Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations
UDC 517.9 + 519.6 We consider the exact three-point finite-difference scheme (EDS) for the Dirichlet boundary-value problem for a system of second-order ODEs.  We find weaker conditions (as compared to the known conditions) under which the analyzed scheme can be represented...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7373 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512667049918464 |
|---|---|
| author | Makarov, V. L. Mayko, N. V. Ryabichev, V. L. Макаров, В. Л. Майко, Н. В. Рябічев, В. Л. |
| author_facet | Makarov, V. L. Mayko, N. V. Ryabichev, V. L. Макаров, В. Л. Майко, Н. В. Рябічев, В. Л. |
| author_sort | Makarov, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-01T08:45:38Z |
| description | UDC 517.9 + 519.6
We consider the exact three-point finite-difference scheme (EDS) for the Dirichlet boundary-value problem for a system of second-order ODEs.  We find weaker conditions (as compared to the known conditions) under which the analyzed scheme can be represented in the divergence form.  The coefficient stability of the EDS and the accuracy of the perturbed  scheme are investigated.  We show that the matrix coefficients and the right-hand side of the equation can be represented via the solutions of four initial-value problems on the intervals whose length is equal to the length  of a grid step.  The solutions of these problems can be obtained by using an arbitrary  one-step method, which leads to a truncated difference scheme of a certain rank. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7373 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7373
УДК 517.9 + 519.6
В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ),
Н. В. Майко1, В. Л. Рябiчев (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ
ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
2-ГО ПОРЯДКУ
We consider the exact three-point finite-difference scheme (EDS) for the Dirichlet boundary-value problem for a system of
second-order ODEs. We find weaker conditions (as compared to the known conditions) under which the analyzed scheme
can be represented in the divergence form. The coefficient stability of the EDS and the accuracy of the perturbed scheme
are investigated. We show that the matrix coefficients and the right-hand side of the equation can be represented via the
solutions of four initial-value problems on the intervals whose length is equal to the length of a grid step. The solutions of
these problems can be obtained by using an arbitrary one-step method, which leads to a truncated difference scheme of a
certain rank.
Дослiджено точну триточкову рiзницеву схему (ТТРС) для системи звичайних диференцiальних рiвнянь 2-го по-
рядку з крайовими умовами першого роду. Знайдено послабленi умови (порiвняно з вiдомими), за яких можливе
перетворення ТТРС до однорiдного дивергентного вигляду. Доведено теореми про коефiцiєнтну стiйкiсть i точнiсть.
Показано, що коефiцiєнти ТТРС можна подати через розв’язки чотирьох задач Кошi на промiжках довжини кро-
ку сiтки. Розв’язки цих задач можна одержати за допомогою будь-якого однокрокового методу, що приводить до
усiченої рiзницевої схеми вiдповiдного рангу.
1. Вступ. Одним iз найбiльш поширених методiв наближеного розв’язування задач математич-
ної фiзики є метод скiнченних рiзниць [1]. Серед рiзницевих схем для звичайних диференцi-
альних рiвнянь (ЗДР) 2-го порядку особливе мiсце посiдають точнi триточковi рiзницевi схеми
(ТТРС). Вивчення таких схем бере початок з публiкацiї [2], в якiй запропоновано ТТРС для ЗДР
2-го порядку в дивергентнiй формi з кусково-гладкими коефiцiєнтами та крайовими умовами
1-го роду. Реалiзацiю ТТРС у виглядi усiчених схем довiльного порядку точностi побудовано
й обґрунтовано в [3]. Поширенню цих результатiв на крайовi умови 3-го роду i нерiвномiрнi
сiтки присвячено статтю [4], на рiвняння з узагальненими розв’язками — монографiю [5], а на
системи ЗДР 2-го порядку — працю [6].
Окремо слiд зазначити роботи [7 – 9], якi дали поштовх для розвитку двох нових напрямкiв
дослiджень в теорiї та реалiзацiї ТТРС. У статтях [7, 8] запропоновано нову конструкцiю коефi-
цiєнтiв та правих частин цих схем тiльки через розв’язки задач Кошi на промiжках завдовжки у
крок сiтки, а в [9] уперше конструктивно доведено iснування ТТРС для квазiлiнiйних ЗДР 2-го
порядку i запропоновано та теоретично обґрунтовано алгоритм їх реалiзацiї. Узагальнюючим
пiдсумком робiт на той час у цих напрямках стала монографiя [10], де розглянуто крайовi
задачi для систем нелiнiйних ЗДР 1-го порядку, крайовi задачi для нелiнiйних ЗДР 2-го порядку
з монотонним оператором, крайовi задачi на пiвосi тощо.
Про актуальнiсть точних схем та їх алгоритмiчних реалiзацiй свiдчить видання спецiалi-
зованих тематичних випускiв, метою яких є аналiз сучасного стану в цiй галузi чисельного
аналiзу. Так, у колективнiй монографiї [11] поруч iз методологiєю, яка стала класичною [12],
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: mayko@knu.ua.
c\bigcirc В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ, 2023
72 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 73
розглянуто концепцiю так званих нестандартних рiзницевих схем [13], побудова яких базуєть-
ся на iнших математичних i фiлософських засадах. Нову ефективну алгоритмiчну реалiзацiю
ТТРС через усiченi схеми на нерiвномiрнiй сiтцi для систем нелiнiйних ЗДР 2-го порядку з
похiдною в правiй частинi запропоновано в [14] (див. також наведену там бiблiографiю).
Побудова ТТРС, як вiдомо, iстотно спирається на властивостi так званих шаблонних функ-
цiй (скалярних або матричних) — розв’язкiв двох допомiжних задач Кошi для вiдповiдного
однорiдного рiвняння (скалярного або векторного). Вiдшукання таких функцiй в явному ви-
глядi можливе лише в окремих випадках, а тому актуальним питанням теорiї i практики є
побудова для ТТРС їх ефективних алгоритмiчних реалiзацiй — усiчених схем довiльного по-
рядку точностi. Один iз пiдходiв (див., наприклад, [3]) ґрунтується на розвиненнi шаблонних
функцiй у степеневий ряд (за степенями кроку h сiтки), коефiцiєнти якого виражаються через
кратнi iнтеграли за допомогою рекурентних формул, та замiнi цих рядiв їх скiнченними сума-
ми. Iнший пiдхiд, як зазначено вище, запропоновано в [7, 8], де для визначення коефiцiєнтiв i
правої частини ТТРС у вузлi xi сiтки потрiбно розв’язати чотири допомiжнi задачi Кошi: двi
задачi на вiдрiзку [xi - 1;xi] (вперед) та двi на вiдрiзку [xi;xi+1] (назад). Розв’язуючи кожну iз
них яким-небудь однокроковим методом (наприклад, розкладом за формулою Тейлора, мето-
дом Рунге – Кутти тощо), точнiсть якого узгоджена з гладкiстю коефiцiєнтiв i правої частини
рiвняння, одержують усiчену схему заданого порядку точностi. Мета даної роботи полягає
в узагальненнi результатiв [6] та поширеннi результатiв [7, 8] на першу крайову задачу для
векторного рiвняння [6].
Стаття складається iз вступу i чотирьох пунктiв. Пункт 2 доповнює вiдомi результати [6]
щодо властивостей шаблонних матричних функцiй. Зауважимо, що в [6] знайдено достатнi умо-
ви, за яких ТТРС може бути зведена до однорiдного дивергентного вигляду. Цi умови пов’язанi
з вимогою комутативностi матричних коефiцiєнтiв i фактично приводять вихiдну матрично-
векторну задачу до скалярного випадку. Дотепер питання про iснування ТТРС у дивергентнiй
формi для систем ЗДР 2-го порядку iз симетричними матричними коефiцiєнтами без вимог їх
комутативностi залишалося вiдкритим. Проблемi послаблення зазначених достатнiх умов при-
свячено пункт 3. У пунктi 4 дослiджено коефiцiєнтну стiйкiсть i точнiсть збуреної ТТРС, а в
пунктi 5 доведено теорему про точнiсть усiченої схеми, якщо її коефiцiєнти виражаються через
розв’язки чотирьох задач Кошi, знайденi однокроковим методом вiдповiдного порядку точностi.
2. Точна триточкова рiзницева схема. Розглянемо крайову задачу
L(P,Q)u \equiv d
dx
\biggl(
P (x)
d\vec{}u
dx
\biggr)
- Q(x)\vec{}u = - \vec{}f(x), x \in (0; 1), (1)
\vec{}u(0) = \vec{}u(1) = \vec{}0, (2)
де P (x), Q(x) — заданi квадратнi матрицi порядку n, \vec{}f(x) — заданий вектор, \vec{}u(x) — шуканий
розв’язок. Елементи матричних функцiй P (x), Q(x) i векторної функцiї \vec{}f(x) є дiйсними
функцiями певного порядку гладкостi на [0; 1].
