On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind
UDC 517.968 On the basis of a new approach, we prove the uniqueness theorem and construct Lavrent’ev’s regularizing operators for the solution of nonclassical linear Volterra integral equations of the rst kind with nondifferentiable kernels.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/740 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507094336143360 |
|---|---|
| author | Asanov, A. Bekeshov, T. Асанов, А. Бекешов, Т. Асанов, А. Бекешов, Т. |
| author_facet | Asanov, A. Bekeshov, T. Асанов, А. Бекешов, Т. Асанов, А. Бекешов, Т. |
| author_sort | Asanov, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:10:25Z |
| description | UDC 517.968
On the basis of a new approach, we prove the uniqueness theorem and construct Lavrent’ev’s regularizing operators for the solution of nonclassical linear Volterra integral equations of the rst kind with nondifferentiable kernels.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968
А. Асанов (Кыргыз.-Тур. ун-т „Манас”, Бишкек),
Т. Бекешов (Ош. гос. ун–т, Кыргызстан)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА
On the basis of a new approach, we prove the uniqueness theorem and construct Lavrent’ev’s regularizing operators for
the solution of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind with nondifferentiable kernels.
На основi нового пiдходу доведено теорему єдиностi й побудовано регуляризуючi оператори за М. М. Лаврентьєвим
для розв’язання некласичних лiнiйних iнтегральних рiвнянь Вольтерра першого роду з недиференцiйовними ядрами.
Рассмотрим неклассическое линейное интегральное уравнение первого рода
t\int
\alpha (t)
K(t, s)u(s)ds = f(t), t \in [t0, T ], (1)
где \alpha (t) \in C[t0, T ], \alpha (t0) = t0, \alpha (t) \leq t при t \in [t0, T ], K(t, s) и f(t) — известные функции
соответственно в области G = \{ (t, s); t0 \leq t \leq T, \alpha (t) \leq s \leq t\} и [t0, T ], f(t0) = 0, u(t) —
искомая функция.
Теория и приложения интегральных уравнений исследовались во многих работах. В част-
ности, в работе [1] приведен обзор результатов по интегральным уравнениям Вольтерра второго
рода. В работе [2] исследованы интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов с
гладкими ядрами, доказано существование многопараметрического семейства решений. В ра-
боте [3] для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены
регуляризирующие операторы по Лаврентьеву. В работе [4] исследованы теория и числен-
ные методы решения неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого
рода с дифференцируемыми и отличными от нуля ядрами на диагонали. В работах [4 – 7]
рассмотрены приложения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода в
различных практических задачах. В работе [8] методом регуляризации М. М. Лаврентьева для
интегральных уравнений Вольтерра первого рода с гладкими и отличными от нуля ядрами на
диагонали и дифференцируемыми решениями построено их приближенное решение. В работах
[9, 10] доказаны теоремы единственности решений и построены регуляризирующие операторы
для решений систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого и
третьего родов. В работе [11] доказана теорема единственности решений и построен регуля-
ризирующий оператор для решения системы линейных интегральных уравнений Фредгольма
третьего рода. В работах [12, 13] на основе нового подхода исследованы вопросы существова-
ния и единственности решений скалярных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода
с многоточечными особенностями и их систем. В работе [14] приведен обзор результатов по
интегральным уравнениям Вольтерра первого рода.
В данной работе на основе модификации метода исследования, предложенного в работе [9],
доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по Лаврентьеву
c\bigcirc А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2 161
162 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
для решения неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с
недифференцируемыми ядрами, причем ядра на диагонали могут быть равны нулю в конечных
точках. Кроме того, получена формула для определения u(t0). Полученные результаты можно
применять для исследования некоторых прикладных задач, изложенных в работах [6, 7].
Обозначим через C\gamma
\varphi [t0, T ], 0 < \gamma \leq 1, линейное пространство всех функций u(t), опреде-
ленных в [t0, T ] и удовлетворяющих условию
| u(t) - u(s)| \leq c| \varphi (t) - \varphi (s)| \gamma , t, s \in [t0, T ],
где \varphi (t) =
\int t
t0
K(s, s)ds, t \in [t0, T ], c — положительная постоянная, зависящая от u(t), но не
от t, s.
