k
P (fk)\mu (Sk),
де \mu — мiра Лебега.
Для простих f, g мають мiсце такi властивостi:
1) для всiх \alpha , \beta \in \BbbR \int
S
(\alpha f(t) + \beta g(t)) dt = \alpha
\int
S
f(t) dt+ \beta
\int
S
g(t) dt;
2) функцiя t \mapsto \rightarrow h(f(t), g(t)) iнтегровна i
h
\left( \int
S
f(t) dt,
\int
S
g(t) dt
\right) \leq
\int
S
h(f(t), g(t)) dt;
3) функцiя P (f(\cdot )) iнтегровна i
\int
S
f(t) dt = P
\left( \int
S
f(t) dt
\right) =
\int
S
P (f(t)) dt;
4) для неперетинних вимiрних множин S1 i S2 таких, що S = S1 \cup S2,\int
S
f(t) dt =
\int
S1
f(t) dt+
\int
S2
f(t) dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 603
Функцiя f \in L1(S,X) називається iнтегровною, якщо iснує послiдовнiсть \{ fk\} простих функ-
цiй, яка збiгається до f у просторi L1(S,X). За означенням
\int
S
f(t) dt = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
\int
S
fk(t) dt.
Наведене означення є коректним. Вiдомо, що довiльне вiдображення f \in L1(S,X) є iнтегров-
ним (див. [11], теорема 9).
Зрозумiло, що властивостi 1 – 4 iнтеграла Лебега для простих функцiй мають мiсце для
довiльних функцiй iз L1(S,X). Зазначимо, що у випадку, коли X — банаховий простiр, розгля-
дуваний iнтеграл є iнтегралом Бохнера (див. [20], пiдроздiли 3.7, 3.8); у випадку X = \Omega (\BbbR m)
цей iнтеграл збiгається з iнтегралом Аумана (див. [11], теорема 12).
Нам також знадобиться таке твердження.
Лема 7. Нехай f \in L1(S,\BbbR ) i a \in X є опуклим сильно оборотним елементом. Тодi
\int
S
f(s) \cdot ads =
\left( \int
S
f(s)ds
\right) \cdot a.
Доведення. Покладемо S\pm = \{ s \in S : \pm f(s) > 0\} . Тодi\int
S
f(s) \cdot ads =
\int
S+
f(s) \cdot ads+
\int
S -
f(s) \cdot ads =
=
\left( \int
S+
f(s)ds
\right) \cdot a+
\int
S -
( - f(s)) \cdot a\prime ds =
\left( \int
S+
f(s)ds
\right) a+
\left( \int
S -
( - f(s))ds
\right) a\prime =
=
\left( \int
S+
f(s)ds
\right) a+
\left( \int
S -
f(s)ds
\right) a =
\left( \int
S
f(s)ds
\right) a.
3. Оцiнки вiдхилення iнтегральних операторiв. Як завжди, для p \in [1,\infty ] покладемо
p\prime = p/(p - 1). Нехай Q — деяка множина i (S,\scrF ) — описаний вище вимiрний простiр з
мiрою \mu ; K,N : Q\times S \rightarrow \BbbR , \phi : S \rightarrow X. Розглянемо задачу про вiдхилення двох iнтегральних
операторiв
( \widetilde K\phi )(t) =
\int
S
K(t, s)\phi (s)d\mu (s), ( \widetilde N\phi )(t) =
\int
S
N(t, s)\phi (s)d\mu (s), t \in Q. (4)
Нехай Q = S = [0, 2\pi ]d, d \in \BbbN , i \mu — мiра Лебега. Для просторiв 2\pi -перiодичних по кожнiй
змiннiй функцiй \phi : \BbbR d \rightarrow X використовуватимемо позначення LX
p замiсть Lp([0, 2\pi ]
d, X),
Lp = L\BbbR
p . Важливим прикладом операторiв (4) у просторах 2\pi -перiодичних по кожнiй змiннiй
функцiй є оператори згортки, а саме, якщо K(t, s) = \scrK (t - s) i N(t, s) = \scrN (t - s), де \scrK ,\scrN \in L1,
то оператори (4) перетворюються на оператори згортки
(\scrK \ast \phi )(t) =
