Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative
UDC 517.9 We establish constructive necessary and sufficient conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions to a nonautonomous nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative. &am...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7362 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512665322913792 |
|---|---|
| author | Chuiko , S. Nesmelova, O. Чуйко, Сергій Нєсмєлова, Ольга |
| author_facet | Chuiko , S. Nesmelova, O. Чуйко, Сергій Нєсмєлова, Ольга |
| author_sort | Chuiko , S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:48Z |
| description |
UDC 517.9
We establish constructive necessary and sufficient conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions to a nonautonomous nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative.  The urgency of studying nonautonomous boundary-value problems, unsolved with respect to the derivative is explained by the fact that the investigation of traditional problems resolved with respect to the derivative is sometimes complicated, e.g., in the case of nonlinearities that are not integrable in elementary functions.  We consider the critical case in which the equation for generating amplitudes of a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation does not turn into the identity.  The least-squares method is used to find constructive conditions for the solvability and obtain convergent iterative schemes for constructing approximate solutions to a nonautonomous nonlinear boundary-value problem unsolved with respect to the derivative. As an example of application of the proposed iterative scheme, we find approximations to the solutions of periodic boundary-value problems unsolved with respect to the derivative for the case of periodic problem for the equation used to describer the motion of a satellite on the elliptic orbit.  We obtain an estimate for the range of values of a small parameter for which the iterative procedure of construction of the solutions to a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative is convergent.  To check the accuracy of the presented approximations, we evaluate the discrepancies in the equation used to model the motion of satellites along the elliptic orbit. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i10.7362 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i10.7362
УДК 517.9
Сергiй Чуйко1, Ольга Нєсмєлова (Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ
Донецької обл.; Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Слов’янськ Донецької обл.)
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ,
НЕ РОЗВ’ЯЗАНОГО ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ
We establish constructive necessary and sufficient conditions for the solvability and propose a scheme for the construction
of solutions to a nonautonomous nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with
respect to the derivative. The urgency of studying nonautonomous boundary-value problems, unsolved with respect to the
derivative is explained by the fact that the investigation of traditional problems resolved with respect to the derivative is
sometimes complicated, e.g., in the case of nonlinearities that are not integrable in elementary functions. We consider the
critical case in which the equation for generating amplitudes of a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for
a Rayleigh-type equation does not turn into the identity. The least-squares method is used to find constructive conditions
for the solvability and obtain convergent iterative schemes for constructing approximate solutions to a nonautonomous
nonlinear boundary-value problem unsolved with respect to the derivative. As an example of application of the proposed
iterative scheme, we find approximations to the solutions of periodic boundary-value problems unsolved with respect to
the derivative for the case of periodic problem for the equation used to describer the motion of a satellite on the elliptic
orbit. We obtain an estimate for the range of values of a small parameter for which the iterative procedure of construction
of the solutions to a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect
to the derivative is convergent. To check the accuracy of the presented approximations, we evaluate the discrepancies in
the equation used to model the motion of satellites along the elliptic orbit.
Знайдено конструктивнi необхiднi та достатнi умови розв’язностi i схему побудови розв’язкiв неавтономної не-
лiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно похiдної. Актуальнiсть
дослiдження неавтономних крайових задач, не розв’язаних вiдносно похiдної, пов’язана з тим, що вивчення тради-
цiйних задач, розв’язаних вiдносно похiдної, iнодi ускладнюється, наприклад у випадку отримання нелiнiйностей,
не iнтегровних в елементарних функцiях. У статтi розглянуто критичний випадок, коли рiвняння для породжуючих
амплiтуд слабконелiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея не перетворюється на тотожнiсть.
Для знаходження конструктивних умов розв’язностi та збiжних iтерацiйних схем побудови наближених розв’язкiв
неавтономної нелiнiйної крайової задачi, не розв’язаної вiдносно похiдної, використано метод найменших квадра-
тiв. Як приклад застосування запропонованої iтерацiйної схеми знайдено наближення до розв’язкiв перiодичних
крайових задач, не розв’язаних вiдносно похiдної, у випадку перiодичної задачi для рiвняння, яке моделює рух
супутника на елiптичнiй орбiтi. Знайдено оцiнку промiжку значень малого параметра, для якого збiжнiсть iтера-
цiйної процедури для побудови розв’язкiв слабконелiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея,
не розв’язаного вiдносно похiдної, є збiжною. Для перевiрки точностi знайдених наближень оцiнено нев’язки у
рiвняннi, яке моделює рух супутника на елiптичнiй орбiтi.
1. Постановка задачi. Будемо дослiджувати задачу про побудову розв’язкiв T -перiодичної
задачi для рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно старшої похiдної [1, c. 177],
y\prime \prime = f(t) + \varepsilon Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ). (1)
Тут Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ) — нелiнiйна скалярна функцiя, двiчi неперервно диференцiйовна за невiдо-
мою y та її похiдною y\prime , а також y\prime \prime в малому околi розв’язку породжуючої задачi, неперервна
по t на вiдрiзку [a, b] та неперервно диференцiйовна за малим параметром \varepsilon на вiдрiзку [0, \varepsilon 0].
