Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines
UDC 517.5 We solve the extremal problem $$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p > 0 ,$$ in the class of pairs $(x, I)$ of functions $x\in S^k_{\varphi}$ such that $ \varphi^{(i)} $ are the comparison function...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7259 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512647157383168 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_facet | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_sort | Kofanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-06T14:27:01Z |
| description | UDC 517.5
We solve the extremal problem $$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p > 0 ,$$ in the class of pairs $(x, I)$ of functions $x\in S^k_{\varphi}$ such that $ \varphi^{(i)} $ are the comparison functions for  $ x^{(i)},$ $i=0, 1,\ldots ,k,$ and the intervals $I = [a,b]$ satisfy the conditions $$L(x)_p \le A,\quad \mu \big\{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\big\} \le \mu ,$$ where $L(x)_p:=\sup \left\{\left( \displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\!\frac1p}\colon  a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b) \right\}.$ In particular, we solve the same problems on the classes $W^r_\infty({\rm \bf R})$ and on the bounded sets of spaces of trigonometric polynomials and splines and the Erd\"{o}s problem for the positive (negative) parts of polynomials and splines. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i2.7259 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i2.7259
УДК 517.5
Володимир Кофанов1 (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара)
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
I ЗАДАЧА ЕРДЬОША ДЛЯ ПОЛIНОМIВ ТА СПЛАЙНIВ
We solve the extremal problem \bigm\| \bigm\| x(k)
\pm
\bigm\| \bigm\|
Lp[a,b]
\rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 0, 1, . . . , r - 1, p > 0,
in the class of pairs (x, I) of functions x \in Sk
\varphi such that \varphi (i) are the comparison functions for x(i), i = 0, 1, . . . , k, and
the intervals I = [a, b] satisfy the conditions
L(x)p \leq A, \mu
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x
(k)
\pm
\bigr\}
\leq \mu ,
where L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{ \biggl( \int b
a
| x(t)| pdt
\biggr) 1
p
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Biggr\}
. In particular, we solve the same problems
on the classes W r
\infty (\bfR ) and on the bounded sets of spaces of trigonometric polynomials and splines and the Erdös problem
for the positive (negative) parts of polynomials and splines.
Розв’язано екстремальну задачу\bigm\| \bigm\| x(k)
\pm
\bigm\| \bigm\|
Lp[a,b]
\rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 0, 1, . . . , r - 1, p > 0,
на класi пар (x, I) функцiй x \in Sk
\varphi , похiднi яких x(i), i = 0, 1, . . . , k, мають функцiями порiвняння вiдповiднi
похiднi \varphi (i), та iнтервалiв I = [a, b], якi задовольняють умови
L(x)p \leq A, \mu \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x
(k)
\pm \} \leq \mu ,
де L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{ \biggl( \int b
a
| x(t)| pdt
\biggr) 1
p
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Biggr\}
. Як наслiдок розв’язано такi ж задачi на
класах W r
\infty (\bfR ) i на обмежених множинах просторiв тригонометричних полiномiв i сплайнiв та задачу Ердьоша
для додатних (вiд’ємних) частин полiномiв i сплайнiв.
1. Вступ. Нехай G = \bfR або G = [\alpha , \beta ]. Будемо розглядати простори Lp(G), 0 < p \leq \infty , усiх
вимiрних за Лебегом функцiй x : G \rightarrow \bfR , для яких \| x\| Lp(G) < \infty , де
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
| x(t)| pdt
\biggr) 1/p
, якщо 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in G | x(t)| , якщо p = \infty .
Для r \in \bfN i p, s \in (0,\infty ] через Lr
p,s позначимо простiр усiх функцiй x \in Lp(\bfR ), що мають
локально абсолютно неперервнi похiднi до (r - 1)-го порядку включно, до того ж x(r) \in Ls(\bfR ).
Будемо писати \| x\| p замiсть \| x\| Lp(\bfR ) i Lr
\infty замiсть Lr
\infty ,\infty .
Вiдомо (див., наприклад, [1, с. 47]), що задача знаходження точної сталої C в нерiвностi
типу Колмогорова – Надя \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q
\leq C\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
s
(1.1)
1 E-mail: vladimir.kofanov@gmail.com.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР КОФАНОВ, 2023
182 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 183
на класi функцiй x \in Lr
p,s, де \alpha =
r - k + 1/q - 1/s
r + 1/p - 1/s
, а параметри q, p, s \geq 1, r \in \bfN , k \in \bfN \bfzero :=
:= \bfN
\bigcup
\{ \bfzero \} , k < r, задовольняють умову \alpha \leq (r - k)/r, рiвносильна екстремальнiй задачi\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q
\rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} (1.2)
на класi функцiй x \in Lr
p,s з обмеженнями\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\|
s
\leq Ar, \| x\| p \leq A0, (1.3)
де A0, Ar — заданi додатнi числа.
Данiй тематицi присвячено значну кiлькiсть робiт (детальну бiблiографiю можна знайти
в роботах [1 – 3]). Зазначимо, що в роботi [4] дослiджено питання про збiг точних сталих у
нерiвностях типу (1.1) для перiодичних функцiй i таких же нерiвностях для неперiодичних
функцiй на осi. Попри велику кiлькiсть робiт, присвячених нерiвностям вигляду (1.1), точна
стала C в цiй нерiвностi вiдома для всiх r \in \bfN i всiх k < r лише в небагатьох випадках.
Тому цiкавою є наступна модифiкацiя задачi (1.2) з обмеженнями (1.3), розглянута Бояновим i
Найдьоновим [5].
Будемо говорити, що f \in L1
\infty є функцiєю порiвняння для x \in L1
\infty , якщо \| x\pm \| \infty \leq \| f\pm \| \infty
i з рiвностi x(\xi ) = f(\eta ), \xi , \eta \in \bfR , випливає нерiвнiсть | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , якщо вказанi похiднi
iснують.
Непарну 2\omega -перiодичну функцiю \varphi \in L1
\infty назвемо S -функцiєю, якщо вона має такi влас-
тивостi: \varphi парна щодо \omega /2, | \varphi | опукла догори на [0, \omega ] i строго монотонна на [0, \omega /2]. Для
k = 0, 1, 2, . . . i S -функцiї \varphi \in Lk+1
\infty через Sk
\varphi позначимо клас функцiй x \in Lk+1
\infty таких, що \varphi (i)
є функцiєю порiвняння для x(i), i = 0, 1, . . . , k. Прикладами класiв Sk
\varphi є соболєвськi класи\Bigl\{
x \in Lr
\infty :
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty \leq Ar, \| x\| \infty \leq A0
\Bigr\}
,
а також обмеженi пiдмножини просторiв Tn (тригонометричних полiномiв порядку \leq n) i
простори Sn,r (сплайнiв порядку r дефекту 1 з вузлами в точках l\pi /n, l \in \bfZ ).
