Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems
УДК 517.956.4We investigate global and local regularity of generalized solutions to parabolic initial-boundary value problem for Petrovskii system of second order differential equations. Results are formulated in terms of the belonging of right-hand sides of the problem to some generalized Sobolev s...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7225 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512638230855680 |
|---|---|
| author | Diachenko, O. V. Los, V. M. Дьяченко, Александр Лось, Валерий Дяченко, О. В. Лось, В. М. |
| author_facet | Diachenko, O. V. Los, V. M. Дьяченко, Александр Лось, Валерий Дяченко, О. В. Лось, В. М. |
| author_sort | Diachenko, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-24T09:23:22Z |
| description | УДК 517.956.4We investigate global and local regularity of generalized solutions to parabolic initial-boundary value problem for Petrovskii system of second order differential equations. Results are formulated in terms of the belonging of right-hand sides of the problem to some generalized Sobolev spaces. We also obtain new sufficient conditions under which the generalized solution should be classical. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i8.7225 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i8.7225
УДК 517.956.4
О. В. Дяченко, В. М. Лось1 (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ
We investigate global and local regularity of generalized solutions to parabolic initial-boundary value problem for Petrovskii
system of second order differential equations. Results are formulated in terms of the belonging of right-hand sides of the
problem to some generalized Sobolev spaces. We also obtain new sufficient conditions under which the generalized solution
should be classical.
Дослiджено глобальну i локальну регулярнiсть узагальнених розв’язкiв початково-крайової задачi для параболiчної
за Петровським системи диференцiальних рiвнянь другого порядку. Результати сформульовано в термiнах належ-
ностi правих частин задачi до деяких узагальнених просторiв Соболєва. Отримано новi достатнi умови класичностi
узагальненого розв’язку.
1. Вступ. Мета цiєї статтi — доповнити результати статтi [1] про коректну розв’язнiсть деяких
параболiчних початково-крайових задач в узагальнених функцiональних просторах Соболєва
теоремами про достатнi умови регулярностi розв’язкiв задач. Ми дослiджуємо параболiчнi
за Петровським системи диференцiальних рiвнянь другого порядку, заданi у багатовимiрному
скiнченному цилiндрi \Omega з гладкою бiчною поверхнею. Регулярнiсть розв’язкiв цих систем
характеризуємо у термiнах гiльбертових анiзотропних функцiональних просторiв Hs,s/2;\varphi (\Omega ),
де дiйсне число s \geq 2, а функцiональний параметр \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) повiльно змiнюється
на нескiнченностi у сенсi Карамати. Параметр \varphi уточнює основну степеневу регулярнiсть
розв’язкiв, яка задається числовими параметрами s i s/2 за просторовими i часовою змiнними
вiдповiдно.
Вказанi простори є окремим випадком просторiв, уведених Л. Хермандером [2, 3]. Якщо
\varphi (\cdot ) \equiv 1, то Hs,s/2;\varphi (\Omega ) — анiзотропнi простори Соболєва Hs,s/2(\Omega ), якi разом iз просторами
Гельдера широко застосовуються у теорiї параболiчних задач [4 – 9]. Її центральний результат
стверджує, що цi задачi коректно розв’язнi (за Адамаром) на парах вiдповiдних анiзотропних
просторiв Соболєва i Гельдера, тобто породжують iзоморфiзми на цих парах.
У даний час параболiчнi задачi активно дослiджують у бiльш тонко градуйованих шкалах
функцiональних просторiв, нiж класичнi шкали Соболєва i Гельдера (див., наприклад, [10 – 16]).
Використовують простори з мiшаною Lp - Lq -нормою, простори Лiзоркiна – Трiбеля, рiзнi
ваговi простори, узагальненi простори Соболєва Hs,s/(2b);\varphi , де 2b — параболiчна вага. Для
останнiх теорiю розв’язностi скалярних параболiчних задач побудовано в основному в працях
[12, 13, 17] i викладено в монографiї [18]. Випадок систем дослiджено в [1, 19].
Основнi результати цiєї статтi — теореми про достатнi умови належностi узагальнених
розв’язкiв дослiджуваних у [1] параболiчних задач до просторiв Hs,s/2;\varphi (\Omega ) й умови неперерв-
ностi розв’язкiв та вказаних їхнiх частинних похiдних, зокрема умови класичностi узагальнених
розв’язкiв. Використання функцiонального параметра \varphi дозволяє отримати новi тонкi i точнi
умови гладкостi розв’язкiв у порiвняннi з класичними результатами [4, 8, 9]. У скалярному
випадку версiї цих теорем встановлено в [12, 20, 21], а для елiптичних крайових задач — у
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: v_los@yahoo.com.
c\bigcirc О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8 1107
1108 О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ
[22 – 25]. Окремий випадок параболiчних крайових задач для систем з однорiдними початкови-
ми даними Кошi розглянуто в [19, 26].
2. Постановка задачi. Нехай довiльно задано цiле число n \geq 2, дiйсне число \tau > 0 й
обмежену область G \subset \BbbR n з нескiнченно гладкою межею \Gamma := \partial G. Позначимо через \Omega :=
:= G \times (0, \tau ) вiдкритий цилiндр в \BbbR n+1, а через S := \Gamma \times (0, \tau ) його бiчну поверхню. Тодi
\Omega := G \times [0, \tau ] i S := \Gamma \times [0, \tau ] — замикання \Omega i S вiдповiдно. Будемо ототожнювати G з
нижньою основою G\times \{ 0\} цилiндра \Omega .