Поставлену задачу було дослiджено у статтях [2, 3]. Актуальнiсть вивчення перiодичної задачi
для рiвняння типу Релея (1), не розв’язаного вiдносно старшої похiдної, пов’язана з тим фактом,
що дослiдження традицiйної задачi [4], розв’язаної вiдносно похiдної, буває, ускладнюється,
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: chujko-slav@ukr.net.
c\bigcirc СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10 1429
1430 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
наприклад у випадку нелiнiйностей, не iнтегровних в елементарних функцiях. Приклад подiб-
ної ситуацiї наведено у статтях [2, 5]. Крiм того, прикладами подiбної ситуацiї можуть бути
автономна крайова задача, не розв’язана вiдносно похiдної, зокрема перiодична задача для рiв-
няння Лотки – Вольтерра [6], i перiодична задача для рiвняння, яке визначає рух супутника на
елiптичнiй орбiтi [2, 5, 7, 8].
У статтi [3], використовуючи метод Ньютона – Канторовича [9, 10], знайдено наближення
до розв’язкiв перiодичних крайових задач для рiвнянь типу Релея (1), не розв’язаних вiдносно
похiдної. У випадку перiодичної задачi для рiвняння, яке визначає рух супутника на елiптич-
нiй орбiтi, метод Ньютона – Канторовича спричиняв неабиякi труднощi, тому метою даної
статтi є побудова розв’язкiв нелiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея,
не розв’язаного вiдносно похiдної, на основi методу найменших квадратiв [11, 12].
2. Побудова iтерацiйної схеми. Породжуюча T -перiодична задача для рiвняння типу Релея
(1), не розв’язаного вiдносно старшої похiдної,
y\prime \prime 0 = f(t), y0(0) - y0(T ) = 0, y\prime 0(0) - y\prime 0(T ) = 0
є критичною [4]. Припустимо, що породжуюча T -перiодична задача розв’язна. Для цього не-
обхiдно i достатньо виконання умови
T\int
0
f(t) dt = 0.
Якщо ця вимога виконується, розв’язок породжуючої задачi має вигляд
y0(t, c0) = c0 + g[f(s)](t), c0 \in \BbbR 1,
де [3]
g[f(s)](t) := k[f(s)](t) - t
T
T\int
0
(T - s)f(s) ds
— оператор Грiна породжуючої T -перiодичної задачi, а
k[f(s)](t) :=
t\int
0
(t - s)f(s) ds
— оператор Грiна задачi Кошi. Перiодичнi розв’язки рiвняння типу Релея
y(t, \varepsilon ) = y0(t, c0) + x(t, \varepsilon )
шукатимемо в околi розв’язку y0(t, c0) лiнiйної частини цього рiвняння. Для знаходження
збурення x(t, \varepsilon ) \in \BbbC 2[0;T ] отримуємо T -перiодичну задачу для рiвняння
x\prime \prime (t, \varepsilon ) = \varepsilon Y (y0(t, c0) + x(t, \varepsilon ), y\prime 0(t, c0) + x\prime (t, \varepsilon ), y\prime \prime 0(t, c0) + x\prime \prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon ), (2)
розв’язну тодi й лише тодi, коли
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ . . . 1431
T\int
0
Y (y(t, \varepsilon ), y\prime (t, \varepsilon ), y\prime \prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon ) dt = 0. (3)
Припустимо, що рiвняння для породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної задачi для
рiвняння типу Релея
F (c0) :=
T\int
0
Y (y0(t, c0), y
\prime
0(t, c0), y
\prime \prime
0(t, c0), t, 0) dt = 0
має простий B0 := F \prime (c\ast 0) \not = 0 дiйсний корiнь c\ast 0 \in \BbbR 1. За цих умов рiвняння типу Релея (1)
має єдиний перiодичний розв’язок [3]. Для знаходження цього розв’язку можна скористатися
методом Ляпунова – Пуанкаре [13], але бiльш ефективним є використання методу найменших
квадратiв [11, 12]. У малому околi породжуючого розв’язку y0(t, c
\ast
0) має мiсце розвинення
Y (y0(t, c
\ast
0) + x(t, \varepsilon ), y\prime 0(t, c
\ast
0) + x\prime (t, \varepsilon ), y\prime \prime 0(t, c
\ast
0) + x\prime \prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
= Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) + \varepsilon A0(t) +A1(t)x(t, \varepsilon ) +A2(t)x
\prime (t, \varepsilon )
+A3(t)x
\prime \prime (t, \varepsilon ) +R1(y0(t, c
\ast
0) + x(t, \varepsilon ), y\prime 0(t, c
\ast
0) + x\prime (t, \varepsilon ), y\prime \prime 0(t, c
\ast
0) + x\prime \prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon ),
де
A0(t) := Y \prime
\varepsilon (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), 0),
A1(t) := Y \prime
y(y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), 0),
A2(t) := Y \prime
y\prime (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), 0),
A3(t) := Y \prime
y\prime \prime (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), 0).
Нехай
\varphi (1)(t), \varphi (2)(t), . . . , \varphi (k)(t), . . . , k \in \BbbN ,
— система лiнiйно незалежних T -перiодичних неперервно диференцiйовних скалярних функ-
цiй. Позначимо (1\times p1)-вимiрну матрицю
\varphi 1(t) =
\bigl[
\varphi (1)(t) \varphi (2)(t) . . . \varphi (p1)(t)
\bigr]
, p1 \in \BbbN .
