Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices
UDC 517.9 We find periodic solutions of the Coulomb equations of motion for three equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at the  vertices of a octahedron.  The system possesses an equilibrium configuration.&n...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7263 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512646231490560 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник, Володимир |
| author_facet | Skrypnik, W. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник, Володимир |
| author_sort | Skrypnik, W. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-06T14:27:02Z |
| description | UDC 517.9
We find periodic solutions of the Coulomb equations of motion for three equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at the  vertices of a octahedron.  The system possesses an equilibrium configuration.  The center Lyapunov  theorem is applied. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i2.7263 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i2.7263
УДК 517.9
Володимир Скрипник1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА
ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ
У ПОЛI ШIСТЬОХ РIВНИХ ПОЗИТИВНИХ ЗАРЯДIВ,
ЗАФIКСОВАНИХ У ВЕРШИНАХ ОКТАЕДРА2
We find periodic solutions of the Coulomb equations of motion for three equal negative point charges in the field of six
equal positive point charges fixed at the vertices of a octahedron. The system possesses an equilibrium configuration. The
center Lyapunov theorem is applied.
Знайдено перiодичнi розв’язки d-вимiрних (d = 1, 2, 3) рiвнянь руху Кулона трьох однакових негативних точкових
зарядiв у полi шiстьох однакових позитивних точкових зарядiв, зафiксованих у вершинах октаедра. Цi системи
мають рiвноважний стан. Перiодичнi розв’язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова.
1. Вступ. Механiчнi системи d -вимiрних систем N частинок (тiл, точкових зарядiв) з маса-
ми mj , j = 1, . . . , N, i координатами xj = (x1j , x
2
j , . . . , x
d
j ) характеризуються рiвнянням руху
(динамiкою)
mj
d2xj
dt2
= -
\partial U(x(N))
\partial xj
, j = 1, . . . , N, x(N) = (x1, . . . , xN ) \in \BbbR dN , xj = (x1j , . . . , x
d
j ),
(1.1)
i потенцiальною енергiєю U(x(N)), яка є сингулярною на множинi зiткнень xj = xk, j \not = k, та
дiйсною аналiтичною функцiєю на множинi регулярностi.
Mи розглядаємо просторову динамiку Кулона у просторi \BbbR 3 трьох однакових негативних
зарядiв - e0 < 0 з координатами x1, x2, x3 у полi шiстьох однакових позитивних зарядiв e\prime > 0,
зафiксованих у вершинах октаедра bj , 1 \leq j \leq 6, bj = (b1j , b
2
j , b
3
j ) \in \BbbR 3 :
b1 = (a, b, 0), b2 = (a, - b, 0), b3 = ( - a, b, 0), b4 = ( - a, - b, 0),
b5 = (0, 0,
\sqrt{}
3a2 + b2), b6 = (0, 0, -
\sqrt{}
3a2 + b2), a, b > 0,
з потенцiальною енергiєю
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- e0e
\prime
3\sum
j=1
6\sum
k=1
| xj - bk| - 1, (1.2)
де
| xj | 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2 + (x3j )
2,
1 E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net.
2 Виконано за часткової пiдтримки за проєктом „Iнновацiйнi методи в теорiї диференцiальних рiвнянь, обчислю-
вальнiй математицi та математичному моделюваннi” (номер державної реєстрацiї 0122U000670) в рамках програми
„Пiдтримка прiоритетних для держави наукових дослiджень i науково-технiчних (експериментальних) розробок
Вiддiлення математики НАН України на 2022 – 2023 рр.”.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР СКРИПНИК, 2023
230 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 231
i знаходимо перiодичнi розв’язки рiвняння (1.1), спершу знайшовши рiвновагу для U.
Динамiчна система (1.1), (1.2) має два iнварiантних многовиди x3j = 0, j = 1, 2, 3, i x2j = 0,
x3j = 0, j = 1, 2, 3 (лiнiйний i площинний). Асоцiйованi з ними механiчнi системи визначаються
потенцiальною енергiєю U, звуженою на них.
Рiвновага для U дає змогу знайти перiодичнi розв’язки лiнiйного, площинного та просто-
рового рiвняння руху Кулона (1.1), (1.2). Ранiше автором було знайдено перiодичнi й квазi-
перiодичнi розв’язки рiвнянь руху Кулона двох та трьох негативних однакових зарядiв у полi
двох однакових позитивних зарядiв [1 – 4]. Перiодичнi розв’язки було знайдено в системах двох
негативних однакових зарядiв у полi зафiксованих чотирьох та шiстьох однакових позитивних
зарядiв вiдповiдно в [5] i [6], а також в системi трьох негативних однакових зарядiв у полi
зафiксованих шiстьох та чотирьох однакових позитивних зарядiв на площинi вiдповiдно в [7] i
[16].
Зазначенi результати були отриманi так само, як i у цiй статтi, завдяки тому, що для симет-
ричної матрицi U0 частинних других похiдних потенцiальної енергiї у рiвновазi було знайдено
в явному виглядi власнi значення, серед яких були додатнi, що породжують перiодичнi чи
квазiперiодичнi розв’язки. Iснування перiодичних розв’язкiв випливає з центральної теореми
Ляпунова [5 – 9], якщо немає нульoвих та вироджених власних значень U0. При цьому потен-
цiальна енергiя повинна бути дiйсною аналiтичною функцiєю в околi рiвноваги. Саме такою є
кулонiвська потенцiальна енергiя.
Iснування квазiперiодичних розв’язкiв було доведено автором у випадку наявностi нульо-
вого власного значення U0 за допомогою методу небесної механiки вилучення вузла [8] та
центральної теореми Ляпунова [8 – 12]. При цьому враховувалось, що нульове власне значення
є наслiдком обертальної iнварiантностi системи. Площинна i просторова системи у цiй статтi
не мають обертальної iнварiантностi, а також нульового власного значення U0.
Виникає питання: чи можливо довести iснування перiодичних розв’язкiв у кулонiвських
системах, коли немає рiвноваги? В статтi [13] автор дав ствердну вiдповiдь на це питання,
довiвши їх iснування у нейтральнiй системi n однакових негативних зарядiв у полi n однакових
позитивних зарядiв. Метод доведення цього результату ґрунтується на узагальненнi методу
мажорант Зiгеля [14], що застосовувався ним для знаходження розв’язкiв задачi трьох тiл
небесної механiки.
Центральна теорема Ляпунова має справу з системами Гамiльтона, рiвновага яких збiгається
з початком координат, i формулюється так.
