On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions
UDC 512.554 We study the automorphism groups of Leibniz algebras of low dimensions and obtain complete descriptions of the automorphism groups of Leibniz algebras of dimension 2 and some types of nilpotent Leibniz algebras of dimension 3.
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7282 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512649412870144 |
|---|---|
| author | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Velychko, T. V. Курдаченко, Л. А. Пипка, О. О. Величко, Т. В. |
| author_facet | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Velychko, T. V. Курдаченко, Л. А. Пипка, О. О. Величко, Т. В. |
| author_sort | Kurdachenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-07T13:45:41Z |
| description |
UDC 512.554
We study the automorphism groups of Leibniz algebras of low dimensions and obtain complete descriptions of the automorphism groups of Leibniz algebras of dimension 2 and some types of nilpotent Leibniz algebras of dimension 3. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i10.7282 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i10.7282
УДК 512.554
Л. А. Курдаченко, О. О. Пипка1, Т. В. Величко (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА
МАЛОЇ ВИМIРНОСТI
We study the automorphism groups of Leibniz algebras of low dimensions and obtain complete descriptions of the
automorphism groups of Leibniz algebras of dimension 2 and some types of nilpotent Leibniz algebras of dimension 3.
Дослiджено групи автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца малої вимiрностi. Отримано повнi описи груп автоморфiзмiв
алгебр Лейбнiца вимiрностi 2 та деяких типiв нiльпотентних алгебр Лейбнiца вимiрностi 3.
1. Вступ. Нехай L — алгебра над полем F з бiнарними операцiями + i [\cdot , \cdot ]. Тодi L називати-
мемо (лiвою) алгеброю Лейбнiца, якщо вона задовольняє (лiву) тотожнiсть Лейбнiца
[[a, b], c] = [a, [b, c]] - [b, [a, c]]
для всiх a, b, c \in L.
Алгебри Лейбнiца були визначенi у статтi А. Блоха [3], проте сам термiн „алгебра Лейбнiца”
з’явився значно пiзнiше у монографiї Ж.-Л. Лоде [11] та його ж статтi [12]. А в роботi [13]
Ж.-Л. Лоде та Т. Пiрашвiлi розпочали вже реальне вивчення властивостей алгебр Лейбнiца.
Теорiя алгебр Лейбнiца розвивається дуже iнтенсивно в багатьох рiзних напрямках дослiджень.
З деякими результатами цiєї теорiї можна ознайомитись у монографiї [2]. Зазначимо, що алгебри
Лi є частковим випадком алгебр Лейбнiца. Водночас, якщо L — алгебра Лейбнiца, для якої
[a, a] = 0 для кожного елемента a \in L, то вона є алгеброю Лi. Отже, алгебри Лi можуть бути
охарактеризованi як антикомутативнi алгебри Лейбнiца.
Нехай L — алгебра Лейбнiца. Як завжди, лiнiйне перетворення f алгебри L називатимемо
ендоморфiзмом, якщо
f([a, b]) = [f(a), f(b)]
для всiх a, b \in L. Очевидно, добуток двох ендоморфiзмiв алгебри L також є ендоморфiзмом,
тому множина всiх ендоморфiзмiв алгебри L є напiвгрупою щодо операцiї множення. Водночас
сума двох ендоморфiзмiв не обов’язково є ендоморфiзмом, тому тут не можна говорити про
кiльце ендоморфiзмiв.
Як завжди, бiєктивний ендоморфiзм алгебри L називатимемо автоморфiзмом алгебри L.
Ми використовуватимемо термiн „напiвгрупа” для множини, на якiй задано асоцiативну
бiнарну операцiю. Для напiвгрупи, яка мiстить нейтральний елемент, будемо використовува-
ти термiн „моноїд”. Очевидно, тривiальне перетворення є ендоморфiзмом алгебри L, тому
множина \bfE \bfn \bfd [,](L) усiх ендоморфiзмiв алгебри L є моноїдом щодо операцiї множення.
Нехай f — автоморфiзм алгебри L. Тодi вiдображення f - 1 також є автоморфiзмом. Справдi,
нехай x, y — довiльнi елементи з L. Тодi iснують такi елементи u, v \in L, що x = f(u), y = f(v).
Таким чином,
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: sasha.pypka@gmail.com.
c\bigcirc Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10 1339
1340 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
f - 1([x, y]) = f - 1([f(u), f(v)]) = f - 1(f [u, v]) = [u, v] = [f - 1(x), f - 1(y)].
Отже, множина \bfA \bfu \bft [,](L) усiх автоморфiзмiв алгебри L є групою щодо операцiї множення.
У загальнiй теорiї груп є дуже розвинений роздiл — групи автоморфiзмiв алгебраїчних сис-
тем. Вивчення груп автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца, як i будь-яких iнших алгебраїчних об’єктiв,
є однiєю з природних та важливих задач цiєї теорiї. Варто зазначити, що групи автоморфiзмiв
алгебр Лейбнiца вивчались дуже мало (див. [1, 9, 10]). Природно розпочинати такi дослiдження
для алгебр Лейбнiца, будова яких вивчена досить добре. Опис будови груп автоморфiзмiв скiн-
ченновимiрних циклiчних алгебр Лейбнiца було отримано у статтi [9]. Цiлком логiчно постає
питання про групи автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца малої вимiрностi. На вiдмiну вiд алгебр Лi
ситуацiя з алгебрами Лейбнiца вимiрностi 3 дуже рiзноманiтна. Алгебри Лейбнiца вимiрностi
3 здебiльшого описанi. Опис алгебр Лейбнiца вимiрностi 4 i 5 проводиться досить iнтенсив-
но. Список робiт, присвячених цим дослiдженням, досить великий, i ми не будемо наводити
його тут повнiстю. Зазначимо лише, що вивченню алгебр Лейбнiца вимiрностi 3 присвячено
роздiл 3.1 монографiї [2] та статтi [4, 6, 7, 14 – 16].
У цiй роботi ми розпочинаємо опис груп автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца вимiрностi 3. Цей
опис досить великий за обсягом, тому ми обмежимось описом груп автоморфiзмiв лише деяких
типiв алгебр Лейбнiца вимiрностi 3.
2. Попереднi вiдомостi та загальнi властивостi автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца. Нехай
L — алгебра Лейбнiца над полем F. Алгебру L називатимемо абелевою, якщо [a, b] = 0 для
всiх елементiв a, b \in L. Зокрема, абелева алгебра Лейбнiца є алгеброю Лi.
Якщо A,B — пiдпростори з L, то позначимо через [A,B] пiдпростiр, породжений усiма
елементами [a, b], де a \in A, b \in B. Традицiйно, пiдпростiр A з L називатимемо пiдалгеброю
алгебри L, якщо [a, b] \in A для всiх a, b \in A, тобто якщо [A,A] \leq A. Пiдалгебру A алгебри
L називатимемо лiвим (вiдповiдно правим) iдеалом алгебри L, якщо [b, a] \in A (вiдповiдно
[a, b] \in A) для всiх a \in A, b \in L, тобто якщо [L,A] \leq A (вiдповiдно [A,L] \leq A). Пiдалгебру
A алгебри L називатимемо iдеалом алгебри L, якщо A одночасно є правим i лiвим iдеалом L.
Позначимо через \bfL \bfe \bfi \bfb (L) пiдпростiр, породжений елементами [a, a], a \in L. Легко показа-
ти, що \bfL \bfe \bfi \bfb (L) є iдеалом алгебри L. Називатимемо його ядром Лейбнiца алгебри L.
Лiвий (вiдповiдно правий) центр \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L) (вiдповiдно \zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L)) алгебри L визначимо за
правилом
\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L) = \{ a \in L| [a, b] = 0 для кожного b \in L\}
(вiдповiдно
\zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L) = \{ a \in L| [b, a] = 0 для кожного b \in L\} ).
Легко показати, що лiвий центр алгебри L є iдеалом, проте це не справджується для правого
центра. Правий центр є пiдалгеброю алгебри L. Варто зазначити, що у загальному випадку
лiвий та правий центри рiзнi i можуть навiть мати рiзнi вимiрностi (див., наприклад, [8]).