\int
S
\scrK (t - s)\phi (s)d\mu (s), (\scrN \ast \phi )(t) =
\int
S
\scrN (t - s)\phi (s)d\mu (s), t \in Q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
604 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Теорема 1. Нехай p \in (1,\infty ] i функцiї K,N : Q \times S \rightarrow \BbbR є такими, що K(t, \cdot ), N(t, \cdot ) \in
\in Lp\prime (S) для кожного t \in Q. Тодi для довiльної функцiї \phi \in Lp(S,X) i кожного t \in Q
виконується нерiвнiсть
h(( \widetilde K\phi )(t), ( \widetilde N\phi )(t)) \leq \| K(t, \cdot ) - N(t, \cdot )\| Lp\prime (S)
\| h(\phi , \theta )\| Lp(S). (5)
Зокрема, для перiодичних функцiй i операторiв згортки
h((\scrK \ast \phi )(t), (\scrN \ast \phi )(t)) \leq \| \scrK - \scrN \| Lp\prime \| h(\phi , \theta )\| Lp(S). (6)
Якщо простiр X є iзотропним i у множинi Xc\cap X inv знайдеться ненульовий сильно оборотний
елемент a, то нерiвнiсть (5) непокращувана i перетворюється на рiвнiсть для довiльної
функцiї вигляду
\phi t(s) = \varphi t(s) \cdot a, t \in Q,
де \varphi t(s) = | K(t, s) - N(t, s)| p\prime - 1\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(K(t, s) - N(t, s)), s \in S.
Доведення. Використовуючи властивостi iнтеграла, опуклюючого оператора, лему 3 i не-
рiвнiсть Гельдера, маємо
h(( \widetilde K\phi )(t), ( \widetilde N\phi )(t)) = h
\left( \int
S
K(t, s)P (\phi (s))d\mu (s),
\int
S
N(t, s)P (\phi (s))d\mu (s)
\right) \leq
\leq
\int
S
h (K(t, s)P (\phi (s)), N(t, s)P (\phi (s))) d\mu (s) \leq
\leq
\int
S
| K(t, s) - N(t, s)| h (P (\phi (s)), \theta ) d\mu (s) \leq
\leq \| K(t, \cdot ) - N(t, \cdot )\| Lp\prime (S)
\| h(\phi , \theta )\| Lp(S).
Нерiвнiсть (5) доведено.
Нехай тепер простiр X є iзотропним. Встановимо точнiсть нерiвностi (5). Враховуючи
лему 6, означення функцiї \phi t i той факт, що ця функцiя є опуклозначною, отримуємо
h(( \widetilde K\phi t)(s), ( \widetilde N\phi t)(s)) = h
\left( \int
S
K(t, s)\phi t(s)d\mu (s),
\int
S
N(t, s)\phi t(s)d\mu (s)
\right) =
= h
\left( \left[ \int
S
K(t, s)\varphi t(s)d\mu (s)
\right] a,
\left[ \int
S
N(t, s)\varphi t(s)d\mu (s)
\right] a
\right) =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S
(K(t, s) - N(t, s))\varphi t(s)d\mu (s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| h(a, \theta ) =
\int
S
| K(t, s) - N(t, s)| p
\prime
d\mu (s)h(a, \theta ) =
= \| K(t, \cdot ) - N(t, \cdot )\| Lp\prime (S)
\left( \int
S
| K(t, s) - N(t, s)| (p
\prime - 1)p d\mu (s)
\right) 1
p
h(a, \theta ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 605
= \| K(t, \cdot ) - N(t, \cdot )\| Lp\prime (S)
\| h(\phi t(\cdot ), \theta )\| Lp(S).
Теорему 1 доведено.
Розглянемо вiдхилення в iнтегральнiй метрицi. Для p, q \in [1,\infty ] позначимо через Lq,p(Q\times
\times S) сукупнiсть функцiй K(\cdot , \cdot ) таких, що\bigm\| \bigm\| \| K(t, s)\| Lq(Q)
\bigm\| \bigm\|
Lp(S)
= \| K(\cdot , \cdot )\| Lq,p(Q\times S) < \infty .
