Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space
UDC 517.5 The order of growth of the module  of an arbitrary algebraic polynomial in a weighted Bergman space  $A_{p}(G,h),$  $p>0,$  is investigated in the regions with exterior nonzero and interior zero angles at finitely...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7322 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512659104858112 |
|---|---|
| author | Özkartepe, P. Озкартепе, Пелiн |
| author_facet | Özkartepe, P. Озкартепе, Пелiн |
| author_sort | Özkartepe, P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-04-15T15:10:32Z |
| description | UDC 517.5
The order of growth of the module  of an arbitrary algebraic polynomial in a weighted Bergman space  $A_{p}(G,h),$  $p>0,$  is investigated in the regions with exterior nonzero and interior zero angles at finitely many points of the  boundary. We establish estimates of the Markov–,Nikolskii type for algebraic polynomials and clarify the behavior of derived polynomials at the points of zeros and poles of the weight function in bounded regions with piecewise-smooth boundary. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i3.7322 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i3.7322
УДК 517.5
Пелiн Озкартепе1 (Газiантепський унiверситет, Туреччина)
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ
IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ КУТАМИ В ПРОСТОРI БЕРГМАНА
The order of growth of the module of an arbitrary algebraic polynomial in a weighted Bergman space Ap(G, h), p > 0,
is investigated in the regions with exterior nonzero and interior zero angles at finitely many points of the boundary. We
establish estimates of the Markov – Nikolskii type for algebraic polynomials and clarify the behavior of derived polynomials
at the points of zeros and poles of the weight function in bounded regions with piecewise-smooth boundary.
Дослiджується порядок зростання модуля довiльного алгебраїчного полiнома у зваженому просторi Бергмана
Ap(G, h), p > 0, в областях, що мають зовнiшнi ненульовi та внутрiшнi нульовi кути у скiнченному числi то-
чок межi. Отримано оцiнки типу Маркова – Нiкольського для алгебраїчних полiномiв, а також з’ясовано поведiнку
похiдних полiномiв у точках нулiв i полюсiв вагової функцiї в обмежених областях з кусково-гладкою межею.
1. Вступ. Нехай G \subset \BbbC — скiнченна область, яка мiстить точку 0 \in G, обмежена жордановою
кривою L := \partial G, \Omega := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}L := \BbbC \setminus G, де \BbbC := \BbbC \cup \{ \infty \} , \Delta := \{ w : | w| > 1\} i \wp n позначає клас
алгебраїчних полiномiв Pn(z), \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Pn \leq n, n \in \BbbN . Нехай w = \Phi (z) — однолисте конформне
вiдображення \Omega на \Delta , нормоване умовами \Phi (\infty ) = \infty , \Phi \prime (\infty ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow \infty \Phi (z)/z > 0, i
\Psi := \Phi - 1 — обернене вiдображення. Для фiксованого t \geq 1 позначимо
Lt := \{ z : | \Phi (z)| = t\} , L := L1, Gt := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Lt, \Omega t := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}Lt.
Нехай \{ zj\} lj=1 — фiксована система рiзних точок на кривiй L, занумерованих у додатному на-
прямку. Для деякого фiксованого R0, 1 < R0 < \infty , i z \in GR0 розглянемо так звану узагальнену
вагову функцiю Якобi h, яка має вигляд
h(z) := h0(z)
l\prod
j=1
| z - zj | \gamma j , z \in GR0 , (1.1)
де \gamma j > - 2 для всiх j = 1, 2, . . . , l i функцiя h0 є рiвномiрно вiдокремленою вiд нуля в GR0 ,
тобто iснує така стала c0 := c0(GR0) > 0, що h0(z) \geq c0 > 0 для всiх z \in GR0 .
Для p > 0 та жорданової областi G позначимо
\| Pn\| p := \| Pn\| Ap(h,G) :=
\left( \int \int
G
h(z)| Pn(z)| p d\sigma z
\right) 1
p
, 0 < p < \infty ,
\| Pn\| \infty := \| Pn\| A\infty (1,G) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G
| Pn(z)| , p = \infty , Ap(1, G) =: Ap(G),
де \sigma — плоска мiра Лебега в \BbbC .
У цiй роботi дослiджуються нерiвностi типу Маркова – Нiкольського\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq c1\lambda n\| Pn\| p, p > 0, m = 0, 1, 2, . . . , n \in \BbbN , (1.2)
1e-mail: pelinozkartepe@gmail.com.
© ПЕЛIН ОЗКАРТЕПЕ, 2023
350 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 351
в яких c1=c1(G, h, p) > 0 — стала, залежна лише вiд указаних параметрiв, i \lambda n=\lambda n(G, h, p,m) >
0 — числова послiдовнiсть, на предмет того, з якою швидкiстю \lambda n \rightarrow \infty при n \rightarrow \infty в за-
лежностi вiд геометричних властивостей областi G, вагової функцiї h та p.
У випадку, коли m = 0, оцiнки типу (1.2) одержано в [7] при p > 1 для областей, обмеже-
них кусково-Дiнi-гладкими кривими без точок звороту; в [9] при h \equiv 1; в [11] для h(z) \not = 1,
p > 0 i областей, обмежених квазiконформними кривими; в [6] для p > 1 i областей, обме-
жених кусково-гладкими кривими без точок звороту; в [10] для p > 0 i областей, обмежених
асимптотично конформними кривими. Оцiнки типу (1.2) для деяких значень параметрiв G, p
та h для многочленiв Pn \in \wp n та їх похiдних дослiджено в [2 – 5, 12 – 14, 18, 25, 27 – 31, 35].
Ми зосереджуємося на спiввiдношеннi (1.2) у випадку, коли p > 0, m \in \BbbN , а межа областi
G є кусково-гладкою кривою, що має зовнiшнi ненульовi кути та внутрiшнi нульовi кути, а
також для вагової функцiї h, означеної в (1.1).
Наведемо деякi означення та позначення, якi будемо використовувати далi.
Нехай S — спрямлювана жорданова крива або дуга, | S| := \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}S (лiнiйна мiра кривої S ) i
z = z(s), s \in [0, | S| ], — натуральна параметризацiя кривої S.
Означення 1.1 [32, с. 48] (див. також [17, с. 32]). Кажуть, що жорданова крива або дуга
S є Дiнi-гладкою, якщо її параметризацiя z = z(s), 0 \leq s \leq | S| , задовольняє умови z\prime (s) \not = 0,
0 \leq s \leq | S| , i
\bigm| \bigm| z\prime (s2) - z\prime (s1)
\bigm| \bigm| < g(s2 - s1), s1 < s2, де g — зростаюча функцiя, для якої
1\int
0
g(x)
x
dx < \infty .
Тепер означимо новий клас областей з кусково-Дiнi-гладкою межею, яка має кути та внут-
рiшнi точки звороту одночасно.
Скрiзь далi позначатимемо через c, c0, c1, c2, . . . додатнi сталi, а через \varepsilon 0, \varepsilon 1, \varepsilon 2, . . . до-
статньо малi додатнi числа, взагалi кажучи, рiзнi у рiзних спiввiдношеннях, залежнi вiд G.
