Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices
UDC 517.9 We consider spectral problems generated by the Sturm–Liouville equation on connected simple equilateral graphs with Neumann and Dirichlet boundary conditions at the pendant vertices and the conditions of continuity and Kirchhoff's conditions at the inner vertices. &am...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7351 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512664543821824 |
|---|---|
| author | Pivovarchik, V. Chernyshenko, A. Пивоварчик, Вячеслав Чернишенко, Анастасiя |
| author_facet | Pivovarchik, V. Chernyshenko, A. Пивоварчик, Вячеслав Чернишенко, Анастасiя |
| author_sort | Pivovarchik, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-04-15T15:10:33Z |
| description | UDC 517.9
We consider spectral problems generated by the Sturm–Liouville equation on connected simple equilateral graphs with Neumann and Dirichlet boundary conditions at the pendant vertices and the conditions of continuity and Kirchhoff's conditions at the inner vertices.  We describe the cases where the first and the second terms of the asymptotics of  eigenvalues uniquely determine the shape either of the graph or of its interior subgraph. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i3.7351 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i3.7351
UDC 517.9
Вячеслав Пивоварчик1, Анастасiя Чернишенко
(Пiвденноукраїнський нацiональний педагогiчний унiверситет iменi К. Д. Ушинського, Одеса)
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ
НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ
We consider spectral problems generated by the Sturm – Liouville equation on connected simple equilateral graphs with
Neumann and Dirichlet boundary conditions at the pendant vertices and the conditions of continuity and Kirchhoff’s
conditions at the inner vertices. We describe the cases where the first and the second terms of the asymptotics of eigenvalues
uniquely determine the shape either of the graph or of its interior subgraph.
Розглянуто спектральнi задачi, породженi рiвнянням Штурма – Лiувiлля на зв’язних простих рiвнобiчних графах з
умовами Неймана та Дiрiхле на висячих вершинах та умовами неперервностi i умовами Кiрхгофа на внутрiшнiх
вершинах. Описано випадки, коли перший i другий члени асимптотики власних значень однозначно визначають
форму графа або його внутрiшнього пiдграфа.
1. Вступ. Проблема iснування коспектральних графiв виникла ще у минулому столiттi. У
класичнiй теорiї графiв коспектральними вважають неiзоморфнi графи з однаковим спектром
матрицi сумiжностi (див. [8], роздiл 6.1). Перший приклад коспектральних графiв (див. рис. 1)
наведено у [7].
Рис. 1. Неiзоморфнi графи з однаковими спектрами матрицi сумiжностi.
У багатьох випадках бiльш важливу роль, нiж матриця сумiжностi, вiдiграє дискретний
лапласiан. Iснують рiзнi означення дискретного лапласiана, який ще називають нормованим
лапласiаном (див. [10, с. 2]). Ми розумiємо пiд дискретним лапласiаном матрицю D - 1/2AD - 1/2,
де A — матриця сумiжностi графа, а D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ d(v1), d(v2), . . . , d(vp)\} — матриця степенiв
вершин, d(vj) — степiнь вершини vj . Це означення вiдрiзняється вiд наведеного в [10] зсувом
спектрального параметра \lambda \rightarrow \lambda + 1. Незважаючи на те, що спектри матриць сумiжностi
графiв, зображених на рис. 1, збiгаються, спектри дискретних лапласiанiв цих графiв рiзнi:
вони є множинами коренiв многочленiв 16z8 - 25z6 + 9z4 i 20z8 - 33z6 + 13z4 вiдповiдно.
У теорiї квантових графiв розглядають спектральнi задачi, породженi рiвняннями Штурма –
Лiувiлля на рiвнобiчних метричних графах з ребрами однакової довжини, з крайовими умовами
Неймана або Дiрiхле на висячих вершинах i узагальненими умовами Неймана (умовами непе-
рервностi i Кiрхгофа) у внутрiшнiх вершинах. Тут також виникає проблема коспектральностi.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: vpivovarchik@gmail.com.
© ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО, 2023
382 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 383
Рис. 2. Неiзоморфнi графи з однаковими спектрами дискретного
лапласiана.
У [18] показано, що iснують коспектральнi графи (неiзометричнi графи з однаковим
спектром задачi Штурма – Лiувiлля) у квантовiй теорiї графiв. Приклад двох коспектральних
неiзоморфних рiвнобiчних графiв iз роботи [18] наведено на рис. 2.
Слiд зауважити, що у випадку графа з несумiрними довжинами ребер спектр однозначно
визначає форму графа [12]. Зазначимо, що графи на рису. 2 регулярнi i мають однакову кiлькiсть
ребер. Неважко переконатися, що два неiзоморфнi регулярнi графи з нульовими потенцiалами
на ребрах з однаковою кiлькiстю вершин мають однаковий спектр дискретного лапласiана тодi
й лише тодi, коли вони мають однаковий спектр матрицi сумiжностi. Але це правильно лише
для регулярних графiв.
Спектр задачi теорiї квантових графiв пов’язаний з дискретним лапласiаном вiдповiдного
комбiнаторного графа таким чином: власнi значення дискретного лапласiана взаємно одно-
значно пов’язанi з другими членами асимптотики власних значень задачi Штурма – Лiувiлля з
(узагальненими) умовами Неймана на вершинах цього графа (див. [5], де використано результа-
ти [3, 4, 9]). Це дає змогу отримати iнформацiю про форму графа, використовуючи асимптотику
власних значень.
