Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence
UDC 519.21 We establish necessary and sufficient conditions for the convergence of the Baum–Katz series for the sums of elements of linear $m$th order autoregressive sequences of random variables.
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7340 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512662837788672 |
|---|---|
| author | Ilienko, M. Polishchuk, A. Ільєнко, Марина Поліщук, Анастасія |
| author_facet | Ilienko, M. Polishchuk, A. Ільєнко, Марина Поліщук, Анастасія |
| author_sort | Ilienko, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:41Z |
| description | UDC 519.21
We establish necessary and sufficient conditions for the convergence of the Baum–Katz series for the sums of elements of linear $m$th order autoregressive sequences of random variables. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i9.7340 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i9.7340
УДК 519.21
Mарина Iльєнко1, Анастасiя Полiщук (Нацiональний технiчний унiверситет України „Kиївський полi-
технiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”)
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ ЛIНIЙНИХ
АВТОРЕГРЕСIЙНИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ \bfitm -ГО ПОРЯДКУ
We establish necessary and sufficient conditions for the convergence of the Baum – Katz series for the sums of elements of
linear mth order autoregressive sequences of random variables.
Встановлено необхiднi i достатнi умови збiжностi рядiв Баума – Каца для сум елементiв лiнiйних авторегресiйних
послiдовностей випадкових величин m-го порядку.
1. Вступ. Нехай на ймовiрнiсному просторi (\Omega ,\scrF ,\BbbP ) задано послiдовнiсть випадкових величин
(\xi k) = (\xi k, k \geq 1):
\xi k = b1\xi k - 1 + b2\xi k - 2 + . . .+ bm\xi k - m + \theta k, k \geq 1, (1)
\xi 1 - m = . . . = \xi - 1 = \xi 0 = 0,
де (\theta k) — послiдовнiсть незалежних копiй випадкової величини \theta , а (bj ; 1 \leq j \leq m) — неви-
падковий набiр дiйсних чисел. Зауважимо, що лiнiйнi регресiйнi моделi випадкових величин та
рiзнi їх узагальнення вивчалися багатьма авторами впродовж кiлькох десятилiть. Серед великої
кiлькостi публiкацiй щодо задач та цiлих напрямкiв, якi охоплюють лiнiйнi регресiйнi схеми,
вiдмiтимо, наприклад, монографiю [5] (див. також посилання в нiй).
Для елементiв послiдовностi (\xi k) покладемо
Sn =
n\sum
k=1
\xi k, n \geq 1. (2)
Для 0 < p < 2, r \geq p i будь-якого \varepsilon > 0 розглянемо ряд
\infty \sum
n=1
n
r
p
- 2\BbbP
\biggl\{
| Sn|
n1/p
> \varepsilon
\biggr\}
(3)
i будемо вивчати необхiднi й достатнi умови збiжностi цього ряду.
Зрозумiло, що частковим випадком послiдовностi (\xi k) є послiдовнiсть незалежних одна-
ково розподiлених випадкових величин, якщо в (1) покласти bj = 0, 1 \leq j \leq m. Саме для
послiдовностей часткових сум незалежних випадкових величин Sn =
\sum n
k=1
\theta k, n \geq 1, вперше
в роботi [13] було розглянуто ряд (3) при r = 2p = 2. У згаданiй роботi автори ввели поняття
повної збiжностi послiдовностi випадкових величин i довели, що з умови \BbbE \theta 2 < \infty випливає
збiжнiсть ряду
\infty \sum
n=1
\BbbP
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Sn
n
- \BbbE \theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \varepsilon
\biggr\}
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: mari-run@ukr.net.
c\bigcirc MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9 1237
1238 MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК
для будь-якого \varepsilon > 0. Обернене твердження було доведено в роботi [8]. Пiзнiше Спiтцер
(див. [19]) показав, що
\infty \sum
n=1
1
n
\BbbP
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Sn
n
- \BbbE \theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \varepsilon
\biggr\}
< \infty
для будь-якого \varepsilon > 0 тодi й лише тодi, коли \BbbE | \theta | < \infty . Цей випадок є також частковим
випадком ряду (3), якщо покласти r = p = 1. Нарештi, Баум i Кац (див. [3]) розглянули ряд (3)
для сум незалежних випадкових величин у його загальному виглядi та встановили, що цей ряд
є збiжним тодi й лише тодi, коли \BbbE | \theta | r < \infty , за умови, що \BbbE \theta = 0 для r \geq 1.