Перше наближення до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2)
x1(t, \varepsilon ) := \xi 1(t, \varepsilon ) := \varphi 1(t) \gamma 1(\varepsilon ), \gamma 1(\varepsilon ) \in \BbbR p1 ,
шукатимемо, як розв’язок T -перiодичної задачi для рiвняння
x\prime \prime 1(t, \varepsilon ) = \varepsilon
\Bigl[
Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) + \varepsilon A0(t)
+A1(t)x1(t, \varepsilon ) +A2(t)x
\prime
1(t, \varepsilon ) +A3(t)x
\prime \prime
1(t, \varepsilon )
\Bigr]
. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1432 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
Взагалi кажучи, перше наближення
\xi 1(t, \varepsilon ) = \varphi 1(t)\gamma 1(\varepsilon ), \gamma 1(\varepsilon ) =
\bigl[
\gamma
(1)
1 (\varepsilon ) \gamma
(2)
1 (\varepsilon ) . . . \gamma
(p1)
1 (\varepsilon )
\bigr] \ast
,
не є розв’язком T -перiодичної задачi для рiвняння (4), тому вимагатимемо, щоб
F (\gamma 1(\varepsilon )) :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl[ 1 - \varepsilon A2(t)
\bigr]
\xi \prime 1(t, \varepsilon ) -
\bigl[
A(t) + \varepsilon A1(t)
\bigr]
\xi 1(t, \varepsilon )
- \varepsilon A3(t) \xi
\prime \prime
1 (t, \varepsilon ) - \varepsilon Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) - \varepsilon 2A0(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\BbbL 2[0,T ]
\rightarrow \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
для фiксованої матрицi \varphi 1(t). Необхiдна умова мiнiмiзацiї функцiї F (\gamma 1(\varepsilon )) приводить до
рiвняння
\Gamma
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr)
\gamma 1(\varepsilon ) = \varepsilon
T\int
0
\Phi \ast
1(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) + \varepsilon A3(t)
\bigr)
dt,
однозначно розв’язного вiдносно вектора \gamma 1(\varepsilon ) за умови невиродженостi (p1 \times p1)-матрицi
Грама [11, 12]
\Gamma
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr)
=
T\int
0
\Phi \ast
1(t, \varepsilon ) \cdot \Phi 1(t, \varepsilon ) dt,
де
\Phi 1(t, \varepsilon ) :=
\bigl[
1 - \varepsilon A3(t)
\bigr]
\varphi \prime \prime
1(t) - \varepsilon
\bigl[
A1(t)\varphi 1(t) +A2(t)\varphi
\prime
1(t)
\bigr]
.
Таким чином, за умови
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr)
\not = 0, 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0 (5)
знаходимо вектор
\gamma 1(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
1(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) + \varepsilon A3(t)
\bigr)
dt,
який однозначно визначає перше наближення
x1(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) \approx \varphi 1(t)\gamma 1(\varepsilon )
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) i, вiдповiдно, перше наближення
z1(t, \varepsilon ) = z0(t, c
\ast
0) + x1(t, \varepsilon )
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (1), найкраще у сенсi найменших квадратiв.
Умова (5) є необхiдною умовою мiнiмiзацiї величини нев’язки F (\gamma 1(\varepsilon )); достатню умову мiнi-
мiзацiї величини нев’язки F (\gamma 1(\varepsilon )) забезпечує додатна визначенiсть матрицi Грама \Gamma (\varphi 1(\cdot )). У
свою чергу, додатну визначенiсть суми матрицi Грама \Gamma (\varphi 1(\cdot )) забезпечує виконання критерiю
Сильвестра, а саме, додатнiсть визначникiв усiх квадратних дiагональних мiнорiв останньої
матрицi [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ . . . 1433
Позначимо (1\times p2)-вимiрну матрицю
\varphi 2(t) =
\bigl[
\varphi (1)(t) \varphi (2)(t) . . . \varphi (p2)(t)
\bigr]
, p2 \in \BbbN .
Друге наближення до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) шукатимемо у виглядi
x2(t, \varepsilon ) := \xi 1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), \xi 2(t, \varepsilon ) := \varphi 2(t) \gamma 2(\varepsilon ).
У малому околi першого наближення y1(t, \varepsilon ) до розв’язку крайової задачi T -перiодичної задачi
для рiвняння (2) має мiсце розвинення
Y (y1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ) + \xi \prime 2(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ) + \xi \prime \prime 2 (t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
= Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0) + \varepsilon \scrA (1)
0 (t) +\scrA (1)
1 (t)\xi 2(t, \varepsilon ) +\scrA (1)
2 (t)\xi \prime 2(t, \varepsilon )
+\scrA (1)
3 (t)\xi \prime \prime 2 (t, \varepsilon ) +R1(y1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ) + \xi \prime 2(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ) + \xi \prime \prime 2 (t, \varepsilon ), t, \varepsilon ),
де
\scrA (1)
0 (t) := Y \prime
\varepsilon (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (1)
1 (t) := Y \prime
y(y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (1)
2 (t) := Y \prime
y\prime (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (1)
3 (t) := Y \prime
y\prime \prime (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), 0).