У [2, 13] доведено „геометричну” теорему Амбарцумяна, яка стверджує, що якщо спектр
задачi Штурма – Лiувiлля з крайовими умовами Неймана такий, як у випадку задачi на iнтервалi
з умовами Неймана на кiнцях та з тотожно нульовим потенцiалом, то цей граф є P2 i потенцiал
майже скрiзь дорiвнює нулю. У [5] „геометричну” теорему Амбарцумяна доведено для всiх
зв’язних простих рiвнобiчних графiв, кiлькiсть вершин яких не перевищує 5, та для дерев
з кiлькiстю вершин \leq 8. Зокрема, ця теорема стверджує, що у цих випадках спектр задачi
Штурма – Лiувiлля однозначно визначає форму графа.
Проте цей результат не можна поширити на випадок простих зв’язних рiвнобiчних графiв
з шiстьма вершинами. Графи, зображенi на рис. 3, мають однаковi перший i другий члени
асимптотики власних значень, тобто, наприклад, у випадку нульових потенцiалiв на ребрах цi
графи є коспектральними у квантовомеханiчному сенсi (див. нижче теорему 4.5). Цiкаво, що
цi графи можна отримати подiлом вершини у графi K5 на двi, отже, вони належать до класу
так званих пухнастих куль (fuzzy balls, див. [11]).
Виявилося, що збiг спектрiв дискретних лапласiанiв ще не означає збiгу першого i другого
членiв асимптотики власних значень задачi Штурма – Лiувiлля. Додатково потрiбно, щоб бу-
ла однаковою кiлькiсть ребер графа. Наприклад, графи, зображенi на рис. 4, мають однаковi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
384 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО
Рис. 3. Неiзоморфнi графи з шiстьма вершинами i з однако-
вими першим i другим членами асимптотики влас-
них значень задачi Штурма – Лiувiлля.
Рис. 4. Неiзоморфнi графи з однаковим спектром дискрет-
ного лапласiана, не коспектральнi у квантовомеха-
нiчному сенсi.
спектри дискретних лапласiанiв, але рiзнi перший i другий члени асимптотики власних зна-
чень задачi Штурма – Лiувiлля, бо в них рiзна кiлькiсть ребер. Тому в подальшому, шукаючи
коспектральнi графи, будемо розглядати простi зв’язнi рiвнобiчнi графи з однаковою кiлькiстю
ребер i однаковими спектрами дискретних лапласiанiв.
Вiдомо [5], що власнi значення дискретного лапласiана можна знайти з асимптотики власних
значень задачi Штурма – Лiувiлля на графi не лише у випадку „амбарцумянiвської” асимптоти-
ки. Тому припускаючи, що потенцiали на ребрах — дiйснi L2-функцiї, ми залишаємо їх поза
увагою i ставимо питання: чи можна знайти форму простого зв’язного рiвнобiчного графа,
використовуючи асимптотику власних значень задачi Штурма – Лiувiлля з умовами Неймана
на висячих вершинах i узагальненими умовами Неймана на внутрiшнiх вершинах? Також цi-
каво знати яку iнформацiю про форму графа можна отримати з асимптотики власних значень
у випадку задачi Штурма – Лiувiлля з умовами Дiрiхле на висячих вершинах. Слiд зазначити,
що проблема коспектральностi для задач з умовами Дiрiхле на деяких з вершин розглядалася
в [1, 16], де запропоновано метод побудови сiмей коспектральних графiв, який використовує
лiнiйнi зображення скiнченних груп.
У п. 2 описано спектральну задачу Штурма – Лiувiлля на простому зв’язному рiвнобiчному
графi з узагальненими умовами Неймана на внутрiшнiх вершинах та умовами Неймана на
висячих вершинах i другу задачу, яка вiдрiзняється вiд першої умовами Дiрiхле на висячих
вершинах.
У п. 3 наведено деякi допомiжнi результати. Розглянуто асоцiйовaну скiнченновимiрну
спектральну задачу i показано зв’язок мiж спектром задачi Штурма – Лiувiлля на метричному
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 385
графi i спектром дискретного лапласiана цього графа у випадку задачi з умовами Неймана на
висячих вершинах. Також описано зв’язок мiж спектром задачi Штурма – Лiувiлля та спектром
модифiкованого дискретного лапласiана внутрiшнього пiдграфа у випадку задачi з умовами
Дiрiхле на висячих вершинах.
У п. 4 показано, що для простих зв’язних рiвнобiчних графiв з кiлькiстю вершин p \leq 5
перший та другий члени асимптотики власних значень задачi Штурма – Лiувiлля з умовами
Неймана на висячих вершинах i узагальненими умовами Неймана у внутрiшнiх вершинах
однозначно визначають форму графа. Такий же результат справедливий для дерев, кiлькiсть
вершин у яких не перевищує 8. Taкож показано, що серед простих зв’язних рiвнобiчних графiв з
шiстьма вершинами iснує лише одна пара з однаковими першим i другим членами асимптотики
власних значень.
У п. 5 розглянуто спектральну задачу Штурма – Лiувiлля на простому зв’язному рiвнобiч-
ному графi з умовами Дiрiхле на висячих вершинах i узагальненими умовами Неймана у
внутрiшнiх вершинах. Тiльки у деяких випадках (подвiйна зiрка) перший i другий члени асимп-
тотики однозначно визначають форму графа. Однак бiльше iнформацiї можна отримати щодо
форми внутрiшнього пiдграфа, тобто пiдграфа, отриманого видаленням висячих вершин разом
з iнцидентними з ними ребрами (листами).