Теорема 2. Нехай p, q \in [1,\infty ) i K,N \in Lq,p\prime (Q \times S). Тодi для довiльної функцiї \phi \in
\in Lp(S,X)
\| h( \widetilde K\phi , \widetilde N\phi )\| Lq(Q) \leq \| K - N\| Lq,p\prime (Q\times S) \cdot \| h(\phi , \theta )\| Lp(S). (7)
Зокрема, для перiодичних за кожною змiнною функцiй
\| h(\scrK \ast \phi ,\scrN \ast \phi )\| Lq \leq (2\pi )d/p
\prime \| \scrK - \scrN \| Lq\| h(\phi , \theta )\| Lp . (8)
Якщо простiр X iзотропний i у множинi Xc \cap X inv знайдеться ненульовий сильно оборотний
елемент a, то при p = q = 1 нерiвностi (7) i (8) непокращуванi.
Доведення. Застосовуючи властивостi метрики в X, iнтеграла, узагальнену нерiвнiсть Мiн-
ковського, а також нерiвнiсть Гельдера, отримуємо
\| h( \widetilde K\phi , \widetilde N\phi )\| Lq(Q) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
\left( \int
S
K(\cdot , s)P (\phi (s))d\mu (s),
\int
S
N(\cdot , s)P (\phi (s))d\mu (s)
\right) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(Q)
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
S
| K(\cdot , s) - N(\cdot , s)| h(P (\phi (s)), \theta )d\mu (s)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(Q)
\leq
\leq
\int
S
h(P (\phi (s)), \theta )\| K(\cdot , s) - N(\cdot , s)\| Lq(Q)d\mu (s) \leq \| K - N\| Lq,p\prime (Q\times S)\| h(\phi , \theta )\| Lp(S).
Нерiвнiсть (7) доведено. Нерiвнiсть (8) випливає з нерiвностi (7).
Встановимо непокращуванiсть нерiвностi (8) при p = q = 1. Для \varepsilon > 0 через F\varepsilon позначимо
функцiю Стєклова для функцiї F \in L1 :
F\varepsilon (t) =
1
(2\varepsilon )d
\int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
F (t - s)d\mu (s).
Покладемо \phi ae(s) = 1/(2\varepsilon )d\chi [ - \varepsilon ,\varepsilon ]d(s) \cdot a, де a \in Xc є сильно оборотним i таким, що h(a, \theta ) =
= 1. Враховуючи iзотропнiсть простору X i лему 7, маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
\left( \int
[0,2\pi ]d
\scrK (\cdot - s)\phi ae(s)d\mu (s),
\int
[0,2\pi ]d
\scrN (\cdot - s)\phi ae(s)d\mu (s)
\right)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
606 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
= 1/(2\varepsilon )d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
\left( \int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
\scrK (\cdot - s)ad\mu (s),
\int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
\scrN (\cdot - s)ad\mu (s)
\right)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1
=
= 1/(2\varepsilon )d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
\left(
\left[ \int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
\scrK (\cdot - s)d\mu (s)
\right] a,
\left[ \int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
\scrN (\cdot - s)d\mu (s)
\right] a
\right)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1
=
= 1/(2\varepsilon )d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
[ - \varepsilon ,\varepsilon ]d
(\scrK (\cdot - s) - \scrN (\cdot - s))d\mu (s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \cdot h(a, \theta )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1
= \| \scrK h - \scrN h\| L1 .
Оскiльки \| h(\phi ae, \theta )\| L1 = 1 i \| \scrK \varepsilon - \scrN \varepsilon \| L1 \rightarrow \| \scrK - \scrN \| L1 при \varepsilon \rightarrow 0, то нерiвнiсть (8) при
p = q = 1 є непокращуваною.
Теорему 2 доведено.
4. Застосування. 4.1. Тригонометричнi наближення. Якщо ядро \scrN оператора згортки
є тригонометричним полiномом, то для довiльної функцiї \phi \in LX
1 згортка \scrN \ast \phi буде узагаль-
неним тригонометричним полiномом з коефiцiєнтами iз простору X. Як видно з оцiнок (6) i
(8), з оцiнок наближення ядра \scrK полiномом \scrN випливають оцiнки наближення функцiї \scrK \ast \phi
узагальненими тригонометричними полiномами вигляду \scrN \ast \phi , \phi \in LX
1 . Величини \| \scrK - \scrN \| Lp
дослiджувались багатьма математиками, i у багатьох випадках вiдомi точнi, асимптотично точнi
або порядковi оцiнки цих величин. Багато результатiв у цьому напрямку, а також вiдповiднi
посилання можна знайти у монографiях [1 – 7].
