Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II
UDC 517.9 A review of differential-geometric and Lie-algebraic approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable   differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugated to the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7234 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512640192741376 |
|---|---|
| author | Hentosh, O. E. Prykarpatskyy, Ya. A. Balinsky, A. A. Prykarpatski, A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балінський, О. А. Прикарпатський, А. К. |
| author_facet | Hentosh, O. E. Prykarpatskyy, Ya. A. Balinsky, A. A. Prykarpatski, A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балінський, О. А. Прикарпатський, А. К. |
| author_sort | Hentosh, O. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-07T13:45:36Z |
| description |
UDC 517.9
A review of differential-geometric and Lie-algebraic approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable   differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugated to the loop Lie algebras of vector fields on the tori.  These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax–Sato-type vector-field compatibility conditions.  The corresponding hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed.  Typical examples of these systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction.  We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of ``heavenly'' type for which the corresponding generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i9.7234 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i9.7234
УДК 517.9
О. Є. Гентош (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
Я. А. Прикарпатський1 (Iн-т математики НАН України, Київ та Унiверситет рiльництва, Кракiв, Польща),
О. А. Балiнський (Мат. iн-т Унiверситету Кардiфф, Великобританiя),
А. К. Прикарпатський (Iн-т математики Кракiв. ун-ту технологiй, Польща)
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП
ДИФЕОМОРФIЗМIВ ТА АСОЦIЙОВАНI IНТЕГРОВНI ГАМIЛЬТОНОВI
СИСТЕМИ „НЕБЕСНОГО” ТИПУ. II
A review of differential-geometric and Lie-algebraic approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable
differential systems of “heavenly” type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugated to the loop Lie
algebras of vector fields on the tori. These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of
the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax – Sato-type vector-field compatibility conditions. The corresponding
hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed. Typical examples of these
systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction.
We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of “heavenly” type for which the corresponding
generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case.
Наведено огляд диференцiально-геометричних i Лi-алгебраїчних пiдходiв до вивчення широкого класу нелiнiйних
iнтегровних диференцiальних систем „небесного” типу, асоцiйованих iз гамiльтоновими потоками на спряжених
просторах до петельних алгебр Лi векторних полiв на торах. Цi потоки породжуються вiдповiдними орбiтами
коприєднаної дiї петельної групи дифеоморфiзмiв i задовольняють векторно-польовi умови сумiсностi типу Лакса –
Сато. Проаналiзовано вiдповiднi iєрархiї законiв збереження i їхнiй зв’язок з iнварiантами Казимiра. Розглянуто
типовi приклади таких систем i встановлено їхню повну iнтегровнiсть за допомогою розвиненої Лi-алгебраїчної
конструкцiї. Описано новi узагальнення iнтегровних бездисперсiйних систем „небесного” типу, для яких вiдповiднi
породжуючi елементи орбiт мають факторизовану структуру, що допускає їхнє розширення на багатовимiрний
випадок.
1. Багатовимiрнi системи „небесного” типу: модифiкована Лi-алгебраїчна схема. Нехай\widetilde \mathrm{D}\mathrm{i}ff\pm (\BbbT n), n \in \BbbZ +, позначає пiдгрупи петельної групи дифеоморфiзмiв \widetilde \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n) := \{ \BbbC \supset
\supset \BbbS 1 \rightarrow Diff(\BbbT n)\} , голоморфно продовженi вiдповiдно у внутрiшню \BbbD 1
+ \subset \BbbC та зовнiшню
\BbbD 1
- \subset \BbbC областi центрального одиничного диска \BbbD 1 \subset \BbbC 1 таким чином, що для будь-якого
\~g(\lambda ) \in \widetilde \mathrm{D}\mathrm{i}ff - (\BbbT n), \lambda \in \BbbD 1
- , \~g(\infty ) = 1 \in \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n). Вiдповiднi пiдалгебри Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff\pm (\BbbT n) \simeq
\simeq \widetilde \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\pm (\BbbT n) петельних пiдгруп дифеоморфiзмiв \widetilde \mathrm{D}\mathrm{i}ff\pm (\BbbT n) утворюють векторнi поля на \BbbT n,
якi є голоморфними вiдповiдно на областях \BbbD 1
\pm \subset \BbbC 1, де для будь-якого \~a(\lambda ) \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff - (\BbbT n)
маємо \~a(\infty ) = 0.
Алгебра Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) допускає розбиття у пряму суму двох пiдалгебр Лi:
\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) =\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff+(\BbbT n)\oplus \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff - (\BbbT n).
Її регулярний спряжений простiр \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast вiдносно згортки:
(\~l| \~a) := \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda \in \BbbC
(l(x;\lambda )| a(x;\lambda ))H0 , (1.1)
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: yarpry@imath.kiev.ua.
c\bigcirc О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2022
1182 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1183
де
(l(x;\lambda )| a(x;\lambda ))H0 :=
\int
\BbbT n
dx\langle l(x;\lambda ), a(x;\lambda )\rangle
є звичайним скалярним добутком на просторi Гiльберта H0 := L2(\BbbT n;\BbbR n) для будь-яких
елементiв \~l \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast та \~a \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n), якi мають вигляд
\~a =
n\sum
j=1
a(j)(x;\lambda )
\partial
\partial xj
:=
\biggl\langle
a(x;\lambda ),
\partial
\partial x
\biggr\rangle
,
\~l =
n\sum
j=1
lj(x;\lambda )dxj := \langle l(x;\lambda ), dx\rangle ,
можна ототожнити з самою алгеброю Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast . Тут
\partial
\partial x
:=
\biggl(
\partial
\partial x1
,
\partial
\partial x2
, . . . ,
\partial
\partial xn
\biggr) \intercal
позначає оператор градiєнта в евклiдовому просторi (\BbbE n; \langle \cdot , \cdot \rangle ). Комутатор Лi будь-яких вектор-
них полiв \~a,\~b \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) знаходиться за правилом
[\~a,\~b] = \~a\~b - \~b\~a =
\biggl\langle \biggl\langle
a(x;\lambda ),
\partial
\partial x
\biggr\rangle
b(x;\lambda ),
\partial
\partial x
\biggr\rangle
-
-
\biggl\langle \biggl\langle
b(x;\lambda ),
\partial
\partial x
\biggr\rangle
a(x;\lambda ),
\partial
\partial x
\biggr\rangle
.
Крiм того, має мiсце таке ототожнення для регулярних спряжених пiдпросторiв:
\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff+(\BbbT n)\ast \simeq \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff - (\BbbT n), \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff - (\BbbT n)\ast \simeq \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff+(\BbbT n),
де будь-яке \~l(\lambda ) \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff - (\BbbT n)\ast задовольняє умову \~l(0) = 0.
Побудуємо петельну алгебру Лi \~\scrG := \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) \ltimes \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast як напiвпряму суму алгебри Лi\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) та її регулярного спряженого простору \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast , на якiй комутатор Лi для будь-якої
пари елементiв (\~a1 \ltimes \~l1), (\~a2 \ltimes \~l2) \in \~\scrG задається правилом
[\~a1 \ltimes \~l1, \~a2 \ltimes \~l2 ] := [\~a1, \~a2]\ltimes (ad\ast \~a2
\~l1 - ad\ast \~a1
\~21), (1.2)
де ad\ast \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)
: \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast \rightarrow \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast , (ad\ast \~a
\~l| \~b) := (\~l| [\~a,\~b]) для \~l \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast та будь-яких \~a,\~b \in
\in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) — стандартне коприєднане вiдображення алгебри Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) на її регулярному спря-
женому просторi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast щодо згортки (1.1). На алгебрi Лi \~\scrG можна ввести ad-iнварiантний
невироджений скалярний добуток у виглядi
(\~a1 \ltimes \~l1| \~a2 \ltimes \~l2) := (\~l2| \~a1) + (\~l1| \~a2), (1.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1184 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
де \~a1 \ltimes \~l1, \~a2 \ltimes \~l2 \in \~\scrG , який дозволяє ототожнити регулярний спряжений простiр \~\scrG \ast щодо
(1.3) до алгебри Лi \~\scrG з цiєю алгеброю Лi, тобто \~\scrG \ast \simeq \~\scrG .
Алгебру Лi \~\scrG можна розбити на пряму суму двох пiдалгебр Лi [1 – 3]: \~\scrG = \~\scrG + \oplus \~\scrG - , де
\~\scrG + :=\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)+ \ltimes \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast - ,
\~\scrG - :=\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) - \ltimes \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast +.
Це дозволяє задати на \~\scrG новий комутатор Лi у виглядi
[ \~w1, \~w2]\scrR := [\scrR \~w1, \~w2] + [ \~w1,\scrR \~w2],
де \~w1, \~w2 \in \~\scrG , \scrR := (P+ - P - )/2 — стандартний \scrR -операторний гомоморфiзм [10, 11, 15] на
\~\scrG i, за означенням, P\pm : \~\scrG \rightarrow \~\scrG \pm \subset \~\scrG , i застосувати до алгебри Лi \~\scrG класичну АКС-теорiю
(Адлера – Костанта – Саймза) для побудови гамiльтонових систем на регулярному спряженому
просторi \~\scrG \ast \simeq \~\scrG за допомогою iєрархiй iнварiантiв Казимiра щодо базового комутатора Лi
(1.2).