Центр \zeta (L) алгебри L визначають як перетин лiвого i правого центрiв, тобто
\zeta (L) = \{ a \in L| [a, b] = 0 = [b, a] для кожного b \in L\} .
Очевидно, що центр \zeta (L) є iдеалом алгебри L.
Визначимо верхнiй центральний ряд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1341
\langle 0\rangle = \zeta 0(L) \leq \zeta 1(L) \leq . . . \zeta \alpha (L) \leq \zeta \alpha +1(L) \leq . . . \zeta \eta (L) = \zeta \infty (L)
алгебри L за правилом \zeta 1(L) = \zeta (L), \zeta \alpha +1(L)/\zeta \alpha (L) = \zeta (L/\zeta \alpha (L)) для всiх порядкових чисел
\alpha i \zeta \lambda (L) =
\bigcup
\mu <\lambda \zeta \mu (L) для всiх граничних порядкових чисел \lambda . Останнiй член \zeta \eta (L) = \zeta \infty (L)
цього ряду називають верхнiм гiперцентром алгебри L.
Визначимо тепер нижнiй центральний ряд
L = \gamma 1(L) \geq \gamma 2(L) \geq . . . \gamma \alpha (L) \geq \gamma \alpha +1 \geq . . . \gamma \delta (L) = \gamma \infty (L)
алгебри L за правилом \gamma 1(L) = L, \gamma 2(L) = [L,L], \gamma \alpha +1(L) = [L, \gamma \alpha (L)] для всiх порядкових
чисел \alpha i \gamma \lambda (L) =
\bigcap
\mu <\lambda \gamma \mu (L) для всiх граничних порядкових чисел \lambda . Останнiй член \gamma \delta (L) =
= \gamma \infty (L) цього ряду називають нижнiм гiпоцентром алгебри L.
Алгебру Лейбнiца L називатимемо нiльпотентною, якщо iснує таке натуральне число k,
що \gamma k(L) = \langle 0\rangle . Разом з тим алгебру L називатимемо нiльпотентною класу нiльпотентностi
c, якщо \gamma c+1(L) = \langle 0\rangle , але \gamma c(L) \not = \langle 0\rangle .
Лема 2.1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, f — автоморфiзм алгебри L. Тодi
f(\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L)) = \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L), f(\zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L)) = \zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L), f(\zeta (L)) = \zeta (L), f([L,L]) = [L,L].
Доведення. Нехай x — довiльний елемент з L i z \in \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L). Оскiльки f є автоморфiзмом
алгебри L, то iснує такий елемент y \in L, що x = f(y). Тодi
[f(z), x] = [f(z), f(y)] = f([z, y]) = f(0) = 0.
Це означає, що f(z) \in \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L). Водночас iснують такi елементи u, v \in L, що z = f(u),
x = f - 1(v). Тодi
[u, x] = [f - 1(z), f - 1(v)] = f - 1([z, v]) = f - 1(0) = 0.
Таким чином, u \in \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L), z \in f(\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L)), i тому \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L) = f(\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L)). Аналогiчно можна
довести, що \zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L) = f(\zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L)) i \zeta (L) = f(\zeta (L)).
Якщо x, y — елементи з L, то f([x, y]) = [f(x), f(y)] \in [L,L]. Iнакше кажучи, f([L,L]) \leq
\leq [L,L]. Нехай тепер w \in [L,L]. Тодi w = \alpha 1[u1, v1] + . . . + \alpha t[ut, vt] для деяких елементiв
u1, v1, . . . , ut, vt \in L, \alpha 1, . . . , \alpha t \in F. Оскiльки f є автоморфiзмом алгебри L, то iснують такi
елементи a1, b1, . . . , at, bt \in L, що uj = f(aj), vj = f(bj), 1 \leq j \leq t. Тодi
w =
\sum
1\leq j\leq t
\alpha j [uj , vj ] =
\sum
1\leq j\leq t
\alpha j [f(aj), f(bj)] =
\sum
1\leq j\leq t
\alpha jf([aj , bj ]) =
= f
\left( \sum
1\leq j\leq t
\alpha j [aj , bj ]
\right) \in f([L,L]).
Таким чином, [L,L] \leq f([L,L]), i тому [L,L] = f([L,L]).
Лему 2.1 доведено.
Лема 2.2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, f — автоморфiзм алгебри L. Тодi
f(\zeta \alpha (L)) = \zeta \alpha (L), f(\gamma \alpha (L)) = \gamma \alpha (L) для всiх порядкових чисел \alpha . Зокрема, f(\zeta \infty (L)) = \zeta \infty (L)
i f(\gamma \infty (L)) = \gamma \infty (L).
Доведення цього результату аналогiчне доведенню леми 2.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1342 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
Лема 2.3. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, f — ендоморфiзм алгебри L. Тодi
f(\gamma \alpha (L)) \leq \gamma \alpha (L) для всiх порядкових чисел \alpha . Зокрема, f(\gamma \infty (L)) \leq \gamma \infty (L).
Доведення. Якщо x, y — елементи з L, то f([x, y]) = [f(x), f(y)] \in [L,L]. Це означає, що
f([L,L]) \leq [L,L]. Припустимо, що включення f(\gamma \beta (L)) \leq \gamma \beta (L) доведено для всiх порядкових
чисел \beta < \alpha . Якщо \alpha — граничне порядкове число, то \gamma \alpha (L) =
\bigcap
\beta <\alpha \gamma \beta (L). У цьому випадку
f(\gamma \alpha (L)) = f
\left( \bigcap
\beta <\alpha
\gamma \beta (L)
\right) \leq
\bigcap
\beta <\alpha
f(\gamma \beta (L)) \leq
\bigcap
\beta <\alpha
\gamma \beta (L) = \gamma \alpha (L).
Припустимо тепер, що \alpha не є граничним порядковим числом. Тодi число \alpha - 1 = \delta iснує.
За означенням \gamma \alpha (L) = [L, \gamma \delta (L)]. Згiдно з iндуктивним припущенням f(\gamma \delta (L)) \leq \gamma \delta (L).
Нехай w \in L, v \in \gamma \delta (L). Тодi f([w, v]) = [f(w), f(v)] \in [L, \gamma \delta (L)] = \gamma \alpha (L). Це означає, що
f([L, \gamma \delta (L)]) = f(\gamma \alpha (L)) \leq \gamma \alpha (L).
Лему 2.3 доведено.
Нехай L — алгебра Лейбнiца, A — пiдалгебра з L, G = \bfA \bfu \bft [,](L). Тодi
CG(A) = \{ \alpha \in G| \alpha (x) = x для кожного x \in A\} .
Якщо при цьому A — iдеал алгебри L, то
CG(L/A) = \{ \alpha \in G| \alpha (x+A) = x+A для кожного x \in L\} =
= \{ \alpha \in G| \alpha (x) \in x+A для кожного x \in L\} .
Лема 2.4. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, G = \bfA \bfu \bft [,](L). Якщо A є G-
iнварiантною пiдалгеброю алгебри L, то CG(A) i CG(L/A) — нормальнi пiдгрупи групи G.
Доведення. Нехай g \in G, f \in CG(A), a — довiльний елемент з A. Оскiльки A є G-
iнварiантною пiдалгеброю, то g(a) \in A. Очевидно, що CG(A) — пiдгрупа групи G. I навiть
бiльше,
(g - 1 \circ f \circ g)(a) = g - 1(f(g(a))) = g - 1(g(a)) = a.
Отже, g - 1 \circ f \circ g \in CG(A). Таким чином, CG(A) — нормальна пiдгрупа групи G.
Нехай тепер g \in G, f \in CG(L/A), x — довiльний елемент з L. Очевидно, що CG(L/A) є
пiдгрупою групи G. I навiть бiльше,
(g - 1 \circ f \circ g)(x+A) = g - 1(f(g(x+A))) = g - 1(f(g(x) +A)) =
= g - 1(g(x) +A) = g - 1(g(x)) +A = x+A.
Отже, g - 1 \circ f \circ g \in CG(L/A), i тому CG(L/A) нормальна в G.