Теорема 1.1. Нехай n-вимiрна гамiльтонова система визначається дiйсним аналiтичним
гамiльтонiаном, розклад Тейлора якого збiгається абсолютно та рiвномiрно в околi початку
координат i починається з квадратичних доданкiв. Нехай також \lambda 1, . . . , \lambda 2n — власнi значення
матрицi, що визначає лiнiйну частину гамiльтонового векторного поля, такi що \lambda s, s =
= 1, . . . , k, є уявними i нерезонансними: \lambda j \not = n\prime \lambda s, s = 1, . . . , k, j = 1, . . . , 2n, j \not = s, де n\prime
— довiльне цiле число. Тодi рiвняння Гамiльтона допуcкає iснування k перiодичних розв’язкiв,
таких що кожен з них залежить вiд дiйсного параметра cj для деякого j = 1, . . . , k. Цi
розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), . . . , \tau k(ck) є дiйсними аналiтичними функцiями цих параметрiв
в околi нуля й \tau j(0) =
2\pi
| \lambda j |
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
232 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
Вiдомо [15], що для (1.1) з mj = m власнi значення з теореми 1.1 збiгаються з \lambda j =
= \pm
\sqrt{}
- m - 1\sigma j , j = 1, . . . , dN, де \sigma j — власнi значення U0. Таким чином, iснування перiодич-
них розв’язкiв рiвняння (1.1) можна отримати з теореми 1.1, що ми i робимо в цiй статтi.
Результати цiєї статтi, як i попереднiх, можуть бути використанi в теорiї плазми та квантових
моделей iонiзованих молекул у наближеннi Борна – Оппенгеймера, в якому нерухомi позитивнi
та рiвнi негативнi заряди асоцiюються вiдповiдно з важкими ядрами та легкими електронами.
Статтю побудовано таким чином. У другому, третьому та четвертому пунктах знайдено
перiодичнi розв’язки вiдповiдно в лiнiйних, площинних та просторових системах, першi двi з
яких є iнварiантними многовидами останньої. Отриманi результати сформульовано як теореми
в кiнцi кожного з пунктiв.
2. Лiнiйна динамiка Кулона. Ми розглядаємо динамiку на першiй координатнiй прямiй
трьох однакових негативних зарядiв - e0 < 0 в полi шiстьох однакових позитивних зарядiв
e\prime > 0, зафiксованих у вершинах октаедра з першими координатами \pm a, другими \pm b та тре-
тiми \pm
\surd
3a2 + b2, a, b > 0. Площиннi вершини належать прямокутнику, який симетрично
розташований на площинi щодо двох координатних осей. Три негативнi точковi заряди руха-
ються вздовж першої координатної прямої, яка є iнварiантним многовидом x2j = 0, x3j = 0,
j = 1, 2, 3, просторової динамiки.
Потенцiальна енергiя цiєї системи збiгається з потенцiальною енергiєю (1.2), звуженою на
цей iнварiантний многовид, i визначається за формулою
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- 2e0e
\prime
3\sum
j=1
\bigl[ \bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) - 1
+
\bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\bigr) - 1
+
+
\bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\bigr) - 1\bigr]
, xj \in \BbbR . (2.1)
Рiвноважнi рiвняння мають вигляд
\partial
\partial xj
U(x(3)) = 0, j = 1, 2, 3. Пiдставимо рiвностi
\partial
\partial x1
| x1 - x2| - k = - k
x1 - x2
| x1 - x2| k+2
,
\partial
\partial x1
\bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\bigr) - k
= - k
x1 - a\bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\bigr) k+2
в них при k = 1. Отже,
\partial
\partial xj
U(x(3)) = - e20
3\sum
j \not =k,k=1
xj - xk
| xj - xk| 3
+ 2e0e
\prime
\Biggl[
xj - a\bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\bigr) 3 +
xj + a\bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\bigr) 3 +
+
xj\bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\bigr) 3
\Biggr]
.
В результатi отримаємо рiвноважне спiввiдношення для рiвноваги x0, x1 = x01 = - a, x2 =
= x02 = 0, x3 = x03 = a з цiєї рiвностi при j = 1, 2:
e20
(2a)2
+
e20
a2
=
3e\prime (2a)e0\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 , 5e0
(2a)3
=
3e\prime \bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 233
Рiвнiсть
\partial
\partial x2
U(x(3)) = 0 є правильною, тому що | x02 - x01| = | x03 - x02| , x01 = - x03, x
0
2 = 0.
Тепер необхiдно знайти матрицю U0 других частинних похiдних потенцiальної енергiї в
рiвновазi. Її недiагональнi елементи рiвнi:
\partial 2U(x(3))
\partial xl\partial xj
=
\partial 2U(x(3))
\partial xj\partial xl
= - 2e20| xj - xl| - 3.
Нехай U0
j,l — функцiя в рiвновазi. Тодi
U0
1,3 = U0
3,1 = - e20
4a3
= - u\prime , U0
1,2 = U0
2,1 = U0
2,3 = U0
3,2 = - 8u\prime .
Далi, друга похiдна визначається за формулою
\partial 2
\partial x2j
U(x(2)) =
3\sum
j \not =k,k=1
2e20
| xj - xk| 3
+ 2e0e
\prime
\Biggl[
1
(
\sqrt{}
(xj - a)2 + b2)3
- 3(xj - a)2
(
\sqrt{}
(xj - a)2 + b2)5
+
+
1
(
\sqrt{}
(xj + a)2 + b2)3
- 3(xj + a)2
(
\sqrt{}
(xj + a)2 + b2)5
+
1
(
\sqrt{}
x2j + 3a2 + b2)3
-
3x2j
(
\sqrt{}
x2j + 3a2 + b2)5
\Biggr]
.
Нехай U0
j,l — функцiя в рiвновазi. Тодi
U0
1,1 = U0
3,3 =
9e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\Biggl[
b - 3 +
2
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
- 15a2
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)5
\Biggr]
,
U0
2,2 =
16e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\biggl[
2
(
\surd
a2 + b2)3
- 6a2
(
\surd
a2 + b2)5
+
1
(
\surd
3a2 + b2)3
\biggr]
.
З рiвноважного спiввiдношення випливає, що\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 1
3 1
2a
=
1\sqrt{}
(2a)2 + b2
, 2a = (1 - \eta ) -
1
2
\surd
\eta b, \eta =
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 2
3
< 1. (2.2)
Наслiдком (2.2) є дев’ять додаткових спiввiдношень рiвноваги:
a2 + b2 = a2[4(\eta - 1 - 1) + 1] = a2\eta - 1(4 - 3\eta ),
3a2 + b2 = a2[4(\eta - 1 - 1) + 3] = a2\eta - 1(4 - \eta ),
2e0e
\prime b - 3 = 5
2
3
(2a) - 3e20(1 - \eta ) -
3
2 =
5u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 ,
4e0e
\prime
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
= 4e0e
\prime 5e0
3e\prime
\biggl(
1
2a
\biggr) 3
=
10u\prime
3
,
30e0e
\prime a2
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)5
= 4 - 1 \cdot 30e0e\prime
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 5
3
(2a) - 3 =
25u\prime
4
\eta ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
234 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
6e0e
\prime b2((2a)2 + b2) -
5
2 = 6e0e
\prime (2a)2(1 - \eta )\eta - 1
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
= 5u\prime (1 - \eta ),
4e0e
\prime
(
\surd
a2 + b2)3
= 4e0e
\prime a - 3\eta
3
2 (4 - 3\eta ) -
3
2 =
80
3
u\prime (4 - 3\eta ) -
3
2 ,
12e0e
\prime a2
(
\surd
a2 + b2)5
= 12e0e
\prime a - 3\eta
5
2 (4 - 3\eta ) -
5
2 = 80u\prime \eta (4 - 3\eta ) -
5
2 ,
2e0e
\prime
(
\surd
3a2 + b2)3
= 2e0e
\prime a - 3\eta
3
2 (4 - \eta ) -
3
2 =
40
3
u\prime (4 - \eta ) -
3
2 .