2. Постановка задач. Нехай G — простий зв’язний рiвнобiчний граф з g ребрами довжини
l кожне, p вершинами i ppen висячими вершинами. Позначимо через vi вершини, через d(vi) їх
степенi, через ej ребра графа. Спрямуємо ребра, iнцидентнi з висячими вершинами, вiд висячих
вершин. Орiєнтацiя всiх iнших ребер нехай буде довiльною. Так, для внутрiшньої вершини vi
ми розглядаємо її степiнь входу d+(vi) i степень виходу d - (vi) = d(vi) - d+(vi). Позначимо
через W - (vi) множину iндексiв js, s = 1, 2, . . . , d - (vi), ребер, що виходять з vi, а через
W+(vi) множину iндексiв ks, s = 1, 2, . . . , d+(vi), ребер, шо входять у vi. Локальнi координати
на ребрах ототожнюють кожне ребро ej з iнтервалом [0, l] так, що локальна координата зростає
у напрямку ребра. Це означає, що кожна висяча вершина має координату 0.
Кожна внутрiшня вершина має локальну координату l на кожному вхiдному ребрi та коор-
динату 0 на кожному вихiдному ребрi. Функцiї yj на ребрах повиннi задовольняти g скалярних
рiвнянь Штурма – Лiувiлля
- y\prime \prime j + qj(x)yj = \lambda yj , j = 1, 2, . . . , g, (1)
де qj — дiйснi L2(0, l)-функцiї. У внутрiшнiй вершинi vi з вихiдними ребрами ej , j \in W - (vi),
та вхiдними ребрами ek, k \in W+(vi), накладаємо умови неперервностi
yj(0) = yk(l) (2)
та умову Кiрхгофа \sum
k\in W+(vi)
y\prime k(l) =
\sum
j\in W - (vi)
y\prime j(0). (3)
Накладаємо умови Неймана
y\prime j(0) = 0 (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
386 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО
у висячих вершинах vj , j = r + 1, r + 2, . . . , ppen, та умови Дiрiхле
yj(0) = 0 (5)
у рештi висячих вершин vj , j = 1, 2, . . . , r, 0 \leq r \leq ppen.
Позначимо через sj
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
розв’язок рiвняння Штурма – Лiувiлля (1) на ребрi ej , який
задовольняє умови sj
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
= s\prime j
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
- 1 = 0, а через cj
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
розв’язок, який задо-
вольняє умови cj
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
- 1 = c\prime j
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
= 0. Тодi характеристичну функцiю \phi (\lambda ), тобто
цiлу функцiю, множина коренiв якої збiгається зi спектром задачi (1) – (5), можна виразити че-
рез sj
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr)
, s\prime j
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr)
, cj
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr)
i c\prime j
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr)
. Для цього розглянемо систему вектор-функцiй
\psi j(\lambda , x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl\{
0, 0, . . . , sj
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
, . . . , 0
\bigr\}
i \psi j+g(\lambda , x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl\{
0, 0, . . . , cj
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
, . . . , 0
\bigr\}
для
j = 1, 2, . . . , g. Як у [17], позначимо через Lj , j = 1, 2, . . . , 2g, лiнiйнi функцiонали, породженi
рiвняннями (1) – (5). Тодi \Phi (\lambda ) =
\bigm\| \bigm\| Lj(\psi k(\lambda , l)
\bigm\| \bigm\| 2g
j,k
— характеристична матриця, яка представляє
систему лiнiйних рiвнянь, що описують умови неперервностi та умови Кiрхгофа у внутрiшнiх
вершинах. Назвемо
\phi (\lambda ) := \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi (\lambda ))
характеристичною функцiєю задачi (1) – (5).
3. Допомiжнi результати. Для простого графа матриця A = (Ai,j)
p
i,j=1, де Ai,i = 0 для
всiх i = 1, 2, . . . , p i
Ai,j =
\left\{ 1, якщо vi та vj сумiжнi,
0, якщо не сумiжнi,
називається матрицею сумiжностi.
Нехай
D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
d(v1), d(v2), . . . , d(vp)
\bigr\}
— матриця степенiв вершин. Тодi \widetilde A = D - 1/2AD - 1/2 назвемо дискретним лапласiаном.
Нехай G — простий зв’язний рiвнобiчний граф з g \geq 2 ребрами. Нехай r, 0 \leq r \leq
ppen, — кiлькiсть висячих вершин з умовою Дiрiхле. На рештi висячих вершин ми накладаємо
умову Неймана. Позначимо через \^G граф, отриманий шляхом видалення висячих вершин,
на яких накладено умови Дiрiхле, та iнцидентних з ними ребер. Для зручностi позначимо
вершини графа \^G через vr+1, vr+2,. . . , vp. Нехай \^A — матриця сумiжностi графа \^G. Позначимо
\^DG = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
d(vr+1), d(vr+2), . . . , d(vp)
\bigr\}
, де d(vi) — степiнь вершини vi у графi G. Розглянемо
многочлен PG, \^G(z) := \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
z \^DG - \^A
\bigr)
.
Наступну теорему було доведено у [15] (теорема 6.4.2).
Теорема 3.1. Нехай G — простий зв’язний рiвнобiчний граф з не менше нiж двома ребрами
довжини l кожне та з однаковим потенцiалом на ребрах, симетричним щодо середини ребра
(q(l - x) = q(x)).