Далi, результати, отриманi для сум незалежних випадкових величин, було поширено на
суми незалежних елементiв у банаховому просторi (див., наприклад, [12]), а також на суми
елементiв масивiв випадкових величин (див. [6, 7, 9, 14, 15, 18]). Щодо послiдовностей iз
залежностями деякi результати отримано в роботах [1, 2, 11]. У статтi [16] аналог теореми Бау-
ма – Каца доведено для сум елементiв авторегресiйних послiдовностей першого порядку (тобто
якщо в (1) b1 \not = 0, bj = 0, 2 \leq j \leq m). При цьому iдеї, застосованi в останнiй роботi, є досить
загальними i дозволяють перенести вiдповiдний результат на випадок авторегресiйної послi-
довностi довiльного порядку. Отже, метою цiєї роботи є встановлення необхiдних i достатнiх
умов збiжностi ряду (3) для сум елементiв послiдовностi (1).
2. Критерiй збiжностi рядiв Баума – Каца для сум елементiв лiнiйних \bfitm -авторегресiй.
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 2.1. Нехай в (1) коефiцiєнти bj , 1 \leq j \leq m, є такими, що \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq m | \lambda k| < 1,
де \lambda i, i = 1, 2, . . . ,m, — коренi рiвняння
\lambda m - b1\lambda
m - 1 - b2\lambda
m - 2 - . . . - bm - 1\lambda - bm = 0. (4)
Якщо 0 < p < 2 i r \geq p, то ряд (3) є збiжним тодi й лише тодi, коли \BbbE | \theta | r < \infty , де \BbbE \theta = 0
для r \geq 1.
Перш нiж доводити теорему, сформулюємо i доведемо двi допомiжнi леми. Для цього
розглянемо невипадкову рекурентну послiдовнiсть (un, n \geq 1):
u1 - m = . . . = u - 1 = 0, u0 = 1,
un = b1un - 1 + b2un - 2 + . . .+ bmun - m, n \geq 1,
(5)
i для d \geq 0 покладемо
u(d) =
d\sum
i=0
ui.
Лема 2.1. Нехай в (1) коефiцiєнти bj , 1 \leq j \leq m, є такими, що справджуються умови
теореми 2.1. Тодi iснує деяка додатна стала L така, що
| u(d)| \leq L = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, d \geq 0.
Доведення. Розглянемо двi дiйснозначнi квадратнi матрицi порядку m:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ . . . 1239
M =
\left(
1 0 . . . 0 0
0 0 . . . 0 0
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0
\right)
, C =
\left(
b1 b2 . . . bm - 1 bm
1 0 . . . 0 0
0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 0
\right)
.
Нагадаємо, що матриця C є матрицею Фробенiуса. Оскiльки bm \not = 0, то матриця C є не-
виродженою. Характеристичне рiвняння для матрицi C має вигляд (4). Нехай \lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda s,
s \leq m, — рiзнi коренi цього рiвняння, i \nu 1, \nu 2, . . . , \nu s — вiдповiдно їхнi кратностi. Зазначимо,
що коренi \lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda s, s \leq m, є, взагалi кажучи, комплекснозначними. Позначимо через \rho
спектральний радiус матрицi C, тобто \rho = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq s | \lambda k| , а через \mu максимальну кратнiсть
коренiв \lambda k, 1 \leq k \leq s, тобто \mu = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq s\{ \nu k : | \lambda k| = \rho \} .
Зауважимо, що
CM =
\left(
b1 0 . . . 0
1 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
\right)
=
\left(
u1 0 . . . 0
u0 0 . . . 0
u - 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
u2 - m 0 . . . 0
\right)
.
Далi,
C2M =
\left(
u2 0 . . . 0
u1 0 . . . 0
u0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
u3 - m 0 . . . 0
\right)
, C3M =
\left(
u3 0 . . . 0
u2 0 . . . 0
u1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
u4 - m 0 . . . 0
\right)
, . . . .
Методом математичної iндукцiї неважко довести, що
CnM =
\left(
un 0 . . . 0
un - 1 0 . . . 0
un - 2 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
un - m+1 0 . . . 0
\right)
, n \geq 1.
Для квадратної матрицi A = (aij)
m
i,j=1 з дiйсними елементами через \| \cdot \| позначимо норму
Фробенiуса, тобто \| A\| =
\Bigl( \sum m
i,j=1
a2i,j
\Bigr) 1/2
. Вiдповiдно до оцiнок, встановлених у роботi [17]
(див. також лему 7.7.3 [4]), для будь-якого n \geq 1
c1 \rho
n n\mu - 1 \leq \| CnM\| \leq c2 \rho
n n\mu - 1,
де c1 i c2 — деякi сталi такi, що не залежать вiд n i c2 > c1 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1240 MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК
Оскiльки
\Bigl(
C0 + C1 + C2 + . . .+ Cd
\Bigr)
M =
\left(
u(d) 0 . . . 0
u(d - 1) 0 . . . 0
u(d - 2) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
u(d - m+ 1) 0 . . . 0
\right)
,
то
| u(d)| \leq
\sqrt{}
(u(d))2 + (u(d - 1))2 + . . .+ (u(d - m+ 1))2
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\sum
l=0
C lM
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
d\sum
l=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| C lM
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c2
d\sum
l=0
\rho l l\mu - 1, (6)
де c2 — деяка додатна стала.