Розглянемо таку параболiчну початково-крайову задачу у цилiндрi \Omega :
\partial tuj(x, t) +
N\sum
k=1
\sum
| \alpha | \leq 2
a\alpha j,k(x, t)D
\alpha
xuk(x, t) = fj(x, t)
для всiх (x, t) \in \Omega та j \in \{ 1, . . . , N\} ,
(1)
N\sum
k=1
\sum
| \alpha | \leq lj
b\alpha j,k(x, t)D
\alpha
xuk(x, t) = gj(x, t)
для всiх (x, t) \in S та j \in \{ 1, . . . , N\} ,
(2)
uj(x, t)
\bigm| \bigm|
t=0
= hj(x) для всiх x \in G та j \in \{ 1, . . . , N\} . (3)
Тут довiльним чином вибрано натуральне число N \geq 2 i числа l1, . . . , lN \in \{ 0, 1\} . Всi коефiцi-
єнти диференцiальних виразiв у формулах (1), (2) є нескiнченно гладкими комплекснозначними
функцiями, заданими на \Omega i S вiдповiдно, тобто всi a\alpha j,k \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
i b\alpha j,k \in C\infty \bigl(
S
\bigr)
. Використо-
вуємо позначення D\alpha
x := D\alpha 1
1 . . . D\alpha n
n , де Dk := i \partial /\partial xk i \partial t := \partial /\partial t для частинних похiдних
функцiй, що залежать вiд x = (x1, . . . , xn) \in \BbbR n i t \in \BbbR , i — уявна одиниця, \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n) —
мультиiндекс i | \alpha | := \alpha 1 + . . .+\alpha n. У формулах (1), (2) та їхнiх аналогах пiдсумовування про-
водиться за цiлими невiд’ємними iндексами \alpha 1, . . . , \alpha n, якi задовольняють умову, вказану пiд
знаком суми.
Припускаємо, що початково-крайова задача (1) – (3) параболiчна за Петровським у цилiндрi
\Omega (див. означення в [4], розд. 1, § 1).
Встановимо достатнi умови глобальної та локальної регулярностi узагальнених розв’язкiв
задачi (1) – (3) в термiнах належностi її правих частин узагальненим анiзотропним просторам
Соболєва. Крiм того, отримаємо новi достатнi умови класичностi цих розв’язкiв.
Нагадаємо означення узагальненого анiзотропного простору Соболєва на \BbbR k. Через \scrM
позначимо клас усiх вимiрних за Борелем функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) таких, що:
(i) \varphi i 1/\varphi обмеженi на кожному вiдрiзку [1, c], де 1 < c < \infty ;
(ii) \varphi повiльно змiнна за Й. Карамата на нескiнченностi, тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\varphi (\lambda r)
\varphi (r)
= 1 для кожного \lambda > 0.
Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . За означенням комплексний лiнiйний простiр Hs,s/2;\varphi
\bigl(
\BbbR k
\bigr)
, де
2 \leq k \in \BbbZ , складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w \in \scrS \prime \bigl( \BbbR k
\bigr)
таких, що їх (повне)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 1109
перетворення Фур’є \widetilde w є функцiєю, яка локально iнтегровна на \BbbR k за Лебегом i задовольняє
умову
\| w\| Hs,s/2;\varphi (\BbbR k) :=
:=
\left( \int
\BbbR k - 1
\int
\BbbR
\bigl(
1 + | \xi | 2 + | \eta |
\bigr) s
\varphi 2
\Bigl( \bigl(
1 + | \xi | 2 + | \eta |
\bigr) 1/2\Bigr) | \widetilde w(\xi , \eta )| 2 d\xi d\eta
\right) 1/2
< \infty , (4)
де \xi \in \BbbR k - 1 i \eta \in \BbbR . Цей простiр гiльбертовий i сепарабельний щодо норми (4). Вiн є окремим
випадком просторiв \scrB p,\mu , введених Л. Хермандером [2] (п. 2.2), а саме, Hs,s/2;\varphi
\bigl(
\BbbR k
\bigr)
= \scrB p,\mu за
умови, що p = 2 i
\mu (\xi , \eta ) \equiv
\bigl(
1 + | \xi | 2 + | \eta |
\bigr) s/2
\varphi
\Bigl(
(1 + | \xi | 2 + | \eta | )1/2
\Bigr)
.
Гiльбертовий анiзотропний простiр Hs,s/2;\varphi (\Omega ) означується як простiр звужень на \Omega усiх
розподiлiв з Hs,s/2;\varphi
\bigl(
\BbbR n+1
\bigr)
, а гiльбертовий анiзотропний простiр Hs,s/2;\varphi (S) на бiчнiй по-
верхнi цилiндра означується за базовим простором Hs,s/2;\varphi (\BbbR n) за допомогою спецiальних
локальних карт на бiчнiй поверхнi цилiндра (див. [27], п. 1). Означення та основнi властивостi
просторiв Hs,s/2;\varphi (W ), де W \in \{ \Omega , S\} , наведено, наприклад, в [1] (п. 2). Iзотропнi простори
Hs;\varphi (G) i Hs;\varphi (\Gamma ), заданi на основi G цилiндра та лiнiї \Gamma з’єднання основи i бiчної поверхнi
вiдповiдно, означено в [22] (пп. 2.1.1, 3.2.1), [24]. Якщо \varphi (\cdot ) = 1, то цi простори є соболєв-
ськими. В цьому випадку iндекс \varphi у їхнiх позначеннях вилучаємо.
Результати цiєї роботи спираються на теорему про iзоморфiзми [1], (теорема 4.1) для задачi
(1) – (3). Сформулюємо для зручностi цей результат.
