Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems
UDC 517.929 For nonlinear differential equations with impulsive perturbations, we formulate a general assertion concerning the existence of bounded solutions.  With the help of this assertion, we establish necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7347 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512664466227200 |
|---|---|
| author | Perestyuk , М. О. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. |
| author_facet | Perestyuk , М. О. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. |
| author_sort | Perestyuk , М. О. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-25T14:21:53Z |
| description | UDC 517.929
For nonlinear differential equations with impulsive perturbations, we formulate a general assertion concerning the existence of bounded solutions.  With the help of this assertion, we establish necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of analogous linear equations.  The equations are studied by using the theory of $c$-continuous operators and the method of local linear approximation of nonlinear equations. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7347 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7347
УДК 517.929
М. О. Перестюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. Ю. Слюсарчук1 (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ
В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
For nonlinear differential equations with impulsive perturbations, we formulate a general assertion concerning the existence
of bounded solutions. With the help of this assertion, we establish necessary and sufficient conditions for the existence
and uniqueness of bounded solutions of analogous linear equations. The equations are studied by using the theory of
c-continuous operators and the method of local linear approximation of nonlinear equations.
Для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсними збуреннями наведено загальне твердження про iснування
обмежених розв’язкiв. За допомогою цього твердження встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та єдиностi
обмежених розв’язкiв аналогiчних лiнiйних рiвнянь. Для дослiдження рiвнянь використано теорiю c-неперервних
операторiв i метод локальної лiнiйної апроксимацiї нелiнiйних рiвнянь.
1. Вступ. Задача iснування обмежених розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь є однiєю з найважли-
вiших задач теорiї цих рiвнянь та її застосувань (див., наприклад, [1 – 17]). Для розв’язання
цiєї задачi в переважнiй бiльшостi використовують функцiонально-аналiтичнi методи. Навiть
у випадку лiнiйних рiвнянь застосування цих методiв до дослiдження рiвнянь проводиться не-
тривiально. У статтi запропоновано метод дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з
iмпульсними збуреннями, що використовує наближення цих рiвнянь лiнiйними системами на
кулях iз радiусами, залежними вiд цих систем. У випадку лiнiйних iмпульсних рiвнянь цей
метод дає не лише достатнi, а й необхiднi умови iснування та єдиностi обмежених розв’язкiв
вiдповiдних рiвнянь.
2. Основнi позначення, простори та задача. Нехай \BbbR , \BbbN i \BbbZ — множини всiх дiйсних,
натуральних i цiлих чисел вiдповiдно, \BbbT = \{ tn : n \in \BbbZ \} — множина дiйсних чисел, для якої
tn < tn+1 для всiх n \in \BbbZ , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow - \infty tn = - \infty i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty tn = +\infty , E — скiнченновимiрний
банаховий простiр над полем дiйсних або комплексних чисел iз нормою \| \cdot \| E i L(X,Y ) —
банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A : X \rightarrow Y з нормою
\| A\| L(X,Y ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| X=1
\| Ax\| Y ,
де X i Y — банаховi простори з нормами \| \cdot \| X i \| \cdot \| Y вiдповiдно.
Позначимо через C0(\BbbR ,\BbbT , E) банаховий простiр визначених, неперервних i обмежених на
\BbbR \setminus \BbbT функцiй x = x(t) зi значеннями в E, для кожної з яких iснують скiнченнi границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn - 0 x(t) = x(tn - 0) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn+0 x(t) = x(tn + 0) для всiх n \in \BbbZ , з нормою
\| x\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| x(t)\| E ,
через C1(\BbbR ,\BbbT , E) банаховий простiр неперервно диференцiйовних на \BbbR \setminus \BbbT функцiй x \in
\in C0(\BbbR ,\BbbT , E), для кожної з яких dx/dt \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), з нормою
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com.
c\bigcirc М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1 105
106 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\| x\| C1(\BbbR ,\BbbT ,E) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| x(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dx(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
,
а через \frakM (\BbbZ , E) банаховий простiр двостороннiх послiдовностей g = gn елементiв gn, n \in \BbbZ ,
простору E з нормою
\| g\| \frakM (\BbbZ ,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| gn\| E .
Використовуючи декартовий добуток X \times Y непорожнiх множин X i Y, що за означен-
ням є множиною всiх пар (x, y) елементiв x \in X i y \in Y, розглядаємо також банаховий
простiр Ci(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E), i \in \{ 0, 1\} , пар (x, g) елементiв x = x(t) \in Ci(\BbbR ,\BbbT , E) i
g = gn \in \frakM (\BbbZ , E) з нормою\bigm\| \bigm\| (x, g)\bigm\| \bigm\|
Ci(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\| x\| Ci(\BbbR ,\BbbT ,E), \| g\| \frakM (\BbbZ ,E)
\bigr\}
.
Для стрибкiв функцiї x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) в точках множини \BbbT , як i в [7], використаємо
позначення
\Delta x| t=tn = x(tn + 0) - x(tn - 0), n \in \BbbZ .
Розглянемо неперервне вiдображення F : (\BbbR \setminus \BbbT )\times E \rightarrow E, при якому для кожної обмеженої
множини \scrM \subset E функцiя F (t, x) є обмеженою на множинi (\BbbR \setminus \BbbT )\times \scrM i рiвномiрно неперерв-
ною на кожнiй обмеженiй пiдмножинi \scrN множини (\BbbR \setminus \BbbT )\times E . Також розглянемо неперервнi
вiдображення Gn : E \rightarrow E, n \in \BbbZ , при яких для кожної обмеженої множини \scrM \subset E
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ ,x\in \scrM
\bigm\| \bigm\| Gn(x)
\bigm\| \bigm\|
E
< +\infty .
З умов, якi задовольняє F, випливає, що для кожного x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) функцiя
y = F (t, x(t))
є елементом простору C0(\BbbR ,\BbbT , E).
Нас цiкавитимуть умови, при виконаннi яких система диференцiальних рiвнянь з iмпульс-
ним збуренням
dx(t)
dt
+ F (t, x(t)) = f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Gn(x(tn - 0)) = gn, n \in \BbbZ ,
(1)
для кожних функцiї f = f(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i послiдовностi g = gn \in \frakM (\BbbZ , E) буде мати хоча
б один розв’язок x = x(t) \in C1(\BbbR ,\BbbT , E).