Тепер, згiдно з (6), для будь-якого фiксованого \mu величини | u(d)| є рiвномiрно обмеженими,
оскiльки вони не перевищують вiдповiднi частковi суми збiжного знакододатного числового
ряду
\sum \infty
l=0
\rho l l\mu - 1, де \rho < 1. Отже, iснує деяка стала L > 0 така, що
| u(d)| \leq L = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, d \geq 0.
Лему 2.1 доведено.
Лема 2.2. Нехай в (1) коефiцiєнти bj , 1 \leq j \leq m, є такими, що справджуються умови
теореми 2.1. Тодi
\infty \sum
i=0
ui =
1
1 - b1 - b2 - . . . - bm
.
Доведення. Застосуємо метод генератрис. Для цього помножимо рекурентне спiввiдношен-
ня (5) на xn :
unx
n = b1un - 1x
n + b2un - 2x
n + . . .+ bmun - mxn, n \geq 1,
i пiдсумуємо по n \geq m:
\infty \sum
n=m
unx
n = b1x
\infty \sum
n=m
un - 1x
n - 1 + b2x
2
\infty \sum
n=m
un - 2x
n - 2 + . . .+ bmxm
\infty \sum
n=m
un - mxn - m.
Покладемо f(x) =
\sum \infty
i=0
uix
i для всiх x \in \BbbR , для яких цей степеневий ряд є збiжним, i
зауважимо, що
\sum \infty
i=0
ui = f(1). Тодi останнє рекурентне спiввiдношення набере вигляду
f(x) -
\bigl(
u0 + u1x+ . . .+ um - 1x
m - 1
\bigr)
= b1x
\bigl(
f(x) -
\bigl(
u0 + u1x+ . . .+ um - 2x
m - 2
\bigr) \bigr)
+ b2x
2
\bigl(
f(x) -
\bigl(
u0 + u1x+ . . .+ um - 3x
m - 3
\bigr) \bigr)
+ . . .
+ bm - 1x
m - 1(f(x) - u0) + bmxmf(x).
Це спiввiдношення еквiвалентне такому:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ . . . 1241
f(x)
\bigl(
1 - b1x - b2x
2 - . . . - bmxm
\bigr)
= u0 + x
\Bigl(
u1 - b1u0
\Bigr)
+ x2(u2 - b1u1 - b2u0) + . . .
+ xm - 1(um - 1 - b1um - 2 - b2um - 3 - . . . - bm - 1u0).
Звiдси, враховуючи (5), отримуємо
f(x)
\bigl(
1 - b1x - b2x
2 - . . . - bmxm
\bigr)
= u0 = 1.
Тому
f(1) =
1
1 - b1 - b2 - . . . - bm
.
Лему 2.2 доведено.
Доведення теореми 2.1. З (1) i (5) випливає, що
\xi k =
k\sum
l=1
uk - l\theta l, k \geq 1.
Таким чином,
Sn =
n\sum
k=1
\xi k =
n\sum
k=1
\Biggl(
k\sum
l=1
uk - l\theta l
\Biggr)
=
n\sum
k=1
\Biggl(
n - k\sum
i=0
ui
\Biggr)
\theta k =
n\sum
k=1
u(n - k)\theta k, n \geq 1. (7)
Доведемо спочатку достатнiсть, тобто припустимо, що \BbbE | \theta | r < \infty , i покажемо, що ряд
(3) є збiжним. При цьому повторимо мiркування, проведенi у роботi [16] для одновимiрної
авторегресiйної послiдовностi.
Зауважимо, що оскiльки ваги u(n - k) є рiвномiрно обмеженими, то для двох часткових
випадкiв, а саме r = 2p (ряд Сюя – Роббiнса) i r = p (ряд Спiтцера), твердження теореми
безпосередньо випливає з результатiв Гута (див. [9], теореми 7.4 та 7.1 вiдповiдно). Проте ми
проведемо доведення одразу для всiх r > p.
