Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions
We propose an approach to the generalized $\rm{k}$-Bessel function defined by $$\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-r)^{n}}{\Gamma_{\rm{k}}\left(n\rm{k}+p+\dfrac{q+1}{2}\rm{k}\right)n!}\left(\dfrac{z}{2}\right)  ^{2n+\frac{p}{\rm{k}}},$$&nbs...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7375 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865793922800812032 |
|---|---|
| author | Zayed, Hanaa M. Zayed, Hanaa M. |
| author_facet | Zayed, Hanaa M. Zayed, Hanaa M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Hanaa M. Zayed",
"institution": "Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science, Menoufia University, Egypt"
}
] |
| author_sort | Zayed, Hanaa M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:12Z |
| description | We propose an approach to the generalized $\rm{k}$-Bessel function defined by $$\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-r)^{n}}{\Gamma_{\rm{k}}\left(n\rm{k}+p+\dfrac{q+1}{2}\rm{k}\right)n!}\left(\dfrac{z}{2}\right)  ^{2n+\frac{p}{\rm{k}}},$$ where $\rm{k}>0$ and $p,q,r\in\mathbb{C}$. We discuss the uniform convergence of $\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z).$ Moreover, we prove that the analyzed function is entire and determine its growth order and type. We also find its Weierstrass factorization, which turns out to be an infinite product uniformly convergent on a compact subset of the complex plane. The integral representation for $\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)$ is found by using the representation for  $\rm{k}$-beta functions.  We also prove that the specified function is a solution of a second-order differential equation that generalizes certain well-known differential equations for the classical Bessel functions. In addition, some interesting properties, such as  recurrence and differential relations, are demonstrated. Some of these properties can be used to establish some Turán-type inequalities for this function.  Ultimately, we study the monotonicity and log-convexity of the normalized form of the modified \textrm{k}-Bessel function $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}$ defined by $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}(z)=i^{-\frac{p}{k}}\rm{U}_{p,q,1}^{\rm{k}}(iz),$ as well as the quotient of the modified \textrm{k}\textit{-}Bessel function, exponential, and \textrm{k}\textit{-}hypergeometric functions. In this case, the leading concept of the proofs comes from the monotonicity of the ratio of two power series. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i2.7375 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:27Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-7375 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:27Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-73752024-06-19T00:35:12Z Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions Zayed, Hanaa M. Zayed, Hanaa M. Generalized k-Bessel functions, integral representation, differential properties, turán type inequalities, monotonicity We propose an approach to the generalized $\rm{k}$-Bessel function defined by $$\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-r)^{n}}{\Gamma_{\rm{k}}\left(n\rm{k}+p+\dfrac{q+1}{2}\rm{k}\right)n!}\left(\dfrac{z}{2}\right)  ^{2n+\frac{p}{\rm{k}}},$$ where $\rm{k}>0$ and $p,q,r\in\mathbb{C}$. We discuss the uniform convergence of $\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z).$ Moreover, we prove that the analyzed function is entire and determine its growth order and type. We also find its Weierstrass factorization, which turns out to be an infinite product uniformly convergent on a compact subset of the complex plane. The integral representation for $\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)$ is found by using the representation for  $\rm{k}$-beta functions.  We also prove that the specified function is a solution of a second-order differential equation that generalizes certain well-known differential equations for the classical Bessel functions. In addition, some interesting properties, such as  recurrence and differential relations, are demonstrated. Some of these properties can be used to establish some Turán-type inequalities for this function.  Ultimately, we study the monotonicity and log-convexity of the normalized form of the modified \textrm{k}-Bessel function $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}$ defined by $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}(z)=i^{-\frac{p}{k}}\rm{U}_{p,q,1}^{\rm{k}}(iz),$ as well as the quotient of the modified \textrm{k}\textit{-}Bessel function, exponential, and \textrm{k}\textit{-}hypergeometric functions. In this case, the leading concept of the proofs comes from the monotonicity of the ratio of two power series. УДК 517.5 Нерівності типу Турана  для узагальнених k-функцій Бесселя Запропоновано підхід до вивчення узагальненої $\rm{k}$-функції Бесселя, що визначена рівністю $$\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-r)^{n}}{\Gamma_{\rm{k}}\left(n\rm{k}+p+\dfrac{q+1}{2}\rm{k}\right)n!}\left(\dfrac{z}{2}\right)  ^{2n+\frac{p}{\rm{k}}},$$ де $\rm{k}>0$ і $p,q,r\in\mathbb{C}$. Ми обговорюємо рівномірну збіжність $\rm{U}_{p, q, r}^{\rm {k}}(z). $  Крім того, доведено, що дана функція є цілою, і визначено порядок її зростання і тип. І навіть більше,  знайдено її факторизацію Веєрштрасса у вигляді  нескінченного добутку, рівномірно збіжного в компактній підмножині комплексної площини. Інтегральне зображення для $\rm{U}_{p, q, r}^{\rm{k}}(z) $ знайдено за допомогою зображення для $\rm{k}$-бета-функцій.  Також доведено, що вказана функція є розв'язком диференціального рівняння другого порядку, яке узагальнює певні відомі диференціальні рівняння для класичних функцій Бесселя. І навіть більше, продемонстровано деякі цікаві властивості, такі як рекурентність, та диференціальні співвідношення.  Деякі з цих властивостей можуть бути корисними при встановленні певних нерівностей туранівського типу  для цієї функції.  Зрештою, ми також вивчаємо монотонність та log-опуклість нормалізованої форми модифікованої \textrm{k}-функції Бесселя  $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}(z)=i^{-\frac{p}{k}}\rm{U}_{p,q,1}^{\rm{k}}(iz)$, а також частку модифікованої \textrm{k}-функції Бесселя, експоненціальної та \textrm{k}-гіпергеометричної функцій. У цьому випадку основна ідея доведення базується на  монотонності відношення двох степеневих рядів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-02-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7375 10.3842/umzh.v76i2.7375 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 2 (2024); 234-256 Український математичний журнал; Том 76 № 2 (2024); 234-256 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7375/9727 Copyright (c) 2024 Hanaa Zayed |
| spellingShingle | Zayed, Hanaa M. Zayed, Hanaa M. Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_alt | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_full | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_fullStr | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_full_unstemmed | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_short | Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions |
| title_sort | turán-type inequalities for generalized k-bessel functions |
| topic_facet | Generalized k-Bessel functions integral representation differential properties turán type inequalities monotonicity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7375 |
| work_keys_str_mv | AT zayedhanaam turantypeinequalitiesforgeneralizedkbesselfunctions AT zayedhanaam turantypeinequalitiesforgeneralizedkbesselfunctions |