Щоб детально описати вiдповiдну Лi-алгебраїчну схему, знайдемо iнварiанти Казимiра h \in
\in I( \~\scrG \ast ), якi, за означенням, задовольняють спiввiдношення
ad\ast \nabla h(\~l;\~a)
(\~l; \~a) = 0,
яке можна записати у комутаторному виглядi
[\nabla h(\~l; \~a), \~a\ltimes \~l] = 0, (1.4)
де \nabla h(\~l; \~a) := \nabla h\~l\ltimes \nabla h\~a \in \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ltimes \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast = \~\scrG — градiєнт iнварiанта Казимiра h \in I( \~\scrG \ast ) у
точцi (\~l; \~a) \in \~\scrG \ast \simeq \~\scrG . Спiввiдношення (1.4) еквiвалентне системi диференцiально-алгебраїчних
рiвнянь
[\nabla h\~l; \~a] = 0, ad\ast \nabla h\~l
\~l - ad\ast \~a\nabla h\~a = 0.
У явному виглядi цi рiвняння записуються так:
\langle \nabla hl, \partial /\partial x\rangle a - \langle a, \partial /\partial x\rangle \nabla hl = 0,
\langle \partial /\partial x,\nabla hl\rangle l + \langle l, (\partial /\partial x)\nabla hl)\rangle -
(1.5)
- \langle \partial /\partial x, a\rangle \nabla ha - \langle \nabla ha, (\partial /\partial x)a\rangle = 0,
де
\nabla h\~l := \langle \nabla hl, \partial /\partial x\rangle , \~l := \langle l, dx\rangle ,
\nabla h\~a := \langle \nabla ha, dx\rangle , \~a := \langle a, \partial /\partial x\rangle .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1185
Систему лiнiйних рiвнянь (1.5) для заданого елемента \~a \ltimes \~l \in \~\scrG , яка є сингулярною при
| \lambda | \rightarrow \infty , можна розв’язати за допомогою асимптотичних розвинень
\nabla hl \sim
\sum
j\in \BbbZ +
\nabla h(j)l \lambda - j , \nabla ha \sim
\sum
j\in \BbbZ +
\nabla h(j)a \lambda - j , (1.6)
якi дозволяють отримати нескiнченну iєрархiю градiєнтiв \nabla h(p)(\~l; \~a) = \lambda p\nabla h(\~l; \~a) \in \~\scrG , p \in \BbbZ +,
для вiдповiдних iнварiантiв Казимiра h(p) \in I( \~\scrG \ast ), p \in \BbbZ +. Якщо заданий елемент \~a \ltimes \~l \in \~\scrG
є сингулярним при | \lambda | \rightarrow 0, систему лiнiйних рiвнянь (1.5) можна розв’язати за допомогою
асимптотичних розвинень
\nabla hl \sim
\sum
j\in \BbbZ +
\nabla h(j)l \lambda j , \nabla ha \sim
\sum
j\in \BbbZ +
\nabla h(j)a \lambda j , (1.7)
якi дозволяють побудувати нескiнченну iєрархiю градiєнтiв \nabla h(p)(\~l; \~a) = \lambda - p\nabla h(\~a, \~l) \in \~\scrG ,
p \in \BbbZ +, для вiдповiдних iнварiантiв Казимiра h(p) \in I( \~\scrG \ast ), p \in \BbbZ +.
Далi будемо вважати, що знайдено градiєнти \nabla h(y)(\~a; \~l) := \lambda py\nabla h(1)(\~a, \~l), \nabla h(t)(\~a; \~l) :=
:= \lambda py\nabla h(2)(\~a; \~l) \in \~\scrG для двох iнварiантiв Казимiра h(1), h(2) \in I( \~\scrG \ast ) (необов’язково рiзних)
для деяких цiлих py, pt \in \BbbZ , якi задовольняють рiвняння (1.5). Тодi, використавши класич-
ну АКС-теорiю, побудуємо два комутуючi потоки щодо еволюцiйних параметрiв y, t \in \BbbR на
регулярному спряженому просторi \~\scrG \ast \simeq \~\scrG :
\partial
\partial y
\~a = -
\Bigl[
\nabla h(y)\~l,+
, \~a
\Bigr]
,
\partial
\partial t
\~a = - [\nabla h(t)\~l,+
, \~a] (1.8)
i
\partial
\partial y
\~l = - ad\ast
\nabla h
(y)
\~l,+
\~l + ad\ast \~a(\nabla h
(y)
\~a,+
),
\partial
\partial t
\~l = - ad\ast
\nabla h
(t)
\~l,+
\~l + ad\ast \~a(\nabla h
(t)
\~a,+
), (1.9)
де (\nabla h(y)\~l,+
\ltimes \nabla h(y)\~a,+
) := P+\nabla h(y)(\~a; \~l) \in \~\scrG + i (\nabla h(t)\~l,+
\ltimes \nabla h(t)\~a,+
) := P+\nabla h(t)(\~a; \~l) \in \~\scrG + — проєкцiї
вiдповiдних асимптотичних розвинень (1.6), (1.7). Для вибраного елемента \~a \ltimes \~l \in \~\scrG \ast \simeq \~\scrG
потоки (1.8) i (1.9) є результатом гамiльтонових потокiв
\partial
\partial y
(\~a\ltimes \~l) = \{ \~a\ltimes \~l, h(y)\} \scrR ,
\partial
\partial t
(\~a\ltimes \~l) = \{ \~a\ltimes \~l, h(t)\} \scrR , (1.10)
породжених \scrR -деформованою дужкою Лi – Пуассона [10 – 12, 15]:
\{ h, f\} \scrR :=
\Bigl(
\~a\ltimes \~l, [\nabla h(\~l; \~a),\nabla f(\~l, \~a)]\scrR
\Bigr)
(1.11)
на регулярному спряженому просторi \~\scrG \ast \simeq \~\scrG . Тут h, f \in D( \~\scrG \ast ) — деякi гладкi за Фреше
функцiонали. Умова комутування цих потокiв еквiвалентна системi двох рiвнянь\Bigl[
\nabla h(y)\~l,+
,\nabla h(t)\~l,+
\Bigr]
- \partial
\partial t
\nabla h(y)\~l,+
+
\partial
\partial y
\nabla h(t)\~l,+
= 0 (1.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1186 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
i
ad\ast \~a
\~P = 0,
\~P = ad\ast
\nabla h
(y)
\~l,+
(\nabla h(t)\~a,+) - ad\ast
\nabla h
(t)
\~l,+
(\nabla h(y)\~a,+) -
\partial
\partial t
\nabla h(y)\~a,+ +
\partial
\partial y
\nabla h(t)\~a,+
для будь-якого елемента \~a\ltimes \~l \in \~\scrG .
Отже, справедливим є таке твердження
Твердження 1.1. Гамiльтоновi потоки (1.10) на регулярному спряженому просторi \~\scrG \ast \simeq
\simeq \~\scrG породжують системи комутуючих еволюцiйних рiвнянь (1.8) i (1.9). Умова комутування
еволюцiйних рiвнянь (1.8) еквiвалентна умовi сумiсностi Лакса – Сато (1.12) для деякої системи
нелiнiйних рiвнянь з частинними похiдними „небесного” типу.
Описану вище схему побудови гамiльтонових потокiв на регулярному спряженому просторi
\~\scrG \ast узагальнимо таким чином.
Параметризуємо алгебру Лi \~\scrG за допомогою точкового добутку \~\scrG \BbbS 1: =
\prod
z\in \BbbS 1
\~\scrG i розглянемо
його центральне розширення 2-коциклом Маурера – Картана \~\omega 2 : \~\scrG \times \~\scrG \rightarrow \BbbC :
\~\omega 2(\~a1 \ltimes \~l1, \~a2 \ltimes \~l2) :=
\int
\BbbS 1
[(l1, \partial \~a2/\partial z) - (l2, \partial \~a1/\partial z)],
де \~a1 \ltimes \~l1, \~a2 \ltimes \~l2 \in \~\scrG . На центральному розширеннi \~\frakG := \~\scrG \oplus \BbbC комутатор задається правилом
[(\~a1 \ltimes \~l1;\alpha 1), (\~a2 \ltimes \~l2;\alpha 1)] := ([\~a1, a2]\ltimes (ad\ast \~a1
\~l2 - ad\ast \~a2
\~l1); \~\omega 2(\~a1 \ltimes \~l1, \~a2 \ltimes \~l2))
для будь-якої пари елементiв (\~a1 \ltimes \~l1;\alpha 1), (\~a2 \ltimes \~l2;\alpha 1) \in \~\frakG .
