On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders
UDC 517.5 For the moduli of continuity of $2\pi$-periodic functions $\omega_k(f,h)$ of order $k = 1,2,\ldots, $ we prove the inequalities$$\omega_k(f,\pi)\leq\frac{2^k}{C_k^{[\frac{k}{2}]}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\omega_k(f,h)dh,$$for even $k.$ The inequalities are exact in the spaces $C_{2\...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7217 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512635961737216 |
|---|---|
| author | Maksymenkova , Yu. A. Michaylova , Т. F. Максименкова, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. |
| author_facet | Maksymenkova , Yu. A. Michaylova , Т. F. Максименкова, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. |
| author_sort | Maksymenkova , Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-25T09:23:04Z |
| description | UDC 517.5
For the moduli of continuity of $2\pi$-periodic functions $\omega_k(f,h)$ of order $k = 1,2,\ldots, $ we prove the inequalities$$\omega_k(f,\pi)\leq\frac{2^k}{C_k^{[\frac{k}{2}]}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\omega_k(f,h)dh,$$for even $k.$ The inequalities are exact in the spaces $C_{2\pi}$ and $L_1[-\pi,\pi]$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i8.7217 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v74i8.7217
УДК 517.5
Ю. А. Максименкова, Т. Ф. Михайлова1 (Укр. держ. ун-т науки i технологiй, Днiпро)
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI ВИЩИХ ПОРЯДКIВ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
For the moduli of continuity of 2\pi -periodic functions \omega k(f, h) of order k = 1, 2, . . . , we prove the inequalities
\omega k(f, \pi ) \leq
2k
C
[ k
2
]
k
1
\pi
\pi \int
0
\omega k(f, h)dh,
for even k. The inequalities are exact in the spaces C2\pi and L1[ - \pi , \pi ].
Для модулiв неперервностi 2\pi -перiодичних функцiй \omega k(f, h) порядку k = 1, 2, . . . доведено нерiвностi
\omega k(f, \pi ) \leq
2k
C
[ k
2
]
k
1
\pi
\pi \int
0
\omega k(f, h)dh,
якi для парних k є точними у просторах C2\pi i L1[ - \pi , \pi ].
Для функцiй f простору C2\pi , 2\pi -перiодичних, неперервних на R iз нормою \| f\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(x)| ;
x \in R\} , розглянемо властивостi функцiї \omega k(f, h), k \in N, h \geq 0, її модуля неперервностi
порядку k:
\omega k(f, h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\| \bigtriangleup k
t f\| , \bigtriangleup tf(x) = f(x+ t) - f(x),
\bigtriangleup k
t f(x) = \bigtriangleup k - 1
t (\bigtriangleup tf(x)) =
k\sum
\nu =0
( - 1)k - \nu C\nu
kf(x+ \nu t).
При k = 1 повний опис класу модулiв неперервностi наведено в [1], а при k > 1 такого
опису немає.
Нехай деяка функцiя \omega (h), h \in [0, \pi ], має такi основнi властивостi модуля неперервностi
порядку k, k > 1:
1) \omega (0) = 0;
2) \omega (h) неперервна та неспадна;
3) \omega (nh) \leq nk\omega (h), n \in N.
Сукупнiсть вiдомих властивостей ще не гарантує iснування функцiї f такої, що \omega k(f, h) =
= \omega (h) для всiх h \in [0, \pi ]. Тому виникає необхiднiсть в дослiдженнi додаткових властивостей
модулiв неперервностi вищих порядкiв.
Нехай e0(f) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - c\| ; c \in R\} — найкраще наближення f сталою.
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: mcsimenkoffa@gmail.com.
c\bigcirc Ю. А. МАКСИМЕНКОВА, Т. Ф. МИХАЙЛОВА, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1149
1150 Ю. А. МАКСИМЕНКОВА, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
Теорема 1. 1. Для будь-якої функцiї f \in C2\pi , k \in N, виконується нерiвнiсть
e0(f) \leq
1
C
[ k
2
]
k
1
\pi
\pi \int
0
\omega k(f, h)dh. (1)
У випадку парного k нерiвнiсть (1) є точною:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi ,f \not =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
e0(f)
1
\pi
\int \pi
0
\omega 2k(f, h)dh
=
1
Ck
2k
. (2)
2. Для всiх k \in N i f \in C2\pi виконується нерiвнiсть
\omega k(f, \pi ) \leq
2k
C
[ k
2
]
k
1
\pi
\pi \int
0
\omega k(f, h)dh. (3)
При парних k нерiвнiсть (3) є точною:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi ,f \not =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
\omega 2k(f, \pi )
1
\pi
\int \pi
0
\omega 2k(f, h)dh
=
22k
Ck
2k
. (4)
Зокрема, з нерiвностi (3) випливає, що степенева функцiя h\alpha , \alpha > 0, h \in [0, \pi ], не є
модулем неперервностi порядку k при \alpha >
2k
C
[ k
2
]
k
- 1.