Тодi спектр задачi (1) – (5) збiгається з множиною коренiв характеристичної функцiї
\phi D(\lambda ) = sg - p+r
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr)
PG, \^G
\bigl(
c
\bigl( \surd
\lambda , l
\bigr) \bigr)
,
де s
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
i c
\bigl( \surd
\lambda , x
\bigr)
— розв’язки рiвняння Штурма – Лiувiлля на ребрi, якi задовольняють
умови s
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
= s\prime
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
- 1 = 0 i c
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
- 1 = c\prime
\bigl( \surd
\lambda , 0
\bigr)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 387
4. Спектральна задача у випадку умов Неймана на висячих вершинах графа. В цьому
пунктi розглянемо випадок умов Неймана на всiх висячих вершинах (r = 0), тобто задачу
(1) – (4).
Теорема 4.1 (теорема 4.1 [5]). Нехай g \geq p. Власнi значення задачi (1) – (4) можна подати
як об’єднання пiдпослiдовностей \{ \lambda k\} \infty k=1 =
p+g\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
з такою асимптотикою (k \in \BbbN :=
\{ 1, 2, . . .\} ): \sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , p, (6)
\sqrt{}
\lambda
(i+p)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , p (7)
i, якщо q > p, \sqrt{}
\lambda
(2p+i)
k =
k\rightarrow \infty
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , q - p, (8)
де \{ \alpha i\} pi=1 — власнi значення дискретного лапласiана.
Тепер з’ясуємо, яку iнформацiю про форму графа можна отримати з асимптотики власних
значень.
Теорема 4.2. Нехай \{ \lambda k\} \infty k=1 — спектр задачi (1) – (4) для простого зв’язного рiвнобiчного
графа, який складається з пiдпослiдовностей \{ \lambda k\} \infty k=1 =
p+g\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
з асимптотикою
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , p,
\sqrt{}
\lambda
(i+p)
k =
2\pi k
l
- \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , p,
i, якщо q > p, \sqrt{}
\lambda
(2p+i)
k =
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , q - p,
де 0 < p \leq 5, p \leq q, \gamma \in \BbbR .
Тодi цей спектр однозначно визначає форму графа та довжину його ребра.
Доведення. З теореми 5.4 статтi [3] випливає, що
\bigm| \bigm| \bigm| \lambda (j)k - \~\lambda
(j)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C < \infty , де \~\lambda
(j)
k — власнi
значення задачi (1) – (4) на тому ж графi з qj \equiv 0 для всiх j. Тому наявнiсть потенцiалiв не
впливає на перший i другий члени асимптотики власних значень. За умов теореми \{ \lambda k\} \infty k=1 =
p+g\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
— спектр задачi (1) – (4) на простому зв’язному графi, тому спектр такої задачi з
тотожно нульовими потенцiалами на ребрах можна подати як об’єднання пiдпослiдовностей з
асимптотикою \sqrt{}
\~\lambda
(i)
k =
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma i для i = 1, 2, . . . , p,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
388 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО\sqrt{}
\~\lambda
(i+p)
k =
2\pi k
l
- \gamma i для i = 1, 2, . . . , p
i, якщо q > p, \sqrt{}
\~\lambda
(2p+i)
k =
\pi k
l
для i = 1, 2, . . . , q - p.
Всi можливi спектри задачi (1) – (4) на простих зв’язних графах з асимптотиками (6) – (8) описа-
но у [5], де \gamma i =
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i, а \{ \alpha i\} pi=1 — власнi значення вiдповiдних дискретних лапласiанiв.
Вiдповiднi графи наведено у [5].
Таким чином, множина \{ \alpha i\} pi=1 та кiлькiсть ребер g однозначно визначають форму графа,
якщо p \leq 5. Множину \{ \alpha i\} pi=1 та кiлькiсть ребер g, а також довжину ребра l можна знайти з
асимптотики.
Теорему доведено.
Теорема 4.3 (тeoрема 5.3 з [5]). Нехай T — дерево. Власнi значення задачi (1) – (4) можна
подати як об’єднання пiдпослiдовностей \{ \lambda k\} \infty k=1 =
2p - 3\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
з асимптотикою
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 2, 3, . . . , p - 1, (9)
\sqrt{}
\lambda
(i+p - 2)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 2, 3, . . . , p - 1, (10)
\sqrt{}
\lambda
(1)
k =
k\rightarrow \infty
\pi (k - 1)
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
. (11)
Тут \alpha 1 = 1, \alpha 2, \alpha 3, . . . , \alpha p - 1, \alpha p = - 1 — власнi значення дискретного лапласiана \~A.
Доведення наступної теореми повторює доведення тeoреми 4.2.
Теорема 4.4. Нехай спектр \{ \lambda k\} \infty k=1 задачi (1) – (4) на простому зв’язному рiвнобiчному
графi складається з пiдпослiдовностей \{ \lambda k\} \infty k=1 =
2p - 3\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
з асимптотикою
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 2, 3, . . . , p - 1,
\sqrt{}
\lambda
(i+p - 2)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 2, 3, . . . , p - 1,
\sqrt{}
\lambda
(1)
k =
k\rightarrow \infty
\pi (k - 1)
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
з 0 < p \leq 8.
Тодi цей граф — дерево, множина \{ \alpha i\} p - 1
i=2 , де \alpha i = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma il, та довжина ребра l, отримана
з першого члена асимптотики, однозначно визначають форму дерева.
