Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action
UDC 517.9 We obtain sufficient conditions for the existence of piecewise continuous almost periodic solutions to a strongly damped semilinear wave equation with impulsive action.
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7400 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512672498319360 |
|---|---|
| author | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, Анатолий Владимирович Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. |
| author_facet | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, Анатолий Владимирович Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. |
| author_sort | Dvornyk, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-25T14:21:56Z |
| description | UDC 517.9
We obtain sufficient conditions for the existence of piecewise continuous almost periodic solutions to a strongly damped semilinear wave equation with impulsive action. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7400 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7400
УДК 517.9
А. В. Дворник1, В. I. Ткаченко2 (Iн-т математики НАН України, Київ)
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ
IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
We obtain sufficient conditions for the existence of piecewise continuous almost periodic solutions to a strongly damped
semilinear wave equation with impulsive action.
Отримано достатнi умови iснування кусково-неперервних майже перiодичних розв’язкiв хвильового рiвняння з
затуханням та iмпульсною дiєю.
1. Вступ. У банаховому просторi X розглянемо рiвняння
\partial 2t u+ \eta A\theta \partial tu+Au = f(t, u, \partial tu), (1)
u(\tau k + 0) - u(\tau k) = B11ku(\tau k) +B12k\partial tu(\tau k) + Ik
\bigl(
u(\tau k), \partial tu(\tau k)
\bigr)
, k \in \BbbZ , (2)
\partial tu(\tau k + 0) - \partial tu(\tau k) = B21ku(\tau k) +B22k\partial tu(\tau k) + Jk
\bigl(
u(\tau k), \partial tu(\tau k)
\bigr)
, k \in \BbbZ , (3)
де A — секторiальний оператор в X, 1/2 \leq \theta \leq 1, \eta > 0, Bijk, i, j = 1, 2, k \in \BbbZ , — обмеженi
лiнiйнi оператори в X . Iмпульсна дiя вiдбувається в моменти часу t = \tau k, k \in \BbbZ , якi рiвномiрно
вiддiленi один вiд одного.
Прикладом такого рiвняння є хвильове рiвняння iз затуханням та iмпульсною дiєю
\partial 2t u+ \eta ( - \Delta )\theta \partial tu - \Delta u = f(t, x, u, \partial tu), x \in \Omega , t \in \BbbR ,
u(\tau k + 0, x) - u(\tau k, x) = Ik
\bigl(
x, u(\tau k, x), \partial tu(\tau k, x)
\bigr)
, k \in \BbbZ ,
(4)
\partial tu(\tau k + 0, x) - \partial tu(\tau k, x) = Jk
\bigl(
x, u(\tau k, x), \partial tu(\tau k, x)
\bigr)
, k \in \BbbZ ,\biggl(
u(t, x) + \nu
\partial u(t, x)
\partial n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\in \partial \Omega
= 0,
де x \in \Omega , \Omega \subset \BbbR n — обмежена область iз гладкою межею \partial \Omega , \mu = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, \nu = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
1/2 \leq \theta \leq 1, \Delta u = \partial 2u/\partial x21 + . . . + \partial 2u/\partial x2n — лапласiан функцiї u, \partial u(t, x)/\partial n — похiдна
вздовж зовнiшньої нормалi. Моменти t = \tau k, k \in \BbbZ , iмпульсної дiї рiвномiрно вiддiленi один
вiд одного.
Рiвняння є моделлю повздовжнiх коливань в однорiдному бруску, в якому наявнi ефекти
в’язкостi. Доданок \eta ( - \Delta )\theta \partial tu вказує на те, що напруга пропорцiйна не лише деформацiї, як iз
законом Гука, а й швидкостi деформацiї, як у лiнеаризованому матерiалi Кельвiна. Iмпульсна
дiя описує короткостроковi зовнiшнi впливи.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: a.dvornyk@gmail.com.
2 Дослiдження В. I. Ткаченка частково пiдтримано грантами Volkswagen Foundation “Dynamic Phenomena in
Elasticity Problems” i “From Modelling and Analysis to Approximation”.
c\bigcirc А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО, 2023
62 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ . . . 63
Рiвняння вигляду (1) – (3) без iмпульсної дiї i з iмпульсною дiєю дослiджувалися багатьма
авторами [1 – 8].
Метою цiєї роботи є знаходження умов iснування кусково-неперервних майже перiодичних
розв’язкiв рiвняння. При цьому будемо використовувати концепцiю майже перiодичних функцiй
у сенсi робiт [9, 10]. Цi кусково-неперервнi функцiї мають розриви першого роду по t в точках
iмпульсної дiї t = \tau k. Такi майже перiодичнi розв’язки активно вивчаються для рiзних класiв
систем iз iмпульсною дiєю (див. [11 – 17]).
2. Основнi означення та попереднi результати. Позначимо через \| .\| норму в \BbbR n або
вiдповiдну норму у просторi матриць. Банахiв простiр X має норму \| .\| X .
Будемо розглядати простiр \scrP \scrC (J,X), J \subset \BbbR , усiх обмежених кусково-неперервних функцiй
x : J \rightarrow X таких, що:
i) множина \{ \tau j \in J : \tau j+1 > \tau j , j \in \BbbZ \} моментiв розривiв x не має скiнченних граничних
точок;
ii) x(t) неперервна злiва: x(\tau j - 0) = x(\tau j), й iснує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \tau j+0 x(t) = x(\tau j + 0).
