Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay
UDC 517.9 We consider the optimal control problem for systems with infinite memory whose models are described by functional differential equations. We prove the theorem on existence, uniqueness, and continuity of solutions of the system of functional differential equations in which the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7365 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512665506414592 |
|---|---|
| author | Stanzhytskyi, О. М. Kichmarenko, O. D. Mogylova, V. V. Koval’chuk , T. V. Станжицький, О. М. Кічмаренко, О. Д. Могильова, В. В. Ковальчук, Т. В. |
| author_facet | Stanzhytskyi, О. М. Kichmarenko, O. D. Mogylova, V. V. Koval’chuk , T. V. Станжицький, О. М. Кічмаренко, О. Д. Могильова, В. В. Ковальчук, Т. В. |
| author_sort | Stanzhytskyi, О. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-24T14:20:41Z |
| description | UDC 517.9
We consider the optimal control problem for systems with infinite memory whose models are described by functional differential equations. We prove the theorem on existence, uniqueness, and continuity of solutions of the system of functional differential equations in which the delay interval is infinite. Sufficient conditions for the existence of optimal controls in the optimal control problem for systems with infinite memory are obtained in terms of the right-hand sides of the  equations of motion and the function of the quality criterion. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7365 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7365
УДК 517.9
О. М. Станжицький1,2 (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
О. Д. Кiчмаренко (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова),
В. В. Могильова (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”),
Т. В. Ковальчук (Держ. торговельно-економ. ун-т, Київ)
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З НЕСКIНЧЕННИМ ЗАПIЗНЕННЯМ
We consider the optimal control problem for systems with infinite memory whose models are described by functional
differential equations. We prove the theorem on existence, uniqueness, and continuity of solutions of the system of
functional differential equations in which the delay interval is infinite. Sufficient conditions for the existence of optimal
controls in the optimal control problem for systems with infinite memory are obtained in terms of the right-hand sides of
the equations of motion and the function of the quality criterion.
Розглядається задача оптимального керування системами iз нескiнченною пам’яттю, моделi яких описуються
функцiонально-диференцiальними рiвняннями. Доведено теорему про iснування, єдинiсть та продовжуванiсть
розв’язкiв системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь, в яких iнтервал запiзнення є нескiнченним. Отри-
мано в термiнах правих частин рiвнянь руху та функцiї критерiю якостi достатнi умови iснування оптимальних
керувань задачi оптимального керування системами iз нескiнченною пам’яттю.
Вступ. Цю статтю присвячено дослiдженню задачi оптимального керування систем, в яких
iнтервал запiзнення є нескiнченним.
Функцiонально-диференцiальнi рiвняння широко використовуються в якостi моделей рiзно-
манiтних еволюцiйних процесiв, в яких поточний стан системи безпосередньо залежить вiд по-
казникiв стану в попереднi моменти часу. Наявнiсть запiзнення чинить iстотний вплив на якiсну
поведiнку системи. Права частина таких моделей є функцiоналом, що суттєво ускладнює об’єкт
дослiдження та вимагає розробки та застосування спецiальних методiв. У серединi XX столiт-
тя диференцiальнi рiвняння iз запiзненням дослiджували А. Д. Мишкiс [6], R. Bellman [1],
М. М. Красовський [2], А. Halanay [12]. Широке застосування таких моделей спонукало бурх-
ливий розвиток теорiї функцiонально-диференцiальних рiвнянь. Значний внесок в її розвиток
зробили працi Л. Е. Ельсгольца i С. Б. Норкiна [13], J. K. Hale [14], Ю. О. Митропольського,
А. М. Самойленка, Д. I. Мартинюка, С. I. Трофiмчука [3 – 5, 7], В. Ю. Слюсарчука [9, 17],
В. I. Фодчука, I. М. Черевка, Я. Й. Бiгуна [8, 10, 11] та багатьох iнших математикiв.
Особливе мiсце займають задачi оптимального керування такими системами та доведення
iснування розв’язкiв задачi оптимального керування функцiонально-диференцiальною систе-
мою.
В роботах [15, 16] отримано достатнi умови iснування оптимальних керувань для систем
функцiонально-диференцiальних рiвнянь iз скiнченним запiзненням.
Метою цiєї роботи є дослiдження питання iснування, єдиностi та продовжуваностi до межi
областi розв’язку системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь iз нескiнченним iнтервалом
запiзнення, встановлення умов iснування оптимального керування для них.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: ostanzh@gmail.com.
2 Дослiдження О. М. Станжицького виконано у рамках Державної бюджетної теми НДР № 210ВF38-01.
c\bigcirc О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК, 2023
138 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 139
Основним результатом статтi є доведення теореми про iснування оптимальних керувань
системою функцiонально-диференцiальних рiвнянь. При цьому отриманi достатнi умови мають
коефiцiєнтний характер, тобто виражаються в термiнах правих частин рiвнянь руху та функцiї
критерiю якостi.
1. Постановка задачi й основнi результати. 1.1. Постановка задачi оптимального
керування системами функцiонально-диференцiальних рiвнянь. Спочатку введемо необхiд-
нi позначення. Розглянемо BC(( - \infty , 0];\BbbR n) — банахiв простiр неперервних вектор-функцiй,
визначених на ( - \infty , 0], якi дiють у простiр \BbbR n з рiвномiрною метрикою
\| \varphi \| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
- \infty <\theta \leq 0
| \varphi (\theta )| ,
де | \cdot | — норма в \BbbR n, а норму матрицi, узгоджену з нормою вектора, будемо позначати \| \cdot \| .
Нехай Lp = Lp((\infty , 0],\BbbR m), p > 1, — банахiв простiр p-iнтегровних m-вимiрних вектор-
функцiй iз стандартною нормою
\| \varphi \| Lp =
\left( 0\int
- \infty
| \varphi (\omega )| pd\omega
\right)
1
p
,
x \in BC
\bigl(
( - \infty , 0];\BbbR n
\bigr)
i початкова функцiя \varphi \in BC
\bigl(
( - \infty , 0];\BbbR n
\bigr)
. Якщо x(0) = \varphi (0), то
функцiя
x(t, \varphi ) =
\left\{ \varphi (t), t \in [ - \infty , 0],
x(t), t \geq 0,
(1)
є неперервною на ( - \infty , T ].
