On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces
UDC 517.927 We study systems of linear ordinary differential equations with the most general inhomogeneous boundary conditions in fractional Sobolev spaces on a nite interval. The Fredholm property of these problems in the corresponding pairs of Banach spaces is proved. Their indices and dimensio...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7308 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512652965445632 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Atlasiuk, О. М. Skorobohach, T. B. Mikhailets, V. A. Михайлець, В. А. Атласюк, О. М. Скоробогач, Т. Б. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Atlasiuk, О. М. Skorobohach, T. B. Mikhailets, V. A. Михайлець, В. А. Атласюк, О. М. Скоробогач, Т. Б. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-25T14:21:52Z |
| description | UDC 517.927
We study systems of linear ordinary differential equations with the most general inhomogeneous boundary conditions in fractional Sobolev spaces on a nite interval. The Fredholm property of these problems in the corresponding pairs of Banach spaces is proved. Their indices and dimensions of the kernels and cokernels are found. We also present examples showing the constructive character of the obtained results.
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7308 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7308
УДК 517.927
В. А. Михайлець1,2 (Iн-т математики Чеської академiї наук, Прага; Iн-т математики НАН України, Київ),
О. М. Атласюк2 (Iн-т математики Чеської академiї наук, Прага; Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. Б. Скоробогач (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”)
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ФРЕДГОЛЬМОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
У ДРОБОВИХ ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА
We study systems of linear ordinary differential equations with the most general inhomogeneous boundary conditions in
fractional Sobolev spaces on a finite interval. The Fredholm property of these problems in the corresponding pairs of
Banach spaces is proved. Their indices and dimensions of the kernels and cokernels are found. We also present examples
showing the constructive character of the obtained results.
Дослiджено системи лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь iз найбiльш загальними неоднорiдними крайо-
вими умовами в дробових просторах Соболєва на скiнченному iнтервалi. Доведено фредгольмовiсть таких задач у
вiдповiдних парах банахових просторiв, знайдено їхнi iндекси та вимiрностi ядер i коядер. Наведено приклади, що
показують конструктивний характер отриманих результатiв.
1. Вступ та постановка задач. Дослiдження розв’язкiв систем звичайних диференцiальних
рiвнянь є суттєвою частиною багатьох задач сучасного аналiзу та його застосувань (див., на-
приклад, монографiю [1] та наведену там бiблiографiю). На вiдмiну вiд задач Кошi розв’язки
таких задач можуть не iснувати або не бути єдиними.
Для неоднорiдних крайових задач на скiнченному iнтервалi вигляду
Ly := y\prime (t) +A(t)y(t) = f(t), t \in (a, b),
By = c,
де матриця-функцiя A(\cdot ) i вектор-функцiя f(\cdot ) сумовнi на [a, b], а лiнiйний неперервний опе-
ратор
B : C
\bigl(
[a, b];\BbbR m
\bigr)
\rightarrow \BbbR m,
питання коректної розв’язностi i неперервної залежностi розв’язкiв за параметром у просторi
C
\bigl(
[a, b];\BbbR m
\bigr)
вивчав I. Т. Кiгурадзе [2, 3] та його послiдовники [4 – 6]. Такi задачi охоплюють
всi класичнi види крайових умов (двоточковi, багатоточковi, iнтегральнi, мiшанi), але не охоп-
люють задачi, що мiстять похiднi невiдомої функцiї цiлого або дробового порядку у крайових
умовах. Такi крайовi умови пов’язанi з функцiональними просторами, в яких вивчається задача.
Їх аналiз потребує нових пiдходiв i методiв дослiдження. У випадку просторiв Соболєва цiлого
порядку їх проаналiзовано у роботах [7 – 10], а у випадку просторiв Гельдера — в роботi [11].
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: mikhailets@imath.kiev.ua.
2 Дослiдження В. А. Михайлеця та О. М. Атласюк пiдтримано Чеською академiєю наук (грант RVO:67985840).
Дослiдження О. М. Атласюк пiдтримано науково-дослiдною темою молодих учених НАН України, 2021 – 2022 рр.