Для функцiї f(t) з простору \scrP \scrC (J,X) означимо норму \| f\| PC = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in J \| f(t)\| X .
Вiдповiдно, \scrP \scrC 1(J,X) — це простiр функцiй з \scrP \scrC (J,X), якi неперервно диференцiйовнi
при t \in J, t \not = \tau j , i мають лiвi та правi похiднi в точках t = \tau j .
Означення 1. Цiле число p називається \varepsilon -майже перiодом послiдовностi \{ xk\} , xk \in X,
якщо \| xk+p - xk\| X < \varepsilon для всiх k \in \BbbZ . Послiдовнiсть \{ xk\} k\in \BbbZ називається майже перiодич-
ною, якщо для кожного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина її \varepsilon -майже перiодiв, а саме для
кожного \varepsilon > 0 iснує таке додатне число l, що кожний вiдрiзок дiйсної осi довжини l мiстить
принаймнi один \varepsilon -майже перiод послiдовностi.
Означення 2. Строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} дiйсних чисел має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, якщо для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина
\varepsilon -майже перiодiв, спiльних для всiх послiдовностей \{ \tau jk\} , де \tau jk = \tau k+j - \tau k, j \in \BbbZ .
Послiдовнiсть \{ \tau k\} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi рiзниць тодi й лише
тодi, коли \tau k = ak+ ck, де \{ ck\} — майже перiодична послiдовнiсть, a — додатне число [15]. За
лемою 22 [10, с. 192] для послiдовностi \{ \tau j\} з рiвномiрно майже перiодичними послiдовнос-
тями рiзниць iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
i(t, t+ T )
T
= \mu (5)
рiвномiрно щодо t \in \BbbR , де i(s, t) — кiлькiсть точок \tau k, якi належать iнтервалу (s, t). Тодi для
кожного q > 0 iснує таке натуральне N, що кожному iнтервалу довжини q належать не бiльш
нiж N елементiв послiдовностi \{ \tau j\} , тобто i(s, t) \leq N(t - s)/q +N.
Означення 3. Неперервна функцiя \psi : \BbbR \rightarrow X майже перiодична за Бором, якщо для
довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що якщо \tau \in \Gamma ,
то \| \psi (t+ \tau ) - \psi (t)\| X < \varepsilon для всiх t \in \BbbR .
Функцiя \varphi \in \scrP \scrC (\BbbR , X) називається w-майже перiодичною, якщо:
i) строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} моментiв розриву функцiї \varphi (t) має рiвномiрно
майже перiодичнi послiдовностi рiзниць;
ii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке додатне число \delta = \delta (\varepsilon ), що якщо точки t\prime i t\prime \prime
належать одному iнтервалу неперервностi i | t\prime - t\prime \prime | < \delta , то \| \varphi (t\prime ) - \varphi (t\prime \prime )\| X < \varepsilon ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
64 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
iii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що
якщо \tau \in \Gamma , то \| \varphi (t+ \tau ) - \varphi (t)\| X < \varepsilon для всiх t \in \BbbR , якi задовольняють умову | t - \tau k| > \varepsilon ,
k \in \BbbZ .
Припускаємо, що для рiвняння (1) – (3) виконуються такi умови:
(\bfA \bfone ) Оператор A з областю визначення D(A) в просторi X секторiальний [19] i \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\mathrm{R}\mathrm{e} \xi :
\xi \in \sigma (A)
\bigr\}
\geq \delta > 0, де \sigma (A) — спектр оператора A. Означуються дробовi степенi A\alpha , \alpha \geq 0,
оператора A й iнтерполяцiйнi простори X\alpha = D(A\alpha ) з нормами \| x\| X\alpha = \| A\alpha x\| X . Оператор
- A є генератором аналiтичної напiвгрупи e - At, t \geq 0.
(\bfA \bftwo ) Лiнiйнi обмеженi оператори Bijk : X \rightarrow X задовольняють нерiвностi \| Bijku\| X\beta \leq
\leq bk\| u\| X\beta для u \in X\beta , \beta \geq 0, i, j = 1, 2, k \in \BbbZ . Послiдовностi операторiв \{ Bijk\} k\in \BbbZ майже
перiодичнi. Також майже перiодична послiдовнiсть додатних чисел \{ bk\} i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}k bk \leq b.
(\bfA \bfthree ) Послiдовнiсть \{ \tau k\} точок iмпульсної дiї має рiвномiрно майже перiодичнi послiдов-
ностi рiзниць, й iснують такi сталi \Theta > \theta > 0, що \Theta \geq \tau k - \tau k - 1 \geq \theta , k \in \BbbZ .
(\bfA \bffour ) Функцiя f(t, u, \partial tu) w-майже перiодична по t рiвномiрно щодо u, \partial tu з розривами в
точках послiдовностi \tau k, k \in \BbbZ .
(\bfA \bffive ) Послiдовностi
\bigl\{
Ik(u, v)
\bigr\}
k\in \BbbZ i
\bigl\{
Jk(u, v)
\bigr\}
k\in \BbbZ майже перiодичнi рiвномiрно щодо u, v.