Друге наближення до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) x2(t, \varepsilon ) шукатимемо, як
розв’язок T -перiодичної задачi для рiвняння
x\prime \prime 2(t, \varepsilon ) = \varepsilon
\bigl[
Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0) + \varepsilon \scrA (1)
0 (t)
+\scrA (1)
1 (t)\xi 2(t, \varepsilon ) +\scrA (1)
2 (t)\xi \prime 2(t, \varepsilon ) +\scrA (1)
3 (t)\xi \prime \prime 2 (t, \varepsilon )
\bigr]
. (6)
Вимагатимемо, щоб
F (\gamma 2(\varepsilon )) :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0) + \varepsilon \scrA (1)
0 (t) +\scrA (1)
1 (t)\xi 2(t, \varepsilon )
+\scrA (1)
2 (t)\xi \prime 2(t, \varepsilon ) +\scrA (1)
3 (t)\xi \prime \prime 2 (t, \varepsilon ) - Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0)
- A1(t)\xi 1(t, \varepsilon ) - A2(t)\xi
\prime
1(t, \varepsilon ) - A3(t)\xi
\prime \prime
1 (t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\BbbL 2[0,T ]
\rightarrow \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
для фiксованої матрицi \varphi 2(t). Необхiдна умова мiнiмiзацiї функцiї F (\gamma 2(\varepsilon )) приводить до
рiвняння
\Gamma
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr)
\gamma 2(\varepsilon ) = \varepsilon
T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0
\bigr)
- Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1434 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
- A1(t)\xi 1(t, \varepsilon ) - A2(t)\xi
\prime
1(t, \varepsilon ) - A3(t)\xi
\prime \prime
1 (t, \varepsilon )
\bigr)
dt,
однозначно розв’язного вiдносно вектора \gamma 2(\varepsilon ) за умови невиродженостi (p2 \times p2)-матрицi
Грама [11, 12]
\Gamma
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr)
=
T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon ) \cdot \Phi 2(t, \varepsilon ) dt,
де
\Phi 2(t, \varepsilon ) :=
\bigl[
1 - \varepsilon \scrA (1)
3 (t)
\bigr]
\varphi \prime \prime
2(t) - \varepsilon
\bigl[
\scrA (1)
1 (t)\varphi 2(t) +\scrA (1)
2 (t)\varphi \prime
2(t)
\bigr]
.
Таким чином, за умови
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr)
\not = 0, 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0 (7)
знаходимо вектор
\gamma 2(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0)
- Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) - A1(t)\xi 1(t, \varepsilon ) - A2(t)\xi
\prime
1(t, \varepsilon ) - A3(t)\xi
\prime \prime
1 (t, \varepsilon )
\bigr)
dt,
який однозначно визначає друге наближення
x2(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), \xi 2(t, \varepsilon ) \approx \varphi 2(t)\gamma 2(\varepsilon ),
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) i, вiдповiдно, друге наближення
y2(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + x2(t, \varepsilon )
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (1), найкраще у сенсi найменших квадратiв.
Умова (7) є необхiдною умовою мiнiмiзацiї величини нев’язки F (\gamma 2(\varepsilon )); достатню умову мiнi-
мiзацiї величини нев’язки F (\gamma 2(\varepsilon )) забезпечує додатна визначенiсть матрицi Грама \Gamma (\varphi 2(\cdot )). У
свою чергу, додатну визначенiсть суми матрицi Грама \Gamma (\varphi 2(\cdot )) забезпечує виконання критерiю
Сильвестра, а саме, додатнiсть визначникiв усiх квадратних дiагональних мiнорiв останньої
матрицi [14]. Позначимо (1\times pk+1)-вимiрну матрицю
\varphi k+1(t) =
\bigl[
\varphi (1)(t) \varphi (2)(t) . . . \varphi (pk+1)(t)
\bigr]
, pk+1 \in \BbbN .
Припустимо далi, що знайдено (k + 1)-ше наближення
xk+1(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + . . . + \xi k+1(t, \varepsilon ), \xi k+1(t, \varepsilon ) \approx \varphi k+1(t)\gamma k+1(\varepsilon ), k = 1, 2, . . . ,
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) i, вiдповiдно, (k + 1)-ше наближення
yk+1(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + xk+1(t, \varepsilon )
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (1), найкраще у сенсi найменших квадратiв.
Наступне, (k + 2)-е, наближення до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) шукаємо
у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ . . . 1435
xk+2(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + . . . + \xi k+2(t, \varepsilon ), \xi k+2(t, \varepsilon ) \approx \varphi k+2(t)\gamma k+2(\varepsilon ), k = 1, 2, . . . .
У малому околi наближення yk+1(t, \varepsilon ) до розв’язку крайової задачi T -перiодичної задачi для
рiвняння (2) має мiсце розвинення
Y (yk+1(t, \varepsilon ) + \xi k+2(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ) + \xi \prime k+2(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ) + \xi \prime \prime k+2(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
= Y (yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), t, 0) +\scrA (k+1)
1 (t)\xi k+2(t, \varepsilon )
+ \varepsilon \scrA (k+1)
0 (t) +\scrA (k+1)
2 (t)\xi \prime k+2(t, \varepsilon ) +\scrA (k+1)
3 (t)\xi \prime \prime k+2(t, \varepsilon )
+R1(yk+1(t, \varepsilon ) + \xi k+2(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ) + \xi \prime k+2(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ) + \xi \prime \prime k+2(t, \varepsilon ), t, \varepsilon ),
де
\scrA (k+1)
0 (t) := Y \prime
\varepsilon (yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (k+1)
1 (t) := Y \prime
y(yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (k+1)
2 (t) := Y \prime
y\prime (yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), 0),
\scrA (k+1)
3 (t) := Y \prime
y\prime \prime (yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), 0).