Позначимо xt(\varphi ) \in BC
\bigl(
( - \infty , 0];\BbbR n
\bigr)
для кожного t > 0 при \theta \in ( - \infty , 0] як xt(\varphi ) =
= x(t+ \theta ;\varphi ).
Функцiя x(t) є розв’язком початкової задачi при t \geq 0
dx
dt
= f(t, xt),
x(s) = \varphi (s), s \in ( - \infty , 0], \varphi \in BC,
на [0,\infty ), якщо для довiльного t \geq 0 функцiя x(t, \varphi ) (1) задовольняє спiввiдношення
x(t, \varphi ) = \varphi (0) +
t\int
0
f(s, xs(\varphi ))ds.
Нехай t \in [0, T ] i D — деяка область в [0, T ]\times BC, \partial D — межа цiєї областi i \=D = D \cup \partial D.
Розглянемо задачу оптимального керування функцiонально-диференцiальною системою
\.x = f1(t, xt) +
0\int
- \infty
f2(t, xt, y)u(t, y)dy, t \in [0, T ], (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
140 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
x(t) = \varphi 0(t), t \in ( - \infty , 0], (3)
з критерiєм якостi
J [u] =
\tau \int
0
L(t, xt, u(t, \cdot )) dt \rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} (4)
на [0, T ], де \varphi 0 \in BC — фiксований елемент, такий що (0, \varphi 0) \in D, x(t) — фазовий вектор в
\BbbR d, xt — фазовий вектор BC, \tau — момент часу, коли розв’язок (t, xt) виходить на межу \partial D,
f1 : D \rightarrow \BbbR d, f2 : D \times ( - \infty , 0] \rightarrow Md\times m, де Md\times m — (d \times m)-вимiрнi матрицi. Для кожної
пари (t, \varphi ) \in D f2(t, \varphi , \cdot ) \in Lq
\bigl(
( - \infty , 0],Md\times m
\bigr)
з нормою
\| f2(t, \varphi , \cdot )\| Lq =
\left( 0\int
- \infty
| f2(t, \varphi , y)| q dy
\right)
1
q
,
1
q
+
1
p
= 1, p > 1, L : D \times Lp \rightarrow \BbbR 1.
Керування u \in Lp([0, T ] \times ( - \infty , 0]) таке, що u(t, y) \in U, U — замкнена та опукла множина в
\BbbR m майже для всiх t, y.
Означення 1. Допустимими керуваннями є m-вимiрнi вектор-функцiї u \in Lp([0, T ]\times
\times
\bigl(
[ - \infty , 0],\BbbR m
\bigr)
), такi що u(t, y) \in U майже для всiх t \in [0, T ] i y \in ( - \infty , 0]. Множину
допустимих керувань позначатимемо U.
Для задачi оптимального керування системою (2) з початковою умовою (3) серед допусти-
мих керувань необхiдно знайти такi, що доставляють мiнiмальне значення критерiю (4).
Сформулюємо умови, якi вимагатимемо для функцiй, що описують поведiнку системи (2).
Умова 1. Вiдображення f1(t, \varphi ) : D \rightarrow \BbbR d i f2(t, \varphi , y) : D\times ( - \infty , 0] \rightarrow Md\times m визначенi та
вимiрнi за всiма їхнiми аргументами вiдповiдно в областi D та D1 =
\bigl\{
(t, \varphi ) \in D, y \in ( - \infty , 0]
\bigr\}
i задовольняють умови
| f1(t, \varphi )| \leq K(1 + \| \varphi \| BC) \forall (t, \varphi ) \in D,
\| f2(t, \varphi , y)\| \leq g(y)(1 + \| \varphi \| BC),
(5)
де
g(y) :
0\int
- \infty
gq(y)dy < \infty ,
| f1(t, \varphi 1) - f1(t, \varphi 2)| \leq K\| \varphi 1 - \varphi 2\| BC ,
\| f2(t, \varphi 1, y) - f2(t, \varphi 2, y)\| \leq g(y)\| \varphi 1 - \varphi 2\| BC .
(6)
Тепер наведемо вимоги до функцiї, яка входить до критерiю (4).
Умова 2. Нехай функцiя критерiю якостi задовольняє такi умови:
1) вiдображення L(t, \varphi , z) : D\times Lp \rightarrow \BbbR 1 визначене i неперервне за всiма його аргументами
в областi D2 =
\bigl\{
(t, \varphi ) \in D, z \in Lp
\bigr\}
;
2) iснує така стала a > 0, що
| L(t, \varphi 1, z) - L(t, \varphi 2, z)| \leq a\| \varphi 1 - \varphi 2\| BC
для всiх (t, \varphi 1, z), (t, \varphi 2, z) \in D2 ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 141
3) похiдна Фреше Lu вiдображення L неперервна за всiма її аргументами в областi D2 та
iснують такi c1 > 0, \alpha > 0, що для всiх (t, \varphi , z) \in D2 виконується нерiвнiсть
\| Lu(t, \varphi , z)\| Lq \leq c1
\Bigl(
1 + \| \varphi \| \alpha Lp
+ \| z\| p - 1
Lp
\Bigr)
;
4) iснує така стала c > 0, що L(t, \varphi , z) \geq c\| z\| pLp
для всiх (t, \varphi , z) \in D2 ;
5) функцiя L(t, \varphi , z) опукла по z для всiх фiксованих t, \varphi .
Означення 2. Розв’язком початкової задачi (2) на сегментi ( - \infty , T ], T > 0, називають
функцiю x(t), неперервну на сегментi ( - \infty , T ], для якої виконуються такi умови:
1) x(t) = \varphi 0(t), t \in ( - \infty , 0];
2) (t, xt) \in D на t \in [0, T ];
3) для t \in [0, T ] функцiя x(t) задовoльняє iнтегральне рiвняння
x(t) = \varphi 0(0) +
t\int
0
\left[ f1(s, xs) + 0\int
- \infty
f2(s, xs, y)u(s, y)dy
\right] ds. (7)
1.2. Формулювання теорем. Встановимо умови iснування та єдиностi розв’язкiв системи
функцiонально-диференцiальних рiвнянь (2) з нескiнченним iнтервалом запiзнення (3), а також
їх продовжуванiсть до межi областi.