Пiсля замiни змiнних v = \partial tu рiвняння (1) – (3) можна записати як двовимiрну систему у
просторi z = (u, v) \in Y = X
1
2 \times X з нормою \| z\| Y = \| u\|
X
1
2
+ \| v\| X :
dz
dt
= - \scrA (\theta )z + F (t, z), (6)
z(\tau k + 0) - z(\tau k) = Bkz(\tau k) +Gk(z(\tau k)), k \in \BbbZ , (7)
z =
\Biggl(
u
v
\Biggr)
, \scrA (\theta ) =
\Biggl(
0 - I
A \eta A\theta
\Biggr)
, Bk =
\Biggl(
B11k B12k
B21k B22k
\Biggr)
,
F (t, z) =
\Biggl(
0
f(t, u, v)
\Biggr)
, Gk(z) =
\Biggl(
Ik(z)
Jk(z)
\Biggr)
.
Тут I — тотожний оператор в X. Оператор \scrA (\theta ) має область визначення [1]
D(\scrA (\theta )) =
\Biggl\{ \Biggl(
\varphi
\psi
\Biggr)
\in X
3
2
- \theta \times X
1
2 ; A1 - \theta \varphi + 2\eta \psi \in X\theta
\Biggr\}
.
Лема 1 [1]. Якщо оператор A секторiальний у просторi X, то для кожного \theta \in [1/2, 1]
оператор \scrA (\theta ) секторiальний у просторi Y = X1/2 \times X i оператор - \scrA (\theta ) є генератором
аналiтичної напiвгрупи e - \scrA (\theta )t в Y.
Далi, для \theta \in (1/2, 1] i \alpha \in [0, 1] iнтерполяцiйнi простори Y \alpha
(\theta ), вiдповiднi \scrA (\theta ), означуються
як
D(\scrA \alpha
(\theta )) =
\Biggl\{ \Biggl(
\varphi
\psi
\Biggr)
: \varphi \in X
1
2
+(1 - \theta )\alpha , A1 - \theta \varphi + 2\eta \psi \in X\theta \alpha
\Biggr\}
(8)
i збiгаються з iнтерполяцiйними просторами оператора
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ . . . 65
\scrB (\theta ) = \scrA (\theta ) +
\left( 0 0
0
1
2\eta
A1 - \theta
\right)
в еквiвалентнiй нормi.
При \theta =
1
2
накладається додаткове обмеження
\pi
2
>
\psi
2
+ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\Biggl(
\eta
2
+
\sqrt{}
\eta 2
4
- 1
\Biggr)
з деяким \psi \in (0, \pi /2). Iнтерполяцiйнi простори мають вигляд D
\bigl(
\scrA \alpha
(1/2)
\bigr)
= D
\bigl(
\scrB \alpha
(1/2)
\bigr)
=
= X
1+\alpha
2 \times X
\alpha
2 , \alpha \in [0, 1].
Далi у \scrA \alpha
(\theta ) i Y \alpha
(\theta ) будемо пропускати iндекси (\theta ). Норму елемента z \in Y \alpha будемо позначати
так: \| z\| \alpha = \| \scrA \alpha z\| Y . Для оператора \scrA виконуються нерiвностi [19]
\| \scrA \alpha e - \scrA tz\| Y \leq C\alpha t
- \alpha e - \delta t\| z\| Y , z \in Y, t > 0, \alpha > 0,
(9)\bigm\| \bigm\| (e - \scrA t - I)z
\bigm\| \bigm\|
Y
\leq 1
\alpha
C1 - \alpha t
\alpha \| \scrA \alpha z\| Y , t > 0, \alpha \in (0, 1], z \in Y \alpha ,
де C\alpha > 0 обмеженi при \alpha \rightarrow 0 + . Також виконуються рiвностi e - \scrA t\scrA \alpha z = \scrA \alpha e - \scrA tz, де
z \in Y \alpha , t > 0.
3. \bfitomega -Майже перiодичнi розв’язки рiвняння (6), (7).
Означення 4. Функцiя z(t) : [t0, t1] \rightarrow Y є розв’язком початкової задачi z(t0) = z0 \in Y
для рiвняння (6), (7) на вiдрiзку [t0, t1], якщо вона неперервно диференцiйовна на iнтервалах
(t0, \tau j ], (\tau j , \tau j+1], . . . , (\tau j+s, t1] з розривами першого роду в моменти часу t = \tau k, задовольняє
рiвняння (6) при t \in (t0, t1), t \not = \tau k, рiзницевi спiввiдношення (7) при t = \tau k i початкову умову
z(t0) = z0 .
Спочатку розглянемо лiнiйне рiвняння
dz
dt
= - \scrA z + g(t), z(\tau k + 0) - z(\tau k) = Bkz(\tau k) + gk. (10)
Вiдповiдне однорiдне рiвняння (при g(t) \equiv 0, gk \equiv 0) має еволюцiйний оператор U(t, s),
U(s, s) = I, t \geq s, який означується як U(t, s) = e - \scrA (t - s), якщо \tau k < s \leq t \leq \tau k+1, i
U(t, s) = e - \scrA (t - \tau k)(I +Bk)e
- \scrA (\tau k - \tau k - 1) . . . (I +Bm)e - \scrA (\tau m - s), (11)
якщо \tau m - 1 < s \leq \tau m < \tau m+1 < . . . < \tau k < t \leq \tau k+1. Для фiксованих t > s оператор U(t, s)
обмежений у просторi Y \alpha , I — тотожний оператор в Y.
Будемо припускати виконання такої умови:
(\bfA \bfsix ) вiдповiдне однорiдне рiвняння має експоненцiально стiйкий еволюцiйний оператор\bigm\| \bigm\| U(t, s)u
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq Ke - \beta (t - s)\| u\| \alpha , t \geq s, u \in Y \alpha , (12)
з деякими сталими \beta > 0 i K \geq 1.