Введемо скалярний добуток в \BbbR n :
(\vec{}u(x), \vec{}v(x)) =
n\sum
i=1
ui(x)vi(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
74 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
Нехай \=\omega = \{ xi = ih, i = 0, 1, . . . , N (h = 1/N)\} — рiвномiрна сiтка на [0; 1]. Далi будуть
потрiбнi сiтковi множини \omega = \{ xi = ih, i = 1, . . . , N - 1\} , \omega + = \{ xi = ih, i = 1, . . . , N\} .
Визначимо шаблоннi матричнi функцiї V (i)
\alpha (x), \alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1, як розв’язки
задач Кошi
L(P,Q)V (i)
\alpha (x) = 0, x \in (xi - 1;xx+1), \alpha = 1, 2, (3)
V
(i)
1 (xi - 1) = 0, P (xi - 1)
dV
(i)
1
dx
(xi - 1) = E, (4)
V
(i)
2 (xi+1) = 0, P (xi+1)
dV
(i)
2
dx
(xi+1) = - E, (5)
де 0 — нуль-матриця, E — одинична матриця.
Визначимо векторну функцiю \vec{}v i
3(x), i = 1, 2, . . . , N - 1, як розв’язок крайової задачi
L(P,Q)\vec{}v
(i)
3 (x) = - \vec{}f(x), x \in (xi - 1;xx+1),
\vec{}v
(i)
3 (xi - 1) = \vec{}0, \vec{}v
(i)
3 (xi+1) = \vec{}0.
(6)
Для зручностi наведемо потрiбнi нам основнi результати, доведення яких можна знайти в [6].
Лема 1 [6]. Нехай матрицi P (x) i Q(x) задовольняють умови
(P (x)\vec{}u(x), \vec{}u(x)) > 0, (Q(x)\vec{}u(x), \vec{}u(x)) \geq 0
\forall x \in [0; 1] \forall \vec{}u,\vec{}v \in C([0; 1];\BbbR n).
(7)
Тодi шаблоннi матричнi функцiї V (i)
\alpha (x), \alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1, мають такi властивостi:
1) V (i)
\alpha (x) лiнiйно незалежнi; 2) V (i)
\alpha (x) невиродженi, тобто
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}V
(i)
1 (x) \not = 0 \forall x \in (xi - 1;xx+1], \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}V
(i)
2 (x) \not = 0 \forall x \in [xi - 1;xx+1).
У наступному твердженнi матричнi функцiї V (i)
\alpha (x) використано для побудови точної три-
точкової рiзницевої схеми.
Лема 2 [6]. Нехай виконуються умови (7). Тодi для задачi (1), (2) iснує точна триточкова
рiзницева схема i вона має вигляд
\vec{}ui = V
(i)
1 (xi)[V
(i)
1 (xi+1)]
- 1\vec{}ui+1 + V
(i)
2 (xi)[V
(i)
2 (xi - 1)]
- 1\vec{}ui - 1 + \vec{}v
(i)
3 (xi),
\vec{}u0 = \vec{}uN = \vec{}0.
(8)
Дослiдимо тепер матричнi функцiї V (i)
\alpha (x), доповнивши лему 3 з [6] новими властивостями.
Лема 3. Нехай виконуються умови (7) та умови
P (x) = P \ast (x), Q(x) = Q\ast (x) \forall x \in [0; 1]. (9)
Тодi шаблоннi матричнi функцiї V (i)
\alpha (x), \alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1, мають такi власти-
востi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 75
1) V
(i)
1 (xi+1) = V
(i)
2
\ast
(xi - 1);
2) V
(i+1)
1 (xi+1) = V
(i)
2
\ast
(xi);
3) V
(i)
1 (xi+1) = V
(i)
2
\ast
(xi)
\biggl\{
E +
\int xi
xi - 1
Q(\xi )V
(i)
1 (\xi )d\xi
\biggr\}
+
\biggl\{
E +
\int xi+1
xi
V
(i)
2
\ast
(xi)Q(\xi )d\xi
\biggr\}
\times
\times V (i)
1 (xi);
4) V
(i)
\alpha
\ast
(x)P (x)
dV
(i)
\alpha (x)
dx
=
dV
(i)
\alpha
\ast
(x)
dx
P (x)V
(i)
\alpha (x), x \in [xi - 1;xi+1], \alpha = 1, 2;
5) V
(i)
1
\ast
(x)
\biggl\{
E +
\int x
xi - 1
Q(\xi )V
(i)
1 (\xi )d\xi
\biggr\}
=
\biggl\{
E +
\int x
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi
\biggr\}
V
(i)
1 (x),
x \in [xi - 1;xi+1];
6) V
(i)
2
\ast
(x)
\biggl\{
E +
\int xi - 1
x
Q(\xi )V
(i)
2 (\xi )d\xi
\biggr\}
=
\biggl\{
E +
\int xi+1
x
V
(i)
2
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi
\biggr\}
V
(i)
2 (x),
x \in [xi - 1;xi+1].
Доведення. Властивостi 1 – 3 доводяться подiбно до [1, с. 189] з невеликими змiнами. До-
ведемо властивiсть 4 для \alpha = 1 (доведення для \alpha = 2 аналогiчне). З двох рiвнянь
V
(i)
1
\ast
(\xi )
d
d\xi
\Biggl(
P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
\Biggr)
= V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )V
(i)
1 (\xi ), \xi \in [xi - 1;xi+1],
d
d\xi
\Biggl(
dV
(i)
1
\ast
(\xi )
d\xi
P (\xi )
\Biggr)
V
(i)
1 (\xi ) = V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )V
(i)
1 (\xi ), \xi \in [xi - 1;xi+1],
отримуємо рiвнiсть
V
(i)
1
\ast
(\xi )
d
d\xi
\Biggl(
P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
\Biggr)
=
d
d\xi
\Biggl(
dV
(i)
1
\ast
(\xi )
d\xi
P (\xi )
\Biggr)
V
(i)
1 (\xi ), \xi \in [xi - 1;xi+1],
iнтегруючи яку вiд \xi = xi - 1 до \xi = x, маємо
V
(i)
1
\ast
(\xi )P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x
xi - 1
-
x\int
xi - 1
dV
(i)
1
\ast
d\xi
P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
d\xi =
=
dV
(i)
1
\ast
(\xi )
d\xi
P (\xi )V
(i)
1 (\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x
xi - 1
-
x\int
xi - 1
dV
(i)
1
\ast
d\xi
P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
d\xi .
Враховуючи початковi умови, одержуємо
V
(i)
1
\ast
(x)P (x)
dV
(i)
1 (x)
dx
=
dV
(i)
1
\ast
(x)
dx
P (x)V
(i)
1 (x), x \in [xi - 1;xi+1].
Доведемо тепер властивiсть 5. Iнтегруючи рiвностi
d
d\xi
\Biggl(
P (\xi )
dV
(i)
1 (\xi )
d\xi
\Biggr)
= Q(\xi )V
(i)
1 (\xi ), \xi \in [xi - 1;xi+1],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
76 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
d
d\xi
\Biggl(
dV
(i)
1
\ast
(\xi )
d\xi
P (\xi )
\Biggr)
= V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi ), \xi \in [xi - 1;xi+1],
вiд \xi = xi - 1 до \xi = x та враховуючи початковi умови, отримуємо
P (x)
dV
(i)
1 (x)
dx
= E +
x\int
xi - 1
Q(\xi )V
(i)
1 (\xi )d\xi , x \in [xi - 1;xi+1],
dV
(i)
1
\ast
(x)
dx
P (x) = E +
x\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi , x \in [xi - 1;xi+1].
Помножимо перше рiвняння на V
(i)
1
\ast
(x) злiва, а друге на V
(i)
1 (x) справа. Тодi властивiсть 5
буде випливати з властивостi 4. Доведення властивостi 6 аналогiчне доведенню властивостi 5.
Для цього достатньо замiнити V
(i)
1 на V (i)
2 , виконати iнтегрування вiд \xi = x до \xi = xi+1 та
скористатися вiдповiдними початковими умовами.
Лему 3 доведено.
Означення. Матричну функцiю G(i)(x, \xi ), яка задовольняє умови
L(P,Q)
x G(i)(x, \xi ) \equiv d
dx
\Biggl(
P (x)
dG(i)(x, \xi )
dx
\Biggr)
- Q(x)G(i)(x, \xi ) = 0, x \in (xi - 1;xi+1), x \not = \xi ,
G(i)(xi - 1, \xi ) = G(i)(xi+1, \xi ) = 0,
\Bigl[
G(i)(x, \xi )
\Bigr]
x=\xi
= 0,
\Biggl[
P (x)
dG(i)(x, \xi )
dx
\Biggr]
x=\xi
= - E,
називають функцiєю Грiна оператора L(P,Q) на вiдрiзку [xi - 1;xi+1].
Запис [v(x)]x=\xi \equiv v(\xi + 0) - v(\xi - 0) означає стрибок функцiї v(x) у точцi x = \xi .