Всi можливi спектри, що вiдповiдають деревам з кiлькiстю вершин p \in \{ 6, 7, 8\} , cклада-
ються з пiдпослiдовностей (9) – (11), де \gamma i =
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i, а \{ \alpha i\} pi=1 — власнi значення вiдповiд-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 389
ного дискретного лапласiана, тобто коренi одного з многочленiв, наведених у [5]. Вiдповiднi
дерева показано в [5].
З доведення теореми 4.2 випливає, що, знаючи перший i другий члени асимптотики, ми не
можемо розрiзнити два графи, тiльки якщо кiлькiсть вершин у цих графах однакова, кiлькiсть
ребер однакова та множини \{ \alpha k\} pk=1, що вiдповiдають цим графам, однаковi. Останнє означає,
що характеристичний многочлен \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(zI - \~A), що вiдповiдає одному з цих графiв, дорiвнює
многочлену, що вiдповiдає другому графу (можливо, помноженому на ненульову сталу). По-
рiвнюючи цi данi для всiх неiзоморфних простих зв’язних графiв з шiстьма вершинами (всi цi
графи наведено в [6]), приходимо до висновку, що єдина пара коспектральних графiв з шiстьма
вершинами з однаковою кiлькiстю ребер та з однаковими наборами \{ \alpha i\} 6i=1 — це графи, зобра-
женi на рис. 3. Набiр \{ \alpha i\} 6i=1 є множиною коренiв многочлена, заданого рiвнянням (15) (див.
нижче). Таким чином, отримуємо таку теорему.
Теорема 4.5. 1. Нехай спектр \{ \lambda k\} \infty k=1 задачi (1) – (4) для простого зв’язного рiвнобiчного
графа складається з пiдпослiдовностей \{ \lambda k\} \infty k=1 =
16\bigcup
i=1
\bigl\{
\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
, якi мають асимптотику
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , 6, (12)
\sqrt{}
\lambda
(i+6)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, . . . , 6, (13)
\sqrt{}
\lambda
(12+i)
k =
k\rightarrow \infty
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 1, 2, 3, 4, (14)
де набiр \{ \alpha i\} 6i=1 = \{ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma il\} 6i=1 не збiгається з множиною коренiв многочлена
PG,G(z) = 256z6 - 224z4 - 64z3 + 21z2 + 10z + 1 = (z - 1)(4z + 1)3(4z2 + z - 1). (15)
Тодi асимптотика (12) – (14) однозначно визначає форму графа.
2. Два неiзоморфнi графи, зображенi на рис. 3, мають однаковi перший i другий члени
асимптотики (12) – (14) i однаковий характеристичний многочлен (15). Отже, в цьому випадку
перший i другий члени асимптотики власних значень не визначають однозначно форму графа.
5. Спектральна задача з крайовими умовами Дiрiхле на висячих вершинах. У цьому
пунктi розглянемо спектральну задачу (1) – (3), (5) (r = ppen), тобто задачу Штурма – Лiувiлля
з умовами Дiрiхле на висячих вершинах. Ребро, iнцидентне висячiй вершинi, назвемо листом, а
пiдграф, отриманий видаленням висячих вершин разом з iнцидентними листами, — внутрiшнiм
пiдграфом. Вочевидь, у загальному випадку не можна очiкувати єдиностi графа, що вiдповiдає
заданому спектру задачi (1) – (3), (5). Але у випадку, коли такий граф не єдиний, можна отримати
iнформацiю щодо форми внутрiшнього пiдграфа. Нижче ми розглянемо конкретнi випадки
задачi (1) – (3), (5).
5.1. Граф подвiйна зiрка. Розглянемо граф, зображений на рис. 5.
Теорема 5.1. Нехай степенi внутрiшнiх вершин m та n графа на рис. 5 задовольняють
нерiвностi m \geq 1, n \geq 1 i mn > 1. Тодi спектр задачi (1) – (3), (5) на цьому графi складається
з пiдпослiдовностей з асимптотикою\sqrt{}
\lambda
(1)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
390 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО\sqrt{}
\lambda
(2)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(3)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(4)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 5, 6, . . . ,m+ n+ 1 i k \in \BbbN .
X 2
1
2
n – 1m – 1
Рис. 5. Граф подвiйна зiрка.
Доведення. В цьому випадку внутрiшнiй пiдграф — це P2, матриця \^DG = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ m,n\} ,
\^A =
\Biggl(
0 1
1 0
\Biggr)
i PG, \^G = 1 - mnz2. Отже, \alpha 1 = - 1\surd
mn
i \alpha 2 =
1\surd
mn
. Використовуючи тeoрему 3.1, отримуємо
\phi D(\lambda ) = sm+n - 3
\bigl( \surd
\lambda l
\bigr) \bigl(
1 - mnc2
\bigl( \surd
\lambda l
\bigr) \bigr)
.
Використовуючи вiдомi формули (див. [14])
s(\lambda , l) =
| \lambda | \rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
\lambda l\surd
\lambda
+O
\Biggl(
e| \mathrm{I}\mathrm{m}
\surd
\lambda l|
| \lambda |
\Biggr)
, c(\lambda , l) =
| \lambda | \rightarrow \infty
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\surd
\lambda l +O
\Biggl(
e| \mathrm{I}\mathrm{m}
\surd
\lambda l|
|
\surd
\lambda |
\Biggr)
,
отримуємо твердження теореми.
Тепер з’ясуємо яку iнформацiю про форму графа можна отримати з асимптотики власних
значень у цьому випадку.