Лему 2.4 доведено.
3. Опис груп автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца вимiрностi 2. Першим природним кроком
є знаходження будови груп автоморфiзмiв двовимiрних алгебр Лейбнiца. Опис таких алгебр
наведено у кiлькох статтях, серед яких однiєю з перших була робота [5]. Алгебри Лейбнiца
вимiрностi 2 над полем F, якi не є алгебрами Лi, вичерпуються алгебрами двох типiв:
\bfL \bfe \bfi 1(2, F ) = Fa1 \oplus Fa2, де [a1, a1] = a2, [a1, a2] = [a2, a1] = [a2, a2] = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1343
\bfL \bfe \bfi 2(2, F ) = Fa1 \oplus Fa2, де [a1, a1] = [a1, a2] = a2, [a2, a1] = [a2, a2] = 0.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, A — пiдалгебра алгебри L, G = \bfA \bfu \bft [,](L). Тодi
NG(A) = \{ \alpha \in G| \alpha (A) = A\} .
Твердження 3.1. Нехай G — група автоморфiзмiв алгебри Лейбнiца \bfL \bfe \bfi 1(2, F ). Тодi G
iзоморфна природному напiвпрямому добутку адитивної групи поля F i мультиплiкативної
групи поля F. Iнакше кажучи, G iзоморфна групi матриць вигляду\biggl(
\alpha 1 0
\alpha 2 \alpha 2
1
\biggr)
,
де \alpha 1 \not = 0.
Доведення. Нехай L = \bfL \bfe \bfi 1(2, F ), f \in \bfE \bfn \bfd [,](L), f(a1) = \alpha 1a1 + \alpha 2a2. Тодi
f(a2) = f([a1, a1]) = [f(a1), f(a1)] = [\alpha 1a1 + \alpha 2a2, \alpha 1a1 + \alpha 2a2] =
= \alpha 2
1[a1, a1] = \alpha 2
1a2.
Таким чином, ендоморфiзм f має у базисi \{ a1, a2\} матрицю\biggl(
\alpha 1 0
\alpha 2 \alpha 2
1
\biggr)
.
Позначимо через \bfM \bfE (L) множину матриць, якi мають такий вигляд. Тодi отримаємо iзо-
морфiзм множини \bfE \bfn \bfd [,](L) на множину \bfM \bfE (L). Зокрема, якщо \alpha 1 \not = 0, то f є автоморфiзмом.
Iнакше кажучи,
\bfA \bfu \bft [,](L) = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd [,](L), f(a1) \not \in Fa2\} .
I навiть бiльше, множина
\bfN [,](L) = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd [,](L), f(a1) \in Fa2\}
є таким iдеалом моноїда \bfE \bfn \bfd [,](L), що \bfE \bfn \bfd [,](L) = \bfN [,](L) \cup \bfA \bfu \bft [,](L).
Якщо f \in \bfN [,](L), то f(a1) = \nu a2 для деякого елемента \nu \in F. Це означає, що f(a2) = 0.
Нехай g \in \bfN [,](L), g(a1) = \rho a2. Тодi
(g \circ f)(a1) = g(f(a1)) = g(\nu a2) = \nu g(a2) = \nu g([a1, a1]) =
= \nu [g(a1), g(a1)] = \nu \rho 2[a2, a2] = 0
i (g \circ f)(a2) = g(f(a2)) = g(0) = 0, тобто g \circ f = 0. Таким чином, множення в \bfN [,](L) є
нульовим.
Покладемо
G = \bfA \bfu \bft [,](L), T = CG(L/\zeta (L)), D = NG(Fa1).
Згiдно з лемою 2.4 T — нормальна пiдгрупа групи G. Також зазначимо, що D — пiдгрупа
групи G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1344 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
Якщо f \in D, то f(a1) = \alpha a1 для деякого \alpha \in F. Це означає, що f(a2) = \alpha 2a2. Тепер
навпаки, нехай \beta — довiльний елемент з F i g\beta — лiнiйне перетворення алгебри L, визначене
за правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2, то g\beta (x) = \beta \xi 1a1 + \beta 2\xi 2a2. Нехай y — деякий iнший
елемент з L, y = \eta 1a1 + \eta 2a2. Тодi
g\beta ([x, y]) = g\beta ([\xi 1a1 + \xi 2a2, \eta 1a1 + \eta 2a2]) = g\beta (\xi 1\eta 1a2) = \beta 2\xi 1\eta 1a2,
[g\beta (x), g\beta (y)] = [\beta \xi 1a1 + \beta 2\xi 2a2, \beta \eta 1a1 + \beta 2\eta 2a2] = \beta 2\xi 1\eta 1a2,
тобто g\beta ([x, y]) = [g\beta (x), g\beta (y)] i g\beta \in D. Легко показати, що вiдображення \beta \rightarrow g\beta , \beta \in \bfU (F ),
є iзоморфiзмом мультиплiкативної групи поля F на пiдгрупу D.
Нехай h — довiльний елемент з G, h(a1) = \lambda a1 + \mu a2. Тодi
(h \circ g\lambda - 1)(a1) = h(g\lambda - 1(a1)) = h(\lambda - 1a1) = \lambda - 1h(a1) = \lambda - 1(\lambda a1 + \mu a2) = a1 + \lambda - 1\mu a2.
Iнакше кажучи, h \circ g\lambda - 1 \in T. Очевидно, що g\lambda - 1 = g - 1
\lambda , тому h \in g\lambda T. Отже, G = DT.
Нехай f \in D \cap T, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 — довiльний елемент з L. Оскiльки f \in D, то
f(x) = f(\xi 1a1 + \xi 2a2) = \beta \xi 1a1 + \beta 2\xi 2a2
для деякого елемента \beta \in F. З iншого боку, оскiльки f \in T, то
f(x) = f(\xi 1a1 + \xi 2a2) = \xi 1a1 + \kappa a2
для деякого елемента \kappa \in F. Це означає, що f є тривiальним перетворенням простору L, i
тому перетин D \cap T тривiальний.
Якщо f \in T, то f(a1) = a1 + \sigma a2 для деякого \sigma \in F. Згiдно з попереднiми мiркуваннями
f(a2) = a2. Тепер навпаки, нехай \sigma — довiльний елемент поля F, z\sigma — лiнiйне перетворення
простору L, визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2, то z\sigma (x) = \xi 1a1 + (\xi 1\sigma + \xi 2)a2. I
нехай y — iнший елемент з L, y = \eta 1a1 + \eta 2a2. Тодi
z\sigma ([x, y]) = z\sigma ([\xi 1a1 + \xi 2a2, \eta 1a1 + \eta 2a2]) = z\sigma (\xi 1\eta 1a2) = \xi 1\eta 1a2,
[z\sigma (x), z\sigma (y)] = [\xi 1a1 + (\xi 1\sigma + \xi 2)a2, \eta 1a1 + (\eta 1\sigma + \eta 2)a2] = \xi 1\eta 1a2,
тобто z\sigma ([x, y]) = [z\sigma (x), z\sigma (y)] i z\sigma \in T. Розглянемо тепер вiдображення z\sigma \circ z\tau :
(z\sigma \circ z\tau )(x) = (z\sigma \circ z\tau )(\xi 1a1 + \xi 2a2) = z\sigma (z\tau (\xi 1a1 + \xi 2a2)) =
= z\sigma (\xi 1a1 + (\xi 1\tau + \xi 2)a2) = \xi 1a1 + (\xi 1\sigma + \xi 1\tau + \xi 2)a2 =
= \xi 1a1 + (\xi 1(\sigma + \tau ) + \xi 2)a2 = z\sigma +\tau .
Легко показати, що вiдображення \sigma \rightarrow z\sigma , \sigma \in F, є iзоморфiзмом адитивної групи поля F на
пiдгрупу T. Таким чином, група автоморфiзмiв \bfA \bfu \bft [,](L) iзоморфна природному напiвпрямому
добутку адитивної групи поля F i мультиплiкативної групи поля F.