Наступна лема мiстить явний вигляд функцiї Грiна G(i)(x, \xi ), знайдений за допомогою
шаблонних матричних функцiй V (i)
\alpha (x).
Лема 4 [6]. Нехай виконуються умови (7) i (9). Тодi матрична функцiя Грiна G(i)(x, \xi ) має
вигляд
G(i)(x, \xi ) =
\left\{
V
(i)
1 (x)
\Bigl[
V
(i)
1 (xi+1)
\Bigr] - 1
V
(i)
2
\ast
(\xi ), x \leq \xi ,
V
(i)
2 (x)
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi+1)
\Bigr] - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi ), \xi \leq x,
x, \xi \in [xi - 1;xi+1]. (10)
Наслiдок 1. Для матричної функцiї Грiна G(i)(x, \xi ) справджуються такi спiввiдношення:
G(i)(x, \xi ) = G(i)\ast (\xi , x) \forall x, \xi \in [xi - 1;xi+1],
\Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
=
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
+
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 77
+
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
+
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi . (11)
Доведення. Як i в [6] (наслiдок 1), перше спiввiдношення випливає безпосередньо iз зо-
браження (10). Доведемо друге спiввiдношення. За властивiстю 3 леми 3 маємо\Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
=
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
V
(i)
1 (xi+1)
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
=
=
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
+
xi\int
xi - 1
Q(\xi )V
(i)
1 (\xi )d\xi
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
+
+
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
+
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi . (12)
З властивостi 5 леми 3 випливає рiвнiсть
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
+
xi\int
xi - 1
Q(\xi )V
(i)
1 (\xi )d\xi
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
=
=
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
+
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi . (13)
Пiдставляючи (13) у (12), одержуємо формулу (11).
Наслiдок 2 [6]. Векторний розв’язок \vec{}v (i)
3 (x) крайової задачi (6) має вигляд
\vec{}v
(i)
3 (x) = V
(i)
2 (x)
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi+1)
\Bigr] - 1
x\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi +
+V
(i)
1 (x)
\Bigl[
V
(i)
1 (xi+1)
\Bigr] - 1
xi+1\int
x
V
(i)
2
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi , x \in [xi - 1;xi+1].
Теорема 1 [6]. Нехай виконуються умови (7) i (9). Тодi ТТРС (8) можна перетворити до
вигляду
\Lambda \vec{}u \equiv 1
h
\Biggl\{ \biggl[
1
h
V
(i)
2
\ast
(xi)
\biggr] - 1
\vec{}ux, i -
\biggl[
1
h
V
(i)
1
\ast
(xi)
\biggr] - 1
\vec{}u\=x, i
\Biggr\}
- Di\vec{}ui = - \vec{}\varphi i, i = 1, 2, . . . , N - 1,
(14)
\vec{}u0 = \vec{}0, \vec{}uN = \vec{}0,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
78 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
Di =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi +
1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi , (15)
\vec{}\varphi i =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi +
1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi . (16)
Доведення. Застосовуючи леми 3 i 4 та наслiдок 1, записуємо ТТРС (8) у виглядi\Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
\vec{}ui = [V
(i)
2
\ast
(xi)]
- 1\vec{}ui+1 +
+ [V
(i)
1
\ast
(xi)]
- 1\vec{}ui - 1 +
\Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
\vec{}v
(i)
3 (xi), (17)
де \Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
=
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
V
(i)
1 (xi+1)
\Bigl[
V
(i)
1 (xi)
\Bigr] - 1
=
=
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
V
(i)
2 (xi - 1)
\Bigl[
V
(i)
2 (xi)
\Bigr] - 1
.
Перетворимо доданок
\bigl[
G(i)(xi, xi)
\bigr] - 1
\vec{}v
(i)
3 (xi) в (17) за допомогою наслiдку 2:\Bigl[
G(i)(xi, xi)
\Bigr] - 1
\vec{}v
(i)
3 (xi) =
=
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi +
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi . (18)
Пiдставляючи (18) i (11) у рiвнiсть (17), одержуємо схему
[V
(i)
2
\ast
(xi)]
- 1(\vec{}ui+1 - \vec{}ui) + [V
(i)
1
\ast
(xi)]
- 1(\vec{}ui - 1 - \vec{}ui) +
+
\left\{
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi +
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )\vec{}f(\xi )d\xi
\right\} -
-
\left\{
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi +
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(\xi )Q(\xi )d\xi
\right\} \vec{}ui = \vec{}0,
що i доводить теорему.
Наслiдок 3 ([6], лема 6). Нехай виконуються умови (7) i (9) та справджуються спiввiдно-
шення
V (i)
\alpha (x) = V (i)
\alpha
\ast
(x), i = 1, 2, . . . , N - 1, \alpha = 1, 2. (19)
Тодi ТТРС (8) можна подати в дивергентному виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 79
\Lambda u \equiv (A\vec{}u\=x)x - D\vec{}u = - \vec{}\varphi , x \in \omega ,
\vec{}u(0) = \vec{}0, \vec{}u(1) = \vec{}0,
(20)
де
Ai = A(xi) =
\biggl[
1
h
V
(i)
1 (xi)
\biggr] - 1
. (21)
Для зведення ТТРС до дивергентного вигляду можна скористатися методом факторизацiї.
Помножимо (14) злiва на матрицю \Psi i i будемо шукати її з умови дивергентностi
\Psi i+1
\biggl[
1
h
V
(i+1)
1
\ast
(xi+1)
\biggr] - 1
= \Psi i
\biggl[
1
h
V
(i+1)
1 (xi+1)
\biggr] - 1
.
Знайдемо розв’язок цього матричного рiзницевого рiвняння 1-го порядку:
\Psi i+1 = \Psi 0
\Bigl[
V
(1)
1 (x1)
\Bigr] - 1\Bigl[
V
(1)
1
\ast
(x1)
\Bigr]
\times
\times
\Bigl[
V
(2)
1 (x2)
\Bigr] - 1\Bigl[
V
(2)
1
\ast
(x2)
\Bigr]
\times . . .\times
\Bigl[
V
(i+1)
1 (xi+1)
\Bigr] - 1\Bigl[
V
(i+1)
1
\ast
(xi+1)
\Bigr]
=
= \Psi 0
i+1\prod
j=1
\Bigl[
V
(j)
1 (xj)
\Bigr] - 1\Bigl[
V
(j)
1
\ast
(xj)
\Bigr]
.
Тодi ТТРС (14) набирає вигляду
1
h
\Biggl\{
\Psi i
\biggl[
1
h
V
(i)
1
\ast
(xi)
\biggr] - 1
\vec{}u\=x, i
\Biggr\}
x, i
- \Psi iDi\vec{}ui = - \Psi i\vec{}\varphi i, i = 1, 2, . . . , N - 1,
\vec{}u0 = \vec{}uN = \vec{}0.
3. Умови для дивергентного вигляду ТТРС. З наслiдку 3 випливає, що самоспряженiсть
шаблонних матричних функцiй є достатньою умовою для зведення ТТРС (8) (або (14)) до
однорiдного дивергентного вигляду. В [6] знайдено достатню умову iснування таких шаблонних
матричних функцiй. Точнiше, якщо разом з умовами (7) i (9) виконуються умови комутативностi
P (x)P (\xi ) = P (\xi )P (x), Q(x)Q(\xi ) = Q(\xi )Q(x), P (x)Q(\xi ) = Q(\xi )P (x)
\forall x, \xi \in [xi - 1;xi+1], i = 1, . . . , N - 1,
(22)
то шаблоннi матричнi функцiї V (i)
\alpha (x) мають властивiсть (19). Однак, як зазначено в [6, с. 1201],
при виконаннi умов (7), (9), (22) вихiдна система розпадається (зводиться до скалярного ви-
падку). Побудуємо приклад, який демонструє, що умова комутативностi (22) не є необхiдною
для самоспряженостi шаблонних матричних функцiй V (i)
\alpha (x).
Розглянемо задачу Кошi (3), (4) при n = 2:
P (x) =
\Biggl[
m 0
0 p
\Biggr]
, m = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, p = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, m \not = p,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
80 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
Q(x) =
\Biggl[
a(x) 1
1 b(x)
\Biggr]
,
a(x), b(x) \in C2[0; 1], (Q(x)\vec{}u, \vec{}u) \geq 0 \forall x \in [0; 1] \forall \vec{}u \in \BbbR 2.
Позначивши її розв’язок через V (i)
1 (x) =
\biggl[
v11(x) v12(x)
v21(x) v22(x)
\biggr]
, запишемо систему (3) i початковi
умови (4) у виглядi\Biggl[
m 0
0 p
\Biggr] \Biggl[
v\prime \prime 11(x) v\prime \prime 12(x)
v\prime \prime 21(x) v\prime \prime 22(x)
\Biggr]
=
\Biggl[
a(x) 1
1 b(x)
\Biggr] \Biggl[
v11(x) v12(x)
v21(x) v22(x)
\Biggr]
, x \in (xi - 1; xi+1), (23)
V
(i)
1 (xi - 1) \equiv
\Biggl[
v11(xi - 1) v12(xi - 1)
v21(xi - 1) v22(xi - 1)
\Biggr]
=
\Biggl[
0 0
0 0
\Biggr]
,
dV
(i)
1 (xi - 1)
dx
\equiv
\Biggl[
v\prime 11(xi - 1) v\prime 12(xi - 1)
v\prime 21(xi - 1) v\prime 22(xi - 1)
\Biggr]
= P - 1 =
\Biggl[
1/m 0
0 1/p
\Biggr]
.