Теорема 5.2. Нехай спектр задачi (1) – (3), (5) на простому зв’язному рiвнобiчному графi
складається з пiдпослiдовностей з асимптотикою\sqrt{}
\lambda
(1)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(2)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 391\sqrt{}
\lambda
(3)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
+ \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(4)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
- \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для i = 5, 6, . . . , s i k \in \BbbN .
Тодi ця асимптотика однозначно визначає форму графа як подвiйної зiрки з кiлькостями
листiв, iнцидентних з внутрiшнiми вершинами m - 1 i n - 1 (див. рис. 5), де натуральнi числа
m i n є розв’язком системи рiвнянь
m+ n = s - 1, mn = (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma l) - 2. (16)
Ця система рiвнянь має 2 розв’язки, що вiдповiдають iзоморфним графам.
Доведення. За теоремою 5.4 з [3] отримуємо, що
\bigm| \bigm| \bigm| \lambda (j)k - \~\lambda
(j)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C < \infty , де \~\lambda
(j)
k — власнi
значення задачi (1) – (3), (5) на тому ж графi з qj \equiv 0 для всiх j, i тому наявнiсть потен-
цiалiв не впливає на перший i другий члени асимптотики. Отже, за умов теореми спектр\bigl\{
\~\lambda k
\bigr\} \infty
k=1
=
m+n+1\bigcup
i=1
\bigl\{
\~\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
задачi (1) – (3), (5) на простому зв’язному графi з тотожно нульо-
вими потенцiалами на ребрах можна подати як об’єднання пiдпослiдовностей з асимптотикою\sqrt{}
\~\lambda
(1)
k =
2\pi (k - 1)
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\~\lambda
(2)
k =
2\pi k
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\~\lambda
(3)
k =
(2k - 1)\pi
l
+
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\~\lambda
(4)
k =
(2k - 1)\pi
l
- 1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
1\surd
mn
для k \in \BbbN ,
\sqrt{}
\~\lambda
(i)
k =
\pi k
l
для i = 5, 6, . . . ,m+ n+ 1 i k \in \BbbN .
Множина
m+n+1\bigcup
i=1
\bigl\{
\~\lambda
(i)
k
\bigr\} \infty
k=1
є спектром задачi (1) – (3), (5) на графi подвiйної зiрки, зображеному
на рис. 5, з тотожно нульовими потенцiалами на ребрах.
Система (16) має два розв’язки, але вони вiдповiдають iзоморфним графам, в яких n i m
помiняли мiсцями.
Теорему доведено.
Нижче ми покажемо, що якщо граф бiльш складний, то асимптотика задачi (1) – (3), (5) в
деяких випадках не визначає форму графа.
5.2. Гусеничне дерево. Розглянемо граф на рис. 6.
Теорема 5.3. Спектр задачi (1) – (3), (5) на графi, зображеному на рис. 6, можна подати
як об’єднання пiдпослiдовностей, якi мають асимптотику
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
392 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО\sqrt{}
\lambda
(1)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , (17)
\sqrt{}
\lambda
(2)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , (18)
\sqrt{}
\lambda
(3)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
+ \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , (19)
\sqrt{}
\lambda
(4)
k =
k\rightarrow \infty
(2k - 1)\pi
l
- \gamma +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , (20)
\sqrt{}
\lambda
(5)
k =
k\rightarrow \infty
(k - 1/2)\pi
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , (21)
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , i = 6, 7, . . . , s, (22)
де
\gamma :=
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\sqrt{}
m1 +m3
m1m2m3
, s = m1 +m2 +m3
i mi, i = 1, 2, 3, — степенi внутрiшнiх вершин v1, v2, v3 вiдповiдно.
2
22
1 1
1
υ1
m1 – 1 m2 – 2 m3 – 3
υ2 υ3
Рис. 6. Граф-гусениця.
Доведення. В цьому випадку внутрiшнiй пiдграф — це P3, \^DG = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ m1,m2,m3\} ,
\^A =
\left(
0 1 0
1 0 1
0 1 0
\right)
i PG, \^G = (m1 +m3)z - m1m2m3z
3. Отже, коренi цього многочлена — це \alpha 1 = -
\sqrt{}
m1 +m3
m1m2m3
,
\alpha 2 = 0 та \alpha 3 =
\sqrt{}
m1 +m3
m1m2m3
. Доведення завершуємо, застосовуючи теорему 3.1, як у доведеннi
теореми 5.1.
Розглянемо обернену теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 393
X
Рис. 7. Граф, що вiдповiдає \gamma =
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl( \sqrt{}
5
12
\Biggr)
, з
кiлькiстю ребер 5.
Теорема 5.4. Нехай спектр задачi (1) – (3), (5) на простому зв’язному рiвнобiчному графi
складається з пiдпослiдовностей з асимптотикою (17) – (22).
Тодi граф є графом, зображеним на рис. 6, з внутрiшнiм пiдграфом P3 i з числами листiв,
iнцидентних з внутрiшнiми вершинами m1 - 1, m2 - 2, m3 - 1, де трiйка m1 \geq 1, m2 \geq 2,
m3 \geq 1 — розв’язок системи
m1 +m2 +m3 = s, (23)
m1 +m3
m1m2m3
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \gamma l. (24)
Доведення повторює з вiдповiдними змiнами доведення теореми 5.2.