\scrR -деформована дужка Лi – Пуассона (1.11) для будь-яких гладких функцiоналiв h, f \in
\in D(\frakG \ast ) на регулярному спряженому просторi \~\frakG \ast має вигляд
\{ h, f\} \scrR := (\~a\ltimes \~l, [\nabla h(\~l; \~a),\nabla f(\~l; \~a)]\scrR ) +
+ \~\omega 2(\scrR \nabla h(\~l; \~a),\nabla f(\~l, \~a)) + \~\omega 2(\nabla h(\~l; \~a),\scrR \nabla f(\~l; \~a)). (1.13)
Вiдповiднi iнварiанти Казимiра h(p) \in I( \~\frakG \ast ), p \in \BbbZ +, визначаються за допомогою стандартної
дужки Лi – Пуассона:
\{ h(p), f\} = 0,
(\~a\ltimes \~l, [\nabla h(p)(\~l, \~a),\nabla f(\~a, \~l)]) + \~\omega 2(\nabla h(p)(\~a, \~l),\nabla f(\~a, \~l)),
(1.14)
для всiх гладких функцiоналiв f \in D( \~\frakG \ast ). З рiвностi (1.14) знаходимо, що градiєнти \nabla h(p) \in \~\frakG
iнварiантiв Казимiра h(p) \in I( \~\frakG \ast ), p \in \BbbZ +, задовольняють рiвняння
[\nabla h\~l\~a] -
\partial
\partial z
\nabla h\~l = 0, ad\ast \nabla h\~l
\~l - ad\ast \~a\nabla h\~a -
\partial
\partial z
\nabla h\~a = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1187
для будь-якого вибраного елемента \~a\ltimes \~l \in \=\scrG \ast . За допомогою деяких знайдених iнварiантiв Ка-
зимiра h(y), h(t) \in I( \~\frakG \ast ) побудуємо, з використанням формули (1.13), комутуючi гамiльтоновi
потоки на регулярному спряженому просторi \~\frakG \ast :
\partial
\partial y
(\~a\ltimes \~l) = \{ \~a\ltimes \~l, h(y)\} \scrR ,
\partial
\partial t
(\~a\ltimes \~l) = \{ \~a\ltimes \~l, h(t)\} \scrR , (1.15)
якi є еквiвалентними системi еволюцiйних рiвнянь
\partial
\partial y
\~a = - [\nabla h(y)\~l,+
, \~a] +
\partial
\partial z
\nabla h(y)\~l,+
,
\partial
\partial t
\~a = - [\nabla h(t)\~l,+
, \~a] +
\partial
\partial z
\nabla h(t)\~l,+
(1.16)
i
\partial
\partial y
\~l = - ad\ast
\nabla h
(y)
\~l,+
\~l + ad\ast \~a(\nabla h
(y)
\~a,+
) +
\partial
\partial z
\nabla h(y)\~a,+
,
\partial
\partial t
\~l = - ad\ast
\nabla h
(t)
\~l,+
\~l + ad\ast \~a(\nabla h
(t)
\~a,+
) +
\partial
\partial z
\nabla h(t)\~a,+
.
(1.17)
Умова комутування цих потокiв задається системою двох рiвнянь
[\nabla h(y)\~l,+
,\nabla h(t)\~l,+
] - \partial
\partial t
\nabla h(y)\~l,+
+
\partial
\partial y
\nabla h(t)\~l,+
= 0
i
\partial \~P
\partial z
+ ad\ast \~a
\~P = 0,
\~P = ad\ast
\nabla h
(y)
\~l,+
(\nabla h(t)\~a,+) - ad\ast
\nabla h
(t)
\~l,+
(\nabla h(y)\~a,+) -
\partial
\partial t
\nabla h(y)\~a,+ +
\partial
\partial y
\nabla h(t)\~a,+
для будь-якого \~a \ltimes \~l \in \~\scrG . Перше з цих рiвнянь можна розглядати як умову сумiсностi типу
Лакса еволюцiйних рiвнянь (1.16). Як наслiдок, можна сформулювати таке твердження.
Твердження 1.2. Гамiльтоновi потоки (1.15) на регулярному спряженому просторi \~\frakG \ast \simeq
\simeq \~\frakG породжують системи комутуючих еволюцiйних рiвнянь (1.16) i (1.17). Умова комутування
еволюцiйних рiвнянь (1.16) є умовою сумiсностi для множини лiнiйних векторно-польових рiв-
нянь
\partial \psi /\partial y +\nabla h(y)\~l,+
\psi = 0, \partial \psi /\partial z + \~a\psi = 0, \partial \psi /\partial t+\nabla h(t)\~l,+
\psi = 0 (1.18)
для всiх (y, t;\lambda , z, x) \in \BbbR 2 \times (\BbbC \times \BbbS 1 \times \BbbT n) i функцiї \psi \in C2(\BbbR 2 \times (\BbbC \times \BbbS 1 \times \BbbT n);\BbbC ), а на
орбiтах коприєднаної дiї алгебри Лi \~\frakG редукується до системи нелiнiйних рiвнянь з частинними
похiдними „небесного” типу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1188 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
В межах описаного вище Лi-алгебраїчного пiдходу кожний iнварiант Казимiра h(j) \in
\in I(\frakG \ast ), j \in \BbbZ +, для елемента \~a\ltimes \~l \in \frakG \ast породжує на регулярному спряженому просторi \frakG \ast
iєрархiю комутуючих гамiльтонових потокiв:
d
dtj
\~a = - [\nabla h(j)\~l,+
, \~a] +
\partial
\partial z
\nabla h(j)\~l,+
,
d
dtj
\~l = - ad\ast
\nabla h
(j)
\~l,+
\~l + ad\ast \~a(\nabla h
(j)
\~a,+
) +
\partial
\partial z
\nabla h(j)\~a,+
.
(1.19)
Iєрархiю потокiв (1.19) можна записати за допомогою генеруючого векторного поля
\partial
\partial t
:=
:=
\sum
j\in \BbbZ +
\mu - j \partial
\partial tj
у виглядi
d
dt
\~a(\lambda ) = - \mu
\mu - \lambda
[\nabla h\~l(\mu ), \~a(\lambda )| +
\mu
\mu - \lambda
\partial
\partial z
\nabla h\~l(\mu ) (1.20)
i
d
dt
(\~l(\lambda )| \~Y (\lambda )) =
\mu
\mu - \lambda
(\~l(\lambda )| [\nabla h\~l(\mu )), \~Y (\lambda )]) +
+
\mu
\mu - \lambda
(\nabla h\~a(\lambda )| [\~a(\mu ), \~Y (\lambda )]) - \mu
\mu - \lambda
\biggl(
\partial
\partial z
\nabla h\~l(\mu )| \~Y (\lambda )
\biggr)
=
= (i \mu
\mu - \lambda
\nabla h\~l(\mu )
d\~l(\lambda )| \~Y (\lambda )) + (d i \mu
\mu - \lambda
\nabla h\~l(\mu )
\~l(\lambda )| \~Y (\lambda )) -
- \mu
\mu - \lambda
(\langle d/dx,\nabla h\~l(\mu )\rangle \~l(\lambda )| \~Y (\lambda )) - \mu
\mu - \lambda
\biggl(
\partial
\partial z
\nabla h\~a(\mu )| \~Y (\lambda )
\biggr)
-
- (i \mu
\mu - \lambda
\~a(\mu )d\nabla h\~a(\lambda )| \~Y (\lambda )) + (d i \mu
\mu - \lambda
\~a(\mu )\nabla h\~a(\lambda )| \~Y (\lambda )), (1.21)
де \~Y (\lambda ) \in \frakG , а \mu \in \BbbC є таким, що | \lambda /\mu | < 1 при | \lambda | , | \mu | \rightarrow \infty . Тут \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) \simeq \~\Gamma (\BbbT n) i\widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast \simeq \~\Lambda 1(\BbbT n). Для породжуючого елемента \~a(\lambda )\ltimes \~l(\lambda ) \in \~\Gamma (\BbbT n)\ltimes \~\Lambda 1(\BbbT n) спiввiдношення
(1.20) i (1.21) можна записати у виглядi
d
dt
\~a(\lambda ) =
\partial
\partial z
\~K(\mu , \lambda ) (1.22)
i
d
dt
\~l(\lambda ) =
\mu
\mu - \lambda
\langle d/dx,\nabla hl(\mu )\rangle \~l(\lambda ) + L \~A(\mu ,\lambda )\nabla h\~a(\mu ) +
+
\partial
\partial z
\nabla h\~a(\mu ) := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \~K(\mu , \lambda ) \~l(\lambda ) +
d
dz
\nabla h\~a(\mu ), (1.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1189
де d/dt := \partial /\partial t+L \~K(\mu ,\lambda ), d/dz :=
\mu
\mu - \lambda
\partial /\partial z+L \~A(\mu ,\lambda ), а також L \~K(\mu ,\lambda ) = i \~K(\mu ,\lambda )d+ di \~K(\mu ,\lambda )
i L \~A(\mu ,\lambda ) = i \~A(\mu ,\lambda ))d + di \~A(\mu ,\lambda ) — вирази Картана [11, 13, 14] для похiдних уздовж векторних
полiв
\~K(\mu , \lambda ) :=
\mu
\mu - \lambda
\nabla h\~l(\mu ) =
\mu
\mu - \lambda
\biggl\langle
\nabla hl(\mu ),
d
dx
\biggr\rangle
i
\~A(\mu , \lambda ) :=
\mu
\mu - \lambda
\~a(\mu ) =
\mu
\mu - \lambda
\biggl\langle
a(\mu ),
d
dx
\biggr\rangle
вiдповiдно, для яких | \lambda /\mu | < 1 при | \mu | , | \lambda | \rightarrow \infty i якi є еквiвалентними до iєрархiй рiвнянь
Лакса – Сато [5, 6, 8, 9, 16 – 18] для генеруючих потокiв (1.23) i (1.22). Такi потоки можна
iнтерпретувати за допомогою класичного принципу Лагранжа – Даламбера [13] подiбно до того,
як це зроблено у статтi [4].
За допомогою запропонованої Лi-алгебраїчної схеми можна побудувати широкий клас iн-
тегровних багатовимiрних систем „небесного” типу на функцiональних просторах.