Тут i далi для будь-якого цiлого k \geq 0 i натурального m > k пiд j = k,m розумiємо таке:
j = k, k + 1, . . . ,m.
Означення 1.2 [8]. Будемо казати, що жорданова область G належить PDS(1;\lambda 1, . . . ,
\lambda l), 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, l, якщо L = \partial G складається з об’єднання скiнченних гладких дуг Дiнi
\{ Lj\} lj=0, що з’єднуються в точках \{ zj\} lj=0 \in L, таких, що L є локально Дiнi-гладким в z0, i
вони мають зовнiшнi (щодо G) кути розхилу \lambda j\pi , 0 < \lambda j \leq 2, у кутових точках \{ zj\} lj=1 \in L,
де зустрiчаються двi дуги.
Припустимо, без втрати загальностi, що задана область G \in PDS(1;\lambda 1, . . . , \lambda l), 0 < \lambda i \leq 2
(див. означення 1.2) така, що в кожнiй точцi zi \in L, i = 1, l1, l1 \leq l, вона має зовнiшнiй (щодо
G) ненульовий кут \lambda i\pi , 0 < \lambda i < 2, а в кожнiй точцi zj \in L, j = l1 + 1, l, — внутрiшнiй (щодо
G) нульовий кут, тобто зовнiшний кут розхилу 2\pi . Якщо l1 = l = 0, то область G не має
жодних кутiв, i в цьому випадку будемо писати G \in DS(1) \equiv DS ; якщо l1 = l \geq 1, то G має
лише \lambda i\pi , 0 < \lambda i < 2, i = 1, l1, зовнiшнiх ненульових кутiв, i в цьому випадку будемо писати
G \in PDS(1;\lambda i); якщо l1 = 0 i l \geq 1, то G має лише внутрiшнi нульовi кути, i у цьому випадку
будемо писати G \in PDS(1; 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
352 П. ОЗКАРТЕПЕ
Далi будемо вважати, що точки \{ zj\} lj=1 \in L, означенi в (1.1) i в означеннi 1.2, збiгаються i
wj := \Phi (zj).
Для спрощення викладу та мiркувань, без втрати загальностi, вiзьмемо l1 = 1 i l = 2
(випадок l1 \geq 2, l \geq 3 розглядається аналогiчно). Тодi при цьому припущеннi далi матимемо
область G \in PDS(1;\lambda 1, 2), 0 < \lambda 1 < 2, таку, що в точцi z1 \in L область G має зовнiшнiй
ненульовий кут \lambda 1\pi , 0 < \lambda 1 < 2, а в точцi z2 \in L — внутрiшнiй нульовий кут. Також будемо
писати G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2), 0 < \lambda 1, \lambda 2 < 2, якщо область G має зовнiшнi ненульовi кути \lambda i\pi ,
0 < \lambda i < 2, у точках z1, z2 \in L, i G \in PDS(1; 2, 2), якщо область G має внутрiшнi нульовi
кути в точках z1, z2 \in L.
2. Основнi результати. Тепер встановимо оцiнки для
\bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| , m \geq 0, в обмежених
областях G \in PDS(1, \lambda 1, \lambda 2), 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, 2.
Теорема 2.1. Нехай p > 0, G \in PDS(1;\lambda 1, 2) для деякого 0 < \lambda 1 < 2, h(z) означена в
(1.1) для l = 2. Тодi для кожного Pn \in \wp n, n \in \BbbN , та всiх m = 0, 1, 2, . . . маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq c1\mu n\| Pn\| p, (2.1)
де c1 = c1(G, \gamma 1, \gamma 2, \lambda 1, p) > 0 — стала, незалежна вiд n та z,
\mu n :=
\left\{
n
(2+\gamma 1)\lambda 1
p
+2m
, 0 < \lambda 1 < 2, \gamma 1 \geq
2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 \geq 0,
n
2
\Bigl(
2+\gamma 2
p
+m
\Bigr)
, 0 < \lambda 1 < 2, 0 < \gamma 1 <
2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 \geq 0,
n
2
\Bigl(
2
p
+m
\Bigr)
, 0 < \lambda 1 < 2, - 2 < \gamma 1 < 0, - 2 < \gamma 2 < 0.
Нехай крива L має ненульовий зовнiшнiй кут в точцi z1 i нульовий внутрiшнiй кут в точцi
z2. В цьому випадку отримуємо такi наслiдки з теореми 2.1.
Наслiдок 2.1. Нехай p > 0, G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2) для деякого 0 < \lambda j < 2, j = 1, 2, h(z)
означена в (1.1) для l = 2. Тодi для кожного Pn \in \wp n, n \in \BbbN , та всiх m = 0, 1, 2, . . . маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq c2n
m\widetilde \lambda \mu n,1\| Pn\| p, (2.2)
де c2 = c2(G, \gamma 1, \gamma 2, \lambda 1, \lambda 2, p) > 0 — стала, незалежна вiд z i n, та
\mu n,1 :=
\left\{
n
(2+\gamma 1)\lambda 1
p , 0 < \lambda 1 < 2, 0 < \lambda 2 < 2, \gamma 1 \geq
\lambda 2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 > 0,
n
(2+\gamma 2)\lambda 2
p , 0 < \lambda 1 < 2, 0 < \lambda 2 < 2, 0 < \gamma 1 <
\lambda 2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 >
1
\lambda 2
- 2,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, 0 < \lambda 2 \leq
1
2
, 0 < \gamma 1 \leq
1
\lambda 1
- 2, \gamma 2 =
1
\lambda 2
- 2,
n
1
p , 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, 0 < \lambda 2 \leq
1
2
, - 2 < \gamma 1 <
1
\lambda 1
- 2, - 2 < \gamma 2 <
1
\lambda 2
- 2,
n
2\widetilde \lambda
p ,
1
2
< \lambda 1 < 2,
1
2
< \lambda 2 < 2, - 2 < \gamma 1 < 0, - 2 < \gamma 2 < 0,
\widetilde \lambda := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \lambda 1;\lambda 2\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 353
Нехай крива L в обох точках z1 i z2 має внутрiшнi нульовi кути. У цьому випадку отримуємо
такий наслiдок.
Наслiдок 2.2. Нехай p > 0, G \in PDS(1; 2, 2), h(z) означена в (1.1) для l = 2. Тодi для
кожного Pn \in \wp n, n \in \BbbN , та всiх m = 0, 1, 2, . . . маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq c3n
2m\mu n,2\| Pn\| p, (2.3)
де c3 = c3(G, \gamma 1, \gamma 2, p) > 0 — стала, незалежна вiд z i n, \widetilde \gamma означене, як в (2.1),
\mu n,2 :=
\left\{
n
2(2+\widetilde \gamma 1)
p , \gamma 1 \geq \gamma 2, \gamma 2 > 0,
n
2(2+\widetilde \gamma 2)
p , \gamma 1 > 0, \gamma 2 > \gamma 1,
n
4
p , - 2 < \gamma 1 < 0, - 2 < \gamma 2 < 0,
(2.4)
i \widetilde \gamma j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0; \gamma j\} , \widetilde \lambda j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1;\lambda j\} , j = 1, 2.