Твердження 3.1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1345
Твердження 3.2. Нехай G — група автоморфiзмiв алгебри Лейбнiца \bfL \bfe \bfi 2(2, F ). Тодi G
iзоморфна мультиплiкативнiй групi поля F. Iнакше кажучи, G iзоморфна групi матриць ви-
гляду \biggl(
\alpha 1 0
0 1
\biggr)
,
де \alpha 1 \not = 0.
Доведення. Нехай L = \bfL \bfe \bfi 2(2, F ). Покладемо a3 = a1 - a2. Тодi [a1, a3] = [a1, a1 - a2] =
= a2 - a2 = 0. Оскiльки Fa2 = \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(L), то [a2, a3] = 0, а оскiльки [a3, a3] = 0, то Fa3 =
= \zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(L). Нарештi, [a3, a2] = [a1 - a2, a2] = a2. Очевидно, що пiдмножина \{ a2, a3\} є
базисом L.
Розглянемо пiдмножину
\bfA = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a2) = 0\} .
Нехай f \in \bfA , x i y — довiльнi елементи з L i x = \lambda 3a3 + \lambda 2a2, y = \mu 3a3 + \mu 2a2. Оскiльки
f(x), f(y) \in Fa3, то [f(x), f(y)] = 0, а оскiльки [x, y] = [\lambda 3a3 + \lambda 2a2, \mu 3a3 + \mu 2a2] = \lambda 3\mu 2a2,
то f([x, y]) = 0 = [f(x), f(y)]. Це означає, що \bfE \bfn \bfd [,](L) мiстить \bfA .
I навiть бiльше, \bfA є iдеалом моноїда \bfE \bfn \bfd [,](L). Справдi, нехай f \in \bfA , g \in \bfE \bfn \bfd [,](L).
Згiдно з лемою 2.3 g(a2) \in Fa2. Отже, (f \circ g)(a2) = f(g(a2)) = 0 i (g \circ f)(a2) = g(f(a2)) =
= g(0) = 0. Це означає, що f \circ g, g \circ f \in \bfA . Легко показати, що iдеал \bfA iзоморфний пiднапiв-
групi матричної напiвгрупи \bfM 2(F ), яка складається з матриць вигляду\biggl(
\alpha 0
\beta 0
\biggr)
.
Нехай f \in \bfE \bfn \bfd [,](L). Оскiльки Fa2 = [L,L], то f(a2) = \alpha 2a2 для деякого \alpha 2 \in F.
Покладемо f(a3) = \alpha 1a2 + \alpha 3a3, де \alpha 1, \alpha 3 \in F. Тодi
f(a2) = f([a3, a2]) = [f(a3), f(a2)] = [\alpha 1a2 + \alpha 3a3, \alpha 2a2] = \alpha 3\alpha 2a2,
0 = f([a3, a3]) = [f(a3), f(a3)] = [\alpha 1a2 + \alpha 3a3, \alpha 1a2 + \alpha 3a3] = \alpha 3\alpha 1a2.
Це означає, що \alpha 2 = \alpha 3\alpha 2 i \alpha 3\alpha 1 = 0.
Припустимо, що \alpha 3 = 0. Тодi \alpha 2 = 0, звiдки випливає, що f(a2) = 0. Беручи до уваги
попереднi мiркування, отримуємо, що в цьому випадку f \in \bfA .
Припустимо тепер, що \alpha 3 \not = 0, \alpha 2 \not = 0. Тодi \alpha 1 = 0, \alpha 3 = 1. Таким чином, f(a2) =
= \alpha 2a2 i f(a3) = a3. Оскiльки \alpha 2 \not = 0, то f є автоморфiзмом алгебри L. Легко показати,
що група автоморфiзмiв \bfA \bfu \bft [,](L) iзоморфна пiднапiвгрупi матричної напiвгрупи \bfM 2(F ), яка
складається з матриць вигляду \biggl(
\alpha 0
0 1
\biggr)
.
Очевидно, що остання iзоморфна мультиплiкативнiй групi поля F.
Твердження 3.2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1346 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
4. Опис груп автоморфiзмiв деяких алгебр Лейбнiца вимiрностi 3. Тепер перейдемо
до основної частини статтi — дослiдження груп автоморфiзмiв алгебр Лейбнiца вимiрностi 3.
Звiсно, розглядатимемо лише тi алгебри Лейбнiца, якi не є алгебрами Лi. Це означає, що їхнє
ядро Лейбнiца ненульове. Першим типом алгебр Лейбнiца, який буде розглянуто, є нiльпотентнi
алгебри Лейбнiца, а першими з них є нiльпотентнi алгебри Лейбнiца класу нiльпотентностi 3.
Iснує лише один тип таких алгебр, а саме:
\bfL \bfe \bfi 1(3, F ) = Fa1 \oplus Fa2 \oplus Fa3, де [a1, a1] = a2, [a1, a2] = a3,
[a1, a3] = [a2, a1] = [a2, a2] = [a2, a3] = [a3, a1] = [a3, a2] = [a3, a3] = 0.
Це циклiчна алгебра Лейбнiца,
\bfL \bfe \bfi \bfb (\bfL \bfe \bfi 1(3, F )) = \zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(\bfL \bfe \bfi 1(3, F )) = [\bfL \bfe \bfi 1(3, F ),\bfL \bfe \bfi 1(3, F )] = Fa2 \oplus Fa3,
\zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(\bfL \bfe \bfi 1(3, F )) = \zeta (\bfL \bfe \bfi 1(3, F )) = \gamma 3(\bfL \bfe \bfi 1(3, F )) = Fa3.
Теорема 4.1. Нехай G — група автоморфiзмiв алгебри Лейбнiца \bfL \bfe \bfi 1(3, F ). Тодi G iзо-
морфна пiдгрупi групи \bfG \bfL 3(F ), яка складається з матриць вигляду\left( \alpha 1 0 0
\alpha 2 \alpha 2
1 0
\alpha 3 \alpha 1\alpha 2 \alpha 3
1
\right) ,
де \alpha 1 \not = 0. Ця пiдгрупа є напiвпрямим добутком нормальної пiдгрупи \bfT 3(L,F ), яка складається
з матриць вигляду \left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 \alpha 2 1
\right) ,
i пiдгрупи \bfD 3(L,F ), яка складається з матриць вигляду\left( \alpha 1 0 0
0 \alpha 2
1 0
0 0 \alpha 3
1
\right) .
Доведення. Нехай L = \bfL \bfe \bfi 1(3, F ), f \in \bfE \bfn \bfd [,](L), f(a1) = \alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3. Тодi
f(a2) = f([a1, a1]) = [f(a1), f(a1)] = [\alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, \alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3] =
= \alpha 2
1[a1, a1] + \alpha 1\alpha 2[a1, a2] = \alpha 2
1a2 + \alpha 1\alpha 2a3,
f(a3) = f([a1, a2]) = [f(a1), f(a2)] = [\alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, \alpha
2
1a2 + \alpha 1\alpha 2a3] =
= \alpha 3
1[a1, a2] = \alpha 3
1a3.
Отже, ендоморфiзм f має в базисi \{ a1, a2, a3\} матрицю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1347\left( \alpha 1 0 0
\alpha 2 \alpha 2
1 0
\alpha 3 \alpha 1\alpha 2 \alpha 3
1
\right) .
Позначимо через \Xi мономорфiзм моноїда \bfE \bfn \bfd [,](L) в \bfM 3(F ).
Нехай f \in \bfE \bfn \bfd [,](L) i припустимо, що f не є автоморфiзмом. Тодi \bfI \bfm (f) — власна пiдал-
гебра алгебри L. Оскiльки алгебра L циклiчна, то \bfI \bfm (f) \leq [L,L].
Покладемо
\bfN = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a1) \in Fa2 \oplus Fa3\} .
Якщо f \in \bfN \cap \bfE \bfn \bfd [,](L), то f(a1) = \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = f(a3) = 0. Нехай x — довiльний
елемент з L, x = \xi 1a1+\xi 2a2+\xi 3a3. Тодi f(x) = \xi 1f(a1)+\xi 2f(a2)+\xi 3f(a3) = \xi 1\alpha 2a2+\xi 1\alpha 3a3.