1.1. Приклад: нове модифiковане рiвняння Михальова – Павлова у чотиривимiрному
просторi. Якщо породжуючий елемент \~a \ltimes \~l \in \~\scrG \ast гамiльтонових потокiв на регулярному
спряженому просторi \~\frakG \ast вибрано у виглядi
\~a\ltimes \~l = ((ux + vx\lambda - \lambda 2)\partial /\partial x\ltimes (wx + \zeta x\lambda )dx), (1.24)
де u, v, w, \zeta \in C2(\BbbR 2 \times \BbbS 1 \times \BbbT 1;\BbbR ), то асимптотичнi розвинення координат градiєнта вiдпо-
вiдного єдиного функцiонально незалежного iнварiанта Казимiра h \in I( \~\frakG \ast ) при | \lambda | \rightarrow \infty
записуються так:
\nabla h\~l \simeq 1 - vx\lambda
- 1 - ux\lambda
- 2 - vz\lambda
- 3 - (uz + vxvz - 2(\partial - 1
x vxxvz))\lambda
- 4 +
+ vy\lambda
- 5 - ( - uy - vxvy + 2(\partial - 1
x vxxvy))\lambda
- 6 + . . . ,
\nabla h\~a \simeq - \zeta x\lambda - 1 - wx\lambda
- 2 - \zeta z\lambda
- 3 - (wz - \zeta xvz + 2vx\zeta z + (\partial - 1
x vx\zeta x)z)\lambda
- 4 +
+ \zeta y\lambda
- 5 - ( - wy + \zeta xvy - 2vx\zeta y + (\partial - 1
x vx\zeta x)y)\lambda
- 6 + . . . .
У випадку, коли
\nabla h(y)\~l,+
:= \lambda 4 - vx\lambda
3 - ux\lambda
2 - vz\lambda - (uz + vxvz - 2(\partial - 1
x vxxvz)),
\nabla h(y)\~a,+ := - \zeta x\lambda 3 - wx\lambda
2 - \zeta z\lambda - (wz - \zeta xvz + 2vx\zeta z - (\partial - 1
x vx\zeta x)z)
i
\nabla h(t)\~l,+
:= \lambda 6 - vx\lambda
5 - ux\lambda
4 - vz\lambda
3 - (uz + vxvz - 2(\partial - 1
x vxxvz))\lambda
2 +
+ vy\lambda - ( - uy - vxvy + 2(\partial - 1
x vxxvy)),
\nabla h(t)\~a,+ := - \zeta x\lambda 5 - wx\lambda
4 - \zeta z\lambda
3 - (wz - \zeta xvz + 2vx\zeta z - (\partial - 1
x vx\zeta x)z)\lambda
2 +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1190 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
+ \zeta y\lambda - ( - wy + \zeta xvy - 2vx\zeta y + (\partial - 1
x vx\zeta x)y),
умова комутування гамiльтонових потокiв (1.15) редукується до системи рiвнянь
uzt + uyy = - uyuxz + uzuxy - vyvxy + vzvxt - uzvyvxx + uyvzvxx -
- v2xvzvxy + v2xvyvxz - 2euxy - 2suxz + 2et - 2sy + 2evyvxx + 2svzvxx,
vzt + vyy = - uyvxz + uzvxy - vyuxz + vzuxy - 2evxy - 2svxz -
- 2vxvyvxz + 2vxvzvxy,
- uxy - uzz = uxuxz - uzuxx - uxxvxvz + uxvxzvx - uxvxxvz +
+ (vxvz)z + 2uxxe - 2ez,
- vxy - vzz = uxzvx - uzvxx - uxxvz + uxvxz - 2vxxvxvz + v2xvxz + 2vxxe,
- uxt + uyz = - uxuxy + uyuxx + uxxvxvy - uxvxyvx + uxvxxvy -
- (vxvy)z + 2uxxs - 2sz,
- vxt + vyz = - uxyvx + uyvxx + uxxvy - uxvxy + 2vxxvxvy - v2xvxy + 2vxxs,
ex = vxxvz, sx = - vxxvy.
(1.25)
Наклавши редукцiю v = 0, отримаємо набiр незалежних диференцiальних спiввiдношень,
одержаних у працях [18 – 20]: два рiвняння просторово чотиривимiрнi
uzt + uyy = - uyuxz + uzuxy (1.26)
i
- uxt + uyz = - uxuxy + uyuxx (1.27)
та одне просторово тривимiрне
- uxy - uzz = uxuxz - uzuxx. (1.28)
Зокрема, при редукцiї незалежних просторових змiнних x\rightarrow y \in \BbbR , t\rightarrow z \in \BbbR рiвняння (1.27)
тривiалiзується, а рiвняння (1.26) i (1.28) зводяться до рiвняння типу Михальова – Павлова
uzz + uyy = - uyuyz + uzuyy. (1.29)
Твердження 1.3. Модифiкована система рiвнянь Михальова – Павлова (1.25) має векторно-
польове зображення Лакса – Сато iз „спектральним” параметром \lambda \in \BbbC i породжуючим
елементом \~a\ltimes \~l \in \~\scrG \ast у виглядi (1.24).
Породжуючий елемент (1.24) можна записати у виглядi
\~a\ltimes \~l :=
\partial \~\eta
\partial x
\partial
\partial x
\ltimes d\~\rho , \~\eta = u+ v\lambda - \lambda 2x, \~\rho = w + \zeta \lambda , (1.30)
явно пов’язаному з простором модулiв калiбрувальних зв’язностей для коприєднаної дiї вiд-
повiдних iнварiантiв Казимiра. Це дозволяє побудувати багатовимiрнi узагальнення системи
(1.30), вибравши породжуючий елемент у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1191
\~a\ltimes \~l := \langle \nabla \~\eta ,\nabla \rangle \ltimes d\~\rho , (1.31)
де \~\eta , \~\rho \in \Omega 0(\BbbT n)\otimes \BbbC , n \in \BbbN . Випадок (1.31) буде проаналiзовано у наступних публiкацiях.
1.2. Приклад: нове модифiковане рiвняння Мартiнеса Алонсо – Шабата у п’ятивимiрному
просторi. Для породжуючого елемента \~a\ltimes \~l \in \~\scrG \ast у виглядi
\~a\ltimes \~l = (((ux1 + cux2) + \lambda )\partial /\partial x1 + ((vx1 + cvx2) + c\lambda )\partial /\partial x2)\ltimes
\ltimes ((wx1 + cwx2)dx1 + (\zeta x1 + c\zeta x2)dx2), (1.32)
де u, v, w, \zeta \in C2(\BbbR 2 \times \BbbS 1 \times \BbbT 2;\BbbR ), c \in \BbbR \setminus \{ 0\} , отримуємо такi асимптотичнi розвинення
координат градiєнтiв вiдповiдних двох незалежних iнварiантiв Казимiра h(1), h(2) \in I( \~\frakG \ast ) при
| \lambda | \rightarrow \infty :
\nabla h(1)\~l
\simeq
\biggl(
1 + (ux1 + cux2)\lambda
- 1 - uz\lambda
- 2 + . . .
c+ (vx1 + cvx2)\lambda
- 1 - vz\lambda
- 2 + . . .
\biggr)
,
\nabla h(1)\~a \simeq
\biggl(
(wx1 + cwx2)\lambda
- 1 - wz\lambda
- 2 + . . .
(\zeta x1 + c\zeta x2)\lambda
- 1 - \zeta z\lambda
- 2 + . . .
\biggr)
i
\nabla h(2)\~l
\simeq
\biggl(
1 + (ux1 - cux2)\lambda
- 1 + \kappa \lambda - 2 + . . .
- c+ (vx1 - cvx2)\lambda
- 1 + \omega \lambda - 2 + . . .
\biggr)
,
\nabla h(2)\~a \simeq
\biggl(
(wx1 - cwx2)\lambda
- 1 + \varrho \lambda - 2 + . . .
(\zeta x1 - c\zeta x2)\lambda
- 1 + \chi \lambda - 2 + . . .
\biggr)
,
де
\kappa x1 + c\kappa x2 = - (uzx1 - cuzx2) + 2c(ux1ux1x2 - ux2ux1x1 + vx1ux2x2 - vx2ux1x2),
\omega x1 + c\omega x2 = - (vzx1 - cvzx2) + 2c(ux1vx1x2 - ux2vx1x1 + vx1vx2x2 - vx2vx1x2)
(1.33)
i
\varrho x1 + c\varrho x2 = - (wzx1 - cwzx2) + 2c(ux1wx1x2 - ux2wx1x1 + 2wx2ux1x1 -
- 2wx1ux1x2 + vx1wx2x2 - vx2wx1x2 + wx2vx1x2 - wx2vx2x2 + \zeta x2vx1x1 - \zeta x1vx1x2),
\chi x1 + c\chi x2 = - (\zeta zx1 - c\zeta zx2) + 2c(vx1\zeta x2x2 - vx2\zeta x1x2 + 2\zeta x2vx1x2 -
- 2\zeta x1vx2x2 + ux1\zeta x1x2 - ux2\zeta x1x1 + \zeta x2ux1x1 - \zeta x1ux1x2 + wx2ux1x2 - wx1ux2x2).
Якщо
\nabla h(y)\~l,+
:=
\Biggl(
\lambda 2 + (ux1 + cux2)\lambda - uz
c\lambda 2 + (vx1 + cvx2)\lambda - vz
\Biggr)
,
\nabla h(y)\~a,+ :=
\Biggl(
(wx1 + cwx2)\lambda - wz
(\zeta x1 + c\zeta x2)\lambda - \zeta z
\Biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1192 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
i
\nabla h(t)\~l,+
:=
\Biggl(
\lambda 2 + (ux1 - cux2)\lambda + \kappa
- c\lambda 2 + (vx1 - cvx2)\lambda + \omega
\Biggr)
,
\nabla h(t)\~a,+ :=
\Biggl(
(wx1 - cwx2)\lambda + \varrho
(\zeta x1 - c\zeta x2)\lambda + \chi
\Biggr)
,
то умова комутування гамiльтонових потокiв (1.15) редукується до системи рiвнянь „небесного”
типу
uzt + \kappa y = - uzx1\kappa - uzx2\omega + uz\kappa x1 + vz\kappa x2 ,
vzt + \omega y = - vzx1\kappa - vzx2\omega + uz\omega x1 + vz\omega x2 ,
uyx1 + cuyx2 = - (ux1 + cux2)uzx1 - (vx1 + cvx2)uzx2 + (ux1x1 + cux1x2)uz +
+ (ux1x2 + cux2x2)vz - uzz,
vyx1 + cvyx2 = - (ux1 + cux2)vzx1 - (vx1 + cvx2)vzx2 + (vx1x1 + cvx1x2)uz +
+ (vx1x2 + cvx2x2)vz - vzz,
utx1 + cutx2 = (ux1 + cux2)\kappa x1 + (vx1 + cvx2)\kappa x2 - (ux1x1 + cux1x2)\kappa -
- (ux1x2 + cux2x2)\omega + \kappa z,
(1.34)
vtx1 + cvtx2 = (ux1 + cux2)\omega x1 + (vx1 + cvx2)\omega x2 - (vx1x1 + cvx1x2)\kappa -
- (vx1x2 + cvx2x2)\omega + \omega z.