За умови
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma
\bigl(
\varphi k+2(\cdot )
\bigr)
\not = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0 (8)
знаходимо вектор
\gamma k+2(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi k+2(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (yk+1(, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), t, 0)
- Y (yk(t, c
\ast
0), y
\prime
k(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
k(t, c
\ast
0), t, 0) - \scrA (k+1)
1 (t)\xi k+1(t, \varepsilon )
- \scrA (k+1)
2 (t)\xi \prime k+1(t, \varepsilon ) - \scrA (k+1)
3 (t)\xi \prime \prime k+1(t, \varepsilon )
\bigr)
dt,
який однозначно визначає наближення
xk+2(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + . . . + \xi k+2(t, \varepsilon ), \xi k+2(t, \varepsilon ) \approx \varphi k+2(t)\gamma k+2(\varepsilon ),
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (2) i, вiдповiдно, наближення
yk+2(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + xk+2(t, \varepsilon )
до розв’язку T -перiодичної задачi для рiвняння (1), найкраще у сенсi найменших квадратiв.
Отже, доведено таке твердження.
Теорема 1. Для T -перiодичної задачi для рiвняння (1), не розв’язаного вiдносно похiдної,
має мiсце критичний (PQ\ast \not = 0) випадок. Припустимо, що при цьому виконується умова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1436 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
T\int
0
f(t) dt = 0
розв’язностi породжуючої задачi. Припустимо також, що рiвняння для породжуючих ам-
плiтуд F (c0) не перетворюється на тотожнiсть i має дiйснi розв’язки. Тодi для кожного
кореня c\ast 0 \in \BbbR рiвняння для породжуючих амплiтуд T -перiодична задача для рiвняння (1), не
розв’язаного вiдносно похiдної, має принаймнi один розв’язок
y(t, \varepsilon ) : y(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC 2[0, T ], y(t, \cdot ) \in \BbbC [0, \varepsilon 0],
який при \varepsilon = 0 перетворюється на породжуючий
y0(t, c
\ast
0) = c\ast 0 +G[f(s);\alpha ](t).
За умови (8), у випадку додатної визначеностi матрицi Грама \Gamma (\varphi k+2(\cdot )), найкращий у сенсi
найменших квадратiв розв’язок T -перiодичної задачi для рiвняння (1), не розв’язаного вiдносно
похiдної, можна визначити за допомогою збiжного для 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0 iтерацiйного процесу
y1(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + x1(t, \varepsilon ), x1(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) \approx \varphi 1(t)\gamma 1(\varepsilon ),
\gamma 1(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
1(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) + \varepsilon A3(t)
\bigr)
dt,
y2(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + x2(t, \varepsilon ), x2(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), \xi 2(t, \varepsilon ) \approx \varphi 2(t)\gamma 2(\varepsilon ),
\gamma 2(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (y1(t, \varepsilon ), y
\prime
1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
1(t, \varepsilon ), t, 0)
- Y (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0) - A1(t)\xi 1(t, \varepsilon )
- A2(t)\xi
\prime
1(t, \varepsilon ) - A3(t)\xi
\prime \prime
1 (t, \varepsilon )
\bigr)
dt, . . . , (9)
xk+1(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) + . . . + \xi k+1(t, \varepsilon ), \xi k+1(t, \varepsilon ) \approx \varphi k+1(t)\gamma k+1(\varepsilon ),
\gamma k+2(\varepsilon ) = \varepsilon \Gamma - 1
\bigl(
\varphi k+2(\cdot )
\bigr) T\int
0
\Phi \ast
2(t, \varepsilon )
\bigl(
Y (yk+1(t, \varepsilon ), y
\prime
k+1(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k+1(t, \varepsilon ), t, 0)
- Y (yk(t, c
\ast
0), y
\prime
k(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
k(t, c
\ast
0), t, 0) - \scrA (k+1)
1 (t)\xi k+1(t, \varepsilon )
- \scrA (k+1)
2 (t)\xi \prime k+1(t, \varepsilon ) - \scrA (k+1)
3 (t)\xi \prime \prime k+1(t, \varepsilon )
\bigr)
dt, k = 1, 2, . . . .
Застосуємо знайденi умови розв’язностi T -перiодичної крайової задачi для рiвняння типу
Релея (1), не розв’язаного вiдносно похiдної, до 2\pi -перiодичної крайової задачi для рiвняння,
яке визначає рух супутника [2, 5, 7, 8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ . . . 1437
Приклад. Умови доведеної теореми справджуються у випадку 2\pi -перiодичної крайової
задачi для рiвняння, яке визначає рух супутника на елiптичнiй орбiтi
y\prime \prime = \varepsilon Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ), (10)
де, зокрема,
Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ) := 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + 2 y\prime \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - y\prime \prime \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t.