Тепер навпаки, нехай \beta , \gamma — елементи з F i g\beta ,\gamma — лiнiйне перетворення L, визначене за
правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то g\beta ,\gamma (x) = \beta \xi 1a2 + \gamma \xi 1a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = [\xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3] =
= \xi 1\eta 1[a1, a1] + \xi 1\eta 2[a1, a2] = \xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3,
g\beta ,\gamma ([x, y]) = g\beta ,\gamma (\xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3) = \xi 1\eta 1g\beta ,\gamma (a2) + \xi 1\eta 2g\beta ,\gamma (a3) = 0,
[g\beta ,\gamma (x), g\beta ,\gamma (y)] = [\beta \xi 1a2 + \gamma \xi 1a3, \beta \eta 1a2 + \gamma \eta 1a3] = 0,
тобто g\beta ,\gamma ([x, y]) = [g\beta ,\gamma (x), g\beta ,\gamma (y)]. Це означає, що \bfN \leq \bfE \bfn \bfd [,](L).
Очевидно, що пiдмножина матриць вигляду\left( 0 0 0
\alpha 2 0 0
\alpha 3 0 0
\right)
є iдеалом напiвгрупи (щодо операцiї множення) всiх трикутних матриць над полем F, а \bfN
— iдеалом моноїда \bfE \bfn \bfd [,](L). Також очевидно, що добуток будь-яких двох елементiв з \bfN
нульовий. I навiть бiльше, \bfE \bfn \bfd [,](L) = \bfN \cup \bfA \bfu \bft [,](L).
Покладемо
\bfD = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a1) = \alpha a1\} .
Якщо f \in \bfD \cap \bfE \bfn \bfd [,](L), то f(a2) = \alpha 2a2, f(a3) = \alpha 3a3.
Тепер навпаки, нехай \beta — довiльний елемент поля F i g\beta — лiнiйне перетворення L,
визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то g\beta (x) = \beta \xi 1a1 + \beta 2\xi 2a2 + \beta 3\xi 3a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = \xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3,
g\beta ([x, y]) = g\beta (\xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3) = \beta 2\xi 1\eta 1a2 + \beta 3\xi 1\eta 2a3,
[g\beta (x), g\beta (y)] = [\beta \xi 1a1 + \beta 2\xi 2a2 + \beta 3\xi 3a3, \beta \eta 1a1 + \beta 2\eta 2a2 + \beta 3\eta 3a3] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1348 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
= \beta 2\xi 1\eta 1[a1, a1] + \beta 3\xi 1\eta 2[a1, a2] = \beta 2\xi 1\eta 1a2 + \beta 3\xi 1\eta 2a3,
тобто g\beta ([x, y]) = [g\beta (x), g\beta (y)]. Це означає, що \bfD \leq \bfE \bfn \bfd [,](L). Очевидно, що \bfN \cap \bfD = \langle 0\rangle .
Покладемо \bfD 3(L,F ) = \Xi (\bfD ). Тодi \bfD 3(L,F ) — пiдгрупа групи \bfG \bfL 3(F ), яка складається з
матриць вигляду \left( \alpha 1 0 0
0 \alpha 2
1 0
0 0 \alpha 3
1
\right) .
За доведеним вище перетин \bfD \cap \bfA \bfu \bft [,](L) iзоморфний \bfD 3(L,F ).
Покладемо
\bfT = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a1) \in a1 + [L,L]\} .
Якщо f \in \bfT \cap \bfE \bfn \bfd [,](L), то f(a1) = a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = a2 + \alpha 2a3, f(a3) = a3. Нехай
x — довiльний елемент з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3. Тодi
f(x) = \xi 1f(a1) + \xi 2f(a2) + \xi 3f(a3) =
= \xi 1a1 + \xi 1\alpha 2a2 + \xi 1\alpha 3a3 + \xi 2a2 + \xi 2\alpha 2a3 + \xi 3a3 =
= \xi 1a1 + (\xi 1\alpha 2 + \xi 2)a2 + (\xi 1\alpha 3 + \xi 2\alpha 2 + \xi 3)a3.
Тепер навпаки, нехай \beta , \gamma — довiльнi елементи поля F i z\beta ,\gamma — лiнiйне перетворення L,
визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то z\beta ,\gamma (x) = \xi 1a1 +(\xi 1\beta + \xi 2)a2 +(\xi 1\gamma +
+ \xi 2\beta + \xi 3)a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = \xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3,
z\beta ,\gamma ([x, y]) = z\beta ,\gamma (\xi 1\eta 1a2 + \xi 1\eta 2a3) = \xi 1\eta 1z\beta ,\gamma (a2) + \xi 1\eta 2z\beta ,\gamma (a3) =
= \xi 1\eta 1(a2 + \beta a3) + \xi 1\eta 2a3 = \xi 1\eta 1a2 + (\xi 1\eta 1\beta + \xi 1\eta 2)a3,
[z\beta ,\gamma (x), z\beta ,\gamma (y)] =
= [\xi 1a1 + (\xi 1\beta + \xi 2)a2 + (\xi 1\gamma + \xi 2\beta + \xi 3)a3, \eta 1a1 + (\eta 1\beta + \eta 2)a2 + (\eta 1\gamma + \eta 2\beta + \eta 3)a3] =
= \xi 1\eta 1[a1, a1] + \xi 1(\eta 1\beta + \eta 2)[a1, a2] = \xi 1\eta 1a2 + (\xi 1\eta 1\beta + \xi 1\eta 2)a3,
тобто z\beta ,\gamma ([x, y]) = [z\beta ,\gamma (x), z\beta ,\gamma (y)]. Це означає, що \bfT \leq \bfE \bfn \bfd [,](L). I навiть бiльше, очевидно,
що z\beta ,\gamma є невиродженим лiнiйним перетворенням, тому \bfT \leq \bfA \bfu \bft [,](L).
Покладемо \bfT 3(L,F ) = \Xi (T ). Тодi \bfT 3(L,F ) — пiдгрупа групи \bfU \bfT 3(F ) усiх унiтрикутних
матриць над полем F, яка складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 \alpha 2 1
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1349
Легко переконатися у тому, що пiдгрупа \bfT 3(L,F ) абелева. З рiвностi
\bfU \bfT 3(F ) \cap \Xi (\bfA \bfu \bft [,](L)) = \bfT 3(L,F )
випливає, що пiдгрупа T нормальна в \bfA \bfu \bft [,](L).
Нехай h — довiльний елемент з \bfA \bfu \bft [,](L), h(a1) = \lambda a1 + \mu a2 + \nu a3. Тодi
(h \circ g\lambda - 1)(a1) = h(g\lambda - 1(a1)) = h(\lambda - 1a1) =
= \lambda - 1h(a1) = \lambda - 1(\lambda a1 + \mu a2 + \nu a3) \in a1 + [L,L].
Це означає, що h\circ g\lambda - 1 \in \bfT . Очевидно, що g\lambda - 1 = g - 1
\lambda , тому h \in g\lambda T, звiдки випливає рiвнiсть
\bfA \bfu \bft [,](L) = (\bfD \cap \bfA \bfu \bft [,](L))\bfT . Очевидно, що перетин \bfD \cap \bfT тривiальний.
За доведеним вище група автоморфiзмiв \bfA \bfu \bft [,](L) iзоморфна пiдгрупi групи \bfG \bfL 3(F ) i є
напiвпрямим добутком \bfT 3(L,F ) i \bfD 3(L,F ).
Теорему 4.1 доведено.
Нехай тепер L — нiльпотентна алгебра Лейбнiца, клас нiльпотентностi якої дорiвнює 2.
Звiсно, ми припускаємо, що L не є алгеброю Лi. Тодi центр \zeta (L) має вимiрнiсть 2 або 1.