Теорема 1. Нехай виконується умова 1, а початкова функцiя \varphi 0(t) рiвномiрно неперервна
по t \in ( - \infty , 0]. Тодi iснує розв’язок початкової задачi (7) на сегментi максимальної довжини
( - \infty , \tau ], \tau > 0, i (\tau , x\tau ) \in \partial D.
Наступна теорема мiстить умови iснування оптимальної пари
\bigl(
x\ast (t), u\ast (t, \theta )
\bigr)
для зада-
чi (2) – (4). Оптимальне керування u\ast \in U на вiдповiднiй траєкторiї x\ast (t) доставляє мiнiмум
критерiю якостi (4).
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 i 2. Тодi iснує розв’язок задачi оптимального
керування (2) – (4).
2. Доведення теорем. 2.1. Доведення теореми 1 про iснування, єдинiсть та продовжу-
ванiсть розв’язкiв до межi областi. Зафiксуємо допустиме керування u\ast \in U.
Спочатку доведемо локальне iснування та єдинiсть розв’язку задачi (2) на певному сегмен-
тi ( - \infty , \alpha ], \alpha > 0.
Будемо використовувати стандартний принцип стискаючих вiдображень.
Очевидно, що iснують такi \alpha 0 > 0 i \beta 0 > 0, що всi (t, \varphi ), для яких 0 \leq t \leq \alpha 0 i
\| \varphi - \varphi 0\| BC \leq \beta 0, належать областi D.
Далi розглянемо клас B(\alpha , \beta 0) всiх неперервних на ( - \infty , \alpha ] функцiй x(t) таких, що збiга-
ються з \varphi 0 на ( - \infty , 0] i | x(t) - \varphi 0(0)| \leq \beta 0 для t \in [0, \alpha ].
Множина B(\alpha , \beta 0) є замкненою щодо рiвномiрної метрики на ( - \infty , \alpha ]. У даному випадку
iснує таке \alpha 0 \geq \alpha 1 > 0, що якщо x(t) \in B(\alpha , \beta 0) при 0 < \alpha \leq \alpha 1, то виконується нерiвнiсть
\| xt - \varphi 0(0)\| BC \leq \beta 0, t \in [0, \alpha ].
За умов рiвномiрної неперервностi функцiї \varphi 0 на ( - \infty , 0] iснує таке \alpha 1 > 0, що якщо
| \theta 1 - \theta 2| \leq \alpha 1, то
| \varphi 0(\theta 1) - \varphi 0(\theta 2)| \leq
\beta 0
3
\forall \theta 1, \theta 2 \in ( - \infty , 0]. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
142 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
Отже, для довiльного t \in [0, \alpha 1] при \alpha \leq \alpha 1 з (8) та властивостей множини B(\alpha , \beta 0)
отримуємо
\| xt - \varphi 0\| BC \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in ( - \infty , - t]
| x(t+ \theta ) - \varphi 0(\theta )| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in [ - t,0]
| x(t+ \theta ) - \varphi 0(\theta )| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in ( - \infty , - t]
| \varphi 0(t+ \theta ) - \varphi 0(\theta )| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in [ - t,0]
| x(t+ \theta ) - \varphi 0(\theta )| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in [ - t,0]
| \varphi 0(\theta ) - \varphi (0)| \leq \beta 0
3
+
\beta 0
3
+
\beta 0
3
= \beta 0.
Далi будемо доводити, що \alpha > 0 можна вибрати так, щоб оператор
(Ax)(t) =
\left\{
\varphi 0(t), t \in ( - \infty , 0],
\varphi 0(0) +
\int t
0
f1(s, xs) ds+
+
\int t
0
\int 0
- \infty
f2(s, xs, y)u(s, y) dy ds, t \in [0, \alpha ],
вiдображав множину B(\alpha , \beta 0) в себе i був стискаючим.
З леми 2.1 [14] випливає, що xt — неперервна функцiя по t \in [0, \alpha ].
Отже, за означенням 1 функцiя f1(s, xs) неперервна по s \in [0, \alpha ], а функцiя
0\int
- \infty
f2(s, xs, y)u(s, y)dy (9)
вимiрна по s i задовольняє оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0\int
- \infty
f2(s, xs, y)u(s, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C2
\left( 0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy
\right)
1
p
для деякої сталої C2 > 0. Тому будемо мати iнтегровнiсть функцiї (9) по s, а отже, i абсолютну
неперервнiсть iнтеграла (9).
Далi оцiнимо | (Ax)(t) - \varphi 0(0)| при t \in [0, \alpha ], \alpha \leq \alpha 0. З (5) i (6), використовуючи теорему
Фубiнi та нерiвнiсть Гельдера, маємо
| (Ax)(t) - \varphi 0(0)| \leq
t\int
0
| f1(s, xs)| ds+
+
t\int
0
\left( 0\int
- \infty
\| f2(s, xs, y)\| | u(s, y)| dy
\right) ds \leq
t\int
0
K(1 + \| xs\| BC) ds+
+
t\int
0
\left( 0\int
- \infty
gq(y)(1 + \| xs\| BC)
q dy
\right)
1
q
\left( 0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy
\right)
1
p
ds \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 143
\leq K\alpha (1 + \beta 0 + \| \varphi 0\| BC) + \alpha
1
q (1 + \beta 0 + \| \varphi 0\| BC)C
1
q
2
\left( \alpha \int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| pdyds
\right)
1
p
.
Далi виберемо \alpha 2 \leq \alpha 1 з умови
(1 + \beta 0 + \| \varphi 0\| BC)
\left( K\alpha + C
1
q
2 \alpha
1
q
\alpha \int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy ds
\right)
1
p
\leq \beta 0
3
.
Отже, для всiх \alpha \leq \alpha 1 оператор A вiдображає B(\alpha , \beta 0) в себе.
Далi покажемо, що iснує таке \alpha 3 \in [0, \alpha 2], що оператор A буде стискаючим на B(\alpha 3, \beta 0).