Цi спiввiдношення дозволяють записати дiагональнi елементи U0 у простому виглядi у термiнах
u\prime та \eta :
U0
1,1 = U0
3,3 = u\prime v, v =
37
3
+
5
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 25
4
\eta ,
U2,2 = u\prime g = u\prime
\biggl[
16 +
80
3
(4 - 3\eta ) -
3
2 - 80\eta (4 - 3\eta ) -
5
2 +
40
3
\eta (4 - \eta ) -
3
2
\biggr]
=
= u\prime
\biggl[
16 +
80
3
(4 - 3\eta ) -
5
2 (4 - 3\eta - 3\eta ) +
40
3
\eta (4 - \eta ) -
3
2
\biggr]
,
g = 3 - 1 \cdot 8
\bigl[
6 + 20(2 - 3\eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 + 5\eta (4 - \eta ) -
3
2
\bigr]
.
Нехай U0 — матриця з елементами U0
j,l, j, l = 1, 2, 3. Тодi
U0 = u\prime U \prime
1, U \prime
1 =
\left( v - 8 - 1
- 8 g - 8
- 1 - 8 v
\right) = - 2U\ast 1 + (v + 1)I,
U\ast (g1) = U\ast 1 = 2 - 1
\left( 1 8 1
8 2g1 8
1 8 1
\right) , 2g1 = - g + v + 1,
де I — одинична матриця. U\ast 1 має однаковi перший та третiй рядки, а це означає, що \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}U\ast 1 =
= 0. Це дозволяє знайти коренi характеристичних полiномiв p\ast 1 i p\prime 1 вiдповiдно матриць U\ast 1 i
U \prime
1 за допомогою формули
p\ast (\lambda , q) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} (\lambda I - U\ast (q)) = [\lambda 2 - (q + 1)\lambda + q - 32]\lambda .
Щоб довести цю рiвнiсть, вiднiмемо третiй рядок - U\ast (q) + \lambda I вiд першого. Детермiнант при
цьому не змiниться:\left( \lambda - 2 - 1 - 4 2 - 1
- 4 \lambda - q - 4
- 2 - 1 - 4 \lambda - 2 - 1
\right) \rightarrow
\left( \lambda 0 - \lambda
- 4 \lambda - q - 4
- 2 - 1 - 4 \lambda - 2 - 1
\right) .
Пiсля цього розкладемо детермiнант останньої матрицi за елементами першого рядка:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 235
p\ast (\lambda , q) = \lambda [(\lambda - q)(\lambda - 2 - 1) - 16 - 16 - 2 - 1(\lambda - q)] = \lambda [(\lambda - q)(\lambda - 1) - 32].
Коренi p\ast (q) визначено так:
2\lambda = q + 1\pm
\sqrt{}
(q - 1)2 + 128, \lambda = 0.
Коренi p\prime 1 матрицi U \prime
1 мають вигляд
p\prime 1(\lambda ) = - 23p\ast
\biggl(
- \lambda
2
+
v + 1
2
, g1
\biggr)
,
\lambda = v - g1 \pm
\sqrt{}
(g1 - 1)2 + 128, \lambda = v + 1 = \zeta \prime 1.
Нехай \zeta \prime 2, \zeta
\prime
3 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня:
\zeta \prime 2 =
g + v - 1
2
+
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 ,
\zeta \prime 3 =
g + v - 1
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 .
Далi будемо використовувати \eta < 1.
Твердження 2.1. Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то немає резонансу по \zeta \prime 2 i квадратичного резонансу
по \zeta \prime 1, тобто \zeta \prime s\zeta
\prime - 1
1 \not = k2, s = 2, 3, де k — цiле число.
Доведення. Маємо
g \geq 3 - 1 \cdot 8
\biggl(
6 +
20
32
\biggr)
= 16 + 3 - 1 \cdot 5 = 17
2
3
,
v <
37
3
+
5
3
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
= 12
1
3
+ 3 - 1 \cdot 10
\biggl(
27
32
\biggr) 1
2
= 15
2
3
.
Це приводить до \zeta \prime 2 > g > v + 2 > \zeta \prime 1 + 1 та вiдсутностi резонансу по \zeta 2. При цьому ми
використали нерiвнiсть \sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 \geq g - v + 1
2
.
Далi,
v >
37
3
+
5
3
- 25
12
=
37
3
- 5
12
> 11,
g < 3 - 1 \cdot 8[6 + 3 -
5
2 \cdot 40 + 3 -
5
2 \cdot 5] =
= 16 + 3 -
7
2 \cdot 320 + 3 -
7
2 \cdot 40 < 16 +
320
45
+
8
9
= 16 +
64
9
+
8
9
= 24.
Тут враховано, що
5
3
<
\surd
3. З нерiвностей v - g + 13 > 0 та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
236 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
v > g \rightarrow
\biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
= 4 - 1(v - g + 13)2 - 7(v - g + 13) + 49 < 4 - 1(v - g + 13)2 + 49 \rightarrow
\rightarrow
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 < 2 - 1(v - g + 13) + 14 \rightarrow \zeta \prime 2 < \zeta \prime 1 + 19
випливає, що
v >
16
3
\rightarrow \zeta \prime 1 >
19
3
\rightarrow \zeta \prime 2
\zeta \prime 1
< 1 +
19
\zeta \prime 1
< 4.
Крiм того,
\zeta \prime 3 - \zeta \prime 1 =
g - v - 3
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128.
Оскiльки g > v, то
\zeta \prime 3 - \zeta \prime 1 <
g - v - 3
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
+ 128 <
g - v - 3
2
-
\sqrt{} \biggl(
g - v + 1
2
\biggr) 2
< - 2
i
\zeta \prime 3
\zeta \prime 1
< 1, \zeta \prime 1 \not = \zeta \prime 3.
Твердження доведено.
Порядок зарядiв на прямiй зберiгається завдяки необмеженому вiдштовхуванню мiж ними,
тому ми можемо замiнити потенцiал | xj - xk| - 1 на дiйсну аналiтичну функцiю (xj - xk)
- 1 в
околi рiвноваги.
З того, що власнi значення U0 рiвнi, \zeta j = u\prime \zeta \prime j , i з центральної теореми Ляпунова [5 – 7]
випливає така теорема.
Теорема 2.1. Нехай \eta =
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 2
3
\leq 1
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 1, N = 3,
m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (2.1) має рiвновагу x01 = - a, x02 = 0, x03 = a > 0 i
два перiодичних розв’язки, кожен з яких залежить вiд дiйсного параметра cj при j = 1, 2. Цi
розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсними аналiтичними функцiями цих параметрiв в
околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\zeta j)
- 1.