Припустимо, що \bfd \bfi \bfm F (\zeta (L)) = 2. Оскiльки L не є алгеброю Лi, то iснує такий елемент a1,
що [a1, a1] = a3 \not = 0. Оскiльки алгебра Лейбнiца вимiрностi 1 абелева, то a3 \in \zeta (L). Це означає,
що [a1, a3] = [a3, a1] = [a3, a3] = 0. Оскiльки центр \zeta (L) є абелевою алгеброю вимiрностi 2, то
вiн має прямий розклад \zeta (L) = Fa2 \oplus Fa3 для деякого елемента a2. Отже, отримуємо такий
тип нiльпотентної алгебри Лейбнiца:
\bfL \bfe \bfi 2(3, F ) = Fa1 \oplus Fa2 \oplus Fa3, де [a1, a1] = a3,
[a1, a2] = [a1, a3] = [a2, a1] = [a2, a2] = [a2, a3] = [a3, a1] = [a3, a2] = [a3, a3] = 0.
Таким чином, \bfL \bfe \bfi 2(3, F ) є прямою сумою двох iдеалiв A = Fa1 \oplus Fa3 i B = Fa2. I навiть
бiльше, A — циклiчна нiльпотентна алгебра Лейбнiца вимiрностi 2,
\bfL \bfe \bfi \bfb (\bfL \bfe \bfi 2(3, F )) = [\bfL \bfe \bfi 2(3, F ),\bfL \bfe \bfi 2(3, F )] = Fa3,
\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(\bfL \bfe \bfi 2(3, F )) = \zeta \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(\bfL \bfe \bfi 2(3, F )) = \zeta (\bfL \bfe \bfi 2(3, F )) = Fa2 \oplus Fa3.
Теорема 4.2. Нехай G — група автоморфiзмiв алгебри Лейбнiца \bfL \bfe \bfi 2(3, F ). Тодi G iзо-
морфна пiдгрупi групи \bfG \bfL 3(F ), яка складається з матриць вигляду\left( \alpha 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 \alpha 2
1
\right) ,
де \alpha 1 \not = 0, \beta 2 \not = 0. Iнакше кажучи, G = \bfS \leftthreetimes \bfD , \bfD \sim = F\times , \bfS = \bfT \bfC , де \bfT нормальна в G,
\bfT \sim = F+\times F+, \bfC = \bfA \bfB , де \bfA нормальна в \bfC , \bfA \sim = F+\times F+, \bfB \sim = F\times . Крiм того, \bfS iзоморфна
пiдгрупi групи \bfG \bfL 3(F ), яка складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 1
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1350 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
\bfT iзоморфна пiдгрупi матриць вигляду\left( 1 0 0
0 1 0
\alpha 3 \beta 3 1
\right) ,
\bfC iзоморфна пiдгрупi матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 0 1
\right) ,
\bfA iзоморфна пiдгрупi матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 0 1
\right) ,
\bfB iзоморфна пiдгрупi матриць вигляду\left( 1 0 0
0 \beta 2 0
0 0 1
\right) ,
\bfD iзоморфна пiдгрупi матриць вигляду\left( \alpha 1 0 0
0 1 0
0 0 \alpha 2
1
\right) .
Доведення. Нехай L = \bfL \bfe \bfi 2(3, F ), f \in \bfA \bfu \bft [,](L). Згiдно з лемою 2.1 f(Fa3) = Fa3,
f(Fa2 \oplus Fa3) = Fa2 \oplus Fa3, тому f(a1) = \alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = \beta 2a2 + \beta 3a3. Тодi
f(a3) = f([a1, a1]) = [f(a1), f(a1)] =
= [\alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, \alpha 1a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3] = \alpha 2
1[a1, a1] = \alpha 2
1a3.
Таким чином, автоморфiзм f має в базисi \{ a1, a2, a3\} матрицю\left( \alpha 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 \alpha 2
1
\right) .
Позначимо через \Xi канонiчний мономорфiзм моноїда \bfE \bfn \bfd [,](L) в \bfM 3(F ).
Нехай
\bfT = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a1) \in a1 + [L,L], f(a2) \in a2 + [L,L]\} = C\bfE \bfn \bfd (L)(L/[L,L]).
Якщо f \in \bfT \cap \bfE \bfn \bfd [,](L), то f(a1) = a1 + \alpha 3a3, f(a2) = a2 + \beta 3a3, f(a3) = a3. Якщо x —
довiльний елемент з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1351
f(x) = \xi 1f(a1) + \xi 2f(a2) + \xi 3f(a3) = \xi 1a1 + \xi 1\alpha 3a3 + \xi 2a2 + \xi 2\beta 3a3 + \xi 3a3 =
= \xi 1a1 + \xi 2a2 + (\xi 1\alpha 3 + \xi 2\beta 3 + \xi 3)a3.
Тепер навпаки, нехай \lambda , \mu — довiльнi елементи поля F i z\lambda ,\mu — лiнiйне перетворення L,
визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1+\xi 2a2+\xi 3a3, то z\lambda ,\mu (x) = \xi 1a1+\xi 2a2+(\xi 1\lambda +\xi 2\mu +\xi 3)a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = [\xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3] = \xi 1\eta 1[a1, a1] = \xi 1\eta 1a3,
z\lambda ,\mu ([x, y]) = z\lambda ,\mu (\xi 1\eta 1a3) = \xi 1\eta 1z\lambda ,\mu (a3) = \xi 1\eta 1a3,
[z\lambda ,\mu (x), z\lambda ,\mu (y)] =
= [\xi 1a1 + \xi 2a2 + (\xi 1\lambda + \xi 2\mu + \xi 3)a3, \eta 1a1 + \eta 2a2 + (\eta 1\lambda + \eta 2\mu + \eta 3)a3] =
= \xi 1\eta 1[a1, a1] = \xi 1\eta 1a3,
тобто z\lambda ,\mu ([x, y]) = [z\lambda ,\mu (x), z\lambda ,\mu (y)]. Це означає, що \bfT \leq \bfE \bfn \bfd [,](L). I навiть бiльше, оче-
видно, що z\lambda ,\mu є невиродженим лiнiйним перетворенням, i тому \bfT \leq \bfA \bfu \bft [,](L). Покладемо
\bfT 3(L,F ) = \Xi (\bfT ). Тодi \bfT 3(L,F ) — пiдгрупа групи \bfU \bfT 3(F ) усiх унiтрикутних матриць над
полем F, яка складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
0 1 0
\alpha 3 \beta 3 1
\right) .
Легко довести, що пiдгрупа \bfT 3(L,F ) абелева та iзоморфна прямому добутку двох копiй ади-
тивної групи поля F. Також легко показати, що \bfT нормальна в \bfA \bfu \bft [,](L).
Нехай
\bfS = \{ f | f \in \bfE \bfn \bfd (L), f(a1) \in a1 + \zeta (L)\} = C\bfE \bfn \bfd (L)(L/\zeta (L)).
Якщо f \in \bfS \cap \bfE \bfn \bfd [,](L), то f(a1) = a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = \beta 2a2 + \beta 3a3, f(a3) = a3.
Якщо x — довiльний елемент з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то
f(x) = \xi 1f(a1) + \xi 2f(a2) + \xi 3f(a3) =
= \xi 1a1 + \xi 1\alpha 2a2 + \xi 1\alpha 3a3 + \xi 2\beta 2a2 + \xi 2\beta 3a3 + \xi 3a3 =
= \xi 1a1 + (\xi 1\alpha 2 + \xi 2\beta 2)a2 + (\xi 1\alpha 3 + \xi 2\beta 3 + \xi 3)a3.
Тепер навпаки, нехай \lambda , \mu , \nu , \sigma — довiльнi елементи поля F i v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma — лiнiйне перетворення
L, визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1+ \xi 2a2+ \xi 3a3, то v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (x) = \xi 1a1+(\xi 1\lambda + \xi 2\nu )a2+
+ (\xi 1\mu + \xi 2\sigma + \xi 3)a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = [\xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3] = \xi 1\eta 1[a1, a1] = \xi 1\eta 1a3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1352 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma ([x, y]) = v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (\xi 1\eta 1a3) = \xi 1\eta 1v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (a3) = \xi 1\eta 1a3,
[v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (x), v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (y)] =
= [\xi 1a1 + (\xi 1\lambda + \xi 2\nu )a2 + (\xi 1\mu + \xi 2\sigma + \xi 3)a3, \eta 1a1 + (\eta 1\lambda + \eta 2\nu )a2 + (\eta 1\mu + \eta 2\sigma + \eta 3)a3] =
= \xi 1\eta 1[a1, a1] = \xi 1\eta 1a3,
тобто v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma ([x, y]) = [v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (x), v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma (y)]. Це означає, що \bfS \leq \bfE \bfn \bfd [,](L). I навiть бiльше,
очевидно, що v\lambda ,\mu ,\nu ,\sigma є невиродженим лiнiйним перетворенням, i тому \bfS \leq \bfA \bfu \bft [,](L). По-
кладемо \bfS 3(L,F ) = \Xi (\bfS ). Тодi \bfS 3(L,F ) — пiдгрупа групи \bfT 3(F ), яка складається з матриць
вигляду \left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 1
\right) .