Нижче ми детальнiше зупинимось на одновимiрному випадку. Покладемо \Phi X
p := \{ \phi \in LX
p :
\| h(\phi , \theta )\| Lp \leq 1\} . Замiсть \Phi \BbbR
p писатимемо \Phi p. Нехай також \scrN \in L1 — задане дiйснозначне ядро.
Будемо розглядати питання наближення класiв \scrK \ast \Phi X
p = \{ f = \scrK \ast \phi : \phi \in \Phi X
p \} . Зазначимо, що
функцiї з \scrK \ast \Phi X
p є опуклозначними. Вiдомо (див., наприклад, [1, 21 – 24]), що велика кiлькiсть
важливих класiв числових функцiй є класами типу \scrK \ast \Phi p.
Нехай f \in LX
p i H \subset LX
p . Покладемо
E(f,H)LX
p
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \in H
\| h(f, \tau )\| Lp , E(\scrK \ast \Phi X
p , H)LX
p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in \Phi X
p
E(\scrK \ast \phi ,H)LX
p
. (9)
Величини (9) називаються найкращим наближенням функцiї f i класу \scrK \ast \Phi X
p множиною H у
метрицi простору LX
p .
Якщо задано вiдображення A : LX
p \rightarrow H, покладемо
U(\scrK \ast \Phi X
p , A)Lp = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in \Phi X
p
\| h(\scrK \ast \phi ,A\phi )\| Lp .
Величина U(\scrK \ast \Phi X
p , A)Lp називається похибкою наближення класу \scrK \ast \Phi X
p заданим методом
наближення.
Для заданої сукупностi \scrA вiдображень A : LX
p \rightarrow H найкращим \scrA -наближенням класу
\scrK \ast \Phi X
p множиною H називатимемо величину
\scrE (\scrK \ast \Phi X
p ,\scrA )Lp = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
A\in \scrA
U(\scrK \ast \Phi X
p , A)Lp .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 607
Позначимо через HT,X
2n - 1 (n = 1, 2, . . . ,HT,\BbbR
2n - 1 = HT
2n - 1) множину узагальнених тригономет-
ричних полiномiв T (t) порядку не вищого за n - 1, тобто множину функцiй вигляду
T (t) =
a0
2
+
n - 1\sum
k=1
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt, ak, bk \in X.
У даному пiдпунктi в якостi \scrA будемо використовувати сукупнiсть вiдображень вигляду
T \ast \phi , T \in HT
2n - 1, \phi \in LX
p .
Означення 8 (С. М. Нiкольський [21]). Нехай \varphi n(t) := \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt. Будемо казати, що ядро
\scrK задовольняє умову N\ast
n, якщо iснують полiном T \ast \in HT
2n - 1 i точка \theta \in [0, \pi /n] такi, що
майже для всiх t
(\scrK (t) - T \ast (t))\varphi n(t - \theta ) \geq 0.
Вiдомо, що майже всi важливi для теорiї наближень ядра задовольняють умову N\ast
n (див.
[21 – 24]).
Якщо ядро \scrK задовольняє умову N\ast
n, то [21]
E(\scrK , HT
2n - 1)L1 = \| \scrK - T \ast \| L1 = \| \scrK \ast \varphi n\| L\infty .
Звiдси i з теорем 1, 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Якщо p = \infty або p = 1 i ядро \scrK задовольняє умову N\ast
n, то
E(\scrK \ast \Phi X
p , HT
2n - 1)Lp \leq \scrE (\scrK \ast \Phi X
p ,\scrA )Lp = \| \scrK - T \ast \| L1 = \| \scrK \ast \varphi n\| L\infty ,
де T \ast \in HT
2n - 1 — полiном найкращого L1-наближення для ядра \scrK .
З нерiвностi (6) отримуємо наступне узагальнення теореми 1 з роботи [25].
Наслiдок 2. Нехай p > 1 i \scrK \in Lp\prime . Тодi
E(\scrK \ast \Phi X
p , HT,X
2n - 1)L\infty \leq \scrE (\scrK \ast \Phi X
p ,\scrA )L\infty = E(\scrK , HT
2n - 1)Lp\prime .
Випадки точностi оцiнок найкращих наближень, якi випливають з наведених наслiдкiв, ми
плануємо розглянути в iншiй роботi. Тут зазначимо тiльки, що оцiнка, яка мiститься у наслiдку
1, є точною у випадку X = \Omega (\BbbR d) (див. [26]), а також у випадку, коли X — банахiв простiр.
4.2. Похибки наближеного iнтегрування. Застосовуючи теорему 1 до iнтегральних опе-
раторiв з ядрами
K \prime (t, s) =
\int
Q
K(u, s)d\mu (u) i N \prime (t, s) =
n\sum
j=1
cjK(tj , s),
де tj \in Q, cj \in \BbbR , j = 1, . . . , n, отримуємо наступнi оцiнки похибки формул наближеного
iнтегрування функцiй вигляду ( \widetilde K\phi )(t).
Наслiдок 3. Нехай p \in (1,\infty ] i tj \in Q, cj \in \BbbR , j = 1, . . . , n. Тодi для довiльної функцiї
\phi \in Lp(S,X) такої, що \| h(\phi , \theta )\| Lp(S) \leq 1,
h
\left( \int
Q
( \widetilde K\phi )(t)d\nu (t),
n\sum
j=1
cj( \widetilde K\phi )(tj)
\right) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
Q
K(t, \cdot )d\nu (t) -
n\sum
j=1
cjK(tj , \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp\prime (S)
.
Якщо простiр X iзотропний i у множинi Xc \cap X inv знайдеться ненульовий сильно оборотний
елемент a, то нерiвнiсть непокращувана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
608 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, O. В. КОВАЛЕНКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Проiлюструємо застосування цього наслiдку до задач оптимiзацiї формул наближеного iн-
тегрування на класах перiодичних функцiй однiєї змiнної. Для t = \{ t1, . . . , tn\} \in [0, 2\pi ),
c = \{ c1, . . . , cn\} \in \BbbR n i неперервної функцiї f покладемо Mt,c(f) =
\sum n
j=1
cjf(tj). Нехай
R(f,Mt,c) =
2\pi \int
0
f(t)d\mu (t) - Mt,c(f),
\scrR (\scrK \ast \Phi X
p ,Mt,c) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrK \ast \Phi X
p
| R(f,Mt,c)| i \scrR n(\scrK \ast \Phi X
p ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t,c
\scrR (\scrK \ast \Phi X
p ,Mt,c).
Задача про найкращу на класi \scrK \ast \Phi X
p квадратурну формулу полягає в знаходженнi величини
\scrR n(\scrK \ast \Phi X
p ) i наборiв t, c, якi реалiзують iнфiмум у правiй частинi останньої рiвностi.
Для числових функцiй цю задачу добре дослiджено (див., наприклад, [7, 27]). Зокрема, у ба-
гатьох випадках було знайдено точне значення величини
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \int 2\pi
0
\scrK (t)d\mu (t) -
\sum n
j=1
cj\scrK (tj - \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp\prime
,
що за наслiдком 3 дає оцiнки i для величини \scrR n(\scrK \ast \Phi X
p ).
4.3. Похибки вiдновлення функцiй. Якщо застосувати теорему 1 до iнтегральних операто-
рiв з ядрами K(t, s) i N(t, s) =
\sum n
j=1
cjK(tj , s), то ми отримаємо наступнi оцiнки похибки
формул наближеного вiдновлення значення функцiї вигляду ( \widetilde K\phi )(t) в точцi t за її значеннями
в точках tj .
Наслiдок 4. Нехай p \in (1,\infty ] i tj \in Q, cj \in \BbbR , j = 1, . . . , n. Тодi для довiльної функцiї
\phi \in Lp(S,X) такої, що \| h(\phi , \theta )\| Lp(S) \leq 1, i довiльного t \in Q
h
\left( ( \widetilde K\phi )(t),
n\sum
j=1
cj( \widetilde K\phi )(tj)
\right) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| K(t, \cdot ) -
n\sum
j=1
cjK(tj , \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp\prime (S)
.
Розглянемо ще задачу вiдновлення функцiї \widetilde K\phi за її значеннями в n точках tj \in Q в
iнтегральних метриках. Метод вiдновлення задамо таким чином. Виберемо n функцiй cj :
Q \rightarrow \BbbR i покладемо \Phi (t) =
\sum n
j=1
cj(t)( \widetilde K\phi )(tj). Застосовуючи теорему 2 до iнтегральних
операторiв з ядрами K(t, s) N(t, s) =
\sum n
j=1
cj(t)K(tj , s), отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 5. Нехай p, q \in [1,\infty ) i tj \in Q, cj \in L\infty (Q), j = 1, . . . , n. Тодi для довiльної
функцiї \phi \in Lp(S,X) такої, що \| h(\phi , \theta )\| Lp(S) \leq 1,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| h
\left( ( \widetilde K\phi )(\cdot ),
n\sum
j=1
cj(\cdot )( \widetilde K\phi )(tj)
\right) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(Q)
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| K(\cdot , \cdot ) -
n\sum
j=1
cj(\cdot )K(tj , \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq,p\prime (Q\times S)
.
Задача вiдновлення функцiй i операторiв за неповною iнформацiєю є важливою як з теоретич-
ної, так i з практичної точки зору. Важливою також є вiдповiдна оптимiзацiйна задача. Загальнi
пiдходи до таких задач, а також конкретнi результати їх розв’язання див. у монографiях [28, 29].
Оптимальне вiдновлення операторiв у L-просторах розглянуто у роботах [13 – 15, 17]. Подаль-
ше обговорення цих задач у напiвлiнiйних метричних просторах ми продовжимо в окремiй
роботi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
ОЦIНКИ ВIДХИЛЕННЯ IНТЕГРАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 609
Лiтература
1. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближений, Наука, Москва (1987).
2. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
3. V. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2018).
4. А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных,
Працi Iн-ту математики НАН України, 93 (2012).
5. А. И. Степанец, Равномерные приближения тригонометрическими полиномами, Наук. думка, Киев (1981).
6. А. И. Степанец, Методы теории приближений, в 2 ч., ч. 1, Ин-т математики НАН Украины, Киев (2002).
7. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка,
Киев (1992).
8. N. Dyn, E. Farkhi, A. Mokhov, Approximation of set-valued functions: adaptation of classical approximation
operators, World Sci. Publ. Co. (2014).
9. G. A. Anastassiou, Fuzzy mathematics: approximation theory, Studies in Fuzziness and Soft Computing, Springer
(2010).
10. Yu. G. Borisovich, B. D. Gel’man, A. D. Myshkis, V. V. Obukhovskii, Multivalued mappings, J. Sov. Math., 24, № 6,
719 – 791 (1984).
11. С. М. Асеев, Квазилинейные операторы и их применение в теории многозначных отображений, Тр. Мат. ин-та
АН СССР, 167, 25 – 52 (1985).
12. P. Diamond, P. Kloeden, Metric spaces of fuzzy sets: theory and applications, World Sci. Publ. Co. (1994).
13. V. Babenko, V. Babenko, O. Kovalenko, Korneichuk – Stechkin lemma, Ostrowski and Landau inequalities, and
optimal recovery problems for L-space valued functions; https://arxiv.org/abs/2006.14581.
14. V. Babenko, V. Babenko, O. Kovalenko, Optimal recovery of monotone operators in partially ordered L-spaces,
Numer. Funct. Anal. and Optim., 41 № 11, 1373 – 1397 (2020).
15. V. Babenko, V. Babenko, O. Kovalenko, M. Polishchuk, Optimal recovery of operators in function L-spaces, Anal.
Math., 47, 13 – 32 (2021).
16. V. Babenko, Calculus and nonlinear integral equations for functions with values in L-spaces, Anal. Math., 45,
727 – 755 (2019).
17. V. F. Babenko, V. V. Babenko, Best approximation, optimal recovery, and Landau inequalities for derivatives of
Hukuhara-type in function L-spaces, J. Appl. and Numer. Optim., 1, 167 – 182 (2019).
18. J. Warga, Optimal control of differential and functional equations, Acad. Press (1972).
19. C. A. Вахрамеев, Интегрирование в L-пространствах, Прикладная математика и математическое обеспечение
ЭВМ, Изд-во Моск. гос. ун-та (1980).
20. E. Hille, R. S. Phillips, Functional analysis and semi groups, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. (1957).
21. С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР. Сер.
мат., 10, № 3, 207 – 256 (1946).