Рiвняння породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної крайової задачi для рiвняння
типу Релея (1), не розв’язаного вiдносно похiдної, має простий B0 = - 2\pi \not = 0 дiйсний корiнь
c\ast 0 = 0. Перiодичнi розв’язки рiвняння типу Релея (10), не розв’язаного вiдносно похiдної,
y(t, \varepsilon ) = y0(t, c0) + x(t, \varepsilon )
будемо шукати в околi перiодичного розв’язку y0(t, c0) \equiv 0 лiнiйної частини цього рiвняння.
Покладемо
\varphi 1(t) :=
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 3t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 4t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 5t
\bigr)
.
Умова (5)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma
\bigl(
\varphi 1(\cdot )
\bigr)
=
1
4
\bigl(
829 440 000\pi 5 - 2 427 955 200\pi 5\varepsilon
+ 2 068 592 704\pi 5\varepsilon 2 + 151 406 560\pi 5\varepsilon 3 - 742 340 524\pi 5\varepsilon 4 - 243 840 944\pi 5\varepsilon 5
+ 669 206 101\pi 5\varepsilon 6 - 511 022 908\pi 5\varepsilon 7 + 446 869 246\pi 5\varepsilon 8 - 415 637 060\pi 5\varepsilon 9
+ 532 492 025\pi 5\varepsilon 10
\bigr)
\not = 0
при цьому виконується, до того ж матриця Грама \Gamma (\varphi 1(\cdot )) додатно визначена при 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \approx
0, 66. Таким чином, однозначно знаходимо вектор
\gamma 1(\varepsilon ) \approx
\left(
- 4\varepsilon - 4\varepsilon 2 - 4\varepsilon 3 - 4\varepsilon 4 - 4\varepsilon 5
3\varepsilon 2
2
+
15\varepsilon 3
8
+
71\varepsilon 4
32
+
2759\varepsilon 5
1152
- 2\varepsilon 3
3
- 49\varepsilon 4
54
- 2383\varepsilon 5
1944
5\varepsilon 4
16
+
1025\varepsilon 5
2304
- 3\varepsilon 5
20
\right)
,
який визначає перше наближення
y1(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + x1(t, \varepsilon ), x1(t, \varepsilon ) = \xi 1(t, \varepsilon ) \approx \varphi 1(t)\gamma 1(\varepsilon ),
до розв’язку перiодичної задачi для рiвняння типу Релея (10). Покладемо
\varphi 2(t) :=
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 3t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 4t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 5t
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1438 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
Умова (7)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma
\bigl(
\varphi 2(\cdot )
\bigr)
= 207 360 000\pi 5 - 606 988 800\pi 5\varepsilon + 517 148 176\pi 5\varepsilon 2
+ 3 295 246 840\pi 5\varepsilon 3 - 584 300 139\pi 5\varepsilon 4 - 3 840 360 428\pi 5\varepsilon 5 + . . . \not = 0
при цьому виконується, до того ж матриця Грама \Gamma (\varphi 2(\cdot )) додатно визначена при 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \approx
0, 66. Таким чином, однозначно знаходимо вектор
\gamma 2(\varepsilon ) \approx
\left(
8\varepsilon 4 + 32\varepsilon 5 +
907\varepsilon 6
12
- 79\varepsilon 5
18
- 5711\varepsilon 6
324
- 8\varepsilon 4
27
- 224\varepsilon 5
243
+
11249\varepsilon 6
17496
47\varepsilon 5
144
+
22019\varepsilon 6
20736
- 829\varepsilon 6
3000
\right)
,
який визначає друге наближення
y2(t, \varepsilon ) = y1(t, \varepsilon ) + \xi 2(t, \varepsilon ), \xi 2(t, \varepsilon ) \approx \varphi 2(t)\gamma 2(\varepsilon ),
до розв’язку перiодичної задачi для рiвняння типу Релея (10). Точнiсть наближень до розв’язку
перiодичної задачi для рiвняння типу Релея (10), не розв’язного вiдносно старшої похiдної,
знайдених за допомогою iтерацiйної схеми (9), характеризують нев’язки
\Delta k(\varepsilon ) :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\prime \prime k(t, \varepsilon ) - \varepsilon Y (yk(t, \varepsilon ), y
\prime
k(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\BbbC [0;2\pi ], k = 1, 2.
Зокрема,
\Delta 0(0, 1) \approx 0, 4, \Delta 1(0, 1) \approx 0, 00 145 229, \Delta 2(0, 1) \approx 0, 0000 382 059,
а також
\Delta 0(0, 01) \approx 0, 04, \Delta 1(0, 01) \approx 1, 09 929\times 10 - 7, \Delta 2(0, 01) \approx 3, 82 059\times 10 - 11.
Порiвняємо знайденi нульове i першi два наближення до перiодичного розв’язку рiвняння
типу Релея (10) з нульовим y0n(t, c
\ast
0) = y0(t, c
\ast
0) = 0 та першими двома наближеннями до
перiодичного розв’язку рiвняння типу Релея (10), знайденими за допомогою методу Ньютона –
Канторовича у статтi [3],
\delta kn(\varepsilon ) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\prime \prime kn(t, \varepsilon ) - \varepsilon Y (ykn(t, \varepsilon ), y
\prime
kn(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
kn(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\BbbC [0;2\pi ], k = 1, 2.