Отже, справджується таке твердження.
Твердження 1.4. Побудована система рiвнянь „небесного” типу (1.34), (1.33) має вектор-
но-польове зображення Лакса – Сато iз „спектральним” параметром \lambda \in \BbbC , яке пов’язане з
елементом \~a\ltimes \~l \in \~\scrG \ast у виглядi (1.32).
При v = u, \omega = \kappa i c = 1 систему (1.34), (1.33) можна редукувати до такої:
uzt + \kappa y = - (uzx1 + uzx2)\kappa + uz(\kappa x1 + \kappa x2),
\kappa x1 + \kappa x2 = - (uzx1 - uzx2) - 2((ux1ux2)x1 - (ux1ux2)x2).
(1.35)
Додатковi в’язi uz = ux1 + ux2 для (1.35) приводять до системи
(u\~tx1
+ u\~tx2
) - (u\~yx1 - u\~yx2) = ux1x2(ux1 - ux2) - ux1x1ux2 + ux2x2ux1 -
- ux1x2(u
2
x1
- u2x2
) - ux1x1ux2(ux1 + ux2) + ux2x2ux1(ux1 + ux2) -
- 2\rho \~y + (ux1x1 + 2ux1x2 + ux2x2)\rho ,
\rho x1 + \rho x2 = (ux1ux2)x1 - (ux1ux2)x2 ,
де \~t = 2t, \~y = 2y, яку можна розглядати як деяку модифiкацiю системи рiвнянь „небесного”
типу Мартiнеса Алонсо – Шабата [21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1193
2. Багатовимiрнi системи „небесного” типу: узагальненi Лi-алгебраїчнi структури.
Для подальшого узагальнення Лi-алгебраїчної схеми, пов’язаної з петельною групою \widetilde \mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbT n)
на торi \BbbT n, n \in \BbbZ +, можна використати пiдхiд, який ранiше розглядався у статтi [5].
Оскiльки алгебру Лi \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) утворюють елементи петельної групи, аналiтично продовженi
з кола \BbbS 1 := \partial \BbbD 1, який є межею центрального одиничного диска \BbbD 1 \subset \BbbC , за допомогою
комплексної „спектральної” змiнної \lambda \in \BbbC як у внутрiшню \BbbD 1
+ \subset \BbbC , так i зовнiшню \BbbD 1
- \subset \BbbC
областi диска \BbbD 1 \subset \BbbC , то вона є аналiтично iнварiантною щодо групи дифеоморфiзмiв кола
\mathrm{D}\mathrm{i}ff(\BbbS 1). Ця властивiсть дозволяє розглядати розширену алгебру Лi \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC ) = \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times
\times \BbbD 1
+)\oplus \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbD 1
- ) голоморфних векторних полiв на декартовому добутку \BbbT n
\BbbC := \BbbD 1
\pm \times \BbbT n,
елементами якої є векторнi поля у виглядi
\=a(x;\lambda ) := a0(x;\lambda )
\partial
\partial \lambda
+
\biggl\langle
a(x;\lambda ),
\partial
\partial \mathrm{x}
\biggr\rangle
=
n\sum
j=1
aj(x;\lambda )
\partial
\partial xj
,
де x \in \BbbT n, a(\lambda ;x) \in \BbbE \times \BbbE n — вектори на \BbbE \times \BbbE n, голоморфнi щодо \lambda \in \BbbD 1
\pm , а також
\partial
\partial \mathrm{x}
:=
\biggl(
\partial
\partial \lambda
,
\partial
\partial x1
,
\partial
\partial x2
, . . . ,
\partial
\partial xn
\biggr) \intercal
позначає оператор градiєнта в евклiдовому просторi \BbbE \times (\BbbE n; \langle \cdot , \cdot \rangle ) щодо векторної змiнної
\mathrm{x} := (\lambda , x) \in \BbbT n
\BbbC .
Розглянемо напiвпряму суму \=\scrG := \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC ) \ltimes \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC )\ast петельної алгебри Лi
\mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC ) та її регулярного спряженого простору \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC )\ast щодо згортки:
(\=l| \=a) := \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda \in \BbbC
(l(\mathrm{x})| a(\mathrm{x}))H0
для будь-яких \=l \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC )\ast й \=a \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC ). Тут кожний елемент \=l \in \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC )\ast має
вигляд
\=l := \langle l(x;\lambda ), d\mathrm{x}\rangle = l0(x;\lambda )d\lambda +
n\sum
j=1
lj(x;\lambda )dxj .
Комутатор на петельнiй алгебрi Лi \=\scrG для будь-яких її елементiв \=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2 \in \=\scrG задається
правилом
[\=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2] := [\=a1, a2]\ltimes ad\ast a1
\=l2 - ad\ast a2
\=l1.
Розбиття алгебри Лi \=\scrG на пряму суму двох пiдалгебр Лi: \=\scrG = \=\scrG + \oplus \=\scrG - дозволяє побудувати
R-деформований комутатор
[\=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2]R := [R(\=a1 \ltimes \=l1), \=a2 \ltimes \=l2 ] + [ \=a1 \ltimes \=l1, R(\=a2 \ltimes \=l2)],
де \=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2 \in \=\scrG , R := (P+ - P - )/2 i P\pm \=\scrG := \=\scrG \pm \subset \=\scrG .
На алгебрi Лi \=\scrG можна ввести ad-iнварiантний невироджений скалярний добуток
(\=a\ltimes \=l| \=r \ltimes \=m) := \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda \in \BbbC
(\=a\ltimes \=l| \=r \ltimes \=m)H0 ,
де, за означенням,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1194 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
(\=a\ltimes \=l| \=r \ltimes \=m)H0 = ( \=m| \=a)H0 + (\=l| \=r)H0 (2.1)
для будь-якої пари елементiв \=a \ltimes \=l, \=r \ltimes \=m \in \=\scrG , за допомогою якого можна ототожнити її
регулярний спряжений простiр \=\scrG \ast iз самою алгеброю Лi: \=\scrG \ast \simeq \=\scrG .
Для довiльних гладких функцiоналiв f, g \in \mathrm{D}( \=\scrG \ast ) можна побудувати двi дужки Лi – Пуассона:
\{ f, g\} := (\=a\ltimes \=l| [\nabla f(\=l; \=a),\nabla g(\=l; \=a)])
i
\{ f, g\} R := (\=a\ltimes \=l| [\nabla f(\=l; \=a),\nabla g(\=l; \=a)]R), (2.2)
де \nabla f(\=l; \=a) := \nabla f\=l \ltimes \nabla f\=a \simeq \langle \nabla f(l; a), (\partial /\partial \mathrm{x}, d\mathrm{x})\intercal \rangle \in \=\scrG i \nabla g(\=l; \=a) := \nabla g\=l \ltimes \nabla g\=a \simeq \langle \nabla g(l; a),
(\partial /\partial \mathrm{x}, d\mathrm{x})\intercal \rangle \in \=\scrG \ast — градiєнти функцiоналiв f, g \in \mathrm{D}( \=\scrG \ast ) щодо скалярного добутку (2.1) у точцi
\=a\ltimes \=l \in \=\scrG \ast \simeq \=\scrG . Тут \nabla f\=l = \langle \nabla fl, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle , \nabla f\=a = \langle \nabla fa, d\mathrm{x}\rangle i \nabla g\=l = \langle \nabla gl, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle , \nabla g\=a = \langle \nabla ga, d\mathrm{x}\rangle .
Нехай гладкий функцiонал h \in I( \=\scrG \ast ) є iнварiантом Казимiра, тобто
ad\ast \nabla h(\=l,\=a)(\=a\ltimes \=l) = 0 (2.3)
для вибраного елемента \=a \ltimes \=l \in \=\scrG \ast \simeq \=\scrG . Оскiльки для будь-якого елемента \=a \ltimes \=l \in \=\scrG \ast \simeq \=\scrG i
довiльного гладкого функцiонала f \in \mathrm{D}( \=\scrG \ast ) коприєднане вiдображення має вигляд
ad\ast \nabla f(\=l,\=a)(\=a\ltimes \=l) = ([\nabla h\~l, \~a]\ltimes (ad\ast \nabla h\~l
\~l + ad\ast \~a\nabla h\~a),
умову (2.3) записуємо так:
[\nabla h\~l, \~a] = 0, ad\ast \nabla h\~l
\~l - ad\ast \~a\nabla h\~a = 0.