Тепер можемо встановити оцiнки для
\bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| , m \geq 1, в критичних точках zj , j = 1, 2, в
обмежених областях G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2), 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, 2.
Теорема 2.2. Нехай p > 0, G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2) для деякого 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, 2, h(z)
означена в (1.1) для l = 2. Тодi для кожного Pn \in \wp n, n \in \BbbN , та всiх m = 0, 1, 2, . . . маємо\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (zj)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq c4\mu n,3\| Pn\| p, (2.5)
де c4 = c4(G, \gamma j , \lambda , p) > 0 — стала, незалежна вiд n i z, \widetilde \gamma j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0; \gamma j\} , \widetilde \lambda j :=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1;\lambda j\} ,
j = 1, 2, i
\mu n,3 :=
\left\{
n
\Bigl(
2+\widetilde \gamma j
p
+m
\Bigr) \widetilde \lambda j , якщо (2 + \widetilde \gamma j)\widetilde \lambda j > 1,
n
m\widetilde \lambda j+
1
p (\mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma j)\widetilde \lambda j = 1,
n
m\widetilde \lambda j+
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma j)\widetilde \lambda j < 1.
Точнiсть оцiнок (2.1) – (2.3) i (2.5) з’ясовується порiвнянням їх з наступним результатом.
Зауваження 2.1 [12, 19]. Для кожного n \in \BbbN iснує такий полiном Q\ast
n, T
\ast
n \in \wp n, що для
одиничного круга B та вагової функцiї h\ast (z) = | z - z1| 2 справедливим є таке:\bigm\| \bigm\| (Q\ast
n)
\prime \bigm\| \bigm\|
C(B) \succeq n\| Q\ast
n\| C(B) \succeq n2\| Q\ast
n\| A2(B),
| T \ast
n(z1)| \succeq n2\| T \ast
n\| A2(h\ast ,B).
3. Допомiжнi твердження. Для невiд’ємних функцiй a > 0 i b > 0 будемо використовувати
позначення a \preceq b (порядкова нерiвнiсть), якщо a \leq cb, i a \asymp b еквiвалентнi, якщо c1a \leq b \leq c2a
для деяких сталих c, c1, c2 (незалежних вiд a та b).
В [15; 26, с. 97; 33], [33] наведено таке означення K -квазiконформної кривої.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
354 П. ОЗКАРТЕПЕ
Означення 3.1 [26, c. 97; 33]. Жорданова крива (або дуга) L називається K -квазiкон-
формною (K \geq 1), якщо iснує K -квазiконформне вiдображення f областi D \supset L таке,
що f(L) є колом (або лiнiйним сегментом).
Нехай F (L) позначає множину всiх плоских гомеоморфiзмiв f, що зберiгають орiєнтацiю,
областi D \supset L, таких, що f(L) є лiнiйним сегментом (або колом), i
KL := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ K(f) : f \in F (L)\} ,
де K(f) — максимальна дилатацiя такого вiдображення f. Тодi L є квазiконформною кривою,
якщо KL < \infty , i K -квазiконформною кривою, якщо KL \leq K.
Вiдповiдно до критерiю «трьох точок» [15, с. 100], кожна кусково-гладка крива Дiнi (без
будь-яких нульових кутiв) є квазiконформною.
Лема 3.1 [1]. Нехай L є K -квазiконформною кривою, z1 \in L, z2, z3 \in \Omega \cap \{ z : | z - z1| \preceq
d(z1, Lr0)\} , wj = \Phi (zj), (z2, z3 \in G\cap \{ z : | z - z1| \preceq d(z1, LR0)\} , wj = \varphi (zj)), j = 1, 2, 3. Тодi:
a) твердження | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| та | w1 - w2| \preceq | w1 - w3| еквiвалентнi, отже, так
само | z1 - z2| \asymp | z1 - z3| та | w1 - w2| \asymp | w1 - w3| ;
b) якщо | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| , то\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| K - 2
\preceq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z1 - z3
z1 - z2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| K2
,
де 0 < r0 < 1, R0 := r - 1
0 — стала, що залежить вiд G.
Нагадаємо, що для 0 < \delta j < \delta 0 :=
1
4
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| zi - zj | : i, j = 1, 2, . . . , l, i \not = j
\bigr\}
покладено
\Omega (zj , \delta j) := \Omega \cap \{ z : | z - zj | \leq \delta j\} , \delta := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}1\leq j\leq l \delta j , \Omega (\delta ) :=
\bigcup l
j=1\Omega (zj , \delta ),
\widehat \Omega := \Omega \setminus \Omega (\delta ).
Також нехай
\Delta j := \Phi (\Omega (zj , \delta )), \Delta (\delta ) :=
l\bigcup
j=1
\Phi (\Omega (zj , \delta )), \widehat \Delta (\delta ) := \Delta \setminus \Delta (\delta ).
Наступна лема є наслiдком результатiв, наведених у [32, с. 41 – 58; 17, с. 32 – 36], та оцiнки
для
\bigm| \bigm| \Psi \prime \bigm| \bigm| (див., наприклад, [16], § 2.8):
\bigm| \bigm| \Psi \prime (\tau )
\bigm| \bigm| \asymp d(\Psi (\tau ), L)
| \tau | - 1
.
Лема 3.2. Нехай жорданова область G \in PDS(1;\lambda j), 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, l1. Тодi:
i) | \Psi (w) - \Psi (wj)| \asymp | w - wj | \lambda j ,
\bigm| \bigm| \Psi \prime (w)
\bigm| \bigm| \asymp | w - wj | \lambda j - 1 для довiльного w \in \Delta j ;
ii) | \Psi (w) - \Psi (wj)| \asymp | w - wj | ,
\bigm| \bigm| \Psi \prime (w)
\bigm| \bigm| \asymp 1 для довiльного w \in \Delta \setminus \Delta j .
Лема 3.3 [4]. Нехай L — квазiконформна крива i h — функцiя, означена в (1.1). Тодi для
кожного Pn(z) \in \wp n, довiльного R > 1 та n = 1, 2, . . . маємо
\| Pn\| Ap(h,GR) \preceq \widetilde Rn+ 1
p \| Pn\| Ap(h,G), p > 0,
де \widetilde R = 1 + c(R - 1), а c не залежить вiд n i R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 355
Лема 3.4. Нехай G \in C\theta (\lambda 1, . . . , \lambda l), 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, l. Тодi для кожного Pn(z) \in \wp n i
довiльного p > 0 маємо
\| Pn\| Ap(h,G1+c/n)
\preceq \| Pn\| Ap(h,G).
Цей факт випливає iз [19] (лема 2.4), позаяк PDS(1;\lambda j) \subset C\theta (\lambda 1, . . . , \lambda l), 0 < \lambda j \leq 2,
j = 1, l.
4. Доведення теорем. Доведення теореми \bftwo .\bfone . Нехай G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2) для деяких
0 < \lambda j \leq 2, j = 1, 2, h означена в (1.1).