Iдея доведення нерiвностей вигляду (3), яка заснована на точних оцiнках вигляду (2) вели-
чини e0(f), з’явилася в роботi [2] у випадку k = 1 в метрицi L2[ - \pi , \pi ]. Подальшi результати
для k = 1 в метрицi Lp[ - \pi , \pi ], p \in [1,\infty ), отримано в [3, 4].
Доведення теореми. За спiввiдношенням двоїстостi
e0(f) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\langle f, g\rangle ; g \in H0
1
\bigr\}
, де \langle f, g\rangle =
\pi \int
- \pi
f(x)g(x)dx,
H0
1 =
\left\{ g \in L1[ - \pi , \pi ], \| g\| 1 =
\pi \int
- \pi
| g(x)| dx = 1, g\bot 1
\right\} .
Нехай g \in H0
1 . Розглянемо величину
I =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\biggl\langle
\bigtriangleup k
t f(x), g
\biggl(
x+
\biggl[
k
2
\biggr]
t
\biggr) \biggr\rangle
dt.
Оскiльки g\bot 1, то при \nu \not =
\biggl[
k
2
\biggr]
1
2\pi
\pi \int
- \pi
f(x+ \nu t)g
\biggl(
x+
\biggl[
k
2
\biggr]
t
\biggr)
dt = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
ПРО ОДНУ ВЛАСТИВIСТЬ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . . 1151
а при \nu =
\biggl[
k
2
\biggr]
1
2\pi
\pi \int
- \pi
f
\biggl(
x+
\biggl[
k
2
\biggr]
t
\biggr)
g
\biggl(
x+
\biggl[
k
2
\biggr]
t
\biggr)
dt =
1
2\pi
\langle f, g\rangle .
Тому
I = ( - 1)k - [ k
2
]C
[ k
2
]
k \langle f, g\rangle ,
e0(f) \leq
1
C
[ k2 ]
k
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\| \bigtriangleup k
t f\| dt \leq
1
C
[ k2 ]
k
1
\pi
\pi \int
0
\omega k(f, t)dt.
Нерiвнiсть (1) доведено.
Для доведення рiвностi (2) покладемо f(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x. Тодi \| \bigtriangleup 2k
h \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x\| =
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
h
2
\biggr) 2k
i
1
\pi
\int \pi
0
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
h
2
\biggr) 2k
dh = Ck
2k [5, c. 175].
Оскiльки \omega k(f, \pi ) = \omega k(f - c, \pi ) \leq 2k\| f - c\| для будь-якої сталої c, то з (1) випливає (3).
Функцiя f(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x у (4) є екстремальною.
Теорему доведено.
Наведемо доповнення та зауваження до теореми.
1. Для непарних k функцiя \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x в (1), (3) не є екстремальною. У нас є гiпотеза, що для всiх
k \in N екстремальною в (1), (3) буде функцiя \varphi 1(x) = | x| - \pi
2
, x \in [ - \pi , \pi ], i \varphi 1(x+2\pi ) = \varphi 1(x).
Зрозумiло, що \omega k(\varphi 1, h) для h \leq \pi — кусково-лiнiйна функцiя. В результатi обчислень
\omega k(\varphi 1, h) для невеликих значень k гiпотеза пiдтвердилась:
\omega 1(\varphi 1, h) = h, \omega 2(\varphi 1, h) = 2h,
вузли
\omega 3(\varphi 1, h) -
\Bigl( \pi
2
, \pi
\Bigr)
, (\pi , 4\pi ),
\omega 4(\varphi 1, h) -
\Bigl( \pi
2
, 2\pi
\Bigr)
, (\pi , 8\pi ),
\omega 5(\varphi 1, h) -
\Bigl( \pi
3
, 2\pi
\Bigr)
,
\Bigl( \pi
2
, 2\pi
\Bigr)
,
\biggl(
2\pi
3
, 6\pi
\biggr)
, (\pi , 16\pi ).
2. Точнiсть нерiвностi (3) достатньо довести лише для непарних k; звiдси буде випливати
точнiсть i для парних k. Точнiше, якщо деяка функцiя g екстремальна в (3) для 2k+1, то вона
є екстремальною i для 2k + 2: оскiльки \omega 2k+2(g, h) \leq 2\omega 2k+1(g, h) i 2Ck
2k+1 = Ck+1
2k+2, то
e0(g)
1
\pi
\int \pi
0
\omega 2k+2(g, h)dh
\geq e0(g)
2
\pi
\int \pi
0
\omega 2k+1(g, h)dh
=
1
2Ck
2k+1
=
1
Ck+1
2k+2
.