Замечание 1. Если 0 < m0 \leq K(t, t) \leq m1 при всех t \in [t0, T ], то C\gamma
\varphi [t0, T ] = C\gamma [t0, T ],
0 < \gamma \leq 1, где m0,m1 \in R, C\gamma [t0, T ] — пространство Гельдера.
Потребуем выполнения следующих условий:
а) \alpha (t) \in C1[t0, T ], \alpha \prime (t) > 0 при почти всех t \in [t0, T ], \alpha (t0) = t0, \alpha (t) \leq t при всех
t \in [t0, T ];
в) K(t, s) \in L1(\alpha (t), t), K(t, t) \in L1(t0, T ) при фиксированном t \in [t0, T ], K(t, t) > 0 при
почти всех t \in [t0, T ];
с) при t > \tau для всех (t, s), (\tau , s) \in G, справедлива оценка
| K(t, s) - K(\tau , s)| \leq l(s)
\left[ t\int
\tau
K(s, s)ds
\right] ,
где l(t) \in L1(t0, T ), 0 \leq l(t) при всех t \in [t0, T ].
Лемма 1 (обобщенная формула Дирихле). Пусть \alpha (t) \in C[t0, T ], \alpha (t0) = t0, \alpha (t) — стро-
го возрастающая функция на [t0, T ], \alpha (t) \leq t при всех t \in [t0, T ], F (t, s) \in L1(G), G =
= \{ (t, s); t0 \leq t \leq T, \alpha (t) \leq s \leq t\} . Тогда для любого t \in (t0, T ] справедливы формулы
t\int
t0
\left[ \tau \int
\alpha (\tau )
F (s, \tau )ds
\right] d\tau =
\alpha (t)\int
t0
\left[ \alpha - 1(s)\int
s
F (s, \tau )d\tau
\right] ds+
t\int
\alpha (t)
\left[ t\int
s
F (s, \tau )d\tau
\right] ds,
t\int
t0
\left[ \alpha (\tau )\int
t0
F (s, \tau )ds
\right] d\tau =
\alpha (t)\int
t0
\left[ t\int
\alpha - 1(s)
F (s, \tau )d\tau
\right] ds,
где \alpha - 1(t) — обратная функция к \alpha (t).
Доказательство вытекает из графика области G.
Наряду с уравнением (1) рассмотрим интегральное уравнение второго рода
\varepsilon \nu (t, \varepsilon ) +
t\int
\alpha (t)
K(t, s)\nu (s, \varepsilon )ds = f(t) + \varepsilon u(t0), (2)
где t \in [t0, T ], u(t) — решение уравнения (1), 0 < \varepsilon — малый параметр.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 163
Решение уравнения (2) представим в виде
\nu (t, \varepsilon ) = u(t) + \xi (t, \varepsilon ), t \in [t0, T ]. (3)
Подставляя (3) в (2), имеем
\xi (t, \varepsilon ) = - 1
\varepsilon
t\int
t0
K(s, s)\xi (s, \varepsilon )ds+
1
\varepsilon
\alpha (t)\int
t0
K(s, s)\xi (s, \varepsilon )ds -
- 1
\varepsilon
t\int
\alpha (t)
[K(t, s) - K(s, s)]\xi (s, \varepsilon )ds - [u(t) - u(t0)], t \in [t0, T ]. (4)
Используя резольвенту
R(t, s, \varepsilon ) = - 1
\varepsilon
K(s, s)e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau
ядра
\biggl[
- 1
\varepsilon
K(s, s)
\biggr]
, из (4) получаем
\xi (t, \varepsilon ) = - 1
\varepsilon
t\int
\alpha (t)
[K(t, s) - K(s, s)]\xi (s, \varepsilon )ds+
1
\varepsilon
\alpha (t)\int
t0
K(s, s)\xi (s, \varepsilon )ds -
- [u(t) - u(t0)] -
t\int
t0
1
\varepsilon
K(\tau , \tau )e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau
\left\{ - 1
\varepsilon
\tau \int
\alpha (\tau )
[K(\tau , s) - K(s, s)]\xi (s, \varepsilon )ds+
+
1
\varepsilon
\alpha (\tau )\int
t0
K(s, s)\xi (s, \varepsilon )ds - [u(\tau ) - u(t0)]
\right\} d\tau , t \in [t0, T ]. (5)
Далее, применив лемму 1, преобразуем двойные интегралы в (5):
1
\varepsilon 2
t\int
t0
\tau \int
\alpha (\tau )
K(\tau , \tau )e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau [K(\tau , s) - K(s, s)]\xi (s, \varepsilon )dsd\tau =
=
\alpha (t)\int
t0
1
\varepsilon 2
\left\{
\alpha - 1(s)\int
s
K(\tau , \tau )e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau [K(\tau , s) - K(s, s)]d\tau
\right\} \xi (s, \varepsilon )ds+
+
t\int
\alpha (t)
1
\varepsilon 2
\left\{
t\int
s
