On distortions of the transfinite diameter of disk image
UDC 517.54, 517.12 We investigate the so-called ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus for $p>2$ on a complex plane. In particular, we establish a lower bound for the distortion of the transfinite diameter of disk image. Moreover, we solve the pr...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7329 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512658412797952 |
|---|---|
| author | Salimov, R. Vyhivska, L. Klishchuk, B. Салімов, Руслан Вигівська, Людмила Кліщук, Богдан |
| author_facet | Salimov, R. Vyhivska, L. Klishchuk, B. Салімов, Руслан Вигівська, Людмила Кліщук, Богдан |
| author_sort | Salimov, R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-06T14:27:02Z |
| description | UDC 517.54, 517.12
We investigate the so-called ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus for $p>2$ on a complex plane. In particular, we establish a lower bound for the distortion of the transfinite diameter of disk image. Moreover, we solve the problem of minimization of the  functional of distortion of the transfinite diameter of a disk in a certain class of ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i2.7329 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i2.7329
УДК 517.54, 517.12
Руслан Салiмов (Iнститут математики НАН України, Київ),
Людмила Вигiвська2 (Iнститут математики НАН України, Київ,
Вроцлавський унiверситет науки та технологiй, Польща),
Богдан Клiщук1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
ПРО СПОТВОРЕННЯ ТРАНСФIНIТНОГО ДIАМЕТРА ОБРАЗУ КРУГА
We investigate the so-called ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus for p > 2 on a complex plane. In
particular, we establish a lower bound for the distortion of the transfinite diameter of disk image. Moreover, we solve
the problem of minimization of the functional of distortion of the transfinite diameter of a disk in a certain class of ring
Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus.
Дослiджуються кiльцевi Q-гомеоморфiзми щодо p-модуля при p > 2 на комплекснiй площинi. Отримано ниж-
ню оцiнку спотворення трансфiнiтного дiаметра образу круга. Розв’язано задачу про мiнiмiзацiю функцiонала
спотворення трасфiнiтного дiаметра круга на деякому класi кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв щодо p-модуля.
1. Вступ. Нагадаємо деякi означення. Нехай задано сiм’ю \Gamma кривих \gamma в комплекснiй площинi
\BbbC . Борелеву функцiю \rho : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] називають допустимою для \Gamma (пишуть \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma ), якщо\int
\gamma
\rho (z)| dz| \geq 1
для кожної кривої \gamma \in \Gamma .
Нехай p \in (1,\infty ). Тодi p-модулем сiм’ї \Gamma називається величина
\mathrm{M}p(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma
\int
\BbbC
\rho p(z) dx dy.
Для довiльних множин E, F i G в \BbbC через \Delta (E,F,G) позначимо сiм’ю всiх кривих
\gamma : [a, b] \rightarrow \BbbC , якi з’єднують E i F в G, тобто \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in G при a < t < b.
Нехай D — область в комплекснiй площинi \BbbC . Покладемо
\BbbA (z0, r1, r2) = \{ z \in \BbbC : r1 < | z - z0| < r2\} ,
Si = S(z0, ri) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| = ri\} , i = 1, 2.
Нехай Q : D \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя. Будемо говорити, що гомеоморфiзм
f : D \rightarrow \BbbC є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-модуля в точцi z0 \in D, якщо спiввiдно-
шення
\mathrm{M}p(\Delta (fS1, fS2, fD)) \leq
\int
\BbbA
Q(z) \eta p(| z - z0| ) dx dy
виконується для будь-якого кiльця \BbbA = \BbbA (z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0, d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (z0, \partial D), i
для кожної вимiрної функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: kban1988@gmail.com.ua.
2 Дослiдження Л. Вигiвської частково пiдтримано грантом NCN (№ 2017/27/B/ST1/01339).
c\bigcirc РУСЛАН САЛIМОВ, ЛЮДМИЛА ВИГIВСЬКА, БОГДАН КЛIЩУК, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2 207
208 РУСЛАН САЛIМОВ, ЛЮДМИЛА ВИГIВСЬКА, БОГДАН КЛIЩУК
r2\int
r1
\eta (r) dr = 1.