Для довiльного вiдрiзка [\alpha , \beta ] \subset \bfR Б. Боянов i Н. Найдьонов [5] розв’язали задачу
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
| x(k)(t)|
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 1, 2, . . . ,
на класi Sk
\varphi , де \Phi — неперервно диференцiйовна функцiя на [0,\infty ) така, що \Phi (t)/t не спадає
i \Phi (0) = 0. Як наслiдок вони розв’язали задачу Ердьоша [6] про характеризацiю тригоно-
метричного полiнома з фiксованою рiвномiрною нормою, графiк якого на заданому вiдрiзку
[\alpha , \beta ] \subset \bfR має максимальну довжину. Цю ж задачу для неперiодичних сплайнiв на осi було
розв’язано в роботi [7].
Через W позначимо клас неперервних, невiд’ємних i опуклих функцiй \Phi , визначених на
[0,\infty ), таких що \Phi (0) = 0. Для p > 0 покладемо [8]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( b\int
a
| x(t)| pdt
\right)
1
p
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\right\} . (1.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
184 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Зазначимо, що L(x)\infty = \| x\| \infty i L(x\prime )1 \leq 2\| x\| \infty .
В роботах [9 – 11] розв’язано задачу Боянова – Найдьонова i для k = 0, а саме задачу
\beta \int
\alpha
\Phi (| x(t)| p)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.5)
на класi функцiй S0
\varphi , що задовольняють умову L(x)p \leq L(\varphi )p. Як наслiдок отримано розв’язок
задачi
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
| x(k)(t)|
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, 2, . . . , (1.6)
на класах функцiй x \in Sk
\varphi .
Задачу Боянова – Найдьонова i нерiвностi типу Колмогорова – Надя для функцiй з несимет-
ричними обмеженнями на старшу похiдну розглянуто в роботах [12, 13]. Серед iнших робiт,
присвячених цiй тематицi, вiдмiтимо статтi [14, 15].
У цiй статтi розв’язано задачу (теорема 1)
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.7)
на класi пар (x, I) функцiй x \in S0
\varphi i вiдрiзкiв I = [a, b], для яких L(x)p \leq L(\varphi )p i виконано
вiдповiдну умову
\mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x\pm
\bigr)
\leq \mu , \mu > 0, (1.8)
а також задачу (теорема 2)
b\int
a
\Phi
\bigl(
x
(k)
\pm (t)
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, 2, . . . , (1.9)
на класi пар (x, I) функцiй x \in Sk
\varphi i вiдрiзкiв I = [a, b], для яких виконується вiдповiдна умова
\mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x
(k)
\pm
\Bigr)
\leq \mu , \mu > 0, (1.10)
де
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x :=
\bigl\{
t \in [a, b] : | x(t)| > 0
\bigr\}
.
Зокрема, задачi (1.7) i (1.9) з обмеженнями (1.8) i (1.10) вiдповiдно розв’язано (теорема 3)
на класах \Omega r
p(A0, Ar) :=
\bigl\{
x \in Lr
\infty :
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0
\bigr\}
i на обмежених пiдмножинах
просторiв Tn i Sn,r (теореми 4, 5).
Крiм того, одержано розв’язок (теорема 6) аналога задачi Ердьоша про характеризацiю пари
(x, I), що складається з полiнома T \in Tn iз заданою рiвномiрною нормою i вiдрiзка I з мiрою
носiя \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I T
\prime
\pm
\bigr)
, обмеженою заданим числом, для якої пiдсумкова довжина дуг графiка
додатної (вiд’ємної) частини полiнома T\pm на вiдрiзку I є максимальною. Ту ж саму задачу
розв’язано в цiй же теоремi для сплайнiв iз множини \~Sn,r :=
\bigl\{
s(\cdot + \tau ) : s \in Sn,r, \tau \in \bfR
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 185
2. Допомiжнi твердження. Зазначимо, що якщо функцiя x \in S0
\varphi задовольняє умову
L(x)p < \infty з деяким p > 0 i | x(t)| > 0 для t \in (a, b), до того ж a = - \infty або b = +\infty ,
то x(t) \rightarrow 0, якщо t \rightarrow - \infty або t \rightarrow +\infty . В цьому випадку будемо вважати x( - \infty ) = 0 або
x(+\infty ) = 0.
Для сумовної на вiдрiзку [a, b] функцiї x cимволом r(x, t) позначимо перестановку функцiї
| x| (див., наприклад, [16], §1.3). При цьому покладемо r(x, t) = 0 для t > b - a.
Лема 1. Нехай \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , p > 0, \Phi \in W, а функцiя x \in S0
\varphi задовольняє
умову
L(x)p \leq L(\varphi )p, (2.1)
де величина L(x)p означена рiвнiстю (1.4).
Якщо iнтервал (скiнченний або нескiнченний) (a\pm , b\pm ) \subset \bfR i вiдрiзок [A\pm , B\pm ] \subset \bfR такi,
що
x(a\pm ) = x(b\pm ) = 0, x\pm (t) > 0, t \in (a\pm , b\pm ), (2.2)
i
\varphi (A\pm ) = \varphi (B\pm ) = 0, \varphi \pm (t) > 0, t \in (A\pm , B\pm ), (2.3)
то для довiльного \xi > 0 i будь-якої функцiї \Phi \in W виконуються нерiвностi
a\pm +\xi \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
A\pm +\xi \int
A\pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt (2.4)
i
b\pm \int
b\pm - \xi
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
B\pm - \xi
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt, (2.5)
де x\pm — звуження x\pm на (a\pm , b\pm ), а \varphi \pm - звуження \varphi \pm на [A\pm , B\pm ], до того ж за межами
вiдповiдних промiжкiв вважаємо функцiї x\pm i \varphi \pm рiвними нулю.
Крiм того, якщо
b\pm - a\pm \leq B\pm - A\pm , (2.6)
то для довiльного вiдрiзка [\alpha \pm , \beta \pm ] \subset [A\pm , B\pm ], для якого
\beta \pm - \alpha \pm = b\pm - a\pm , (2.7)
має мiсце нерiвнiсть
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
\beta \pm \int
\alpha \pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt, \Phi \in W. (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
186 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Доведення. Зафiксуємо функцiю x i промiжки (a\pm , b\pm ) та [A\pm , B\pm ], що задовольняють
умови леми. Встановимо нерiвнiсть (2.4) (нерiвнiсть (2.5) встановлюється аналогiчно).