Далi будуть потрiбнi похiднi
d2V
(i)
1 (xi - 1)
dx2
= 0,
d3V
(i)
1 (xi - 1)
dx3
= P - 1Q(xi - 1)P
- 1 =
=
\Biggl[
1/m 0
0 1/p
\Biggr] \Biggl[
a(xi - 1) 1
1 b(xi - 1)
\Biggr] \Biggl[
1/m 0
0 1/p
\Biggr]
=
\left[
a(xi - 1)
m2
1
mp
1
mp
b(xi - 1)
p2
\right] .
Iз системи (23) знайдемо
mv\prime \prime 11 = a(x)v11 + v21,
pv\prime \prime 21 = v11 + b(x)v21.
Виключивши v11 = pv\prime \prime 21 - b(x)v21 з першого рiвняння, одержимо, що функцiя v21(x) є
розв’язком задачi Кошi для ЗДР 4-го порядку:
mp
d4v21(x)
dx4
+
\bigl[
- mb(x) - pa(x)
\bigr] d2v21(x)
dx2
-
- 2mb\prime (x)
dv21(x)
dx
+
\bigl[
a(x)b(x) - mb\prime \prime (x) - 1
\bigr]
v21 = 0,
v21(xi - 1) = 0,
dv21(xi - 1)
dx
= 0,
d2v21(xi - 1)
dx2
= 0,
d3v21(xi - 1)
dx3
=
1
mp
.
(24)
Аналогiчно з (23) отримаємо систему
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 81
mv\prime \prime 12 = a(x)v12 + v22,
pv\prime \prime 22 = v12 + b(x)v22,
що пiсля виключення v22 = mv\prime \prime 12 - a(x)v12 з другого рiвняння приведе до задачi Кошi для ЗДР
4-го порядку щодо функцiї v12(x):
pm
d4v12(x)
dx4
+ [ - pa(x) - mb(x)]
d2v12(x)
dx2
- 2pa\prime (x)
dv12(x)
dx
+
+
\bigl[
b(x)a(x) - pa\prime \prime (x) - 1
\bigr]
v12 = 0,
v12(xi - 1) = 0,
dv12(xi - 1)
dx
= 0,
d2v12(xi - 1)
dx2
= 0,
d3v12(xi - 1)
dx3
=
1
mp
.
(25)
Очевидно, якщо функцiї a(x) i b(x) задовольняють умову
a\prime (x) = b\prime (x) \forall x \in [xi - 1; xi+1],
то (24) i (25) перетворюються на одну й ту саму задачу Кошi, а отже, v12(x) = v21(x) \forall x \in
\in [xi - 1;xi+1], i матрична функцiя V (i)
1 (x) є симетричною.
Зокрема, при m = 1, p = 1/2, a(x) \equiv 1, b(x) \equiv 1 додатна визначенiсть матрицi P (x) i
невiд’ємнiсть матрицi Q(x) для всiх x \in [0; 1] очевиднi. Безпосередньо знаходимо
V
(i)
1 (x) =
\left[
2(x - xi - 1)
3
+
\mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi - 1)
\bigr)
3
\surd
3
- 2(x - xi - 1)
3
+
2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi - 1)
\bigr)
3
\surd
3
- 2(x - xi - 1)
3
+
2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi - 1)
\bigr)
3
\surd
3
2(x - xi - 1)
3
+
4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi - 1)
\bigr)
3
\surd
3
\right] .
Аналогiчно маємо
V
(i)
2 (x) =
\left[
- 2(x - xi+1)
3
-
\mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi+1)
\bigr)
3
\surd
3
2(x - xi+1)
3
-
2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi+1)
\bigr)
3
\surd
3
2(x - xi+1)
3
-
2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi+1)
\bigr)
3
\surd
3
- 2(x - xi+1)
3
-
4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \surd
3(x - xi+1)
\bigr)
3
\surd
3
\right] .
Очевидно, що матрицi P (x) i Q(x) не задовольняють умови комутативностi (22), оскiльки
P (x)Q(\xi ) - Q(\xi )P (x) =
\Biggl[
m 0
0 p
\Biggr] \Biggl[
a(\xi ) 1
1 b(\xi )
\Biggr]
-
\Biggl[
a(\xi ) 1
1 b(\xi )
\Biggr] \Biggl[
m 0
0 p
\Biggr]
=
=
\Biggl[
ma(\xi ) m
p pb(\xi )
\Biggr]
-
\Biggl[
ma(\xi ) p
m pb(\xi )
\Biggr]
=
\Biggl[
p m - p
p - m 0
\Biggr]
\not = 0 при m \not = p
\forall x, \xi \in [xi - 1;xi+1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
82 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
4. Коефiцiєнтна стiйкiсть ТТРС. Дослiдимо на коефiцiєнтну стiйкiсть ТТРС (20). Подiбно
до G(i)(x, \xi ) позначимо через G(x, \xi ) матричну функцiю Грiна оператора L(P,Q) на вiдрiзку
[0; 1]. Визначимо шаблоннi матричнi функцiї V\alpha (x), \alpha = 1, 2, як розв’язки задач Кошi
L(P,Q)V\alpha (x) = 0, 0 < x < 1, \alpha = 1, 2,
V1(0) = 0, P (0)
dV1(0)
dx
= E,
V2(1) = 0, P (1)
dV2(1)
dx
= - E.
(26)
Аналогiчно лемi 4 можна довести, що функцiя Грiна G(x, \xi ) має вигляд
G(x, \xi ) =
\left\{ V1(x)[V1(1)]
- 1V *
2 (\xi ), x \leq \xi ,
V2(x)
\bigl[
V *
1 (1)
\bigr] - 1
V *
1 (\xi ), \xi \leq x,
x, \xi \in [0; 1]. (27)
Нехай Gh(x, \xi ) — матрична функцiя Грiна оператора \Lambda рiзницевої задачi (20), а V h
\alpha (x),
\alpha = 1, 2, — розв’язки рiзницевих задач Кошi
\Lambda V h
\alpha (x) = 0, x \in \omega , \alpha = 1, 2,
V h
1 (0) = 0,
\biggl[
1
h
V
(1)
1 (x1)
\biggr] - 1
V h
1 \=x(x1) = E,
V h
2 (1) = 0,
\biggl[
1
h
V
(N - 1)
2 (xN - 1)
\biggr] - 1
V h
2 \=x(1) = - E.
(28)
Лема 5. Нехай виконуються умови (7), (9) i (19). Тодi справджується рiвнiсть
Gh(x, \xi ) = G(x, \xi ) \forall x, \xi \in \=\omega .
Доведення. Оскiльки V (1)
1 (x) = V1(x) \forall x \in [0;x2], то матрична функцiя V1(x) задовольняє
початковi умови задачi Кошi (28):
V1(0) = 0,
\biggl[
1
h
V
(1)
1 (x1)
\biggr] - 1V1(x1) - V1(0)
h
= E,
а отже, при \alpha = 1 рiзницева схема (28) є точною для (26) i V h
1 (x) = V1(x) \forall x \in \=\omega . Аналогiчно
V h
2 (x) = V2(x) \forall x \in \=\omega . Звiдси випливає твердження леми.
Введемо норму матрицi, узгоджену з нормою вектора:
\| A\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\vec{}u \not =\vec{}0
\| A\vec{}u\|
\| \vec{}u\|
, \| \vec{}u\| =
\sqrt{}
(\vec{}u, \vec{}u) =
\Biggl(
n\sum
k=1
u2k
\Biggr) 1/2
.
Лема 6. Нехай матрицi P (x), Q(x) задовольняють умову (9) та умови
C1(\vec{}u, \vec{}u) \leq (P (x)\vec{}u, \vec{}u) \leq C2(\vec{}u, \vec{}u), 0 \leq (Q(x)\vec{}u, \vec{}u) \leq C2(\vec{}u, \vec{}u)
\forall x \in [0; 1] \forall \vec{}u \in \BbbR n (C1 > 0).
(29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 83
Тодi для матричних функцiй V\alpha (x), \alpha = 1, 2, задачi (26) виконуються оцiнки
\| V\alpha (x)\| \leq 1
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2
2C1
\biggr)
\forall x \in [0; 1], (30)
\| V\alpha \=x(x)\| \leq 1
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2
2C1
\biggr)
\forall x \in [x1; 1], \alpha = 1, 2. (31)
Доведення. З умов (9) i (29) випливають оцiнки
\| P - 1(x)\| \leq 1
C1
, \| Q(x)\| \leq C2 \forall x \in [0; 1].