Теорiю Q-гомеоморфiзмiв в \BbbR n при p = n дослiджували в роботах [1 – 5], при 1 < p < n —
у [6 – 13] i при p > n — у [14 – 18]. Бiльш загальнi класи вiдображень дослiджували в [19 – 27]
(див. також [28]).
Далi будемо вважати, що
qz0(r) =
1
2\pi r
\int
S(z0,r)
Q(z)| dz|
— середнє iнтегральне значення функцiї Q по колу S(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| = r\} .
Нижче наведено критерiй належностi гомеоморфiзмiв класу кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв
щодо p-модуля при p > 1 на комплекснiй площинi (див. теорему 2.3 в [11] при n = 2).
Твердження 1. Нехай D — область у комплекснiй площинi \BbbC i Q : D \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна
за Лебегом функцiя, яка задовольняє умову qz0(r) \not = \infty для майже всiх r \in (0, d0), d0 =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D). Гомеоморфiзм f : D \rightarrow \BbbC є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-модуля при
p > 1 в точцi z0 \in D тодi й лише тодi, коли для довiльних r1, r2 таких, що 0 < r1 < r2 < d0,
виконується умова
\mathrm{M}p(\Delta (fS1, fS2, fD)) \leq 2\pi \left( \int r2
r1
dr
r
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (r)
\right) p - 1 ,
де S1 = S(z0, r1), S2 = S(z0, r2) i qz0(r) =
1
2\pi r
\int
S(z0,r)
Q(z)| dz| — середнє iнтегральне
значення функцiї Q по колу S(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| = r\} .
Позначимо через B(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| < r\} круг iз центром у точцi z0 \in \BbbC радiуса
r > 0.
Нижче наведемо деякi допомiжнi вiдомостi про p-ємнiсть конденсатора. Згiдно з результа-
тами роботи [29], пару \scrE = (A,C), де A \subset \BbbC — вiдкрита множина i C — непорожня компактна
множина, яка мiститься в A, називають конденсатором. Конденсатор \scrE називається кiльцевим
конденсатором, якщо R = A \setminus C — кiльцева область, тобто якщо R — область, доповнення
якої \BbbC \setminus R складається в точностi з двох компонент. Конденсатор \scrE називається обмеженим
конденсатором, якщо множина A обмежена. Кажуть, що конденсатор \scrE = (A,C) лежить в
областi D, якщо A \subset D. Очевидно, що якщо f : D \rightarrow \BbbC — неперервне, вiдкрите вiдображення
i \scrE = (A,C) — конденсатор в D, то (fA, fC) також конденсатор в fD. Далi позначатимемо
f\scrE = (fA, fC).
Нехай \scrE = (A,C) — конденсатор. Позначимо через \scrC 0(A) множину неперервних функ-
цiй u : A \rightarrow \BbbR 1 з компактним носiєм. \scrW 0(\scrE ) = \scrW 0(A,C) — сiм’я невiд’ємних функцiй
u : A \rightarrow \BbbR 1 таких, що: 1) u \in \scrC 0(A), 2) u(x, y) \geq 1 для (x, y) \in C i 3) u належить класу
\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{L}. При p \geq 1 величину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПРО СПОТВОРЕННЯ ТРАНСФIНIТНОГО ДIАМЕТРА ОБРАЗУ КРУГА 209
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in \scrW 0(\scrE )
\int
A
| \nabla u| p dx dy,
де
| \nabla u| =
\sqrt{} \biggl(
\partial u
\partial x
\biggr) 2
+
\biggl(
\partial u
\partial y
\biggr) 2
,
називають p-ємнiстю конденсатора \scrE .
Вiдомо, що при p > 1
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{M}p(\Delta (\partial A, \partial C;A \setminus C)) (1)
(див. теорему 1 в [30]).