Спочатку доведемо теорему для випадку m = 0. Нехай \{ \xi j\} , 1 \leq j \leq k, — коренi полiнома
Pn, якi лежать в \Omega . Позначимо
bj(z) :=
\Phi (z) - \Phi (\xi j)
1 - \Phi (\xi j)\Phi (z)
, z \in \Omega , (4.1)
i нехай
Bk(z) :=
k\prod
j=1
bj(z), z \in \Omega . (4.2)
Функцiя Bk є функцiєю Бляшке щодо нулiв \{ \xi j\} , 1 \leq j \leq k, полiнома Pn, що лежать в \Omega .
Оскiльки
Bk(\xi j) = 0, | Bk(z)| \equiv 1, z \in L, | Bk(z)| < 1, z \in \Omega , (4.3)
то для кожного \varepsilon 1, 0 < \varepsilon 1 < 1, iснує коло
\Bigl\{
w : | w| = R1 := 1 + \varepsilon 2, 0 < \varepsilon 2 <
\varepsilon 1
n
\Bigr\}
таке, що
| bj(\zeta )| > 1 - \varepsilon 2, \zeta \in LR1 , для кожного j = 1, k, Отже, для Bk(z) маємо
| Bk(\zeta )| > (1 - \varepsilon 2)
k \succeq 1, \zeta \in LR1 . (4.4)
Для p > 0 покладемо
Qn,p(z) :=
\biggl[
Pn(z)
Bk(z)\Phi n+1(z)
\biggr] p/2
, z \in \Omega . (4.5)
Зрозумiло, що функцiя Qn,p(z) є аналiтичною в \Omega , неперервною на \Omega , Qn,p(\infty ) = 0 i не
має нулiв в \Omega (беремо довiльну неперервну гiлку Qn,p(z) i для цiєї гiлки дотримуємось такого
ж позначення). За iнтегральною формулою Кошi для \Omega маємо
Qn,p(z) = - 1
2\pi i
\int
LR1
Qn,p(\zeta )
d\zeta
\zeta - z
, z \in \Omega R1 . (4.6)
Звiдси, згiдно з (4.1) – (4.5), отримуємо оцiнку
| Pn(z)| p/2 =
\bigm| \bigm| Bm(z)\Phi n+1(z)
\bigm| \bigm| p2
2\pi
\int
LR1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Pn(\zeta )
Bm(\zeta )\Phi n+1(\zeta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p/2 | d\zeta |
| \zeta - z|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
356 П. ОЗКАРТЕПЕ
\preceq
\bigm| \bigm| \Phi n+1(z)
\bigm| \bigm| p2 \int
LR1
| Pn(\zeta )| p/2
| d\zeta |
| \zeta - z|
. (4.7)
Домноживши чисельник i знаменник останнього пiдiнтегрального виразу на h1/2(\zeta ), а потiм
виконавши замiну \zeta = \Psi (t), z = \Psi (w) i застосувавши нерiвнiсть Гельдера, одержимо\left( \int
LR1
| Pn(\zeta )|
p
2
| \zeta - z|
| d\zeta |
\right)
2
\leq
\int
| t| =R1
h(\Psi (t))| Pn(\Psi (t))| p
\bigm| \bigm| \Psi \prime (t)
\bigm| \bigm| 2| dt| \int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=
\int
| t| =R1
| fn,p(t)| p| dt|
\int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=: AnDn(w), (4.8)
де fn,p(t) := h
1
p (\Psi (t))Pn(\Psi (t))(\Psi \prime (t))
2
p , | t| = R1.
Щоб оцiнити iнтеграл An, розiб’ємо коло | t| = R1 на n частин \delta j , j = 1, n, з \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta j =
2\pi R1
n
, а потiм застосуємо теорему про середнє:
An :=
\int
| t| =R1
| fn,p(t)| p| dt| =
n\sum
j=1
\int
\delta j
| fn,p(t)| p| dt| =
n\sum
j=1
| fn,p
\bigl(
t\prime j
\bigr)
| p\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta j , t\prime j \in \delta k.
З iншого боку, застосовуючи оцiнку середнього значення\bigm| \bigm| fn,p\bigl( t\prime j\bigr) \bigm| \bigm| p \leq 1
\pi
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| t\prime j\bigm| \bigm| \bigm| - 1
\Bigr) 2
\int \int
| \xi - t\prime j| <| t\prime j| - 1
| fn,p(\xi )| pd\sigma \xi ,
знаходимо
An \preceq
n\sum
j=1
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta j
\pi
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| t\prime j\bigm| \bigm| \bigm| - 1
\Bigr) 2
\int \int
| \xi - t
\prime
j| <| t\prime j| - 1
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi , t\prime j \in \delta j .
Враховуючи, що перетинаються не бiльше двох кiл з центром в t\prime j , маємо
An \preceq 2\pi R1
n(R1 - 1)2
\int \int
1<| \xi | <R1
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi \preceq n
\int \int
1<| \xi | <R1
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi .
Тепер, застосовуючи лему 3.4, отримуємо
An \preceq n
\int \int
GR\setminus G
h(\zeta )| Pn(\zeta )| p d\sigma \zeta \preceq n\| Pn\| pp. (4.9)
Щоб оцiнити iнтеграл Dn(w), позначимо wj := \Phi (zj), \varphi j := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}wj i
\Delta 1(\rho ) :=
\biggl\{
t = rei\theta : r > \rho ,
\varphi 0 + \varphi 1
2
\leq \theta <
\varphi 1 + \varphi 2
2
\biggr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 357
\Delta 2(\rho ) :=
\biggl\{
t = rei\theta : r > \rho ,
\varphi 1 + \varphi 2
2
\leq \theta <
\varphi 1 + \varphi 0
2
\biggr\}
, \varphi 0 = 2\pi - \varphi 0,
\Delta j := \Delta j(1), \Omega j := \Psi (\Delta j), \Omega j
\rho := \Psi (\Delta j(\rho )),
Lj := L \cap \Omega
j
, Lj
\rho := L\rho \cap \Omega
j
\rho , j = 1, 2,
L = L1 \cup L2, L\rho = L1
\rho \cup L2
\rho .
У вказаних вище позначеннях iз (4.8) для Dn(w) отримаємо
Dn(w) =
\int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
2\sum
j=1
\int
\Phi (Lj
R1
)
| dt| \prod 2
i=1
| \Psi (t) - \Psi (wi)| \gamma i | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\asymp
2\sum
j=1
\int
\Phi (Lj
R1
)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=:
2\sum
j=1
Dn,j(w), (4.10)
оскiльки точки \{ zj\} 2j=1 \in L рiзнi. Отже, нам потрiбно оцiнити Dn,j(w). Для цього вiзьмемо
довiльну фiксовану точку z \in LR i введемо позначення
\Phi (LR1) = \Phi
\left( 2\bigcup
j=1
Lj
R1
\right) =
2\bigcup
j=1
\Phi
\Bigl(
Lj
R1
\Bigr)
=
2\bigcup
j=1
3\bigcup
i=1
Kj
i (R1), (4.11)
де
Kj
1(R1) :=
\Bigl\{
t \in \Phi
\Bigl(
Lj
R1
\Bigr)
: | t - wj | <
c1
n
\Bigr\}
,
Kj
2(R1) :=
\Bigl\{
t \in \Phi
\Bigl(
Lj
R1
\Bigr)
:
c1
n
\leq | t - wj | < c2
\Bigr\}
,
Kj
3(R1) :=
\Bigl\{
t \in \Phi
\Bigl(
Lj
R1
\Bigr)
: c2 \leq | t - wj | < c3 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}G
\Bigr\}
, j = 1, 2.