Зауважимо, що при виконаннi нерiвностi \| Bku\| Y \gamma \leq bk\| u\| Y \gamma для u \in Y \gamma , \gamma \geq 0, k \in \BbbZ з
нерiвностi (12) при деякому значеннi \alpha випливає виконання нерiвностi при всiх \alpha \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
66 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Теорема 1. Припустимо, що рiвняння (10) задовольняє умови (\bfA \bfone ) – (\bfA \bfthree ) i (\bfA \bfsix ). Нехай
також функцiя g(t) : \BbbR \rightarrow Y w-майже перiодична й локально гельдерова з розривами в точках
t = \tau k, k \in \BbbZ , в яких вона неперервна злiва, i послiдовнiсть \{ gk\} з gk \in Y \alpha 1 , 1 \geq \alpha 1 > \alpha > 0,
майже перiодична.
Тодi рiвняння (10) має єдиний w-майже перiодичний експоненцiально стiйкий розв’язок
z0(t) \in \scrP \scrC (\BbbR , Y \alpha ).
Доведення. Рiвняння (10) має єдиний обмежений на осi розв’язок
z0(t) =
t\int
- \infty
U(t, s)g(s)ds+
\sum
\tau j<t
U(t, \tau j + 0)gj . (13)
Для t \in (\tau i, \tau i+1] вiн задовольняє оцiнку
\| z0(t)\| \alpha \leq
t\int
- \infty
\bigm\| \bigm\| \scrA \alpha U(t, s)g(s)
\bigm\| \bigm\|
Y
ds+
\sum
\tau j<t
\bigm\| \bigm\| \scrA \alpha U(t, \tau j + 0)gj
\bigm\| \bigm\|
Y
\leq
\leq
t\int
\tau i
\bigm\| \bigm\| U(t, s)g(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds+
\infty \sum
j=0
\tau i - j\int
\tau i - j - 1
\bigm\| \bigm\| U(t, s)g(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds+
\sum
\tau j<t
\| U(t, \tau j + 0)gj\| \alpha \leq
\leq K
1 - e - \theta \beta
C\alpha \Theta
1 - \alpha
1 - \alpha
\| g\| PC +
K
1 - e - \theta \beta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\| gj\| \alpha . (14)
Тут використано оцiнку
\tau i - j\int
\tau i - j - 1
\bigm\| \bigm\| U(t, s)g(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds \leq
\tau i - j\int
\tau i - j - 1
\bigm\| \bigm\| U(t, \tau i - j)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\bigm\| \bigm\| U(\tau i - j , s)g(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds \leq
\leq Ke - \beta (t - \tau i - j)
\tau i - j\int
\tau i - j - 1
C\alpha
(\tau i - j - s)\alpha
e - \beta (\tau i - j - s)\| g(s)\| Y ds \leq
\leq KC\alpha \Theta
1 - \alpha
1 - \alpha
e - \beta (t - \tau i - j)\| g\| \scrP \scrC (\BbbR ,Y ).
Аналогiчно [17] доводимо, що z0(t) — w-майже перiодичний експоненцiально стiйкий
розв’язок z0(t) \in \scrP \scrC (\BbbR , Y \alpha ) рiвняння (10).
Зауваження 1. Якщо рiвняння (10) задовольняє всi умови теореми 1 i функцiї gk, k \in \BbbZ ,
належать простору Y \alpha (а не Y \alpha 1 з \alpha 1 > \alpha ), то рiвняння має єдиний w-майже перiодичний
розв’язок z0(t) \in \scrP \scrC (\BbbR , Y \gamma ) з \gamma < \alpha .
Теорема 2. Припустимо, що для рiвняння (6), (7) виконуються припущення (\bfA \bfone ) – (\bfA \bfthree )
i (\bfA \bfsix ). Нехай також в областi U\alpha
\rho =
\bigl\{
z \in Y \alpha : \| z\| \alpha \leq \rho
\bigr\}
простору Y \alpha , 0 \leq \alpha < 1,
виконуються такi умови:
1) функцiя F (t, z) : \BbbR \times U\alpha
\rho \rightarrow Y w-майже перiодична й локально гельдерова по t рiвномiрно
щодо z \in U\alpha
\rho ; функцiя F неперервна по z й iснують такi сталi N1 > 0 i q > 1, що
\bigm\| \bigm\| F (t, z1) -
- F (t, z2)
\bigm\| \bigm\|
Y
\leq N1
\bigm\| \bigm\| z1 - z2
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\bigl(
1 + \| z1\| q\alpha + \| z2\| q\alpha
\bigr)
для z1, z2 \in Y\alpha ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ . . . 67
2) функцiї Gk(z) : U\alpha
\rho \rightarrow Y \alpha 1 задовольняють нерiвностi
\bigm\| \bigm\| Gk(z1) - Gk(z2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha 1
\leq N1\| z1 -
- z2\| \alpha
\bigl(
1 + \| z1\| q\alpha + \| z2\| q\alpha
\bigr)
, 1 \geq \alpha 1 > \alpha ; послiдовнiсть \{ Gk(u)\} майже перiодична рiвномiрно
щодо z \in U\alpha
\rho ;
3) виконуються нерiвностi M1
\bigl(
N0 +N1(\rho + \rho q+1)
\bigr)
\leq \rho i M1N1(1 + 2\rho q)) < 1, де
M1 =
K
1 - e - \beta \theta
\biggl(
1 +
C\alpha Q
1 - \alpha
1 - \alpha
\biggr)
, N0 \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| F (t, 0)\| 0 + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\| Gk(0)\| \alpha 1 .