Твердження 2. При p > 2 справедливою є оцiнка
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) \geq 2\pi
p
2
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
| A|
p - 2
2(p - 1) - | C|
p - 2
2(p - 1)
\Bigr) 1 - p
(2)
(див., наприклад, [31], нерiвнiсть (8.7)).
Нехай E — обмежена замкнена множина у комплекснiй площинi \BbbC . Величина
dn(E) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
zi,zj\in E
\left\{ \prod
1\leq i<j\leq n
| zi - zj |
2
n(n - 1)
\right\}
називається n-м дiаметром множини E. Зокрема, d2(E) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E — евклiдiв дiаметр множи-
ни E.
Зауважимо, що послiдовнiсть величин dn(E) є незростаючою, dn+1(E) \leq dn(E), n =
= 2, 3, . . . . Тодi границя d(E) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty dn(E) називається трансфiнiтним дiаметром множини
E. Якщо E — скiнченна множина, то покладають d(E) = 0. Вiдомо, що величина d(E)
збiгається зi сталою Чебишова для множини E та з логарифмiчною ємнiстю цiєї множини
(див., наприклад, [32, с. 285 – 305; 33, с. 209 – 217]).
Нагадаємо вiдомi властивостi трансфiнiтного дiаметра.
1. Якщо E1 \subset E2, то d(E1) \leq d(E2).
2. Трансфiнiтний дiаметр круга B(z0, r) дорiвнює радiусу r, а трансфiнiтний дiаметр сег-
мента E = [a, b] дорiвнює
b - a
4
.
3. За теоремою Пойа (див. [34]) для довiльної компактної множини E \subset \BbbC має мiсце оцiнка
| E| \leq \pi d2(E), (3)
де | E| — мiра Лебега множини E.
Зауважимо, що у роботах [35 – 37] трансфiнiтний дiаметр застосовується до розв’язання
екстремальної задачi про добуток внутрiшнiх радiусiв n взаємно неперетинних областей для
довiльного натурального n \geq 2 та її узагальнень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
210 РУСЛАН САЛIМОВ, ЛЮДМИЛА ВИГIВСЬКА, БОГДАН КЛIЩУК
2. Оцiнки для спотворення трансфiнiтного дiаметра образу круга. Справедливою є така
лема.
Лема 1. Нехай D i D\prime — обмеженi областi в \BbbC i f : D \rightarrow D\prime — кiльцевий Q-гомеоморфiзм
щодо p-модуля в точцi z0 \in D при p > 2. Тодi для всiх r \in (0, d0), d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D), має
мiсце оцiнка
d
\Bigl(
fB(z0, r)
\Bigr)
\geq
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1
p - 2
\left( r\int
0
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right)
p - 1
p - 2
, (4)
де B(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| \leq r\} , qz0(r) =
1
2\pi r
\int
S(z0,r)
Q(z)| dz| — середнє iнтегральне
значення функцiї Q по колу S(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| = r\} .
Доведення. Нехай \scrE = (A,C) — конденсатор, де A = \{ z \in D : | z - z0| < r\} , C = \{ z \in D :
| z - z0| \leq \varepsilon \} , 0 < \varepsilon < r < d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D). Тодi f\scrE = (fA, fC) — кiльцевий конденсатор в
D\prime i згiдно з (1) маємо рiвнiсть
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pf\scrE = \mathrm{M}p(\Delta (\partial fA, \partial fC; f(A \setminus C)). (5)
Згiдно з нерiвнiстю (2) отримуємо
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pf\scrE \geq 2\pi
p
2
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
| fA|
p - 2
2(p - 1) - | fC|
p - 2
2(p - 1)
\Bigr) 1 - p
. (6)
З iншого боку, на пiдставi твердження 1 та рiвностi (5) маємо
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pf\scrE \geq 2\pi \left( \int r
\varepsilon
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right) p - 1 , (7)
де qz0(r) =
1
2\pi r
\int
S(z0,r)
Q(z)| dz| — середнє iнтегральне значення функцiї Q по колу S(z0, r).