Лiвою частиною системи рiвнянь (1) породжується оператор I , що дiє з C1(\BbbR ,\BbbT , E)
в C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E). Якщо використати оператори \scrL : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) i \scrD :
C0(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow \frakM (\BbbZ , E), що визначаються рiвностями
(\scrL x)(t) = dx(t)
dt
+ F (t, x(t)), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
i
(\scrD x)n = \Delta x| t=tn +Gn(x(tn - 0)), n \in \BbbZ ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 107
то згiдно з (1) оператор I : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) записується за допомогою
спiввiдношення
I x = (\scrL x,\scrD x), x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E).
Позначимо через R(I ) множину значень оператора I , тобто множину\bigl\{
I x : x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E)
\bigr\}
.
Система рiвнянь (1) та вiдповiдний оператор I у загальному випадку є нелiнiйними, i
з’ясування для системи (1) умов iснування обмежених розв’язкiв для кожних функцiї f =
= f(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) та послiдовностi g = gn \in \frakM (\BbbZ , E) або, аналогiчно, з’ясування умов
виконання для оператора I рiвностi
R(I ) = C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E)
не є тривiальними задачами.
3. \bfitc -Неперервнi та \bfitc -компактнi оператори. Наведено деякi поняття та результати з теорiї
c-операторiв, що будуть використовуватися при дослiдженнi системи (1).
Будемо говорити, що послiдовнiсть елементiв xk \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), k \in \BbbN , локально збiгається
до елемента x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) при k \rightarrow \infty , i позначатимемо
xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
якщо ця послiдовнiсть обмежена i для кожного числа p > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \BbbR \setminus \BbbT ,| t| \leq p
\bigm\| \bigm\| xk(t) - x(t)
\bigm\| \bigm\|
E
= 0.
Аналогiчно, послiдовнiсть xk \in C1(\BbbR ,\BbbT , E), k \in \BbbN , будемо називати локально збiжною до
елемента x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E) при k \rightarrow \infty i позначатимемо
xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C1(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
якщо
xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x i
dxk
dt
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow dx
dt
при k \rightarrow \infty .
Послiдовнiсть gk = gk,n \in \frakM (\BbbZ , E), k \in \BbbN , будемо називати локально збiжною до елемента
g = gn \in \frakM (\BbbZ , E) при k \rightarrow \infty i позначатимемо
gk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., \frakM (\BbbZ ,E) - - - - - - - - \rightarrow g при k \rightarrow \infty ,
якщо ця послiдовнiсть обмежена i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| gk,n - gn\| E = 0
для кожного n \in \BbbZ .
Аналогiчно, будемо говорити, що послiдовнiсть (xk, gk) \in Ci(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E), k \in \BbbN ,
i \in \{ 0, 1\} , локально збiгається до елемента (x, g) \in Ci(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) при k \rightarrow \infty , i
позначатимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
108 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
(xk, gk)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., Ci(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E) - - - - - - - - - - - - - - - \rightarrow (x, g) при k \rightarrow \infty ,
якщо
xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., Ci(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - \rightarrow x i gk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., \frakM (\BbbZ ,E) - - - - - - - - \rightarrow g при k \rightarrow \infty .
Позначимо через \frakP множину, елементами якої є простори C0(\BbbR ,\BbbT , E), C1(\BbbR ,\BbbT , E), \frakM (\BbbZ , E)
i Ci(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E), i \in \{ 0, 1\} .
Зафiксуємо довiльнi простори X ,Y \in \frakP . Оператор \scrA : X \rightarrow Y називається c-неперервним,
якщо для довiльних x \in X i xk \in X , k \in \BbbN , для яких
xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., X - - - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
виконується спiввiдношення
\scrA xk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., Y - - - - \rightarrow \scrA x при k \rightarrow \infty .
Якщо оператор \scrA : Ci(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow Cj(\BbbR ,\BbbT , E), i, j \in \{ 0, 1\} , є c-неперервним i у випадку
j = 0 для кожного числа r > 0 елементи множини\bigl\{
(\scrA x)(t) : \| x\| Ci(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq r
\bigr\}
є рiвномiрно обмеженими на \BbbR i рiвностепенево неперервними на кожному скiнченному про-
мiжку [18], а у випадку j = 1 аналогiчно для кожного числа r > 0 елементи множини\bigl\{
(\scrA x)(t) : \| x\| Ci(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq r
\bigr\}
\cup
\biggl\{
d(\scrA x)(t)
dt
: \| x\| Ci(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq r
\biggr\}
є рiвномiрно обмеженими на \BbbR i рiвностепенево неперервними на кожному скiнченному про-
мiжку, то такий оператор називається c-компактним (c-цiлком неперервним).
У наступних трьох пiдпунктах наведемо потрiбнi для подальшого властивостi локально
збiжних послiдовностей i c-неперервних операторiв.
3.1. Леми про локально збiжнi послiдовностi. Розглянемо функцiї pk,m \in Cm(\BbbR ,\BbbT ,\BbbR ),
k \in \BbbN , m \in \{ 0, 1\} , i оператори \scrP k,m : Cm(\BbbR ,\BbbT , E) - \rightarrow Cm(\BbbR ,\BbbT , E), k \in \BbbN , m \in \{ 0, 1\} , що
визначаються рiвностями
pk,m(t) =
\left\{
1, якщо | t| \leq 2k, t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m+1
\bigl(
2 - k| t| - 1
\bigr)
\pi
2
, якщо 2k < | t| < 2k+1, t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
0, якщо | t| \geq 2k+1, t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
i
\scrP k,m = \| \scrR k,m\| - 1
L(Cm(\BbbR ,\BbbT ,E),Cm(\BbbR ,\BbbT ,E))\scrR k,m, (2)
де
(\scrR k,mx)(t) = pk,m(t)x(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (3)
i x \in Cm(\BbbR ,\BbbT , E).