Покладемо
Aj,k(x, t,Dx, \partial t) := \delta j,k\partial t +
\sum
| \alpha | \leq 2
a\alpha j,k(x, t)D
\alpha
x (5)
i
Bj,k(x, t,Dx) :=
\sum
| \alpha | \leq lj
b\alpha j,k(x, t)D
\alpha
x (6)
для всiх j, k \in \{ 1, . . . , N\} . Тут \delta j,k — символ Кронекера. Скориставшись позначеннями (5) i
(6), запишемо всi рiвностi в (1), (2) у такiй еквiвалентнiй формi:
N\sum
k=1
Aj,k(x, t,Dx, \partial t)uk(x, t) = fj(x, t)
i
N\sum
k=1
Bj,k(x, t,Dx)uk(x, t) = gj(x, t).
Покладемо u := (u1, . . . , uN ), f := (f1, . . . , fN ), g := (g1, . . . , gN ) i h := (h1, . . . , hN ). Запи-
шемо систему (1) i граничнi умови (2) в матричнiй формi Au = f i Bu = g. Тут
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
1110 О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ
A := (Aj,k(x, t,Dx, \partial t))
N
j,k=1 i B := (Bj,k(x, t,Dx))
N
j,k=1
— матричнi диференцiальнi оператори. Пов’яжемо iз задачею (1) – (3) лiнiйне вiдображення
u \mapsto \rightarrow \Lambda u := (Au,Bu, u| t=0), де u \in
\bigl(
C\infty \bigl(
\Omega
\bigr) \bigr) N
. (7)
Твердження 1 ([1], теорема 4.1). Нехай довiльно задано параметри: числовий s \geq 2 i
функцiональний \varphi \in \scrM . У випадку s = 2 додатково припустимо, що \varphi є зростаючою (в
нестрогому сенсi) функцiєю. Тодi вiдображення (7) продовжується єдиним чином (за непе-
рервнiстю) до iзоморфiзму
\Lambda :
\Bigl(
Hs,s/2;\varphi (\Omega )
\Bigr) N
\updownarrow \scrQ s - 2,s/2 - 1;\varphi . (8)
Тут \scrQ s - 2,s/2 - 1;\varphi — гiльбертовий простiр правих частин задачi (див. [1], п. 4). А саме, для
s /\in E, де
E := \{ 2l + lj + 3/2 : j, l \in \BbbZ , 1 \leq j \leq N, l \geq 0\} \cap (2,\infty ), (9)
вiн утворений такими векторами (f, g, h) з простору
\scrH s - 2,s/2 - 1;\varphi :=
\Bigl(
Hs - 2,s/2 - 1;\varphi (\Omega )
\Bigr) N
\oplus
N\bigoplus
j=1
Hs - lj - 1/2,(s - lj - 1/2)/2;\varphi (S)\oplus
\bigl(
Hs - 1;\varphi (G)
\bigr) N
,
що задовольняють природнi умови узгодження правих частин параболiчної задачi (1) – (3).
У випадку s \in E гiльбертовий простiр \scrQ s - 2,s/2 - 1;\varphi означується за допомогою квадратичної
iнтерполяцiї з числовим параметром 1/2:
\scrQ s - 2,s/2 - 1;\varphi :=
\Bigl[
\scrQ s - \varepsilon - 2,(s - \varepsilon )/2 - 1;\varphi ,\scrQ s+\varepsilon - 2,(s+\varepsilon )/2 - 1;\varphi
\Bigr]
1/2
. (10)
Тут \varepsilon \in (0, 1/2) — довiльне число. Означений у такий спосiб простiр не залежить з точнiстю
до еквiвалентностi норм вiд вибору числа \varepsilon .
3. Основнi результати. Це достатнi умови глобальної та локальної регулярностi узагаль-
неного розв’язку параболiчної задачi (1) – (3) в узагальнених просторах Соболєва, а також
достатня умова класичностi цього розв’язку. Наведемо його означення.
Нехай усi компоненти правих частин f, g i h задачi є довiльними розподiлами на \Omega , S i G
вiдповiдно. Вектор-функцiю u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
називаємо узагальненим розв’язком задачi (1) –
(3), якщо
\Lambda u = (f, g, h), (11)
де \Lambda — обмежений оператор (8) для s = 2 i \varphi = 1. З рiвностi (11) випливає, що
(f, g, h) \in \scrQ 0,0. (12)
З iзоморфiзму (8) випливає (див. також [7], теорема 5.7), що параболiчна задача (1) – (3) має
єдиний узагальнений розв’язок u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
для кожного вектора (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 1111
Теорема 1. Припустимо, що вектор-функцiя u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
є узагальненим розв’язком
параболiчної задачi (1) – (3), правi частини якої задовольняють умову
(f, g, h) \in \scrQ s - 2,s/2 - 1;\varphi
для деяких s \geq 2 i \varphi \in \scrM (у випадку s = 2 додатково припускаємо, що \varphi є зростаючою (в
нестрогому сенсi) функцiєю). Тодi u \in
\bigl(
Hs,s/2;\varphi (\Omega )
\bigr) N
.
Цей результат про достатню умову глобальної (тобто в усьому цилiндрi \Omega аж до його межi)
регулярностi розв’язку є безпосереднiм наслiдком твердження 1.