(0121U111949) та науково-дослiдним проєктом спiльних колективiв науковцiв Київського нацiонального унiверси-
тету iменi Тараса Шевченка та НАН України, 2022 – 2023 рр. (3М 2022).
c\bigcirc В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, О. М. АТЛАСЮК, Т. Б. СКОРОБОГАЧ, 2023
96 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ФРЕДГОЛЬМОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 97
При цьому iстотно використовувався аналiтичний опис лiнiйних операторiв, що неперервно
дiють iз простору Соболєва чи C(n) у простiр \BbbC m.
У данiй роботi дослiджується випадок дробових просторiв Соболєва. Для таких просторiв
опису лiнiйних неперервних операторiв, що дiють iз цих просторiв у \BbbC m, немає, що суттєво
ускладнює дослiдження крайових задач.
Введемо деякi необхiднi позначення для постановки задач. Нехай задано скiнченний iнтер-
вал (a, b) \subset \BbbR та числовi параметри
\{ m,n, r\} \subset \BbbN , s \in (1,\infty ) \setminus \BbbN , 1 \leq p < \infty .
Позначимо через Wn
p := Wn
p ([a, b];\BbbC ) комплексний простiр Соболєва i покладемо
W 0
p := Lp. Аналогiчно позначимо простори Соболєва вектор-функцiй (Wn
p )
m := Wn
p ([a, b];\BbbC m)
i матриць-функцiй (Wn
p )
m\times m := Wn
p ([a, b];\BbbC m\times m), елементи яких належать функцiональному
простору Wn
p . Норми у цих просторах позначимо через \| \cdot \| n,p; вони є сумами вiдповiдних норм
у Wn
p всiх елементiв векторно- або матричнозначної функцiї. З контексту завжди зрозумiло,
про норму в якому саме просторi (скалярних, вектор- чи матриць-функцiй) йде мова. Якщо
m = 1, то всi цi простори збiгаються. Як вiдомо, простори Wn
p є банаховими i сепарабельними
при p < \infty .
Позначимо через W s
p := W s
p ([a, b];\BbbC ), де 1 \leq p < \infty i нецiле s > 1, простiр Соболє-
ва – Слободецького всiх комплекснозначних функцiй, якi належать простору Соболєва W
[s]
p i
задовольняють умову
\| f\| s,p := \| f\| [s],p +
\left( b\int
a
b\int
a
\bigm| \bigm| f [s](x) - f [s](y)
\bigm| \bigm| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy
\right) 1/p
< +\infty ,
де [s] — цiла, а \{ s\} — дробова частина числа s. Тут, нагадаємо, \| \cdot \| [s],p — норма у просторi
Соболєва W
[s]
p . Ця рiвнiсть задає норму \| f\| s,p на просторi W s
p .
Розглянемо на скiнченному iнтервалi (a, b) лiнiйну крайову задачу для системи m дифе-
ренцiальних рiвнянь першого порядку
(Ly)(t) := y\prime (t) +A(t)y(t) = f(t), t \in (a, b), (1)
By = c, (2)
де матриця-функцiя A(\cdot ) належить простору (W s - 1
p )m\times m, вектор-функцiя f(\cdot ) — простору
(W s - 1
p )m, вектор c — простору \BbbC r, а B є лiнiйним неперервним оператором
B : (W s
p )
m \rightarrow \BbbC r.
Крайова умова (2) задає r скалярних крайових умов для системи m диференцiальних
рiвнянь першого порядку. Вектори i вектор-функцiї вважаємо записаними у виглядi стовпцiв.
У випадку r > m крайова задача (1), (2) є перевизначеною, а при r < m — недовизначеною. Пiд
розв’язком крайової задачi (1), (2) розумiємо вектор-функцiю y(\cdot ) \in (W s
p )
m, яка задовольняє
рiвняння (1) при s > 1 + 1/p скрiзь, а при s \leq 1 + 1/p майже скрiзь на (a, b), та рiвнiсть (2),
яка задає r скалярних крайових умов.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
98 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, О. М. АТЛАСЮК, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
Розв’язок рiвняння (1) заповнює простiр (W s
p )
m, якщо його права частина f(\cdot ) перебiгає
простiр (W s - 1
p )m. Тому крайова умова (2) є найбiльш загальною умовою для цього рiвняння.