При цьому iнварiант Казимiра h \in I( \=\scrG \ast ) задовольняє систему рiвнянь
\langle \nabla hl, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle a - \langle a, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle \nabla hl = 0,
\langle \partial /\partial \mathrm{x}, \circ \nabla hl\rangle l + \langle l, (\partial /\partial \mathrm{x}\nabla hl)\rangle +
(2.4)
+ \langle \partial /\partial \mathrm{x}, \circ a\rangle \nabla ha + \langle a, (\partial /\partial \mathrm{x}\nabla ha)\rangle = 0.
Для будь-якого iнварiанта Казимiра h \in \mathrm{D}( \=\scrG \ast ) систему рiвнянь (2.4) можна розв’язати аналi-
тично. Якщо елемент \=l \ltimes \=a \in \=\scrG \ast має особливiсть при | \lambda | \rightarrow \infty , то для кожного p \in \BbbZ + цей
розв’язок знаходимо з використанням асимптотичного розвинення
\nabla h(p)(l; a) \sim \lambda p
\sum
j\in \BbbZ +
(\nabla h(p)l;j ;\nabla h
(p)
a;j)\lambda
- j , (2.5)
яке потрiбно пiдставити у систему рiвнянь (2.4). Тобто асимптотичнi розв’язки системи (2.4)
можна отримати за допомогою рекурентних спiввiдношень.
Далi будемо вважати, що для деяких iнволютивних щодо дужки Лi – Пуассона (2.2) iнварi-
антiв Казимiра h(y), h(t) \in I( \=\scrG \ast ) генератори гамiльтонових векторних полiв вибрано у виглядi
\nabla h(y)(\=l; \=a)+ := (\nabla h(py)(\=l; \=a))+, \nabla h(t)(\=l; \=a)+ := (\nabla h(pt)(\=l; \=a))+, (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1195
де \nabla h(y)(\=l; \=a)+ := (\nabla h(y)\=l,+
\ltimes \nabla h(y)\=a,+) \in \=\scrG +, \nabla h(t)(\=l; \=a)+ := (\nabla h(t)\=l,+
\ltimes \nabla h(t)\=a,+) \in \=\scrG +, p
(y), p(t) \in \BbbZ +.
Цi iнварiанти за допомогою дужки Лi – Пуассона (2.2) породжують комутуючi гамiльтоновi
потоки
\partial
\partial y
(\=a\ltimes \=l) = - ad\ast \nabla h(y)(\=l,\=a)+
(\=a\ltimes \=l),
\partial
\partial t
(\=a\ltimes \=l) = - ad\ast \nabla h(t)(\=l,\=a)+
(\=a\ltimes \=l)
(2.7)
для будь-якого елемента \=a \ltimes \=l \in \=\scrG \ast \simeq \=\scrG щодо еволюцiйних параметрiв y, t \in \BbbR . Побудованi
потоки (2.6) можна записати у виглядi
\partial a/\partial y = -
\biggl\langle
\nabla h(y)l ,
\partial
\partial \mathrm{x}
\biggr\rangle
a+
\biggl\langle
a,
\partial
\partial \mathrm{x}
\biggr\rangle
\nabla h(y)l ,
\partial a/\partial t = -
\biggl\langle
\nabla h(t)l ,
\partial
\partial \mathrm{x}
\biggr\rangle
a+
\biggl\langle
a,
\partial
\partial \mathrm{x}
\biggr\rangle
\nabla h(t)l
(2.8)
i
\partial l/\partial y = -
\biggl\langle
\partial
\partial \mathrm{x}
,\nabla h(y)l
\biggr\rangle
l -
\biggl\langle
l,
\biggl(
\partial
\partial \mathrm{x}
\nabla h(y)l
\biggr) \biggr\rangle
+
+
\biggl\langle
\partial
\partial \mathrm{x}
, a
\biggr\rangle
\nabla h(y)a +
\biggl\langle
a,
\biggl(
\partial
\partial \mathrm{x}
\nabla h(y)a
\biggr) \biggr\rangle
,
\partial l/\partial t = -
\biggl\langle
\partial
\partial \mathrm{x}
,\nabla h(t)l
\biggr\rangle
l -
\biggl\langle
l,
\biggl(
\partial
\partial \mathrm{x}
\nabla h(t)l
\biggr) \biggr\rangle
+
+
\biggl\langle
\partial
\partial \mathrm{x}
, a
\biggr\rangle
\nabla h(t)a +
\biggl\langle
a,
\biggl(
\partial
\partial x
\nabla h(t)a
\biggr) \biggr\rangle
.
(2.9)
Умова комутування потокiв (2.6) еквiвалентна системi рiвностей
[\nabla h(y)\=l,+
,\nabla h(t)\=l,+
] - \partial
\partial t
\nabla h(y)\=l,+
+
\partial
\partial y
\nabla h(t)\=l,+
= 0 (2.10)
i
ad\ast \=a
\=P = 0,
\=P = ad\ast
\nabla h
(y)
\=l,+
(\nabla h(t)\=a,+) - ad\ast
\nabla h
(t)
\=l,+
(\nabla h(y)\=a,+) -
\partial
\partial t
\nabla h(y)\=a,+ +
\partial
\partial y
\nabla h(t)\=a,+,
де \=a\ltimes \=l \in \=\scrG . Крiм того, рiвнiсть (2.10) є умовою сумiсностi трьох лiнiйних векторно-польових
рiвнянь
\partial \psi
\partial y
+\nabla h(y)\=l,+
\psi = 0, \langle a, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle \psi = 0,
\partial \psi
\partial t
+\nabla h(t)\=l,+
\psi = 0 (2.11)
для деякої функцiї \psi \in C2(\BbbR 2\times \BbbT n
\BbbC ;\BbbC ), усiх y, t \in \BbbR i будь-якого \mathrm{x} \in \BbbT n
\BbbC . Отриманi результати
можна сформулювати у виглядi такого твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1196 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Твердження 2.1. Нехай h(y), h(t) \in I( \=\scrG \ast ) — деякi iнварiанти Казимiра для петельної
алгебри Лi \=\scrG щодо скалярного добутку (\cdot , \cdot ) у точцi \=a \ltimes \=l \in \=\scrG \ast регулярного спряженого
простору \=\scrG \ast \simeq \=\scrG цiєї алгебри Лi. Тодi еволюцiї (2.7) на \=\scrG \ast є комутуючими гамiльтоновими
потоками, еквiвалентними системi еволюцiйних рiвнянь (2.8), (2.9). Умова комутування еволю-
цiйних рiвнянь (2.8) є умовою сумiсностi трьох лiнiйних векторно-польових рiвнянь (2.11).
Зауважимо, що у випадку, коли породжуючий елемент \=a\ltimes \=l \in \=\scrG \ast сингулярний при | \lambda | \rightarrow 0,
асимптотичне розвинення (2.5) потрiбно замiнити формулою
\nabla h(p)(\=l, \=a) \sim \lambda - p
\sum
j\in \BbbZ +
\nabla h(p)j (\=l, \=a)\lambda j
для кожного p \in \BbbZ +. Вiдповiднi комутуючi гамiльтоновi потоки для вибраних цiлих чисел
py, pt \in \BbbZ + мають вигляд
\partial
\partial t
(\=a\ltimes \=l) = ad\ast \nabla h(t)(\=l,\=a) -
(\=a\ltimes \=l),
\partial
\partial y
(\=a\ltimes \=l) = ad\ast \nabla h(y)(\=l,\=a) -
(\=a\ltimes \=l),
де
\nabla h(y)(\=l, \=a) - := \lambda (\lambda - py - 1\nabla h(py)(\=l, \=a)) - , \nabla h(t)(\=l, \=a) - := \lambda (\lambda - pt - 1\nabla h(pt)(\=l, \=a)) - ,
а також y, t \in \BbbR .
Подiбно до того, як це зроблено у пунктi 3, розглянемо центральне розширення точкового
добутку \=\scrG \BbbS 1 :=
\prod
z\in \BbbS 1
\=\scrG голоморфної петельної алгебри Лi \=\scrG 2-коциклом Маурера – Картана
\=\omega 2 : \=\scrG \times \=\scrG \rightarrow \BbbC у виглядi
\=\omega 2(\=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2) :=
\int
\BbbS 1
[(\=l1, \partial \=a2/\partial z)1 - (\=l2, \partial \=a1/\partial z)1],
де \=a1 \ltimes \=l1, \=a2 \ltimes \=l2 \in \=\scrG .
\scrR -деформована дужка Лi – Пуассона для будь-яких гладких функцiоналiв h, f \in D( \=\frakG \ast )
на регулярному спряженому просторi \=\frakG \ast до центрально розширеної голоморфної петельної
алгебри Лi \=\frakG := \=\scrG \oplus \BbbC записується так:
\{ h, f\} \scrR := (\=a\ltimes \=l, [\nabla h(\=l, \=a),\nabla f(\=l, \=a)]\scrR ) +
+ \=\omega 2(\scrR \nabla h(\=l, \=a),\nabla f(\=l, \=a)) + \=\omega 2(\nabla h(\=l, \=a),\scrR \nabla f(\=l, \=a)). (2.12)
Вiдповiднi iнварiанти Казимiра h(p) \in I( \=\frakG \ast ), p \in \BbbZ +, визначаються за допомогою стандартної
дужки Лi – Пуассона таким чином:
\{ h(p), f\} := (\=a\ltimes \=l, [\nabla h(p)(\=l, \=a),\nabla f(\=l, \=a)]) + \=\omega 2(\nabla h(p)(\=l, \=a),\nabla f(\=l, \=a)) = 0
для будь-якого гладкого функцiонала f \in D( \=\frakG \ast ).