Тепер сформулюємо локальну версiю цiєї теореми. Нехай U — вiдкрита множина в \BbbR n+1
така, що \Omega 0 := U \cap \Omega \not = \varnothing i U \cap \Gamma = \varnothing . Покладемо \Omega \prime := U \cap \partial \Omega , S0 := U \cap S, S\prime :=
:= U \cap \{ (x, \tau ) : x \in \Gamma \} i G0 := U \cap G. Позначимо через H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime ) лiнiйний простiр
усiх розподiлiв u на \Omega таких, що \chi u \in Hs,s/2;\varphi (\Omega ) для кожної функцiї \chi \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
, яка
задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Omega \prime . Аналогiчно, позначимо через H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (S0, S
\prime ) лiнiйний
простiр усiх розподiлiв v на S таких, що \chi v \in Hs,s/2;\varphi (S) для будь-якої функцiї \chi \in C\infty \bigl(
S
\bigr)
,
яка задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset S0 \cup S\prime . Нарештi, Hs;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (G0) позначає лiнiйний простiр усiх
розподiлiв w на G таких, що \chi w \in Hs;\varphi (G) для кожної функцiї \chi \in C\infty \bigl(
G
\bigr)
, яка задовольняє
умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset G0 (див., наприклад, [12], п. 4).
Теорема 2. Нехай s \geq 2 i \varphi \in \scrM (у випадку s = 2 додатково припускаємо, що \varphi є
зростаючою (в нестрогому сенсi) функцiєю). Припустимо, що вектор-функцiя u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
є узагальненим розв’язком параболiчної задачi (1) – (3), правi частини якої задовольняють такi
умови:
f \in
\Bigl(
H
s - 2,s/2 - 1;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
, (13)
g \in
N\bigoplus
j=1
H
s - lj - 1/2,(s - lj - 1/2)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
S0, S
\prime \bigr) , (14)
h \in
\Bigl(
Hs - 1;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (G0)
\Bigr) N
. (15)
Тодi
u \in
\Bigl(
H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
.
Якщо \Omega \prime = \varnothing , то теорема 2 стверджує, що регулярнiсть узагальненого розв’язку пiдви-
щується в околах внутрiшнiх точок замкненого цилiндра \Omega . Якщо G0 = \varnothing , то ця теорема
стверджує, що регулярнiсть розв’язку u(x, t) пiдвищується при t > 0. В цих випадках вона є
наслiдком теореми 2 [19].
Зазначимо, що припущення U \cap \Gamma = \varnothing iстотне, оскiльки без нього висновок теореми 2
є взагалi хибним. Для його iстинностi у цьому випадку, потрiбно накласти на правi частини
задачi (1) – (3) на множинi U \cap \Gamma деякi додатковi умови узгодження.
Узагальненi простори Соболєва дозволяють отримати бiльш тонкi, нiж у випадку класич-
них просторiв Соболєва, достатнi умови неперервностi узагальненого розв’язку u та його
узагальнених похiдних заданого порядку на множинi \Omega 0 \cup \Omega \prime .
Подiбно до [12, с. 3617] (див. також [18], зауваження 2.1) узагальнену функцiю v \in \scrD \prime (\Omega )
називаємо неперервною на множинi \Omega 0 \cup \Omega \prime , якщо iснує неперервна функцiя v0 на \Omega 0 \cup \Omega \prime
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
1112 О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ
така, що
v(\omega ) =
\int
\Omega 0
v0(x, t)\omega (x, t) dxdt (16)
для довiльної функцiї \omega \in C\infty (\Omega ), носiй якої задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\omega \subset \Omega 0. Тут v(\omega ) —
значення функцiонала v на функцiї \omega .
Теорема 3. Нехай задано довiльне цiле число p \geq 0. Припустимо, що вектор-функцiя
u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
є узагальненим розв’язком параболiчної задачi (1) – (3), правi частини якої
задовольняють умови (13) – (15) для s := p + 1 + n/2 i деякого функцiонального параметра
\varphi \in \scrM , що задовольняє умову
\infty \int
1
dr
r \varphi 2(r)
< \infty , (17)
до того ж у випадку s = 2 додатково припускаємо, що функцiя \varphi зростає (в нестрогому сенсi).
Тодi розв’язок u(x, t) = (u1(x, t), . . . , uN (x, t)) i кожна його узагальнена частинна похiдна
D\alpha
x\partial
\beta
t u(x, t) =
\Bigl(
D\alpha
x\partial
\beta
t u1(x, t), . . . , D
\alpha
x\partial
\beta
t uN (x, t)
\Bigr)
,
де | \alpha | + 2\beta \leq p, неперервнi на множинi \Omega 0 \cup \Omega \prime .
Для цiєї теореми правильнi версiї зауважень 1 i 2 з [19]. А саме, умова (17) є точною. Крiм
того, якщо переформулювати теорему 3 на випадок класичних просторiв Соболєва \varphi = 1, то
умова (17) не виконується i доведеться замiнити умови (13) – (15) для s := p+1+n/2 на бiльш
сильнi. Потрiбно стверджувати, що цi умови виконуються для деякого s > p+ 1 + n/2.
Теорема 3 дозволяє отримати новi й тонкi достатнi умови класичностi узагальненого розв’язку
задачi (1) – (3). Сформулюємо означення класичного розв’язку цiєї задачi.
Нехай l0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ l1, . . . , lN\} . Покладемо
S\varepsilon := \{ x \in \Omega : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x, S) < \varepsilon \} , G\varepsilon := \{ x \in \Omega : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,G) < \varepsilon \} ,
де число \varepsilon > 0.