Спочатку встановимо нерiвнiсть
\xi \int
0
rp(x\pm , t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi \pm , t)dt, \xi > 0. (2.9)
Переконаємося насамперед у тому, що рiзниця \delta \pm (t) : = r(x\pm , t) - r(\varphi \pm , t) змiнює знак на
[0,\infty ) не бiльше одного разу (з мiнуса на плюс). Для доведення цього факту зазначимо, що
\delta \pm (0) \leq \| x\pm \| \infty - \| \varphi \| \infty \leq 0, (2.10)
оскiльки x \in S0
\varphi . Внаслiдок цiєї нерiвностi i спiввiдношень (2.2), (2.3) для довiльного z\pm \in
\in
\bigl[
0, \| x\pm \| L\infty [a\pm ,b\pm ]
\bigr)
iснують такi точки
t\pm i \in [a\pm , b\pm ], i = 1, . . . ,m, m \geq 2, y\pm j \in [A\pm , B\pm ], j = 1, 2,
що
z\pm = x\pm (t
\pm
i ) = \varphi \pm (y
\pm
j ). (2.11)
Внаслiдок включення x \in S0
\varphi для точок t\pm i i y\pm j , що задовольняють (2.11), виконується нерiв-
нiсть \bigm| \bigm| x\prime \pm (t\pm i )\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \varphi \prime
\pm (y
\pm
j )
\bigm| \bigm| . (2.12)
Тому якщо точки \theta \pm 1 , \theta
\pm
2 > 0 вибрано так, що
z\pm = r(x\pm , \theta
\pm
1 ) = r(\varphi \pm , \theta
\pm
2 ),
то за теоремою про похiдну перестановки (див., наприклад, [16], твердження 1.3.2) з урахуван-
ням нерiвностi (2.12) отримуємо
\bigm| \bigm| r\prime (x\pm , \theta \pm 1 )\bigm| \bigm| =
\Biggl[
m\sum
i=1
\bigm| \bigm| x\prime \pm (t\pm i )\bigm| \bigm| - 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
\bigm| \bigm| \varphi \prime
\pm (y
\pm
j )
\bigm| \bigm| - 1
\right] - 1
=
\bigm| \bigm| r\prime (\varphi \pm , \theta
\pm
2 )
\bigm| \bigm| .
Звiдси внаслiдок (2.10) випливає, що рiзниця \delta \pm (t) := r(x\pm , t) - r(\varphi \pm , t) змiнює знак на
[0,\infty ) не бiльше одного разу (з мiнуса на плюс). Те ж саме правильно i для рiзницi \delta \pm p (t) :=
:= rp(x\pm , t) - rp(\varphi \pm , t).
Розглянемо iнтеграл
I\pm p (\xi ) :=
\xi \int
0
\delta \pm p (t)dt, \xi \geq 0.
Зрозумiло, що I\pm p (0) = 0, i внаслiдок умови (2.1) для \xi \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b\pm - a\pm , B\pm - A\pm \} маємо
I\pm p (\xi ) \leq L(x\pm )p - L
\bigl(
\varphi \pm
\bigr)
p
\leq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 187
Крiм того, похiдна (I\pm p )\prime (t) = \delta \pm p (t) змiнює знак на [0,\infty ) не бiльше одного разу (з мiнуса на
плюс). Отже, I\pm p (\xi ) \leq 0 для всiх \xi \geq 0. Нерiвнiсть (2.9) встановлено. З неї внаслiдок теореми
Гардi – Лiттлвуда – Полiа (див., наприклад, [16], теорема 1.3.11) випливає, що
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
A\pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt, \Phi \in W. (2.13)
Встановимо тепер нерiвнiсть (2.4). Переходячи до зсувiв функцiй x i \varphi , можемо вважати,
що
a\pm = A\pm = 0. (2.14)
Тодi з включення x \in S0
\varphi випливає, що рiзниця \Delta \pm (t) := x\pm (t) - \varphi \pm (t) змiнює знак на [0,\infty )
не бiльше одного разу (з мiнуса на плюс). Внаслiдок монотонного зростання функцiй f(t) = tp
i \Phi \in W те ж саме правильно i для рiзницi \Delta \pm
\Phi (t) := \Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
- \Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
. Покладемо
I\pm \Phi (\xi ) :=
\xi \int
0
\Delta \pm
\Phi (t)dt, \xi \geq 0.
Зрозумiло, що I\pm \Phi (0) = 0. Враховуючи також нерiвнiсть (2.13) i припущення (2.14), отримуємо
I\pm \Phi (\xi ) \leq
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt -
B\pm \int
A\pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt \leq 0
для \xi \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b\pm - a\pm , B\pm - A\pm \} . Крiм того, похiдна (I\pm \Phi )\prime (t) = \Delta \pm
\Phi (t) змiнює знак на [0,\infty )
не бiльше одного разу (з мiнуса на плюс). Отже, I\pm \Phi (\xi ) \leq 0 для всiх \xi \geq 0, що внаслiдок
припущення (2.14) рiвносильно нерiвностi (2.4).
Залишилось встановити нерiвнiсть (2.8) за умов (2.6), (2.7). Нехай останнi двi умови вико-
нано. Тодi, переходячи, якщо потрiбно, до зсуву функцiї x, можна вважати, що
a\pm = \alpha \pm , b\pm = \beta \pm . (2.15)
Тому з включення x \in S0
\varphi i умови (2.2) випливає нерiвнiсть
x\pm (t) \leq \varphi \pm (t), t \in [a\pm , b\pm ].
Звiдси внаслiдок припущення (2.15) безпосередньо отримуємо нерiвнiсть (2.8).
Лему 1 доведено.
При доведеннi леми 1 було отримано нерiвнiсть (2.13). Таким чином, має мiсце наслiдок.
Наслiдок 1. За умов леми 1 для довiльної функцiї \Phi \in W виконується нерiвнiсть
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
A\pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt =
2\omega \int
0
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt. (2.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
188 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Лема 2. Нехай \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , p > 0, \Phi \in W, [a, b] \subset \bfR . Якщо функцiя
x \in S0
\varphi задовольняє умову
L(x)p \leq L(\varphi )p, (2.17)
де величина L(x)p означена рiвнiстю (1.4), i одну з вимог
\delta \pm := \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x\pm
\Bigr)
\leq \omega , (2.18)
то для довiльної функцiї \Phi \in W виконується вiдповiдна нерiвнiсть
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
m\pm +\Theta \pm \int
m\pm - \Theta \pm
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt, (2.19)
де m\pm — точки локального максимума функцiй \varphi \pm , а числа \Theta \pm > 0 такi, що
\varphi (m\pm - \Theta \pm ) = \varphi (m\pm +\Theta \pm ), (2.20)
до того ж
2\Theta \pm = \delta \pm . (2.21)
Доведення. Зафiксуємо функцiю x \in S0
\varphi i вiдрiзок [a, b], що задовольняють умови леми 2.