Покладемо
\bfC = \{ f | f \in \bfS , f(a2) = \beta a2\} .
Якщо f \in \bfC , то f(a1) = a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = \beta 2a2, f(a3) = a3.
Нехай x — довiльний елемент з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3. Тодi
f(x) = \xi 1f(a1) + \xi 2f(a2) + \xi 3f(a3) = \xi 1a1 + \xi 1\alpha 2a2 + \xi 1\alpha 3a3 + \xi 2\beta 2a2 + \xi 3a3 =
= \xi 1a1 + (\xi 1\alpha 2 + \xi 2\beta 2)a2 + (\xi 1\alpha 3 + \xi 3)a3.
Покладемо \bfC 3(L,F ) = \Xi (\bfC ). Тодi \bfC 3(L,F ) складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 0 1
\right) .
Рiвнiсть \left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 0 1
\right) \left( 1 0 0
\lambda 2 \mu 2 0
\lambda 3 0 1
\right) =
\left( 1 0 0
\alpha 2 + \beta 2\lambda 2 \beta 2\mu 2 0
\alpha 3 + \lambda 3 0 1
\right)
показує, що \bfC є пiдгрупою \bfS , а оскiльки\left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 1
\right) \left( 1 0 0
- \alpha 2\beta
- 1
2 \beta - 1
2 0
- \alpha 3 0 1
\right) =
\left( 1 0 0
0 1 0
\alpha 3 - \beta 3\alpha 2\beta
- 1
2 - \alpha 3 \beta 3\beta
- 1
2 1
\right) \in \bfT ,
то \bfS = \bfT \bfC . Як було зазначено, \bfT нормальна в \bfA \bfu \bft [,](L). Зокрема, \bfT нормальна в \bfS . Разом з
тим, перетин \bfT \cap \bfC є пiдгрупою групи \bfU \bfT 2
3(F ), тобто пiдгрупою матриць вигляду\left( 1 0 0
0 1 0
\gamma 0 1
\right) , \gamma \in F.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1353
Можна довести, що центр пiдгрупи \bfS 3(L,F ) мiстить \bfU \bfT 2
3(F ), а \bfU \bfT 2
3(F ) iзоморфна ади-
тивнiй групi поля F.
Легко показати, що комутант пiдгрупи \bfC 3(L,F ) збiгається з множиною матриць вигляду\left( 1 0 0
\gamma 1 0
0 0 1
\right) , \gamma \in F,
а рiвнiсть \left( 1 0 0
\gamma 1 0
0 0 1
\right) \left( 1 0 0
\nu 1 0
0 0 1
\right) =
\left( 1 0 0
\gamma + \nu 1 0
0 0 1
\right)
показує, що цей комутант iзоморфний адитивнiй групi поля F.
Нехай
A =
\left( 1 0 0
\gamma 1 0
0 0 1
\right) , B =
\left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 0 1
\right) .
Безпосередньо можна переконатись у тому, що
[A,B] =
\left( 1 0 0
\beta - 1
2 \gamma - \gamma 1 0
0 0 1
\right) .
Це означає, що якщо F \not = \BbbF 2, то для кожної матрицi C \in [\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )] iснують такi
матрицi A \in [\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )], B \in \bfC 3(L,F ), що C = [A,B]. Таким чином, отримуємо
рiвнiсть
[[\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )],\bfC 3(L,F )] = [\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )].
Якщо F = \BbbF 2, то можна показати, що пiдгрупа \bfC 3(L,F ) абелева й iзоморфна прямому
добутку двох копiй адитивної групи поля F.
Покладемо
\bfA = \{ f | f \in \bfC , f(a2) = a2\} = C\bfC (a2).
Якщо f \in \bfA , то f(a1) = a1 + \alpha 2a2 + \alpha 3a3, f(a2) = a2, f(a3) = a3.
Покладемо \bfA 3(L,F ) = \Xi (A). Тодi \bfA 3(L,F ) складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 0 1
\right) .
Рiвнiсть \left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 0 1
\right) \left( 1 0 0
\lambda 2 1 0
\lambda 3 0 1
\right) =
\left( 1 0 0
\alpha 2 + \lambda 2 1 0
\alpha 3 + \lambda 3 0 1
\right)
показує, що пiдгрупа \bfA iзоморфна прямому добутку двох копiй адитивної групи поля F. Iз
включення [\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )] \leq \bfA 3(L,F ) випливає, що пiдгрупа \bfA 3(L,F ) нормальна в
\bfC 3(L,F ). Разом з тим очевидно, що \bfA 3(L,F ) = [\bfC 3(L,F ),\bfC 3(L,F )]\times \bfU \bfT 2
3(F ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
1354 Л. А. КУРДАЧЕНКО, О. О. ПИПКА, Т. В. ВЕЛИЧКО
Покладемо
\bfB = \{ f | f \in \bfC , f(a1) = a1\} = C\bfC (a1).
Якщо f \in \bfB , то f(a1) = a1, f(a2) = \beta 2a2, f(a3) = a3.
Покладемо \bfB 3(L,F ) = \Xi (\bfB ). Тодi \bfB 3(L,F ) складається з матриць вигляду\left( 1 0 0
0 \beta 2 0
0 0 1
\right) .
Таким чином, пiдгрупа \bfB 3(L,F ), а отже i \bfB , iзоморфна мультиплiкативнiй групi поля F.
Рiвнiсть \left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 0 1
\right) \left( 1 0 0
0 \beta - 1
2 0
0 0 1
\right) =
\left( 1 0 0
\alpha 2 1 0
\alpha 3 0 1
\right)
показує, що \bfC 3(L,F ) = \bfA 3(L,F )\bfB 3(L,F ), i тому \bfC = \bfA \bfB .
Покладемо
\bfD = \{ f | f — невироджене лiнiйне перетворення L,
f(a1) = \alpha a1 для деякого \alpha \in F, f(a2) = a2\} .
Якщо f \in \bfD \cap \bfA \bfu \bft [,](L), то f(a1) = \alpha 1a1, f(a2) = a2, f(a3) = \alpha 2
1a3.
Якщо x — довiльний елемент з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то
f(x) = \xi 1f(a1) + \xi 2f(a2) + \xi 3f(a3) = \xi 1\alpha 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3\alpha
2
1a3.
Тепер навпаки, нехай \lambda — довiльний елемент поля F i u\lambda — лiнiйне перетворення L,
визначене за правилом: якщо x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, то u\lambda (x) = \xi 1\lambda a1 + \xi 2a2 + \xi 3\lambda
2a3.