Вона включає всi вiдомi типи класичних крайових умов (а саме, задачу Кошi, дво- й багатоточ-
ковi задачi, iнтегральнi й мiшанi задачi) та численнi некласичнi задачi. Останнiй клас задач може
мiстити похiднi цiлого або дробового порядку \beta шуканої вектор-функцiї, де 0 \leq \beta < s - 1
p
.
Метою цiєї роботи є встановлення фредгольмовостi крайової задачi (1), (2); знаходження
її iндексу, вимiрностi ядра та коядра оператора неоднорiдної крайової задачi через аналогiчнi
властивостi спецiальної прямокутної числової матрицi. У випадку просторiв Соболєва цiлого
порядку подiбнi результати отримано в роботi [12].
2. Основнi результати. Запишемо неоднорiдну крайову задачу (1), (2) у виглядi лiнiйного
операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c),
де (L,B) — лiнiйний оператор у парi банахових просторiв
(L,B) : (W s
p )
m \rightarrow (W s - 1
p )m \times \BbbC r. (3)
Нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор T : X \rightarrow Y, де X i Y — банаховi простори,
називають фредгольмовим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T i коядро Y/T (X) скiнченновимiрнi. Якщо
цей оператор фредгольмовий, то його область значень T (X) замкнена в Y, а iндекс
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(Y/T (X)) \in \BbbZ
є скiнченним (див., наприклад, [13], лема 19.1.1).
Теорема 1. Лiнiйний оператор (3) є обмеженим i фредгольмовим з iндексом m - r.
Позначимо через Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m єдиний розв’язок лiнiйного однорiдного матричного
рiвняння з початковою умовою Кошi
Y \prime (t) +A(t)Y (t) = Om, t \in (a, b), Y (a) = Im. (4)
Тут Om — нульова, а Im — одинична (m \times m)-матрицi. Єдиний розв’язок задачi Кошi (4)
належить простору (W s
p )
m\times m.
Означення 1. Прямокутна числова матриця
M(L,B) \in \BbbC m\times r (5)
є характеристичною для крайової задачi (1), (2), якщо її j-й стовпчик є результатом дiї опера-
тора B на j-й стовпчик матрицi-функцiї Y (\cdot ). Тут m — кiлькiсть скалярних диференцiальних
рiвнянь системи (1), r — кiлькiсть скалярних крайових умов.
Теорема 2. Вимiрностi ядра i коядра оператора (3) дорiвнюють вiдповiдно вимiрностям
ядра i коядра характеристичної матрицi:
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M(L,B)
\bigr)
, (6)
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M(L,B)
\bigr)
. (7)
З теореми 2 випливає критерiй оборотностi оператора (L,B), тобто умова, за якої задача
(1), (2) має єдиний розв’язок, який неперервно залежить вiд правих частин диференцiального
рiвняння та крайової умови.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ФРЕДГОЛЬМОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 99
Теорема 3. Оператор (L,B) є оборотним тодi й лише тодi, коли r = m i квадратна
матриця M(L,B) невироджена.
3. Приклади.
Приклад 1. Розглянемо лiнiйну одноточкову крайову задачу для диференцiального рiв-
няння
Ly(t) := y\prime (t) +Ay(t) = f(t), t \in (a, b), (8)
By =
n - 1\sum
k=0
\alpha ky
(k)(a) = c, (9)
де A є сталою (m\times m)-матрицею, вектор-функцiя f(\cdot ) належить простору (W s - 1
p )m, матрицi
\alpha k \in \BbbC r\times m, вектор c \in \BbbC r, лiнiйнi неперервнi оператори
B : (W s
p )
m \rightarrow \BbbC r, (L,B) : (W s
p )
m \rightarrow (W s - 1
p )m \times \BbbC r,
вектор-функцiя y(\cdot ) \in (W s
p )
m, а s > n+
1
p
- 1.
Позначимо через Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m єдиний розв’язок матричної задачi Кошi
Y \prime (t) +AY (t) = Om, t \in (a, b), Y (a) = Im.