З рiвностi (1.18) випливає, що градiєнти \nabla h(p) \in \=\scrG iнварiантiв Казимiра h(p) \in I( \=\frakG \ast ),
p \in \BbbZ +, задовольняють рiвняння
[\nabla h\=l, \=a] -
\partial
\partial z
\nabla h\=l = 0, ad\ast \nabla h\=l
\=l - ad\ast \=a\nabla h\=a -
\partial
\partial z
\nabla h\=a = 0
у точцi \=a\ltimes \=l \in \=\scrG \ast .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1197
Для деяких iнварiантiв Казимiра h(y), h(t) \in I( \=\frakG \ast ) побудуємо за допомогою дужки Лi –
Пуассона (2.12) комутуючi гамiльтоновi потоки на \=\frakG \ast :
\partial
\partial y
(\=a\ltimes \=l) = \{ \=a\ltimes \=l, h(y)\} \scrR ,
\partial
\partial t
(\=a\ltimes \=l) = \{ \=a\ltimes \=l, h(t)\} \scrR , (2.13)
якi еквiвалентнi еволюцiйним рiвнянням
\partial
\partial y
\=a = - [\nabla h(y)\=l,+
, \=a] +
\partial
\partial z
\nabla h(y)\=l,+
,
\partial
\partial t
\=a = - [\nabla h(t)\=l,+
, \=a] +
\partial
\partial z
\nabla h(t)\=l,+
(2.14)
i
\partial
\partial y
\=l = - ad\ast
\nabla h
(y)
\=l,+
\=l + ad\ast \=a(\nabla h
(y)
\=a,+) +
\partial
\partial z
\nabla h(y)\=a,+ ,
\partial
\partial t
\=l = - ad\ast
\nabla h
(t)
l,+
\=l + ad\ast \=a(\nabla h
(t)
\=a,+) +
\partial
\partial z
\nabla h(t)\=a,+ .
(2.15)
Умова комутування цих потокiв еквiвалентна системi рiвнянь\Bigl[
\nabla h(y)\=l,+
,\nabla h(t)\=l,+
\Bigr]
- \partial
\partial t
\nabla h(y)\=l,+
+
\partial
\partial y
\nabla h(t)\=l,+
= 0 (2.16)
i
\partial \=P
\partial z
+ ad\ast \=a
\=P = 0,
\=P = ad\ast
\nabla h
(y)
\=l,+
(\nabla h(t)\=a,+) - ad\ast
\nabla h
(t)
\=l,+
(\nabla h(y)\=a,+) -
\partial
\partial t
\nabla h(y)\=a,+ +
\partial
\partial y
\nabla h(t)\=a,+
для будь-якого \=a\ltimes \=l \in \=\scrG .
Отже, справджується таке твердження.
Твердження 2.2. Гамiльтоновi потоки (2.13) на регулярному спряженому просторi \=\frakG \ast
породжують системи комутуючих еволюцiйних рiвнянь (2.14), (2.15). Умова комутування ево-
люцiйних рiвнянь (2.14) еквiвалентна зображенню Лакса – Сато (2.16) для деякої системи
нелiнiйних рiвнянь з частинними похiдними „небесного” типу i є умовою сумiсностi трьох
лiнiйних векторно-польових рiвнянь
\partial \psi
\partial y
+\nabla h(y)\=l,+
\psi = 0,
\partial \psi
\partial z
+ \langle a, \partial /\partial \mathrm{x}\rangle \psi = 0,
\partial \psi
\partial t
+\nabla h(t)\=l,+
\psi = 0
для всiх (y, t, z; \mathrm{x}) \in (\BbbR 2 \times \BbbS 1)\times \BbbT n
\BbbC i деякої функцiї \psi \in C2((\BbbR 2 \times \BbbS 1)\times \BbbT n
\BbbC ;\BbbC ).
2.1. Приклад: нове узагальнене рiвняння Михальова – Павлова у чотиривимiрному прос-
торi. Якщо породжуючий елемент \=a\ltimes \=l \in \=\scrG \ast вибрано у виглядi
\=a\ltimes \=l = ((ux - \lambda )\partial /\partial x+ vx\partial /\partial \lambda )\ltimes (wxdx+ \xi xd\lambda ), (2.17)
де u, v, w, \xi \in C2(\BbbR 2 \times (\BbbS 1 \times \BbbT 1);\BbbR ), то асимптотичнi розвинення координат градiєнтiв iнварi-
антiв Казимiра h(p) \in I( \=\frakG \ast ), p \in \BbbZ +, при | \lambda | \rightarrow \infty записуються так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1198 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\nabla h\~l \simeq \lambda p
\Biggl(
1 - ux\lambda
- 1 + ( - uz + (p - 1)v)\lambda - 2 + (uy + (p - 2)( - uxv + \kappa ))\lambda - 3 + . . .
- vx\lambda - 1 - vz\lambda
- 2 + (vy - (p - 2)vxv)\lambda
- 3 + . . .
\Biggr)
,
\nabla h\~a \simeq \lambda p
\Biggl(
- wx\lambda
- 1 - wz\lambda
- 2 + (wy - (p - 2)(wv)x)\lambda
- 3 + . . .
- \xi x\lambda - 1 - (\xi z + (p - 1)w)\lambda - 2 + (\xi y - (p - 2)( - uxw + v\xi x + \omega ))\lambda - 3 + . . .
\Biggr)
,
де p \in \BbbZ +, а також
\kappa x = vz + uxvx, \omega x = wz - uxwx - vx\xi x. (2.18)
У випадку, коли
\nabla h(y)\~l,+
:=
\Biggl(
\lambda 2 - ux\lambda + ( - uz + v)
- vx\lambda - vz
\Biggr)
,
\nabla h(y)\~a,+ :=
\Biggl(
- wx\lambda - wz
- \xi x\lambda - (\xi z + w)
\Biggr)
i
\nabla h(t)\~l,+
:=
\Biggl(
\lambda 3 - ux\lambda
2 + ( - uz + 2v)\lambda + (uy - uxv + \kappa )
- vx\lambda 2 - vz\lambda + (vy - vxv)
\Biggr)
,
\nabla h(t)\~a,+ :=
\Biggl(
- wx\lambda
2 - wz\lambda + (wy - (wv)x)
- \xi x\lambda 2 - (\xi z + 2w)\lambda + (\xi y + uxw - v\xi x - \omega )
\Biggr)
,
умова комутування гамiльтонових потокiв (2.13) редукується до системи еволюцiйних рiвнянь
uzt + uyy = - uyuzx + uzuxy - uxyv - uzzv - \kappa uxz,
vzt + vyy = vv2x - v2z - vvxy - vvzz - uyvxz + uzvxy - uzv
2
x - \kappa vxz,
- uxy - uzz = uxuxz - uzuxx + uxxv,
- vxy - vzz = v2x + vxxv + uxvxz - uzvxx,
- uxt + uyz = - uxuxy + uyuxx + uxzv + uxx\kappa ,
- vxt + vyz = - uxvxy + uyvxx + uxv
2
x + vxzv + \kappa vxx + 2vxvz.
(2.19)
При v = 0 знову отримуємо систему (1.29).
Отже, справджується таке твердження.
Твердження 2.3. Узагальнена система Михальова – Павлова (2.19), (2.18) має векторно-
польове зображенням Лакса – Сато (2.16) iз „спектральним” параметром \lambda \in \BbbC , яке поро-
джене елементом \=a\ltimes \=l \in \=\scrG \ast у виглядi (2.17).
Елемент (2.17) можна записати у виглядi
\~a\ltimes \~l :=
\Biggl(
\partial \~\xi
\partial x
\partial
\partial x
+
\partial \~\xi 0
\partial \lambda
\partial
\partial \lambda
\Biggr)
\ltimes
\biggl(
dx\~\rho +
\partial \~\rho 0
\partial \lambda
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
ГЕОМЕТРИЧНI СТРУКТУРИ НА ОРБIТАХ ПЕТЕЛЬНИХ ГРУП ДИФЕОМОРФIЗМIВ . . . 1199
\~\eta = u - \lambda x, \~\eta 0 = \lambda vx, \~\rho = w, \~\rho 0 = \lambda \xi x,
де d := dx + d\lambda , який пов’язаний iз геометрiєю простору модулiв калiбрувальних зв’язностей,
що вiдповiдають коприєднаним дiям iнварiантiв Казимiра.
За допомогою елемента \~a\ltimes \~l \in \=\scrG \ast у виглядi
\~a\ltimes \~l :=
\biggl(
\langle \nabla x\~\eta ,\nabla x\rangle +
\partial \~\eta 0
\partial \lambda
\partial
\partial \lambda
\biggr)
\ltimes
\biggl(
dx\~\rho +
\partial \~\rho 0
\partial \lambda
\biggr)
,
де \~\eta , \~\eta 0, \~\rho , \~\rho 0 \in \Omega 0(\BbbT n) \otimes \BbbC , n \in \BbbN , N > 2, можна отримати iнтегровний за Лаксом – Сато
багатовимiрний аналог узагальненої системи Михальова – Павлова (2.19), (2.18) у (n + 3)-
вимiрному просторi, де n > 2. Цей випадок буде розглянуто у подальших публiкацiях.