K(\tau , \tau )e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau [K(\tau , s) - K(s, s)]d\tau
\right\} \xi (s, \varepsilon )ds, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
164 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
- 1
\varepsilon 2
t\int
t0
\alpha (\tau )\int
t0
K(\tau , \tau )e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(s, s)\xi (s, \varepsilon )dsd\tau =
=
1
\varepsilon
\alpha (t)\int
t0
\biggl[
e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau - 1
\biggr]
K(s, s)\xi (s, \varepsilon )ds. (7)
Кроме того, будем использовать следующие формулы:
- 1
\varepsilon
[K(t, s) - K(s, s)] = - 1
\varepsilon
e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau [K(t, s) - K(s, s)] -
- 1
\varepsilon 2
t\int
s
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[K(t, s) - K(s, s)]d\tau , (8)
- [u(t) - u(t0)] = - e
- 1
\varepsilon
\int t
t0
K(\tau ,\tau )d\tau
[u(t) - u(t0)] -
- 1
\varepsilon
t\int
t0
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[u(t) - u(t0)]d\tau . (9)
Из (5), учитывая формулы (6) – (9), получаем
\xi (t, \varepsilon ) =
\alpha (t)\int
t0
H0(t, s, \varepsilon )\xi (s, \varepsilon )ds+
\alpha (t)\int
t0
H1(t, s, \varepsilon )\xi (s, \varepsilon )ds+
+
t\int
\alpha (t)
H2(t, s, \varepsilon )\xi (s, \varepsilon )ds+ F (t, \varepsilon ), t \in [t0, T ], (10)
где
H0(t, s, \varepsilon ) =
1
\varepsilon
K(\alpha - 1(s), s)e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau
, (11)
H1(t, s, \varepsilon ) =
1
\varepsilon
[K(t, s) - K(\alpha - 1(s), s)]e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau -
- 1
\varepsilon
[K(t, s) - K(s, s)]e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau
+
+
1
\varepsilon 2
\alpha - 1(s)\int
s
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[K(\tau , s) - K(s, s)]d\tau , (12)
H2(t, s, \varepsilon ) = - 1
\varepsilon
e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau [K(t, s) - K(s, s)] -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 165
- 1
\varepsilon 2
t\int
s
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[K(t, s) - K(\tau , s)]d\tau , (13)
U(t, \varepsilon ) = - e
- 1
\varepsilon
\int t
t0
K(\tau ,\tau )d\tau
[u(t) - u(t0)] -
- 1
\varepsilon
t\int
t0
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[u(t) - u(\tau )]d\tau . (14)
Далее, будем использовать формулу
- 1
\varepsilon
e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau
[K(t, s) - K(s, s)] = - 1
\varepsilon
e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau [K(t, s) - K(s, s)] -
- 1
\varepsilon 2
\alpha - 1(s)\int
s
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[K(t, s) - K(s, s)]d\tau . (15)
Тогда в силу (15) из (12) получаем
H1(t, s, \varepsilon ) =
1
\varepsilon
[K(t, s) - K(\alpha - 1(s), s)]e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau -
- 1
\varepsilon
e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau [K(t, s) - K(s, s)] -
- 1
\varepsilon 2
\alpha - 1(s)\int
s
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )[K(t, s) - K(\tau , s)]d\tau . (16)
Лемма 2. Если выполняются условия а) – с), то для функции, определенной формулой (11),
справедлива оценка
\alpha (t)\int
t0
| H0(t, s, \varepsilon )| ds \leq \gamma 0, t \in [t0, T ],
где
\gamma 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [t0,\alpha (T )]
| K(\alpha - 1(s), s)| \alpha \prime (\alpha - 1(s))
K(\alpha - 1(s), \alpha - 1(s))