Встановимо (2.19) для x+ (для x - доведення проводиться аналогiчно). Нехай вiдрiзок [a, b]
задовольняє вiдповiдну вимогу (2.18). Будемо вважати, що
x+(a) > 0, x+(b) > 0 (2.22)
(якщо хоча б одна з цих нерiвностей не виконується, встановлення нерiвностi (2.19) лише
спрощується).
Нехай функцiя x не має нулiв на (a, b). Оскiльки L(x)p < \infty внаслiдок умови (2.17), то
iснує такий iнтервал (c, d) (скiнченний або нескiнченний), що (a, b) \subset (c, d), до того ж
x+(c) = x+(d) = 0, x+(t) > 0, t \in (c, d).
Через x+ позначимо звуження x+ на (c, d), а через \varphi + - звуження \varphi + на [0, 2\omega ]. Застосовуючи
до iнтервалу (c, d) нерiвнiсть (2.16), отримуємо оцiнку
d\int
c
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
2\omega \int
0
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt,
яку можна записати у виглядi
d - c\int
0
\Phi
\bigl(
rp(x+, t)
\bigr)
dt \leq
2\omega \int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +, t)
\bigr)
dt. (2.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 189
Як i при доведеннi леми 1, можна перевiрити, що рiзниця \delta \Phi (t) := \Phi
\bigl(
rp(x+, t)
\bigr)
- \Phi
\bigl(
rp(\varphi +, t)
\bigr)
змiнює знак на [0,\infty ) не бiльше одного разу (з мiнуса на плюс), i за допомогою цього факту i
нерiвностi (2.23) встановити нерiвнiсть
\xi \int
0
\Phi
\bigl(
rp(x+, t)
\bigr)
dt \leq
\xi \int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +, t)
\bigr)
dt, \xi > 0.
Зрозумiло, що ця нерiвнiсть також матиме мiсце, якщо пiд x+ розумiти звуження x+ на (a, b).
Розумiючи пiд x+ саме таке звуження, отримуємо
b\int
a
\Phi
\bigl(
(xp+(t)
\bigr)
dt =
b - a\int
0
\Phi
\bigl(
rp(x+, t)
\bigr)
dt \leq
b - a\int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +, t)
\bigr)
dt =
m++\Theta +\int
m+ - \Theta +
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt,
де m+ — точка локального максимума сплайна \varphi +, а \Theta + > 0 задовольняє умови (2.20) i
(2.21), до того ж \delta + = b - a. Отже, нерiвнiсть (2.19) у випадку, коли x не має нулiв на (a, b),
встановлено.
Нехай тепер x має нулi на (a, b). Покладемо
a\prime := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
t \in (a, b) : x+(t) = 0
\bigr\}
, b\prime := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
t \in (a, b) : x+(t) = 0
\bigr\}
.
Тодi внаслiдок (2.22) носiй \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x+ має вигляд
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x+ = (a, a\prime )
\bigcup
(b\prime , b)
\bigcup \bigcup
k
(ak, bk), (2.24)
де (ak, bk) \subset (a\prime , b\prime ), до того ж
x(ak) = x(bk) = 0, x+(t) > 0, t \in (ak, bk)
(не виключено, що множина таких iнтервалiв (ak, bk) є порожньою). З огляду на спiввiдношен-
ня (2.18), припущення (2.22) i означення чисел a\prime , b\prime маємо
\delta + = (a\prime - a) + (b - b\prime ) +
\sum
k
(bk - ak) \leq \omega . (2.25)
Нехай A+ i B+ - два сусiднiх нулi функцiї \varphi , до того ж \varphi +(t) > 0 для t \in (A+, B+). Внаслi-
док (2.17) L(x)p < \infty . Тому iснують iнтервали (\alpha \prime , a\prime ), (b\prime , \beta \prime ) (скiнченнi або нескiнченнi), для
яких
x+(\alpha
\prime ) = x+(a
\prime ) = 0, x+(t) > 0, t \in (\alpha \prime , a\prime ),
i
x+(b
\prime ) = x+(\beta
\prime ) = 0, x+(t) > 0, t \in (b\prime , \beta \prime ).
Застосовуючи до iнтервалiв (\alpha \prime , a\prime ), (b\prime , \beta \prime ) i вiдрiзка [A+, B+] нерiвностi (2.4), (2.5), отримуємо
b\int
b\prime
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
A++\xi \int
A+
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt, \xi = b - b\prime , (2.26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
190 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
i
a\prime \int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
B+\int
B+ - \eta
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt, \eta = a\prime - a (2.27)
(внаслiдок (2.25) замiсть x+ в нерiвностi (2.4) можна написати x+, а замiсть \varphi + — \varphi +).
Внаслiдок (2.25) iснують такi iнтервали (\alpha k, \beta k), що попарно не перетинаються, (\alpha k, \beta k) \subset
\subset (A++ \xi , B+ - \eta ) i \beta k - \alpha k = bk - ak. Для них на пiдставi спiввiдношення (2.8) виконується
нерiвнiсть
bk\int
ak
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt. (2.28)
Пiдсумовуючи оцiнки (2.26) – (2.28) i враховуючи (2.24), маємо
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt =
a\prime \int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
b\int
b\prime
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
\sum
k
bk\int
ak
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
\leq
A++\xi \int
A+
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt+
B+\int
B+ - \eta
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt+
\sum
k
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt.
Оскiльки \beta k - \alpha k = bk - ak, то внаслiдок (2.25) \xi +\eta +
\sum
k
(\beta k - \alpha k) = \delta +. Тому сума iнтегралiв
у правiй частинi отриманої оцiнки не перевищує
\delta +\int
0
r
\bigl(
\Phi
\bigl(
\varphi p
+
\bigr)
, t
\bigr)
dt =
m++\Theta +\int
m+ - \Theta +
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt,
де m+ — точка локального максимума функцiї \varphi +, а \Theta + > 0 задовольняє спiввiдношення (2.20)
i (2.21). Нерiвнiсть (2.19) встановлено.
Лемму 2 доведено.