Нехай спочатку \theta — симетрично розподiлена випадкова величина. Зафiксуємо \varepsilon > 0 i
застосуємо iтеровану версiю нерiвностi Хофмана – Йоргенсена (див. [10, с. 141] або [9]) з
s = t = n1/p\varepsilon . Таким чином, для j \geq 1 iснують сталi Cj i Dj такi, що
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon \cdot 3j
\Bigr\}
\leq Cj
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > n1/p\varepsilon
\Bigr\}
+Dj
\Bigl(
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\} \Bigr) 2j
. (8)
Далi, з огляду на лему 2.1 перший доданок у (8) можна оцiнити таким чином:
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > n1/p\varepsilon
\Bigr\}
=
n\sum
k=1
\BbbP
\Biggl\{
| \theta k| >
n1/p\varepsilon
| u(n - k)|
\Biggr\}
\leq
\leq
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| \theta k| > n1/p\varepsilon L - 1
\Bigr\}
= n\BbbP
\Bigl\{
| \theta | > n1/p\varepsilon 2
\Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1242 MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК
де \varepsilon 2 = \varepsilon L - 1. Покладемо для визначеностi \varepsilon 2 = 1. Нехай F\theta (x) — функцiя розподiлу випадко-
вої величини \theta . Тодi з урахуванням отриманої вище оцiнки
\infty \sum
n=1
nr/p - 2
\Biggl(
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > n1/p\varepsilon
\Bigr\} \Biggr)
\leq
\infty \sum
n=1
nr/p - 2 n\BbbP
\Bigl\{
| \theta k| > n1/p\varepsilon 2
\Bigr\}
= 2
\infty \sum
n=1
nr/p - 1
\infty \int
n1/p
dF\theta (x)
= 2
\infty \int
1
\left( [xp]\sum
n=1
nr/p - 1
\right) dF\theta (x) \sim 2
\infty \int
1
\left( [xp]\int
1
tr/p - 1 dt
\right) dF\theta (x)
= 2
\infty \int
1
\Bigl( p
r
tr/p
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| [xp]
1
dF\theta (x) \sim
2p
r
\infty \int
1
xr dF\theta (x) < \infty ,
оскiльки \BbbE | \theta | r < \infty . Тут символом \sim позначено еквiвалентну збiжнiсть iнтегралiв, а через
[\cdot ] — цiлу частину.
Перейдемо до оцiнювання другого доданка у (8) i покажемо, що iснує таке j \geq 1, що ряд
\infty \sum
n=1
nr/p - 2
\Bigl(
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\} \Bigr) 2j
(9)
є збiжним. Для цього знайдемо верхню оцiнку для \BbbP
\bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\bigr\}
.
За нерiвнiстю Маркова для r > p
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\}
\leq \BbbE | Sn| r\bigl(
n1/p\varepsilon
\bigr) r =
\BbbE | Sn| r
\varepsilon 1nr/p
.
Далi розглянемо окремо \BbbE | Sn| r для таких випадкiв: 1) 0 < r \leq 1, 2) r > 1.
Випадок 1: 0 < r \leq 1. Застосовуючи до \BbbE | Sn| r вiдому cr -нерiвнiсть (див. [10, с. 127]) з
cr = 1, отримуємо
\BbbE | Sn| r \leq
n\sum
k=1
\BbbE | u(n - k)\theta k| r = \BbbE | \theta | r
n\sum
k=1
| u(n - k)| r \leq \BbbE | \theta | r nLr.
Випадок 2: r > 1. До \BbbE | Sn| r послiдовно застосуємо нерiвнiсть Марцинкевича – Зигмунда
(див. [10, с. 150]) i нерiвнiсть
\bigl(
a21 + a22 + . . .+ a2n
\bigr) r/2 \leq n0\vee (r/2 - 1)
n\sum
i=1
ari
для додатних ai, 1 \leq i \leq n, n \in \BbbN i r > 0. В результатi отримаємо
\BbbE | Sn| r \leq br\BbbE
\Biggl(
n\sum
k=1
(u(n - k)\theta k)
2
\Biggr) r/2
\leq brn
0\vee (r/2 - 1)\BbbE
n\sum
k=1
| u(n - k)\theta k| r
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ . . . 1243
= brn
0\vee (r/2 - 1)\BbbE | \theta | r
n\sum
k=1
| u(n - k)| r
\leq brn
0\vee (r/2 - 1)\BbbE | \theta | r nLr = brn
1\vee (r/2)\BbbE | \theta | r Lr,
де br — деяка додатна стала, що фiгурує в нерiвностi Марцинкевича – Зигмунда.
Поєднуючи розглянутi вище випадки, маємо
\BbbE | Sn| r \leq Lr\BbbE | \theta | rn1\vee (r/2),
звiдки
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\}
\leq C(r)\BbbE | \theta | r
nr/p - (1\vee (r/2)) ,
де C(r) = Lr/\varepsilon 1.
Нарештi, якщо r \leq 2, то достатньо у (8) покласти j = 1, i тодi отримаємо
nr/p - 2
\Bigl(
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\} \Bigr) 2j
\leq nr/p - 2 (C(r)\BbbE | \theta | r)2
n2r/p - 2
=
(C(r)\BbbE | \theta | r)2
nr/p
.
Звiдси на пiдставi того, що \BbbE | \theta | r < \infty , випливає, що ряд (9) є збiжним.