Узагальнений розв’язок u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
задачi (1) – (3) називаємо класичним, якщо уза-
гальненi частиннi похiднi вектор-функцiї u = u(x, t) задовольняють такi умови:
(a) D\alpha
x\partial
\beta
t u неперервна на \Omega , якщо 0 \leq | \alpha | + 2\beta \leq 2;
(b) D\alpha
xu неперервна на S\varepsilon \cup S для деякого числа \varepsilon > 0, якщо 0 \leq | \alpha | \leq l0 ;
(c) u неперервна на G\varepsilon \cup G для деякого числа \varepsilon > 0.
Якщо розв’язок u = u(x, t) задачi (1) – (3) класичний, то її лiвi частини є неперервними
функцiями на вiдповiдних множинах.
Теорема 4. Припустимо, що вектор-функцiя u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
є узагальненим розв’язком
параболiчної задачi (1) – (3), правi частини якої задовольняють такi умови:
f \in
\Bigl(
H
1+n/2, 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega ,\varnothing )
\Bigr) N
\cap
\Bigl(
H
l0 - 1+n/2, l0/2 - 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (S\varepsilon , S)
\Bigr) N
\cap
\cap
\Bigl(
H
- 1+n/2, - 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (G\varepsilon , G)
\Bigr) N
, (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 1113
g \in
N\bigoplus
j=1
H
l0+n/2 - lj+1/2, l0/2+n/4 - lj/2+1/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (S,\varnothing ), (19)
h \in
\Bigl(
H
n/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (G)
\Bigr) N
, (20)
з деяким функцiональним параметром \varphi \in \scrM , який задовольняє умови теореми 3. Тодi
розв’язок u є класичним.
4. Доведення. У скалярному випадку N = 1 теореми 2 – 4 встановлено в [12] (розд. 6) (див.
також монографiю [18], розд. 3.4, 3.5). Ми узагальнюємо розробленi там методи доведення на
випадок систем.
Доведення теореми 2. Спочатку доведемо, що з умов (13) – (15) випливає iстиннiсть iм-
плiкацiї
u \in
\Bigl(
H
s - \lambda ,(s - \lambda )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
=\Rightarrow u \in
\Bigl(
H
s - \lambda +1,(s - \lambda +1)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
(21)
для всiх цiлих \lambda \geq 1, що задовольняють умову s - \lambda + 1 > 2.
Нехай \chi \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
— така довiльна функцiя, що supp\chi \subset \Omega 0 \cup \Omega \prime . Для \chi iснує функцiя
\eta \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
така, що supp \eta \subset \Omega 0 \cup \Omega \prime i \eta = 1 в околi supp\chi . Переставивши диференцiальнi
оператори A i B з оператором множення на функцiю \chi , отримаємо
\Lambda (\chi u) = \Lambda (\chi \eta u) = \chi \Lambda (\eta u) + \Lambda \prime (\eta u) = \chi \Lambda u+ \Lambda \prime (\eta u) = \chi (f, g, h) + \Lambda \prime (\eta u). (22)
Тут \Lambda \prime := (A\prime , B\prime , 0) — оператор, елементи A\prime i B\prime якого мають вигляд
A\prime :=
\left( \sum
| \alpha | \leq 1
a\alpha j,k,1(x, t)D
\alpha
x
\right) N
j,k=1
i B\prime := (bj,k,1(x, t))
N
j,k=1 ,
де a\alpha j,k,1 \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
i bj,k,1 \in C\infty \bigl(
S
\bigr)
. Iншими словами, A\prime i B\prime — деякi матричнi диференцi-
альнi оператори, порядки кожної компоненти яких принаймнi на одиницю меншi, нiж порядки
вiдповiдних компонент операторiв A i B.
Для кожного \sigma \geq 1 оператор \Lambda \prime неперервно дiє на парi просторiв
\Lambda \prime :
\Bigl(
H\sigma ,\sigma /2;\varphi (\Omega )
\Bigr) N
\rightarrow \scrH \sigma - 1, \sigma /2 - 1/2;\varphi . (23)
У випадку \varphi (\cdot ) \equiv 1 цей факт вiдомий. Вiн випливає з властивостей операторiв диференцiюван-
ня та операторiв слiду у просторах Соболєва. Звiдси неперервнiсть оператора (23) у загальному
випадку отримується методом квадратичної iнтерполяцiї. (Її викладено, наприклад, у моногра-
фiї [22], п. 1.1.) Для \sigma > 1 i довiльного \varphi \in \scrM це випливає з iнтерполяцiйних формул [27]
(теорема 2), [27] (лема 2) (з \Omega замiсть \Pi ) та [22] (теореми 1.5, 1.14(i), 3.2, а для \sigma = 1 i
зростаючої функцiї \varphi \in \scrM — з [28] (леми 2 i 3), [29] (теорема 4.1) та [22] (теорема 1.5).
З умов (13) – (15) випливає, що
\chi (f, g, h) \in \scrH s - 2,s/2 - 1;\varphi . (24)
Врахувавши неперервнiсть оператора \Lambda \prime на парi просторiв (23), де \sigma := s - \lambda , маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
1114 О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ
u \in
\Bigl(
H
s - \lambda ,(s - \lambda )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
=\Rightarrow \Lambda \prime (\eta u) \in \scrH s - \lambda - 1,(s - \lambda - 1)/2;\varphi .
З цiєї iмплiкацiї, включення (24) i формули (22) випливає, що
u \in
\Bigl(
H
s - \lambda ,(s - \lambda )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
=\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrH s - \lambda - 1,(s - \lambda - 1)/2;\varphi . (25)
Далi покажемо, що з умов U \cap \Gamma = \varnothing i \Lambda (\chi u) \in \scrH \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi випливає включення
\Lambda (\chi u) \in \scrQ \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi (26)
для будь-якого \sigma \geq 2. Цей факт дасть можливiсть довести (21), скориставшись теоремою 1.