Зокрема,
\Delta 0n(0, 1) \approx 0, 4, \Delta 1n(0, 1) \approx 0, 000892 783, \Delta 2n(0, 1) \approx 0, 0149 468,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПЕРIОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ ТИПУ РЕЛЕЯ . . . 1439
а також
\Delta 0n(0, 01) \approx 0, 04, \Delta 1n(0, 01) \approx 0, 000 897 698, \Delta 2n(0, 01) \approx 0, 0000 152 203.
Запропонована у статтi оцiнка довжини промiжку 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast , на якому зберiгається додатна
визначенiсть матриць Грама \Gamma (\varphi 1(\cdot )) i \Gamma (\varphi 2(\cdot )), суттєво вiдрiзняється вiд оцiнки довжини
промiжку, на якому зберiгається збiжнiсть вiдповiдної iтерацiйної схеми [15]. Запропонована
у статтi схема побудови розв’язкiв нелiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу
Релея, не розв’язаного вiдносно похiдної, може бути перенесена на нелiнiйнi матричнi крайовi
задачi [16], у тому числi iз запiзненням [17].
На вiдмiну вiд численних дослiджень рiзноманiтних крайових задач, не розв’язаних вiд-
носно похiдної [18 – 20], статтю присвячено побудовi розв’язкiв нелiнiйної крайової задачi для
рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно похiдної, а не отриманню умов розв’язностi
крайових задач, не розв’язаних вiдносно похiдної. Тому запропонована у статтi схема побудо-
ви розв’язкiв нелiнiйної перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея, не розв’язаного
вiдносно похiдної, продовжує нашi дослiдження перiодичної крайової задачi для рiвняння типу
Дюффiнга, не розв’язаного вiдносно похiдної [21], а також дослiдження, виконанi пiд керiвни-
цтвом академiка НАН України Анатолiя Михайловича Самойленка [3]. Вважаємо перспектив-
ним перенесення отриманих у статтi результатiв на нормально розв’язнi крайовi задачi, в тому
числi в абстрактних просторах [22, 23].
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям,
Факториал, Москва (1997).
2. Ю. Д. Шлапак, О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка, не разрешенных относи-
тельно старшей производной, Укр. мат. журн., 26, № 6, 850 – 854 (1974).
3. A. M. Samoilenko, S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova, Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to
the derivative, Ukr. Math. J., 72, № 8, 1280 – 1293 (2021).
4. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2nd ed.,
De Gruyter, Berlin, Boston (2016).
5. А. П. Торжевский, Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите,
Космические исслед., 2, № 5, 667 – 678 (1964).
6. S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova (Starkova), Autonomous Noether boundary-value problems not solved with respect
to the derivative, J. Math. Sci., 230, № 5, 799 – 803 (2018).
7. D. Nuсez, P. J. Torres, Stable odd solutions of some periodic equations modeling satellite motion, J. Math. Anal.,
279, № 2, 700 – 709 (2003).
8. A. Cabada, A. J. A. Cid, On a class of singular Sturm – Liouville periodic boundary value problems, Nonlinear Anal.
Real World Appl., 12, № 4, 2378 – 2384 (2011).
9. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
10. S. M. Chuiko, To the generalization of the Newton – Kantorovich theorem, Visnyk V. N. Karazin Kharkiv Nat. Univ.
Ser. Math., Appl. Math. and Mech., 85, № 1, 62 – 68 (2017).
11. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, Москва (1965).
12. S. M. Chuiko, On approximate solution of boundary value problems by the least square method, Nonlinear Oscillations,
11, № 4, 585 – 604 (2008).
13. И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва (1956).
14. G. T. Gilbert, Positive definite matrices and Sylvester’s criterion, Amer. Math. Monthly, 98, № 1, 44 – 46 (1991).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1440 СЕРГIЙ ЧУЙКО, ОЛЬГА НЄСМЄЛОВА
15. S. M. Chuiko, Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary value problem,
Nonlinear Oscillations, 9, № 3, 405 – 422 (2006).
16. S. Chuiko, Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation, Miskolc Math. Notes, 17,
№ 1, 139 – 150 (2016).
17. S. M. Chuiko, A. S. Chuiko, On the approximate solution of periodic boundary value problems with delay by the
least-squares method in the critical case, Nonlinear Oscillations, 14, № 3, P. 445 – 460 (2012).
18. Г. В. Демиденко, С. В. Успенский, Уравнения и системы, не разрешенные относительно производной, Научная
книга, Новосибирск (1998).
19. A. F. Filippov, Uniqueness of the solution of a system of differential equations unsolved for the derivatives, Different.
Equat., 41, № 1, 90 – 95 (2005).
20. A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskii, S. E. Zhukovskii, On the well-posedness of differential equations unsolved for
the derivative, Different. Equat., 47, № 11, 1541 – 1555 (2011).
21. С. М. Чуйко, О. В. Старкова, О. Е. Пирус, Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относи-
тельно производной, Динам. системы, 2(30), № 1-2, 169 – 186 (2012).
22. A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, Perturbation theory of operator equations in the Frechet and Hilbert spaces, Ukr.