Аналогiчно,
\Phi (LR) = \Phi
\left( 2\bigcup
j=1
Lj
R
\right) =
2\bigcup
j=1
\Phi
\Bigl(
Lj
R
\Bigr)
=
2\bigcup
j=1
3\bigcup
i=1
Kj
i (R),
де
Kj
1(R) :=
\biggl\{
\tau \in \Phi
\Bigl(
Lj
R
\Bigr)
: | \tau - wj | <
2c1
n
\biggr\}
,
Kj
2(R) :=
\biggl\{
\tau \in \Phi
\Bigl(
Lj
R
\Bigr)
:
2c1
n
\leq | \tau - wj | < c2
\biggr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
358 П. ОЗКАРТЕПЕ
Kj
3(R) :=
\Bigl\{
\tau \in \Phi
\Bigl(
Lj
R
\Bigr)
: c2 \leq | \tau - wj | < c3 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}G
\Bigr\}
, j = 1, 2.
Тодi за цих означень для w = \Phi (z) \in \Phi (LR) величину Dn,j(w) можна записати у виглядi
Dn,j(w) =
3\sum
i=1
\int
Kj
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=:
3\sum
i=1
Di
n,j(w). (4.12)
Оцiнимо величину Di
n,j(w) окремо для кожного i = 1, 2, 3 i j = 1, 2, залежно вiд розташу-
вання w \in \Phi (LR). Для визначеностi будемо вважати, що 0 < \lambda 1 < 2 i \lambda 2 = 2
Випадок 1. Нехай w \in \Phi (L2
R).
Згiдно зi вказаними вище позначеннями, встановимо оцiнки у випадку w \in Kj
i (R) для
кожного i = 1, 2, 3.
1.1. Нехай w \in Kj
1(R). Оцiнимо величину
Dn,1(w) =
3\sum
i=1
\int
K1
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| \gamma 1 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=:
3\sum
i=1
Di
n,1(w) (4.13)
окремо для \gamma 1 \geq 0 i \gamma 1 < 0.
Для кожного i = 1, 2, 3 i j = 1, 2 покладемо
Kj
i,1(R1) :=
\Bigl\{
t \in \Phi
\Bigl(
Lj
R1
\Bigr)
: | t - w1| \geq | t - w|
\Bigr\}
, Kj
i,2(R1) := Kj
i (R1)\setminus Kj
i,1(R1).
1.1.1. Якщо \gamma 1 \geq 0, то
D1
n,1(w) =
\int
Kj
1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| \gamma 1 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
Kj
1,1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 1
+
\int
Kj
1,2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| 2+\gamma 1
=: Dj,1
n,1(w) +Dj,2
n,1(w),
а отже, згiдно з лемою 3.2, маємо
D1,1
n,1(w) \preceq
\int
K1
1,1(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda j
\preceq n(2+\gamma 1)\lambda j \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1,1(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, (4.14)
D1,2
n,1(w) \preceq
\int
K1
1,2(R1)
| dt|
| t - w1| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1,2(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1. (4.15)
Якщо \gamma 1 < 0, то
D1
n,1(w) =
\int
K1
1 (R1)
| \Psi (t) - \Psi (w1)| - \gamma 1 | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K1
1 (R1)
| t - w1| - \gamma 1\lambda 1 | dt|
| t - w| 2\lambda 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 359
\preceq
\biggl(
1
n
\biggr) - \gamma 1\lambda 1
n2\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}Kj
1(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1. (4.16)
1.1.2. Нехай \gamma 1 \geq 0, тодi
D2
n,1(w) =
\int
K1
2 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| \gamma 1 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 1
+
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| 2+\gamma 1
=: D2,1
n,1(w) +D2,2
n,1(w), (4.17)
а отже, на пiдставi леми 3.2 одержуємо
D2,1
n,1(w) \preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
2,1(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1 (4.18)
i
D2,2
n,1(w) \preceq
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| t - w1| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1.
(4.19)
Iз (4.17) – (4.19) для \gamma 1 \geq 0 записуємо
D2
n,1(w) \preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1.
(4.20)
Згiдно з вiдомою нерiвнiстю
(a+ b)\epsilon \leq c(\epsilon )(a\epsilon + b\epsilon ), a, b > 0, \epsilon > 0, (4.21)
та оцiнками
| t - w1| \leq | t - w| + | w - w1| \preceq | t - w| + 1
n
i
| t - w1| - \gamma 1\lambda 1 \preceq | t - w| - \gamma 1\lambda 1 +
\biggl(
1
n
\biggr) - \gamma 1\lambda 1
,
для \gamma 1 < 0 з (4.13) маємо
D2
n,1(w) =
\int
K1
2 (R1)
| \Psi (t) - \Psi (w1)| - \gamma 1 | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K1
2 (R1)
| t - w1| - \gamma 1\lambda 1 | dt|
| t - w| 2\lambda 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
360 П. ОЗКАРТЕПЕ
\preceq n
\gamma 1\lambda 1
\int
K1
2 (R1)
| dt|
| t - w| 2\lambda 1
+
\int
K1
2 (R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq n
\gamma 1\lambda 1
\left\{
n2\lambda 1 - 1, якщо 2\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо 2\lambda 1 = 1,
1, якщо 2\lambda 1 < 1,
+
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1,
\preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1.
(4.22)
1.1.3. Нехай \gamma 1 \geq 0, тодi з леми 3.2 випливає, що
D3
n,1(w) =
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| \gamma 1 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq 1. (4.23)
Аналогiчно, для \gamma 1 < 0, також враховуючи лему 3.4, одержуємо
D3
n,1(w) \preceq c - \gamma 1
3
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| t - w| 2\lambda 1
\preceq 1. (4.24)
1.2. Нехай w \in K1
2 (R).
1.2.1. Для довiльного \gamma 1 > - 2
D1
n,1(w) =
\int
K1
1,1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 1
+
\int
K1
1,2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| 2+\gamma 1
=: D1,1
n,1(w) +D1,2
n,1(w), (4.25)
а отже, згiдно з лемами 3.1 i 3.2, отримуємо
D1,1
n,1(w) \preceq
\int
K1
1,1(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq
c\int
1/n
ds
s(2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1,1(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, (4.26)
D1,2
n,1(w) \preceq
\int
K1
1,2(R1)
| dt|
| t - w1| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1,2(R1) \preceq n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1. (4.27)
1.2.2. Для довiльного \gamma 1 > - 2, згiдно з лемами 3.1 i 3.2, маємо
D2
n,1(w) \preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 1
+
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| 2+\gamma 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 361
\preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
+
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq
c1\int
1/n
ds
s(2+\gamma 1)\lambda 1
+
c2\int
1/n
ds
s(2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1.