Тодi в областi U\alpha
\rho рiвняння (6), (7) має єдиний w-майже перiодичний розв’язок z0(t) \in
\in \scrP \scrC (\BbbR , Y \alpha ).
Доведення. Позначимо через \scrM \rho множину w-майже перiодичних функцiй \varphi : \BbbR \rightarrow Y \alpha , ло-
кально гельдерових, iз точками розриву \tau k, k \in \BbbZ , якi задовольняють нерiвнiсть \| \varphi \| \scrP \scrC (\BbbR ,Y \alpha ) \leq
\leq \rho . У множинi \scrM \rho означимо оператор
[\scrF \varphi ](t) =
t\int
- \infty
U(t, s)F (s, \varphi (s))ds+
\sum
\tau k<t
U(t, \tau k + 0)Gk(\varphi (\tau k)).
За теоремою 1 функцiя [\scrF \varphi ](t) w-майже перiодична. Аналогiчно (14) отримуємо оцiнки
\| [\scrF \varphi ](t)\| \alpha \leq M1(N0 +N1(\rho + \rho q+1)), (15)
\bigm\| \bigm\| [\scrF \varphi 1](t) - [\scrF \varphi 2](t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
t\int
- \infty
\| U(t, s)\| \alpha
\bigm\| \bigm\| F (s, \varphi 1(s)) - F (s, \varphi 2(s))
\bigm\| \bigm\|
Y
ds +
+
\sum
\tau k<t
\bigm\| \bigm\| U(t, \tau k + 0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\bigm\| \bigm\| Gk(\varphi 1(\tau k)) - Gk(\varphi 2(\tau k))
\bigm\| \bigm\|
\alpha 1
\leq
\leq M1N1(1 + 2\rho q)\| \varphi 1 - \varphi 2\| \alpha . (16)
Функцiя [\scrF \varphi ](t) локально гельдерова. Справдi, на кожному iнтервалi неперервностi
(\tau j , \tau j+1), j \in \BbbZ ,
\bigm\| \bigm\| [\scrF \varphi ](t+ \delta ) - [\scrF \varphi ](t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t+\delta \int
- \infty
U(t+ \delta , s)F (s, \varphi (s))ds -
t\int
- \infty
U(t, s)F (s, \varphi (s))ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\tau k<t
U(t+ \delta , \tau k + 0)Gk(\varphi (\tau k)) -
\sum
\tau k<t
U(t, \tau k + 0)Gk(\varphi (\tau k))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\leq
t\int
- \infty
\bigm\| \bigm\| (e - \scrA \delta - I)U(t, s)F (s, \varphi (s))
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds+
t+\delta \int
t
\bigm\| \bigm\| e - \scrA (t+\delta - s)F (s, \varphi 0(s))
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds +
+
\sum
\tau k<t
\bigm\| \bigm\| (e - \scrA \delta - I)U(t, \tau k + 0)Gk(\varphi 0(\tau k))
\bigm\| \bigm\|
\alpha
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
68 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Застосовуючи (9), (12) i (14), з (17) отримуємо iснування такої додатної сталої M2, що на
кожному iнтервалi t \in (t\prime , t\prime \prime ), який не мiстить точок iмпульсiв \tau k, виконується оцiнка
\bigm\| \bigm\| \varphi 0(t+
+ \delta ) - \varphi 0(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq M2\delta
\alpha 1 - \alpha .
З (15), (16) i умови 3 теореми випливає, що \scrF : \scrM \rho \rightarrow \scrM \rho є оператором стиску на \scrM \rho .
Тому iснує єдина нерухома точка z0 \in \scrM \rho вiдображення \scrF , тобто
z0(t) =
t\int
- \infty
U(t, s)F (s, z0(s))ds+
\sum
\tau k<t
U(k, \tau k + 0)Gk(z0(\tau k)).
Аналогiчно (17) перевiряємо, що функцiя z0(t) локально гельдерова на кожному iнтервалi
(\tau k, \tau k+1), k \in \BbbZ .
Локальна гельдеровiсть функцiї F (t, z0(t)) випливає з локальної гельдеровостi функцiй
F (t, u) i z0(t). За лемою 37 [10, с. 214] якщо z0(t) w-майже перiодична i \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}k(\tau k+1 - \tau k) > 0,
то \{ z0(\tau k)\} k\in \BbbZ — майже перiодична послiдовнiсть. Тому за теоремою 1 лiнiйне неоднорiдне
рiвняння
dz
dt
= - \scrA z + F (t, z0(t)), z(\tau k + 0) - z(\tau k) = Bkz +Gk(z0(\tau k))
має єдиний w-майже перiодичний розв’язок. З єдиностi випливає, що вiн збiгається з z0(t).
Отже, w-майже перiодична функцiя z0(t) : \BbbR \rightarrow X\alpha задовольняє рiвняння (6) при t \in
\in (\tau k, \tau k+1) i рiзницеве спiввiдношення (7) при t = \tau k.
Зауваження 2. Використовуючи iдеї робiт [17, 18], можна довести, що при умовах теоре-
ми 2 i досить малих N0 i N1 w-майже перiодичний розв’язок z0(t) асимптотично стiйкий.