Наслiдок 2. За умов леми 2 i виконання одного з припущень
\mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x\pm
\bigr)
\leq \omega
має мiсце вiдповiдна нерiвнiсть
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
2\omega \int
0
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
dt. (2.29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 191
3. Розв’язання задачi Боянова – Найдьонова на класах функцiй iз заданою функцiєю
порiвняння. Нехай p, \omega > 0, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega . Покладемо
L\varphi (p, \omega ) :=
\bigl\{
x \in S0
\varphi : L(x)p \leq L(\varphi )p
\bigr\}
, (3.1)
де величина L(x)p означена рiвнiстю (1.4). Зафiксуємо числo \mu > 0 i введемо клас L\pm
\varphi (p, \omega , \mu )
пар (x, I) функцiй x i вiдрiзкiв I = [a, b] спiввiдношенням
L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ) :=
\bigl\{
(x, I) : x \in L\varphi (p, \omega ), \mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I x\pm ) \leq \mu
\bigr\}
. (3.2)
Запишемо число \mu у виглядi
\mu = n \cdot \omega + 2\Theta , n \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in [0, \omega /2). (3.3)
Зазначимо, що якщо числа \tau \pm \in \bfR i вiдрiзок [A,B] такi, що
B - A = 2n\omega + 2\Theta , (3.4)
\varphi \pm (A+\Theta + \tau \pm ) = \varphi \pm (B - \Theta + \tau \pm ) = \| \varphi \| \infty , (3.5)
то
\bigl(
\varphi (\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\bigr)
\in L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ).
Теорема 1. Нехай p, \omega , \mu > 0, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega . Тодi для довiльної функцiї
\Phi \in W
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt : (x, [a, b]) \in L\pm
\varphi (p, \omega , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t+ \tau \pm )
\bigr)
dt,
де множини L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ), числа \tau \pm i вiдрiзок [A,B] визначенi спiввiдношеннями (3.1) – (3.5).
Доведення. Зафiксуємо довiльну пару (x, I) \in L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ), що складається з функцiї x
i вiдрiзка I = [a, b]. Доведемо теорему для x+ (для x - доведення проводиться аналогiчно).
Спочатку встановимо нерiвнiсть
\scrI :=
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
B\int
A
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t+ \tau +)
\bigr)
dt := \scrI (\mu ). (3.6)
Почнемо з випадку \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x+ = \mu . Оскiльки для \mu виконується спiввiдношення (3.3), то
вiдрiзок [a, b] можна записати у виглядi
[a, b] =
n\bigcup
k=1
[\alpha k, \beta k]
\bigcup
[\alpha , \beta ],
причому iнтервали (\alpha k, \beta k), (\alpha , \beta ) попарно не перетинаються i
\mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\alpha k,\beta k]
x+) = \omega , \mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\alpha ,\beta ] x+) = 2\Theta .
Тому
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt =
n\sum
k=1
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
192 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Застосовуючи для оцiнки iнтегралiв у правiй частинi цiєї рiвностi нерiвностi (2.29) i (2.19),
отримуємо
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq n
2\omega \int
0
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt+
m++\Theta \int
m+ - \Theta
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t)
\bigr)
dt =
B\int
A
\Phi
\bigl(
\varphi p
+(t+ \tau +)
\bigr)
dt,
де m+ — точка локального максимума функцiї \varphi , а остання рiвнiсть у цiй низцi спiввiдношень
випливає з (3.4). Отже, нерiвнiсть (3.6) встановлено у випадку \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x+ = \mu .
Нехай тепер \mu 1 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b] x+ < \mu . Зазначимо, що число \mu однозначно зображується у
виглядi (3.3), i тому цим числом однозначно (з точнiстю до зсуву) визначаються вiдрiзок [A,B]
i число \tau +. Отже, iнтеграл \scrI (\mu ) у правiй частинi (3.6) однозначно визначається числом \mu .
При цьому очевидно, що \scrI (\mu ) не спадає як функцiя вiд \mu . Тому, повторюючи мiркування з
попереднього випадку, для iнтеграла \scrI в лiвiй частинi (3.6) отримуємо оцiнку
\scrI \leq \scrI (\mu 1) \leq I(\mu ).
Таким чином, нерiвнiсть (3.6) повнiстю встановлено. Залишилось зазначити, що для пари\bigl(
\varphi (\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\bigr)
\in L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ), що складається з функцiї x(\cdot ) = \varphi (\cdot + \tau +) i вiдрiзка [A,B],
якi заданi спiввiдношеннями (3.3) – (3.5), нерiвнiсть (3.6) перетворюється в рiвнiсть.
Теорему 1 доведено.
Нехай k \in \bfN , \omega > 0, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , така що \varphi \in Lk+1
\infty , x \in Sk
\varphi . Тодi \varphi (i) є
функцiєю порiвняння для x(i), i = 0, 1, . . . , k. Тому
L(x(k))1 \leq 2
\bigm\| \bigm\| x(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq 2
\bigm\| \bigm\| \varphi (k - 1)
\bigm\| \bigm\|
\infty = L(\varphi (k))1. (3.7)
Отже, x(k) \in S\varphi (k)(1, \omega ). Зафiксуємо числo \mu > 0 i введемо клас пар (x, I) функцiй x i вiдрiзкiв
I = [a, b] спiввiдношенням
S\pm
\varphi ,k(\omega , \mu ) :=
\bigl\{
(x, I) : x \in Sk
\varphi , \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I x
(k)
\pm
\bigr)
\leq \mu
\bigr\}
. (3.8)
З наведених означень i спiввiдношення (3.7) випливає iмплiкацiя
(x, I) \in S\pm
\varphi , k(\omega , \mu ) \Rightarrow (x(k), I) \in L\pm
\varphi (k)(1, \omega , \mu ), (3.9)
де множини L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ) визначенi за допомогою (3.2).
Запишемо число \mu у виглядi
\mu = n\omega + 2\Theta , n \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in (0, \omega /2). (3.10)
Виберемо далi числа \tau \pm k \in \bfR i вiдрiзок [A,B] так, щоб
B - A = 2n\omega + 2\Theta , (3.11)
\varphi
(k)
\pm (A+\Theta + \tau \pm k ) = \varphi
(k)
\pm (B - \Theta + \tau \pm k ) =
\bigm\| \bigm\| \varphi (k)
\bigm\| \bigm\|
\infty . (3.12)
Тодi
\bigl(
\varphi (\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\bigr)
\in S\pm
\varphi ,k(\omega , \mu ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 193
Теорема 2. Нехай k \in \bfN , \omega , \mu > 0, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , така що \varphi \in Lk+1
\infty .
Тодi для довiльної функцiї \Phi \in W
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi
\Bigl(
x
(k)
\pm (t)
\Bigr)
dt : (x, I) \in S\pm
\varphi ,k(\omega , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\Bigl(
\varphi
(k)
\pm (t+ \tau \pm k )
\Bigr)
dt,
де множина S\pm
\varphi ,k(\omega , \mu ), числа \tau \pm k i вiдрiзок [A,B] заданi спiввiдношеннями (3.8) – (3.12).