Тодi матриця-функцiя Y (\cdot ) та її k-та похiдна набирають вигляду
Y (t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
- A(t - a)
\bigr)
, Y (a) = Im,
Y (k)(t) = ( - A)k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
- A(t - a)
\bigr)
, Y (k)(a) = ( - A)k, k \in \BbbN .
Пiдставляючи цi значення у рiвнiсть (9), маємо
M(L,B) =
n - 1\sum
k=0
\alpha k( - A)k.
З теореми 1 випливає, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} (L,B) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} (M(L,B)) = m - r. Тому за теоремою 2 одержуємо
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
\alpha k( - A)k
\Biggr)
= m - \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
\alpha k( - A)k
\Biggr)
,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = - m+ r + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
\alpha k( - A)k
\Biggr)
= r - \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
\alpha k( - A)k
\Biggr)
.
Iз цих формул випливає, що фредгольмовi числа задачi не залежать вiд вибору правого
кiнця iнтервалу b > a.
Приклад 2. Розглянемо двоточкову крайову задачу для системи диференцiальних рiвнянь
(8) з коефiцiєнтом A(t) \equiv Om i крайовими умовами в точках \{ t0, t1\} \subset [a, b], що мiстять
похiднi цiлих та/чи дробових порядкiв (в сенсi Капуто, див., наприклад, [14]). Вони задаються
рiвнiстю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
100 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, О. М. АТЛАСЮК, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
By =
\sum
j
\alpha 0jy
(\beta 0j)(t0) +
\sum
j
\alpha 1jy
(\beta 1j)(t1),
де обидвi суми скiнченнi, числовi матрицi \alpha kj \in \BbbC r\times m, а невiд’ємнi числа \beta kj такi, що для
всiх k \in \{ 1, 2\}
\beta k,0 = 0, \beta kj < s - 1/p.
Тодi, як неважко переконатися, лiнiйний оператор
B : (W s
p )
m \rightarrow \BbbC r
є неперервним.
Iз теореми 1 випливає, що iндекс оператора (L,B) дорiвнює m - r. Знайдемо його фред-
гольмовi числа. У цьому випадку матриця-функцiя Y (\cdot ) = Im, а характеристична матриця має
вигляд
M(L,B) =
\sum
j
\alpha 0jI
(\beta 0j)
m +
\sum
j
\alpha 1jI
(\beta 1j)
m = \alpha 0,0 + \alpha 1,0,
бо похiднi I
(\beta kj)
m = 0, якщо \beta kj > 0 [14]. Тому за теоремою 2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\alpha 0,0 + \alpha 1,0) = m - \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\alpha 0,0 + \alpha 1,0),
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = - m+ r + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\alpha 0,0 + \alpha 1,0) = r - \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\alpha 0,0 + \alpha 1,0).
Iз цих формул випливає, що фредгольмовi числа задачi не залежать вiд вибору iнтервалу (a, b),
точок \{ t0, t1\} \subset [a, b] i матриць \alpha 0,j , \alpha 1,j з j \geq 1.
4. Попереднi результати. Для доведення теорем 1 – 3 нам знадобляться два допомiжних
твердження.
Введемо метричний простiр матриць-функцiй
\scrY s
p :=
\bigl\{
Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m : Y (a) = Im, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t) \not = 0
\bigr\}
з метрикою
dsp(Y,Z) := \| Y (\cdot ) - Z(\cdot )\| s,p.
Теорема 4. Нелiнiйне вiдображення \gamma : A \mapsto \rightarrow Y, де A(\cdot ) \in (W s - 1
p )m\times m, а Y (\cdot ) \in
\in (AC[a, b])m\times m є розв’язком задачi Кошi (4), є гомеоморфiзмом банахового простору
(W s - 1
p )m\times m на метричний простiр \scrY s
p .