За теоремою 2 функцiя z0(t) = (u0(t), v0(t)) w-майже перiодична як функцiя \BbbR \rightarrow Y \alpha .
Тому за формулою (8) розв’язок u0(t) w-майже перiодичний як функцiя \BbbR \rightarrow X
1
2
+(1 - \theta )\alpha .
4. Хвильове рiвняння з сильним затуханням та iмпульсною дiєю. Розглянемо рiвняння
\partial 2t u - \eta \Delta \partial tu - \Delta u = f(t, x, u, \partial tu), x \in \Omega , t \in \BbbR , (18)
з крайовими умовами u(t, x)| x\in \partial \Omega = 0 та iмпульсною дiєю в точках \tau k, k \in \BbbZ :
u(\tau k + 0, x) - u(\tau k, x) = b1ku(\tau k, x) +
+
\int
\xi \in \Omega
S1k(x, \xi )I1k(u(\tau k, \xi ), \partial tu(\tau k, \xi ))d\xi + g1k(x),
\partial tu(\tau k + 0, x) - \partial tu(\tau k, x) = b2k\partial tu(\tau k, x) +
+
\int
\xi \in \Omega
S2k(x, \xi )I2k(u(\tau k, \xi ), \partial tu(\tau k, \xi ))d\xi + g2k(x),
(19)
де x \in \Omega , \Omega \subset \BbbR n — обмежена область iз гладкою межею \partial \Omega , \eta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, \Delta u — лапласiан
функцiї u.
Припускаємо, що виконуються такi умови:
Послiдовнiсть \{ \tau k\} точок iмпульсної дiї задовольняє умову (\bfA \bfthree ). Тому iснує границя (5)
для цiєї послiдовностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ . . . 69
Оператор Лапласа A = - \Delta з крайовими умовами Дiрiхле у просторi X = Lp(\Omega ), p \geq 2,
має область означення W 2,p(\Omega ) \cap W 1,p
0 (\Omega ), де W 2,p(\Omega ) — простiр Соболєва функцiй з Lp(\Omega ),
якi мають двi узагальненi похiднi; W 1,p
0 (\Omega ) — простiр функцiй з Lp(\Omega ), якi мають узагальнену
похiдну й дорiвнюють нулю на межi \partial \Omega . Оператор A : D(A) \subseteq X \rightarrow X секторiальний. Спектр
\sigma (A) оператора A складається з простих власних значень 0 < \lambda 0 < \lambda 1 < . . . , \lambda n \rightarrow \infty , n\rightarrow \infty .
Вiдповiдно означуються дробовi степенi оператора A й iнтерполяцiйнi простори X\alpha = D(A\alpha )
з нормами \| x\| X\alpha = \| A\alpha x\| .
В областi | u| + | v| \leq \rho 1 з деякою \rho 1 > 0 гладка функцiя f(t, x, u, v) майже перiодич-
на за Бором по t рiвномiрно щодо x, u, v i задовольняє нерiвностi | f(t, x, 0, 0)| \leq N0 та
| f(t, x, u1, v1) - f(t, x, u2, v2)| \leq N1(| u1 - u2| + | v1 - v2| ) з додатними сталими N0 i N1.
Послiдовностi дiйсних чисел \{ b1k\} k\in \BbbZ i \{ b2k\} k\in \BbbZ майже перiодичнi. Послiдовностi \{ g1k\} k\in \BbbZ
i \{ g2k\} k\in \BbbZ функцiй g1k, g2k \in W 2,p(\Omega ) \cap W 1,p
0 (\Omega ) майже перiодичнi рiвномiрно щодо x \in \Omega , i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \Omega | gik(x)| \leq N0, i = 1, 2, k \in \BbbZ .
C2-гладкi функцiї S1k i S2k такi, що S1k(x, \xi ) = 0 i S2k(x, \xi ) = 0 для всiх x \in \partial \Omega , k \in \BbbZ .
Послiдовностi \{ S1k\} k\in \BbbZ i \{ S2k\} k\in \BbbZ майже перiодичнi рiвномiрно щодо x, \xi \in \Omega .
В областi | u| + | v| \leq \rho 1 виконуються умови Iik(0, 0) = 0 i | Iik(u1, v1) - Iik(u2, v2)| \leq
\leq N1
\bigl(
| u1 - u2| + | v1 - v2|
\bigr)
для i = 1, 2, k \in \BbbZ . Послiдовностi
\bigl\{
I1k(u, v)
\bigr\}
k\in \BbbZ i
\bigl\{
I2k(u, v)
\bigr\}
k\in \BbbZ
майже перiодичнi рiвномiрно щодо u, v.
Запишемо рiвняння (18), (19) як систему (6), (7) при \theta = 1 зi змiнними u, v = \partial tu у просторi
X
1
2 \times X. Система (6) набере вигляду
du
dt
- v = 0,
dv
dt
- \eta \Delta v - \Delta u = f(t, x, u, v). (20)
Оператор \scrA 1 має спектр \sigma (\scrA 1), який складається з двох послiдовностей власних значень
rn =
\eta \lambda n
2
- 1
2
\sqrt{}
\eta 2\lambda 2n - 4\lambda n, qn =
\eta \lambda n
2
+
1
2
\sqrt{}
\eta 2\lambda 2n - 4\lambda n
i граничної точки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty rn = 1/\eta . Припускаємо, що \eta 2\lambda 0 \geq 4. Тодi 1/\eta = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{R}\mathrm{e}\sigma (\scrA 1)\} > 0.