Комбiнуючи нерiвностi (6) i (7), одержуємо
2\pi
p
2
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
| fA|
p - 2
2(p - 1) - | fC|
p - 2
2(p - 1)
\Bigr) 1 - p
\leq 2\pi \left( \int r
\varepsilon
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right) p - 1 .
Iз останньої оцiнки випливає нерiвнiсть
\pi
p
2
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1
| fA|
2 - p
2 \leq \pi \left( \int r
\varepsilon
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right) p - 1 .
Переходячи до границi при \varepsilon \rightarrow 0 та виконуючи елементарнi перетворення, приходимо до
оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПРО СПОТВОРЕННЯ ТРАНСФIНIТНОГО ДIАМЕТРА ОБРАЗУ КРУГА 211
| fB(z0, r)| \geq | fA| \geq \pi
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) 2(p - 1)
p - 2
\left( r\int
0
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right)
2(p - 1)
p - 2
.
Застосовуючи нерiвнiсть Пойа (3), отримуємо
\pi d2
\Bigl(
fB(z0, r)
\Bigr)
\geq
\bigm| \bigm| \bigm| fB(z0, r)
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \pi
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) 2(p - 1)
p - 2
\left( r\int
0
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right)
2(p - 1)
p - 2
.
Звiдси випливає нерiвнiсть (4).
Лему 1 доведено.
Теорема 1. Нехай D i D\prime — обмеженi областi в \BbbC i f : D \rightarrow D\prime — кiльцевий Q-гомео-
морфiзм щодо p-модуля в точцi z0 \in D при p > 2. Припустимо, що функцiя Q задовольняє
умову
qz0(t) =
1
2\pi t
\int
S(z0,t)
Q(z) | dz| \leq \kappa t - \alpha , \kappa > 0, \alpha \geq 0,
для майже всiх t \in (0, d0), d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D). Тодi для всiх r \in (0, d0), d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D), має
мiсце оцiнка
d
\Bigl(
fB(z0, r)
\Bigr)
\geq \kappa
- 1
p - 2
\biggl(
p - 2
p+ \alpha - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
p+\alpha - 2
p - 2 ,
де B(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| \leq r\} , qz0(r) =
1
2\pi r
\int
S(z0,r)
Q(z)| dz| — середнє iнтегральне
значення функцiї Q по колу S(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| = r\} .
3. Про мiнiмiзацiю трансфiнiтного дiаметра. Зафiксуємо деякi числа z0 \in D, p > 2,
\kappa = \kappa (z0) > 0, \alpha \geq 0. Нехай D = D(z0, p, \kappa , \alpha ) — множина всiх кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв
f : D \rightarrow \BbbC щодо p-модуля в точцi z0 \in D з умовою
q(t) =
1
2\pi t
\int
S(z0,t)
Q(z) | dz| \leq \kappa t - \alpha (8)
для майже всiх t \in (0, d0), d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z0, \partial D).
Розглянемо на класi D функцiонал спотворення трансфiнiтного дiаметра круга
\bfd r(f) = d
\Bigl(
fB(z0, r)
\Bigr)
,
де B(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| \leq r\} .
Доведемо теорему про мiнiмiзацiю функцiонала \bfd r(f).
Теорема 2. Для всiх r \in [0, d0) справедливою є рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in D
\bfd r(f) = \kappa
- 1
p - 1
\biggl(
p - 2
p+ \alpha - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
p+\alpha - 2
p - 2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
212 РУСЛАН САЛIМОВ, ЛЮДМИЛА ВИГIВСЬКА, БОГДАН КЛIЩУК
Доведення. Справдi, використовуючи лему 1 та умову (8), отримуємо оцiнку
d
\Bigl(
fB(z0, r)
\Bigr)
\geq \kappa
- 1
p - 2
\biggl(
p - 2
p+ \alpha - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
p+\alpha - 2
p - 2 .