Зауваження. 5.1. В деяких випадках граф, що вiдповiдає заданому \gamma у (17) – (22), яке
отримане з асимптотики, i заданiй кiлькостi ребер (m1 +m2 +m3 - 2), єдиний. Наприклад,
якщо кiлькiсть ребер m1 +m2 +m3 - 2 = 5 i \gamma =
5
12
, то граф має форму, показану на рис. 7.
5.2. Якщо кiлькiсть ребер m1+m2+m3 - 2 = 18, а \gamma =
1
16
, то iснують два коспектральнi
графи, зображенi на рис. 8, що вiдповiдають m1 = m3 = 8, m2 = 4 i m1 = m3 = 2, m2 = 16
вiдповiдно.
X X
X
X X
X
Рис. 8. Граф, що вiдповiдає \gamma =
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
4
\biggr)
з кiлькiстю ребер 18.
5.3. Граф декорованого трикутника. Графом декорованого трикутника ми називаємо граф,
зображений на рис. 9.
Теорема 5.5. Спектр задачi (1) – (3), (5) для графа, зображеного на рис. 9 складається з
пiдпослiдовностей, якi мають асимптотику
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
394 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi (k - 1)
l
+ \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , i = 1, 2, 3, (25)
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
- \gamma i +O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , i = 4, 5, 6, (26)
\sqrt{}
\lambda
(i)
k =
k\rightarrow \infty
2\pi k
l
+O
\biggl(
1
k
\biggr)
для k \in \BbbN , i = 7, 8, . . . , s, (27)
де s = m1 + m2 + m3, числа mi — степенi внутрiшнiх вершин графа, \gamma i :=
1
l
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau i,
i = 1, 2, 3, а \tau i — коренi многочлена
PG, \^G(z) = m1m2m3z
3 - sz - 2.
1
2
2
1
1
2
m2 – 2
m1 – 2
m3 – 2
Рис. 9. Декорований граф K3.
Доведення. Внутрiшнiй пiдграф у цьому випадку є C3, матриця степенiв \^DG = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ m1,
m2,m3\} ,
\^A =
\left(
0 1 1
1 0 1
1 1 0
\right)
i PG, \^G(z) = 2+(m1+m2+m3)z - m1m2m3z
3. Для завершення доведення достатньо застосувати
теорему 3.1.
Розглянемо тепер обернену теорему.
Теорема 5.6. Нехай спектр задачi (1) – (3), (5) на простому зв’язному рiвнобiчному графi
складається з пiдпослiдовностей з асимптотикою (25) – (27).
Тодi цей граф є графом декорованого трикутника (внутрiшнiй пiдграф — це C3). Степенi
внутрiшнiх вершин m1, m2, m3 утворюють розв’язок системи рiвнянь
m1m2m3 =
2
\gamma 1\gamma 2\gamma 3
, (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
КОСПЕКТРАЛЬНI КВАНТОВI ГРАФИ ЗА УМОВ ДIРIХЛЕ НА ВИСЯЧИХ ВЕРШИНАХ 395
m1 +m2 +m3 = s. (29)
Доведення повторює з вiдповiдними змiнами доведення теореми 5.2.
X
Рис. 10. Неiзоморфнi графи з однаковими першим i другим членами асимптотики власних значень
задачi Штурма – Лiувiлля з умовами Дiрiхле на висячих вершинах.
Зауваження 5.3. Розв’язок системи (28), (29) єдиний у випадку s = 9 i \gamma 1\gamma 2\gamma 3 =
2
27
. У
цьому випадку асимптотика (25) – (27) однозначно визначає форму графа, а кожна внутрiшня
вершина має один iнцидентний лист. Якщо ж s = 10 i \gamma 1\gamma 2\gamma 3 =
1
18
, то розв’язок системи (28),
(29) не єдиний, але цi розв’язки приводять до iзоморфних графiв. Таким чином, у цьому
випадку також асимптотика спектра однозначно визначає форму графа. Однак у випадку з
s = 14 i \gamma 1\gamma 2\gamma 3 =
1
36
система (28), (29) має розв’язки m1 = m2 = 3, m3 = 8 i m1 = m2 = 6,
m3 = 2, якi вiдповiдають неiзоморфним графам, зображеним на рис. 10.
Вячеслав Пивоварчик вдячний Мiнiстерству освiти i науки України за пiдтримку в роботi
за темою „Штучнi матерiали як основа створення новiтнiх бiосенсорiв”.
Лiтература
1. R. Band, O. Parzanchevski, G. Ben-Shach, The isospectral fruits of representation theory: quantum graphs and
drums, J. Phys. A: Math. and Theor., 42, Article 175202 (2009); DOI:10.1088/1751-8113/42/17/175202.
2. J. Boman, P. Kurasov, R. Suhr, Schrödinger operators on graphs and geometry II. Spectral estimates for L1 -potentials
and are Ambartsumian theorem, Integral Equat. and Oper. Theory, 90, № 3 (2018); https://doi.org/10.107/s00020-
0182467-1.
3. R. Carlson, V. Pivovarchik, Spectral asymptotics for quantum graphs with equal edge lengths, J. Phys. A: Math. and
Theor., 41, Article 145202 (2008).
4. C. Cattaneo, The spectrum of the continuous Laplacian on a graph, Monatsh. Math., 124, № 3, 215 – 235 (1997).
5. A. Chernyshenko, V. Pivovarchik, Recovering the shape of a quantum graph, Integral Equat. and Oper. Theory, 92,
Article 23 (2020).