Доведення теореми 4 наведено в роботi [15]. Покладемо
[BY ] :=
\left( B
\left( y1,1(\cdot )
...
ym,1(\cdot )
\right) . . . B
\left( y1,m(\cdot )
...
ym,m(\cdot )
\right)
\right) = M(L,B). (10)
Лема 1. Для довiльної матрицi-функцiї Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m, вектора q \in \BbbC m i лiнiйного
неперервного оператора B : (W s
p )
m\times m \rightarrow \BbbC r справджується рiвнiсть
B(Y (\cdot )q) = [BY ]q,
де матриця [BY ] визначена рiвнiстю (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ФРЕДГОЛЬМОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 101
Доведення. Нехай i \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , j \in \{ 1, 2, . . . , r\} , матриця-функцiя
Y (\cdot ) = (yik(\cdot )), а вектор-стовпчик q = (qi). Позначимо (\alpha j) = [BY ]q i (\beta j) = B(Y (\cdot )q). Нехай
B(yk(\cdot )) =: (cj).
При дiї оператора B на матрицю-функцiю Y (\cdot ) отримуємо матрицю
[BY ] = (cji).
Тодi
(\alpha j) = (cji) \cdot (qi) =
\Biggl( \sum
i
cjiqj
\Biggr)
.
Отже, довiльний елемент \alpha i має вигляд
\alpha j =
\sum
j
cjiqj ,
але мають мiсце рiвностi
(\beta j) = B((yik(\cdot )) \cdot (qk)) = B
\Biggl( \sum
k
yik(\cdot )qk
\Biggr)
=
=
\sum
k
(Byik(\cdot ))qk =
\sum
k
(cjk)qk =
\left( \sum
j
cjkqj
\right) .
Iз цього випливає, що \alpha j = \beta j .
Лему 1 доведено.
5. Доведення теорем. Доведення теореми 1. Обґрунтуємо спочатку неперервнiсть опера-
тора (L,B). Оскiльки оператор B за умовою є лiнiйним i неперервним, то достатньо довести
неперервнiсть оператора L, яка еквiвалентна його обмеженостi. Обмеженiсть лiнiйного опера-
тора
L : (W s
p )
m \rightarrow (W s - 1
p )m
випливає з означення норм у просторах Соболєва W s - 1
p i вiдомого факту, що кожен iз цих
просторiв утворює банахову алгебру.
Доведемо тепер фредгольмовiсть оператора (L,B) i знайдемо його iндекс. Виберемо де-
який фiксований лiнiйний обмежений оператор Cr,m : (W s
p )
m \rightarrow \BbbC r. Оператор (L,B) допускає
зображення
(L,B) = (L,Cr,m) + (0, B - Cr,m),
де оператор
(L,Cr,m) : (W s
p )
m \rightarrow (W s - 1
p )m \times \BbbC r,
а другий доданок є скiнченновимiрним оператором. Iз другої теореми стiйкостi (див., напри-
клад, [16], розд. 3, § 1) випливає, що оператор (L,B) є фредгольмовим, якщо оператор (L,Cr,m)
є таким i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(L,B) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(L,Cr,m).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
102 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, О. М. АТЛАСЮК, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
Тому достатньо довести фредгольмовiсть оператора (L,Cr,m) i знайти його iндекс, вибравши
вiдповiдним чином оператор Cr,m. Для цього розглянемо три випадки.
1. Нехай r = m. Покладемо
Cm,my := (y1(a), . . . , ym(a)).
Знайдемо нуль-простiр та область значень цього оператора. Нехай y(\cdot ) належить
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0 i Cm,my = (y1(a), . . . , ym(a)) = 0. Iз теореми про єдинiсть розв’язку
задачi Кошi випливає, що y(\cdot ) = 0. Тому \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cm,m) = \{ 0\} .
Нехай h \in (W s - 1
p )m \times \BbbC m i c \in \BbbC m вибрано довiльним чином. Iз теореми 4 випливає, що
iснує така вектор-функцiя y(\cdot ) \in (W s
p )
m, що
Ly = h, (y1(a), . . . , ym(a)) = c.
Тому \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) =
\bigl(
W s - 1
p
\bigr) m \times \BbbC m.
2. Нехай r > m. Покладемо
Cr,my := (y1(a), . . . , ym(a), 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
r - m
) \in \BbbC r.
Знайдемо нуль-простiр оператора (L,Cr,m). Нехай y(\cdot ) належить \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0
i (y1(a), . . . , ym(a)) = 0. Iз теореми про єдинiсть розв’язку задачi Кошi маємо y(\cdot ) = 0.