Тодi для функцiонала \bfd r(f) виконується нерiвнiсть
\bfd r(f) \geq \kappa
- 1
p - 2
\biggl(
p - 2
p+ \alpha - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
p+\alpha - 2
p - 2 .
Побудуємо гомеоморфiзм f0 \in D, на якому реалiзується мiнiмум функцiонала \bfd r(f). Нехай
f0(z) =
\left\{ \kappa
1
2 - p
\biggl(
p - 2
\alpha + p - 2
\biggr) p - 1
p - 2
| z - z0|
\alpha +p - 2
p - 2
z - z0
| z - z0|
, z \not = z0,
0, z = z0.
Легко бачити, що при вiдображеннi f0 круг B(z0, r) перетворюється в круг B(0, \~r(r)), де
\~r(r) = \kappa
1
2 - p
\biggl(
p - 2
\alpha + p - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
\alpha +p - 2
p - 2 .
Вiдомо, що трансфiнiтний дiаметр круга дорiвнює радiусу круга
d
\Bigl(
f0B(z0, r)
\Bigr)
= d
\Bigl(
B(0, \~r(r))
\Bigr)
= \~r(r).
Тому справджується рiвнiсть
\bfd r(f0) = d
\Bigl(
f0B(z0, r)
\Bigr)
= d
\Bigl(
B(0, \~r(r))
\Bigr)
= \~r(r) = \kappa
1
2 - p
\biggl(
p - 2
\alpha + p - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
p+\alpha - 2
p - 2 .
Покажемо, що вiдображення f0 є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-модуля при p > 2
з функцiєю Q(z) = \kappa | z - z0| - \alpha в точцi z0. Очевидно, що qz0(t) = \kappa t - \alpha . Розглянемо кiльце
\BbbA (z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0. Зауважимо, що вiдображення f0 перетворює кiльце \BbbA (z0, r1, r2)
в кiльце \BbbA (0, \~r1, \~r2), де
\~ri = \kappa
1
2 - p
\biggl(
p - 2
\alpha + p - 2
\biggr) p - 1
p - 2
r
\alpha +p - 2
p - 2
i , i = 1, 2. (9)
Позначимо через \Gamma сiм’ю всiх кривих, якi з’єднують кола S(z0, r1) i S(z0, r2) в кiльцi
\BbbA (z0, r1, r2). Тодi p-модуль сiм’ї кривих f0\Gamma обчислюється за формулою
\mathrm{M}p(f0\Gamma ) = 2\pi
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
( \~r2)
p - 2
p - 1 - ( \~r1)
p - 2
p - 1
\Bigr) 1 - p
.
Пiдставляючи в попередню рiвнiсть значення \~r1 i \~r2, визначенi у формулi (9), отримуємо
\mathrm{M}p(f0\Gamma ) = 2\pi
\biggl(
p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
( \~r2)
p - 2
p - 1 - ( \~r1)
p - 2
p - 1
\Bigr) 1 - p
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПРО СПОТВОРЕННЯ ТРАНСФIНIТНОГО ДIАМЕТРА ОБРАЗУ КРУГА 213
= 2\pi \kappa
\biggl(
\alpha + p - 2
p - 1
\biggr) p - 1\biggl(
r
\alpha +p - 2
p - 1
2 - r
\alpha +p - 2
p - 1
1
\biggr) 1 - p
.
Зауважимо, що останнє спiввiдношення можна записати у виглядi
\mathrm{M}p(f0\Gamma ) =
2\pi \left( \int r2
r1
dt
t
1
p - 1 q
1
p - 1
z0 (t)
\right) p - 1 ,
де qz0(t) = \kappa t - \alpha .
Отже, згiдно з твердженням 1 гомеоморфiзм f0 є кiльцевим Q-гомеоморфiзмом щодо p-
модуля при p > 2 з функцiєю Q(z) = \kappa | z - z0| - \alpha в точцi z0.
Теорему 2 доведено.