22. В. К. Дзядык, О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от
линейной комбинации абсолютно монотонных ядер, Мат. заметки, 16, № 5, 691 – 701 (1974).
23. В. Ф. Бабенко, Приближение классов сверток, Сиб. мат. журн., 28, № 5, 6 – 21 (1987).
24. В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории
наилучшего приближения, Укр. мат. журн., 42, № 1, 4 – 17 (1990).
25. В. Ф. Бабенко, С. А. Пичугов, О наилучшем линейном приближении некоторых классов дифференцируемых
периодических функций, Мат. заметки, 27, № 5, 683 – 689 (1980).
26. В. Ф. Бабенко, В. В. Бабенко, М. В. Полищук, Приближение некоторых классов многозначных периодических
функций обобщенными тригонометрическими полиномами, Укр. мат. журн., 68, № 4, 449 – 459 (2016).
27. С. М. Никольский, Квадратурные формулы, Наука, Москва (1988).
28. А. А. Женсыкбаев, Проблемы восстановления операторов, Институт компьют. исслед., Ижевск (2003).
29. Д. Трауб, Х. Вожняковский, Общая теория оптимальных алгоритмов, Мир, Москва (1983).
Одержано 21.02.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7172 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:50Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/92722e282dda5bec2d45c6368e709cba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-71722022-10-24T09:23:06Z Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications Оцінки відхилення інтегральних операторів у напівлінійних метричних просторах і їх застосування Babenko , V. F. Babenko , V. V. Kovalenko , O. V. Parfinovych , N. V. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. В. Коваленко, O. В. Парфінович, Н. В. напівлінійний простір, відхилення інтегральних операторів, апроксимація узагальненими тригонометричними поліномами UDC 517.5 In this paper, we develop the theory of approximations in functional semilinear metric spaces, which allows us to consider classes of multi- and fuzzy-valued functions, as well as classes of Banach space-valued functions including classes of random processes. For integral operators on classes of functions with values in semilinear metric spaces, we obtain estimates of their deviations and discuss possible applications of these estimates to studying problems of approximation by generalized trigonometric polynomials, optimization of approximate integration formulas, and recovery of functions under the conditions of incomplete information. УДК 517.5Метою даної роботи є розвиток теорiї апроксимацiї у функцiональних напiвлiнiйних метричних просторах, що дозволяє включити до розгляду класи багато- i нечiткозначних функцiй, а також класи функцiй зi значеннями у банахових просторах, зокрема класи випадкових процесiв. Одержано оцiнки вiдхилення iнтегральних операторiв на класах функцiй зi значеннями в напiвлiнiйних метричних просторах i обговорено можливiсть застосування їх до ослiдження задач апроксимацiї узагальненими тригонометричними полiномами, оптимiзацiї формул наближеного iнтегрування, а також вiдновлення функцiй за неповною iнформацiєю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7172 10.37863/umzh.v74i5.7172 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 5 (2022); 599 - 609 Український математичний журнал; Том 74 № 5 (2022); 599 - 609 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7172/9234 Copyright (c) 2022 Наталія Вікторівна Парфінович |
| spellingShingle | Babenko , V. F. Babenko , V. V. Kovalenko , O. V. Parfinovych , N. V. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. В. Коваленко, O. В. Парфінович, Н. В. Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title | Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title_alt | Оцінки відхилення інтегральних операторів у напівлінійних метричних просторах і їх застосування |
| title_full | Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title_fullStr | Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title_full_unstemmed | Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title_short | Estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| title_sort | estimates for deviation of integral operators in semilinear metric spaces and their applications |
| topic_facet | напівлінійний простір відхилення інтегральних операторів апроксимація узагальненими тригонометричними поліномами |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7172 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT babenkovv estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT kovalenkoov estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT parfinovychnv estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT babenkovf estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT babenkovv estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT kovalenkoov estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT parfínovičnv estimatesfordeviationofintegraloperatorsinsemilinearmetricspacesandtheirapplications AT babenkovf ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT babenkovv ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT kovalenkoov ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT parfinovychnv ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT babenkovf ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT babenkovv ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT kovalenkoov ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ AT parfínovičnv ocínkivídhilennâíntegralʹnihoperatorívunapívlíníjnihmetričnihprostorahííhzastosuvannâ |