(4.28)
1.2.3. Для довiльного \gamma 1 > - 2 на пiдставi лем 3.1 i 3.2 одержуємо
D3
n,1(w) \preceq
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| t - w| 2\lambda 1
\preceq
c3\int
1/n
ds
s2\lambda 1
\preceq
\left\{
n2\lambda 1 - 1, якщо 2\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо 2\lambda 1 = 1,
1, якщо 2\lambda 1 < 1.
1.3. Нехай w \in K1
3 (R).
1.3.1. Якщо \gamma 1 \geq 0, то з лем 3.1 i 3.2 випливає, що
D1
n,1(w) \preceq
\int
K1
1 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| \gamma 1
\preceq
\int
K1
1 (R1)
| dt|
| t - w1| \gamma 1\lambda 1
\preceq n\gamma 1\lambda 1 \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1 (R1) \preceq n\gamma 1\lambda 1 - 1 (4.29)
i для \gamma 1 < 0
D1
n,1(w) \preceq
\int
K1
1 (R1)
| t - w1| - \gamma 1\lambda 1 | dt| \preceq
\biggl(
1
n
\biggr) - \gamma 1\lambda 1
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K1
1 (R1) \preceq
\biggl(
1
n
\biggr) - \gamma 1\lambda 1+1
\preceq 1.
1.3.2. Для довiльного \gamma 1 > - 2 на пiдставi лем 3.1 i 3.2 отримуємо
D2
n,1(w) \preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 1
+
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w1)| 2+\gamma 1
\preceq
\int
K1
2,1(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
+
\int
K1
2,2(R1)
| dt|
| t - w| (2+\gamma 1)\lambda 1
\preceq
c1\int
1/n
ds
s(2+\gamma 1)\lambda 1
+
c2\int
1/n
ds
s(2+\gamma 1)\lambda 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
362 П. ОЗКАРТЕПЕ
\preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 = 1,
1, якщо (2 + \gamma 1)\lambda 1 < 1.
(4.30)
1.3.3. Аналогiчно, для довiльного \gamma 1 > - 2
D3
n,1(w) \preceq
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K1
3 (R1)
| dt|
| t - w| 2\lambda 1
\preceq n2\lambda 1 - 1. (4.31)
Об’єднуючи оцiнки (4.13) – (4.31), для w \in \Phi (LR) маємо
Dn,1(w) \preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 >
1
\lambda 1
- 2,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 =
1
\lambda 1
- 2,
1, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, - 2 < \gamma 1 <
1
\lambda 1
- 2,
n(2+\widetilde \gamma 1)\lambda 1 - 1,
1
2
< \lambda 1 < 2, \gamma 1 > - 2,
(4.32)
де \widetilde \gamma 1 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0; \gamma 1\} .
Випадок 2. Нехай w \in \Phi (L2
R).
По аналогiї з випадком 1 одержимо оцiнки для w \in K2
1 (R), w \in K2
2 (R) i w \in K2
3 (R).
2.1. Нехай w \in K2
1 (R) \cup K2
2 (R). Оцiнимо величину
Dn,2(w) =
3\sum
i=1
\int
K2
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \gamma 2 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
=:
3\sum
i=1
Di
n,2(w) (4.33)
окремо для \gamma 1 \geq 0 i \gamma 1 < 0.
Згiдно з оцiнкою [34, с. 181] для довiльного континуума з простим зв’язним доповненням,
маємо
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \succeq | t - w2| 2, | \Psi (t) - \Psi (w)| \succeq | t - w| 2. (4.34)
При встановленнi оцiнок у цьому випадку будемо використовувати даний факт замiсть леми 3.2.
2.1.1. Для кожного i = 1, 2 одержуємо
2\sum
i=1
Di
n,2(w) =
2\sum
i=1
\int
K2
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \gamma 2 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\left( \int
K2
1,1(R1)
+
\int
K2
2,1(R1)
\right) | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 363
+
\left( \int
K2
1,2(R1)
+
\int
K2
2,2(R1)
\right) | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| 2+\gamma 2
\preceq
\left( \int
K2
1,1(R1)
+
\int
K2
2,1(R1)
\right) | dt|
| t - w| 2(2+\gamma 2)
\preceq n2(2+\gamma 2) - 1, (4.35)
якщо \gamma 2 \geq 0, i
2\sum
i=1
Di
n,2(w) =
2\sum
i=1
\int
K2
i (R1)
| \Psi (t) - \Psi (w2)| - \gamma 2 | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq n3, (4.36)
якщо \gamma 2 < 0.
2.1.2. Для i = 3 отримуємо
D3
n,2(w) =
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \gamma 2 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq c - \gamma 2
2
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| t - w| 2
\preceq n, (4.37)
якщо \gamma 2 \geq 0, i
D3
n,2(w) \preceq n, (4.38)
якщо \gamma 2 < 0.
2.2. Нехай w \in K2
3 (R).
2.2.1. Для кожного \gamma 2 > - 2, аналогiчно випадку 2.1.1, маємо
2\sum
i=1
Di
n,2(w) =
2\sum
i=1
\int
K2
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \gamma 2 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\left( \int
K2
1,1(R1)
+
\int
K2
2,1(R1)
\right) | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2+\gamma 2
+
\left( \int
K2
1,2(R1)
+
\int
K2
2,2(R1)
\right) | dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| 2+\gamma 2
\preceq
\left( \int
K2
1,1(R1)
+
\int
K2
2,1(R1)
\right) | dt|
| t - w| 2(2+\gamma 2)
+
\left( \int
K2
1,2(R1)
+
\int
K2
2,2(R1)
\right) | dt|
| t - w2| 2(2+\gamma 2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
364 П. ОЗКАРТЕПЕ
\preceq
\left\{
n2(2+\gamma 2) - 1, якщо 2(2 + \gamma 2) > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, якщо 2(2 + \gamma 2) = 1,
1, якщо 2(2 + \gamma 2) < 1.
(4.39)
2.2.2. Для довiльного \gamma 2 > - 2 отримуємо
D3
n,2(w) =
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w2)| \gamma 2 | \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (w)| 2
\preceq
\int
K2
3 (R1)
| dt|
| t - w| 2
\preceq n. (4.40)
Об’єднуючи (4.33) – (4.40), одержуємо
Dn,2(w) \preceq n2(2+\widetilde \gamma 2) - 1, (4.41)
де \widetilde \gamma 2 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0; \gamma 2\} .
Звiдси, згiдно зi спiввiдношеннями (4.10), (4.12), (4.32) i (4.41), записуємо
Dn(w) \preceq
\left\{
n(2+\gamma 1)\lambda 1 - 1, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 >
1
\lambda 1
- 2,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 =
1
\lambda 1
- 2,
1, 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, - 2 < \gamma 1 <
1
\lambda 1
- 2,
n(2+\widetilde \gamma 1)\lambda 1 - 1,
1
2
< \lambda 1 < 2, \gamma 1 > - 2,
+ n2(2+\widetilde \gamma 2) - 1, (4.42)
де \widetilde \gamma j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0; \gamma j\} , \widetilde \lambda 1 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1;\lambda 1\} .