3. Висновки. Наведено огляд диференцiально-геометричних та Лi-алгебраїчних пiдходiв
до конструювання iнтегровних за Лаксом – Сато диференцiальних систем рiвнянь „небесного”
типу, що ґрунтуються на розвитку конструкцiї Адлера – Костанта – Саймза та асоцiйованих з
нею R-операторних структур. Запропоновано розвиток цiєї конструкцiї на випадок центральних
розширень петельних алгебр Лi \~\scrG := \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n) \ltimes \widetilde \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n)\ast та їхнiх голоморфних розширень
\=\scrG := \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC ) \ltimes \mathrm{d}\mathrm{i}ff(\BbbT n \times \BbbC )\ast . В межах розвинутого пiдходу вiдповiднi системи рiвнянь
„небесного” типу виникають з умови комутування двох гамiльтонових потокiв на регулярних
спряжених просторах до цих алгебр Лi як однопараметричнi орбiти коприєднаної дiї голоморф-
ної групи дифеоморфiзмiв. Зокрема, розв’язки таких систем можна знайти в багатьох випадках
за допомогою вiдповiдної версiї методу оберненої задачi розсiяння [7]. Використання цього
пiдходу дозволило отримати iнтегровнi за Лаксом – Сато модифiковану й узагальнену „небеснi”
системи Михальова – Павлова у чотиривимiрному просторi, модифiковану „небесну” систему
Мартiнеса Алонсо – Шабата у п’ятивимiрному просторi та вiдповiднi iєрархiї законiв збережен-
ня, а також розглянути можливiсть побудови їхнiх iнтегровних аналогiв у просторах вищої
розмiрностi. Крiм того, на основi запропонованого авторами пiдходу можна знайти гамiльтоновi
зображення для побудованих „небесних” систем як результат редукування R-деформованих
дужок Лi – Пуассона на фазовий простiр породжуючого елемента. Це буде предметом наших
подальших дослiджень.
Автори статтi вдячнi М. Блашаку, Є. Цєслiнському та Б. Шаблiковському за корисне обго-
ворення результатiв статтi пiд час симпозiуму „Iнтегровнi системи” (29 – 30 червня 2018 р.,
Познань (Польща)) та Дж. Голдiну й А. Одзiєвичу за конструктивнi коментарi та зауваження
пiд час XXXVII Мiжнародного семiнару з геометричних методiв у фiзицi (30 червня – 7 липня
2019 р., Бяловєжа (Польща)).
Лiтература
1. V. Ovsienko, C. Roger, Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1,
Commun. Math. Phys., 273, № 2, 357 – 378 (2007).
2. V. Ovsienko, Bi-Hamiltonian nature of the equation utx = uxyuy - uyyux , Adv. Pure and Appl. Math., 1, № 1,
7 – 10 (2008); arXiv:0802.1818v1 (2008).
3. A. Sergyeyev, B. M. Szablikowski, Central extensions of cotangent universal hierarchy: (2 + 1)-dimensional bi-
Hamiltonian systems, Phys. Lett. A, 372, № 47, 7016 – 7023 (2008).
4. A. K. Prykarpatski, O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, The differential-geometric and algebraic aspects of the
Lax – Sato theory, Mathematics, 5, № 4, MDPI, Basel, Switzerland (2017).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
1200 О. Є. ГЕНТОШ, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, О. А. БАЛIНСЬКИЙ, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
5. O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Dispersionless completely integrable
heavenly type Hamiltonian flows and their differential-geometric structure, Symmetry, Integrability and Geometry:
Methods and Appl., 15, Article 079 (2019); https://doi.org/10.3842/SIGMA.2019.079.
6. O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Lie-algebraic structure of Lax – Sato
integrable heavenly equations and the Lagrange – d’Alembert principle, J. Geom. and Phys., 120, 208 – 227 (2017);
https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2017.06.003.
7. S. V. Manakov, P. M. Santini, Inverse scattering problem for vector fields and the Cauchy problem for the heavenly
equation, Phys. Lett. A, 359, № 6, 613 – 619 (2006).
8. K. Takasaki, T. Takebe, SDiff(2) Toda equation – hierarchy, tau function and symmetries, Lett. Math. Phys., 23,
№ 3, 205 – 214 (1991).
9. K. Takasaki, T. Takebe, Integrable hierarchies and dispersionless limit, Rev. Math. Phys., 7, № 5, 743 – 808 (1995).
10. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход к теории солитонов, Наука, Москва (1986).
11. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, V. Hr. Samoylenko, Nonlinear dynamical systems of mathematical physics:
spectral and symplectic integrability analysis, World Sci., Hackensack (2011).
12. М. А. Семенов-Тян-Шанский, Что такое классическая r-матрица?, Функц. анализ и его прил., 17, № 4,
17 – 33 (1983).
13. R. Abraham, J. Marsden, Foundations of mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley Publ. Co., Inc., Redwood City, CA
(1978).
14. C. Godbillon, Geometrie differentielle et mecanique analytique, Hermann, Paris (1969).
15. M. Blaszak, Multi-Hamiltonian theory of dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1998).
16. Л. В. Богданов, Интерполирующие дифференциальные редукции многомерных интегрируемых иерархий, Теор.
и мат. физика, 167, № 3, 705 – 713 (2011).
17. L. V. Bogdanov, B. G. Konopelchenko, On the heavenly equation and its reductions, J. Phys. A: Math. and Gen., 39,
11793 – 11802 (2006).
18. L. V. Bogdanov, M. V. Pavlov, Linearly degenerate hierarchies of quasiclassical SDYM type, J. Math. Phys., 58,
№ 9, Article 093505 (2017).
19. B. Doubrov, E. V. Ferapontov, On the integrability of symplectic Monge – Ampère equations, J. Geom. and Phys., 60,
1604 – 1616 (2010); arXiv:0910.3407v2 [math.DG] 13 Apr 2010.
20. E. V. Ferapontov, J. Moss, Linearly degenerate PDEs and quadratic line complexes; arXiv:1204.2777v1 [math.DG]
12 Apr 2012.
21. Л. Мартинес Алонсо, А. Б. Шабат, Гидродинамические редукции и решения универсальной иерархии, Теор. и
мат. физика, 140, № 2, 216 – 229 (2004).
Одержано 07.06.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-7234 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:00Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/21/5b35b7f1c8ec8a9d5d1219eac72a7f21.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72342023-01-07T13:45:36Z Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II Геометричні структури на орбітах петельних груп дифеоморфізмів та асоційовані інтегровні гамільтонові системи „небесного'' типу. II Hentosh, O. E. Prykarpatskyy, Ya. A. Balinsky, A. A. Prykarpatski, A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балінський, О. А. Прикарпатський, А. К. Геометричні структури UDC 517.9 A review of differential-geometric and Lie-algebraic&nbsp;approaches to the study of a broad class of nonlinear integrable &nbsp;&nbsp;differential systems of ``heavenly'' type associated with Hamiltonian flows on the spaces conjugated to the loop Lie algebras of vector fields on the tori.&nbsp;&nbsp;These flows are generated by the corresponding orbits of the coadjoint action of the diffeomorphism loop group and satisfy the Lax–Sato-type vector-field compatibility conditions.&nbsp;&nbsp;The corresponding hierarchies of conservation laws and their relationships with Casimir invariants are analyzed.&nbsp;&nbsp;Typical examples of these systems are considered and their complete integrability is established by using the developed Lie-algebraic construction.&nbsp;&nbsp;We describe new generalizations of the integrable dispersion-free systems of ``heavenly'' type for which the corresponding generating elements of orbits have a factorized structure, which allows their extension to the multidimensional case. УДК 517.9 Наведено огляд диференціально-геометричних і Лі-алгебраїчних підходів до вивчення широкого класу нелінійних інтегровних диференціальних систем „небесного'' типу, асоційованих із гамільтоновими потоками на спряжених просторах до петельних алгебр Лі векторних полів на торах. Ці потоки породжуються відповідними орбітами коприєднаної дії петельної групи дифеоморфізмів і задовольняють векторно-польові умови сумісності типу Лакса–Сато. Проаналізовано відповідні ієрархії законів збереження і їхній зв'язок з інваріантами Казиміра. Розглянуто типові приклади таких систем і встановлено їхню повну інтегровність за допомогою розвиненої Лі-алгебраїчної конструкції. Описано нові узагальнення інтегровних бездисперсійних систем „небесного'' типу, для яких відповідні породжуючі елементи орбіт мають факторизовану структуру, що допускає їхнє розширення на багатовимірний випадок. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-08 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7234 10.37863/umzh.v74i9.7234 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 9 (2022); 1182 - 1200 Український математичний журнал; Том 74 № 9 (2022); 1182 - 1200 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7234/9296 Copyright (c) 2022 Ярема Прикарпатський |
| spellingShingle | Hentosh, O. E. Prykarpatskyy, Ya. A. Balinsky, A. A. Prykarpatski, A. K. Гентош, О. Є. Прикарпатський, Я. А. Балінський, О. А. Прикарпатський, А. К. Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title | Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title_alt | Геометричні структури на орбітах петельних груп дифеоморфізмів та асоційовані інтегровні гамільтонові системи „небесного'' типу. II |
| title_full | Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title_fullStr | Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title_full_unstemmed | Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title_short | Geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. II |
| title_sort | geometric structures on the orbits of loop diffeomorphism groups and related “heavenly-type” hamiltonian systems. ii |
| topic_facet | Геометричні структури |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7234 |
| work_keys_str_mv | AT hentoshoe geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT prykarpatskyyyaa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT balinskyaa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT prykarpatskiak geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT gentošoê geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT prikarpatsʹkijâa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT balínsʹkijoa geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT prikarpatsʹkijak geometricstructuresontheorbitsofloopdiffeomorphismgroupsandrelatedheavenlytypehamiltoniansystemsii AT hentoshoe geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT prykarpatskyyyaa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT balinskyaa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT prykarpatskiak geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT gentošoê geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT prikarpatsʹkijâa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT balínsʹkijoa geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii AT prikarpatsʹkijak geometričnístrukturinaorbítahpetelʹnihgrupdifeomorfízmívtaasocíjovanííntegrovnígamílʹtonovísisteminebesnogo039039tipuii |