3. Площинна динамiка Кулона. У цьому пунктi розглядаємо динамiку у просторi \BbbR 2
трьох однакових негативних зарядiв - e0 < 0 в полi шiстьох однакових позитивних зарядiв e\prime >
> 0, зафiксованих у вершинах октаедра з „площинними” координатами вершин прямокутника
bj , 1 \leq j \leq 4, bj = (b1j , b
2
j ) \in \BbbR 2, й „ортогональними” вершинами b5, b6 \in \BbbR 3 (див. вступ).
Потенцiальна енергiя цiєї системи збiгається з потенцiальною енергiєю (1.2), звуженою на
iнварiантний многовид x3j = 0, j = 1, 2, 3, просторової динамiки, i визначається за формулою
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- e0e
\prime
3\sum
j=1
4\sum
k=1
| xj - bk| - 1 - 2e0e
\prime
3\sum
j=1
(| xj | 2 + 3a2 + b2) -
1
2 , (3.1)
де
xj = (x1j , x
2
j ) \in \BbbR 2, | xj | 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2, ej = - e0 < 0.
Частиннi похiднi потенцiальної енергiї U визначено таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 237
\partial
\partial x\alpha j
U(x(3)) = - e20
3\sum
j \not =k,k=1
x\alpha j - x\alpha k
| xj - xk| 3
+ e0e
\prime
\Biggl[
4\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| xj - bk| 3
+
2x\alpha j
(
\sqrt{}
| xj | 2 + 3a2 + b2)3
\Biggr]
. (3.2)
Рiвновагу визначено так: x11 = x011 = - a, x12 = x012 = 0, x13 = x013 = a, x\alpha j = x0\alpha j = 0, \alpha = 2. Це
приводить до рiвноважного спiввiдношення мiж e0, e
\prime , a, b, такого, як у попередньому пунктi.
Прирiвнюючи до нуля правi частини цих рiвностей при j = 1, 3 (результат той самий) i беручи
до уваги рiвнiсть x011 - x013 = - 2a, отримуємо
| x03 - b1| 2 = | x03 - b2| 2 = b2, | x03 - b3| 2 = | x03 - b4| 2 = (2a)2 + b2,
| x01 - b1| 2 = | x01 - b2| 2 = (2a)2 + b2, | x01 - b3| 2 = | x01 - b4| 2 = b2,
| x02 - bj | 2 = a2 + b2, j = 1, 2, 3, 4,
i
4\sum
k=1
x011 - b1k
| x01 - bk| 3
+ 2x011 (| x01| 2 + 3a2 + b2) -
3
2 = - 6a
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
,
4\sum
k=1
x021 - b2k
| x01 - bk| 3
= -
4\sum
k=1
b2k
| x01 - bk| 3
= 0.
Права частина (3.2) є нулем для \alpha = 2 та j = 2, тому що | x02 - x01| = | x03 - x02| , x011 = - x013 ,
x02 = 0 i
4\sum
k=1
b\alpha k = 0, \alpha = 1, 2.
Рiвноважнi спiввiдношення мають вигляд
e20
(2a)2
+
e20
a2
=
3e\prime (2a)e0
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
,
5e0
(2a)3
=
3e\prime
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
.
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї (3.1) визначаються таким чином:
\partial 2U(x(3))
\partial x\alpha j \partial x
\beta
k
=
\partial 2U(x(3))
\partial x\beta k\partial x
\alpha
j
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
- 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2, j \not = k,
i
\partial 2U(x(3))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
= e20
3\sum
k=1,k \not =j
\Biggl[
-
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
+ 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
+2e0e
\prime \delta \alpha ,\beta (| xj | 2 + 3a2 + b2) -
3
2 +
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
\Biggr]
- 6e0e
\prime x\alpha j x
\beta
j (| xj |
2 + 3a2 + b2) -
5
2 .
Знайдемо рiвноважнi значення усiх виразiв в цих рiвностях. Нехай \eta , u\prime — тi ж самi, що i в
попередньому пунктi. Тодi отримуємо рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
238 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
e20
3\sum
k=1,k \not =j
1
| x0j - x0k| 3
=
= e20((2a)
- 3 + a - 3)(1 - \delta j,2) + 2a - 3\delta j,2 =
9u\prime
2
(1 - \delta j,2) + 8u\prime \delta j,2, j = 1, 2, 3, (3.3)
e0e
\prime
4\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x0j - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta 2e0e
\prime (b - 3 + ((2a)2 + b2) -
3
2 ) =
=
5
3
\delta \alpha ,\beta u
\prime [(1 - \eta ) -
3
2 + 1], j = 1, 3, (3.4)
e0e
\prime
4\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x02 - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta e0e
\prime 4(a2 + b2) -
3
2 = \delta \alpha ,\beta
80
3
u\prime (4 - 3\eta ) -
3
2 , (3.5)
2e0e
\prime \delta \alpha ,\beta (| x0j | 2 + 3a2 + b2) -
3
2 = \delta \alpha ,\beta
\biggl[
(1 - \delta j,2)
5u\prime
3
+ \delta j,2
40
3
(4 - \eta ) -
3
2
\biggr]
, (3.6)
6e0e
\prime x0\alpha j x0\beta j (| x0j | 2 + 3a2 + b2) -
5
2 = 6e0e
\prime a2\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1(1 - \delta j,2)((2a)
2 + b2) -
5
2 =
= \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1(1 - \delta j,2)
5u\prime
4
\eta , (3.7)
якi випливають з (2.2) i додаткових спiввiдношень рiвноваги.
Нехай
Tj(\alpha , \beta ) =
4\sum
k=1
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
.
Крiм того, нехай також T 0
j (\alpha , \beta ) — рiвноважне значення Tj(\alpha , \beta ). Встановимо рiвностi
T 0
j (\alpha , \beta ) = \delta \alpha ,\beta [8a
2((2a)2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,1 + 2b2(b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2 )\delta \alpha ,2], j = 1, 3, (3.8)
T 0
2 (\alpha , \beta ) = 4(a2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,\beta (a
2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2), (3.9)
використавши формули
T 0
3 (1, 2) = - [b - 5((a - b11)b
2
1 + (a - b12)b
2
2) + ((2a)2 + b2) -
5
2 ((a - b13)b
2
3 + (a - b14)b
2
4)] = 0,
T 0
1 (1, 2) = - [((2a)2 + b2) -
5
2 (( - a - b11)b
2
1 + ( - a - b12)b
2
2) +
+ b - 5(( - a - b13)b
2
3 + ( - a - b14)b
2
4)] = 0,
T 0
3 (1, 1) = b - 5[(a - b11)
2 + (a - b12)
2] + ((2a)2 + b2) -
5
2 [(a - b13)
2 + (a - b14)
2] =
= 8a2((2a)2 + b2) -
5
2 ,
T 0
1 (1, 1) = ((2a)2 + b2) -
5
2 [( - a - b11)
2 + ( - a - b12)
2] + b - 3[( - a - b13)
2 +
+ ( - a - b14)
2] = 8a2((2a)2 + b2) -
5
2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 239
T 0
j (2, 2) =
4\sum
k=1
(b2k)
2
| x0j - bk| 5
, j = 1, 3, T 0
1 (2, 2) = T 0
3 (2, 2) = 2b2[b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2 ],
T 0
2 (\alpha , \beta ) =
4\sum
k=1
b\alpha k b
\beta
k
| x02 - bk| 5
= (a2 + b2) -
5
2
4\sum
k=1
b\alpha k b
\beta
k = 4(a2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,\beta (a
2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2).