Оскiльки U \cap \Gamma = \varnothing , то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi ,\Gamma ) > 0. Це означає, що \Lambda (\chi u) = 0 в деякому околi
множини \Gamma . Тому вектор-функцiя \Lambda (\chi u) задовольняє умови узгодження правих частин па-
раболiчної задачi (1) – (3) (див., наприклад, [1], п. 4). Отже, згiдно з означенням простору
\scrQ \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi у випадку \sigma /\in E виконується включення \Lambda (\chi u) \in \scrQ \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi .
Розглянемо випадок \sigma \in E. Нехай \chi 1 \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
така, що \chi 1 = 0 в околi множини \Gamma i
\chi 1 = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi . З попереднiх мiркувань випливає, що вiдображення M\chi 1 : F \mapsto \rightarrow \chi 1F є
обмеженим оператором на просторах
M\chi 1 : \scrH \sigma \pm \varepsilon - 2,(\sigma \pm \varepsilon )/2 - 1;\varphi \rightarrow \scrQ \sigma \pm \varepsilon - 2,(\sigma \pm \varepsilon )/2 - 1;\varphi , (27)
якщо 0 < \varepsilon < 1/2, оскiльки \sigma \pm \varepsilon /\in E. Iнтерполюючи з числовим параметром 1/2 оператори
(27), маємо обмежений оператор
M\chi 1 :
\Bigl[
\scrH \sigma - \varepsilon - 2,(\sigma - \varepsilon )/2 - 1;\varphi ,\scrH \sigma +\varepsilon - 2,(\sigma +\varepsilon )/2 - 1;\varphi
\Bigr]
1/2
\rightarrow
\rightarrow
\Bigl[
\scrQ \sigma - \varepsilon - 2,(\sigma - \varepsilon )/2 - 1;\varphi ,\scrQ \sigma +\varepsilon - 2m,(\sigma +\varepsilon )/2 - 1;\varphi
\Bigr]
1/2
.
Згiдно з iнтерполяцiйними формулами для просторiв \scrH \sigma \pm \varepsilon - 2,(\sigma \pm \varepsilon )/2 - 1;\varphi (див. [12], лема 6.4) i
(10) цей оператор дiє на парi просторiв
M\chi 1 : \scrH \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi \rightarrow \scrQ \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi . (28)
Оскiльки \chi 1 така, що \chi 1 = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi , то \chi 1\Lambda (\chi u) = \Lambda (\chi u). Нагадаємо, що \Lambda (\chi u) \in
\in \scrH \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi . Тодi на пiдставi (28) виконується включення
\Lambda (\chi u) = \chi 1\Lambda (\chi u) \in \scrQ \sigma - 2,\sigma /2 - 1;\varphi .
Випадок \sigma \in E розглянуто.
З формул (25) i (26), де \sigma = s - \lambda + 1, випливає за теоремою 1, що
u \in
\Bigl(
H
s - \lambda ,(s - \lambda )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
=\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrH s - \lambda - 1,(s - \lambda - 1)/2;\varphi =\Rightarrow
=\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrQ s - \lambda - 1,(s - \lambda - 1)/2;\varphi =\Rightarrow \chi u \in
\Bigl(
Hs - \lambda +1,(s - \lambda +1)/2;\varphi (\Omega )
\Bigr) N
.
Оскiльки \chi \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
є довiльною функцiєю, пiдпорядкованою умовi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Omega \prime , то
останнє включення означає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 1115
u \in
\Bigl(
H
s - \lambda +1,(s - \lambda +1)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
.
Оскiльки за умовою теореми \chi u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
i, крiм того, s - \lambda +1 > 2, то можна застосувати
теорему 1. Iмплiкацiю (21) доведено.
За її допомогою доведемо потрiбне включення u \in
\Bigl(
H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
. Нагадаємо, що
s \geq 2. Нехай спочатку s /\in \BbbZ . Тодi iснує таке цiле число \lambda 0, що s - \lambda 0 < 2 < s - \lambda 0 + 1.
За умовою теореми u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
. Використовуючи (21) послiдовно для значень \lambda := \lambda 0,
\lambda := \lambda 0 - 1, . . . , \lambda := 1, робимо висновок, що
u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N \subset
\Bigl(
H
s - \lambda 0,(s - \lambda 0)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
=\Rightarrow
=\Rightarrow u \in
\Bigl(
H
s - \lambda 0+1,(s - \lambda 0+1)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
=\Rightarrow . . .
. . . =\Rightarrow u \in
\Bigl(
H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
.
Отже, потрiбне включення доведено у розглянутому випадку.
Перейдемо до випадку, коли s \in \BbbZ i s > 2. Використаємо щойно отриманий результат.
Нехай 0 < \varepsilon \ll 1. Тодi s - \varepsilon /\in \BbbZ i s - \varepsilon > 2. Згiдно з цим результатом
u \in
\Bigl(
H
s - \varepsilon ,(s - \varepsilon )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
.
Застосовуючи iмплiкацiю (21), де \lambda = 1, робимо висновок, що
u \in
\Bigl(
H
s - \varepsilon ,(s - \varepsilon )/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
\subset
\Bigl(
H
s - 1,(s - 1)/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
=\Rightarrow
=\Rightarrow u \in
\Bigl(
H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
.