Якщо ж r > 2, то
nr/p - 2
\Bigl(
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > n1/p\varepsilon
\Bigr\} \Bigr) 2j
\leq nr/p - 2 (C(r)\BbbE | \theta | r)2
j
n2j(r/p - r/2)
=
(C(r)\BbbE | \theta | r)2
n2j(r/p - r/2) - r/p+2
,
звiдки випливає, що ряд (9) збiгається для таких j, що
2j
\biggl(
r
p
- r
2
\biggr)
- r
p
+ 2 > 1.
Зауважимо, що таке значення j завжди можна пiдiбрати. Таким чином, достатнiсть теореми 2.1
доведено для симетрично розподiленої випадкової величини \theta .
Нехай тепер \theta — довiльна випадкова величина. Позначимо через \theta sym симетризацiю вели-
чини \theta , тобто \theta sym = \theta - \theta 1, де \theta 1 — копiя випадкової величини \theta , незалежна вiд неї. Згiдно з
симетризацiйною моментною нерiвнiстю (див. [10, с. 135]), з припущення \BbbE | \theta | r < \infty випливає,
що \BbbE | \theta sym| r < \infty . Тодi
\infty \sum
n=1
n
r
p
- 2\BbbP
\Bigl\{
| Ssym
n | > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
< \infty ,
де Ssym
n — симетризацiя Sn. Зауважимо, що для будь-якого дiйсного числа c виконується
ланцюжок включень \bigl\{ \bigm| \bigm| Sn - S\prime
n
\bigm| \bigm| > c
\bigr\}
\supset \{ | Sn| > 2c\} \cap
\bigl\{ \bigm| \bigm| S\prime
n
\bigm| \bigm| \leq c
\bigr\}
,
звiдки
\BbbP \{ | Ssym
n | > c\} \geq \BbbP \{ | Sn| > 2c\} \BbbP
\bigl\{ \bigm| \bigm| S\prime
n
\bigm| \bigm| \leq c
\bigr\}
,
де S
\prime
n — незалежна копiя Sn. Покладаючи c = \varepsilon n1/p, з останньої нерiвностi маємо
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > 2\varepsilon n1/p
\Bigr\}
\leq \BbbP
\Bigl\{
| Ssym
n | > \varepsilon n1/p
\Bigr\} \big/
\BbbP
\Bigl\{ \bigm| \bigm| S\prime
n
\bigm| \bigm| \leq \varepsilon n1/p
\Bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1244 MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК
Залишилося з’ясувати питання про вiдокремленiсть вiд нуля величини \BbbP
\bigl\{
| S\prime
n| \leq \varepsilon n1/p
\bigr\}
. Але
оскiльки \BbbE | \theta | r < \infty , до того ж \BbbE \theta = 0 як тiльки r \geq 1, то зi слабкого закону великих чисел
для незалежних за рядками випадкових масивiв (див. лему 2.2 [9]) випливає, що S\prime
n/n
1/r - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0 за ймовiрнiстю. Остаточно, оскiльки r \geq p, то i S\prime
n/n
1/p - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0 за ймовiрнiстю. Тому
\BbbP
\bigl\{
| S\prime
n| \leq \varepsilon n1/p
\bigr\}
- \rightarrow
n\rightarrow \infty
1, а отже величина \BbbP
\bigl\{
| S\prime
n| \leq \varepsilon n1/p
\bigr\}
вiдокремлена вiд нуля. Таким чином,
ряд (3) є збiжним i у випадку несиметрично розподiленої генеруючої величини \theta . Достатнiсть
теореми 2.1 повнiстю доведено.
Перейдемо до доведення необхiдностi. Зосередимося детально на iдеї доведення для ви-
падку r = 2p. Припустимо знову, що \theta є симетрично розподiленою випадковою величиною, i
доведемо, що iз збiжностi ряду
\sum \infty
n=1
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
< \infty випливає \BbbE | \theta | 2p < \infty .
Вiдповiдно до (7) i теореми 2.3 з [9], ряд
\infty \sum
n=1
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
збiгається для будь-якого \varepsilon > 0. Зауважимо, що останнє мiркування є, зокрема, наслiдком
нерiвностi Левi (див. [10, с. 138]) i леми Бореля – Кантеллi.
Далi, зауважимо, що величини | u(n - k)| рiвномiрно вiдокремленi вiд 0 знизу принаймнi
починаючи з деякого номера. Справдi, за лемою 2.2 числовий ряд
\sum \infty
i=0
ui є збiжним до числа
1
1 - b1 - b2 - . . . - bm
\not = 0.
Таким чином, послiдовнiсть часткових сум ряду
\sum \infty
i=0
ui є збiжною, i за властивiстю границi
iснують число M > 0 i номер N такий, що для всiх n \geq N виконується | u(n - k)| =\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum n - k
i=0
ui
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq M > 0.