3. Теорема, очевидно, є правильною i для простору L1[ - \pi , \pi ]. При парних k екстремальною
функцiєю буде також \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x, а при непарних k екстремальною, можливо, буде функцiя \varphi 0(x) =
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
1152 Ю. А. МАКСИМЕНКОВА, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
Лiтература
1. С. М. Никольский, Ряд Фурье функций с данным модулем непрерывности, Докл. АН СССР, 52, 191 – 193
(1946).
2. В. А. Юдин, О модуле непрерывности в L2, Сиб. мат. журн., 20, 449 – 450 (1979).
3. С. В. Конягин, О модулях непрерывности функций, Тез. докл. Всесоюз. школы по теории функций (Кемерово,
1983) (1983), с. 59.
4. В. И. Иванов, О модуле непрерывности в Lp, Мат. заметки, 41, № 5, 682 – 686 (1987).
5. Н. М. Рыжик, И. С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Гостехтеориздат, Москва
(1951).
Одержано 09.05.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7217 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:56Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c0/32880683608ce2686418e76d20ef59c0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72172022-10-25T09:23:04Z On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders Про одну властивість модулів неперервності вищих порядків періодичних функцій Maksymenkova , Yu. A. Michaylova , Т. F. Максименкова, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. модуль неперервності, кратні модулі неперервності UDC 517.5 For the moduli of continuity of $2\pi$-periodic functions $\omega_k(f,h)$ of order $k = 1,2,\ldots, $ we prove the inequalities$$\omega_k(f,\pi)\leq\frac{2^k}{C_k^{[\frac{k}{2}]}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\omega_k(f,h)dh,$$for even $k.$ The inequalities are exact in the spaces $C_{2\pi}$ and $L_1[-\pi,\pi]$. Для модулей непрерывности $2\pi$-периодических функций $\omega_k(f,h)$ порядка $k=1,2,..$ доказаны неравенства $$\omega_k(f,\pi)\leq\frac{2^k}{C_k^{[\frac{k}{2}]}}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\omega_k(f,h)dh,$$которые для четных $k$ являются точными в пространствах $C{[-\pi,\pi]}$ та $L_1[-\pi,\pi]$ УДК 517.5Для модулiв неперервностi $2\pi$ -перiодичних функцiй $\omega_k(f,h)$ порядку $k = 1,2,\ldots$, доведено нерiвностi $$\omega_k(f,\pi)\leq\frac{2^k}{C_k^{[\frac{k}{2}]}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\omega_k(f,h)dh,$$ якi для парних $k$ є точними у просторах $C_{2\pi}$ i $L_1[-\pi,\pi]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-10-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7217 10.37863/umzh.v74i8.7217 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 8 (2022); 1149 - 1152 Український математичний журнал; Том 74 № 8 (2022); 1149 - 1152 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7217/9293 Copyright (c) 2022 Юлія Максименкова, Тетяна Михайлова |
| spellingShingle | Maksymenkova , Yu. A. Michaylova , Т. F. Максименкова, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title | On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title_alt | Про одну властивість модулів неперервності вищих порядків періодичних функцій |
| title_full | On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title_fullStr | On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title_full_unstemmed | On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title_short | On one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| title_sort | on one property of the modulus of continuity for periodic functions of higher orders |
| topic_facet | модуль неперервності кратні модулі неперервності |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7217 |
| work_keys_str_mv | AT maksymenkovayua ononepropertyofthemodulusofcontinuityforperiodicfunctionsofhigherorders AT michaylovatf ononepropertyofthemodulusofcontinuityforperiodicfunctionsofhigherorders AT maksimenkovaûa ononepropertyofthemodulusofcontinuityforperiodicfunctionsofhigherorders AT mihajlovatf ononepropertyofthemodulusofcontinuityforperiodicfunctionsofhigherorders AT maksymenkovayua proodnuvlastivístʹmodulívneperervnostíviŝihporâdkívperíodičnihfunkcíj AT michaylovatf proodnuvlastivístʹmodulívneperervnostíviŝihporâdkívperíodičnihfunkcíj AT maksimenkovaûa proodnuvlastivístʹmodulívneperervnostíviŝihporâdkívperíodičnihfunkcíj AT mihajlovatf proodnuvlastivístʹmodulívneperervnostíviŝihporâdkívperíodičnihfunkcíj |