Доведення. Внаслiдок iмплiкацiї (3.9), якщо (x, I) \in S\pm
\varphi , k(\omega , \mu ), то (x(k), I) \in L\pm
\varphi (k)(1, \omega , \mu ),
де множина L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ) визначена в (3.2). Тому, застосовуючи теорему 1 до класу L\pm
\varphi (k)(1, \omega , \mu ),
отримуємо твердження теореми 2.
Теорему 2 доведено.
Поклавши \Phi (t) = tq/p в теоремi 1 i \Phi (t) = tq в теоремi 2, отримаємо такий наслiдок.
Наслiдок 3. Нехай k \in \bfN , p, \omega , \mu > 0, \varphi — S -функцiя з перiодом 2\omega , \Phi \in W. Тодi для
довiльних q \geq p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
xq\pm (t)dt : (x, I) \in L\pm
\varphi (p, \omega , \mu )
\right\} =
B\int
A
\varphi q
\pm (t+ \tau \pm )dt,
де множини L\pm
\varphi (p, \omega , \mu ), числа \tau \pm i вiдрiзок [A,B] заданi спiввiдношеннями (3.1) – (3.5).
Крiм того, якщо k \in \bfN , \mu > 0, \varphi \in Lk+1
\infty , то для довiльного q \geq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Bigl(
x
(k)
\pm (t)
\Bigr) q
dt : (x, I) \in S\pm
\varphi , k(\omega , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Bigl(
\varphi
(k)
\pm (t+ \tau \pm k )
\Bigr) q
dt,
де множини S\pm
\varphi ,k(\omega , \mu ), числа \tau \pm k i вiдрiзок заданi спiввiдношеннями (3.8) – (3.12).
4. Розв’язання задачi Боянова – Найдьонова на соболєвських класах. Символом \varphi r(t),
r \in \bfN , позначимо зсув r-го 2\pi -перiодичного iнтеграла з нульовим середнiм значенням на
перiодi вiд функцiї \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, що задовольняє умову \varphi r(0) = 0. Для \lambda > 0 покладемо
\varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
Нехай Ar, A0, p > 0. Виберемо \lambda > 0 так, щоб
A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p, (4.1)
де величина L(x)p визначена рiвнiстю (1.4), i покладемо
\varphi (t) := Ar\varphi \lambda ,r(t). (4.2)
Зрозумiло, що \varphi є S -функцiєю з перiодом 2\pi /\lambda , до того ж
\bigm\| \bigm\| \varphi (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty = Ar, L(\varphi )p = A0.
Розглянемо клас функцiй
\Omega r
p(A0, Ar) :=
\bigl\{
x \in Lr
\infty : \| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0
\bigr\}
. (4.3)
Лема 3 [11]. Нехай r \in \bfN , A0, Ar, p > 0. Тодi для довiльного k = 0, 1, . . . , r - 1
\Omega r
p(A0, Ar) \subset Sk
\varphi ,
де функцiя \varphi визначена рiвнiстю (4.2), а число \lambda — рiвнiстю (4.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
194 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, . . . , r - 1; \mu > 0. Розглянемо множину пар (x, I) функцiй x i
вiдрiзкiв I = [\alpha , \beta ], визначених спiввiдношенням
\Omega r,k
p (A0, Ar)\pm :=
\Bigl\{
(x, I) : x \in \Omega r
p(A0, Ar), \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I x
(k)
\pm
\bigr)
\leq \mu
\Bigr\}
. (4.4)
Запишемо число \mu у виглядi
\mu = n
\pi
\lambda
+ 2\Theta , n \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in (0, \pi /(2\lambda )). (4.5)
Виберемо далi числа \tau \pm \in \bfR i вiдрiзок [A,B] так, щоб
B - A = 2n
\pi
\lambda
+ 2\Theta , (4.6)\bigl(
\varphi \lambda ,r - k
\bigr)
\pm (A+\Theta + \tau \pm ) =
\bigl(
\varphi \lambda ,r - k
\bigr)
\pm (B - \Theta + \tau \pm k ) =
\bigm\| \bigm\| \varphi \lambda ,r - k
\bigm\| \bigm\|
\infty . (4.7)
Тодi
\bigl(
\varphi \lambda ,r(\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\bigr)
\in \Omega r,k
p (A0, Ar)\pm .
З теорем 1, 2 i леми 3 випливає таке твердження.
Теорема 3. Нехай r \in \bfN , A0, Ar, p > 0, \Phi \in W. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt :
\bigl(
x, [\alpha , \beta ]
\bigr)
\in \Omega r,0
p (A0, Ar)\pm
\right\} =
B\int
A
\Phi
\bigl(
(Ar\varphi \lambda ,r)
p
\pm (t+ \tau \pm )
\bigr)
dt,
а якщо k \in \bfN , k < r, то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (x
(k)
\pm (t))dt :
\bigl(
x, [\alpha , \beta ]
\bigr)
\in \Omega r,k
p (A0, Ar)\pm
\right\} =
B\int
A
\Phi
\bigl(
Ar(\varphi \lambda ,r - k)\pm (t+ \tau \pm )
\bigr)
dt,
де класи \Omega r,k
p (A0, Ar)\pm , числа \lambda , \tau \pm i вiдрiзок [A,B] визначенi в (4.3) – (4.7).
Поклавши \Phi (t) = tq/p, q \geq p, у першому спiввiдношеннi теореми 3 i \Phi (t) = tq, q \geq 1, у
другому, отримаємо (як у наслiдку 3) точнi оцiнки норм
\bigm\| \bigm\| x(k)\pm
\bigm\| \bigm\|
Lq [\alpha ,\beta ]
, k = 0, 1, . . . , r - 1, на
класах \Omega r,k
p (A0, Ar)\pm .
Теорему 3 доведено в [17].
5. Розв’язання задачi Боянова – Найдьонова на просторах тригонометричних полiно-
мiв. Через Tn позначимо простiр тригонометричних полiномiв порядку не вищого за n. Для
A0, p > 0 покладемо
Tn(A0, p) :=
\bigl\{
T \in Tn : L(T )p \leq A0L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
\bigr\}
,
де величина L(x)p визначена рiвнiстю (1.4).
Лема 4 [11]. Нехай n \in \bfN , A0, p > 0. Для довiльного k = 0, 1, . . .