Випадок s = 2 розглянемо окремо, оскiльки в ньому є таке додаткове припущення: функцiя
\varphi \in \scrM зростає. З умов (13) – (15) випливає включення
\chi (f, g, h) \in \scrH 0,0;\varphi (29)
для довiльної функцiї \chi \in C\infty \bigl(
\Omega
\bigr)
, яка задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Omega \prime . З неперервностi
оператора (23), де \sigma = 1, випливає iмплiкацiя
u \in
\Bigl(
H
1,1/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
=\Rightarrow \Lambda \prime (\eta u) \in \scrH 0,0;\varphi ,
де функцiя \eta така, як i ранiше у доведеннi. На пiдставi умови u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
, формули (22),
включення (29) i цiєї iмплiкацiї робимо висновок, що
u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N \subset
\Bigl(
H
1,1/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}
\bigl(
\Omega 0,\Omega
\prime \bigr) \Bigr) N
=\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrH 0,0;\varphi . (30)
З формул (30) i (26), де \sigma = 2, i теореми 1 випливає, що
u \in
\bigl(
H2,1(\Omega )
\bigr) N
=\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrH 0,0;\varphi =\Rightarrow \Lambda (\chi u) \in \scrQ 0,0;\varphi =\Rightarrow \chi u \in
\bigl(
H2,1;\varphi (\Omega )
\bigr) N
.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
1116 О. В. ДЯЧЕНКО, В. М. ЛОСЬ
Доведення теореми 3. Нагадаємо, що n \geq 2, тому p + 1 + n/2 \geq 2. Згiдно з теоремою 2
виконується включення u \in
\Bigl(
H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime )
\Bigr) N
, де s = p + 1 + n/2 i \varphi задовольняє (17).
У роботi [12] (доведення теореми 4.3) (див. також [18], доведення теореми 2.6) встановлено
такий результат: якщо узагальнена функцiя v належить простору H
s,s/2;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega 0,\Omega
\prime ) , де s =
= p + 1 + n/2, а \varphi задовольняє (17), то вона разом з усiма її узагальненими частинними
похiдними D\alpha
x\partial
\beta
t v(x, t), де | \alpha | +2\beta \leq p, є неперервною на множинi \Omega 0\cup \Omega \prime
0. Звiдси i випливає
висновок теореми 3.
Доведення теореми 4. Потрiбно показати, що u задовольняє умови (a) – (c) означення
класичного розв’язку. З умови (18), а саме, iз включення
f \in
\Bigl(
H
1+n/2, 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (\Omega ,\varnothing )
\Bigr) N
,
випливає на пiдставi теореми 3 у випадку, коли \Omega 0 = \Omega , \Omega \prime = S0 = S\prime = G0 = \varnothing i p = 2, що
u задовольняє умову (a).
Включення
f \in
\Bigl(
H
l0 - 1+n/2, l0/2 - 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (S\varepsilon , S)
\Bigr) N
i умова (19) обумовлюють виконання умови (b) для u з огляду на теорему 3 у випадку, коли
\Omega 0 = S\varepsilon , \Omega
\prime = S0 = S, S\prime = G0 = \varnothing i p = l0.
Нарештi, u задовольняє умову (c) на пiдставi включення
f \in
\Bigl(
H
- 1+n/2, - 1/2+n/4;\varphi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} (G\varepsilon , G)
\Bigr) N
i умови (20) згiдно з теоремою 3 у випадку, коли \Omega 0 = G\varepsilon , \Omega
\prime = G0 = G, S0 = S\prime = \varnothing i p = 0.
Теорему 4 доведено.
Лiтература
1. O. Diachenko, V. Los, Some problems for Petrovskii parabolic systems in generalized Sobolev spaces, J. Elliptic
Parabol. Equat., 8, 313 – 329 (2022).
2. L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer, Berlin (1963).
3. L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, vol.2, Differential operators with constant
coefficients, Springer, Berlin (1983).
4. В. А. Солонников, О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений
общего вида, Труды Мат. ин-та АН СССР, 83, 3 – 163 (1965).
5. J.-L. Lions, E. Magenes, Non-homogeneous boundary-value problems and applications, vol. II, Springer, Berlin
(1972).
6. С. Д. Ивасишен, Матрицы Грина параболических граничных задач, Вища шк., Киев (1990).
7. S. D. Eidel’man, N. V. Zhitarashu, Parabolic boundary value problems, Birkhäuser, Basel (1998).
8. В. А. Ильин, О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений, Успехи
мат. наук, 15, № 2, 97 – 154 (1960).
9. А. М. Ильин, А. С. Калашников, О. А. Олейник, Линейные уравнения второго порядка параболического типа,
Успехи мат. наук, 17, № 3, 3 – 146 (1962).
10. R. Denk, M. Hieber, J. Prüess, Optimal Lp - Lq -estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous
data, Math. Z., 257, № 1, 193 – 224 (2007).
11. N. Lindemulder, Maximal regularity with weights for parabolic problems with inhomogeneous boundary conditions,
J. Evol. Equat., 20, № 1, 59 – 108 (2020).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
УМОВИ РЕГУЛЯРНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 1117
12. V. Los, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Parabolic problems in generalized Sobolev spaces, Commun. Pure and Appl.
Anal., 20, № 10, 3605 – 3636 (2021).
13. V. Los, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, An isomorphism theorem for parabolic problems in Hörmander spaces and
its applications, Commun. Pure and Appl. Anal., 16, № 1, 69 – 97 (2017).
14. H. Dong, D. Kim, Elliptic and parabolic equations with measurable coefficients in weighted Sobolev spaces, Adv.
Math., 274, 681 – 735 (2015).