Об’єднуючи оцiнки (4.7) – (4.10) i (4.42), для довiльного z \in LR отримуємо
| Pn(z)| \preceq \mu n\| Pn\| p, (4.43)
де
\mu n :=
\left\{
n
(2+\gamma 1)\lambda 1
p , 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 >
1
\lambda 1
- 2,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, \gamma 1 =
1
\lambda 1
- 2,
n
1
p , 0 < \lambda 1 \leq
1
2
, - 2 < \gamma 1 <
1
\lambda 1
- 2,
n
(2+\widetilde \gamma 1)\lambda 1
p ,
1
2
< \lambda 1 < 2, \gamma 1 > - 2,
+ n
2(2+\widetilde \gamma 2)
p
=
\left\{
n
(2+\gamma 1)\lambda 1
p , 0 < \lambda 1 < 2, \gamma 1 \geq
2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 \geq 0,
n
2(2+\gamma 2)
p , 0 < \lambda 1 < 2, 0 < \gamma 1 <
2
\lambda 1
(2 + \gamma 2) - 2, \gamma 2 \geq 0,
n
4
p , 0 < \lambda 1 < 2, - 2 < \gamma 1 < 0, - 2 < \gamma 2 < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 365
Вiдповiдно, з (4.7) – (4.9) випливає твердження теореми 2.1 для довiльного z \in LR, а отже,
воно також справедливе для z \in G, що завершує доведення для m = 0.
Переходимо тепер до випадку m \geq 1. Нехай z \in L — довiльна фiксована точка i
B(z, d(z, LR) := \{ t : | t - z| < d(z, LR)\} .
З iнтегрального зображення Кошi маємо
P (m)
n (z) =
m!
2\pi i
\int
\partial B(z,d(z,LR)
Pn(\zeta )d\zeta
(\zeta - z)m+1
, z \in L, m = 1, 2, . . . . (4.44)
Отже,\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq m!
2\pi
\int
\partial B(z,d(z,LR)
| Pn(\zeta )|
| d\zeta |
| \zeta - z| m+1
\preceq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in GR
| Pn(\zeta )| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in L
\biggl\{
1
dm(z, LR)
\biggr\}
. (4.45)
Аналогiчно вiдомiй лемi Бернштейна – Уолша [36], iз (4.43) маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in GR
| Pn(\zeta )| \preceq \| Pn\| C(G) \preceq \mu n\| Pn\| p. (4.46)
З iншого боку,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in L
\biggl\{
1
d(z, LR)
\biggr\}
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in L1
\biggl\{
1
d(z, LR)
\biggr\}
; \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in L2
\biggl\{
1
d(z, LR)
\biggr\} \biggr\}
\preceq nm\widetilde \lambda j .
Отже, \bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq nm\widetilde \lambda j\mu n\| Pn\| p,
що доводить теорему 2.1.
Доведення теореми \bftwo .\bftwo . Нехай G \in PDS(1;\lambda 1, \lambda 2) для деяких 0 < \lambda j \leq 2, j = 1, 2, h(z)
означена за допомогою (1.1). Iз (4.44) – (4.46) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (zj)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq \mu n \| Pn\| p
1
dm(zj , LR)
, j = 1, 2.
Оскiльки, згiдно з лемою 3.2,
d(zj , LR) \succeq n - \widetilde \lambda j , j = 1, 2,
то
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z1)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq \| Pn\| p nm\widetilde \lambda 1
\left\{
n
(2+\widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 > 1,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 = 1,
n
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 < 1,
= \| Pn\| p
\left\{
n
\Bigl(
2+\widetilde \gamma 1
p
+m
\Bigr) \widetilde \lambda 1 , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 > 1,
n
m\widetilde \lambda 1+
1
p (\mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 = 1,
n
m\widetilde \lambda 1+
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 1)\widetilde \lambda 1 < 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
366 П. ОЗКАРТЕПЕ
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z2)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq \| Pn\| p nm\widetilde \lambda 2
\left\{
n
2(2+\widetilde \gamma 2)
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 > 1,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 = 1,
n
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 < 1,
= \| Pn\| p
\left\{
n
\Bigl(
2+\widetilde \gamma 2
p
+m
\Bigr) \widetilde \lambda 2 , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 > 1,
n
m\widetilde \lambda 2+
1
p (\mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 = 1,
n
m\widetilde \lambda 2+
1
p , якщо (2 + \widetilde \gamma 2)\widetilde \lambda 2 < 1,
що й доводить теорему 2.2.
Лiтература
1. F. G. Abdullayev, V. V. Andrievskii, On the orthogonal polynomials in the domains with K-quasiconformal boundary,
(in Russian), Izv. Akad. Nauk Azerb. SSR, Ser. Fiz., Tech., Mat., 4, № 1, 7 – 11 (1983).
2. F. G. Abdullayev, On the some properties on orthogonal polynomials over the regions of complex plane 1, Ukr. Math.
J., 52, № 12, 1807 – 1817 (2000).
3. F. G. Abdullayev, On the some properties of the orthogonal polynomials over the region of the complex plane
(Part III), Ukr. Math. J., 53, № 12, 1934 – 1948 (2001).
4. F. G. Abdullayev, U. Deger, On the orthogonal polynomials with weight having singularities on the boundary of
regions in the complex plane, Bull. Belg. Math. Soc., 16, № 2, 235 – 250 (2009).
5. F. G. Abdullayev, N. D. Aral, On Bernstein – Walsh-type lemmas in regions of the complex plane, Ukr. Math. J., 63,
№ 3, 337 – 350 (2011).
6. F. G. Abdullayev, C. D. Gün, On the behavior of the algebraic polynomials in regions with piecewise smooth
boundary without cusps, Ann. Polon. Math., 111, 39 – 58 (2014).
7. F. G. Abdullayev, N. P. Özkartepe, On the behavıor of the algebraıc polynomıal in unbounded regıons wıth pıecewıse
Dını – Smooth boundary, Ukr. Math. J., 66, № 5, 579 – 597 (2014).
8. F. G. Abdullayev, P. Özkartepe, On the growth of algebraic polynomials in the whole complex plane, J. Korean Math.
Soc., 52, № 4, 699 – 725 (2015).
9. F. G. Abdullayev, N. P. Özkartepe, Uniform and pointwise Bernstein – Walsh-type inequalities on a quasidisk in the
complex plane, Bull. Belg. Math. Soc., 23, № 2, 285 – 310 (2016).
10. F. G. Abdullayev, T. Tunç, Uniform and pointwise polynomial inequalities in regions with asymptotically conformal
curve on weighted Bergman space, Lobachevskii J. Math., 38, № 2, 193 – 205 (2017).
11. F. G. Abdullayev, T. Tunc, G. A. Abdullayev, Polynomial inequalities in quasidisks on weighted Bergman space,
Ukr. Math. J., 69, № 5, 675 – 695 (2017).