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0,T )]
| K(t, \alpha (t))| \alpha \prime (t)
K(t, t)
. (17)
Доказательство. Из свойства обратных функций
(\alpha - 1(s))\prime =
1
\alpha \prime (\alpha - 1(s))
, s \in [t0, \alpha (T )],
с учетом (17) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
166 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
\alpha (t)\int
t0
| H0(t, s, \varepsilon )| ds =
=
\alpha (t)\int
t0
| K(\alpha - 1(s), s)| \alpha \prime (\alpha - 1(s))
K(\alpha - 1(s), \alpha - 1(s))
\biggl[
1
\varepsilon
e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau
K(\alpha - 1(s), \alpha - 1(s))
\biggr]
[\alpha - 1(s)]\prime ds \leq
\leq \gamma 0
\left\{ 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ - 1
\varepsilon
t\int
t0
K(\tau , \tau )d\tau
\right] \right\} \leq \gamma 0, t \in [t0, T ].
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если выполняются условия а) – с), то для функций, определенных формулами
(16) и (13), справедливы оценки
| H1(t, s, \varepsilon )| \leq (2e - 1 + 1)l(s), (t, s) \in G1,
| H2(t, s, \varepsilon )| \leq (e - 1 + 1)l(s), (t, s) \in G,
где G1 = \{ (t, s) : t0 \leq t \leq T, t0 \leq s \leq \alpha (t)\} .
Доказательство. В силу условия леммы 3 из (16) имеем
| H1(t, s, \varepsilon )| \leq l(s)
\left[ 1
\varepsilon
t\int
\alpha - 1(s)
K(\tau , \tau )d\tau
\right] e
- 1
\varepsilon
\int t
\alpha - 1(s)
K(\tau ,\tau )d\tau
+
+l(s)
\left[ 1
\varepsilon
t\int
s
K(\tau , \tau )d\tau
\right] e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau -
-
\alpha - 1(s)\int
s
l(s)e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau
\biggl[
1
\varepsilon
K(\tau , \tau )
\biggr] \left[ 1
\varepsilon
t\int
\tau
K(\tau , \tau )d\tau
\right] d\tau \leq
\leq 2l(s) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\nu \geq 0
(\nu e - \nu ) + l(s)
\infty \int
0
e - \nu \nu d\nu = (2e - 1 + 1)l(s).
Далее, в силу условия леммы 3 из (13) получаем
| H2(t, s, \varepsilon )| \leq l(s)
\left[ 1
\varepsilon
t\int
s
K(\tau , \tau )d\tau
\right] e -
1
\varepsilon
\int t
s K(\tau ,\tau )d\tau -
-
t\int
s
l(s)e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau
\biggl[
1
\varepsilon
K(\tau , \tau )
\biggr] \left[ 1
\varepsilon
t\int
\tau
K(\tau , \tau )d\tau
\right] d\tau \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 167
\leq l(s) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\nu \geq 0
(\nu e - \nu ) + l(s)
\infty \int
0
e - \nu \nu d\nu = (e - 1 + 1)l(s).
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть выполняется условие в) и U(t, \varepsilon ) определена по формуле (14). Тогда:
1) если u(t) принадлежит C\gamma
\varphi [t0, T ], 0 < \gamma \leq 1, то справедлива оценка
\| U(t, \varepsilon )\| C \leq M0C1\varepsilon
\gamma , (18)
где
\| U(t, \varepsilon )\| C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0,T
| U(t, \varepsilon )| ,
M0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| u(t) - u(s)
| \varphi (t) - \varphi (s)| \gamma
, C1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\nu \geq 0
[e - \nu \nu \gamma ] +
\infty \int
0
e - \nu \nu \gamma d\nu ;
2) если u(t) принадлежит C[t0, T ], то справедлива оценка
\| U(t, \varepsilon )\| C \leq 2\omega u(\varepsilon
\beta ) + 4 \| u(t)\| C e - \varepsilon \beta - 1
, (19)
где
\omega u(\delta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| x - \nu | \leq \delta ,x,\nu \in [0,\varphi (T )]
| u(\varphi - 1(x)) - u(\varphi - 1(\nu )| .
Доказательство. 1. Пусть u(t) принадлежит C\gamma
\varphi [t0, T ], 0 < \gamma \leq 1. Тогда из (14) имеем
| U(t, \varepsilon )| \leq e -
1
\varepsilon \varphi (t)\varepsilon \gamma M0
\biggl[
\varphi (t)
\varepsilon
\biggr] \gamma
+
+ M0
t\int
t0
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau \varepsilon \gamma
K(\tau , \tau )
\varepsilon
\left[ 1
\varepsilon
t\int
\tau
K(\tau , \tau )d\tau
\right] \gamma
d\tau \leq
\leq M0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\nu \geq 0
(e - \nu \nu \gamma ) +M0\varepsilon
\gamma
\left[ \infty \int
0
e - \nu \nu \gamma d\nu
\right] .
Отсюда получаем оценку (18).
2. Сначала пусть t0 \leq t \leq \varphi - 1(\varepsilon \beta ), 0 < \beta < 1. Тогда из (14) имеем
| U(t, \varepsilon )| \leq | (u(t) - u(t0)| +
1
\varepsilon
t\int
t0
e -
1
\varepsilon
\int t
\tau K(\tau ,\tau )d\tau K(\tau , \tau )| u(t) - u(\tau )| d\tau \leq 2\omega u(\varepsilon
\beta ). (20)
Пусть теперь \varphi - 1(\varepsilon \beta ) \leq t \leq T. Тогда из (14) получаем
| U(t, \varepsilon )| \leq 2 \| u(t)\| C e -
1
\varepsilon \varphi (t) +
2 \| u(t)\| C
\varepsilon
\varphi - 1(\varphi (t) - \varepsilon \beta )\int
t0
e -
1
\varepsilon [\varphi (t) - \varphi (\tau )]\varphi \prime (\tau )d\tau +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
168 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
+
t\int
\varphi - 1(\varphi (t) - \varepsilon \varepsilon )
\omega u(\varepsilon
\beta )e -
1
\varepsilon [\varphi (t) - \varphi (\tau )] 1
\varepsilon
\varphi \prime (\tau )d\tau \leq
\leq 4 \| u(t)\| C e - \varepsilon \beta - 1
+ \omega u(\varepsilon
\beta ). (21)
Из (20) и (21) следует оценка (19).
Лемма 4 доказана.
Теорема 1. Пусть выполняются условия а) – с) и \gamma 1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
(2e - 1 + 1)
\int T
t0
l(s)ds
\biggr]
\gamma 0 < 1,
где число \gamma 0 определено в лемме 2. Тогда:
1) если интегральное уравнение (1) имеет решение u(t) \in C\gamma
\varphi [t0, T ], 0 < \gamma \leq 1, то
решение v(t, \varepsilon ) уравнения (2) при \varepsilon \rightarrow 0 сходится по норме C[t0, T ] к решению u(t); при этом
справедлива оценка
\| v(t, \varepsilon ) - u(t)\| C \leq M2
1 - \gamma 1
\varepsilon \gamma , (22)
где
M1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ (2e - 1 + 1)
T\int
t0
l(s)ds
\right] , M2 = M0M1C1
и числа M0, C1 определены в лемме 4;
2) если интегральное уравнение (1) имеет решение u(t) \in C[t0, T ], то решение v(t, \varepsilon )
уравнения (2) при \varepsilon \rightarrow 0 сходится по норме C[t0, T ] к решению u(t); при этом справедлива
оценка
\| v(t, \varepsilon ) - u(t)\| C \leq M1
1 - \gamma 1
\Bigl[
2\omega u(\varepsilon
\beta ) + 4 \| u(t)\| C e - \varepsilon \beta - 1
\Bigr]
, (23)
где 0 < \beta < 1, \omega u(\delta ) определено в лемме 4.
Доказательство. В силу лемм 2 и 3 из (10) получаем
| \xi (t, \varepsilon )| \leq \gamma 0 \| \xi (t, \varepsilon )\| C +
t\int
t0
(2e - 1 + 1)l(s)| \xi (s, \varepsilon )| ds+
+ \| U(t, \varepsilon )\| C , t \in [t0, T ].
Отсюда, применяя неравенство Гронуолла – Беллмана, имеем
\| \xi (t, \varepsilon )\| C \leq \gamma 1 \| \xi (t, \varepsilon )\| C + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ (2e - 1 + 1)
T\int
t0
l(s)ds
\right] \| U(t, \varepsilon )\| C ,
т. е.
\| \xi (t, \varepsilon )\| C \leq M1
1 - \gamma 1
\| U(t, \varepsilon )\| C . (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 169
1. Если u(t) принадлежит C\gamma
\varphi [t0, T ], 0 < \gamma \leq 1, то в силу оценки (18) из (24) получаем
оценку (22).
2. Если u(t) принадлежит C[t0, T ], то в силу оценки (19) из (24) имеем оценку (23).
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть выполняются условия а) – с) и \gamma 1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
(2e - 1 + 1)
\int T
t0
l(s)ds
\biggr]
\gamma 0 <
< 1, где число \gamma 0 определено в лемме 2. Тогда решение уравнения (1) в пространстве C[t0, T ]
единственно.
Доказательство. Пусть u(t) \in C[t0, T ] является решением уравнения (1) при f(t) \equiv 0.
Тогда
t\int
\alpha (t)
K(s, s)u(s)ds+
t\int
\alpha (t)
[K(t, s) - K(s, s)]u(s)ds = 0, t \in [t0, T ].
Учитывая следствие теоремы 1 и теорему о среднем, из последнего уравнения получаем
| u(t\ast )|
t\int
\alpha (t)
K(s, s)ds \leq
t\int
\alpha (t)
l(s)
\left[ t\int
s
K(\tau , \tau )d\tau
\right] ds \leq
\leq
\left[ t\int
\alpha (t)
l(s)ds
\right]
\left[ t\int
\alpha (t)
K(\tau , \tau )d\tau
\right] , (25)
где \alpha (t) \leq t\ast \leq t, t \in [t0, T ].
Далее, из (25) имеем
| u(t\ast )| \leq
t\int
t0
l(s)ds, t0 \leq \alpha (t) \leq t\ast \leq t.
Переходя к пределу при t \rightarrow t0, получаем u(t0) = 0. Тогда из оценки (23) следует, что
\| u(t)\| C \leq M1
1 - \gamma 1
\Bigl[
2\omega u(\varepsilon
\beta )] + 4 \| u(t)\| C e - \varepsilon \beta - 1
\Bigr]
.
Отсюда, переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0, имеем \| u(t)\| C = 0.
Следствие 1 доказано.
Теорема 2. Пусть выполняются условия а) – с), u(t) является решением уравнения (1) из
пространства C[t0, T ] и существует конечный предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
f(t)\int t
\alpha (t)
K(s, s)ds
= \gamma \in R.
Тогда u(t0) = \gamma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
170 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
Доказательство. Из (1) имеем
u(t0) + y(t) + z(t) =
f(t)\int t
\alpha (t)
K(s, s)ds
, t \in (t0, T ],
где
y(t) =
\int t
\alpha (t)
K(s, s)[u(s) - u(t0)]ds\int t
\alpha (t)
K(s, s)ds
, t \in (t0, T ], (26)
z(t) =
\int t
\alpha (t)
[K(t, s) - K(s, s)]u(s)ds\int t
\alpha (t)
K(s, s)ds
, t \in (t0, T ]. (27)
В силу условий а) и в) из (26) получаем
| y(t)| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [t0,t]
| u(s) - u(t0)| , t \in (t0, T ]. (28)
В силу условий а) – с) из (27) имеем
| z(t)| \leq \| u(t)\| C
t\int
t0
l(s)ds, t \in (t0, T ]. (29)
Из оценок (28) и (29) следует, что u(t0) = \gamma .
Теорема 2 доказана.
Следствие 2. Если выполняются все условия теоремы 2, \alpha (t) = t0 и K(t, t) = 1 для всех
t \in [t0, T ], то u(t0) = f \prime (t0).
Замечание 2. Как видно из теоремы 2, во многих моделях величину u(t0) не всегда можно
найти точно. Поэтому важно рассматривать уравнение (1) с приближенно заданными входными
данными.
Пример 1. Рассмотрим интегральные уравнения (1) и (2) при t0 = 0, T = 1, \alpha (t) = pt2,
p \in [0, 1],
K(t, s) = s\beta + a
\Bigl[
t\beta +1 - s\beta +1
\Bigr]
s - 0,5, a, \beta \in R, \beta > - 0, 5.
Пусть
p < 0, 25(1 + | a| ) - 2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl[
- 4(2e - 1 + 1)| a| (1 + \beta )
\bigr]
.
В этом случае все условия теоремы 1 выполняются при
K(t, t) = t\beta , l(t) = | a| (1 + \beta )t - 0,5, t \in [0, 1],
\gamma 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
| (pt2)\beta + a(pt2) - 0,5
\bigl[
t\beta +1 - (pt2)\beta +1)
\bigr]
| 2pt
t\beta
\leq 2(1 + | a| )p0,5,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 171
\varphi (t) =
t\beta +1
\beta + 1
, \gamma 1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl[
2(2e - 1 + 1)| a| (1 + \beta )
\bigr]
\gamma 0 < 1.
Пример 2. Рассмотрим интегральные уравнения (1) и (2) при t0 = 0, T = 1, \alpha (t) = 0 при
t \in [0, 1],
K(t, s) = 3 + 3a(t - s)s - 0,5, a \in R.
В этом случае все условия теоремы 1 выполняются при
K(t, t) = 3, l(t) = | a| t - 0,5, \varphi (t) = 3t, t \in [0, 1], \gamma 0 = 0, \gamma 1 = 0.
Если f(t) = 2t1,5 + 1, 5at2, то интегральное уравнение (1) имеет решение
u(t) = t0,5 \in C0,5[0, 1],
где C0,5[0, 1] — пространство Гельдера.
Пример 3. Рассмотрим интегральные уравнения (1) и (2) при t0 = 0, T = 1, \alpha (t) =
=
1
9
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + t),
K(t, s) = (1 - s) -
1
2 +
3s
1
2
2e - 1 + 1
\bigl( \surd
1 - s -
\surd
1 - t
\bigr)
.
В этом случае все условия теоремы 1 выполняются при
K(t, t) = (1 - t) -
1
2 , \varphi (t) = 2(1 -
\surd
1 - t), l(t) =
3
\surd
t
2 (2e - 1 + 1)
,
\gamma 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\left[ \surd
1 - t\sqrt{}
1 - 1
9
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + t)
+
\surd
1 - t
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + t)
2e - 1 + 1
\times
\times
\Biggl( \sqrt{}
1 - 1
9
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + t) -
\surd
1 - t
\Biggr) \Biggr]
1
9(1 + t)
\leq 1
9
\left[ 1 + \mathrm{l}\mathrm{n} 2
1 +
2
3
\right] \leq 8
45
,
\gamma 1 = e\gamma 0 <
3 \cdot 8
45
=
8
15
< 1.
Литература
1. З. Б. Цалюк, Интегральные уравнения Вольтерра, Итоги науки и техники, Мат. анализ, 15, 131 – 198 (1977).
2. Н. А. Магницкий, Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов, Журн. вычислит.
математики и мат. физики, 19, № 4, 970 – 989 (1979).
3. М. М. Лаврентьев, Об интегральных уравнениях первого рода, Докл. АН СССР, 127, № 1, 31 – 33 (1959).
4. А. С. Апарцин, Неклассические уравнения Вольтерра первого рода, Теория и численные методы, Наука, Сиб.
отд-ние, Новосибирск (1999).
5. А. С. Апарцин, И. В. Караулова, Е. В. Маркова, В. В. Труфанов, Применения интегральных уравнений Воль-
терра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики, Электричество, № 10,
69 – 75 (2005).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
172 А. АСАНОВ, Т. БЕКЕШОВ
6. А. С. Апарцин, И. В. Сидлер, Исследование тестовых уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях
развивающихся систем, Труды Ин-та математики и механики УрО РАН, 24, № 2, 24 – 33 (2018).
7. В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко, Моделирование развивающихся систем, Наука, Москва (1983).
8. А. М. Денисов, О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 15, № 4, 1053 – 1056 (1975).
9. М. И. Иманалиев, А. Асанов, О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого
рода, Докл. АН СССР, 309, № 5, 1052 – 1055 (1989).
10. М. И. Иманалиев, А. Асанов, Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных
уравнений Вольтерра третьего рода, Докл. РАН, 415, № 1, 14 – 17 (2007).
11. М. И. Иманалиев, А. Асанов, О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего
рода, Докл. РАН, 430, № 6, 1 – 4 (2010).
12. М. И. Иманалиев, А. Асанов, Р. А. Асанов, Об одном классе систем линейных и нелинейных интегральных
уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями, Дифференц. уравнения, 54, № 3,
387 – 397 (2018).
13. A. Asanov, K. Matanova, R. Asanov, A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind,
Kuwait J. Sci., 44, № 1, 17 – 28 (2017).
14. R. K. Lamm, A survey of regularization methods for first kind Volterra equations, Surveys on Solution Methods for
Inverse Problems, Springer, Vienna (2000), p. 53 – 82.
Получено 21.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-740 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:51Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f0/e5b08d9255d9b4cdc4ec2b39908af9f0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7402020-04-07T12:10:25Z On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind Об одном классе неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Про один клас некласичних лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду Asanov, A. Bekeshov, T. Асанов, А. Бекешов, Т. Асанов, А. Бекешов, Т. Некласичні лінійні інтегральні рівняння Вольтерра перший вид рішення регуляризація єдиність Non-classical Volterra linear integral equations first kind solutions regularization uniqueness UDC 517.968 On the basis of a new approach, we prove the uniqueness theorem and construct Lavrent’ev’s regularizing operators for the solution of nonclassical linear Volterra integral equations of the rst kind with nondifferentiable kernels. УДК 517.968 В работе на основе нового подхода доказана теорема единственности и построены регуляризующие операторы в М. М. Лаврентьеву для решения неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с недифференцируемыми ядрами. УДК 517.968 On the basis of a new approach, we prove the uniqueness&nbsp; theorem and construct Lavrent'ev's regularizing operators for the solution of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind with nondifferentiable kernels. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/740 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 161-172 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 161-172 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/740/1565 |
| spellingShingle | Asanov, A. Bekeshov, T. Асанов, А. Бекешов, Т. Асанов, А. Бекешов, Т. On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title | On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title_alt | Об одном классе неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Про один клас некласичних лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду |
| title_full | On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title_fullStr | On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title_full_unstemmed | On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title_short | On a class of nonclassical linear Volterra integral equations of the first kind |
| title_sort | on a class of nonclassical linear volterra integral equations of the first kind |
| topic_facet | Некласичні лінійні інтегральні рівняння Вольтерра перший вид рішення регуляризація єдиність Non-classical Volterra linear integral equations first kind solutions regularization uniqueness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/740 |
| work_keys_str_mv | AT asanova onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT bekeshovt onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT asanova onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT bekešovt onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT asanova onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT bekešovt onaclassofnonclassicallinearvolterraintegralequationsofthefirstkind AT asanova obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT bekeshovt obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT asanova obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT bekešovt obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT asanova obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT bekešovt obodnomklasseneklassičeskihlinejnyhintegralʹnyhuravnenijvolʹterrapervogoroda AT asanova proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu AT bekeshovt proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu AT asanova proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu AT bekešovt proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu AT asanova proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu AT bekešovt proodinklasneklasičnihlíníjnihíntegralʹnihrívnânʹvolʹterraperšogorodu |