The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces
  For periodic functions of one variable in the metric spaces$L_\Psi[0,2\pi],$ we establish an analog of Marshoud's inequality for multiple modules of continuity.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/725 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507092734967808 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пічугов, С. О. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пічугов, С. О. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-20T13:07:20Z |
| description |  
For periodic functions of one variable in the metric spaces$L_\Psi[0,2\pi],$ we establish an analog of Marshoud's inequality for multiple modules of continuity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. транспорта)
НЕРАВЕНСТВО МАРШО ДЛЯ КРАТНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
For periodic functions of one variable in the metric spaces L\Psi [0, 2\pi ], we establish an analog of Marshoud’s inequality for
multiple modules of continuity.
Для перiодичних функцiй однiєї змiнної в метричних просторах L\Psi [0, 2\pi ] доведено аналог нерiвностi Маршо для
кратних модулiв неперервностi.
Пусть для действительнозначных функций f(x), x \in R1, имеющих период 1,
\Delta tf(x) = f(x+ t) - f(x), \Delta k
t = \bigtriangleup t
\Bigl(
\Delta k - 1
t
\Bigr)
, k \in \scrN ,
\omega k(f, h)X = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta k
t f
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
— модуль непрерывности порядка k в пространстве X.
В случае X = Lp, p \in [1,\infty ], при k < l, k, l \in \scrN , наряду с очевидным неравенством
\omega l(f, h)Lp \leq 2l - k\omega k(f, h)Lp справедливо неравенство Маршо [1]
\omega k(f, h)Lp \leq Clh
k
1\int
h
\omega l(f, s)Lp
sk
ds
s
, (1)
где h \in
\biggl(
0,
1
2
\biggr]
, Cl — положительная константа, не зависящая от p, h и f.
В случае p \in (1,\infty ) М. Ф. Тиман [2; 3, с. 41] доказал более точные неравенства: для
h \in
\biggl(
0,
1
2
\biggr)
при k < l
Cp,kh
k
\left( 1\int
h
\omega l(f, s)
\beta 1
Lp
s\beta 1k
ds
s
\right) 1/\beta 1
\leq \omega k(f, h)Lp \leq Bp,kh
k
\left( 1\int
h
\omega l(f, s)
\beta 2
Lp
s\beta 2k
ds
s
\right) 1/\beta 2
, (2)
где \beta 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(2, p), \beta 2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(2, p), Cp,k, Bp,k > 0.
Неравенства (2) доказаны с помощью прямых и обратных неравенств Джексона для при-
ближений функций тригонометрическими полиномами.
Этим же методом мы докажем аналог неравенства Маршо (1) в метрических пространст-
вах L\Psi .
c\bigcirc С. А. ПИЧУГОВ, 2019
1712 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕРАВЕНСТВО МАРШО ДЛЯ КРАТНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1713
Пусть \Omega — множество функций \Psi : R1
+ \rightarrow R1
+, являющихся модулем непрерывности, т. е.
\Psi — непрерывная неубывающая функция, \Psi (0) = 0, \Psi (x+y) \leq \Psi (x)+\Psi (y) для всех x, y \in R1
+ ;
L0 — множество почти всюду конечных на периоде и измеримых функций. Для \Psi \in \Omega
множество
L\Psi =
\left\{ f \in L0 : \| f\| \Psi =
1\int
0
\Psi (| f(x)| )dx < \infty
\right\}
является линейным метрическим пространством с метрикой \rho (f, g)\Psi = \| f - g\| \Psi ;
M\Psi (s) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\Psi (st)
\Psi (t)
, s \in (0,\infty )
— функция растяжения \Psi [4] (гл. II, § 1).
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть k, l \in \scrN , k < l, M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1. Тогда для всех h \in
\biggl(
0,
1
2
\biggr)
выполняются
неравенства
\omega k(f, h)\Psi \leq C
1\int
h
M\Psi
\Biggl( \biggl(
h
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(f, s)\Psi
ds
s
, (3)
где константа C не зависит от f и h.
При доказательстве используем следующие результаты из теории приближения функций в
L\Psi . Пусть
En(f)\Psi = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ ck\}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
n\sum
k= - n
cke
ik2\pi x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Psi
— наилучшее приближение f тригонометрическими полиномами степени не выше n в L\Psi .
Теорема А [5, 6]. Пусть \Psi \in \Omega , M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1, k \in \scrN . Тогда
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k
\bigl(
f, 1
n
\bigr)
\Psi
< \infty , (4)
\omega k(f, h)\Psi \leq C
[ 1h ]\sum
\nu =1
M\Psi
\bigl(
(\nu h)k
\bigr)
\nu
E\nu - 1(f)\Psi , (5)
где константа C = C(k,\Psi ) не зависит от f и h.