15. F. Hummel, Boundary-value problems of elliptic and parabolic type with boundary data of negative regularity, J.
Evol. Equat., 21, № 2, 1945 – 2007 (2021).
16. J. LeCrone, J. Prüss, M. Wilke, On quasilinear parabolic evolution equations in weighted Lp -spaces II, J. Evol.
Equat., 14, № 3, 509 – 533 (2014).
17. V. Los, A. Murach, Isomorphism theorems for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces,
Open Math., 15, 57 – 76 (2017).
18. В. М. Лось, В. А. Михайлець, О. О. Мурач, Параболiчнi граничнi задачi та узагальненi простори Соболєва,
Наук. думка, Київ (2022), arXiv:2109.03566.
19. V. M. Los, Systems parabolic in Petrovskii’s sense in Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 69, № 3, 426 – 443 (2017).
20. V. M. Los, Classical solutions of parabolic initial-boundary-value problems and Hörmander spaces, Ukr. Math. J.,
68, № 9, 1412 – 1423 (2017).
21. V. M. Los, Sufficient conditions for the solutions of general parabolic initial-boundary-value problems to be classical,
Ukr. Math. J., 68, № 11, 1756 – 1766 (2017).
22. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems, De Gruyter, Berlin (2014).
23. A. Anop, R. Denk, A. Murach, Elliptic problems with rough boundary data in generalized Sobolev spaces, Commun.
Pure and Appl. Anal., 20, № 2, 697 – 735 (2021).
24. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems, Banach J. Math.
Anal., 6, № 2, 211 – 281 (2012).
25. A. Anop, I. Chepurukhina, A. Murach, Elliptic problems with additional unknowns in boundary conditions and
generalized Sobolev spaces, Axioms, 10, № 4, Article 292 (2021).
26. V. M. Los, A condition for generalized solutions of a parabolic problem for a Petrovskii system to be classical,
Methods Funct. Anal. and Top., 26, № 2, 111 – 118 (2020).
27. V. M. Los, Anisotropic Hörmander spaces on the lateral surface of a cylinder, J. Math. Sci. (N.Y.), 217, № 4,
456 – 467 (2016).
28. V. M. Los, Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces:
limiting case, Ukr. Math. J., 68, № 6, 894 – 909 (2016).
29. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces, Results Math., 67, № 1,
135 – 152 (2015).
Отримано 29.05.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7225 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:58Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/afcc866d1105795d03e76f60fba96a6c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72252022-10-24T09:23:22Z Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems Условия регулярности решений некоторых параболических систем Умови регулярності розв’язків деяких параболічних систем Diachenko, O. V. Los, V. M. Дьяченко, Александр Лось, Валерий Дяченко, О. В. Лось, В. М. Параболічна початково-крайова задача узагальнений простір Соболєва узагальнений розв'язок локальна регулярність класичний розв'язок Parabolic initial-boundary value problem generalized Sobolev space generalized solution local regularity classical solution УДК 517.956.4We investigate global and local regularity of generalized solutions to parabolic initial-boundary value problem for Petrovskii system of second order differential equations. Results are formulated in terms of the belonging of right-hand sides of the problem to some generalized Sobolev spaces. We also obtain new sufficient conditions under which the generalized solution should be classical. Исследовано глобальную и локальную регулярность обобщенных решений начально-краевой задачи для параболической по Петровскому системы дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты сформулированы в терминах принадлежности правых частей задачи некоторым обобщенным пространствам Соболева. Были получены новые достаточные условия классичности обобщенного решения. UDC 517.956.4 Досліджено глобальну і локальну регулярність узагальнених розв'язків початково-крайової задачі для параболічної за Петровським системи диференціальних рівнянь другого порядку. Результати сформульовано в термінах приналежності правих частин задачі деяким узагальненим просторам Соболєва. Отримано нові достатні умови класичності узагальненого розв'язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-10-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7225 10.37863/umzh.v74i8.7225 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 8 (2022); 1107 - 1117 Український математичний журнал; Том 74 № 8 (2022); 1107 - 1117 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7225/9289 Copyright (c) 2022 Олександр Дяченко, Валерій Лось |
| spellingShingle | Diachenko, O. V. Los, V. M. Дьяченко, Александр Лось, Валерий Дяченко, О. В. Лось, В. М. Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title | Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title_alt | Условия регулярности решений некоторых параболических систем Умови регулярності розв’язків деяких параболічних систем |
| title_full | Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title_fullStr | Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title_full_unstemmed | Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title_short | Regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| title_sort | regularity conditions for the solutions to some parabolic systems |
| topic_facet | Параболічна початково-крайова задача узагальнений простір Соболєва узагальнений розв'язок локальна регулярність класичний розв'язок Parabolic initial-boundary value problem generalized Sobolev space generalized solution local regularity classical solution |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7225 |
| work_keys_str_mv | AT diachenkoov regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT losvm regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT dʹâčenkoaleksandr regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT losʹvalerij regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT dâčenkoov regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT losʹvm regularityconditionsforthesolutionstosomeparabolicsystems AT diachenkoov usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT losvm usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT dʹâčenkoaleksandr usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT losʹvalerij usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT dâčenkoov usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT losʹvm usloviâregulârnostirešenijnekotoryhparaboličeskihsistem AT diachenkoov umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem AT losvm umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem AT dʹâčenkoaleksandr umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem AT losʹvalerij umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem AT dâčenkoov umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem AT losʹvm umoviregulârnostírozvâzkívdeâkihparabolíčnihsistem |