Tn(A0, p) \subset Sk
\varphi ,
де \varphi (t) = A0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 195
Нехай k \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \mu > 0. Введемо множину пар (T, I) полiномiв T i вiдрiзка I = [\alpha , \beta ]
спiввiдношенням
T\pm
n,k(A0, p, \mu ) :=
\Bigl\{
(T, I) : T \in Tn(A0, p), \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I T
(k)
\pm
\bigr)
\leq \mu
\Bigr\}
. (5.1)
Запишемо число \mu у виглядi
\mu = m
\pi
n
+ 2\Theta , m \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in (0, \pi /(2n)). (5.2)
Виберемо далi числа \tau \pm \in \bfR i вiдрiзок [A,B] так, щоб
B - A = 2m
\pi
n
+ 2\Theta , (5.3)\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
A+\Theta + \tau \pm
\bigr) \bigr)
\pm =
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
B - \Theta + \tau \pm
\bigr) \bigr)
\pm = 1. (5.4)
З теорем 1, 2 i леми 4 випливає таке твердження.
Теорема 4. Нехай A0, p, \mu > 0, \Phi \in W. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (T p
\pm (t))dt :
\bigl(
T, [\alpha , \beta ]
\bigr)
\in T\pm
n,0(A0, p, \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\biggl( \Bigl(
A0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
t+ \tau \pm
\bigr) \Bigr) p
\pm
\biggr)
dt
i для довiльного k \in \bfN
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (T
(k)
\pm (t))dt :
\bigl(
T, [\alpha , \beta ]
\bigr)
\in T\pm
n,k(A0, p, \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\biggl(
nkA0
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
t+ \tau \pm
\bigr) \Bigr)
\pm
\biggr)
dt,
де класи T\pm
n,k(A0, p, \mu ), числа \tau \pm i вiдрiзок [A,B] визначенi в (5.1) – (5.4).
6. Розв’язання задачi Боянова – Найдьонова на просторах сплайнiв. Через Sn,r позна-
чимо простiр 2\pi -перiодичних полiномiальних сплайнiв порядку r дефекту 1 з вузлами в точках
k\pi /n, k \in \bfZ . Для A0, p > 0 покладемо
Sn,r(A0, p) :=
\bigl\{
s(\cdot + \tau ) : s \in Sn,r, L(s)p \leq A0L(\varphi n,r)p, \tau \in \bfR
\bigr\}
,
де величина L(x)p визначена рiвнiстю (1.4).
Лема 5 [11]. Нехай r, n \in \bfN , A0, p > 0. Для довiльного k = 0, 1, . . . , r - 1
Sn,r(A0, p) \subset Sk
\varphi ,
де \varphi (t) = A0\varphi n,r(t).
Нехай r, n \in \bfN , k = 0, 1, . . . , r - 1, \mu > 0. Розглянемо множину пар (s, I) сплайнiв s i
вiдрiзкiв I = [\alpha , \beta ], визначених спiввiдношенням
Sk
n,r(A0, p, \mu )\pm :=
\Bigl\{
(s, I) : s \in Sn,r(A0, p), \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I s
(k)
\pm
\Bigr)
\leq \mu
\Bigr\}
. (6.1)
Запишемо число \mu у виглядi
\mu = m
\pi
n
+ 2\Theta , m \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in
\bigl(
0, \pi /(2n)
\bigr)
. (6.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
196 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Виберемо далi числа \tau \pm \in \bfR i вiдрiзок [A,B] так, щоб
B - A = 2m
\pi
n
+ 2\Theta , (6.3)
(\varphi n,r - k)\pm
\bigl(
A+\Theta + \tau \pm
\bigr)
=
\bigl(
\varphi n,r - k
\bigr)
\pm
\bigl(
B - \Theta + \tau \pm
\bigr)
= \| \varphi n,r - k\| \infty . (6.4)
З теорем 1, 2 i леми 5 випливає таке твердження.
Теорема 5. Нехай r, n \in \bfN , A0, p, \mu > 0, \Phi \in W. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (sp\pm (t))dt :
\bigl(
s, [\alpha , \beta ]
\bigr)
\in S0
n,r(A0, p, \mu )\pm
\right\} =
B\int
A
\Phi
\bigl(
(A0\varphi n,r)
p
\pm (t+ \tau \pm )
\bigr)
dt,
а для довiльного k = 1, 2, . . . , r - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (s
(k)
\pm (t))dt : s \in Sk
n,r(A0, p, \mu )\pm
\right\} =
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
A0(\varphi n,r - k)\pm (t+ \tau \pm )|
\bigr)
dt,
де класи Sk
n,r(A0, p, \mu )\pm , числа \tau \pm i вiдрiзок [A,B] визначенi в (6.1) – (6.4).
7. Розв’язання задачi Ердьоша на просторах тригонометричних полiномiв i сплайнiв.
Б. Боянов i Н. Найдьонов [5] розв’язали задачу Ердьоша [6] про характеризацiю тригонометрич-
ного полiнома T \in Tn з фiксованою рiвномiрною нормою, графiк якого на заданому вiдрiзку
[\alpha , \beta ] \subset \bfR має максимальну довжину.
В наступнiй теоремi розв’язано аналогiчну задачу про характеризацiю пари (T, I), що
складається з полiнома T \in Tn iз заданою рiвномiрною нормою i вiдрiзка I з мiрою носiя
\mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I T
\prime
\pm
\bigr)
, обмеженою заданим числом, для якої пiдсумкова довжина дуг графiка долатної
(вiд’ємної) частини полiнома T на вiдрiзку I є найбiльшою. Ту ж саму задачу розв’язано в цiй
теоремi для сплайнiв з множини
\~Sn,r :=
\bigl\{
s(\cdot + \tau ) : s \in Sn,r, \tau \in \bfR
\bigr\}
.
Як вiдомо, довжина дуги l[a, b] графiка функцiї x \in L1[a, b] задається формулою l[a, b] =
=
\int b
a
\sqrt{}
1 + x\prime (t)2dt. Зрозумiло, що для функцiї \Phi 0(t) =
\surd
1 + t2 має мiсце включення \Phi 0 \in W.
Тому, поклавши \Phi = \Phi 0, k = 1, p = \infty в теоремах 4 i 5, отримаємо таке твердження.
Теорема 6. Нехай n \in \bfN , M, \mu > 0 i \mu має вигляд
\mu = m
\pi
n
+ 2\Theta , m \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \in
\bigl(
0, \pi /(2n)
\bigr)
.
Серед усiх пар (x, I) полiномiв x \in Tn iз заданою рiвномiрною нормою M i вiдрiзкiв I сiм’ї
S :=
\bigl\{
I \subset \bfR : \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}I x
\prime
\pm
\bigr)
\leq \mu
\bigr\}
найбiльшу пiдсумкову довжину дуг графiка додатної (вiд’ємної ) частини x\pm на вiдрiзку I має
полiном x(t) = M \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(t+ \tau \pm ) на вiдрiзку [A,B], для якого
B - A = 2m
\pi
n
+ 2\Theta , (7.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ I ЗАДАЧА ЕРДЬОША. . . 197\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
A+\Theta + \tau \pm
\bigr) \bigr)
\pm =
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\bigl(
B - \Theta + \tau \pm
\bigr) \bigr)
\pm = 1.
Серед усiх пар (x, I) зсувiв сплайнiв x \in \~Sn,r iз заданою рiвномiрною нормою M i вiдрiзкiв I
сiм’ї S найбiльшу пiдсумкову довжину дуг графiка додатної (вiд’ємної ) частини x\pm на вiдрiзку
I має зсув сплайна x(t) =
M
\| \varphi n,r\| \infty
\varphi n,r(t + \tau \pm ) на вiдрiзку [A,B], для якого виконується
рiвнiсть (7.1) i
(\varphi n,r - 1)\pm
\bigl(
A+\Theta + \tau \pm
\bigr)
= (\varphi n,r - 1)\pm
\bigl(
B - \Theta + \tau \pm
\bigr)
= \| \varphi n,r - 1\| \infty .
Лiтература
1. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
2. В. Ф. Бабенко, Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодиче-
ских функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5 – 29 (2000).
3. M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lect. Notes Math., 1536 (1992).
4. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных
на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579 – 589 (2003).
5. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
6. P. Erdös, Open problems in approximation theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapore (1994), p. 238 – 242.
7. В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр.
мат. журн., 66, № 2, 216 – 225 (2014).
8. A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35,
№ 2, 148 – 168 (1982).
9. В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси,
Укр. мат. журн., 61, № 6, 765 – 776 (2009).
10. V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy – Kolmogorov type, East
J. Approx., 16, № 4, 313 – 334 (2010).
11. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
12. В. А. Кофанов, Задача Боянова – Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую
производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368 – 381 (2019).
13. В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими
производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 1062 – 1075 (2012).
14. В. А. Кофанов, Задача Боянова – Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных
метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786 – 800 (2019).
15. V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230 – 242
(2015).
16. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка,
Киев (1992).
17. V. V. Kameneva, V. A. Kofanov, Bojanov – Naidenov problem for positive (negative) parts of differentiable functions
on the real domain, Res. Math., 26, 25 – 30 (2018).
Одержано 13.07.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7259 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:06Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/1102b608f97fa0028b3702054c760f05.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72592023-03-06T14:27:01Z Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines Задача Боянова–Найдьонова для диференційовних функцій і задача Ердьоша для поліномів та сплайнів Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Задача Боянова-Найдьонова, задача Ердьоша, поліноми, сплайни Bojanov-Naidenov problem, Erd\ UDC 517.5 We solve the extremal problem&nbsp;$$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p &gt; 0 ,$$&nbsp;in the class of pairs $(x, I)$ of functions $x\in S^k_{\varphi}$ such&nbsp;that $ \varphi^{(i)} $ are the comparison functions for&nbsp; $ x^{(i)},$&nbsp;$i=0, 1,\ldots ,k,$ and the intervals $I = [a,b]$ satisfy the conditions $$L(x)_p \le A,\quad \mu \big\{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\big\} \le \mu ,$$&nbsp;where&nbsp;$L(x)_p:=\sup \left\{\left( \displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\!\frac1p}\colon&nbsp; a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|&gt;0,\ t\in (a, b) \right\}.$&nbsp;In particular, we solve the same problems on the classes&nbsp;$W^r_\infty({\rm \bf R})$ and on the bounded sets of spaces of&nbsp;trigonometric polynomials and splines and the Erd\"{o}s problem for&nbsp;the positive (negative) parts of polynomials and splines. УДК 517.5 Розв'язано екстремальну задачу&nbsp;$$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad&nbsp;k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p &gt; 0 ,$$&nbsp;на класi пар $(x, I)$ функцiй&nbsp; $x\in S^k_{\varphi},$ похiднi яких $x^{(i)},$ $i=0, 1,\ldots ,k,$ мають&nbsp; функцiями порiвняння вiдповiднi&nbsp;похiднi $ \varphi^{(i)},$ та інтервалів $I = [a,b],$ які&nbsp;задовольняють умови&nbsp;$$L(x)_p \le A,\quad &nbsp; \mu \{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\} \le \mu ,$$&nbsp;де&nbsp;$L(x)_p:=\sup \left\{\left(&nbsp;\displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\frac1p}\colon a, b \in {\rm \bf R},\;|x(t)|&gt;0,\;t\in (a, b) \right\}.$&nbsp;Як наслiдок розв'язано такi ж задачі на класах $W^r_\infty({\rm\bf R})$ i на обмежених множинах просторів тригонометричних полiномiв i&nbsp;сплайнiв та задачу Ердьоша для додатних (вiд'ємних) частин полiномiв&nbsp;і сплайнiв.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-03-02 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7259 10.37863/umzh.v75i2.7259 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 2 (2023); 182 - 197 Український математичний журнал; Том 75 № 2 (2023); 182 - 197 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7259/9363 Copyright (c) 2023 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title | Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title_alt | Задача Боянова–Найдьонова для диференційовних функцій і задача Ердьоша для поліномів та сплайнів |
| title_full | Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title_fullStr | Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title_full_unstemmed | Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title_short | Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines |
| title_sort | bojanov–naidenov problem for differentiable functions and the erdös problem for polynomials and splines |
| topic_facet | Задача Боянова-Найдьонова задача Ердьоша поліноми сплайни Bojanov-Naidenov problem Erd\ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7259 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovv bojanovnaidenovproblemfordifferentiablefunctionsandtheerdosproblemforpolynomialsandsplines AT kofanovvladimiraleksandrovič bojanovnaidenovproblemfordifferentiablefunctionsandtheerdosproblemforpolynomialsandsplines AT kofanovvolodimir bojanovnaidenovproblemfordifferentiablefunctionsandtheerdosproblemforpolynomialsandsplines AT kofanovv zadačaboânovanajdʹonovadlâdiferencíjovnihfunkcíjízadačaerdʹošadlâpolínomívtasplajnív AT kofanovvladimiraleksandrovič zadačaboânovanajdʹonovadlâdiferencíjovnihfunkcíjízadačaerdʹošadlâpolínomívtasplajnív AT kofanovvolodimir zadačaboânovanajdʹonovadlâdiferencíjovnihfunkcíjízadačaerdʹošadlâpolínomívtasplajnív |