Заметим, что ранее эти утверждения были доказаны для пространств Lp, p \in (0, 1) [7 – 9].
Доказательство теоремы 1. Обозначим для краткости
\omega k(h) := \omega k(f, h)\Psi , \omega l(h) := \omega l(f, h)\Psi .
Далее все константы Cj зависят только от k, l и \Psi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1714 С. А. ПИЧУГОВ
Для оценки сверху \omega k
\biggl(
1
2n
\biggr)
применим последовательно неравенства (5) и (4):
\omega k
\biggl(
1
2n
\biggr)
\leq C1
n+1\sum
\nu =1
M\Psi
\Bigl(
2(\nu - n)k
\Bigr)
E2\nu - 1 - 1(f)\Psi \leq C2
n+1\sum
\nu =1
M\Psi (2
(\nu - n)k)\omega l
\biggl(
1
2\nu - 1
\biggr)
. (6)
Поскольку функция M\Psi полумультипликативна [4] (гл. II, § 1), то
M\Psi
\Bigl(
2(\nu - n)k
\Bigr)
= M\Psi
\Bigl(
2(\nu - 1 - n)k2k
\Bigr)
\leq M\Psi
\Bigl(
2(\nu - 1 - n)k
\Bigr)
M\Psi
\Bigl(
2k
\Bigr)
= C3M\Psi
\Bigl(
2(\nu - 1 - n)k
\Bigr)
.
Далее,
\omega l
\biggl(
1
2\nu - 1
\biggr)
\leq C4\omega l
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
.
Поэтому из (6) следует, что
\omega k
\biggl(
1
2n
\biggr)
\leq C5
n+1\sum
\nu =1
M\Psi
\biggl(
2(\nu - 1)k 1
2nk
\biggr)
\omega l
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
. (7)
Используем монотонность функций M\Psi и \omega l :
J\nu :=
1
2\nu - 1\int
1
2\nu
M\Psi
\Biggl( \biggl(
1
2n
1
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(s)
ds
s
\geq C6\omega l
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
M\Psi
\biggl(
2(\nu - 1)k 1
2nk
\biggr)
.
Тогда из (7) получаем (3) при h =
1
2n
:
\omega k
\biggl(
1
2n
\biggr)
\leq C7
n+1\sum
\nu =1
J\nu = C7
1\int
1
2n+1
M\Psi
\Biggl( \biggl(
1
2n
1
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(s)
ds
s
.
Теперь для произвольного h рассуждения стандартны. Пусть h \in
\biggl[
1
2n+1
,
1
2n
\biggr]
, тогда
\omega k(h) \leq \omega k
\biggl(
1
2n
\biggr)
\leq C7
1\int
1
2n+1
M\Psi
\Biggl( \biggl(
1
2n
1
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(s)
ds
s
\leq C7
1\int
h
2
M\Psi
\Biggl( \biggl(
2h
1
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(s)
ds
s
\leq
\leq C7M\Psi (4
k)
1\int
h
M\Psi
\Biggl( \biggl(
h
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(s)
ds
s
.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
НЕРАВЕНСТВО МАРШО ДЛЯ КРАТНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1715
Замечание 1. Неравенство (3) неулучшаемо в следующем смысле:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in (0, 12)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
\omega k(f, h)\Psi \int 1
h
M\Psi
\Biggl( \biggl(
h
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(f, s)\Psi
ds
s
> 0. (8)
Пусть для заданного h \in
\biggl(
0,
1
l
\biggr)
f(x) = \chi [0,h](x) — характеристическая функция отрезка [0, h]
и s > h. Тогда
\omega k(f, h)\Psi =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta k
hf
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Psi
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
k\sum
j=0
( - 1)k - jCj
kf(x+ jh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Psi
=
k\sum
j=0
\Psi
\Bigl(
Cj
k
\Bigr)
h,
\omega l(f, s)\Psi \leq
l\sum
\nu =0
\| C\nu
l f(x+ s)\| \Psi =
l\sum
\nu =0
\Psi (C\nu
l )h,
1\int
h
M\Psi
\Biggl( \biggl(
h
s
\biggr) k\Biggr)
\omega l(f, s)\Psi
ds
s
\leq
l\sum
\nu =0
\Psi (C\nu
l )h
1
k
1\int
hk
M\Psi (t)
dt
t
.
Отсюда следует (8), если
1\int
0
M\Psi (t)
dt
t
< \infty .
Известно [4] (гл. II, § 1), что для функции растяжения M\Psi существует нижний показатель
растяжения \Upsilon \Psi такой, что для любого \varepsilon > 0 найдется постоянная C\varepsilon > 0 такая, что для всех
t \in (0, 1] выполняются неравенства t\Upsilon \Psi \leq M\Psi (t) \leq C\varepsilon t
\Upsilon \Psi - \varepsilon . Если \Psi \in \Omega , то \Upsilon \Psi \in [0, 1]. Но
из условия M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1 следует, что \Upsilon \Psi > 0. Поэтому при достаточно малом \varepsilon
1\int
0
M\Psi (t)
dt
t
\leq C\varepsilon
1\int
0
t\gamma \Psi - \varepsilon dt
t
< \infty .
Замечание 2. Если
\int 1
0
M\Psi
\Bigl(
tk
\Bigr)
M\omega l
\biggl(
1
t
\biggr)
dt
t
< \infty , то \omega k(f, h)\Psi \asymp \omega l(f, h)\Psi .
Действительно, так как
\omega l(f, s)\Psi = \omega l
\Bigl(
f, h
s
h
\Bigr)
\psi
\leq \omega l(f, h)\Psi M\omega l
\Bigl( s
h
\Bigr)
\Psi
,
то
\omega k(f, h)\Psi
\omega l(f, h)\Psi
\leq C
1\int
h
M\Psi
\Biggl( \biggl(
h
s
\biggr) k\Biggr)
M\omega l
\Bigl( s
h
\Bigr) ds
s
= C
1\int
h
M\Psi (t
k)M\omega l
\biggl(
1
t
\biggr)
dt
t
.
В частности, если M\omega l
(y) \leq Ky\delta l при y \geq 1, то из условия \delta l < k\Upsilon \Psi следует, что \omega k(f, h)\Psi \asymp
\asymp \omega l(f, h)\Psi .
Это утверждение приведено в [5].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1716 С. А. ПИЧУГОВ
Литература
1. Marshoud A. Sur les derivees et sur differences des fonction variab variables reeles // J. Math. Pures et Appl. –1927. –
6. – P. 337 – 425.
2. Тиман М. Ф. Особенности основных теорем конструктивной теории функций в пространствах Lp и некоторые
приложения: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Тбилиси, 1962.
3. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. — Днепропетровск: Полиграфист, 2000. –
320 с.
4. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
5. Пичугов С. А. Кратные модули непрерывности и наилучшие приближения периодических функций в метри-
ческих пространствах // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 5. – С. 699 – 707.
6. Пичугов С. А. Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 3. – С. 351 – 362.
7. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. заметки. –
1975. – 18, № 5. – С. 641 – 658.
8. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах
Lp, 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
9. Стороженко Э. А., Освальд П. Теорема Джексона в пространствах Lp(R
k), 0 < p < 1 // Сиб. мат. журн. –
1978. – 19, № 4. – С. 888 – 901.
Получено 15.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-725 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:49Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/a9235c1eceb5d5aab513b33abaca8335.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7252020-01-20T13:07:20Z The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces Неравенство Маршо для кратных модулей непрерывности в метрических пространствах Нерівність Маршо для кратних модулів неперервности в метричних просторах Pichugov, S. A. Пічугов, С. О. Пичугов, С. А. &nbsp; For periodic functions of one variable in the metric spaces$L_\Psi[0,2\pi],$ we establish an analog of Marshoud's inequality for multiple modules of continuity. Для периодических функций одной переменной в метрических пространствах $ L_ \ Psi [0,2 \ pi] $ доказано аналог неравенства Маршо для кратных модулей непрерывности. Для періодичних функцій однієї змінної в метричних просторах $L_\Psi[0,2\pi]$ доведено аналог нерівності Маршо для кратних модулів неперервності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/725 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 12 (2019); 1712-1716 Український математичний журнал; Том 71 № 12 (2019); 1712-1716 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/725/1531 |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пічугов, С. О. Пичугов, С. А. The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title | The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title_alt | Неравенство Маршо для кратных модулей непрерывности в метрических пространствах Нерівність Маршо для кратних модулів неперервности в метричних просторах |
| title_full | The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title_fullStr | The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title_full_unstemmed | The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title_short | The Marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| title_sort | marchaud's inequality for multiple modules of continuity in metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/725 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa themarchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces AT píčugovso themarchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces AT pičugovsa themarchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces AT pichugovsa neravenstvomaršodlâkratnyhmodulejnepreryvnostivmetričeskihprostranstvah AT píčugovso neravenstvomaršodlâkratnyhmodulejnepreryvnostivmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa neravenstvomaršodlâkratnyhmodulejnepreryvnostivmetričeskihprostranstvah AT pichugovsa nerívnístʹmaršodlâkratnihmodulívneperervnostivmetričnihprostorah AT píčugovso nerívnístʹmaršodlâkratnihmodulívneperervnostivmetričnihprostorah AT pičugovsa nerívnístʹmaršodlâkratnihmodulívneperervnostivmetričnihprostorah AT pichugovsa marchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces AT píčugovso marchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces AT pičugovsa marchaud039sinequalityformultiplemodulesofcontinuityinmetricspaces |