Рiвностi (3.8), (3.9) встановлено. Беручи до уваги спiввiдношення
e20
3\sum
k=1,k \not =j
(x0\alpha j - x0\alpha k )(x0\beta j - x0\beta k )
| x0j - x0k| 5
= e20(a
- 3 + (2a) - 3)\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 =
9u\prime
2
\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1, j = 1, 3,
з (3.3), (3.4) i (3.6) – (3.8) отримуємо
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
3,\alpha ;3,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast ),
де
v\prime =
1
3
\biggl[
5(1 - \eta ) -
3
2 - 7
2
\biggr]
,
u\prime u\prime \ast +
27u\prime
2
= 6e0e
\prime (2a)2((2a)2 + b2) -
5
2 +
5\eta
4
u\prime , u\prime \ast =
25\eta
4
- 27
2
,
u\prime u\prime \prime \ast = 6e0e
\prime b2(b - 5 + ((2a)2 + b2) -
5
2 ), u\prime \prime \ast = 5[1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2 ].
Тут ми врахували (2.2) i додатковi спiввiдношення рiвноваги (третє, пяте та шосте).
З рiвностi
e20
3\sum
k=1,k \not =2
(x0\alpha 2 - x0\alpha k )(x0\beta 2 - x0\beta k )
| x02 - x0k| 5
= e202a
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 = 8u\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1,
(3.3), (3.5), (3.6) i (3.9) випливає, що
U0
2,\alpha ;2,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v1 - u1\delta \alpha ,1 - \delta \alpha ,2u
\prime
1),
де
v1 = - 8 +
40
3
[2(4 - 3\eta ) -
3
2 + (4 - \eta ) -
3
2 ],
u\prime u1 = 3e0e
\prime 4a2(a2 + b2) -
5
2 - 24u\prime , u1 = 80\eta (4 - 3\eta ) -
5
2 - 24,
u\prime u\prime 1 = 3e0e
\prime 4b2(a2 + b2) -
5
2 , u\prime 1 = 320[(1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 ].
Тут ми використали (2.2), додатковi спiввiдношення рiвноваги з попереднього пункту i
e0e
\prime (a2 + b2) -
5
2 b2 = e0e
\prime a - 5\eta
3
2 (1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 (2a)2 =
80
3
u\prime (1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 .
Крiм того, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
240 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
e20
(x0\alpha 2 - x0\alpha k )(x0\beta 2 - x0\beta k )
| x02 - x0k| 5
= e20
x0\alpha k x0\beta k
a5
= e20a
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 = 4u\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1, k = 1, 3,
e20
(x0\alpha 1 - x0\alpha 3 )(x0\beta 1 - x0\beta 3 )
| x01 - x03| 5
= e20(2a)
- 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1 =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1,
1
| x01 - x02| 3
=
1
| x02 - x03| 3
= a - 3,
1
| x01 - x03| 3
= (2a) - 3.
З цих чотирьох рiвностей одержуємо
U0
1,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1),
U0
2,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta = U0
1,\alpha ;2,\beta = 4u\prime \delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
Тепер визначимо двi тривимiрнi матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k
i перенумеруємо iндекси координат таким чином:
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (3, 1) = 3, (1, 2) = 4, (2, 2) = 5, (3, 2) = 6,
де перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми i верхнiми iндексами
координат. Це дає
U0 = U0
1 \oplus U0
2 .
Елементи симетричної матрицi U0
2 знаходяться зi спiввiдношень
U0
1;1,1 = U0
1,1;1,1 = U0
1;3,3 = U0
3,1;3,1 = u\prime (v\prime - u\prime \ast ), U0
1;2,2 = U0
2,1;2,1 = u\prime (v1 - u1),
U0
1;2,1 = U0
1;1,2 = U0
1,1;2,1 = - 8u\prime , U0
1;3,1 = U0
1;1,3 = U0
1,1;3,1 = - u\prime ,
U0
1;3,2 = U0
1;2,3 = U0
1,1;3,1 = - 8u\prime ,
U0
2;1,1 = U0
1,2;1,2 = U0
2;3,3 = U0
3,2;3,2 = u\prime (v\prime - u\prime \prime \ast ) = - u\prime u\prime \prime +
u\prime
2
,
U0
2;2,2 = U0
2,2;2,2 = u\prime (v1 - u\prime 1) = u\prime g\prime ,
U0
2;2,1 = U0
2;1,2 = U0
1,2;2,2 = 4u\prime , U0
2;3,1 = U0
2;1,3 = U0
1,2;3,2 =
u\prime
2
,
U0
2;3,2 = U0
2;2,3 = U0
2,2;3,2 = 4u\prime .
Параметри цих матриць мають вигляд
u\prime (v\prime - u\prime \ast ) =
5u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 7u\prime
6
- 25u\prime
4
\eta +
27u\prime
2
= u\prime v,
u\prime (v1 - u1) = - 8u\prime + 24u\prime +
40
3
u\prime [2(4 - 3\eta ) -
3
2 + (4 - \eta ) -
3
2 ] - 80u\prime \eta (4 - 3\eta ) -
5
2 = u\prime g,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 241
- u\prime \prime u\prime = v\prime u\prime - u\prime u\prime \prime \ast -
u\prime
2
= u\prime
\biggl[
1
3
5(1 - \eta ) -
3
2 - 7
2
\biggr]
- 5u\prime [1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2 ] - u\prime
2
,
u\prime \prime = 9 - 5\eta +
10
3
(1 - \eta ) -
3
2 , u\prime \prime > 7,
u\prime g\prime = u\prime (v1 - u\prime 1),
g\prime = - 8 +
40
3
[2(4 - 3\eta ) -
3
2 + (4 - \eta ) -
3
2 ] - 320[(1 - \eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 ] =
= - 8 +
40
3
(4 - \eta ) -
3
2 +
80
3
(4 - 3\eta ) -
5
2 [4 - 3\eta - 12(1 - \eta )] =
= - 8 +
40
3
(4 - \eta ) -
3
2 - 80
3
(8 - 9\eta )(4 - 3\eta ) -
5
2 ,
де v, g визначенi у другому пунктi. В результатi отримуємо
U0
1 = u\prime
\left( v - 8 - 1
- 8 g - 8
- 1 - 8 v
\right) = u\prime U \prime
1, U \prime
1 = - 2U\ast (g1) + (v + 1)I, 2g1 = - g + v + 1,
U0
2 = u\prime 2 - 1
\left( - 2u\prime \prime + 1 8 1
8 2g\prime 8
1 8 - 2u\prime \prime + 1
\right) = u\prime U \prime
2, U \prime
2 = U\ast (g2) - u\prime \prime I, g2 = g\prime + u\prime \prime ,
де матриця U\ast визначена у другому пунктi, в якому знайдено її власнi значення як коренi p\ast (q).