Розглянемо випадок \alpha = 1 (доведення при \alpha = 2 аналогiчне). Зiнтегрувавши рiвняння
d
d\eta
\biggl(
P (\eta )
dV1(\eta )
d\eta
\biggr)
= Q(\eta )V1(\eta )
вiд \eta = 0 до \eta = \xi з урахуванням початкової умови та помноживши обидвi його частини злiва
на матрицю P - 1(\xi ), одержимо
dV1(\xi )
d\xi
= P - 1(\xi ) + P - 1(\xi )
\xi \int
0
Q(\eta )V1(\eta )d\eta .
Iнтегруючи тепер вiд \xi = 0 до \xi = x та враховуючи початкову умову, маємо
V1(x) =
x\int
0
P - 1(\xi )d\xi +
x\int
0
P - 1(\xi )
\xi \int
0
Q(\eta )V1(\eta )d\eta d\xi , x \in [0; 1]. (32)
Внаслiдок умов (29) звiдси випливає нерiвнiсть
\| V1(x)\| \leq
x\int
0
\| P - 1(\xi )\| d\xi +
x\int
0
\| P - 1(\xi )\|
\xi \int
0
\| Q(\eta )\| \| V1(\eta )\| d\eta d\xi \leq
\leq x
C1
+
C2x
C1
x\int
0
\| V1(\eta )\| d\eta , x \in [0; 1],
яку можна записати у виглядi
\| V1(x)\|
x
\leq 1
C1
+
C2
C1
x\int
0
\eta
\| V1(\eta )\|
\eta
d\eta , x \in (0; 1].
Застосувавши лему Беллмана – Гронуолла [15, с. 134 – 135], отримаємо
\| V1(x)\|
x
\leq 1
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( C2
C1
x\int
0
\eta d\eta
\right) =
1
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2x
2
2C1
\biggr)
, x \in (0; 1],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
84 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
тобто
\| V1(x)\| \leq x
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2x
2
2C1
\biggr)
, x \in [0; 1], (33)
а отже, й оцiнку (30).
Доведемо тепер оцiнку (31). Внаслiдок (32) маємо
V1(xi) - V1(xi - 1) =
xi\int
xi - 1
P - 1(\xi )d\xi +
xi\int
xi - 1
P - 1(\xi )
\xi \int
0
Q(\eta )V1(\eta )d\eta d\xi , i = 1, 2, . . . , N,
звiдки випливає нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| V1(xi) - V1(xi - 1)
\bigm\| \bigm\| \leq xi - xi - 1
C1
+
C2(xi - xi - 1)
C1
xi\int
0
\| V1(\eta )\| d\eta , i = 1, 2, . . . , N.
Використовуючи оцiнку (33), одержуємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V1(xi) - V1(xi - 1)
xi - xi - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
C1
+
C2
C1
xi\int
0
\eta
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2\eta
2
2C1
\biggr)
d\eta =
=
1
C1
+
1
C1
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
C2x
2
i
2C1
\biggr)
- 1
\biggr)
=
1
C1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
C2x
2
i
2C1
, i = 1, 2, . . . , N,
що й доводить оцiнку (31).
Лему 6 доведено.
Знайдемо тепер оцiнки для функцiї Грiна Gh(x, \xi ) та її рiзницевих похiдних.
Лема 7. Нехай виконуються умови (7), (9), (19) i (29). Тодi справджуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega , \xi \in \omega +
\| G\=\xi (x, \xi )\| \leq M1, (34)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\sum
\xi \in \omega +
h\| G\=\xi \=x(x, \xi )\| \leq 3M1, (35)
де M1 =
1
C2
1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}2
\biggl(
C2
2C1
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| [V1(1)] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Доведення. Оцiнка (34) безпосередньо випливає iз зображення
G\=\xi (x, \xi ) =
\left\{ V1(x)[V1(1)]
- 1V *
2\=\xi
(\xi ), x \leq \xi ,
V2(x)
\bigl[
V *
1 (1)
\bigr] - 1
V *
1\=\xi
(\xi ), \xi \leq x,
x \in \omega , \xi \in \omega +,
i леми 6. Щоб довести оцiнку (35), знайдемо
G\=\xi \=x(x, \xi ) =
\left\{
V1\=x(x)[V1(1)]
- 1V *
2\=\xi
(\xi ), x < \xi ,
V2\=x(x)
\bigl[
V *
1 (1)
\bigr] - 1
V *
1\=\xi
(\xi ), \xi < x,
1
h
\Bigl\{
V1\=x(x)[V1(1)]
- 1V *
2 (x) - V2\=x(x)
\bigl[
V *
1 (1)
\bigr] - 1
V *
1 (x - h)
\Bigr\}
, \xi = x,
x, \xi \in \omega +.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 85
Тодi з урахуванням леми 6 маємо\sum
\xi \in \omega +
h\| G\=\xi \=x(x, \xi )\| =
\sum
\xi \in \omega +, \xi \not =x
h\| G\=\xi \=x(x, \xi )\| + h\| G\=\xi \=x(x, \xi )
\bigm| \bigm|
\xi =x
\| \leq
\leq 3
C2
1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}2
\biggl(
C2
2C1
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| [V1(1)] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| , x \in \omega +.
Лему 7 доведено.
Разом iз ТТРС (20) розглянемо збурену рiзницеву схему
\~\Lambda \vec{}y \equiv 1
h
\Biggl\{ \biggl[
1
h
\~V
(i+1)
1 (xi+1)
\biggr] - 1
\vec{}yx, i -
\biggl[
1
h
\~V
(i)
1 (xi)
\biggr] - 1
\vec{}y\=x, i
\Biggr\}
- \~Di\vec{}yi = - \~\vec{}\varphi i, i = 1, 2, . . . , N - 1,
(36)
\vec{}y0 = \vec{}yN = \vec{}0,
або в безiндекснiй формi
\~\Lambda \vec{}y \equiv ( \~A\vec{}y\=x)x - \~D\vec{}y = - \~\vec{}\varphi (x), x \in \omega ,
\vec{}y (0) = 0, \vec{}y (1) = \vec{}0.
(37)
Тодi похибка \vec{}z (x) = \vec{}u(x) - \vec{}y (x), x \in \=\omega , є розв’язком дискретної задачi
\Lambda \vec{}z \equiv (A\vec{}z\=x)x - D\vec{}z = - \vec{}\psi (x), x \in \omega ,
\vec{}z (0) = 0, \vec{}z (1) = \vec{}0,
(38)
де
\vec{}\psi (x) =
\Bigl(
(A(x) - \~A(x))\vec{}y\=x
\Bigr)
x
- (D(x) - \~D(x))\vec{}y + \vec{}\varphi (x) - \~\vec{}\varphi (x).
Теорема 2 (про коефiцiєнтну стiйкiсть). Нехай виконуються умови (7), (9), (19) i (29). Тодi
ТТРС (20) є коефiцiєнтно стiйкою i для неї справджуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}z (x)\| \leq M1
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}y\=\xi (\xi )\|
\sum
\xi \in \omega +
h\| A(\xi ) - \~A(\xi )\| +
+ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}y (\eta )\|
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ) - \~D(\eta )\| +
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} , (39)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq 3M1
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}y\=\xi (\xi )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| A(\xi ) - \~A(\xi )\| +
+ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}y (\eta )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ) - \~D(\eta )\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} , (40)
де M1 — додатна стала, визначена в лемi 7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
86 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
Доведення. З огляду на лему 5 розв’язок задачi (38) можна подати у виглядi
\vec{}z (x) =
\sum
\xi \in \omega
hG(x, \xi )\vec{}\psi (\xi ) =
\sum
\xi \in \omega
hG(x, \xi )
\Bigl[ \Bigl(
A(\xi ) - \~A(\xi )
\Bigr)
\vec{}y\=\xi (\xi )
\Bigr]
\xi
-
-
\sum
\xi \in \omega
hG(x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
D(\eta ) - \~D(\eta )
\Bigr)
\vec{}y (\eta )
\right]
\xi
-
-
\sum
\xi \in \omega
hG(x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
\vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )
\Bigr) \right]
\xi
, x \in \omega .
Пiдсумовуючи тут частинами, одержуємо
\vec{}z (x) = -
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi (x, \xi )
\Bigl[ \Bigl(
A(\xi ) - \~A(\xi )
\Bigr)
\vec{}y\=\xi (\xi )
\Bigr]
+
+
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi (x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
D(\eta ) - \~D(\eta )
\Bigr)
\vec{}y (\eta )
\right] +
+
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi (x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
\vec{}\varphi (\eta ) - \widetilde \vec{}\varphi (\eta )\Bigr)
\right] , x \in \omega . (41)
Звiдси випливає нерiвнiсть
\| \vec{}z (x)\| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| G\=\xi (x, \xi )\|
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}y\=\xi (\xi )\|
\sum
\xi \in \omega +
h\| A(\xi ) - \~A(\xi )\| +
+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}y (\eta )\|
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ) - \~D(\eta )\| +
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} , x \in \omega ,
яка на пiдставi леми 7 дає оцiнку (39).