Math. J., 67, № 6, 1327 – 1335 (2016).
23. О. А. Бойчук, О. А. Покутний, Нормально-розв’язнi крайовi задачi для операторно-диференцiальних рiвнянь,
Наук. думка, Київ (2022).
Одержано 31.10.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-7362 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:24Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/92/8e954f804968edd609a90a612d136d92.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73622024-06-19T00:34:48Z Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative Періодична задача для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної Chuiko , S. Nesmelova, O. Чуйко, Сергій Нєсмєлова, Ольга Periodic boundary-value problem an equation unsolved with respect to the derivative Rayleigh-type equation an equation of motion of a satellite in an elliptical orbit method of least squares Differential equations Періодична крайова задача рівняння, не розв'язане відносно похідної рівняння типу Релея рівняння руху супутника на еліптичній орбіті метод найменших квадратів Диференціальні рівняння UDC 517.9 We establish constructive necessary and sufficient conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions to a nonautonomous nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative.  The urgency of studying nonautonomous boundary-value problems, unsolved with respect to the derivative is explained by the fact that the investigation of traditional problems resolved with respect to the derivative is sometimes complicated, e.g., in the case of nonlinearities that are not integrable in elementary functions.  We consider the critical case in which the equation for generating amplitudes of a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation does not turn into the identity.  The least-squares method is used to find constructive conditions for the solvability and obtain convergent iterative schemes for constructing approximate solutions to a nonautonomous nonlinear boundary-value problem unsolved with respect to the derivative. As an example of application of the proposed iterative scheme, we find approximations to the solutions of periodic boundary-value problems unsolved with respect to the derivative for the case of periodic problem for the equation used to describer the motion of a satellite on the elliptic orbit.  We obtain an estimate for the range of values of a small parameter for which the iterative procedure of construction of the solutions to a weakly nonlinear periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative is convergent.  To check the accuracy of the presented approximations, we evaluate the discrepancies in the equation used to model the motion of satellites along the elliptic orbit. УДК 517.9 Знайдено конструктивні необхідні та достатні умови розв'язності і схему побудови розв'язків неавтономної нелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної. Актуальність дослідження неавтономних крайових задач, не розв'язаних відносно похідної, пов'язана з тим, що вивчення традиційних задач, розв'язаних відносно похідної, іноді ускладнюється, наприклад у випадку отримання нелінійностей, не інтегровних в елементарних функціях. У статті розглянуто критичний випадок, коли рівняння для породжуючих амплітуд слабконелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея не перетворюється на тотожність. Для знаходження конструктивних умов розв'язності та збіжних ітераційних схем побудови наближених розв'язків неавтономної нелінійної крайової задачі, не розв'язаної відносно похідної, використано метод найменших квадратів. Як приклад застосування запропонованої ітераційної схеми знайдено наближення до розв'язків періодичних крайових задач, не розв'язаних відносно похідної, у випадку періодичної задачі для рівняння, яке моделює рух супутника на еліптичній орбіті. Знайдено оцінку проміжку значень малого параметра, для якого збіжність ітераційної процедури для побудови розв'язків слабконелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної, є збіжною. Для перевірки точності знайдених наближень оцінено нев'язки у рівнянні, яке моделює рух супутника на еліптичній орбіті.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-10-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7362 10.3842/umzh.v75i10.7362 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 10 (2023); 1429 - 1440 Український математичний журнал; Том 75 № 10 (2023); 1429 - 1440 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7362/9534 Copyright (c) 2023 Ольга Нєсмєлова, Сергій Чуйко |
| spellingShingle | Chuiko , S. Nesmelova, O. Чуйко, Сергій Нєсмєлова, Ольга Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title | Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title_alt | Періодична задача для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної |
| title_full | Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title_fullStr | Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title_full_unstemmed | Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title_short | Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| title_sort | periodic boundary-value problem for a rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative |
| topic_facet | Periodic boundary-value problem an equation unsolved with respect to the derivative Rayleigh-type equation an equation of motion of a satellite in an elliptical orbit method of least squares Differential equations Періодична крайова задача рівняння не розв'язане відносно похідної рівняння типу Релея рівняння руху супутника на еліптичній орбіті метод найменших квадратів Диференціальні рівняння |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7362 |
| work_keys_str_mv | AT chuikos periodicboundaryvalueproblemforarayleightypeequationunsolvedwithrespecttothederivative AT nesmelovao periodicboundaryvalueproblemforarayleightypeequationunsolvedwithrespecttothederivative AT čujkosergíj periodicboundaryvalueproblemforarayleightypeequationunsolvedwithrespecttothederivative AT nêsmêlovaolʹga periodicboundaryvalueproblemforarayleightypeequationunsolvedwithrespecttothederivative AT chuikos períodičnazadačadlârívnânnâtipureleânerozv039âzanogovídnosnopohídnoí AT nesmelovao períodičnazadačadlârívnânnâtipureleânerozv039âzanogovídnosnopohídnoí AT čujkosergíj períodičnazadačadlârívnânnâtipureleânerozv039âzanogovídnosnopohídnoí AT nêsmêlovaolʹga períodičnazadačadlârívnânnâtipureleânerozv039âzanogovídnosnopohídnoí |