Нехай x, z \in B(\alpha , \beta 0). З (5) i (6) отримуємо
| (Ax)(t) - (Az)(t)| \leq
t\int
0
K\| xs - zs\| BC ds+
t\int
0
g(y)\| xs - zs\| BC
0\int
- \infty
| u(s, y)| dy ds \leq
\leq
\left( K\alpha +K\alpha
1
qC
1
q
2
\alpha \int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy ds
\right)
1
p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in ( - \infty ,\alpha ]
| x(t) - z(t)| .
Звiдси маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in ( - \infty ,\alpha ]
| (Ax)(t) - (Az)(t)| \leq
\leq
\left( K\alpha +K\alpha
1
qC
1
q
2
\left( \alpha \int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy ds
\right)
1
p
\right) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in ( - \infty ,\alpha ]
| x(t) - z(t)| .
Виберемо 0 < \alpha 3 \leq \alpha 2 з умови
K\alpha +K\alpha
1
qC
1
q
2
\left( \alpha \int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| p dy ds
\right)
1
p
< 1.
Звiдси випливає, що оператор A : B(\alpha 3, \beta 0) \rightarrow B(\alpha 3, \beta 0) є стискаючим.
Отже, на сегментi ( - \infty , \alpha 3) iснує єдиний розв’язок початкової задачi (2).
Для доведення продовжуваностi цього розв’язку до межi \partial D використаємо пiдхiд з дове-
дення теореми 3.2 [14]. Вiзьмемо до уваги, що з (5) i (6) для (t, \varphi ) \in D отримуємо оцiнки
| f1(t, \varphi )| \leq K(1 + \| \varphi \| BC), (10)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0\int
- \infty
f2(t, \varphi , y)u(t, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K(1 + \| \varphi \| BC)C
1
q
2
0\int
- \infty
| u(s, y)| dy. (11)
Нехай ( - \infty , \tau ] — iнтервал максимальної довжини, на якому iснує розв’язок x(t). Для його
продовження до межi \partial D потрiбно показати, що для довiльної замкненої множини G \in DtG
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
144 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
iснує таке tG, що (t, xt) \not \in G для t \in [tG, \tau ]. Доведемо цей факт вiд супротивного. Справдi,
якщо це не так, то аналогiчно теоремi 3.2 [14] множина \=Q =
\bigl\{
(t, xt) : t \in ( - \infty , \tau ]
\bigr\}
замкнена
й обмежена в D. Отже, з оцiнок (10), (11) випливає, що iснує така стала M, що для (t, \varphi ) \in \=Q
виконуються нерiвностi
| f1(t, \varphi )| \leq M,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0\int
- \infty
f2(t, \varphi , y)u(t, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
0\int
- \infty
| u(s, y)| dy.
З (7) для кожного t1, t2 \in [0, \tau ] отримуємо
| x(t2) - x(t1)| \leq M(t2 - t1) +MC2(t2 - t1)
1
q
\left( T\int
0
0\int
- \infty
| u(s, y)| pdyds
\right)
1
p
. (12)
Звiдси випливає, що
\bigl\{
(t, xt) : t \in ( - \infty , \tau ]
\bigr\}
належить компактнiй множинi в D. Отже, це
суперечить наслiдку 3.1 [14].
Теорему доведено.
2.2. Доведення теореми про iснування оптимальних керувань. Спочатку зауважимо, що
керування u(t, y) = u(y) є допустимим. Нехай x(t) — розв’язок, який вiдповiдає керуванню
u(y), i \tau — момент першого виходу розв’язку (t, xt) на межу \partial D. Далi доведемо, що x(t)
обмежена на [0, \tau ].
З (7) для t \in [0, \tau ] маємо
| x(t)| \leq | \varphi 0(0)| +
t\int
0
K(1 + \| xs\| BC) ds+
t\int
0
0\int
- \infty
g(y)(1 + \| xs\| BC) dy ds\| u\| Lp \leq
\leq | \varphi 0(0)| +
t\int
0
K(1 + \| xs\| BC) ds+ C
1
q
2
t\int
0
(1 + \| xs\| BC) ds\| u\| Lp \leq
\leq | \varphi 0(0)| +KT + C
1
q
2 \| u\| LpT +
\biggl(
K + C
1
q
2 \| u\| Lp
\biggr) t\int
0
\| xs\| BC ds =
= C3 + C4
t\int
0
\| xs\| ds \leq C3 + C4
t\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s1\in ( - \infty ,s]
| x(s1)| ds. (13)
Використовуючи очевидну нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in ( - \infty ,t]
| x(s)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in ( - \infty ,0]
| \varphi 0(s)| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,t]
| x(s),
а також (13), отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,t]
| x(s)| \leq C5 + C4
t\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s1\in [0,s]
| x(s1)| ds
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 145
для деякої сталої C5 > 0. Далi, використовуючи нерiвнiсть Гронуолла, переконуємося, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,t]
| x(s)| \leq C6, t \in [0, \tau ],
для деякої сталої C6 > 0, яка не залежить вiд t. Iз цього випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,\tau ]
\| xs\| BC \leq C6.
За лемою 2.1 [14] xt неперервна по t \in [0, \tau ], а з першого пункту умови 2 випливає, що
L(t, xt, u(y)) (де u(t, y) = u(y)) неперервна по t i, отже, iнтеграл
\tau \int
0
L(t, xt, u(y)) dt (14)
є обмеженим. Тому \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in U J(u) < \infty . Оскiльки J(u) \geq 0, то iснує невiд’ємна нижня межа m
значень J(u).
Нехай u(n)(t, y) — мiнiмiзуюча послiдовнiсть, при цьому монотонно J
\bigl(
u(n)
\bigr)
\rightarrow m при n \rightarrow
\rightarrow \infty .
Позначимо через x(n) послiдовнiсть розв’язкiв рiвняння (7), вiдповiдних до керувань u(n),
( - \infty , \tau n] — максимальний iнтервал iснування. Iз теореми 1 випливає, що
\bigl(
\tau n, x
(n)
\tau n
\bigr)
\in \partial D. Далi
маємо
m+ 1 \geq
\tau n\int
0
L
\Bigl(
t, x
(n)
t , u(n)
\Bigr)
dt \geq C
T\int
0
0\int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| u(n)(t, y)\bigm| \bigm| \bigm| p dy dt (15)
для достатньо великих n. Отже, u(n)(t,y) слабко компактна в Lp([0, T ]\times ( - \infty , 0]).