Для встановлення оцiнки (40) скористаємося формулою (41). Знайдемо
\vec{}z\=x(x) = -
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi \=x(x, \xi )
\Bigl[ \Bigl(
A(\xi ) - \~A(\xi )
\Bigr)
\vec{}y\=\xi (\xi )
\Bigr]
+
+
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi \=x(x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
D(\eta ) - \~D(\eta )
\Bigr)
\vec{}y (\eta )
\right] +
+
\sum
\xi \in \omega +
hG\=\xi \=x(x, \xi )
\left[ \xi - h\sum
\eta =0
h
\Bigl(
\vec{}\varphi (\eta ) - \widetilde \vec{}\varphi (\eta )\Bigr)
\right] , x \in \omega .
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 87
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq
\sum
\xi \in \omega +
h\| G\=\xi \=x(x, \xi )\|
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}y\=\xi (\xi )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| A(\xi ) - \~A(\xi )\| +
+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}y (\eta )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ) - \~D(\eta )\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} , x \in \omega +,
звiдки за лемою 7 одержуємо нерiвнiсть (40).
Теорему 2 доведено.
Наслiдком теореми 2 є такий результат.
Теорема 3 (про точнiсть). Нехай виконуються припущення теореми 2 i коефiцiєнти ТТРC
(20) та збуреної схеми (37) задовольняють умови
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| A(\xi ) - \~A(\xi )\| \leq M2h
n, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ) - \~D(\eta )\| \leq M2h
n,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta ) - \~\vec{}\varphi (\eta )\| \leq M2h
n,
(42)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| A(\xi )\| \leq M3, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta ))\| \leq M3, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta )\| \leq M3, (43)
де M2 i M3 — деякi додатнi сталi, не залежнi вiд h. Тодi для похибки \vec{}z (x) = \vec{}u(x) - \vec{}y (x)
справджується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}z (x)\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq Mhn, (44)
де M > 0 — не залежна вiд h стала, h \in (0;h0), h0 > 0 — фiксоване число.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнки для величин \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \omega \| \vec{}y (x)\| i \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \omega + \| \vec{}y\=x(x)\| у
нерiвностях (39), (40). Пiдставляючи \vec{}u(x) = \vec{}z (x) + \vec{}y (x) в ТТРC (20), отримуємо рiзницеву
задачу
\Lambda \vec{}y \equiv (A\vec{}y\=x)x - D\vec{}y = - (A\vec{}z\=x)x +D\vec{}z - \vec{}\varphi (x), x \in \omega ,
(45)
\vec{}y (0) = 0, \vec{}y (1) = \vec{}0.
За аналогiєю з доведенням теореми 1, враховуючи умови (43), одержуємо оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}y (x)\| \leq M1
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\|
\sum
\xi \in \omega +
h\| A(\xi )\| +
+ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )\|
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta )\| +
\sum
\xi \in \omega +
h
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
88 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
\leq M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )\| + 1
\biggr]
, (46)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}y\=x(x)\| \leq 3M1
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| A(\xi )\| +
+ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| D(\eta )\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\xi - h\sum
\eta =0
h\| \vec{}\varphi (\eta )\|
\right\} \leq
\leq 3M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )\| + 1
\biggr]
. (47)
З огляду на нерiвностi (46), (47), враховуючи умову (42), перетворюємо тепер оцiнки (39), (40):
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}z (x)\| \leq M1
\biggl\{
3M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| | + 1
\biggr]
M2h
n +
+M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| | + 1
\biggr]
M2h
n +M2h
n
\biggr\}
=
= 4M2
1M2M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| |
\biggr]
hn +M1M2(4M1M3 + 1)hn,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq 3M1
\biggl\{
M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| | + 1
\biggr]
M2h
n +
+ 3M1M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| | + 1
\biggr]
M2h
n +M2h
n
\biggr\}
=
= 12M2
1M2M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| |
\biggr]
hn + 3M1M2(4M1M3 + 1)hn.
Додаючи цi нерiвностi, маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}z (x)\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq
\leq 16M2
1M2M3
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in \omega +
\| \vec{}z\=\xi (\xi )\| +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\eta \in \omega
\| \vec{}z (\eta )| |
\biggr]
hn + 4M1M2(4M1M3 + 1)hn.
Якщо h \in (0;h0), де h0 =
\bigl(
32M2
1M2M3
\bigr) - 1/n
, то
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega
\| \vec{}z (x)\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \omega +
\| \vec{}z\=x(x)\| \leq 8M1M2(4M1M3 + 1)hn.
Позначаючи M = 8M1M2(4M1M3 + 1), одержуємо оцiнку (44).
Теорему 3 доведено.
5. Алгоритмiчна реалiзацiя ТТРС. Згiдно з основною iдеєю, зазначеною у вступi, коефi-
цiєнти Ai, Di i праву частину \vec{}\varphi i ТТРС (20) потрiбно подати тiльки через розв’язки задач Кошi.
Зауважимо, що це можна зробити без припущення про симетричнiсть шаблонних матричних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 89
функцiй V (i)
\alpha (x). Для Ai таке зображення є очевидним:
Ai = A(xi) =
\biggl[
1
h
V
(i)
1 (xi)
\biggr] - 1
. (48)
Подамо тепер через розв’язки задач Кошi матричний коефiцiєнт Di. Iнтегруючи рiвняння
d
dx
\Biggl(
P (x)
dV
(i)
1
dx
\Biggr)
- Q(x)V
(i)
1 (x) = 0
вiд x = xi - 1 до x = xi та враховуючи початкову умову, одержуємо
xi\int
xi - 1
Q(x)V
(i)
1 (x)dx =
\Biggl(
P (x)
dV
(i)
1
dx
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
xi
xi - 1
= P (xi)
dV
(i)
1 (xi)
dx
- E.
Тодi
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(x)Q(x)dx =
dV
(i)
1
\ast
(xi)
dx
P (xi) - E. (49)
Аналогiчно знаходимо
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(x)Q(x)dx = - E - dV
(i)
2
\ast
(xi)
dx
P (xi). (50)
Тодi Di набирає вигляду
Di =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
\Biggl\{
dV
(i)
1
\ast
(xi)
dx
P (xi) - E
\Biggr\}
+
1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
\Biggl\{
- dV
(i)
2
\ast
(xi)
dx
P (xi) - E
\Biggr\}
,
тобто
Di =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1\Bigl[
M
(i)
1 (xi) - E
\Bigr]
- 1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1\Bigl[
M
(i)
2 (xi) + E
\Bigr]
, (51)
де
M (i)
\alpha (x) =
dV
(i)
\alpha
\ast
(x)
dx
P (x), \alpha = 1, 2. (52)
Розглянемо тепер \vec{}\varphi i. Введемо двi новi допомiжнi векторнi функцiї \vec{}w
(i)
1 (x) i \vec{}w
(i)
2 (x) як
розв’язки задач Кошi
L(P,Q) \vec{}w (i)
\alpha (x) = - \vec{}f(x), xi - 1 < x < xi+1, \alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1, (53)
\vec{}w
(i)
1 (xi - 1) =
d\vec{}w
(i)
1
dx
(xi - 1) = 0, (54)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
90 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
\vec{}w
(i)
2 (xi+1) =
d\vec{}w
(i)
2
dx
(xi+1) = 0. (55)
Виконуючи нескладнi перетворення, знаходимо
xi\int
xi - 1
V
(i)
1
\ast
(x)\vec{}f(x)dx =
dV
(i)
1
\ast
(xi)
dx
P (xi)\vec{}w
(i)
1 (xi) - V
(i)
1
\ast
(xi)P (xi)
d\vec{}w
(i)
1 (xi)
dx
,
xi+1\int
xi
V
(i)
2
\ast
(x)\vec{}f(x)dx = - dV
(i)
2
\ast
(xi)
dx
P (xi)\vec{}w
(i)
2 (xi) + V
(i)
2
\ast
(xi)P (xi)
d\vec{}w
(i)
2 (xi)
dx
.
Тодi \vec{}\varphi i набирає вигляду
\vec{}\varphi i =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1dV
(i)
1
\ast
(xi)
dx
P (xi)\vec{}w
(i)
1 (xi) -
1
h
P (xi)
d\vec{}w
(i)
1 (xi)
dx
-
- 1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1dV
(i)
2
\ast
(xi)
dx
P (xi)\vec{}w
(i)
2 (xi) +
1
h
P (xi)
d\vec{}w
(i)
2 (xi)
dx
.