Нехай x, y — довiльнi елементи з L, x = \xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, y = \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3, де
\xi 1, \xi 2, \xi 3, \eta 1, \eta 2, \eta 3 \in F. Тодi
[x, y] = [\xi 1a1 + \xi 2a2 + \xi 3a3, \eta 1a1 + \eta 2a2 + \eta 3a3] = \xi 1\eta 1a3,
u\lambda ([x, y]) = u\lambda (\xi 1\eta 1a3) = \xi 1\eta 1u\lambda (a3) = \xi 1\eta 1\lambda
2a3,
[u\lambda (x), u\lambda (y)] =
= [\xi 1\lambda a1 + \xi 2a2 + \xi 3\lambda
2a3, \eta 1\lambda a1 + \eta 2a2 + \eta 3\lambda
2a3] = \xi 1\eta 1\lambda
2[a1, a1] = \xi 1\eta 1\lambda
2a3,
тобто u\lambda ([x, y]) = [u\lambda (x), u\lambda (y)]. Це означає, що \bfD \leq \bfA \bfu \bft [,](L). Нехай \bfD 3(L,F ) = \Xi (\bfD ). Тодi
\bfD 3(L,F ) — пiдгрупа групи \bfT 3(F ) трикутних матриць над полем F, яка складається з матриць
вигляду \left( \alpha 1 0 0
0 1 0
0 0 \alpha 2
1
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
ПРО ГРУПИ АВТОМОРФIЗМIВ ДЕЯКИХ АЛГЕБР ЛЕЙБНIЦА МАЛОЇ ВИМIРНОСТI 1355
Легко показати, що пiдгрупа \bfD 3(L,F ), а отже i \bfD , iзоморфна мультиплiкативнiй групi поля
F. Рiвнiсть \left( \alpha 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3 \beta 3 \alpha 2
1
\right) =
\left( \alpha 1 0 0
0 1 0
0 0 \alpha 2
1
\right) \left( 1 0 0
\alpha 2 \beta 2 0
\alpha 3\alpha
- 2
1 \beta 3\alpha
- 2
1 1
\right)
показує, що \bfA \bfu \bft [,](L) = \bfS \bfD . I навiть бiльше, перетин \bfS \cap \bfD тривiальний. Легко показати, що
пiдгрупа \bfS є \bfD -iнварiантною, тому \bfS нормальна в \bfA \bfu \bft [,](L). Таким чином, \bfA \bfu \bft [,](L) = \bfS \leftthreetimes \bfD ,
\bfD \sim = F\times , \bfS = \bfT \bfC , де \bfT нормальна в \bfA \bfu \bft [,](L), \bfT \sim = F+ \times F+, \bfC = \bfA \bfB , де \bfA нормальна в
\bfC , \bfA \sim = F+ \times F+, \bfB \sim = F\times .
Теорему 4.2 доведено.
Перший автор вдячний за пiдтримку, надану Iнститутом математики Iсаака Ньютона та
Единбурзьким унiверситетом у рамках Програми додаткових грантiв LMS Solidarity.
Лiтература
1. Sh. Ayupov, K. Kudaybergenov, B. Omirov, K. Zhao, Semisimple Leibniz algebras, their derivations and automor-
phisms, Linear and Multilinear Algebra, 68, № 10, 2005 – 2019 (2020); DOI:10.1080/03081087.2019.1567674.
2. Sh. Ayupov, B. Omirov, I. Rakhimov, Leibniz algebras: structure and classification, CRC Press, Taylor & Francis
Group (2020).
3. A. Blokh, On a generalization of the concept of Lie algebra, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 165, № 3, 471 – 473 (1965)
(in Russian).
4. J. M. Casas, M. A. Insua, M. Ladra, S. Ladra, An algorithm for the classification of 3-dimensional complex Leibniz
algebras, Linear Algebra and Appl., 436, № 9, 3747 – 3756 (2012); DOI:10.1016/j.laa.2011.11.039.
5. C. Cuvier, Algèbres de Leibnitz: définitions, propriétés, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 27, № 1, 1 – 45 (1994);
DOI:10.24033/asens.1687.
6. I. Demir, K. C. Misra, E. Stitzinger, On some structures of Leibniz algebras, Recent Advances in Representati-
on Theory, Quantum Groups, Algebraic Geometry, and Related Topics, Contemp. Math., 623, 41 – 54 (2014);
DOI:10.1090/conm/623/12456.
7. A. Kh. Khudoyberdiyev, T. K. Kurbanbaev, B. A. Omirov, Classification of three-dimensional solvable p-adic Leibniz
algebras, p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2, № 3, 207 – 221 (2010); DOI:10.1134/S2070046610030039.
8. L. A. Kurdachenko, J. Otal, A. A. Pypka, Relationships between the factors of the canonical central series of Leibniz
algebras, Eur. J. Math., 2, № 2, 565 – 577 (2016); DOI:10.1007/s40879-016-0093-5.
9. L. A. Kurdachenko, A. A. Pypka, I. Ya. Subbotin, On the automorphism groups of some Leibniz algebras, Int. J.
Group Theory (to appear); DOI:10.22108/ IJGT.2021.130057.1735.
10. M. Ladra, I. M. Rikhsiboev, R. M. Turdibaev, Automorphisms and derivations of Leibniz algebras, Ukr. Math. J., 68,
№ 7, 1062 – 1076 (2016); DOI:10.1007/s11253-016-1277-3.
11. J.-L. Loday, Cyclic homology, Grundlehren Math. Wiss., 301, Springer Verlag, (1992); DOI:10.1007/978-3-662-
11389-9.
12. J.-L. Loday, Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbras de Leibniz, Enseign. Math., 39, 269 – 293
(1993).
13. J.-L. Loday, T. Pirashvili, Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology, Math. Ann., 296,
№ 1, 139 – 158 (1993); DOI:10.1007/ BF01445099.
14. I. S. Rakhimov, I. M. Rikhsiboev, M. A. Mohammed, An algorithm for classifications of three-dimensional
Leibniz algebras over arbitrary fields, JP J. Algebra, Number Theory and Appl., 40, № 2, 181 – 198 (2018);
DOI:10.17654/NT040020181.
15. I. M. Rikhsiboev, I. S. Rakhimov, Classification of three dimensional complex Leibniz algebras, AIP Conf. Proc.,
1450, № 1, 358 – 362 (2012); DOI:10.1063/1.4724168.
16. V. S. Yashchuk, On some Leibniz algebras, having small dimension, Algebra and Discrete Math., 27, № 2, 292 – 308
(2019).
Одержано 10.08.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-7282 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:09Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/09/d80dc771611d33fa8572cbd3166f1309.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-72822023-01-07T13:45:41Z On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions Про групи автоморфізмів деяких алгебр Лейбніца малої вимірності Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Velychko, T. V. Курдаченко, Л. А. Пипка, О. О. Величко, Т. В. Алгебра Лейбніца Група автоморфізмів Leibniz algebra Automorphism group UDC 512.554 We study the automorphism groups of Leibniz algebras of low dimensions and obtain complete descriptions of the automorphism groups of Leibniz algebras of dimension 2 and some types of nilpotent Leibniz algebras of dimension 3. УДК 512.554 Досліджено групи автоморфізмів алгебр Лейбніца малої вимірності. Отримано повні описи груп автоморфізмів алгебр Лейбніца вимірності 2 та деяких типів нільпотентних алгебр Лейбніца вимірності 3. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-11-27 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7282 10.37863/umzh.v74i10.7282 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 10 (2022); 1339 - 1355 Український математичний журнал; Том 74 № 10 (2022); 1339 - 1355 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7282/9309 Copyright (c) 2022 Леонід Андрійович Курдаченко, Олександр Олександрович Пипка, Тетяна Володимирівна Величко |
| spellingShingle | Kurdachenko, L. A. Pypka, O. O. Velychko, T. V. Курдаченко, Л. А. Пипка, О. О. Величко, Т. В. On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title | On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title_alt | Про групи автоморфізмів деяких алгебр Лейбніца малої вимірності |
| title_full | On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title_fullStr | On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title_full_unstemmed | On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title_short | On the automorphism groups for some Leibniz algebras of low dimensions |
| title_sort | on the automorphism groups for some leibniz algebras of low dimensions |
| topic_facet | Алгебра Лейбніца Група автоморфізмів Leibniz algebra Automorphism group |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7282 |
| work_keys_str_mv | AT kurdachenkola ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT pypkaoo ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT velychkotv ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT kurdačenkola ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT pipkaoo ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT veličkotv ontheautomorphismgroupsforsomeleibnizalgebrasoflowdimensions AT kurdachenkola progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností AT pypkaoo progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností AT velychkotv progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností AT kurdačenkola progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností AT pipkaoo progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností AT veličkotv progrupiavtomorfízmívdeâkihalgebrlejbnícamaloívimírností |