Тому можна вибрати пiдпослiдовнiсть, яку позначимо знову через u(n)(t, y), що є слабко
збiжною до u\ast \in Lp([0, T ]\times ( - \infty , 0]).
Розглянемо опуклу комбiнацiю
pk(t, y) =
n(k)\sum
i=1
\alpha i(k)u
(i)(t, y)
елементiв u(i)(t, y) таких, що pk \rightarrow u\ast сильно в Lp([0, T ] \times ( - \infty , 0]), яка iснує за лемою
Мазура. Тодi iснує пiдпослiдовнiсть pkj(t, y) послiдовностi pk(t, y) така, що майже для всiх
(t, y) \in [0, T ]\times ( - \infty , 0] збiгається до u\ast (t, y).
Оскiльки U є опуклою, то pkj(t, y) \in U, а iз замкненостi множини U випливає, що u\ast (t, y) \in
\in U майже для всiх (t, y). Отже, функцiя керування u\ast (t, y) є допустимою.
Доведемо обмеженiсть розв’язку x(n) на ( - \infty , \tau n]. Iз (7), означення 1 та умови 1 для
t \in [0, \tau n] маємо
\bigm| \bigm| \bigm| x(n)(t)\bigm| \bigm| \bigm| q \leq 3q - 1| \varphi (0)| q +KqT
q
p 2q - 1
t\int
0
\Bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(n)s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| q
BC
\Bigr)
ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
146 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
+
\left( t\int
0
0\int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| u(n)(t, y)\bigm| \bigm| \bigm| p
\right)
1
p
\left( t\int
0
0\int
- \infty
gq(y)
\Bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(n)s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| q
BC
\Bigr) \right) dy ds \leq
\leq 3q - 1| \varphi (0)| q +KqT
q
p 2q - 1
t\int
0
\Bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(n)s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| q
BC
\Bigr)
ds+
+
\left( t\int
0
0\int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| u(n)(t, y)\bigm| \bigm| \bigm| p
\right)
1
p
C2
t\int
0
2q - 1
\Bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(n)s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| q
BC
\Bigr)
ds.
Iз (15) та з останньої нерiвностi для деяких додатних сталих C7, C8, якi не залежать вiд t, y,
n, отримуємо \bigm| \bigm| \bigm| x(n)(t)\bigm| \bigm| \bigm| q \leq C7 + C8
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(n)s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| q ds
для t \in [0, \tau n]. Отже,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in ( - \infty ,t]
\bigm| \bigm| \bigm| x(n)(s)\bigm| \bigm| \bigm| \leq C9 + C8
t\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s1\in ( - \infty ,s]
\bigm| \bigm| \bigm| x(n)(s1)\bigm| \bigm| \bigm| ds
для деякої сталої C9.
Тодi з нерiвностi Гронуолла випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in ( - \infty ,\tau n]
| x(n)(t)| \leq C10, (16)
де C10 — додатна стала, яка не залежить вiд n.
Отже, x(n)(t) рiвномiрно обмежена.
Тепер продовжимо функцiї x(n)(t) на весь сегмент [0, T ] таким чином:
y(n)(t) =
\left\{ x(n)(t), t \in [0, \tau n],
x(n)(\tau n), t \in [\tau n, T ].
(17)
Якщо s1 \leq s2 \leq \tau n, то з (15) отримуємо оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| y(n)(s1) - y(n)(s2)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C11(s2 - s1) + C12(s2 - s1)
1
q . (18)
Якщо s1 \leq \tau n \leq s2, то аналогiчно (18)\bigm| \bigm| \bigm| y(n)(s1) - y(n)(s2)
\bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| x(n)(s1) - x(n)(\tau n)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C11| \tau n - s1| + C12| \tau n - s1|
1
q \leq C11(s2 - s1) + C12(s2 - s1)
1
q .
Звiдси випливає рiвностепенева неперервнiсть на [0, T ], а з (16), (17) — рiвномiрна обмеженiсть
сiм’ї функцiй
\bigl\{
y(n)
\bigr\}
. Тому
\bigl\{
y(n)
\bigr\}
мiстить пiдпослiдовнiсть, яка рiвномiрно збiжна на [0, T ];
знову позначимо її
\bigl\{
y(n)
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 147
Нехай y\ast (t) — її рiвномiрна границя на [0, T ]. Вона визначена та неперервна на [0, T ].
Позначимо через \tau \ast момент першого виходу y\ast t на межу \partial D:
\tau \ast =
\left\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t \in [0, T ] : (t, y\ast t ) \in \partial D\} ,
T, якщо (t, y\ast t ) \in D \forall t \in [0, T ].
Зауважимо, що якщо
y(n)\tau n = y(n)(\tau n + \theta ) = x(n)(\tau n + \theta ) = x(n)\tau n ,
то \tau n буде моментом першого виходу
\bigl(
t, y
(n)
t
\bigr)
на межу \partial D.
Покажемо, що
\tau \ast \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n. (19)
Припустимо протилежне. Тодi
\tau \ast > \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n = \tau .
Очевидно, що iснує така пiдпослiдовнiсть \tau nk
, що \tau nk
\rightarrow \tau при nk \rightarrow \infty . Тому для достатньо
великих nk маємо \tau < \tau \ast i
(\tau , y\ast \tau ) \in D, (20)
але
\bigl(
\tau nk
, y
(nk)
\tau nk
\bigr)
\in \partial D. З iншого боку, оскiльки y(n)(t) рiвномiрно збiгається до y\ast (t) на ( - \infty , T ]
i y\ast (t) рiвномiрно неперервна на ( - \infty , T ], то легко бачити, що y
(nk)
\tau nk
\rightarrow y\ast \tau в BC при nk \rightarrow \infty .
Оскiльки множина \partial D є замкненою, то
\bigl(
\tau , y\ast \tau
\bigr)
\in \partial D. А це суперечить (20), отже, \tau \ast \leq \tau =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n.