Тепер легко знайти власнi значення U \prime
2 як коренi полiнома p\prime 2 : p\prime 2(\lambda ) = p\ast (\lambda + u\prime \prime , g2). Маємо
2\lambda = g2 - 2u\prime \prime + 1\pm
\sqrt{}
(g2 - 1)2 + 128, \lambda = - u\prime \prime = \zeta \prime 4 < 0.
Нехай \zeta \prime 5, \zeta
\prime
6 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня.
Тодi
2\zeta \prime 5 = g\prime - u\prime \prime + 1 +
\sqrt{}
(g\prime + u\prime \prime - 1)2 + 128,
2\zeta \prime 6 = g\prime - u\prime \prime + 1 -
\sqrt{}
(g\prime + u\prime \prime - 1)2 + 128.
Якщо 0 < \eta \leq 1
3
, то
- g\prime > 8 - 40
3
\surd
27
+ 5
80
96
> 8 - 40
3
\surd
25
+ 5
8
10
= 8 - 8
3
+ 4 > 9, | g\prime | > 9;
\zeta \prime 5 < 0, якщо g\prime < 0 i
(| g\prime | - u\prime \prime + 1)2 + 128 < (| g\prime | + u\prime \prime - 1)2, (u\prime \prime - 1)| g\prime | > 32.
Це виконується, якщо 0 < \eta \leq 1
3
, бо (u\prime \prime - 1)| g\prime | > 54. У цьому випадку \zeta \prime 6 < \zeta \prime 5 < 0. Тодi
немає резонансу по \zeta 2 = u\prime \zeta \prime 2 i квадратичного резонансу по \zeta 1 = u\prime \zeta \prime 1 для власних значень \zeta j ,
1 \leq j \leq 6, матрицi U0.
Це твердження та центральна теорема Ляпунова доводять таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
242 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
Теорема 3.1. Нехай \eta =
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 2
3
\leq 1
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 2, N = 3,
m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (3.1) має рiвновагу x011 = - a, x012 = 0, x013 = a,
x02j = 0, j = 1, 2, 3, i два перiодичних розв’язки, кожен з яких залежить вiд дiйсного параметра
cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсними аналiтичними функцiями
цих параметрiв в околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\zeta j)
- 1.
4. Просторова динамiка Кулона. У цьому пунктi розглядаємо динамiку Кулона у просторi
\BbbR 3 трьох однакових негативних зарядiв - e0 < 0 в полi шiстьох однакових позитивних зарядiв
e\prime > 0, зафiксованих у вершинах октаедра bj , 1 \leq j \leq 6, bj = (b1j , b
2
j , b
3
j ) \in \BbbR 3, визначеного у
вступi, з потенцiальною енергiєю (1.2).
Першi частиннi похiднi потенцiальної енергiї задано так:
\partial
\partial x\alpha j
U(x(3)) = - e20
3\sum
k=1,k \not =j
x\alpha j - x\alpha k
| xj - xk| 3
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| xj - bk| 3
. (4.1)
Рiвновагу визначено рiвностями x11 = x011 = - a, x12 = x012 = 0, x13 = x013 = a, x\alpha j = x0\alpha j = 0,
\alpha = 2, 3. Вони дають рiвноважнi спiввiдношення мiж e0, e
\prime , a, b такi ж, як i в попередньо-
му пунктi. Прирiвнюючи до нуля правi частини (4.1) при j = 1, 3 (результат однаковий) i
враховуючи рiвнiсть x011 - x013 = - 2a, отримуємо
| x03 - b1| 2 = | x03 - b2| 2 = b2, | x03 - b3| 2 = | x03 - b4| 2 = | x03 - b5| 2 = | x03 - b6| 2 = (2a)2 + b2,
| x01 - b1| 2 = | x01 - b2| 2 = | x01 - b5| 2 = | x01 - b6| 2 = (2a)2 + b2, | x01 - b3| 2 = | x01 - b4| 2 = b2,
| x02 - bj | 2 = a2 + b2, j = 1, 2, 3, 4, | x02 - bk| 2 = 3a2 + b2, k = 5, 6,
i
6\sum
k=1
x011 - b1k
| x01 - bk| 3
= - 6a
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
,
6\sum
k=1
x0\alpha 1 - b\alpha k
| x01 - bk| 3
= -
6\sum
k=1
b\alpha k
| x01 - bk| 3
= 0, \alpha = 2, 3.
Права частина (4.1) є нулем при \alpha = 2 i j = 2, тому що | x02 - x01| = | x03 - x02| , x011 = - x013 ,
x02 = 0.
Рiвноважнi спiввiдношення мають вигляд
e20
(2a)2
+
e20
a2
=
3e\prime (2a)e0
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
,
5e0
(2a)3
=
3e\prime
(
\sqrt{}
(2a)2 + b2)3
.
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї задано так:
\partial 2U(x(3))
\partial x\alpha j \partial x
\beta
k
=
\partial 2U(x(3))
\partial x\beta k\partial x
\alpha
j
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
- 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2, j \not = k,
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 243
\partial 2U(x(3))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
= e20
3\sum
k=1,k \not =j
\Biggl[
-
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
+ 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
+
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
\Biggr]
.
Тодi ми виводимо рiвностi
e20
3\sum
k=1,k \not =j
1
| x0j - x0k| 3
= e20((2a)
- 3 + a - 3)(1 - \delta j,2) + 2a - 3\delta j,2 =
=
9u\prime
2
(1 - \delta j,2) + 8u\prime \delta j,2, j = 1, 2, 3,
e0e
\prime
6\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x0j - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta 2e0e
\prime (b - 3 + 2((2a)2 + b2) -
3
2 ) =
5
3
\delta \alpha ,\beta u
\prime [(1 - \eta ) -
3
2 + 2], j = 1, 3,
e0e
\prime
6\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x02 - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta e0e
\prime [4(a2 + b2) -
3
2 + 2(3a2 + b2) -
3
2 ] =
= \delta \alpha ,\beta
40
3
u\prime [2(4 - 3\eta ) -
3
2 + (4 - \eta ) -
3
2 ],
враховуючи рiвностi (2.2) i додатковi спiввiдношення рiвноваги з попереднього пункту.
Нехай
T\ast j(\alpha , \beta ) =
6\sum
k=1
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
, T \prime
j(\alpha , \beta ) =
6\sum
k=5
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
.