Очевидно, що
\scrP k,mC l(\BbbR ,\BbbT , E) \subset C l(\BbbR ,\BbbT , E), m, l \in \{ 0, 1\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 109
\scrP k+1,m\scrP k,m = \scrP k,m\scrP k+1,m = \scrP k,m, k \in \BbbN , m \in \{ 0, 1\} , (4)
\| \scrP k,m\| L(Cm(\BbbR ,\BbbT ,E),Cm(\BbbR ,\BbbT ,E)) = 1, k \in \BbbN , m \in \{ 0, 1\} ,
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| \scrR k,1\| L(C1(\BbbR ,\BbbT ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E)) = 1. (5)
Важливою є така лема.
Лема 1. Для кожної обмеженої послiдовностi (xk)k\geq 1 елементiв простору C0(\BbbR ,\BbbT , E),
для якої множини \{ \scrP n,0xk : k \in \BbbN \} , n \in \BbbN , передкомпактнi, iснують такi строго зростаюча
послiдовнiсть (k\nu )\nu \geq 1 натуральних чисел i елемент x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), що
xk\nu
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x при \nu \rightarrow \infty (6)
i
\| x\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\| xk\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E). (7)
Доведення. На пiдставi умов леми iснують такi пiдпослiдовностi
xk1,1 , xk1,2 , . . . , xk1,p , . . . ,
xk2,1 , xk2,2 , . . . , xk2,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xkn,1 , xkn,2 , . . . , xkn,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
послiдовностi (xk)k\geq 1, що:
1) послiдовностi чисел kl,p, p \in \BbbN , є строго зростаючими для кожного l \in \BbbN i
\{ k1,p : p \in \BbbN \} \supset \{ k2,p : p \in \BbbN \} \supset . . . \supset \{ kn,p : p \in \BbbN \} \supset . . . ;
2) для кожного m \in \BbbN послiдовнiсть функцiй xkm,p , p \in \BbbN , є рiвномiрно збiжною на
множинi [ - m,m] \setminus \BbbT .
Тодi дiагональна послiдовнiсть
xk1,1 , xk2,2 , . . . , xkp,p , . . .
буде рiвномiрно збiжною на кожнiй обмеженiй пiдмножинi множини \BbbR \setminus \BbbT , i тому функцiя
x(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow \infty
xkp,p(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (8)
буде неперервною на \BbbR \setminus \BbbT .
Оскiльки завдяки включенням xk \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), k \geq 1, для кожного n \in \BbbZ iснують
скiнченнi границi xk(tn - 0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn - 0 xk(t) i xk(tn + 0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn+0 xk(t), k \geq 1, то на
пiдставi передкомпактностi множин \{ \scrP n,0xk : k \in \BbbN \} , n \in \BbbN , i рiвностi (8) також iснують
скiнченнi границi x(tn - 0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn - 0 x(t) i x(tn + 0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tn+0 x(t) для кожного n \in \BbbZ .
Тому функцiя x(t) буде елементом простору C0(\BbbR ,\BbbT , E).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
110 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Спiввiдношення (7) випливає з (8) i обмеженостi послiдовностi (xk)k\geq 1, а спiввiдношен-
ня (6) — з того, що для кожного m \in \BbbN послiдовнiсть функцiй xkm,p , p \in \BbbN , є рiвномiрно
збiжною на множинi [ - m,m] \setminus \BbbT .
Лему 1 доведено.
Окремим випадком леми 1 є така лема.
Лема 2. Для кожної обмеженої в просторi C1(\BbbR ,\BbbT , E) послiдовностi (xk)k\geq 1 елементiв
простору C1(\BbbR ,\BbbT , E) iснують такi строго зростаюча послiдовнiсть (k\nu )\nu \geq 1 натуральних
чисел i елемент x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), що
xk\nu
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x при \nu \rightarrow \infty
i
\| x\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\| xk\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E).
3.2. \bfitc -Неперервнiсть обернених лiнiйних операторiв. Розглянемо довiльнi визначену i не-
перервну на \BbbR \setminus \BbbT функцiю A = A(t) зi значеннями в L(E,E) та двосторонню послiдовнiсть
\frakB = Bn, n \in \BbbZ , елементiв простору L(E,E), що є елементами просторiв C0(\BbbR ,\BbbT , L(E,E))
i \frakM (\BbbZ , L(E,E)) вiдповiдно. Парi (A,\frakB ) поставимо у вiдповiднiсть лiнiйний неперервний
оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E), що задається спiввiдношенням
\frakL (A,\frakB )x = (L x,Dx), x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E), (9)
де
(L x)(t) =
dx(t)
dt
+A(t)x(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (10)
i
(Dx)n = \Delta x| t=tn +Bnx(tn - 0), n \in \BbbZ . (11)
Згiдно з обмеженнями на A i \frakB оператор \frakL (A,\frakB ) є c-неперервним.
Важливою для подальших дослiджень є така теорема.
Теорема 1. Якщо оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) має неперерв-
ний обернений оператор \frakL - 1
(A,\frakB ), то \frakL - 1
(A,\frakB ) є c-неперервним.
Доведення. Припустимо, що оператор \frakL - 1
(A,\frakB ) не є c-неперервним. Iснують такi число
\varepsilon > 0, вiдрiзок [a, b] \subset \BbbR i послiдовностi fm = fm(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) (\| fm\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E) = 1) i
gm = gm,n \in \frakM (\BbbZ , E) (\| gm\| \frakM (\BbbZ ,E) = 1), для яких
\| fm(t)\| E \leq 1
m
, t \in [ - m,m] \setminus \BbbT , m \in \BbbN , (12)
\| gm,n\| E \leq 1
m
, | n| \leq m, m \in \BbbN , (13)
що згiдно з (9) – (11) розв’язок xn системи рiвнянь
dxn(t)
dt
+A(t)xn(t) = fm(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Bnx(tn - 0) = gm,n, n \in \BbbZ ,
(14)
задовольняє умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 111
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [a,b]\setminus \BbbT
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\| xn(t)\| E ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxn(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
\geq \varepsilon , n \in \BbbN . (15)
Використаємо оператор \scrD : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E), що визначається спiв-
вiдношенням
\scrD x = (L1x,D1x), x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E),
де
(L1x)(t) = A(t)x(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
i
(D1x)n = Bnx(tn - 0), n \in \BbbZ .