Вводячи тут позначення \vec{}l (i)\alpha (x) = P (x)
d\vec{}w
(i)
\alpha (x)
dx
, \alpha = 1, 2, одержуємо
\vec{}\varphi i =
1
h
\Bigl[
V
(i)
1
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
M
(i)
1 (xi)\vec{}w
(i)
1 (xi) -
1
h
\vec{}l (i)\alpha (xi) -
- 1
h
\Bigl[
V
(i)
2
\ast
(xi)
\Bigr] - 1
M
(i)
2 (xi)\vec{}w
(i)
2 (xi) +
1
h
\vec{}l (i)\alpha (xi). (56)
Зазначимо, що у скалярному випадку формули (48), (51), (56) перетворюються на аналогiчнi
формули, виведенi в роботi [8].
Таким чином, iз формул (48), (51), (56) випливає, що для визначення коефiцiєнтiв Ai, Di
i правої частини \vec{}\varphi i ТТРС (20) в кожному вузлi xi \in \omega потрiбно розв’язати чотири задачi
Кошi: задачу (3), (4) i задачу (53), (54) на промiжку [xi - 1;xi] (вперед) та задачу (3), (5) i
задачу (53), (55) на промiжку [xi;xi+1] (назад). Для наближеного розв’язування кожної з них
можна застосувати будь-який однокроковий метод (метод розкладу за формулою Тейлора, метод
Рунге – Кутти тощо).
Для спрощення викладу застосуємо метод розкладу за формулою Тейлора (див. також [8],
леми 4 i 5). Одержанi наближення матричних функцiй V
(i)
\alpha (x), M
(i)
\alpha (x) та векторних функцiй
\vec{}w
(i)
\alpha (x), \vec{}l
(i)
\alpha (x) позначатимемо за допомогою верхнього iндексу, наприклад:
(n)
V (i)
\alpha (x) =
n\sum
k=0
1
k!
dkV
(i)
\alpha (xi+( - 1)\alpha )
dxk
(x - xi+( - 1)\alpha )
k, \alpha = 1, 2.
Лема 8. Нехай матрицi P (x) i Q(x) задовольняють умови (7) i (9), елементи матрицi
P (x) належать класу Cn+1[0; 1], елементи матрицi Q(x) i компоненти вектора \vec{}f(x) — класу
Cn[0; 1]. Тодi справджуються спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 91
V (i)
\alpha (xi) =
(n)
V\alpha
(i)(xi) +
(n)
R\alpha
(i), де
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
R\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn+1), (57)
M (i)
\alpha (xi) =
(n+1)
M\alpha
(i)(xi) +
(n+1)
S\alpha
(i), де
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n+1)
S\alpha
(i)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn+2), (58)
\vec{}w (i)
\alpha (xi) =
(n+1)
\vec{}w\alpha
(i)(xi) +
(n+1)
\vec{}b\alpha
(i), де
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (n+1)
\vec{}b\alpha
(i)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn+2), (59)
\vec{}l (i)\alpha (xi) =
(n)
\vec{}l\alpha
(i)(xi) +
(n)
\vec{}g\alpha
(i), де
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
\vec{}g\alpha
(i)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn+1), (60)
\alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1.
Доведення. З умов леми випливає, що елементи матричної функцiї V (i)
\alpha (x) i компоненти
векторної функцiї \vec{}w\alpha (x) належать класу Cn+2[0; 1], а компоненти матричної функцiї M (i)
\alpha (x) i
векторної функцiї \vec{}l\alpha (x), \alpha = 1, 2, — класу Cn+1[0; 1]. Тодi формули (57), (59) i (60) випливають
iз розкладiв за формулою Тейлора в точках xi+( - 1)\alpha iз залишковим членом в iнтегральнiй формi.
Доведемо формулу (58). З урахуванням (52) i формули Лейбнiца для похiдної добутку
матриць маємо
M (i)
\alpha (xi) =
(n)
M\alpha
(i)(xi) +
(( - 1)\alpha +1h)
n+1
(n+ 1)!
dn+1M
(i)
\alpha (\~x\alpha )
dxn+1
=
=
(n)
M\alpha
(i)(xi) +
\Bigl(
( - 1)\alpha +1h
\Bigr) n+1
(n+ 1)!
dn
dxn
\Bigl(
V (i)
\alpha
\ast
(x)Q(x)
\Bigr)
(\~x\alpha ) =
=
(n)
M\alpha
(i)(xi) +
\Bigl(
( - 1)\alpha +1h
\Bigr) n+1
(n+ 1)!
\Biggl\{
V (i)
\alpha
\ast
(\~x\alpha )Q
(n)(\~x\alpha ) +
n\sum
k=1
Ck
n
dkV
(i)
\alpha
\ast
(\~x\alpha )
dxk
Q(n - k)(\~x\alpha )
\Biggr\}
,
де \~x\alpha \in (xi - 2+\alpha ;xi - 1+\alpha ), \alpha = 1, 2. Перетворюючи вираз у фiгурних дужках до вигляду
V (i)
\alpha
\ast
(\~x\alpha )Q
(n)(\~x\alpha ) =
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dV
(i)
\alpha
\ast
(t)
dt
dt Q(n)(\~x\alpha ),
dkV
(i)
\alpha
\ast
(\~x\alpha )
dxk
=
dkV
(i)
\alpha
\ast
(xi+( - 1)\alpha )
dxk
+
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dk+1V
(i)
\alpha
\ast
(t)
dtk+1
dt,
Q(n - k)(\~x\alpha ) = Q(n - k)(xi+( - 1)\alpha ) +
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
Q(n - k+1)(t)dt,
одержуємо зображення
M (i)
\alpha (xi) =
(n)
M\alpha
(i)(xi) +
\Bigl(
( - 1)\alpha +1h
\Bigr) n+1
(n+ 1)!
n\sum
k=1
Ck
n
dkV
(i)
\alpha
\ast
(xi+( - 1)\alpha )
dxk
Q(n - k)(xi+( - 1)\alpha ) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
92 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
+
\Bigl(
( - 1)\alpha +1h
\Bigr) n+1
(n+ 1)!
\left\{
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dV
(i)
\alpha
\ast
(t)
dt
dt Q(n)(\~x\alpha ) +
+
n\sum
k=1
Ck
n
dkV
(i)
\alpha
\ast
(xi+( - 1)\alpha )
dxk
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
Q(n - k+1)(t)dt +
+
n\sum
k=1
Ck
n
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dk+1V
(i)
\alpha
\ast
(t)
dtk+1
dtQ(n - k)(xi+( - 1)\alpha ) +
+
n\sum
k=1
Ck
n
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dk+1V
(i)
\alpha
\ast
(t)
dtk+1
dt
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
Q(n - k+1)(t)dt
\right\} =
=
(n)
M\alpha
(i)(xi) +
(( - 1)\alpha +1h)
n+1
(n+ 1)!
dn+1M
(i)
\alpha (xi+( - 1)\alpha )
dxn+1
+
(n+1)
S\alpha
(i) =
=
(n+1)
M\alpha
(i)(xi) +
(n+1)
S\alpha
(i),
де для залишкового члена
(n+1)
S\alpha
(i) справджується оцiнка
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n+1)
S\alpha
(i)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq hn+1
(n+ 1)!
\left\{
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dV (i)
\alpha
\ast
(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dt \bigm\| \bigm\| Q(n)(\~x\alpha )
\bigm\| \bigm\| +
+
n\sum
k=1
Ck
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dkV
(i)
\alpha
\ast
(xi+( - 1)\alpha )
dxk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| Q(n - k+1)(t)
\bigm\| \bigm\| dt +
+
n\sum
k=1
Ck
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
dk+1V
(i)
\alpha
\ast
(t)
dtk+1
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Q(n - k)(xi+( - 1)\alpha )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
n\sum
k=1
Ck
n
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dk+1V
(i)
\alpha
\ast
(t)
dtk+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dt
\~x\alpha \int
xi+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| Q(n - k+1)(t)
\bigm\| \bigm\| dt
\right\} = O(hn+2).
Це доводить формулу (58), а з нею i лему.
Лема 9. Нехай виконуються умови (7), (9), (19), (29) i
(n)
A (xi) =
\Biggl[
1
h
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
, (61)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 93
(n)
D (xi) =
1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\Biggl[
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1\Biggl[
(n+1)
M\alpha
(i)(xi) + ( - 1)\alpha E
\Biggr]
, (62)
(n)
\vec{}\varphi i(xi) =
1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\left\{
\Biggl[
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
(n+1)
M\alpha
(i)(xi)
(n+1)
\vec{}w\alpha
(i)(xi) -
(n)
\vec{}l\alpha
(i)
\right\} , (63)
\alpha = 1, 2, i = 1, 2, . . . , N - 1.
Тодi справджуються спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
A (xi) - A(xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn), (64)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
D (xi) - D(xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn), (65)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
\vec{}\varphi i(xi) - \vec{}\varphi i(xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = O(hn), (66)
i = 1, 2, . . . , N - 1.