Припустимо виконання нерiвностi
- 1
\eta
+ \mu \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + b) = \beta 1 < 0, (21)
де \mu означено в (5) для послiдовностi \{ \tau k\} i b = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j,k | bjk| .
Еволюцiйний оператор U(t, s), побудований за формулою (11), задовольняє оцiнку (див.
[10, с. 63])
\| U(t, s)u\| Lp(\Omega ) \leq K1e
\beta 1(t - s)\| u\| Lp(\Omega ), t \geq s,
з деякою сталою K1 \geq 1. Тодi лiнiйна система (10) експоненцiально стiйка.
Функцiя F : \BbbR \times Lp(\Omega )\times Lp(\Omega ) \rightarrow Lp(\Omega ) задається як оператор Немицького
\bigl[
F (t, u, v)
\bigr]
(x) =
\Biggl(
0
f
\bigl(
t, x, u(t, x), v(t, x)
\bigr) \Biggr) .
За теоремою 2 при виконаннi нерiвностi (21) i при досить малих N0, N1 вiдповiдна системi
(18), (19) система (6), (7) має в деякiй областi U\alpha
\rho єдиний w-майже перiодичний розв’язок
z0(t) = (u0(t), \partial tu0(t)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
70 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Покажемо регулярнiсть розв’язку z0(t). За формулою (8) u0(t) \in X1/2, u0(t)+\eta v0(t) \in X\alpha .
При \alpha \geq 1/2 за теоремою вкладення [19] при 1 - n/p \geq \nu > 0 виконуються вкладення
u0(t) \in C\nu (\Omega ), v0(t) \in C\nu (\Omega ).
З теореми 3.5.2 [19] випливає, що функцiя
dz0(t)
dt
=
\biggl(
du0(t)
dt
,
dv0(t)
dt
\biggr)
локально гельдерова.
З рiвняння (20) отримуємо, що вiдповiднi функцiям u0, v0 : \BbbR \rightarrow X функцiї u\ast , v\ast : \BbbR \times \Omega \rightarrow \BbbR
задовольняють при t \not = \tau k рiвнiсть
\Delta
\bigl(
\eta \partial tu\ast (t, x) + u\ast (t, x)
\bigr)
=
\partial v\ast (t, x)
\partial t
- f
\bigl(
t, x, u\ast (t, x), v\ast (t, x)
\bigr)
\in C\nu (\Omega ).
Тодi \eta \partial tu\ast (t, x) + u\ast (t, x) = \~f(t, x) \in C2+\nu (\Omega ), t \not = \tau k, як розв’язок елiптичного рiвняння.
Отже, u\ast (t, x) як функцiя t задовольняє рiвняння з iмпульсною дiєю
\eta
du
dt
+ u = \~f(t, x), u(\tau k + 0) - u(\tau k) = b1ku(\tau k) + \~gk(x), (22)
де за формулою (19)
\~gk(x) =
\int
\xi \in \Omega
S1k(x, \xi )I1k(u\ast (\tau k, \xi ), v\ast (\tau k, \xi ))d\xi + g1k(x).
У рiвняннi (22) x розглядаємо як параметр. Фундаментальний розв’язок однорiдного рiвнян-
ня (22) має вигляд V (t, s) = e - (t - s)/\eta , якщо \tau k < s \leq t \leq \tau k+1, i
V (t, s) = e - (t - \tau k)/\eta (I + b1k)e
- (\tau k - \tau k - 1)/\eta . . . (I + b1m)e - (\tau m - s)/\eta ,
якщо \tau m - 1 < s \leq \tau m < \tau m+1 < . . . < \tau k < t \leq \tau k+1. За умови (21) однорiдне рiвняння
експоненцiально стiйке: | V (t, s)| \leq K2e
\beta 1(t - s), t \geq s, K2 \geq 1. Тодi рiвняння (22) має єдиний
w-майже перiодичний розв’язок u\ast (t, x). Вiн задається формулою
u\ast (t, x) =
t\int
- \infty
V (t, s) \~f(s, x)ds+
\sum
\tau k<t
V (t, \tau k + 0)\~gk(x).
Оскiльки \~f i \~gk C2-гладкi по x, то i u\ast (t, x) C2-гладкий по x \in \Omega . Отже, рiвняння (18), (19) має
w-майже перiодичний розв’язок u\ast (t, x), який C2-гладкий при t \not = \tau k i задовольняє рiзницевi
спiввiдношення (19) при t = \tau k, k \in \BbbZ .
Лiтература
1. A. N. Carvalho, J. W. Cholewa, T. Dlotko, Strongly damped wave problems: bootstrapping and regularity of solutions,
J. Different. Equat., 244, № 9, 2310 – 2333 (2008).
2. A. N. Carvalho, J. W. Cholewa, Strongly damped wave equations in W 1,p
0 (\Omega )\times Lp(\Omega ), Discrete and Contin. Dyn.
Syst., 2007, 230 – 239 (2007).
3. T. Diagana, Almost periodic solutions to some second-order nonautonomous differential equations, Proc. Amer. Math.
Soc., 140, № 1, 279 – 289 (2012).
4. E. Hernandez, K. Balachandran, N. Annapoorani, Existence results for a damped second order abstract functional
differential equation with impulses, Math. Comput. Model., 50, № 11 – 12, 1583 – 1594 (2009).