В свою чергу, в отриманих оцiнках зустрiчаються значення u(n - k) для всiх 1 \leq k \leq n,
n \geq 1. Не обмежуючи загальностi, будемо вважати, що | u(n - k)| \geq M > 0 для всiх 1 \leq k \leq n,
n \geq 1, iнакше можна вибрати n настiльки великим, щоб ця нерiвнiсть виконувалась принаймнi
для половини з цих значень i теж не порушувала наведенi далi мiркування. Отже,
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
\geq
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
M | \theta k| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
\geq n\BbbP
\Bigl\{
| \theta | > \varepsilon 1n
1/p
\Bigr\}
,
де \varepsilon 1 = \varepsilon /M.
Нехай F\theta (x) — функцiя розподiлу випадкової величини \theta . Для визначеностi покладемо
\varepsilon 1 = 1 i розглянемо збiжний ряд
\infty \sum
n=1
n\BbbP
\Bigl\{
| \theta | > n
1
p
\Bigr\}
= 2
\infty \sum
n=1
n
\infty \int
n
1
p
dF\theta (x)
= 2
\infty \int
1
\left( [xp]\sum
n=1
n
\right) dF\theta (x) = 2
\infty \int
1
(1 + [xp])[xp]
2
dF\theta (x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ . . . 1245
>
\infty \int
1
[xp]2 dF\theta (x) >
\infty \int
1
\biggl(
xp
2
\biggr) 2
dF\theta (x) =
1
4
\infty \int
1
x2p dF\theta (x).
З цих мiркувань випливає, що iнтеграл
\int \infty
1
x2p dF\theta (x) є збiжним, а отже \BbbE | \theta | 2p < \infty .
Тепер нехай \theta — довiльна випадкова величина, а \mu \theta — її медiана. Згiдно зi слабкою не-
рiвнiстю симетризацiї (див. [10, с. 134]), зi збiжностi ряду
\sum \infty
n=1
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
випливає
збiжнiсть ряду
\sum \infty
n=1
\BbbP
\Bigl\{
| Ssym
n | > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
. Тодi, враховуючи мiркування, проведенi вище, маємо
\BbbE | \theta sym| 2p < \infty . Нарештi, знову за симетризацiйною моментною нерiвнiстю
\BbbE | \theta | 2p = \BbbE | \theta - \mu \theta + \mu \theta | 2p \leq C(p)\BbbE
\bigl(
| \theta - \mu \theta | 2p + | \mu \theta | 2p
\bigr)
\leq 2C(p)\BbbE | \theta sym| 2p + C(p)| \mu \theta | 2p,
де C(p) = 1 або 22p - 1 в залежностi вiд того p \leq 1
2
чи
1
2
\leq p < 2.
Отже, ми довели, що \BbbE | \theta | 2p < \infty .
Тепер на прикладi ряду Спiтцера (випадок r = p) застосуємо iдею, яку можна перенести
на всi iншi випадки. Цю iдею запозичено в [9].
Знову припустимо, що \theta — симетрично розподiлена випадкова величина i для будь-якого
\varepsilon > 0 ряд
\sum \infty
n=1
1
n
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
є збiжним. Введемо послiдовнiсть попарно незалежних
подiй (An, n \geq 1), якi є незалежними з величинами \theta k, k \geq 1, та \BbbP \{ An\} =
1
n
, n \geq 1. Тодi
\infty \sum
n=1
1
n
\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
=
\infty \sum
n=1
\BbbP
\Bigl\{
An; | Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
.
I навiть бiльше, згiдно з нерiвнiстю Левi,
\BbbP
\Bigl\{
An; | Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
\geq 1
2
\BbbP
\biggl\{
An; \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\biggr\}
,
звiдки
\infty \sum
n=1
\BbbP
\biggl\{
An; \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\biggr\}
< \infty .
Далi, за лемою Бореля – Кантеллi
\BbbP
\biggl\{
An; \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p нескiнченно багато
\biggr\}
= 0.
Останнє, в свою чергу, означає, що тiльки скiнченне число рядкiв, в яких вiдбувається подiя
An, мають максимальнi елементи, бiльшi за \varepsilon n
1
p . Таким чином, якщо рядки попарно незалежнi,
то, згiдно з лемою Бореля – Кантеллi,
\infty \sum
n=1
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
An; | u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\Bigr\}
< \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1246 MАРИНА IЛЬЄНКО, АНАСТАСIЯ ПОЛIЩУК
Але, оскiльки пiд знаком ймовiрностi стоять випадковi величини, якi належать до одного i того
ж рядка, без обмеження загальностi можемо вважати, що рядки є незалежними, i тому ряд
\infty \sum
n=1
1
n
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\Bigr\}
збiгається для всiх \varepsilon > 0. Щоб завершити доведення, необхiдно дослiвно повторити всi мiрку-
вання, проведенi у попередньому випадку.
Зауважимо, що у випадку r < 2p для доведення необхiдностi слiд ввести послiдовнiсть
незалежних подiй (An, n \geq 1) таку, що \BbbP \{ An\} = nr/p - 2, n \geq 1, i повторити мiркування.
Якщо ж r > 2p, то наведену iдею можна застосувати з деякою модифiкацiєю, яка полягає в
тому, що на вiдмiну вiд попереднього випадку, де ми „прорiджували рядки”, будемо „дублювати
рядки”. Для наочностi розглянемо її коротко спочатку для випадку r = 3p. Нехай \theta — симет-
рично розподiлена випадкова величина i для будь-якого \varepsilon > 0 є збiжним ряд
\infty \sum
n=1
n\BbbP
\Bigl\{
| Sn| > \varepsilon n1/p
\Bigr\}
.
Зi збiжностi цього ряду та нерiвностi Левi випливає, що є збiжним ряд
\infty \sum
n=1
n\BbbP
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\biggr\}
,
в якому для кожного n доданок вигляду \BbbP
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq n | u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\Bigr\}
зустрiчається n
разiв. Тому запишемо цей ряд у виглядi суми рядкiв, де перший рядок вiдповiдає n = 1,
два наступних рядки є однаковими i вiдповiдають n = 2, три наступних рядки вiдповiдають
n = 3 i т.д. Оскiльки випадковi величини \theta k стоять пiд знаком ймовiрностi, то, не порушуючи
доведення, можна вважати, що для кожного n в усiх n „однакових” рядках величини \theta k, 1 \leq
k \leq n, є незалежними. Таким чином, рядки знову є попарно незалежними. Далi повторюючи
мiркування iз застосуванням леми Бореля – Кантеллi, отримуємо, що
\infty \sum
n=1
n
n\sum
k=1
\BbbP
\Bigl\{
| u(n - k)\theta k| > \varepsilon n
1
p
\Bigr\}
< \infty ,
звiдки, в свою чергу, доведення дослiвно переноситься iз наведеного вище (для випадку r = 2p).
Зауважимо також, що iдея „дублювання рядкiв” так само працює для будь-яких степенiв (r/p -
2) \in \BbbN . Нарештi, комбiнуючи „прорiдження” та „дублювання рядкiв”, доводимо необхiднiсть
теореми 2.1 для випадку, коли (r/p - 2) > 0, але не є цiлим.
Приклад 2.1. Нехай \theta — гауссiвська випадкова величина з \BbbE \theta = 0. У цьому випадку
рiвняння (1) задає частковий випадок так званої гауссiвської m-марковської послiдовностi
випадкових величин зi сталими коефiцiєнтами. Тодi, якщо 0 < p < 2, r \geq p, i всi коренi
рiвняння (4) знаходяться всерединi одиничного кола, згiдно з теоремою 2.1, ряд (3) є збiжним.
3. Висновки. У статтi знайдено критерiй збiжностi рядiв Баума – Каца для сум елементiв
лiнiйних авторегресiйних послiдовностей m-го порядку. За досить очiкуваних припущень на
коефiцiєнти авторегресiйної послiдовностi необхiднi i достатнi умови збiжностi такого ряду ви-
ражаються у термiнах iснування певного моменту генеруючої випадкової величини, що цiлком
вiдповiдає класичним результатам для незалежного випадку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ БАУМА – КАЦА ДЛЯ СУМ ЕЛЕМЕНТIВ . . . 1247
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальна за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнте-
ресiв.
Лiтература
1. M. Amini, A. Bozorgnia, H. Naderi, A. Volodin, On complete convergence of moving average processes for NSD
sequences, Sib. Adv. Math., 25, № 1, 11 – 20 (2015).
2. R. Balka, T. Tómács, Baum – Katz type theorems with exact threshold, Stochastics, 90, № 4, 473 – 503 (2018).
3. L. E. Baum, M. Katz, Convergence rates in the law of large numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 120, 108 – 123
(1965).
4. V. V. Buldygin, S. A. Solntsev, Asymptotic behavior of linearly transformed sums of random variables, Kluwer Acad.
Publ. (1997).
5. D. Buraczewski, E. Damek, T. Mikosch, Stochastic models with power law tails. The equation X = AX + B ,
Springer (2016).
6. G.-H. Cai, Strong laws for weighted sums of i.i.d. random variables, Electron. Res. Announc. Math. Sci., 12, 29 – 36
(2006).
7. P. Chen, X. Ma, S. H. Sung, On complete convergence and strong law for weighted sums of i.i.d. random variables,
Abstr. Appl. Anal. (2014).
8. P. Erdős, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann. Math. Statist., 20, 286 – 291 (1949).
9. A. Gut, Complete convergence for arrays, Period. Math. Hungar., 25, № 1, 51 – 75 (1992).
10. A. Gut, Probability: a graduate course, 2nd ed., Springer (2013).
11. N. V. Huan, The Baum – Katz theorem for dependent sequences, Acta Math. Hungar., 151, 162 – 172 (2017).
12. N. V. Huan, On the complete convergence of sequences of random elements in Banach spaces, Acta Math. Hungar.,
159, 511 – 519 (2019).
13. P. L. Hsu, H. Robbins, Complete convergence and the law of large numbers, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 33, № 2,
25 – 31 (1947).
14. T.-C. Hu, F. Moritz, R. L. Taylor, Strong laws of large numbers for arrays of rowwise independent random variables,
Acta Math. Hungar., 54, № 1-2, 153 – 162 (1989).
15. T.-C. Hu, D. Szynal, A. I. Volodin, A note on complete convergence for arrays, Statist. Probab. Lett., 38, № 1, 27 – 31
(1998).
16. M. Ilienko, On the convergence of the Baum – Katz series for elements of a linear autoregression, Acta Math. Hungar.,
164, 413 – 427 (2021).
17. В. А. Коваль, Асимптотическое поведение решений стохастических рекуррентных уравнений в пространстве
\BbbR d , Укр. мат. журн., 43, № 6, 829 – 833 (1991).
18. D. Li, M. B. Rao, T. Jiang, X. Wang, Complete convergence and almost sure convergence of weighted sums of
random variables, J. Theor. Probab., 8, № 1, 49 – 76 (1995).
19. F. Spitzer, A combinatorial lemma and its application to probability theory, Trans. Amer. Math. Soc., 82, № 2,
323 – 339 (1956).
Одержано 08.10.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-7340 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:21Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7f/4013e858c7c3074fd5cbbff7a704e67f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73402024-06-19T00:34:41Z Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence Збіжність рядів Баума–Каца для сум елементів лінійних авторегресійних послідовностей $m$-го порядку Ilienko, M. Polishchuk, A. Ільєнко, Марина Поліщук, Анастасія linear m-th order autoregressive sequence, complete convergence, Hsu-Robbins-Erdos series, Spitzer series, Baum-Katz series, weighted sums of random variables Probability theory and mathematical statistics лінійна авторегресія m-го порядку, повна збіжність, ряди Сюя-Роббінса-Ердеша, Спітцера, Баума--Каца, зважені суми випадкових величин Теорія ймовірностей і математична статистика UDC 519.21 We establish necessary and sufficient conditions for the convergence of the Baum–Katz series for the sums of elements of linear $m$th order autoregressive sequences of random variables. УДК 519.21 Встановлено необхідні і достатні умови збіжності рядів Баума–Каца для сум елементів лінійних авторегресійних послідовностей випадкових величин $m$-го порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-09-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7340 10.3842/umzh.v75i9.7340 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 9 (2023); 1237 - 1247 Український математичний журнал; Том 75 № 9 (2023); 1237 - 1247 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7340/9501 Copyright (c) 2023 Марина Ільєнко, Анастасія Поліщук |
| spellingShingle | Ilienko, M. Polishchuk, A. Ільєнко, Марина Поліщук, Анастасія Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title | Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title_alt | Збіжність рядів Баума–Каца для сум елементів лінійних авторегресійних послідовностей $m$-го порядку |
| title_full | Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title_fullStr | Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title_full_unstemmed | Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title_short | Convergence of Baum–Katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| title_sort | convergence of baum–katz series for sums whose terms are elements of linear $m$ th order autoregressive sequence |
| topic_facet | linear m-th order autoregressive sequence complete convergence Hsu-Robbins-Erdos series Spitzer series Baum-Katz series weighted sums of random variables Probability theory and mathematical statistics лінійна авторегресія m-го порядку повна збіжність ряди Сюя-Роббінса-Ердеша Спітцера Баума--Каца зважені суми випадкових величин Теорія ймовірностей і математична статистика |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7340 |
| work_keys_str_mv | AT ilienkom convergenceofbaumkatzseriesforsumswhosetermsareelementsoflinearmthorderautoregressivesequence AT polishchuka convergenceofbaumkatzseriesforsumswhosetermsareelementsoflinearmthorderautoregressivesequence AT ílʹênkomarina convergenceofbaumkatzseriesforsumswhosetermsareelementsoflinearmthorderautoregressivesequence AT políŝukanastasíâ convergenceofbaumkatzseriesforsumswhosetermsareelementsoflinearmthorderautoregressivesequence AT ilienkom zbížnístʹrâdívbaumakacadlâsumelementívlíníjnihavtoregresíjnihposlídovnostejmgoporâdku AT polishchuka zbížnístʹrâdívbaumakacadlâsumelementívlíníjnihavtoregresíjnihposlídovnostejmgoporâdku AT ílʹênkomarina zbížnístʹrâdívbaumakacadlâsumelementívlíníjnihavtoregresíjnihposlídovnostejmgoporâdku AT políŝukanastasíâ zbížnístʹrâdívbaumakacadlâsumelementívlíníjnihavtoregresíjnihposlídovnostejmgoporâdku |