Крiм того, нехай також T 0
\ast j(\alpha , \beta ), T \prime 0
j (\alpha , \beta ) дорiвнюють вiдповiдно рiвноважним значенням
T\ast j(\alpha , \beta ), T
\prime
j(\alpha , \beta ). Тодi
T 0
\ast j(\alpha , \beta ) = T 0
j (\alpha , \beta )(1 - \delta \alpha ,3) + T \prime 0
j (\alpha , \beta ),
T \prime 0
j (\alpha , \beta ) = 2\delta \alpha ,\beta ((2a)
2 + b2) -
5
2 [a2\delta \alpha ,1 + \delta \alpha ,3(3a
2 + b2)], j = 1, 3,
3e0e
\prime T \prime 0
2 (\alpha , \beta ) = 6e0e
\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,3(3a
2 + b2) -
3
2 = u\prime \delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,3v3, v3 = 40(4 - \eta ) -
3
2 .
При цьому ми використали (2.2) i додатковi спiввiдношення рiвноваги з попереднього пункту,
з яких випливають рiвностi
3e0e
\prime T \prime 0
j (\alpha , \beta ) = u\prime \delta \alpha ,\beta
\biggl(
\delta \alpha ,1
5
4
\eta + \delta \alpha ,3v2
\biggr)
, j = 1, 3,
де
v2 =
15
4
\eta + 5(1 - \eta ) = 5 - 5
4
\eta .
Цi рiвностi показують, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
244 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
3,\alpha ;3,\beta = \delta \alpha ,\beta (u
\prime v\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast - \delta \alpha ,3v2),
U0
2,\alpha ;2,\beta = u\prime \delta \alpha ,\beta (v1 - u1\delta \alpha ,1 - \delta \alpha ,2u
\prime
1 - \delta \alpha ,3v3),
U0
1,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1),
U0
2,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta = U0
1,\alpha ;2,\beta = 4u\prime \delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
Зазначимо, що недiагональнi елементи U0 не залежать вiд вершин октаедра.
Тепер визначимо три тривимiрнi матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, 3, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k
i перенумеруємо iндекси координат таким чином:
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (3, 1) = 3, (1, 2) = 4, (2, 2) = 5, (3, 2) = 6,
(1, 3) = 7, (2, 3) = 8, (3, 3) = 9.
Тут перший та другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми та верхнiми iндексами
координат. Це дає
U0 = U0
1 \oplus U0
2 \oplus U0
3 .
Симетричнi матрицi U0
1 , U
0
2 визначено в попередньому пунктi i
U0
3;1,3 = U0
3;3,1 = U0
1,\alpha ;3,\beta = U0
3,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta ,
U0
3;1,2 = U0
3;2,1 = U0
3;2,3 = U0
3;3,2 = U0
2,3;3,3 = U0
3,3;2,3 = U0
2,3;1,3 = U0
1,3;2,3 = 4u\prime ,
U0
3;1,1 = U0
1,3;1,3 = U0
3;3,3 = U0
3,3;3,3 = u\prime (v\prime - v2) = u\prime r, U0
3;2,2 = U0
2,3;2,3 = u\prime (v1 - v3) = u\prime r\prime ,
де
r =
1
3
\biggl[
5(1 - \eta ) -
3
2 - 7
2
\biggr]
- 5 +
5
4
\eta =
5
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 37
6
+
5
4
\eta ,
r\prime = - 8 +
40
3
[2(4 - 3\eta ) -
3
2 + (4 - \eta ) -
3
2 ] - 40(4 - \eta ) -
3
2 = - 8 +
80
3
[(4 - 3\eta ) -
3
2 - (4 - \eta ) -
3
2 ].
В результатi маємо
U0
3 = u\prime 2 - 1
\left( 2r 8 1
8 2r\prime 8
1 8 2r
\right) = u\prime U \prime
3, U \prime
3 = U\ast (g3) + (r - 1)I, g3 = r\prime - r + 1.
Коренi p\prime 3 матрицi U \prime
3 визначено так:
p\prime 3(\lambda ) = p\ast (\lambda + 1 - r, g3),
2\lambda = g3 - 2(1 - r) + 1\pm
\sqrt{}
(g3 - 1)2 + 128, \lambda = r - 1 = \zeta \prime 7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 245
Нехай \zeta \prime 8, \zeta
\prime
9 збiгаються з коренями, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня.
Тодi
2\zeta \prime 8 = r\prime + r - 1 +
\sqrt{}
(r\prime - r)2 + 128,
2\zeta \prime 9 = r\prime + r - 1 -
\sqrt{}
(r\prime - r)2 + 128.
Нехай 0 < \eta \leq 1
3
, тодi
\biggl( \surd
3 >
5
3
\biggr)
- 5 < r \leq 1
3
\Biggl(
5
\surd
27\surd
8
- 37
2
\Biggr)
+
5
12
<
1
3
\biggl(
10 - 36
2
\biggr)
+
1
2
= - 13
6
< - 2,
- 10 = - 8 +
80
3
\biggl(
1
8
- 1
5
\biggr)
< - 8 +
80
3
\biggl(
1
8
- 1\surd
27
\biggr)
< r\prime < - 8 +
30\surd
27
< 0 = - 8 +
10\surd
3
< - 2,
- 8 < - 10 + 2 < r\prime - r < 3, - 15 = - 10 - 5 < r\prime + r < - 4,
2\zeta \prime 8 < - 5 +
\surd
64 + 128 < 9, 2\zeta \prime 8 > 11 - 16 = - 5.
Цi нерiвностi дають
\zeta \prime 7 < 0, - 5
2
< \zeta \prime 8 <
9
2
, \zeta \prime 9 < 0,
а з нерiвностей \zeta \prime 1 < \zeta \prime 2, \zeta
\prime
1 > 12 випливає, що
\zeta \prime 8 < \zeta \prime 1 < \zeta \prime 2.
Отже, доведено таке твердження.
Твердження 4.1. Резонансу по \zeta 2 = u\prime \zeta \prime 2 i квадратичного резонансу по \zeta 1 = u\prime \zeta \prime 1 немає для
власних значень \zeta j , 1 \leq j \leq 9, матрицi U0 просторової кулонiвської системи, якщо 0 < \eta \leq 1
3
.
Наступне твердження є остаточним кроком для застосування центральної теореми Ляпу-
нова.
Твердження 4.2. Iснує таке число \eta \ast \in
\biggl(
0,
1
3
\biggr)
, що \zeta \prime 8(\eta \ast ) = 0.
Доведення. Нехай \eta = 0, тодi
r\prime = - 8, r = - 9
2
, 2\zeta \prime 8 = - 13 - 1
2
+
\sqrt{} \biggl(
7
2
\biggr) 2
+ 128 < - 13 - 1
2
+ 12 = - 3
2
.
Нехай \eta =
1
3
. Тодi
\biggl(
5
3
<
\surd
3 <
7
4
\biggr)
r =
1
3
\Biggl(
5
\surd
27\surd
8
- 37
2
\Biggr)
+
5
12
>
5
3
\surd
3 - 37
6
+
4
12
>
25
9
- 35
6
= - 55
18
= - 3
1
18
,
80
3
3 -
3
2 =
80
9
\surd
3
= - 1
9
\surd
3
+
9\surd
3
>
36
7
- 1
9
\surd
3
,
(4 - 3 - 1) -
3
2 =
\surd
27
(11)2
\surd
11 <
18
(11)2
,
80
3
(4 - 3 - 1) -
3
2 <
480
(11)2
< 4.