Доведення. Рiвнiсть (64) випливає з формул (21), (61), (57) i оцiнки [16, с. 157]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
A (xi) - A(xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
1
h
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
-
\biggl[
1
h
V (i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
h
(n)
V\alpha
(i)(xi) -
1
h
V
(i)
\alpha (xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
1
h
V
(i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
1 -
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
h
(n)
V\alpha (i)(xi) -
1
h
V
(i)
\alpha (xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
1
h
V
(i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
=
O(hn)O(1)
1 - O(hn)O(1)
= O(hn).
Рiвнiсть (65) виводимо з формул (51), (62), (58), (64) i зображення
(n)
D (xi) - Di =
1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\Biggl[
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1\Biggl[
(n+1)
M\alpha
(i)(xi) + ( - 1)\alpha E
\Biggr]
-
- 1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\Bigl[
V (i)
\alpha (xi)
\Bigr] - 1\Bigl[
M (i)
\alpha (xi) + ( - 1)\alpha E
\Bigr]
=
=
1
h2
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\left\{
\biggl[
1
h
V (i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\Biggl[
(n+1)
M\alpha
(i)(xi) - M (i)
\alpha (xi)
\Biggr]
+
+
\left( \Biggl[ 1
h
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
-
\biggl[
1
h
V (i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\right) \Biggl[ (n+1)
M\alpha
(i)(xi) + ( - 1)\alpha E
\Biggr] \right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
94 В. Л. МАКАРОВ, Н. В. МАЙКО, В. Л. РЯБIЧЕВ
звiдки
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (n)
D (xi) - Di
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
h2
2\sum
\alpha =1
\Biggl\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
1
h
V (i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (n+1)
M\alpha
(i)(xi) - M (i)
\alpha (xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
1
h
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
-
\biggl[
1
h
V (i)
\alpha (xi)
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (n+1)
M\alpha
(i)(xi) + ( - 1)\alpha E
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right\} =
=
1
h2
2\sum
\alpha =1
\bigl[
O(1)O(hn+2) +O(hn)O(h2)
\bigr]
= O(hn).
Аналогiчно з формул (56), (63), (58) – (60) i (64) одержуємо спiввiдношення (66).
Наслiдком доведених тверджень є такий результат.
Теорема 4. Нехай виконуються умови леми 9. Тодi при достатньо малих h для похибки
\vec{}z (x) = \vec{}u(x) - \vec{}y (x), x \in \=\omega , схеми (37) з коефiцiєнтами i правою частиною
\~A(xi) =
(n)
A (xi), \~D(xi) =
(n)
D (xi), \~\vec{}\varphi (xi) =
(n)
\vec{}\varphi i(xi),
визначеними в (61) – (63), справджується оцiнка (44).
Доведення безпосередньо випливає з леми 9 i теореми 3.
Зауваження. Використовуючи методику [17], можна показати, що у випадку парного n
точнiсть рiзницевої схеми (37) з коефiцiєнтом
(n)
D (xi) =
1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\Biggl[
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1\Biggl[
(n)
M\alpha
(i)(xi) + ( - 1)\alpha E
\Biggr]
замiсть (62) i правою частиною
(n)
\vec{}\varphi i(xi) =
1
h
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha +1
\left\{
\Biggl[
(n)
V\alpha
(i)(xi)
\Biggr] - 1
(n)
M\alpha
(i)(xi)
(n)
\vec{}w\alpha
(i)(xi) -
(n)
\vec{}l\alpha
(i)
\right\}
замiсть (63) також є величиною O(hn).
Лiтература
1. А. А. Самарский, Теория разностных схем, Наука, Москва (1989).
2. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Докл. АН СССР, 122, № 4, 562 – 565
(1958).
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 1, № 1, 5 – 63 (1961).
4. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 3, № 1, 425 – 430 (1961).
5. А. А. Самарский, Р. Д. Лазаров, В. Л. Макаров, Разностные схемы для дифференциальных уравнений с
обобщенными решениями, Высш. шк., Москва (1989).
6. В. Л. Макаров, И. Л. Макаров, В. Г. Приказчиков, Точные разностные схемы и схемы любого порядка точности
для систем дифференциальных уравнений второго порядка, Дифференц. уравнения, 15, № 7, 1194 – 1205 (1979).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ . . . 95
7. А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Докл. АН СССР, 312,
№ 3, 538 – 543 (1990).
8. А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Дифференц. уравнения,
26, № 7, 1254 – 1265 (1990).
9. А. А. Самарский, В. Л. Макаров, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Докл. АН СССР, 312, № 4, 795 – 800 (1990).
10. I. P. Gavrilyuk, M. Hermann, V. L. Makarov, M. Kutniv, Exact and truncated difference schemes for boundary value
ODEs, Internat. Ser. Numer. Math., 159, Birkhäuser, Basel (2011).
11. Exaсt finite-difference schemes, S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov (Eds.), De Gruyter (2016).
12. I. Gavrilyuk, M. Kutniv, V. Makarov, Exact and truncated difference schemes for boundary value problem, Exaсt
finite-difference schemes, De Gruyter (2016), p. 165 – 203.
13. R. E. Mickens, T. M. Washington, Use of exact difference schemes to construct NSFD discretizations of differential
equations, Exaсt Finite-Difference Schemes, De Gruyter (2016), p. 144 – 164.
14. М. В. Кутнiв, М. Круль, Нова алгоритмiчна реалiзацiя точних триточкових рiзницевих схем для систем
нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку, Укр. мат. журн., 74, № 2, 204 – 219 (2022).
15. E. F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, Berlin (1961).
16. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального анализа, Наука, Москва (1965).
17. М. В. Кутнив, В. Л. Макаров, А. А. Самарский, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 39, № 1, 45 – 60 (1999).
Одержано 09.11.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7373 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:25Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/0d05ce8155dcbc24eb8b18f25fdac7f6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73732023-03-01T08:45:38Z Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations Реалізація точних триточкових різницевих схем для системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку Makarov, V. L. Mayko, N. V. Ryabichev, V. L. Макаров, В. Л. Майко, Н. В. Рябічев, В. Л. Система звичайних диференціальних рівнянь крайова задача задача Коші шаблонна матрична функція точна схема дивергентний вигляд алгоритмічна реалізація коефіцієнтна стійкість порядок точності System of ODEs boundary value problem initial value problem template matrix function exact finite-difference scheme divergence form algorithmic implementation coefficient stability , truncated difference scheme order of accuracy UDC 517.9 + 519.6 We consider the exact three-point finite-difference scheme (EDS) for the Dirichlet boundary-value problem for a system of second-order ODEs.&nbsp;&nbsp;We find weaker conditions (as compared to the known conditions) under which the analyzed scheme can be represented in the divergence form.&nbsp;&nbsp;The coefficient stability of the EDS and the accuracy of the perturbed&nbsp;&nbsp;scheme are investigated.&nbsp;&nbsp;We show that the matrix coefficients and the right-hand side of the equation can be represented via the solutions of four initial-value problems on the intervals whose length is equal to the length&nbsp; of a grid step.&nbsp;&nbsp;The solutions of these problems can be obtained by using an arbitrary&nbsp;&nbsp;one-step method, which leads to a truncated difference scheme of a certain rank. УДК 517.9 + 519.6 Досліджено точну триточкову різницеву схему (ТТРС) для системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку з крайовими умовами першого роду. Знайдено послаблені умови (порівняно з відомими), за яких можливе перетворення ТТРС до однорідного дивергентного вигляду. Доведено теореми про коефіцієнтну стійкість і точність. Показано, що коефіцієнти ТТРС можна подати через розв'язки чотирьох задач Коші на проміжках довжини кроку сіт\-ки. Розв'язки цих задач можна одержати за допомогою будь-якого однокрокового методу, що приводить до усіченої різницевої схеми відповідного рангу.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7373 10.37863/umzh.v75i1.7373 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 72 - 95 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 72 - 95 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7373/9354 Copyright (c) 2023 Наталія Майко, Володимир Макаров, Вячеслав Рябічев |
| spellingShingle | Makarov, V. L. Mayko, N. V. Ryabichev, V. L. Макаров, В. Л. Майко, Н. В. Рябічев, В. Л. Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title | Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title_alt | Реалізація точних триточкових різницевих схем для системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку |
| title_full | Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title_fullStr | Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title_full_unstemmed | Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title_short | Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| title_sort | realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations |
| topic_facet | Система звичайних диференціальних рівнянь крайова задача задача Коші шаблонна матрична функція точна схема дивергентний вигляд алгоритмічна реалізація коефіцієнтна стійкість порядок точності System of ODEs boundary value problem initial value problem template matrix function exact finite-difference scheme divergence form algorithmic implementation coefficient stability truncated difference scheme order of accuracy |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7373 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT maykonv realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT ryabichevvl realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT makarovvl realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT majkonv realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT râbíčevvl realizationoftheexactthreepointfinitedifferenceschemesforthesystemofsecondorderordinarydifferentialequations AT makarovvl realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku AT maykonv realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku AT ryabichevvl realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku AT makarovvl realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku AT majkonv realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku AT râbíčevvl realízacíâtočnihtritočkovihríznicevihshemdlâsistemizvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ2goporâdku |