У випадку коли \alpha = 0, отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. Для всiх r \in [0, d0) справедливою є рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in D
\bfd r(f) = \kappa
- 1
p - 1 r.
Лiтература
1. V. I. Ryazanov, E. A. Sevost’yanov, Equicontinuous classes of ring Q-homeomorphisms, Sib. Math. J., 48, № 6,
1093 – 1105 (2007).
2. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Q-homeomorphisms, Complex Analysis and Dynamical Systems,
Contemp. Math., 364, 193 – 203 (2004).
3. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 30, № 1,
49 – 69 (2005).
4. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., New
York (2009).
5. R. Salimov, ACL and differentiability of a generalization of quasiconformal maps, Izv. Math., 72, № 5, 977 – 984
(2008).
6. A. Golberg, Differential properties of (\alpha ,Q)-homeomorphisms, Further Progress in Analysis, Proc. 6th ISAAC
Congr. (2009), р. 218 – 228.
7. A. Golberg, Integrally quasiconformal mappings in space, Trans. Inst. Math. NAS Ukraine, 7, № 2, 53 – 64 (2010).
8. A. Golberg, R. Salimov, Logarithmic Hölder continuity of ring homeomorphisms with controlled p-module, Complex
Var. and Elliptic Equat., 59, № 1, 91 – 98 (2014).
9. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Distortion estimates under mappings with controlled p-module, Ann. Univ.
Buchar. Math. Ser., 63, 95 – 114 (2014).
10. R. Salimov, On finitely Lipschitz space mappings, Sib. Elecron. Math. Rep., 8, 284 – 295 (2011).
11. Р. Р. Салимов, Об оценке меры образа шара, Сиб. мат. журн., 53, № 6, 920 – 930 (2012).
12. Р. Р. Салимов, К теории кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля, Укр. мат. вiсн., 10, № 3,
379 – 396 (2013).
13. Р. Р. Салимов, Об одном свойстве кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля, Укр. мат. журн., 65,
№ 5, 728 – 733 (2013).
14. Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Экстремальная задача для площади образа круга, Доп. НАН України, № 10,
22 – 27 (2016).
15. Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Нижние оценки для площади образа круга, Уфим. мат. журн., 9, № 2, 56 – 62
(2017).
16. Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Экстремальная задача для площади образа круга, Зап. научн. сем. ПОМИ, 456,
160 – 171 (2017).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
214 РУСЛАН САЛIМОВ, ЛЮДМИЛА ВИГIВСЬКА, БОГДАН КЛIЩУК
17. R. Salimov, B. Klishchuk, An extremal problem for the volume functional, Mat. Stud., 50, № 1, 36 – 43 (2018).
18. Б. А. Клищук, Р. Р. Салимов, Нижние оценки объема образа шара, Укр. мат. журн., 71, № 6, 774 – 785 (2019).
19. M. Cristea, Local homeomorphisms satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic Equat., 59,
№ 2, 232 – 246 (2014).
20. M. Cristea, Some properties of open discrete generalized ring mappings, Complex Var. and Eliptic Equat., 61, № 5,
623 – 643 (2016).
21. M. Cristea, Eliminability results for mappings satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic
Equat., 64, № 4, 676 – 684 (2019).
22. А. А. Маркиш, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса
отображений, Укр. мат. журн., 70, № 11, 1553 – 1562 (2018).
23. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Singularities of discrete open mappings with controlled p-module, J. Anal.
Math., 127, 303 – 328 (2015).
24. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Poletskii type inequality for mappings from the Orlicz – Sobolev classes,
Complex Anal. and Oper. Theory, 10, 881 – 901 (2016).
25. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Estimates for Jacobian and dilatation coefficients of open discrete mappings
with controlled p-module, Complex Anal. and Oper. Theory, 11, № 7, 1521 – 1542 (2017).
26. A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost’yanov, Normal families of discrete open mappings with controlled p-module,
Contemp. Math., 667, 83 – 103 (2016).