Нехай x\ast (t) = y\ast (t) для t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Покажемо, що x\ast (t) є розв’язком рiвняння (2), яке
вiдповiдає керуванню u\ast (t).
Розглянемо два випадки:
1. Нехай \tau \ast < \tau . Тодi з теореми про характеризацiю нижньої границi множина
\bigl\{
n \in \BbbN : \tau n \leq
\leq \tau \ast
\bigr\}
буде скiнченною. Звiдси випливає iснування такої пiдпослiдовностi \{ \tau nk
\} послiдовностi
\tau n, що \tau nk
> \tau \ast . Тодi y(nk)(t) = x(nk)(t) для t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
i x(nk)(t) збiгається рiвномiрно до
x\ast (t) при nk \rightarrow \infty . Маємо
x(nk)(t) = \varphi 0(0) +
t\int
0
f1
\Bigl(
s, x(nk)
s
\Bigr)
ds+
t\int
0
0\int
- \infty
f2
\Bigl(
s, x(nk)
s , y
\Bigr)
u(nk)(s, y) dy ds
для t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Тодi отримуємо
x(nk)(t) = \varphi 0 +
t\int
0
f1
\Bigl(
s, x(nk)
s
\Bigr)
ds+
t\int
0
0\int
- \infty
f2
\Bigl(
s, x(nk)
s , y
\Bigr)
u\ast (s, y) dy ds+
+
t\int
0
0\int
- \infty
\Bigl(
f2
\Bigl(
s, x(nk)
s , y
\Bigr)
- f2(s, x
\ast
s, y)
\Bigr) \Bigl(
u(nk)(s, y) - u\ast (s, y)
\Bigr)
dy ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
148 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
+
t\int
0
0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)
\Bigl(
u(nk)(s, y) - u\ast (s, y)
\Bigr)
dy ds. (21)
Очевидно, що x
(nk)
t \rightarrow x\ast t в BC для довiльного t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Iз (6) випливає, що
t\int
0
f1
\Bigl(
s, x(nk)
s
\Bigr)
ds \rightarrow
t\int
0
f1(s, x
\ast
s) ds.
Далi, враховуючи теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, маємо
t\int
0
0\int
- \infty
f2
\Bigl(
s, x(nk)
s , y
\Bigr)
u\ast (s, y) dy ds \rightarrow
t\int
0
0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)u
\ast (s, y) dy ds.
Аналогiчно можемо показати, що третiй iнтеграл у (21) буде прямувати до 0 при nk \rightarrow \infty .
Тодi з умови 1 щодо f2 випливає, що вираз
t\int
0
0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)u(s, y) dy ds
визначає лiнiйний неперервний функцiонал на Lp([0, t]\times ( - \infty , 0]).
Останнiй iнтеграл у (21) буде прямувати до 0 внаслiдок слабкої збiжностi u(nk)(s, y) \rightarrow
\rightarrow u\ast (s, y). Виконуючи граничний перехiд у (21), отримуємо, що x\ast (t) буде розв’язком по-
чаткової задачi (2) на [0, \tau \ast ], який вiдповiдає керуванню u\ast (t, y).
2. Нехай \tau \ast = \tau . Вiзьмемо довiльне t1 \in [0, \tau ] таке, що t1 < \tau \ast . Тодi множина
\bigl\{
n \in \BbbN :
\tau n < t1
\bigr\}
буде скiнченною. Якщо множина Y =
\bigl\{
n \in \BbbN : t1 < \tau n \leq \tau \ast
\bigr\}
буде скiнченною,
то доведення зведеться до попереднього випадку. Припустимо, що множина Y нескiнченна,
пiдпослiдовнiсть \tau nk
послiдовностi \tau n така, що \tau nk
\in Y. Тодi для кожного t \in [0, t1] ма-
ємо y(nk)(t) = x(nk)(t) i y\ast (t) = x\ast (t). Далi, аналогiчно попередньому випадку x\ast (t) буде
розв’язком початкової задачi (2) на [0, t1], який вiдповiдає керуванню u\ast (t, y), тобто
x\ast (t) = \varphi 0(0) +
t\int
0
f1(s, x
\ast
s) ds+
t\int
0
0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)u
\ast (s, y) dy ds (22)
для t \in [0, t1]. Оскiльки t1 < \tau \ast вибрано довiльно, то рiвнiсть (22) виконується на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr)
.
Покажемо, що ця рiвнiсть буде виконуватись i для t = \tau \ast . Нехай tn \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
i tn \rightarrow \tau \ast , тодi
x\ast (tn) \rightarrow x\ast
\bigl(
\tau \ast
\bigr)
. Аналогiчно нерiвностi (12) маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau \ast \int
0
\left[ f1(s, x\ast s) + 0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)u
\ast (s, y)dy
\right] ds -
-
tn\int
0
\left[ f1(s, x\ast s) + 0\int
- \infty
f2(s, x
\ast
s, y)u
\ast (s, y) dy
\right] ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 149
Отже, x\ast (t) задовольняє рiвнiсть (22) i при t = \tau \ast .
Покажемо нарештi, що керування u\ast (s, y) є оптимальним. Для цього розглянемо два ви-
падки.
Випадок 1: \tau \ast < T.
(A) Нехай \tau \ast < \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n = \tau . Тодi, аналогiчно викладеному вище, iснує пiдпослiдов-
нiсть \tau nk
послiдовностi \tau n така, що \tau nk
> \tau \ast для t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
: y(nk)(t) = x(nk) i y\ast (t) = x\ast (t).
Покажемо iнтегровнiсть функцiї L
\bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\bigr)
на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Розглянемо нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| L\Bigl( t, x\ast t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
- L(t, x\ast t , u0)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in [0,1]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Lu
\Bigl(
t, x\ast t , u0 + \lambda
\Bigl(
u(nk)(t, \cdot ) - u0
\Bigr) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
,
де u0 = \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \in U. Звiдси отримуємо
L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
\leq L(t, x\ast t , u0) +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in [0,1]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Lu
\Bigl(
t, x\ast t , u0 + \lambda
\Bigl(
u(nk)(t, \cdot ) - u0
\Bigr) \Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
.