Оскiльки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbN
\| xn\| C1(\BbbR ,\BbbT ,E) < +\infty
i оператор \scrD є c-компактним (на пiдставi вимог до A = A(t) i \frakB = Bn), то згiдно зi спiввiд-
ношеннями (12), (13) i системою (14) функцiї множини
\infty \bigcup
n=1
\biggl\{
xn(t),
xn(t)
dt
\biggr\}
рiвномiрно обмеженi i рiвностепенево неперервнi на кожнiй обмеженiй множинi. Тому на пiд-
ставi теореми Арцела [18] та скiнченної розмiрностi простору E iснують функцiя z = z(t) \in
\in C1(\BbbR ,\BbbT , E) i пiдпослiдовнiсть (xnk
)k\geq 1 такi, що для кожного \gamma > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ - \gamma ,\gamma ]\setminus \BbbT
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{ \bigm\| \bigm\| xnk
(t) - z(t)
\bigm\| \bigm\|
E
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxnk
(t)
dt
- dz(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
= 0. (16)
Зазначимо, що завдяки (15) i (16)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [a,b]\setminus \BbbT
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{ \bigm\| \bigm\| z(t)\bigm\| \bigm\|
E
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dz(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
\geq \varepsilon . (17)
Iз (12) – (14), (16) i c-неперервностi оператора \scrD випливає система тотожностей
dz(t)
dt
+A(t)z(t) \equiv 0,
\Delta z| t=tn +Bnz(tn - 0) \equiv 0,
що на пiдставi (17) суперечить оборотностi оператора \frakL - 1
(A,\frakB ) .
Отже, оператор \frakL - 1
(A,\frakB ) : C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) \rightarrow C1(\BbbR ,\BbbT , E) є c-неперервним.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. У загальному випадку c-неперервний оператор може мати обернений непе-
рервний оператор, що не є c-неперервним [19].
3.3. Теорема про нерухому точку для \bfitc -неперервних операторiв. Позначимо через \scrB i[0, \rho ]
замкнену кулю радiуса \rho з центром у точцi 0 у просторi Ci(\BbbR ,\BbbT , E), тобто множину
\bigl\{
x \in
\in Ci(\BbbR ,\BbbT , E) : \| x\| Ci(\BbbR ,\BbbT ,E) \leq \rho
\bigr\}
.
При встановленнi iснування обмежених розв’язкiв системи рiвнянь (1) будемо використо-
вувати таку теорему про нерухому точку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
112 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 2. Нехай:
1) \frakF : C0(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) i S : C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) \rightarrow C1(\BbbR ,\BbbT , E) —
обмеженi c-неперервнi оператори;
2) справджується спiввiдношення S\frakF \scrB 0[0, r] \subset \scrB 1[0, r] для деякого числа r > 0.
Тодi оператор S\frakF : \scrB 0[0, r] \rightarrow \scrB 1[0, r] має в \scrB 1[0, r] нерухому точку x\ast .
Доведення. Згiдно з першою умовою теореми оператор \frakA = S\frakF дiє з простору C0(\BbbR ,\BbbT , E)
у простiр C1(\BbbR ,\BbbT , E) i є c-неперервним. Цей оператор також можна розглядати як оператор,
що дiє у просторi C0(\BbbR ,\BbbT , E). У цьому випадку завдяки теоремi Арцела [18] оператор \frakA є
c-компактним. Розглянемо рiвняння
xn = \scrP n,1\frakA xn, (18)
де \scrP n,1 — лiнiйний неперервний оператор, що визначається за допомогою (2).
На пiдставi умов, якi задовольняє оператор \frakA , i рiвностей (4) оператор
\scrP n,1\frakA : C0(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)
цiлком неперервний i \scrP n,1\frakA \scrB 0[0, r] \subset \scrB 0[0, r] для кожного n \in \BbbN . Тому завдяки теоремi
Шаудера про нерухому точку [20] рiвняння (18) має розв’язок x\ast n \in \scrB 0[0, r], тобто
x\ast n = \scrP n,1\frakA x
\ast
n. (19)
Завдяки другiй умовi теореми \scrP n,1\frakA x
\ast
n \in \scrB 1[0, r]. Тому x\ast n \in \scrB 1[0, r] для кожного n \in \BbbN .
За лемою 2 iснують такi зростаюча послiдовнiсть (nk)k\geq 1 натуральних чисел i елемент
x\ast \in \scrB 0[0, r], що
x\ast nk
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow x\ast при k \rightarrow \infty . (20)
Покажемо, що \frakA x\ast = x\ast . При цьому використаємо очевиднi рiвностi
x\ast - \frakA x\ast =
\bigl[ \bigl(
x\ast - \frakA x\ast
\bigr)
-
\bigl(
x\ast nk
- \frakA x\ast nk
\bigr) \bigr]
+
+
\bigl[ \bigl(
x\ast nk
- \frakA x\ast nk
\bigr)
-
\bigl(
x\ast nk
- \scrP nk,1\frakA x
\ast
nk
\bigr) \bigr]
+
\bigl(
x\ast nk
- \scrP nk,1\frakA x
\ast
nk
\bigr)
, k \geq 1.
Оскiльки на пiдставi (20), c-неперервностi оператора \frakA : C0(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E), означення
i властивостей оператора \scrP n,1 (див. (2) – (5)) i рiвностi (19)
\bigl(
x\ast - \frakA x\ast
\bigr)
-
\bigl(
x\ast nk
- \frakA x\ast nk
\bigr) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty ,\bigl(
x\ast nk
- \frakA x\ast nk
\bigr)
-
\bigl(
x\ast nk
- \scrP nk,1\frakA x
\ast
nk
\bigr) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} ., C0(\BbbR ,\BbbT ,E) - - - - - - - - - - \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty
i
x\ast nk
- \scrP nk,1\frakA x
\ast
nk
= 0, k \geq 1,
то
\frakA x\ast = x\ast .