Запишемо множину значень оператора (L,Cr,m) у виглядi прямої суми двох пiдпросторiв
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cm,m)\oplus (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
r - m
).
Але, як доведено ранiше, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cm,m) = (W s - 1
p )m \times \BbbC m. Тому \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = r - m.
3. Нехай r < m. Покладемо
Cr,my := (y1(a), . . . , yr(a)) \in \BbbC r.
Доведемо, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m) = m - r,
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = 0.
Нехай y(\cdot ) належить \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0 i (y1(a), . . . , yr(a)) = 0. Розглянемо m - r задач
Кошi
Lyk = 0, Cm,myk = ek, де k \in \{ r + 1, r + 2, . . . ,m\} ,
ek := (0, . . . , 0, 1\underbrace{} \underbrace{}
k
, 0, . . . , 0) \in Cm.
Iз теореми 4 випливає, що розв’язки цих задач лiнiйно незалежнi та утворюють базис у пiд-
просторi \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m).
Сюр’єктивнiсть оператора (L,Cr,m) випливає iз вже доведеної сюр’єктивностi операто-
ра (L,Cm,m).
Отже, в кожному з трьох випадкiв оператор (L,B) є фредгольмовим з iндексом m - r.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ФРЕДГОЛЬМОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 103
Доведення теореми 2. Покажемо справедливiсть рiвностi (6). Введемо такi позначення:
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = n\prime ,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M
\bigl(
L,B
\bigr) \bigr)
= n\prime \prime .
Обґрунтуємо виконання рiвностi
n\prime = n\prime \prime . (11)
Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = n\prime . Тодi iснує n\prime таких лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдного
рiвняння (L,B)y = (0, 0), що
yk(\cdot ) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \leftrightarrow (\exists qk \in \BbbC m : yk(t) = Y (t)qk, [BY ]qk = 0)
згiдно з лемою 1, де вектори qk \not = 0, а k \in \{ 1, . . . , n\prime \} . Це означає, що r - n\prime стовпцiв матрицi
(5) лiнiйно залежнi i n\prime \leq n\prime \prime .
Навпаки, нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M
\bigl(
L,B
\bigr) \bigr)
= n\prime \prime , тодi її r - n\prime \prime стовпцiв лiнiйно незалежнi. Це
означає, що для деяких векторiв qk \not = 0, k \in \{ 1, . . . , n\prime \} ,
[BY ]qk = 0.
Покладемо
yk(\cdot ) := Y (\cdot )qk.
Тодi yk(\cdot ) \not = 0, Lyk(\cdot ) = 0 i
Byk(\cdot ) = B(Y (\cdot )qk) = [BY ]qk = 0
на пiдставi леми 1. Тому yk(\cdot ) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B), тодi n\prime \geq n\prime \prime . Отже, виконується рiвнiсть (6).
Згiдно з означенням характеристична матриця M(L,B) належить простору \BbbC m\times r. Як вiдо-
мо, вимiрнiсть ядра матрицi є рiзницею числа її рядкiв та рангу, а вимiрнiсть коядра — рiзницею
числа стовпцiв та рангу. Тодi для матрицi M(L,B) маємо рiвнiсть
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M
\bigl(
L,B
\bigr) \bigr)
= r - m+ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}
\bigl(
M
\bigl(
L,B
\bigr) \bigr)
. (12)
Iз формули знаходження iндексу для оператора (L,B)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} (L,B) := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B)
отримуємо
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = r - m+ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B). (13)
Iз рiвностей (11) – (13) випливає рiвнiсть (7).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
104 В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, О. М. АТЛАСЮК, Т. Б. СКОРОБОГАЧ
Лiтература
1. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, VSP,
Utrecht, Boston (2004).
2. И. Т. Кигурадзе, Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений,
Изд-во Тбил. ун-та, Тбилиси (1975).
3. И. Т. Кигурадзе, Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ВИНИТИ, 30,
3 – 103 (1987).
4. T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, N. V. Reva, Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems, Ukrainian
Math. J., 65, № 1, 77 – 90 (2013).
5. V. A. Mikhailets, O. B. Pelekhata, N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of boundary-value problems, Ukrainian
Math. J., 70, № 2, 243 – 251 (2018).
6. V. A. Mikhailets, G. A. Chekhanova, Limit theorem for general one-dimensional boundary-value problems, J. Math.
Sci., 204, № 3, 333 – 342 (2015).
7. E. V. Gnyp, T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces,
Ukrainian Math. J., 67, № 5, 658 – 667 (2015).
8. T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces, J. Math. Sci., 190, № 4, 589 – 599 (2013).
9. Y. V. Hnyp, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in
Sobolev spaces, Electron. J. Different. Equat., № 81 (2017).
10. О. М. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, Fredholm one-dimensional boundary-value problems with parameter in Sobolev
spaces, Ukrainian Math. J., 70, № 11, 1677 – 1687 (2019).
11. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. O. Soldatov, Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems, Electron. J. Qual. Theory Different. Equat., № 87 (2016).
12. O. M. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, On the solvability of inhomogeneous boundary-value problems in Sobolev spaces,
Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki, № 11, 3 – 7 (2019).
13. L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. III: Pseudo-differential operators, Springer, Berlin
(1985).
14. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, North-
Holland Math. Stud., vol. 204, Elsevier (North-Holland) Sci. Publ., Amsterdam (2006).
15. V. A. Mikhailets, T. B. Skorobohach, Fredholm boundary-value problems in Sobolev – Slobodetsky spaces, Ukrainian
Math. J., 73, № 7, 1071 – 1083 (2021).
16. T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, New York (1966).
Одержано 31.08.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7308 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:12Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/775db695e1f5b545672549b41fca0162.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73082023-02-25T14:21:52Z On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces Про розв'язність фредгольмових крайових задач у дробових просторах Соболєва Mikhailets, V. A. Atlasiuk, О. М. Skorobohach, T. B. Mikhailets, V. A. Михайлець, В. А. Атласюк, О. М. Скоробогач, Т. Б. Фредгольмів оператор індекс оператора неоднорідна крайова задача дробовий простір Соболєва Fredholm operator index of operator inhomogeneous boundary-value problem fractional Sobolev space UDC 517.927 We study systems of linear ordinary differential equations with the most general inhomogeneous boundary conditions in fractional Sobolev spaces on a nite interval. The Fredholm property of these problems in the corresponding pairs of Banach spaces is proved. Their indices and dimensions of the kernels and cokernels are found. We also present examples showing the constructive character of the obtained results. УДК 517.927 Досліджено системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь із найбільш загальними неоднорідними крайовими умовами в дробових просторах Соболєва на скінченному інтервалі. Доведено фредгольмовість таких задач у відповідних парах банахових просторів, знайдено їх індекси та вимірності ядер і коядер. Наведено приклади, що показують конструктивний характер отриманих результатів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7308 10.37863/umzh.v75i1.7308 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 96 - 104 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 96 - 104 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7308/9355 Copyright (c) 2023 Володимир Андрійович Михайлець, Олена Атласюк, Тетяна Скоробогач |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Atlasiuk, О. М. Skorobohach, T. B. Mikhailets, V. A. Михайлець, В. А. Атласюк, О. М. Скоробогач, Т. Б. On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title | On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title_alt | Про розв'язність фредгольмових крайових задач у дробових просторах Соболєва |
| title_full | On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title_fullStr | On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title_short | On the solvability of Fredholm boundary-value problems in fractional Sobolev spaces |
| title_sort | on the solvability of fredholm boundary-value problems in fractional sobolev spaces |
| topic_facet | Фредгольмів оператор індекс оператора неоднорідна крайова задача дробовий простір Соболєва Fredholm operator index of operator inhomogeneous boundary-value problem fractional Sobolev space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7308 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT atlasiukom onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT skorobohachtb onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT mikhailetsva onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT mihajlecʹva onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT atlasûkom onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT skorobogačtb onthesolvabilityoffredholmboundaryvalueproblemsinfractionalsobolevspaces AT mikhailetsva prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT atlasiukom prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT skorobohachtb prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT mikhailetsva prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT mihajlecʹva prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT atlasûkom prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva AT skorobogačtb prorozv039âznístʹfredgolʹmovihkrajovihzadačudrobovihprostorahsobolêva |