5. P. Massatt, Limiting behavior for strongly damped nonlinear wave equations, J. Different. Equat., 48, № 3, 334 – 349
(1983).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ IЗ ЗАТУХАННЯМ ТА IМПУЛЬСНОЮ . . . 71
6. P. Massatt, Asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation, Nonlinear Phenomena in Mathemati-
cal Sciences, Acad. Press (1982), p. 663 – 670 .
7. G. F. Webb, Existence and asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation, Canad. J. Math., 32,
№ 3, 631 – 643 (1980).
8. Q. Zhang, Global existence of \varepsilon -regular solutions for the strongly damped wave equation, Electron. J. Qual. Theory
Different. Equat., 62, 1 – 11 (2013).
9. A. Халанай, Д. Векслер, Качественная теория импульсных систем, Мир, Москва (1971).
10. A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk, Impulsive differential equations, World Sci. Publ., Singapore (1995).
11. A. V. Dvornyk, V. I. Tkachenko, Almost periodic solutions for systems with delay and nonfixed times of impulsive
actions, Ukrainian Math. J., 68, № 11, 1673 – 1693 (2017).
12. A. V. Dvornyk, O. O. Struk, V. I. Tkachenko, Almost periodic solutions of Lotka – Volterra systems with diffusion
and impulse action, Ukrainian Math. J., 70, № 2, 197 – 216 (2018).
13. R. Hakl, M. Pinto, V. Tkachenko, S. Trofimchuk, Almost periodic evolution systems with impulse action at state-
dependent moments, J. Math. Anal. and Appl., 446, № 1, 1030 – 1045 (2017).
14. A. M. Samoilenko, S. I. Trofimchuk, Almost periodic impulsive systems, Different. Equat., 29, № 4, 684 – 691 (1993).
15. A. M. Samoilenko, S. I. Trofimchuk, Unbounded functions with almost periodic differences, Ukrainian Math. J., 43,
№ 10, 1306 – 1309 (1991).
16. G. T. Stamov, Almost periodic solutions of impulsive differential equations, Lect. Notes Math., 2047, Springer,
Heidelberg (2012).
17. V. Tkachenko, Almost periodic solutions of evolution differential equations with impulsive action, Mathematical
Modelling and Applications in Nonlinear Dynamics, Springer, Cham (2016), p. 161 – 205.
18. A. V. Dvornyk, V. I. Tkachenko, On the stability of solutions of evolutionary equations with nonfixed times of pulse
actions, J. Math. Sci., 220, № 4, 425 – 439 (2017).
19. D. Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations, Lect. Notes Math., 840, Springer, Berlin, Heidelberg
(1981).
Одержано 02.12.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7400 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:31Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/26af85789d0b85926e82acabfbe10a00.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-74002023-02-25T14:21:56Z Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action Майже періодичні розв’язки хвильового рівняння із затуханням та імпульсною дією Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, Анатолий Владимирович Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. імпульсна дія майже періодичні розв'язки абстрактний банахів простір хвильове рівняння з затуханням impulsive action almost periodic solutions abstract Banach space damping wave equation UDC 517.9 We obtain sufficient conditions for the existence of piecewise continuous almost periodic solutions to a strongly damped semilinear wave equation with impulsive action. УДК 517.9 Отримано достатні умови існування кусково-неперервних майже періодичних&nbsp;розв'язків хвильового рівняння з затуханням та імпульсною дією.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7400 10.37863/umzh.v75i1.7400 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 62 - 71 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 62 - 71 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7400/9352 Copyright (c) 2023 Анатолій Володимирович Дворник, Віктор Ткаченко |
| spellingShingle | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, Анатолий Владимирович Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title | Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title_alt | Майже періодичні розв’язки хвильового рівняння із затуханням та імпульсною дією |
| title_full | Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title_fullStr | Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title_full_unstemmed | Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title_short | Almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| title_sort | almost periodic solutions of damping wave equation with impulsive action |
| topic_facet | імпульсна дія майже періодичні розв'язки абстрактний банахів простір хвильове рівняння з затуханням impulsive action almost periodic solutions abstract Banach space damping wave equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7400 |
| work_keys_str_mv | AT dvornykav almostperiodicsolutionsofdampingwaveequationwithimpulsiveaction AT tkachenkovi almostperiodicsolutionsofdampingwaveequationwithimpulsiveaction AT dvornikanatolijvladimirovič almostperiodicsolutionsofdampingwaveequationwithimpulsiveaction AT dvornikav almostperiodicsolutionsofdampingwaveequationwithimpulsiveaction AT tkačenkoví almostperiodicsolutionsofdampingwaveequationwithimpulsiveaction AT dvornykav majžeperíodičnírozvâzkihvilʹovogorívnânnâízzatuhannâmtaímpulʹsnoûdíêû AT tkachenkovi majžeperíodičnírozvâzkihvilʹovogorívnânnâízzatuhannâmtaímpulʹsnoûdíêû AT dvornikanatolijvladimirovič majžeperíodičnírozvâzkihvilʹovogorívnânnâízzatuhannâmtaímpulʹsnoûdíêû AT dvornikav majžeperíodičnírozvâzkihvilʹovogorívnânnâízzatuhannâmtaímpulʹsnoûdíêû AT tkačenkoví majžeperíodičnírozvâzkihvilʹovogorívnânnâízzatuhannâmtaímpulʹsnoûdíêû |