12. F. G. Abdullayev, C. D. Gün, Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in Bergman space in
regions of complex plane, Ukr. Math. J., 73, № 4, 513 – 531 (2021).
13. F. G. Abdullayev, C. D. Gün, Bernstein – Walsh-type inequalities for derivatives of algebraic polynomials, Bull.
Korean Math. Soc., 59, № 1, 45 – 72 (2022); DOI.org/10.4134/BKMS.b210023.
14. F. G. Abdullayev, Bernstein – Walsh-type inequalities for derivatives of algebraic polynomials in quasidiscs, Open
Math., 19, 1847 – 1876 (2021).
15. L. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, Van Nostrand, Princeton, NJ (1966).
16. V. V. Andrievskii, V. I. Belyi, V. K. Dzyadyk, Conformal invariants in constructive theory of functions of complex
plane, World Federation Publ. Co., Atlanta (1995).
17. V. V. Andrievskii, H. P. Blatt, Discrepancy of signed measures and polynomial approximation, Springer-Verlag,
New-York (2010).
18. V. V. Andrievskii, Weighted polynomial inequalities in the complex plane, J. Approx. Theory, 164, № 9, 1165 – 1183
(2012).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
НЕРIВНОСТI ТИПУ МАРКОВА – НIКОЛЬСЬКОГО В ОБЛАСТЯХ IЗ ВНУТРIШНIМИ НУЛЬОВИМИ . . . 367
19. S. Balcı, M. Imashkyzy, F. G. Abdullayev, Polynomial inequalities in regions with interior zero angles in the Bergman
space, Ukr. Math. J., 70, № 3, 362 – 384 (2018).
20. D. Benko, P. Dragnev, V. Totik, Convexity of harmonic densities, Rev. Mat. Iberoam., 28, № 4, 1 – 14 (2012).
21. S. N. Bernstein, Sur la limitation des derivees des polnomes, C. R. Acad. Sci. Paris, 190, 338 – 341 (1930).
22. S. N. Bernstein, On the best approximation of continuos functions by polynomials of given degree, Izd. Akad. Nauk
SSSR, I (1952); II (1954) (O nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsii posredstrvom mnogochlenov dannoi
stepeni), Sobraniye sochinenii. I (4), 11 – 10 (1912)
23. V. K. Dzyadyk, I. A. Shevchuk, Theory of uniform approximation of functions by polynomials, Walter de Gruyter
Berlin, New York (2008).
24. V. K. Dzjadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of function by polynomials, Nauka, Moskow
(1977).
25. D. Jackson, Certain problems on closest approximations, Bull. Amer. Math. Soc., 39, 889 – 906 (1933).
26. O. Lehto, K. I. Virtanen, Quasiconformal mapping in the plane, Springer-Verlag, Berlin (1973).
27. D. I. Mamedhanov, Inequalities of S. M. Nikol’skii type for polynomials in the complex variable on curves, Soviet
Mat. Dokl., 15, 34 – 37 (1974).
28. G. V. Milovanovic, D. S. Mitrinovic, Th. M. Rassias, Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros,
World Sci., Singapore (1994).
29. S. M. Nikol’skii, Approximation of function of several variable and imbeding theorems, Springer-Verlag, New York
(1975).
30. P. Özkartepe, Uniform and pointwise polynomial estimates in regions with interior and exterior cusps, Cumhuriyet
Sci. J., 39, № 1, 47 – 65 (2018).
31. I. Pritsker, Comparing norms of polynomials in one and several variables, J. Math. Anal. and Appl., 216, 685 – 695
(1997).
32. Ch. Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoeck and Ruprecht, Göttingen (1975).
33. S. Rickman, Characterization of quasiconformal arcs, Ann. Acad. Sci. Fenn., Math., 395, 7 – 30 (1966).
34. P. M. Tamrazov, Smoothness and polynomial approximations, (in Russian), Naukova Dumka, Kiev (1975).
35. G. Szegö, A. Zygmund, On certain mean values of polynomials, J. Anal. Math., 3, № 1, 225 – 244 (1953).
36. J. L. Walsh, Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain, Amer. Math. Soc., Rhode
Island (1960).
Одержано 18.09.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7322 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:18Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/51/f1e14f00c1692736ef5c001fc4544651.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73222023-04-15T15:10:32Z Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space Нерiвностi типу Маркова–Нiкольського в областях iз внутрiшнiми нульовими кутами в просторi Бергмана Özkartepe, P. Озкартепе, Пелiн Markov inequality, Nikolskii inequality, Algebraic polynomials, Conformal mapping, Smooth curve 30A10,30C10; 41A1 UDC 517.5 The order of growth of the module&nbsp; of an arbitrary algebraic polynomial in a weighted Bergman space&nbsp; $A_{p}(G,h),$&nbsp; $p&gt;0,$&nbsp; is investigated&nbsp;in the regions with exterior nonzero and interior zero angles at finitely many points of the&nbsp; boundary.&nbsp;We establish estimates of the Markov–,Nikolskii type for algebraic polynomials and clarify the behavior of derived polynomials at the points of zeros and poles of the weight function in bounded regions with piecewise-smooth boundary. УДК 517.5 Досліджується порядок зростання модуля довільного&nbsp;алгебраїчного полінома у ваговому просторі Бергмана $A_{p}(G,h),$ $p&gt;0,$ в областях, що мають зовнішні ненульові та внутрішні нульові кути у скінченному числі точок межі.&nbsp;Отримано оцінки типу Маркова–Нікольського для алгебраїчних поліномів, а також з'ясовано поведінку похідних поліномів у точках нулів і полюсів вагової функції в обмежених областях з кусково-гладкою межею. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-04-11 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7322 10.37863/umzh.v75i3.7322 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 3 (2023); 364 - 381 Український математичний журнал; Том 75 № 3 (2023); 364 - 381 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7322/9377 Copyright (c) 2023 Pelin Özkartepe |
| spellingShingle | Özkartepe, P. Озкартепе, Пелiн Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title | Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title_alt | Нерiвностi типу Маркова–Нiкольського в областях iз внутрiшнiми нульовими кутами в просторi Бергмана |
| title_full | Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title_fullStr | Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title_full_unstemmed | Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title_short | Inequalities of the Markov–Nikolskii type in regions with zero interior angles in Bergman space |
| title_sort | inequalities of the markov–nikolskii type in regions with zero interior angles in bergman space |
| topic_facet | Markov inequality Nikolskii inequality Algebraic polynomials Conformal mapping Smooth curve 30A10,30C10 41A1 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7322 |
| work_keys_str_mv | AT ozkartepep inequalitiesofthemarkovnikolskiitypeinregionswithzerointerioranglesinbergmanspace AT ozkartepepelin inequalitiesofthemarkovnikolskiitypeinregionswithzerointerioranglesinbergmanspace AT ozkartepep nerivnostitipumarkovanikolʹsʹkogovoblastâhizvnutrišniminulʹovimikutamivprostoribergmana AT ozkartepepelin nerivnostitipumarkovanikolʹsʹkogovoblastâhizvnutrišniminulʹovimikutamivprostoribergmana |