Звiдси, а також iз включення x\ast \in \scrB 0[0, r] i другої умови теореми випливає твердження теореми.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 113
4. Основний результат. Нагадаємо, що, як зазначено в п. 2, нас цiкавитимуть умови, при
виконаннi яких система диференцiальних рiвнянь з iмпульсним збуренням (1), тобто система
dx(t)
dt
+ F (t, x(t)) = f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Gn(x(tn - 0)) = gn, n \in \BbbZ ,
для кожних функцiї f = f(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i послiдовностi g = gn \in \frakM (\BbbZ , E) має хоча б один
розв’язок x = x(t) \in C1(\BbbR ,\BbbT , E).
При отриманнi цих умов будемо використовувати допомiжнi лiнiйнi системи з iмпульсним
збуренням вигляду
dx(t)
dt
+A(t)x(t) = f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Bnx(tn - 0) = gn, n \in \BbbZ ,
(21)
коефiцiєнти A(t) i Bn яких в певному сенсi (див. формулювання теореми 3 i спiввiдношен-
ня (22)) мало вiдрiзняються на замкнених кулях простору E вiд F (t, \cdot ) i Gn(\cdot ) вiдповiдно.
Як i в пп. 3.2, використаємо множину пар (A,\frakB ) визначених i неперервних на \BbbR \setminus \BbbT функцiй
A = A(t) зi значеннями в L(E,E) i двостороннiх послiдовностей \frakB = Bn \in L(E,E), n \in \BbbZ ,
що є елементами просторiв C0(\BbbR ,\BbbT , L(E,E)) i \frakM (\BbbZ , L(E,E)) вiдповiдно.
Множину лiнiйних операторiв \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E), що зале-
жать вiд (A,\frakB ), кожен з яких визначається лiвою частиною системи (21), тобто спiввiдно-
шеннями (9) – (11), i має обернений неперервний оператор \frakL - 1
(A,\frakB ) : C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) \rightarrow
\rightarrow C1(\BbbR ,\BbbT , E), позначимо через \scrO .
Основним результатом статтi є така теорема.
Теорема 3. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор
\frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для яких
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,r]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\bigm\| \bigm\| F (t, x(t)) - A(t)x(t)
\bigm\| \bigm\|
E
, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\bigm\| \bigm\| Gn(x(tn - 0)) - Bnx(tn - 0)
\bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
\leq
\leq r\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H. (22)
Тодi для кожних f \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i g \in \frakM (\BbbZ , E) система рiвнянь (1) має хоча б один розв’язок
x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E).
Доведення. Зафiксуємо довiльнi f \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i g \in \frakM (\BbbZ , E). Нехай
H =
\bigm\| \bigm\| (f, g)\bigm\| \bigm\|
C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E)
. (23)
Згiдно з умовами теореми для числа H, що визначається рiвнiстю (23), iснують такi число
r > 0, пара (A,\frakB ) i вiдповiдно оператор \frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для яких виконується спiввiдношен-
ня (22).
Запишемо систему рiвнянь (1) у виглядi
dx(t)
dt
+A(t)x(t) = A(t)x(t) - F (t, x(t)) + f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Bn(x(tn - 0)) = Bn(x(tn - 0)) - Gn(x(tn - 0)) + gn, n \in \BbbZ .
(24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
114 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Очевидно, що системи рiвнянь (1) i (24) рiвносильнi.
Використовавши оператор \frakH : C0(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E), що визначається спiв-
вiдношеннями
\frakH x = (\scrF x,\scrG x),
(\scrF x)(t) = A(t)x(t) - F (t, x(t)) + f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
(25)
i
(\scrG x)n = Bn(x(tn - 0)) - Gn(x(tn - 0)) + gn, n \in \BbbZ ,
де x \in C0(\BbbR ,\BbbT , E), а також оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E), запишемо
систему рiвнянь (24) у виглядi
\frakL (A,\frakB )x = \frakH x. (26)
Завдяки тому, що оператор \frakL (A,\frakB ) має неперервний обернений \frakL - 1
(A,\frakB ), рiвняння (26) рiвно-
сильне рiвнянню
x = \frakL - 1
(A,\frakB )\frakH x. (27)
Це рiвняння рiвносильне системi рiвнянь (1).
Покажемо, що множина розв’язкiв рiвняння (27) не є порожньою. Застосуємо до рiвнян-
ня (27) теореми 1 i 2.
Нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E)
має неперервний (а отже, й обмежений) обернений оператор \frakL - 1
(A,\frakB ), який за теоремою 1 є c-
неперервним.
З умов, якi задовольняють функцiї A(t) i F (t, \cdot ) та послiдовностi елементiв Bn i G(\cdot )n,
n \geq 1, випливає, що оператор \frakH також є обмеженим i c-неперервним.
Отже, для операторiв \frakH i \frakL - 1
(A,\frakB ), що є аналогами операторiв \frakF i \frakG , виконується перша
умова теореми 2.
Друга умова цiєї теореми також виконується, тобто \frakL - 1
(A,\frakB )\frakH \scrB
0[0, r] \subset \scrB 1[0, r]. Це вклю-
чення випливає з наступних спiввiдношень. Справдi, з урахуванням (22) i (23) для кожного
x \in \scrB 0[0, r]\bigm\| \bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )\frakH x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C1(\BbbR ,\BbbT ,E)
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\| \frakH x\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E) =
=
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| (\scrF x)(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| (\scrG x)n\| E
\biggr\}
=
=
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| A(t)x(t) - F (t, x(t)) + f(t)\| E ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Bn(x(tn - 0)) - Gn(x(tn - 0)) + gn\| E
\biggr\}
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
(\| A(t)x(t) - F (t, x(t))\| E + \| f(t)\| E),
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
(\| Bn(x(tn - 0)) - Gn(x(tn - 0))\| E + \| gn\| E)
\biggr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 115
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\Biggl(
r\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H
\Biggr)
+
+
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\| (f, g)\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E) =
= r -
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
H +
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
H = r.
Отже, на пiдставi теореми 2 рiвняння (27) має хоча б один розв’язок x \in \scrB 1[0, r].
Завдяки рiвносильностi системи рiвнянь (1) i рiвняння (27) та довiльностi вибору
f \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i g \in \frakM (\BbbZ , E) твердження теореми є правильним.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 2. У системi (1) вiдображення F (t, \cdot ), t \in \BbbR \setminus \BbbT , i Gn(\cdot ), n \in \BbbZ , можуть бути
нелiпшицевими.
5. Випадок лiнiйних iмпульсних систем. Зафiксуємо довiльнi функцiю Q = Q(t) \in
\in C0(\BbbR ,\BbbT , L(E,E)) i послiдовнiсть R = Rn \in \frakM (\BbbZ , L(E,E)). Розглянемо вiдповiднi систему
лiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним збуренням
dx(t)
dt
+Q(t)x(t) = f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Rnx(tn - 0) = gn, n \in \BbbZ ,
(28)
де f = f(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i g = gn \in \frakM (\BbbZ , E), та лiнiйний диференцiальний оператор \frakL (Q,R) :
C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E), що має вигляд
\frakL (Q,R)x = (L1x,D1x), x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E),
де
(L1x)(t) =
dx(t)
dt
+Q(t)x(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
i
(D1x)n = \Delta x| t=tn +Rnx(tn - 0), n \in \BbbZ .
Наведемо необхiднi i достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку x = x(t) \in C1(\BbbR ,\BbbT , E)
системи (28) для кожних f = f(t) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E) i g = gn \in \frakM (\BbbZ , E), тобто умови оборотностi
оператора \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E).
Використаємо теорему 3 та оператори \frakL (A,\frakB ) \in \scrO , що визначаються спiввiдношеннями (9) –
(11).
Справджується таке твердження.
Теорема 4. Для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор \frakL (A,\frakB ) \in \scrO ,
для яких
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,r]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x(t)) - A(t)x(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Rnx(tn - 0) - Bnx(tn - 0)\| E
\Biggr\}
<
<
r\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H, (29)
тодi i тiльки тодi, коли лiнiйний оператор \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) має
обернений неперервний оператор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
116 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор \frakL (A,\frakB ) \in
\in \scrO , що виконується нерiвнiсть (29). Тодi завдяки теоремi 3 для множини значень R(\frakL (Q,R))
оператора \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) виконується спiввiдношення
R(\frakL (Q,R)) = C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E). (30)
Покажемо, що для ядра \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\frakL (Q,R) цього оператора справджується рiвнiсть
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\frakL (Q,R) = \{ 0\} , (31)
тобто для системи рiвнянь
dx(t)
dt
+Q(t)x(t) = 0, t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Rnx(tn - 0) = 0, n \in \BbbZ ,
(32)
обмеженим розв’язком є лише нульовий розв’язок.
Запишемо систему рiвнянь (32) у виглядi
dx(t)
dt
+A(t)x(t) = a(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Bnx(tn - 0) = bn, n \in \BbbZ ,
(33)
де
a(t) = (A(t) - Q(t))x(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (34)
i
bn = (Bn - Rn)x(tn - 0), n \in \BbbZ . (35)
Оскiльки оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) має неперервний обер-
нений \frakL - 1
(A,\frakB ), то система рiвнянь (32) рiвносильна рiвнянню
x(t) =
\Bigl(
\frakL - 1
(A,\frakB )(a, b)
\Bigr)
(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (36)
в якому згiдно з (33) – (35)
a = a(t) i b = bn, n \in \BbbZ .
Нехай x\ast (t) — обмежений розв’язок рiвняння (36), тобто
x\ast (t) \equiv
\Bigl(
\frakL - 1
(A,\frakB )(a\ast , b\ast )
\Bigr)
(t), (37)
де
a\ast = a\ast (t) = (A(t) - Q(t))x\ast (t), t \in \BbbR \setminus \BbbT , (38)
i
b\ast = b\ast ,n = (Bn - Rn)x\ast (tn - 0), n \in \BbbZ . (39)
На пiдставi (29) i (37) – (39)
\| x\ast \| C1(\BbbR ,\BbbT ,E) =
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )(a\ast , b\ast )
\bigm\| \bigm\|
C1(\BbbR ,\BbbT ,E)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 117
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\| (a\ast , b\ast )\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E) =
=
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \| a\ast \| C0(\BbbR ,\BbbT ,E), \| b\ast \| \frakM (\BbbZ ,E)\} =
=
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x\ast (t)) - A(t)x\ast (t)\| E ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Rnx\ast (tn - 0) - Bnx\ast (tn - 0)\| E
\biggr\}
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\times
\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\leq \| x\ast \| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x(t)) - A(t)x(t)\| E ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Rnx(tn - 0) - Bnx(tn - 0)\| E
\biggr\}
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,r]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x(t)) - A(t)x(t)\| E ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\bigm\| \bigm\| Rnx(tn - 0) - Bnx(tn - 0)\| E
\biggr\} \| x\ast
\bigm\| \bigm\|
C0(\BbbR ,\BbbT ,E)
r
<
<
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\Biggl(
r\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H
\Biggr)
\times
\times
\| x\ast \| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)
r
=
\biggl(
1 - H
r
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
\biggr)
\| x\ast \| C0(\BbbR ,\BbbT ,E).
Звiдси та з того, що на пiдставi (29)
0 < 1 - H
r
\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E)C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
< 1,
випливає рiвнiсть
\| x\ast \| C0(\BbbR ,\BbbT ,E) = 0,
тобто спiввiдношення (31) виконується.
Отже, з рiвностей (30), (31) i теореми Банаха про обернений оператор [18] випливає, що
оператор \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) має неперервний обернений, тобто
якщо для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 й оператор \frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для яких
справджується спiввiдношення (29), то оператор \frakL (Q,R) має неперервний обернений.
Навпаки, нехай оператор \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) має неперервний
обернений, тобто \frakL (Q,R) \in \scrO . Зафiксуємо довiльне число H > 0 i виберемо таке число r > 0,
щоб
r\bigm\| \bigm\| \frakL (Q,R)
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H > 0.
Поклавши (A,\frakB ) = (Q,R), отримаємо (29).
Отже, якщо оператор \frakL (Q,R) має неперервний обернений, то для кожного числа H > 0
iснують такi число r > 0 i оператор \frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для яких справджується спiввiдношення (29).
Теорему 4 доведено.
Iз теореми 4 випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
118 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 5. Оператор \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) має обернений непе-
рервний оператор тодi i тiльки тодi, коли iснує оператор \frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для якого
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x(t)) - A(t)x(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Rnx(tn - 0) - Bnx(tn - 0)\| E
\biggr\}
<
<
1\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
. (40)
Справдi, нехай для деякого оператора \frakL (A,\frakB ) \in \scrO виконується спiввiдношення (40). Зафiк-
суємо довiльне число H > 0 i виберемо таке число r > 0, щоб
1\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
-
- \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| Q(t)x(t)) - A(t)x(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Rnx(tn - 0) - Bnx(tn - 0)\| E
\biggr\}
>
H
r
.
Тодi буде виконуватися спiввiдношення (29). Тому згiдно з теоремою 4 лiнiйний оператор
\frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) має неперервний обернений.
Навпаки, якщо оператор \frakL (Q,R) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E) має неперервний
обернений, то за теоремою 4 для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор
\frakL (A,\frakB ) \in \scrO , для яких справджується спiввiдношення (29). З (29) випливає (40).
Отже, твердження теореми 5 є правильним.
6. Малi на нескiнченностi збурення лiнiйних iмпульсних систем. Розглянемо нелiнiйну
систему диференцiальних рiвнянь з iмпульсним збуренням
dx(t)
dt
+A(t)x(t) = F (t, x(t)) + f(t), t \in \BbbR \setminus \BbbT ,
\Delta x| t=tn +Bn(x(tn - 0)) = Gn(x(tn - 0)) + gn, n \in \BbbZ ,
(41)
в якiй функцiї A = A(t), f = f(t) i послiдовностi \frakB = Bn, g = gn, n \in \BbbZ , такi, як у системi
рiвнянь (21), а нелiнiйнi вiдображення F (t, \cdot ) : E \rightarrow E, t \in \BbbR \setminus \BbbT , i Gn(\cdot ) : E \rightarrow E, n \in \BbbZ , такi,
як у системi рiвнянь (1).
Вважаємо, що виконуються такi умови:
1. Лiнiйний неперервний оператор \frakL (A,\frakB ) : C1(\BbbR ,\BbbT , E) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbT , E) \times \frakM (\BbbZ , E), що ви-
значається лiвою частиною системи (21), має обернений неперервний оператор \frakL - 1
(A,\frakB ).
2. Справджується нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \scrB 0[0,r]\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR \setminus \BbbT \| F (t, x(t))\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \BbbZ \| Gn(x(tn - 0)\| E
\Bigr\}
r
<
<
1\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
. (42)
Окремим випадком теореми 3 є таке твердження.
Теорема 6. Нехай виконуються умови 1 i 2. Тодi система рiвнянь (41) для кожних (f, g) \in
\in C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E) має хоча б один розв’язок x \in C1(\BbbR ,\BbbT , E).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ 119
Справдi, зафiксуємо довiльний елемент (f, g) \in C0(\BbbR ,\BbbT , E)\times \frakM (\BbbZ , E).
Завдяки умовам теореми для кожного числа H > 0 iснує таке достатньо велике число r > 0,
що виконуються спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,r]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| F (t, x(t)) + f(t)\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Gn(x(tn - 0) + gn\| E
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \scrB 0[0,r]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR \setminus \BbbT
\| F (t, x(t))\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| Gn(x(tn - 0)\| E
\biggr\}
+ \| (f, g)\| C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E) \leq
\leq r\bigm\| \bigm\| \frakL - 1
(A,\frakB )
\bigm\| \bigm\|
L(C0(\BbbR ,\BbbT ,E)\times \frakM (\BbbZ ,E),C1(\BbbR ,\BbbT ,E))
- H.
Тодi на пiдставi теореми 3 справджується твердження теореми 6.
Зауваження 3. Cпiввiдношення (42) виконується, якщо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR \times E
\| F (t, x)\| E + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(n,x)\in \BbbZ \times E
\| Gn(x)\| E < +\infty .
Зауваження 4. Вiдображення F (t, \cdot ) : E \rightarrow E, t \in \BbbR \setminus \BbbT , та Gn(\cdot ) : E \rightarrow E, n \in \BbbZ , в
системi (41) можуть бути такими, що виконується спiввiдношення (42) i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \scrB 0[0,r]\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR \setminus \BbbT \| F (t, x(t))\| E , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \BbbZ \| Gn(x(tn - 0)\| E
\Bigr\}
r
= +\infty .
7. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. 1. Поняття c-неперервного оператора
(на мовi „\varepsilon , \delta ”) i c-цiлком неперервного оператора введено Е. Мухамадiєвим [11, 12]. Ви-
вчення цих понять було продовжено в [21 – 24] та iнших роботах. Визначення c-неперервного
оператора, що використовує локально збiжнi послiдовностi, запропоновано в [25, 26].
2. Теорема 1 про c-неперервнiсть оберненого оператора \frakL - 1
(A,\frakB ) i теорема 2 про нерухо-
му точку для c-неперервного оператора S\frakF : \scrB 0[0, r] \rightarrow \scrB 1[0, r], застосованi до дослiдження
iмпульсних систем, є новими.
3. Дослiдження загальних нелiнiйних i лiнiйних iмпульсних рiвнянь за допомогою методу
локальної лiнiйної апроксимацiї нелiнiйних систем проведено вперше, отриманi результати про
обмеженi розв’язки цих рiвнянь (теореми 3 – 6) є новими.
4. Аналогiчнi дослiдження диференцiальних, рiзницевих та диференцiально-функцiональ-
них рiвнянь iз використанням локальних лiнiйних наближень вiдповiдних рiвнянь виконано в
[27 – 30].
Лiтература
1. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространст-
ве, Наука, Москва (1970).
2. М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов, Нелинейные почти периодические колебания, Наука,
Москва (1970).
3. Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер, Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства,
Мир, Москва (1970).
4. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, Москва (1970).