27. E. Sevost’yanov, S. Skvortsov, P. Dovhopiatyi, On nonhomeomorphic mappings with the inverse Poletsky inequality,
J. Math. Sci., 252, № 4, 541 – 557 (2021).
28. E. Sevost’yanov, A. Ukhlov, Sobolev mappings and moduli inequalities on Carnot groups, Укр. мат. вiсн., 17, № 2,
215 – 233 (2020).
29. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 448, 1 – 40
(1969).
30. В. A. Шлык, O равенстве p-емкости и p-модуля, Сиб. мат. журн., 34, № 6, 216 – 221 (1993).
31. V. Mazya, Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces, Contemp. Math.,
338, 307 – 340 (2003).
32. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
33. Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, Москва (1966).
34. Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, Москва (1962).
35. О. К. Бахтiн, I. В. Денега, Узагальнена нерiвнiсть М. О. Лаврентьєва, Укр. мат. вiсн., 19, № 1, 14 – 34 (2022).
36. О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний, Оцiнки добуткiв деяких степенiв внутрiшнiх радiусiв багатозв’язних областей,
Укр. мат. журн., 73, № 9, 1155 – 1169 (2021).
37. О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний, Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв багатозв’язних областей, Укр. мат. журн.,
73, № 1, 9 – 22 (2021).
Одержано 22.09.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7329 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:17Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/d9c279204ea191a3fb194b8611e0e046.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73292023-03-06T14:27:02Z On distortions of the transfinite diameter of disk image Про спотворення трансфінітного діаметра образу круга Salimov, R. Vyhivska, L. Klishchuk, B. Салімов, Руслан Вигівська, Людмила Кліщук, Богдан Q-гомеоморфізми, p-модуль сім'ї кривих конденсатор p-ємність конденсатора Q-homeomorphisms p-modulus of a family of curves condenser p-capacity of a condenser UDC 517.54, 517.12 We investigate the so-called ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus for $p&gt;2$ on a complex plane.&nbsp;In particular, we establish a lower bound for the distortion of the transfinite diameter of disk image.&nbsp;Moreover, we solve the problem of minimization of the&nbsp; functional of distortion of the transfinite diameter of a disk in a certain class of ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus. УДК 517.54, 517.12 Досліджуються кільцеві $Q$-гомеоморфізми щодо $p$-модуля при $p&gt;2$ на комплексній площині.&nbsp;Отримано нижню оцінку спотворення трансфінітного діаметра образу круга.&nbsp;Розв'язано задачу про мінімізацію функціонала спотворення трасфінітного діаметра круга на деякому класі кільцевих $Q$-гомеоморфізмів щодо $p$-модуля.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-03-02 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7329 10.37863/umzh.v75i2.7329 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 2 (2023); 207 - 214 Український математичний журнал; Том 75 № 2 (2023); 207 - 214 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7329/9365 Copyright (c) 2023 Богдан Кліщук |
| spellingShingle | Salimov, R. Vyhivska, L. Klishchuk, B. Салімов, Руслан Вигівська, Людмила Кліщук, Богдан On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title | On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title_alt | Про спотворення трансфінітного діаметра образу круга |
| title_full | On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title_fullStr | On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title_full_unstemmed | On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title_short | On distortions of the transfinite diameter of disk image |
| title_sort | on distortions of the transfinite diameter of disk image |
| topic_facet | Q-гомеоморфізми, p-модуль сім'ї кривих конденсатор p-ємність конденсатора Q-homeomorphisms p-modulus of a family of curves condenser p-capacity of a condenser |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7329 |
| work_keys_str_mv | AT salimovr ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT vyhivskal ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT klishchukb ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT salímovruslan ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT vigívsʹkalûdmila ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT klíŝukbogdan ondistortionsofthetransfinitediameterofdiskimage AT salimovr prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga AT vyhivskal prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga AT klishchukb prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga AT salímovruslan prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga AT vigívsʹkalûdmila prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga AT klíŝukbogdan prospotvorennâtransfínítnogodíametraobrazukruga |