В результатi маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
246 ВОЛОДИМИР СКРИПНИК
r\prime > - 8 +
36
7
- 4 - 1
9
\surd
3
> - 7 +
1
7
- 1
9
\surd
3
,
r\prime + r - 1 > - 11 - 1
18
+
1
7
- 1
15
> - 11 - 2
15
+
1
7
> - 11.
Tаким чином,
2\zeta \prime 8 = r\prime + r - 1 +
\sqrt{}
(r - r\prime )2 + 128 > - 11 +
\surd
128 > 0;
\zeta \prime 8 — неперервна функцiя i нуль є одним з її значень.
Твердження доведено.
Два останнiх твердження та центральна теорема Ляпунова доводять таку теорему.
Теорема 4.1. Якщо \eta =
1
3
чи 0 < \eta =
\biggl(
5e0
3e\prime
\biggr) 2
3
<
1
3
i \zeta \prime 8 \not = 0, то рiвняння руху Кулона
(1.1) для d = 3, N = 3, m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (1.2) має рiвновагу x011 = - a,
x012 = 0, x013 = a, x0\alpha j = 0, \alpha = 2, 3, j = 1, 2, 3, i два перiодичних розв’язки, кожен з яких
залежить вiд дiйсного параметра cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2)
є дiйсними аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля й \tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\zeta j)
- 1.
Лiтература
1. W. Skrypnik, Periodic and bounded solutions of the Coulomb equation of motion of two and three point charges with
equilibrium on line, Ukr. Math. J., 66, № 5, 668 – 682 (2014).
2. W. Skrypnik, Coulomb planar dynamics of two and three equal negative charges in field of fixed two equal positive
charges, Ukr. Math. J., 68, № 11, 1528 – 1539 (2016).
3. W. Skrypnik, Coulomb dynamics near equilibrium of two equal negative charges in the field of fixed two equal
positive charges, Ukr. Math. J., 68, № 9, 1273 – 1285 (2016).
4. W. Skrypnik, Coulomb dynamics of three equal negative charges in field of fixed two equal positive charges, J. Geom.
and Phys., 127, 101 – 111 (2018).
5. В. Скрипник, Перiодична кулонiвська динамiка двох рiвних негативних зарядiв у полi фiксованих чотирьох
рiвних позитивних зарядiв, Укр. мат. журн., 72, № 10, 1432 – 1442 (2020); DOI: 1037863/umzh.v72i10.742.
6. В. Скрипник, Перiодична кулонiвська динамiка двох рiвних негативних зарядiв у полi фiксованих шiстьох
рiвних позитивних зарядiв, Укр. мат. журн., 72, № 12, 1682 – 1696 (2020); DOI: 1037863/umzh.v72i12.917.
7. W. Skrypnik, Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of equal positive charges fixed
in octagon vertices, Adv. Math. Phys., 2020, Article ID 35467136 (2020); https://doi.org/10.1155/2020/3547136.
8. A. Lyapunov, General problem of stability of motion, Moscow (1950); English translation: Internat. J. Control, 55,
№ 3, 521 – 790 (1992).
9. M. S. Berger, Nonlinearity and functional analysis, Lectures Nonlinear Problems in Mathematical Analysis, Acad.
Press, New York etc. (1977).
10. J. Marsden, M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York (1976).
11. C. Siegel, J. Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971).
12. V. Nemytskii, V. Stepanov, Qualitative theory of differential equations, Moscow, Leningrad (1947).
13. W. Skrypnik, Coulomb planar periodic motion of n equal charges n the field of n equal positive charges fixed at a line
and constant magnetic field, Adv. Math. Phys., 2018, Article ID 2548074 (2018); https://doi.org/10.1155/2548074.
14. C. Siegel, Über eine periodische Lösung in ebenen Drei Körper Problem, Math. Nachr., 4, 28 – 35 (1950 – 1951).
15. W. Skrypnik, Mechanical systems with singular equilibria and Coulomb dynamics of three charges, Ukr. Math. J.,
70, 519 – 533 (2018).
16. В. Скрипник, Перiодична кулонiвська динамiка трьох рiвних негативних зарядiв у полi фiксованих чотирьох
рiвних позитивних зарядiв, Укр. мат. журн., 73, № 12, 1698 – 1713 (2021).
Одержано 17.07.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7263 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:05Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/849ab43b8e4abf0bfc4d9c38a64f6d0e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72632023-03-06T14:27:02Z Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices Періодична кулонівська динаміка трьох рівних негативних зарядів у полі шістьох рівних позитивних зарядів, зафіксованих у вершинах октаедра Skrypnik, W. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник, Володимир Кулонівська взаємодія фіксовані заряди октаедр періодичний рух Coulomb interaction fixed charges octahedron periodic motion UDC 517.9 We find periodic solutions of the Coulomb equations of motion for three equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at the&nbsp; vertices of a octahedron.&nbsp;&nbsp;The system possesses an equilibrium configuration.&nbsp;&nbsp;The center Lyapunov&nbsp; theorem is applied. УДК 517.9 Знайдено періодичні розв'язки&nbsp; $d$-вимірних $(d=1,2,3)$ рівнянь руху Кулона трьох однакових негативних точкових зарядів у полі шістьох однакових позитивних точкових зарядів, зафіксованих у вершинах октаедра. Ці системи мають рівноважний стан. Періодичні розв'язки&nbsp; отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-03-02 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7263 10.37863/umzh.v75i2.7263 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 2 (2023); 230 - 246 Український математичний журнал; Том 75 № 2 (2023); 230 - 246 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7263/9367 Copyright (c) 2023 Volodymyr Skrypnyk |
| spellingShingle | Skrypnik, W. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник, Володимир Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title_alt | Періодична кулонівська динаміка трьох рівних негативних зарядів у полі шістьох рівних позитивних зарядів, зафіксованих у вершинах октаедра |
| title_full | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title_fullStr | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title_full_unstemmed | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title_short | Periodic Coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| title_sort | periodic coulomb dynamics of three equal negative charges in the field of six equal positive charges fixed in octahedron vertices |
| topic_facet | Кулонівська взаємодія фіксовані заряди октаедр періодичний рух Coulomb interaction fixed charges octahedron periodic motion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7263 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikw periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivechargesfixedinoctahedronvertices AT skrypnykvolodymyr periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivechargesfixedinoctahedronvertices AT skripnikvolodimir periodiccoulombdynamicsofthreeequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivechargesfixedinoctahedronvertices AT skrypnikw períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolíšístʹohrívnihpozitivnihzarâdívzafíksovanihuveršinahoktaedra AT skrypnykvolodymyr períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolíšístʹohrívnihpozitivnihzarâdívzafíksovanihuveršinahoktaedra AT skripnikvolodimir períodičnakulonívsʹkadinamíkatrʹohrívnihnegativnihzarâdívupolíšístʹohrívnihpozitivnihzarâdívzafíksovanihuveršinahoktaedra |