6. A. Chernyshenko, V. Pivovarchik, Cospectral quantum graphs; arXiv:2112.14235 [math-ph] 23 Mar 22.
7. L. Collatz, U. Sinogowitz, Spektren endlicher Grafen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 21, 63 – 77 (1957).
8. D. M. Cvetkovic’, M. Doob, H. Sachs, Spectra of graphs — theory and applications, Acad. Press, New York (1980).
9. P. Exner, A duality between Schrödinger operators on graphs and certain Jacobi matrices, Ann. Inst. H. Poincaré,
Sec. A, 66, 359 – 371 (1997).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
396 ВЯЧЕСЛАВ ПИВОВАРЧИК, АНАСТАСIЯ ЧЕРНИШЕНКО
10. Fan R. K. Chung, Spectral graph theory, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1997).
11. S. Butler, J. Grout, A construction of cospectral graphs for the normalized Laplacian, Electronic J. Combin., 18,
№ 1, 1 – 20 (2011).
12. B. Gutkin, U. Smilansky, Can one hear the shape of a graph?, J. Phys. A: Math. and Gen., 34, 6061 – 6068 (2001).
13. P. Kurasov, S. Naboko, Rayleigh estimates for differential operators on graphs, J. Spectr. Theory, 4, № 2, 211 – 219
(2014).
14. V. A. Marchenko, Sturm – Liouville operators and applications, revised edition, AMS Chelsea Publ., Providence, RI
(2011).
15. M. Möller, V. Pivovarchik, Direct and inverse finite-dimensional spectral problems on graphs, Oper. Theory: Adv.
and Appl., 283, Birkhäuser/Springer (2020); https://www.springer.com/gp/book/9783030604837.
16. O. Parzanchevski, R. Band, Linear representations and isospectrality with boundary conditions, J. Geom. Anal., 20,
439 – 471 (2010); DOI 10.1007/s12220-009-9115-6.
17. Yu. Pokorny, O. Penkin, V. Pryadiev, A. Borovskih, K. Lazarev, S. Shabrov, Differential equations on geometric
graphs (in Russian), Fizmatlit, Moscow (2005).
18. J. von Below, Can one hear the shape of a network, Partial Differential Equations on Multistructures, Lect. Notes
Pure and Appl. Math., 219, 19 – 36 (2001).
Одержано 19.10.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7351 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:23Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c3/f1d9370508115c48a4e4de7566c69ac3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73512023-04-15T15:10:33Z Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices Коспектральні квантові графи за умов Діріхле на висячих вершинах Pivovarchik, V. Chernyshenko, A. Пивоварчик, Вячеслав Чернишенко, Анастасiя Коспектральні спектр граф дерево власне значення рівняння Штурма-Ліувілля асимптотика Cospectral spectrum graph tree eigenvalue Sturm-Liouville equation asymptotics UDC 517.9 We consider spectral problems generated by the Sturm–Liouville equation on connected simple equilateral graphs with Neumann and Dirichlet boundary conditions at the pendant vertices and the conditions of continuity and Kirchhoff's conditions at the inner vertices.&nbsp;&nbsp;We describe the cases where the first and the second terms of the asymptotics of&nbsp; eigenvalues uniquely determine the shape either of the graph or of its interior subgraph. УДК 517.9 Розглянуто спектральні задачі, породжені рівнянням Штурма–Ліувілля на зв'язних простих рівнобічних графах з умовами Неймана та Діріхле на висячих вершинах та умовами неперервності і умовами Кірхгофа на внутрішніх вершинах. Описано випадки, коли перший і другий члени асимптотики власних значень однозначно визначають форму графа або його внутрішнього підграфа.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-04-11 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7351 10.37863/umzh.v75i3.7351 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 3 (2023); 382 - 396 Український математичний журнал; Том 75 № 3 (2023); 382 - 396 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7351/9378 Copyright (c) 2023 Вячеслав Миколайович Пивоварчик |
| spellingShingle | Pivovarchik, V. Chernyshenko, A. Пивоварчик, Вячеслав Чернишенко, Анастасiя Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title | Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title_alt | Коспектральні квантові графи за умов Діріхле на висячих вершинах |
| title_full | Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title_fullStr | Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title_full_unstemmed | Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title_short | Cospectral quantum graphs in the case of Dirichlet conditions at pendant vertices |
| title_sort | cospectral quantum graphs in the case of dirichlet conditions at pendant vertices |
| topic_facet | Коспектральні спектр граф дерево власне значення рівняння Штурма-Ліувілля асимптотика Cospectral spectrum graph tree eigenvalue Sturm-Liouville equation asymptotics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7351 |
| work_keys_str_mv | AT pivovarchikv cospectralquantumgraphsinthecaseofdirichletconditionsatpendantvertices AT chernyshenkoa cospectralquantumgraphsinthecaseofdirichletconditionsatpendantvertices AT pivovarčikvâčeslav cospectralquantumgraphsinthecaseofdirichletconditionsatpendantvertices AT černišenkoanastasiâ cospectralquantumgraphsinthecaseofdirichletconditionsatpendantvertices AT pivovarchikv kospektralʹníkvantovígrafizaumovdíríhlenavisâčihveršinah AT chernyshenkoa kospektralʹníkvantovígrafizaumovdíríhlenavisâčihveršinah AT pivovarčikvâčeslav kospektralʹníkvantovígrafizaumovdíríhlenavisâčihveršinah AT černišenkoanastasiâ kospektralʹníkvantovígrafizaumovdíríhlenavisâčihveršinah |