Враховуючи пункт 3 умови 2, маємо
L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
\leq L(t, x\ast t , u0)C1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
+
+C1\| x\ast t \|
\alpha
BC
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
+
+C1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in [0,1]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u0 + \lambda
\Bigl(
u(nk)(t, \cdot ) - u0
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| p - 1
Lp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
. (23)
Перший доданок у (23) буде iнтегровним на пiдставi (14), другий та третiй доданки будуть
iнтегровними на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
на пiдставi (15), (16) з урахуванням рiвномiрної збiжностi x(nk)(t) до
x\ast (t) на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Iнтегровнiсть останнього доданка випливає з оцiнки
\tau \ast \int
0
\biggl(
\| u0\| Lp +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
\biggr) p - 1\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
dt \leq
\leq 2
(p - 1)2
p
\left( \tau \ast \int
0
\biggl(
\| u0\| pLp
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp
\biggr)
dt
\right)
p - 1
p
\times
\times
\left( \tau \ast \int
0
\biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| u(nk)(t, \cdot ) - u0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| p
Lp
\biggr)
dt
\right)
1
p
.
Отже, функцiя L
\bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\bigr)
на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
буде iнтегровною.
Розглянемо характеристичну функцiю \chi R(t) множини
\bigl\{
t \in [0, T ] :
\bigm\| \bigm\| u\ast (t, \cdot )\bigm\| \bigm\|
Lp
< R
\bigr\}
для
деякого R > 0. Оскiльки L(x, y, z) опукла по z, то виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
150 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
L(t, x\ast t , w(t, \cdot ))\chi R(t) \geq L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot ))\chi R(t)+
+
\Bigl\langle
L
\prime
u(t, x
\ast
t , u
\ast (t, \cdot ));w(t, \cdot ) - u\ast (t, \cdot )
\Bigr\rangle
\chi R(t) (24)
для будь-якого допустимого керування w(t, y) \in Lp i t \in
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Тут
\bigl\langle
L
\prime
uw - u\ast
\bigr\rangle
— дiя
лiнiйного неперервного функцiонала Lu на w(t, \cdot ) - u\ast (t, \cdot ) \in Lp. Виконуючи в (24) замiну
w(t, \cdot ) = u(nk)(t, \cdot ), маємо
\tau \ast \int
0
L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
\chi R(t) dt \geq
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot ))\chi R(t) dt+
+
\tau \ast \int
0
\Bigl\langle
L
\prime
u(t, x
\ast
t , u
\ast (t, \cdot ));u(nk)(t, \cdot ) - u\ast (t, \cdot )
\Bigr\rangle
\chi R(t) dt. (25)
Враховуючи пункт 3 умови 2, одержуємо
\| Lu(t, x
\ast
t , u
\ast (t, \cdot ))\| Lp
\chi R(t) \leq K(1 + \| x\ast t \|
\alpha
BC +R)p - 1,
а тому другий доданок визначає лiнiйний неперервний функцiонал у Lp
\bigl( \bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
\times ( - \infty , 0]
\bigr)
.
Таким чином, другий iнтеграл у (25) буде прямувати до нуля внаслiдок слабкої збiжностi
u(nk)(t, s) до u\ast (t, s). Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
\chi R(t) dt \geq
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot ))\chi R(t) dt.
Беручи до уваги, що L(t, y, z) \geq 0, \chi R(t) \leq 1, \chi R(t) \rightarrow 1 при R \rightarrow \infty , i враховуючи
iнтегровнiсть L
\bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\bigr)
на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
, з останньої нерiвностi маємо
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot )) dt \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
dt. (26)
Розглянемо рiзницю
\tau \ast \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| L\Bigl( t, x(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
- L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| dt. (27)
Беручи до уваги пункт 2 умови 2, отримуємо
\tau \ast \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| L\Bigl( t, x(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
- L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq a
\tau \ast \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(nk)
t - x\ast t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| dt \rightarrow 0, nk \rightarrow \infty . (28)
Граничний перехiд у (28) можливий на пiдставi теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть
(16) та рiвномiрної збiжностi x(nk)
t до x\ast t на
\bigl[
0, \tau \ast
\bigr]
. Тодi з (28) випливає, що вираз (27) буде
прямувати до нуля при nk \rightarrow \infty . Далi одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 151
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
L
\Bigl(
t, x
(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
dt \geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
\Bigl[
L
\Bigl(
t, x
(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
- L
\Bigl(
t, x\ast t , u
(nk)(t, \cdot )
\Bigr) \Bigr]
dt+
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| L\Bigl( t, x(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
- L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot ))
\bigm| \bigm| \bigm| dt+
+
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot )) dt. (29)
Вище ми показали, що перша границя у правiй частинi (29) буде дорiвнювати нулю, а друга
згiдно з (26) є невiд’ємною. Тодi маємо
m = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau nk\int
0
L
\Bigl(
t, x
(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
dt \geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
nk\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \ast \int
0
L
\Bigl(
t, x
(nk)
t , u(nk)(t, \cdot )
\Bigr)
dt \geq
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot )) dt.
Отже, J
\bigl(
u\ast
\bigr)
= m i пара x\ast (t), u\ast (t, s) буде оптимальною.
(Б) Нехай \tau \ast = \tau = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n. Розглянемо множину Y = \{ n \in N : t1 < \tau n \leq \tau \ast \} , де
t1 \in [0, T ] знову виберемо довiльно так, щоб t1 < \tau \ast . Тодi достатньо розглянути випадок, коли
ця множина буде нескiнченною. Як i у попередньому випадку, потрiбно показати, що
t1\int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot )) dt \leq m.
При граничному переходi t1 \rightarrow \tau \ast отримуємо, що
\tau \ast \int
0
L(t, x\ast t , u
\ast (t, \cdot )) dt \leq m,
а тому J
\bigl(
u\ast
\bigr)
= m.
Випадок 2: \tau \ast = T. Тодi з (19) випливає, що \tau = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \tau n = \tau \ast . Отже, доведення
цього випадку зводиться до попереднього випадку (п. (Б)).