5. Ю. В. Трубников, А. И. Перов, Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями, Наука и
техника, Минск (1986).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
120 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
6. А. М. Самойленко, Элементы математической теории многочастотных колебаний, Наука, Москва (1987).
7. А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк, Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием, Вища шк.,
Киев (1987).
8. Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, Исследования дихотомии линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с помощью функций Ляпунова, Наук. думка, Киев (1990).
9. A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk, Impulsive differential equations, World Sci., Singapore (1995).
10. В. Ю. Слюсарчук, Оборотнicть нелiнiйних рiзницевих операторiв, Вид-во Нац. ун-ту водн. госп-ва та приро-
докористування, Рiвне (2006).
11. Э. Мухамадиев, Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций,
Мат. заметки, 11, № 3, 269–274 (1972).
12. Э. Мухамадиев, Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравне-
ний, Мат. заметки, 30, № 3, 443 – 460 (1981).
13. В. E. Слюсарчук, Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем, Укр. мат. журн., 35, № 1,
109 – 115 (1983).
14. А. М. Самойленко, Н. Н. Боголюбов и нелинейная механика, Успехи мат. наук, 49, № 5, 103 – 146 (1994).
15. М. О. Перестюк, В. Ю. Слюсарчук, Оператор Грiна – Самойленка в теорiї iнварiантних множин нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь, Укр. мат. журн., 61, № 7, 948 – 957 (2009).
16. М. О. Перестюк, В. Ю. Слюсарчук, Системи зi збуреннями параметрiв, Нелiнiйнi коливання, 24, № 2, 233 – 248
(2021).
17. М. О. Перестюк, В. Ю. Слюсарчук, Застосування функцiї та оператора Грiна – Самойленка до дослiдження
нелiпшицевих диференцiальних рiвнянь, Укр. мат. журн., 73, № 12, 1669 – 1686 (2021).
18. А. М. Колмогоров, С. В. Фомiн, Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу, Вища шк., Київ (1974).
19. В. E. Слюсарчук, Ненаполненность подалгебры c-непрерывных операторов в алгебре L(Lp, Lp) (1 \leq p \leq \infty ),
Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач, Зб. наук. пр., вип. 10, 229 – 231 (1995).
20. Л. Ниренберг, Лекции по нелинейному функциональному анализу, Мир, Москва (1977).
21. В. Е. Слюсарчук, Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов, Докл. АН УССР. Сер.
А, № 8, 34 – 37 (1981).
22. В. Е. Слюсарчук Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов, Мат. сб., 130,
№ 1, 86 – 104 (1986).
23. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-диффе-
ренциальных операторов, Мат. заметки, 42, № 2, 262 – 267 (1987).
24. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных функцио-
нально-дифференциальных операторов, Укр. мат. журн., 41, № 2, 201 – 205 (1989).
25. В. Е. Слюсарчук, Метод c-непрерывных операторов в теории импульсных систем, Тез. докл. Всесоюз. конф.
по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, Душанбе, 102 – 103 (1987).
26. В. Е. Слюсарчук, Слабо нелинейные возмущения импульсных систем, Мат. физика и нелинейная механика,
вып. 15, 32 – 35 (1991).
27. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих
рiвнянь, Нелiнiйнi коливання, 12, № 3, 368 – 378 (2009).
28. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь, Укр. мат. журн., 61, № 11, 1541 – 1556 (2009).
29. В. Е. Слюсарчук, Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений, Мат. сб., 201, № 8, 103 – 126 (2010).
30. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь, Вид-во Нац. ун-ту вод.
госп-ва та природокористування, Рiвне (2011).
Одержано 13.10.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7347 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:23Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/32648ecab58cbf41c7d18f7ff3db9644.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73472023-02-25T14:21:53Z Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems Метод локальної лінійної апроксимації в теорії нелінійних імпульсних систем Perestyuk , М. О. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. Метод локальної лінійної апроксимації, імпульсні системи диференціальні рівняння The method of local linear approximation impulse systems differential equations UDC 517.929 For nonlinear differential equations with impulsive perturbations, we formulate a general assertion concerning the existence of bounded solutions.&nbsp;&nbsp;With the help of this assertion, we establish necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of analogous linear equations.&nbsp;&nbsp;The equations are studied by using the theory of $c$-continuous operators and the method of local linear approximation of nonlinear equations. УДК 517.929 Для нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями наведено загальне твердження про існування обмежених розв'язків. За допомогою цього твердження встановлено необхідні і достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків аналогічних лінійних рівнянь.&nbsp;Для дослідження рівнянь використано теорію $c$-неперервних операторів і метод локальної лінійної апроксимації нелінійних рівнянь.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7347 10.37863/umzh.v75i1.7347 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 105 - 120 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 105 - 120 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7347/9356 Copyright (c) 2023 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Perestyuk , М. О. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title | Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title_alt | Метод локальної лінійної апроксимації в теорії нелінійних імпульсних систем |
| title_full | Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title_fullStr | Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title_full_unstemmed | Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title_short | Method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| title_sort | method of local linear approximation in the theory of nonlinear impulsive systems |
| topic_facet | Метод локальної лінійної апроксимації імпульсні системи диференціальні рівняння The method of local linear approximation impulse systems differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7347 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukmo methodoflocallinearapproximationinthetheoryofnonlinearimpulsivesystems AT slyusarchukvyu methodoflocallinearapproximationinthetheoryofnonlinearimpulsivesystems AT perestûkmo methodoflocallinearapproximationinthetheoryofnonlinearimpulsivesystems AT slûsarčukvû methodoflocallinearapproximationinthetheoryofnonlinearimpulsivesystems AT slyusarchukv methodoflocallinearapproximationinthetheoryofnonlinearimpulsivesystems AT perestyukmo metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteoríínelíníjnihímpulʹsnihsistem AT slyusarchukvyu metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteoríínelíníjnihímpulʹsnihsistem AT perestûkmo metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteoríínelíníjnihímpulʹsnihsistem AT slûsarčukvû metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteoríínelíníjnihímpulʹsnihsistem AT slyusarchukv metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteoríínelíníjnihímpulʹsnihsistem |