Теорему доведено.
Висновки. В роботi розглянуто задачу оптимального керування функцiонально-диферен-
цiальними системами iз нескiнченним iнтервалом запiзнення. Для початкової задачi було сфор-
мульовано та доведено теорему iснування, єдиностi та продовжуваностi розв’язку до межi
областi. Також сформульовано i доведено теорему про iснування оптимальних керувань систе-
мою функцiонально-диференцiальних рiвнянь. Достатнi умови iснування оптимального керу-
вання отримано у термiнах правих частин i функцiї критерiю якостi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
152 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, О. Д. КIЧМАРЕНКО, В. В. МОГИЛЬОВА, Т. В. КОВАЛЬЧУК
Лiтература
1. Р. Беллман, К. Кук, Дифференциально-разностные уравнения, Мир, Москва (1967).
2. Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Наука, Москва (1959).
3. Д. И. Мартынюк, А. М. Самойленко, О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием, Мат.
физика, вып. 3, 128 – 145 (1967).
4. Ю. А. Митропольский, Д. И. Мартынюк, Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыва-
нием, Вища шк., Киев (1979).
5. Ю. А. Митропольский, В. И. Фодчук, Асимптотические методы нелинейной механики применительно к
нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом, Укр. мат. журн., 18, № 3, 65 – 84
(1966).
6. А. Д. Мышкис, Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, Успехи мат. наук,
4, вып. 5, 99 – 141 (1949).
7. А. М. Самойленко, О. П. Трофимчук, Н. Р. Банцур, Перiодичнi та майже перiодичнi розв’язки систем
диференцiальних рiвнянь з максимумами, Доп. НАН України, № 1, 53 – 57 (1998).
8. Л. М. Сергеєва, Я. Й. Бiгун, Про глобальнi розв’язки функцiонально-диференцiальних рiвнянь, Нелiнiйнi
коливання, 14, № 1, 100 – 110 (2011).
9. В. Ю. Слюсарчук, Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю, Вид-во УДУВГП, Рiвне (2003).
10. В. И. Фодчук, О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргу-
ментом от параметра, Укр. мат. журн., 16, № 2, 273 – 279 (1964).
11. В. I. Фодчук, Я. Й. Бiгун, I. I. Клевчук, I. М. Черевко, I. В. Якiмов, Регулярно i сингулярно збуренi
диференцiально-функцiональнi рiвняння, Iн-т математики НАН України, Київ (1996).
12. А. Halanay, On the method of averaging for differential equations with retarded argument, J. Math. Anal. and Appl.,
14, 70 – 76 (1966).
13. Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин, Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том, Наука, Москва (1971).
14. J. K. Hale, Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York (1977).
15. O. Kichmarenko, O. Stanzhytskyi, Sufficient conditions for the existence of optimal controls for some classes of
functional-differential equations, Nonlinear Dyn. and Syst. Theory, 18, № 2, 196 – 211 (2018).
16. O. Kichmarenko, O. Stanzhytskyi, Optimal control problems for some classes of functional-differential equations on
the semi-axis, Miskolc Math. Notes, 20, № 2, 1021 – 1037 (2019).
17. V. E. Slyusarchuk, The method of local linear approximation in the theory of nonlinear functional-differential
equations, Math. Sb., 201, № 8, 1193 – 1215 (2010).
Одержано 03.11.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7365 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:24Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/e06663798cb8b90679c22a432660b739.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73652023-02-24T14:20:41Z Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay Оптимальне керування системами функціонально-диференціальних рівнянь з нескінченним запізненням Stanzhytskyi, О. М. Kichmarenko, O. D. Mogylova, V. V. Koval’chuk , T. V. Станжицький, О. М. Кічмаренко, О. Д. Могильова, В. В. Ковальчук, Т. В. оптимальне керування функціонально-диференціальні рівняння запізнення слабка збіжність UDC 517.9 We consider the optimal control problem for systems with infinite memory whose models are described by functional differential equations.&nbsp;We prove the theorem on existence, uniqueness, and continuity of solutions of the system of functional differential equations in which the delay interval is infinite.&nbsp;Sufficient conditions for the existence of optimal controls in the optimal control problem for systems with infinite memory are obtained in terms of the right-hand sides of the&nbsp; equations of motion and the function of the quality criterion. УДК 517.9 Розглядається задача оптимального керування системами із нескінченною пам'яттю, моделі яких описуються функціонально-диференціальними рівняннями.&nbsp;Доведено теорему про існування, єдиність та продовжуваність розв'язків системи функціонально-диференціальних рівнянь, в яких інтервал запізнення є нескінченним.&nbsp;Отримано в термінах правих частин рівнянь руху та функції критерію якості достатні умови існування оптимальних керувань задачі оптимального керування системами із нескінченною пам'яттю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7365 10.37863/umzh.v75i1.7365 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 138 - 152 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 138 - 152 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7365/9358 Copyright (c) 2023 Олександр Миколайович Станжицький |
| spellingShingle | Stanzhytskyi, О. М. Kichmarenko, O. D. Mogylova, V. V. Koval’chuk , T. V. Станжицький, О. М. Кічмаренко, О. Д. Могильова, В. В. Ковальчук, Т. В. Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title | Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title_alt | Оптимальне керування системами функціонально-диференціальних рівнянь з нескінченним запізненням |
| title_full | Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title_fullStr | Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title_full_unstemmed | Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title_short | Optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| title_sort | optimal control over systems of functional-differential equations with infinite delay |
| topic_facet | оптимальне керування функціонально-диференціальні рівняння запізнення слабка збіжність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7365 |
| work_keys_str_mv | AT stanzhytskyiom optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT kichmarenkood optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT mogylovavv optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT kovalchuktv optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT stanžicʹkijom optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT kíčmarenkood optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT mogilʹovavv optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT kovalʹčuktv optimalcontroloversystemsoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelay AT stanzhytskyiom optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT kichmarenkood optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT mogylovavv optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT kovalchuktv optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT stanžicʹkijom optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT kíčmarenkood optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT mogilʹovavv optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm AT kovalʹčuktv optimalʹnekeruvannâsistemamifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzneskínčennimzapíznennâm |